线代12答案 线性代数试题库
线性代数试题及详细答案
线性代数试题及详细答案线性代数试题及详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A(A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
(2021年整理)线性代数习题集(带答案)
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第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).（A ） 24315 （B) 14325 （C ） 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ )。
(A)k （B ）k n - (C)k n -2! （D ）k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有（ ）项。
（A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000（ ).（A ） 0 （B)1- （C) 1 (D) 25. =0001100000100100（ )。
（A) 0 (B ）1- （C) 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ）.(A ） 0 (B ）1- （C) 1 （D ） 27. 若21 333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ )。
（A) 4 （B) 4- （C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a （ ）.（A ）ka (B ）ka - （C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-， 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-， 则=x ( )。
线代参考答案(完整版)
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
线性代数练习题(有答案)
《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解：D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。
线代近年考试题及答案doc
山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案（内部资料）2008年1月06-07-1《线性代数》试题A一、选择题（每小题4分，共20分）1．设四阶矩阵()234,,,A αγγγ=，()234,,,B βγγγ=，其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量，且已知行列式4=A ，1=B ，则行列式=+B A （ ）（A ） 5； （B ） 4； （C ） 50； （D ） 40。
2．设A 为3×3矩阵，B 为4×4矩阵，且1=A ，2-=B ，则=A B （ ）。
（A ） 2-； （B ） 4-； （C ） 8-； （D ） 1。
3．设A 是n 阶方阵，且n r R <=)(A ，则在A 的n 个行向量中（ ）.（A ）必有r 个行向量线性无关 （B ）任意r 个行向量线性无关（C ）任意r 个行向量都构成极大线性无关组（D ）任意一个行向量都可以由其余1-r 个行向量线性表示4． 若齐次方程组0=AX 有无穷多解，则非齐次方程组B AX = ( )()A 必有无穷多解； ()B 可能有唯一解()C 必无解； ()D 有解时必有无穷多组解.5．设三阶方阵A 的三个特征值为λ10=, λ23=, λ36=-，对应于1λ的特征向量为 ()Tx 1011-=,,，对应2λ的特征向量为()Tx 1122,,=，记向量213x x x +=，则( ).()A 3x 是对应于特征值λ10=的特征向量. ()B 3x 是对应于特征值λ23= 的特征向量. ()C 3x 是对应于特征值λ36=-的特征向量. ()D 3x 不是A 的特征向量.二、填空题（每小题4分，共20分）1．设n 维向量组)(,,,,n s s s <+121αααα 线性无关， 则向量组s ααα,,, 21 的秩为 .2． 已知矩阵A 与2035B ⎛⎫=⎪-⎝⎭相似，则矩阵A 的特征值为 。
3．行列式dc b a D 000321200503== . 4．设()T9753,,,=α，()T0251,,,-=β，向量γ满足βγα523=-，则=γ .5．设A 为n 阶方阵，且2=A ，则=*AA . 三、(8分) 计算1+n 阶行列式xxx x x a a a a D n n0000002101--=+四、(8分) 求解下面矩阵方程中的矩阵X⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X 五、（8分）设向量组321ααα,,线性相关，向量组432ααα,,线性无关，证明(1) 1α能由32αα,线性表示；(2)4α不能由321ααα,,线性表示.六、（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ，问λ取何值时，此方程组有惟一解，无解或无穷多解？并且有无穷多解时，求通解。
(完整)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。
（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）。
(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。
(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。
(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。
若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ ）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。
若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。
12线性代数试题参考答案
