立体几何公理与定理梳理

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立体几何公理定理推论汇总

立体几何公理定理推论立体几何公理、定理推论汇总一.公理及其推论公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号语言：Ael,Bel,Aea.Bea^>l<^a作用: ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的勺公理2|如果两个平面有_个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一务冬直线）〉 --- - 7符号语言：= \作用：①用来证明两个平面是相交关系；②用來证明多点共线，多线共点。

/ / 公酮经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

X ;/符号语言：A.B.C不共线确定一个平面推论1|经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面符号语言：A^a=＞有且只有一个平面a,使Aw a, aua推论2|经过两条相交直线，有且只有一个平面。

符号语言：ar\b = Pd有且只有一个平面a,使aua, bua经过两条平行直线，有且只有一个平面。

符号沽•言：a//b=＞有且只有一个平面a,使aua, bua公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

a // b符号语言：di b作用：用来证明线线平行。

二.平行关系面面平行的性质1如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

（7）公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

（1） --------- ------------all b\ 符号语詁cllb\^allC线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（2） a cc 符号语言：bua >=> a//a allb 图形语言: 线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。

（3） all a 符号语言：QU0 ‘ = allb a[}p = b图形语乍面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4） (a u a 、b u = 0、符号语言： d//0blip图形语言: 面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

立体几何基本定理与公式

立几基本公式空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线—共面有且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[)οο180,0∈θ）（直线与直线所成角(]οο90,0∈θ）（斜线与平面成角()οο90,0∈θ）（直线与平面所成角[]οο90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[οο∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度. 一、直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面12方向相同12方向不相同POAa垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.若PA⊥α，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理），得不出α⊥PO. 因为a⊥PO，但PO不垂直OA.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上一、平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.五、棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长） ⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. （直棱柱定义）：棱柱有一条侧棱和底面垂直. ⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V S h V ==.正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）PαβθM AB Oii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. 正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=.②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高）③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高）六. 空间向量.1（1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. （2）共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使λ=.（3）共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α的关系是平行，记作a ∥α. （4）①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，则向量与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使y x +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是PABC 四点共面的充要条件.（简证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面）注：是证明四点共面的常用方法.2. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使c z b y a x p ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z使 z y x ++=(这里隐含x +y+z≠1).注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31c b a AQ ++=用MQ AM AQ +=即证.3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅a ∥)(,,332211Rb a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a ++==(a a =⇒⋅=) 232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<ρρρρρρ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥那么向量叫做平面α的法向量. （3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，DCBAB则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.。

立体几何初步公理、定理及推论

立体几何初步公理、定理及推论1、连接两点的线中，线段最短；2、过两点有一条直线，并且只有一条直线；3、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内；4、经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；（不共线的三点确定一个平面）5、如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线；6、经过直线和直线外一点，有且只有一个平面；7、经过两条相交直线，有且只有一个平面；8、经过两条平行直线，有且只有一个平面；9、过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；10、平行于同一条直线的两条直线平行；11、如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等；12、如果不在一个平面内的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；13、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两个平面的交线平行；14、如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；15、如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，则这两个平面平行；16、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；17、如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内任何一条直线垂直；18、如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与平面垂直；19、如果两条平行线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；20、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；21、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；22、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

高中数学—立体几何知识点总结(精华版)

立体几何知识点一.基本概念和原理：1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)（规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]）斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。

a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直，那么这条直线垂直于这个平面。

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

行，那么这条直线和这个平面平行。

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

面，那么这两个平面平行。

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行。

8.（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

立体几何公理、定理推论汇总1

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈且作用：① 用来证明两个平面是相交关系；② 用来证明多点共线，多线共点。

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，经过两条相交直线，有且只有一个平面。

符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，经过两条平行直线，有且只有一个平面。

符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：//////a ba cc b⎫⇒⎬⎭图形语言：作用：用来证明线线平行。

二、平行关系平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

（1）符号语言：//// //a ba c c b⎫⇒⎬⎭图形语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（2）符号语言：////a baabααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭图形语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（3）符号语言：////abaa bβαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭图形语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),abb b Oaaββαααβ⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭图形语言：如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

立体几何公理、定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，经过两条相交直线，有且只有一个平面。

符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，经过两条平行直线，有且只有一个平面。

符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭图形语言：作用：用来证明线线平行。

二、平行关系平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

（1）符号语言：//// //a ba c c b⎫⇒⎬⎭图形语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（2）符号语言：///b/abbaααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭图形语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（3）符号语言：////abaa bβαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭图形语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),abb b Paaααβββα⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭图形语言：如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

高中数学—立体几何知识点总结(精华版)

