第四篇 三角函数、解三角形第3讲 三角函数的图象与性质

第3讲 三角函数的图象与性质1．考查三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用．2．考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用． 【复习指导】1．掌握正弦，余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象．通过三角函数的图象研究其性质．2．注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用．基础梳理1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域R R{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k∈Z ) 对称中心： (k π，0)(k ∈Z )对称轴：x ＝k π(k ∈Z ) 对称中心： ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0)(k ∈Z 无对称轴 对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k∈Z ) 周期2π 2ππ单调性单调增区间 ⎣⎢⎡2k π－π2，2k π＋⎦⎥⎤π2(k ∈Z )； 单调减区间⎣⎢⎡2k π＋π2，2k π＋⎦⎥⎤3π2(k ∈Z )单调增区间[2k π－π，2k π](k ∈Z )；单调减区间[2k π，2k π＋π](k ∈Z )单调增区间⎝ ⎛k π－π2，k π＋⎭⎪⎫π2(k ∈Z )奇偶性奇偶 奇两条性质 (1)周期性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. (2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式． 三种方法求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 答案 C2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域为( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π－π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π－π4，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋π4，k ∈Z答案 A3．(2011·全国新课标)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )． A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增解析 f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，由最小正周期为π得ω＝2，又由f (－x ) ＝f (x )可知f (x )为偶函数，因此φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，又|φ|＜π2可得φ＝π4，所以f (x )＝2cos 2x ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减．答案 A4．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )．A ．(－π，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 解析 ∵y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，∴令x －π4＝k π(k ∈Z )，x ＝k π＋π4(k ∈Z )，由k ＝－1，x ＝－34π得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0.答案 B5．(2011·合肥三模)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为________．解析 T ＝2π2＝π. 答案 π考向一 三角函数的定义域与值域【例1】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．[审题视点] (1)由题干知对数的真数大于0，被开方数大于等于零，再利用单位圆或图象求x 的范围．(2)将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决． 解 (1)依题意⎩⎨⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3≤x ＜－π2，或0＜x ＜π2.(2)设sin x ＝t ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.∴y ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22，故当t ＝12，即x ＝π6时，y max ＝54， 当t ＝－22，即x ＝－π4时，y min ＝1－22.(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【训练1】 (1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域．(2)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的最大值与最小值．解 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .(2)由题意得：f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.故当x ＝π3时，f (x )取最大值1； 当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32.考向二 三角函数的奇偶性与周期性【例2】►(2011·大同模拟)函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数[审题视点] 先化简为一个角的三角函数，再确定周期和奇偶性． 解析 y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 为奇函数，T ＝2π2＝π.答案 A求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．【训练2】 已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是________．解析 由f (x )＝(sin x －cos x )sin x ＝sin 2x －sin x cos x ＝1－cos 2x 2－12sin 2x ＝－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12. ∴最小正周期为π. 答案 π考向三 三角函数的单调性【例3】►已知f (x )＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．[审题视点] 化为形如f (x )＝A sin(x ＋φ)的形式，再求单调区间．解 f (x )＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得：－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z ， 又x ∈[0，π]，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数． 【训练3】 函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为______．解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得：k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )考向四 三角函数的对称性【例4】►(1)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是( )．A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12(2)若0＜α＜π2，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋α是偶函数，则α的值为________．[审题视点] (1)对y ＝cos x 的对称轴为x ＝k π，把“ωx ＋φ”看作一个整体，即可求．(2)利用π4＋α＝k π＋π2(k ∈Z )，求解限制范围内的α. 解析 (1)令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π6(k ∈Z )，令k ＝0得该函数的一条对称轴为x ＝－π6.本题也可用代入验证法来解．(2)要使g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋α为偶函数，则须π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z ，α＝k π＋π4，k ∈Z ，∵0＜α＜π2，∴α＝π4. 答案 (1)A (2)π4正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．【训练4】 (1)函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫||φ＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.(2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________. 解析 (1)由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )， 即3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )， 得φ＝k π＋π4(k ∈Z )， 又|φ|＜π2，∴k ＝0，故φ＝π4.(2)由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数， ∴φ＝k π＋π2，k ∈Z .答案 (1)π4 (2)k π＋π2，k ∈Z难点突破9——利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析． 一、根据三角函数的单调性求解参数【示例】► (2011·镇江三校模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )，则ω的值为________．二、根据三角函数的奇偶性求解参数【示例】► (2011·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )． A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3▲根据三角函数的周期性求解参数(教师备选)【示例】► (2011·合肥模拟)若函数y ＝sin ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2(ω＞0)的最小正周期为π7，则ω＝________.▲根据三角函数的最值求参数(教师备选)【示例】► (2011·洛阳模拟)若函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π3处有最小值－2，则常数a 、b 的值是( )． A ．a ＝－1，b ＝ 3 B ．a ＝1，b ＝－ 3 C ．a ＝3，b ＝－1D ．a ＝－3，b ＝1。