2000级线性代数试卷一、判断题（每小题2分，共14分）1．设方阵A 满足AA=A ，则必有A=O 或A=E2．设A ，B 是不可逆的同阶方阵，则B A =3．向量组)1,3(),5,1(),6,2(321===TT T ααα是线性相关的向量组4．齐次线性方程组0=AX 若有两个不同的解，它就有无穷多个解 5．方阵A 可逆的充分必要条件是A 的特征值不全为零 6．对称矩阵A 正定的充分必要条件是0>A7．若方阵A 与B 相似，则m A 与m B 也相似，其中m 为正整数. 二、填空题（每小题2分，共24分）1．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=003020100A ，则_____=A ；_____1=-A 2．0≠A ，且AB=C ，则____=B ；又若C=O ，则____=B 3．齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A 有非零解的充分必要条件是_______4．若方阵A 满足E A A T =，则称A 为_______；此时______=A 5．若P A P B n n n n ⨯-⨯=1，B 的特征值是1，2，3，则A 的特征值是_______6．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a A 10100001与设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ100010001相似，则其中______=a ；对称阵A 的二次型________),,(321=x x x f ；它经过正交变换X=PY 化为标准型是_______；二次型_______（是，不是）正定的三、设向量组)3,1,1,1(),1,,1,1(),1,1,3,1(),1,1,1,1(4321=-=-=-=TT T T k αααα，对参数k 的所有值求出向量组的秩及一个最大无关组（12分）四、已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛654321101110111A ，求矩阵A （10分）五、a ，b 取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++bx ax x x x x x x x 32132132132234123有唯一解，无解，有无穷多个解；并在有无穷多个解时求其通解（14分）六、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011101110A ， 1.求正交阵P,使得Λ=-AP P 1为对角阵;2.设32)(23++=x x x f ,利用A 与Λ相似,求出矩阵E A A A f 32)(23++=;3. 求矩阵E A A A f 32)(23++=的特征值 （共16分） 七、证明题（10分）1．设向量组321,,ααα线性无关，且3233212211,2,44ααβαααβααβ-=+-=-=，证明：321,,βββ线性相关2．若A ，B 均为n 阶方矩，且A 可逆，证明：BA 与AB 相似2001级线性代数试题一、判断题(判断下列各命题是否正确，每小题3分, 共12分)1、 设*A 为n 阶方阵()2≥n A 的伴随矩阵，若A 为满秩方阵，则*A 也是满秩方阵.2、n 阶矩阵A 可逆的充要条件是：当X ≠0时,AX ≠0,其中.),,,(21T n x x x X =3、 已知向量组αα1,, m 的秩为r (r <m ),则该向量组中任意r 个向量线性无关.4、 设A 、B 为n 阶方阵，若A 、B 等价，则A 、B 相似.二、填空(将正确答案填在题中横线上，每空4分, 共24分) 1、 设A 、B 为n 阶方阵，若≠A 且AB =0, 则____=B.2、 设,100010011⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=AB 且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121112301B ,则=-1A ______. 3、 设向量组ααα123,,线性相关，而向量组ααα234,,线性无关，则向量组ααα123,,的最大线性无关组是______. 4、设A 为5阶方阵，且3-=A ，则=-1A；=*A；=A25、设A 、B 为n 阶可逆方阵，且满足B A AB 2+=，则B 可用A 表示为B =6、 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=-+)4)(3()2)(1(22)3(42332321λλλλλx x x x x x 有唯一解,则___λ.7、 设四元非齐次线性方程组AX =b 的系数矩阵秩为2,已知ηηηη1234,,,为它的四个解向量,且T T T )1,1,0,1(,)4,3,2,1(,)1,0,1,1(4211==+=ηηηη,则其通解为___.三、求向量组),7,4,1,0,0(),4,3,0,1,0(),5,2,0,0,1(321===ααα )12,11,4,3,2(4-=α的最大线性无关组（10分）. 四、当k取何值时,方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++156453423321321321x x x k x x x x x x 有无穷多解,并求出此时的一般解（15分）.五、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300021012A ，求正交矩阵P ，使AP P T 为对角阵，并写出对角阵(15分). 六、写出二次型f x x x x x x x x x (,,)12312221223244=+--在正交变换下所化成的标准形,并指出f 是否为正定的(8分).七、若A B ,都是n 阶可逆矩阵,证明:AB 也是n 阶可逆矩阵,且111)(---=A B AB(7分).八、设A 是n 阶方阵,E AA T =，且1-=A ，求EA + (6分).2002级线性代数试题一、 填空题（每小题3分，共36分）1． 行列式24013002201001的值是_______2． 设A 是5阶方阵，且1=A ，则______2=-A3． 设A 是p ⨯5阶矩阵，B 是m ⨯4阶矩阵，AB 是7⨯q 阶矩阵，则p ，q ，m的值分别是__________,_____, 4．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，则A 的伴随矩阵是_______5． 若向量组)1,0,0(),0,2,1(),0,1,1(2321+==+=t t T T T ααα线性相关，则实数t=_______6． 设A 是3阶实对称矩阵，21,ββ是属于A 的不同特征值的特征向量，则3阶方阵)3,,(221βββ=B 的秩_____)(=B R ，_____21=ββT7． 实对称矩阵tA 222002=正定，则t 的取值范围是_______ 8． 若n 阶方阵A 满足E A A =-2则_____)(1=--E A9． 设A ，B ，C 都是3阶可逆矩阵，2,1=-=B A ，则_____)(22!!=--C B A C T10． 设0=AX 为n 元齐次线性方程组，n r A R <=)(，则方程组有_______个解向量线性无关11． 向量组)7,6,5,4(),6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(4321====TT T T αααα 的秩是_______12． 设⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++00041321432x x x x x x x x ，则它的一个基础解系是_______二、 计算行列式43214321432143211111a a a a a a a a a a a a a a a a D ++++=（6分）三、 设X A AX 3=-，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=401132111A ，求矩阵X （10分） 四、 设向量组)6,5,1,2(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(4321===-=T T T T αααα求向量组的秩及一个最大无关组，并将其余向量由该最大无关组线性表示（10分）五、 λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解，无解，有无穷多个解；并在有无穷多个解时求其通解（14分）六、 用正交变换法化二次型为标准形，并写出正交变换（14分）322322212334x x x x x f +++=七、 证明题（10分）1．若向量组321,,ααα线性无关，证明322113,2,ααααα++也线性无关 2． 设A 为n 阶方阵，若有正整数k ，使0=k A ，则A 称为幂零矩阵，证明幂零矩阵的特征值只能是零2003级线性代数试题一．填空题（每空2分,共16分）1) 设A 为33⨯矩阵, B 为44⨯矩阵, 且2,1-==B A , 则=A B . 2) 设A 为3阶方阵且2=A ,则=-12A . =*A .3) 已知 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=252321100001A , 则=-1A . 4) 设s ηηη,,,21 是方程b AX =的解, 若s s k k k ηηη+++ 2211也是b AX =的解, 则=+++s k k k 21 .5) 三阶矩阵A 的三个特征值为1,2,3, 则=A ,1-A 的特征值为 . 6) 二次型222465),,(z y x z y x f ++=是正定还是负定: .二.单项选择题（每小题2分,共16分）.1) 设B A ,是)2(≥n n 阶方阵, 则必有( ). (a) B A B A +=+; (b) A B B A =; (c) BA AB =; (d) A B B A -=-. 2) 设A 是n 阶方阵, 则0=A 的必要条件是( ). (a) 两行(列)元素对应成比例;(b) 必有一行为其余行的线性组合; (c) A 中有一行元素全为零;(d) 任一行为其余行的线性组合.3) 设B A ,是n 阶方阵, 0≠A 且0=AB , 则( ). (a) 0=B 或0=A ; (b) 0=B ;(c) 0=BA ; (d) 222)(B A B A +=+. 4) 设A 为n 阶可逆矩阵, 则( ). (a) 若CB AB =, 则C A =; (b) 对矩阵()E A施行若干次初等变换, 当A 变为E 时, 相应地E 变为1-A;(c) A 总可以经过初等变换化为单位矩阵E ; (d) 以上都不对.5) 设s ααα,,,21 是一组n 维向量, 则下列正确的是( ). (a) 若s ααα,,,21 不线性相关, 就一定线性无关; (b)如果存在s个不全为零的数sk k k ,,,21 使02211=+++s s k k k ααα ,则sααα,,,21 线性无关;(c) 若向量组s ααα,,,21 线性相关, 则1α可由s αα,,2线性表示;(d) 向量组s ααα,,,21 线性无关的充要条件是1α不能由其余1-s 个向量线性表示.6) 矩阵A ( )时可能改变其秩.(a) 转置; (b) 初等变换;(c) 乘以奇异矩阵; (d) 乘以非奇异矩阵.7) 设A 为可逆矩阵,0≠k , 则下述结论不正确的是( ). (a) ()()TT A A 11--=; (b) ()A A =--11;(c) ()11--=kA kA ; (d) ()111---=A k kA . 8) 若方阵A 与B 相似, 则有( ). (a) E B E A λλ-=-; (b) B A =;(c)对于相同的特征值λ,矩阵A 与B 有相同的特征向量; (d) A 与B 均与同一个对角矩阵相似.三.(8分) 计算.2111121111211112=D四.(12分) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3512B , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=130231C , 求矩阵X 使满足C AXB =.五.(12分) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=979634121121112A , 求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组, 并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.六.(15分). λ取何值时, 非齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=++.,,1321321321λλλλλx x x x x x x x x (1) 有唯一解; (2) 无解; (3) 有无穷多个解, 并求解.七.(15分)求一个正交变换PY X =,将二次型232231212642x x x x x f +++=化为标准形(要求：写出正交变换和标准形).八.(6分) 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的一个特征值, 证明A 的伴随矩阵*A 的特征值之一是A 1-λ.。
线性代数试题(精选版)
线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（）A.η1+η2是Ax=0の一个解B.12η1+12η2是Ax=bの一个解C.η1-η2是Ax=0の一个解D.2η1-η2是Ax=bの一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确の是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是Aの属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是Aの特征值C.Aの2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是Aの3个互不相同の特征值，α1，α2，α3依次是Aの属于λ1，λ2，λ3の特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵Aの特征方程の3重根，Aの属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误の是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.Aの行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同の特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵の为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确の答案写在每小题の空格内。