立体几何知识点一.根本概念和原理：1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

esp.空间向量法(找平面的法向量)〔规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]〕斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。

a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直，那么这条直线垂直于这个平面。

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

行，那么这条直线和这个平面平行。

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

面，那么这两个平面平行。

行。

8.〔1〕二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二面角的取值范围为[0°，180°]〔2〕二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

高中立体几何常用定理

立体几何中的公理、定理和常用结论一、定理1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α,则l⊂α．2．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．P∈α，P∈α⇒α∩β＝l，且P∈l．3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面．推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．异面直线的判定定理:连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a⊂α，A 错误!α，B∈α，B错误!a,则直线AB和直线a是异面直线．) 5．公理4（空间平行线的传递性）:平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线,那么它也垂直于另一条直线．若b∥c,a⊥b，则a⊥c．8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．若a错误!α，b⊂α，a∥b,则a∥α．9．直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行．若a∥α，a⊂β，α⋂β＝b，则a∥b．10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直．若m⊂α，n⊂α，m⋂n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α．11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α．12．直线与平面垂直的性质定理:若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b．13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行．若a⊂α，b⊂α，a⋂b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β．14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b．15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α,则a⊥β．16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．若l⊥α，l⊂β，则α⊥β．17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β．18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．19．长方体的体积公式：V长方体＝abc，其中a，b，c分别为长方体的长、宽、高．20．祖暅原理：两个等高（夹在两个平行平面之间）的几何体，如果在任何等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．二、常识1．过空间一点，与已知平面垂直的直线有且只有一条．2．过空间一点，与已知直线垂直的平面有且只有一个．3．经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．三、常用结论（可用来解决选择、填空题）1．空间四点A、B、C、D，若直线AB与CD异面，则AC 与BD，AD与BC也一定异面．2．如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内．3．如果过平面内一点的直线垂直于与此平面垂直的一条直线,那么这条直线在此平面内．4．夹在两个平行平面间的平行线段相等．5．经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面与另一条直线平行．6．若直线a同时平行于两个相交平面，则a一定也平行于这两个相交平面的交线．7．如果一条直线垂直于一个三角形的两边，那么它也垂直于第三边．8．如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上．9．如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行．10．平行于同一平面的两个平面平行．11．空间四面体A－BCD中，若有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直，且顶点A在平面BCD内的射影是△BCD 的垂心(类似地，顶点B在平面ACD内的射影是ΔACD的垂心，…）．12．空间四面体P－ABC中,若P A、PB、PC两两垂直，则①点P在平面ABC内的射影是ΔABC的垂心；②△ABC的垂心O也是点P在平面ABC内的射影（PO⊥平面ABC）．13．空间四面体P－ABC中，①若P A＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心．②若三个侧面上的斜高PH1＝PH2＝PH3，则点P在平面ABC 内的射影是△ABC的内心．14．如果两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面的交线垂直于第三个平面．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．。

立体几何的几个定理

点,线,面之间的位置关系
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.
公理3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
空间两条直线的位置关系
公理四:平行于同一条直线的两条直线平行.
定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.
定理:过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不过该点的直线是异面直线.
直线与平面的位置关系
直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行.
直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直与这个平面.
直线与平面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.
平面与平面的位置关系
两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行.
平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的垂线垂直于另一个平面.。

立体几何公理定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号语言:,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂作用: ① 用来验证直线在平面内;② 用来说明平面就是无限延展的。

公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其她公共点,且所有这些公共点的集合就是一条过这个公共点的直线。

(那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线)符号语言:P l P l αβαβ∈⇒=∈I I 且作用:① 用来证明两个平面就是相交关系;② 用来证明多点共线,多线共点。

公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。

符号语言:,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面推论1 经过一条直线与这条直线外的一点,有且只有一个平面。

符号语言:A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面。

符号语言:a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面。

符号语言://a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用:用来证明多点共面,多线共面。

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行公理)。

符号语言://////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭图形语言:作用:用来证明线线平行。

二、平行关系公理4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行公理)。

(1)符号语言://////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭ 图形语言:线面平行的判定定理如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行。

(2)符号语言:////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭ 图形语言:线面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线与交线平行。

(3)符号语言:////a b a a b βαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭I图形语言:面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行、(4)符号语言://(/,///),a b b b O a a ββαααβ⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭I 图形语言: 面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线,那么这两个平面平行。

必修2立体几何(公理、定理)

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

线面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

面面平行判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

面面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

线面垂直判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

面面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

必修2立体几何（公理、定理）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

线面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

面面平行判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

面面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

线面垂直判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

立体几何公理定理总结

立体几何公理定理总结
一．公理
公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.
二．空间位置关系
面面平行：
判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
四．垂直
线线垂直：
平面上的判定如果直线与平面垂直，则该直线与平面内任意
一条直线垂直．
线面垂直：
定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那பைடு நூலகம்就说这条直线和这个平面垂直.
判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
性质：垂直于同一个平面的两条直线平行．
面面垂直：
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．
性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
线线位置关系：平行、相交、异面．定理：空间中如果两个角的两边分别对应
平行，那么这两个角相等或互补. 线面位置关系：线在平面内、线与平面相
交、线与平面平行．面面位置关系：平行、相交．
三．平行
线面平行：
判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．