2012年1月线性代数（经管类）真题及答案
C ．b -a 是Ax =b 的解的解D ．a -b 是Ax =0的解的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（的特征值为（） A ．12,4,3B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,3 9．设矩阵A =121éùêúêúêú-ëû，则与矩阵A 相似的矩阵是（相似的矩阵是（ ）A ．11123-éùêú-êúêúëûB ．01102éùêúêúêúëû C ．211-éùêúêúêúëûD ．121éùêú-êúêúëû10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
11．设det (A )=-1，det (B )=2，且A ，B 为同阶方阵，则det ((AB )3)=__________． 12．设3阶矩阵A =12243311t -éùêúêúêú-ëû，B 为3阶非零矩阵，且AB =0，则t =__________．13．设方阵A 满足A k=E ，这里k 为正整数，则矩阵A 的逆A -1=__________． 14．实向量空间R n 的维数是__________．15．设A 是m ×n 矩阵，r (A )=r ,则Ax =0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax =b 有解的充分必要条件是__________．17．设a 是齐次线性方程组Ax =0的解，而b 是非齐次线性方程组Ax =b 的解，则(32)+A a b =__________． 18．设方阵A 有一个特征值为8，则det （-8E +A ）=__________．19．设P 为n 阶正交矩阵，x 是n 维单位长的列向量，则||Px ||=__________．20．二次型222123123121323(,,)56422f x x x x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数是__________． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式1112114124611242-----．22．设矩阵A =235éùêúêúêúëû，且矩阵B 满足ABA -1=4A -1+BA -1，求矩阵B ．23．设向量组1234(3,1,2,0),(0,7,1,3),(1,2,0,1),(6,9,4,3),===-=a a a a 求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来．极大线性无关组表示出来．24．设三阶矩阵A =143253242-éùêú-êúêú--ëû，求矩阵A 的特征值和特征向量．的特征值和特征向量．25．求下列齐次线性方程组的通解．．求下列齐次线性方程组的通解．13412412345023020x x x x x x x x x x +-=ìï+-=íï+-+=î26．求矩阵A =22420306110300111210--éùêú-êúêúêú-ëû的秩．的秩．四、证明题（本大题共1小题，6分）27．设三阶矩阵A =111213212223313233a a a a a a a a a éùêúêúëû的行列式不等于0，证明：，证明：131112121222323313233,,a a a a a a a a a æöæöæöç÷ç÷ç÷===ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøa a a 线性无关．全国2012年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题参考答案一、选择题一、选择题1~5 DADDA 6~10 BBABA 二、填空题二、填空题11~15 8 -3 1k A - n n-r 16~20 r(A,b)=r(A) 2b 0 1 3 三、计算题三、计算题21解：11121112111211121141005301500150143115724610243024300143531242155353----------==-=-=-´=----------22解：111444()4A B A A B A A B E B A B B E A E B E ---=+Þ=+Þ-=Þ-=()100400100400((),4)020040010020,0044011A E E E B æöæöç÷ç÷-=®=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø40002001B æöç÷Þ=ç÷ç÷èø23解：()1234TTTTTA a a a a = 3016172917291729172930160217210313210421040134140134140313031303130313-æöæöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷----ç÷ç÷ç÷ç÷=®®®ç÷ç÷ç÷ç÷------ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø172917291729102510010313010210210210201020313001300130013000000000000000-æöæöæöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷®®®®®ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷-----ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèø所以可得一个极大线性无关组为123,,a a a 并且412323a a a a =+-24解：①求特征值解：①求特征值221431432532532420111431314(1)253(1)()232511(1)()(1)0E A l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l +--+---=--=---+--+--+-+-=---=--+--=--=-=11210112100304103041000400001001000--æöæöç÷ç÷--ç÷ç÷®®ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø所以矩阵Ａ的秩r(A)=3 四 证明题证明题证明：令1122330x x x a a a ++=即131112121222323313233000a a a x a x a x a a a a æöæöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷++=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø再整理得：再整理得：111122133211222233311322333000a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++=ìï++=íï++=î 因为此线性方程组的系数行列式不等于0，所以此方程组只有零解即1230x x x ===所以131112121222323313233,,a a a a a a a a a æöæöæöç÷ç÷ç÷===ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøa a a 线性无关。
线性代数题库及答案
《线性代数》题库及答案(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《线性代数》题库及答案一、选择题1．如果D=333231232221131211a a a a a a a a a ，则行列式33323123222113121196364232a a a a a a a a a 的值应为： A ． 6D B ．12D C ．24D D ．36D 2．设A 为n 阶方阵，R （A ）=r<n,那么：A ．A 的解不可逆B ．0=A中所有r 阶子式全不为零 D. A 中没有不等于零的r 阶子式 3．设n 阶方阵A 与B 相似，那么：A ．存在可逆矩阵P ，使B AP P =-1 B ．存在对角阵D ，使A 与B 都相似于DC ．E B E A λλ-=-D ．B A ≠4．如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则131211332332223121333231323232a a a a a a a a a a a a ---等于A ． 6B ． -9C ．-3D ．-6 5．设矩阵n m ij a A ⨯=)(，m<n,且R （A ）=r,那么：A ．r<mB ．r<nC ．A 中r 阶子式不为零D ．A 的标准型为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0E ，其中E 为r 阶单位阵。
6．A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是：A ．nA1-λ B ．A λ C ．A 1-λ D ．nA λ7．如果⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=++050403z y kx z y z ky x 有非零解，则k 应为：____________。
A ． k =0B ． k =1C ． k =2D ． k =-28．设A 是n 阶方阵，3≥n 且2)(-=n A R ，*A 是A 的伴随阵，那么：___________。
线性代数考试题库及答案(一)
线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。
项。
4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。
9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。
(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。
2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。
改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
线性代数习题参考答案
线性代数习题参考答案(总96页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章行列式§1 行列式的概念1．填空(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。
(2) i = ，j = 时，排列1274i56j9为偶排列。
(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。
若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。
(4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a的项的符号为，含324314516625a a a a a a的项的符号为。
2．用行列式的定义计算下列行列式的值(1)112223323300 0aa aa a解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。
(2)12,121,21,11, 12,100000nn nn n n n n n n n n nnaa aa a aa a a a------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。
3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。
对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n2n 。
4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么 5．n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少（提示：利用3题的结果） 6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）21141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。