立体几何定理大全

立体几何公式大全基本概念公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：〔1〕共面：平行、相交〔2〕异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条)2、假设从有无公共点的角度看可分为两类：〔1〕有且仅有一个公共点——相交直线；〔2〕没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°]最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

立体几何公理及定理

立体几何公理及定理一、公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条经过该点的公共直线。

（1）判定两个平面相交的依据（2）判定若干个点在两个相交平面的交线上公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。

推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。

公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行二、定理○1等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等○2三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直○3三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直○4直线与平面垂直的判定定理（1）：如果直线与平面上的两条相交直线都垂直，那么直线与这个平面垂直。

○5直线与平面垂直的判定定理（2）：如果两条平行直线中的其中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。

○6直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

○7直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

○8直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

○9直线与平面平行的性质扩充定理：如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行。

○10面面平行的判定定理: （1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（2）一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行○11面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行○12面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直○13面面垂直的性质定理：两个平面垂直。

立体几何公理、定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，经过两条相交直线，有且只有一个平面。

符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，经过两条平行直线，有且只有一个平面。

符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭图形语言：作用：用来证明线线平行。

二、平行关系平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

（1）符号语言：//// //a ba c c b⎫⇒⎬⎭图形语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

立体几何公理定理

（一）四个公理，三个推论公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

（二）空间两直线的位置关系：1.空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面（以公共点的个数分类)2.按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面3.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角范围为( 0°，90°】两条异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)（三）直线和平面的位置关系：1.直线和平面只有三种位置关系：线在面内、线面相交、线面平行（以公共点的个数分类)①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点③直线与平面平行-——没有公共点2.直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角（最小角定理）。

规定：①直线与平面垂直时，所成的角为直角，②直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角，由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]3.三垂线定理及逆定理:：如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直.直线和平面垂直（常用于证明两条异面直线垂直）4.直线和平面垂直的定义：如果一条直线阿和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

立体几何中的公理、定理和常用结论汇总

立体几何中的公理、定理和常用结论汇总1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．平行与垂直的八大定理（1）．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)因为l∥a，a⊂α，l⊄α，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为l∥α，l⊂β，α∩β＝b，所以l∥b（2）．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b（3）．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b（4）．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α5．(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(4)如果两个平面平行，那么一个平面的任意一条直线与另一个平面平行．6．垂直关系中的三个重要结论(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直．(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直．(3)若果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面中的任意直线垂直．。

立体几何公理定理汇总

立体几何公理定理汇总公理1：对于任意两条不平行的直线，它们在平面上至多有一个交点。

公理2：对于任意一条直线和一点不在该直线上，有且只有一条直线通过该点且与给定直线平行。

公理3：对于任意一条直线，可以在给定直线上任取一点和一个长度，且可以在给定方向上延展。

公理4：对于任意两点之间存在一条线段连接这两个点。

公理5：给定一条线段和一点，可以以该点为中心，线段长度为半径画出一个唯一的圆。

公理6：对于任意两圆上的任意两点，存在且仅存在一条直线通过这两点且与两圆相切。

公理7：对于任意三个不共线的点，存在一条唯一的平面通过这三点。

公理8：对于任意一个平面，存在一个不在该平面上的点，且通过此点的直线与平面的交点至少有两个。

定理1：平行公理的逆定理，若两条直线与第三条直线相交，在同一边的内角和小于两个直角（180度）。

定理2：对于一个未与其他直线平行的直线，若有直线通过它的两点，则直线与此未与其他直线平行的直线相交。

定理3：直线截断定理，若两个交叉相连的线段的两头均与另一直线相交，则两个线段之和大于第三个线段。

定理4：三角形内角和定理，三角形三个内角的和等于一个平角（180度）。

定理5：直角三角形的勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于其他两边的平方和。

定理6：正方体对角线的长度等于边长的根号2倍。

定理7：四面体的四个顶点可成一个平面，要求四个面都内含立体。

定理8：正交面定理，两个平面垂直相交的充要条件是它们的法向量互相垂直。

定理9：平行四边形的对角线互相平分。

定理10：球的内切四面体体积公式为：V=(a^3√2)/12，其中a为四面体边长。

这些公理和定理是立体几何学中经常用到的基本准则，通过运用这些准则可以推导出更多的立体几何定理和性质。

在实际应用中，这些定理和公理可以帮助我们解决立体几何问题，从而更好地理解和分析三维空间中的形状和结构。