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《线性代数》复习一：选择题1. 如果111213212223313233a a a a a a a a a = M ，则111213212223313233222222222a a a a a a a a a = （ ）A. 8MB. 2 MC. MD. 6 M2. 若A ，B 都是方阵，且|A |=2，|B |=-1，则|A -1B|=（ ）A. -2B.2C. 1/2D. –1/2 3. 已知可逆方阵13712A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 则A =（ ）A. 2713-⎛⎫ ⎪-⎝⎭B. 2713⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭D. 3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭4. 如果n 阶方阵A 的行列式|A | =0, 则下列正确的是（ ）A. A =OB. r (A )> 0C. r (A )< nD. r (A ) =05. 设A , B 均为n 阶矩阵, A ≠O , 且AB = O , 则下列结论必成立的是（ ）A. BA = OB. B = OC. (A +B )(A -B )=A 2-B 2D. (A -B )2=A 2-BA +B 2 6. 下列各向量组线性相关的是（ ）A. α1=(1, 0, 0), α2=(0, 1, 0), α3=(0, 0, 1)B. α1=(1, 2, 3), α2=(4, 5, 6), α3=(2, 1, 0)C. α1=(1, 2, 3), α2=(2, 4, 5)D. α1=(1, 2, 2), α2=(2, 1, 2), α3=(2, 2, 1)7. 设AX =b 是一非齐次线性方程组, η1, η2是其任意2个解, 则下列结论错误 的是（ ）A. η1+η2是AX =O 的一个解B. 121122ηη+是AX =b 的一个解C. η1-η2是AX =O 的一个解D. 2η1-η2是AX =b 的一个解8. 设A 为3阶方阵, A 的特征值为1, 2, 3,则3A 的特征值为（ ）A. 1/6, 1/3, 1/2B. 3, 6, 9C. 1, 2, 3D. 1, 1/2, 1/3 9. 设A 是n 阶方阵, 且|A |=2, A *是A 的伴随矩阵, 则|A *|=（ ）A. 21B. 2nC. 121-nD. 2n -110. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100321z x y 正定, 则x , y , z 的关系为（ ）A. x +y =zB. xy =zC. z >xyD. z >x +y参考答案:1.A 2.D 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. B 9. D 10. C1. 设2301λλ=-，则λ取值为（ ）A. λ=0或λ=-1/3B. λ=3C. λ≠0且λ≠-3D. λ≠0 2. 若A 是3阶方阵，且|A |=2，*A 是A 的伴随矩阵，则|A *A |=（ ） A. -8 B.2 C.8 D. 1/2 3. 在下列矩阵中, 可逆的是（ ）A. 000010001⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B. 110220001⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C. 110011121⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 100111101⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-2A +3E =O , 则A -1=（ ） A. E B. 1(2)3-E A C. 23-A E D. A 5. 设A 1111a a a aa a a a a a a a⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=, 若r (A )=1, 则a =（ ） A.1 B.3 C.2 D.46. 若齐次线性方程组1231231230,0,0x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解, 则常数λ= （ ）A.1B.4C. -2D. -17. 设A , B 均为n 阶矩阵, 则下列结论正确的是（ ）A. BA = ABB. (A -B )2=A 2-BA - AB +B 2C. (A +B )(A -B )=A 2-B 2D. (A -B )2=A 2-2 AB +B 28. 已知α1=(1, 0, 0), α2=(-2, 0, 0), α3=(0, 0, 3), 则下列向量中可以由α1, α2, α3线性表示的是（ ）A. (1, 2, 3)B. (1, -2, 0)C. (0, 2, 3)D. (3, 0, 5) 9. n 阶方阵A 可对角化的充分条件是（ ）A. A 有n 个不同的特征值B. A 的不同特征值的个数小于nC. A 有n 个不同的特征向量D. A 有n 个线性相关的特征向量10. 设二次型的标准形为2221233f y y y =-+，则二次型的正惯性指标为（ ）A.2B.-1C.1D.3参考答案: 1.A 2. C 3. D 4. B 5. A 6. A 7. B 8. D 9. A 10. A1. 设A 是4阶方阵，且|A |=2，则|-2A |=（ ）A. 16B. -4C. -32D. 322. 行列式34657128k 中元素k 的余子式和代数余子式值分别为（ ）A. 20，-20B. 20，20C. -20，20D. -20，-20 3. 已知可逆方阵2713⎛⎫⎪⎝⎭=A , 则1-A =（ ） A. 2713-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ B. 2713⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D. 3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭4. 如果n 阶方阵A 的行列式|A | =0, 则下列正确的是（ ）A. A =OB. r (A )> 0C. r (A )< nD. r (A ) =0 5. 设A , B 均为n 阶矩阵, 则下列结论中正确的是（ ）A. (A +B )(A -B )=A 2-B 2B. (AB )k =A k B kC. |k AB |=k |A |⋅|B |D. |(AB )k |=|A |k ⋅|B |k 6. 设矩阵A n ⨯n 的秩r (A )=n , 则非齐次线性方程组AX =b （ ）A. 无解B. 可能有解C. 有唯一解D. 有无穷多个解 7. 设A 为n 阶方阵, A 的秩 r (A )=r <n , 那么在A 的n 个列向量中（ ） A. 必有r 个列向量线性无关 B. 任意r 个列向量线性无关C. 任意r 个列向量都构成最大线性无关组D. 任何一个列向量都可以由其它r 个列向量线性表出 8. 已知矩阵44⨯A 的四个特征值为4，2，3，1，则A =（ ）A.2B.3C.4D.24 9. n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是（ ）A. A 有n 个不同的特征值B. A 为实对称矩阵C. A 有n 个不同的特征向量D. A 有n 个线性无关的特征向量 10. n 阶对称矩阵A 为正定矩阵的充要条件是（ ） A. A 的秩为n B. |A |>0C. A 的特征值都不等于零D. A 的特征值都大于零参考答案: 1.D 2. A 3. D 4. C 5. D 6. C 7. A 8. D 9. D 10. D1. 行列式3462578y x 中元素y 的余子式和代数余子式值分别为（ ）A. 2，-2B. –2，2C. 2，2D. -2，-2 2. 设A , B 均为n (n ≥2)阶方阵, 则下列成立是（ ） A. |A +B |=|A |+|B | B. AB =BAC. |AB |=|BA |D. (A +B )-1=B -1+A -1 3. 设n 阶矩阵A 满足A 2-2A = E , 则(A -2E )-1=（ ）A. AB. 2 AC. A +2ED. A -2E4. 矩阵111122223333⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭A 的秩为（ ）A.1B.3C.2D.45. 设n 元齐次线性方程组AX =O 的系数矩阵A 的秩为r , 则方程组AX =0的基 础解系中向量个数为（ ）A. rB. n - rC. nD. 不确定 6. 若线性方程组⎩⎨⎧=+-=+-212321321x x x x x x λ无解, 则λ 等于（ ）A.2B.1C.0D. -17.n 阶实方阵A 的n 个行向量构成一组标准正交向量组，则A 是（ ） A.对称矩阵 B.正交矩阵 C.反对称矩阵 D.|A |=n8. n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充要条件是（ ）A. A 的秩小于nB. A 的特征值至少有一个等于零C. A 的特征值都等于零D. A 的特征值都不等于零9. 设η1, η2是非齐次线性方程组Ax =b 的任意2个解, 则下列结论错误的是（ ） A. η1+η2是Ax =0的一个解 B.121122+ηη是Ax =b 的一个解 C. η1-η2是Ax =0的一个解 D. 2η1-η2是Ax =b 的一个解10. 设二次型的标准形为2221233f y y y =-+，则二次型的秩为（ ）A.2B.-1C.1D.3参考答案: 1. D 2. C 3. A 4. A 5. B 6. A 7.B 8. D 9.A 10. D1. 设000101a b b a =-=D ，则a ，b 取值为（ ）A. a =0，b ≠0B. a =b =0C. a ≠0，b =0D. a ≠0，b ≠0 2. 若A 、B 为n 阶方阵, 且AB = O , 则下列正确的是（ ） A. BA =O B. |B |=0或|A |=0 C. B = O 或A = O D. (A -B )2=A 2+B 2 3. 设A 是3阶方阵，且|A |=-2，则|A -1|等于（ ）A. -2B. 12-C.2D. 124. 设矩阵A , B , C 满足AB =AC , 则B =C 成立的一个充分条件是（ ）A. A 为方阵B. A 为非零矩阵C. A 为可逆方阵D. A 为对角阵 5. 如果n 阶方阵A ≠O 且行列式|A | =0, 则下列正确的是（ ）A. 0<r (A ) < nB. 0≤r (A )≤ nC. r (A )= nD. r (A ) =0 6. 若方程组123232378902020x x x x x x bx ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩存在非零解, 则常数b =（ ）A.2B.4C.-2D.-47. 设A 为n 阶方阵, 且|A |=0, 则（ ） A. A 中必有两行(列)的元素对应成比例B. A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合C. A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合D. A 中至少有一行(列)的元素全为零8. 设A 为3阶方阵, A 的特征值为1, 2, 3,则3A 的特征值为（ ）A. 1/6, 1/3, 1/2B. 3, 6, 9C. 1, 2, 3D. 1, 1/2, 1/3 9. 如果3阶矩阵A 的特征值为-1,1,2，则下列命题正确的是（ ） A. A 不能对角化 B. 0=AC. A 的特征向量线性相关D. A 可对角化10. 设二次型的标准形为2221233f y y y =--，则二次型的正惯性指标为（ ）A.2B.-1C.1D.3参考答案: 1. B 2. B 3. B 4. C 5. A 6. D 7. C 8. B 9. D 10. C1. 如果111213212223313233a a a a a a a a a =M ，则111112132121222331313233444a a a a a a a a a a a a ---=（ ） A. -4M B. 0 C. -2 M D. M2. 设A ij 是n 阶行列式D =|a ij |中元素a ij 的代数余子式, 则下列各式中正确的是（ ） A.10nij ij i a A ==∑B.10n ij ij j a A ==∑ C. 1nij ij j a A D ==∑D.121ni i i a A D ==∑3. 已知100010301⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，200221333⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，则|AB |=（ ）A.18B.12C.6D.364. 方阵A 可逆的充要条件是（ ）A. A ≠OB. |A |≠0C. A *≠OD. |A |=1 5. 若A 、B 为n 阶方阵, A 为可逆矩阵, 且AB = O , 则（ ）A. B ≠ O , 但r (B )<nB. B ≠ O , 但r (A )<n , r (B )<nC. B = OD. B ≠ O , 但r (A )=n , r (B )<n 6. 设β1, β2是非齐次线性方程组AX =b 的两个解, 则下列向量中仍为方程组 解的是（ ）A. β1+β2B. β1-β2C. 121(2)2+ββD. 12325+ββ7. n 维向量组α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs 线性无关, β为一n 维向量, 则（ ）A. α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs , β线性相关B. β一定能被α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs 线性表出C. β一定不能被α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs 线性表出D. 当s =n 时, β一定能被α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs 线性表出 8. 设A 为三阶矩阵, A 的特征值为-2, 1, 2, 则A -2E 的特征值为（ ） A. -2, 1, 2 B. -4, -1, 0 C. 1, 2, 4 D. 4, 1, -4 9.若向量α=（1，-2，1）与β=（2， 3，t ）正交，则t =（ ）A.-2B.0C.2D.410. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100321z x y 正定, 则x , y , z 的关系为（ ） A. x +y =z B. xy =z C. z >xy D. z >x +y参考答案: 1.A 2.C 3. C 4. B 5. C 6. D 7. D 8. B 9.D 10. C1.行列式3462578y x中元素x的余子式和代数余子式值分别为（）A.–9，-9B.–9，9C. 9，-9D. 9，92.1111234533334344=（）A.2B.4C.0D.13.设A为4阶矩阵, |A|=3,则其伴随矩阵A*的行列式|A*|=（）A.3B.81C.27D.94.设A,B均为n阶可逆矩阵,则下列各式中不正确的是（）A. (A+B)T=A T+B TB. (A+B)-1=A-1+B-1C. (AB)-1=B-1A-1D. (AB)T=B T A T5.设n阶矩阵A满足A2+A+E=O,则(A+E)-1=（）A.AB. -(A+E)C.–AD. -(A2+A )6.设n阶方阵A,B,则下列不正确的是（）A. r(AB)≤r(A)B. r(AB)≤r(B)C. r(AB)≤min{ r(A)，r(B)}D. r(AB)>r(A)7.已知方程组AX=b对应的齐次方程组为AX=O，则下列命题正确的是（）A.若AX=O只有零解,则AX=b有无穷多个解B.若AX=O有非零解,则AX=b一定有无穷多个解C.若AX=b有无穷解,则AX=O一定有非零解D.若AX=b有无穷解,则AX=O一定只有零解8.已知矩阵10102010x⎛⎫⎪=⎪⎝⎭A的一个特征值是0,则x=（）A.1B.2C.0D.39.与100021012⎛⎫⎪=-⎪-⎝⎭A相似的对角阵是（）A.113⎛⎫⎪=⎪⎝⎭Λ B.123⎛⎫⎪=⎪⎝⎭Λ C.113⎛⎫⎪=-⎪⎝⎭Λ D.114⎛⎫⎪=⎪⎝⎭Λ10.设A为3阶方阵,A的特征值为1,0,3,则A是（）A.正定B.半正定C.负定D.半负定参考答案: 1. C 2. C 3. C 4. B 5. C 6. D 7. C 8. A 9. A 10.B1.设A,B都是n阶方阵,k是一个数,则下列（）是正确的。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案线性代数（经管类）试题答案⼀、单项选择题（本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分）在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均⽆分。
1.设A为三阶⽅阵且则（ D ）A.-108B.-12C.12D.1082.如果⽅程组有⾮零解,则 k=（ B ）A.-2B.-1C.1D.23.设A、B为同阶⽅阵，下列等式中恒正确的是（ D ）A.AB=BAB.C. D.4.设A为四阶矩阵，且则（ C ）A.2B.4C.8D.125.设可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表⽰，则下列向量中只能是( B )A.（2，1，1）B.（-3，0，2）C.（1，1，0）D.（0,-1,0）6.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s)的充分必要条件是（ C ）A. α1 ，α2 ，…，αs 全是⾮零向量B. α1 ，α2，…，αs 全是零向量C. α1 ，α2，…，αs中⾄少有⼀个向量可由其它向量线性表出D. α1 ，α2，…，αs 中⾄少有⼀个零向量7.设A为m矩阵，⽅程AX=0仅有零解的充分必要条件是（ C ）A.A的⾏向量组线性⽆关B.A的⾏向量组线性相关C.A的列向量组线性⽆关D.A的列向量组线性相关8.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（ D ）A. B.秩（A）=秩（B）C.存在可逆阵P，使P-1AP=BD.E-A=E-B9.与矩阵A=相似的是（ A ）A. B.C. D.10.设有⼆次型则（ C ）A.正定B.负定C.不定D.半正定⼆、填空题（本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分）请在每⼩题的空格中填上正确答案。
错填、不填均⽆分。
11.若则k=_______1/2____.12.设A=,B=则AB=___________.13.设A=, 则A-1=14.设A为3矩阵,且⽅程组A x=0的基础解系含有两个解向量,则秩(A)= _____1______.15.已知A有⼀个特征值-2,则B=A+2E必有⼀个特征值___6_________.16.⽅程组的通解是_____ __ c 1 _+__ c 2 __.17.向量组α1 =(1,0,0) α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)的秩是_______2____.18.矩阵A=的全部特征向量是.19.设三阶⽅阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=__-16_________.20.矩阵A=所对应的⼆次型是.三、计算题（本⼤题共6⼩题，每⼩题9分，共54分）21.计算四阶⾏列式的值.=22.设A=,求A.A =23.设A=,B=,且A,B,X满⾜(E-B A)求X,X(E-B A)X= =X==24.求向量组α1 =(1,-1,2,4)α2 =(0,3,1,2), α3 =(3,0,7,14), α4 =(2,1,5,6), α5 =(1,-1,2,0)的⼀个极⼤线性⽆关组.α1 α2 α4 为极⼤⽆关组。
线性代数试题和答案(精选版)
线性代数习题和答案第一局部选择题 (共28分)一、单项选择题〔本大题共14小题，每题2分，共28分〕在每题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号。
错选或未选均无分。
1.设行列式a a a a 11122122=m ，a a a a 13112321=n ，那么行列式a a a a a a 111213212223++等于〔 〕 A.m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，那么A -1等于〔 〕 A. 13000120001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，A *是A の伴随矩阵，那么A *中位于〔1，2〕の元素是〔 〕 A.–6 B. 6C. 2D.–24.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，那么必有〔 〕A.A =0B. B ≠C 时A =0C.A ≠0时B =CD. |A |≠0时B =C5.3×4矩阵A の行向量组线性无关，那么秩〔A T 〕等于〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，那么〔 〕A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1〔α1+β1〕+λ2〔α2+β2〕+…+λs 〔αs +βs 〕=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1〔α1-β1〕+λ2〔α2-β2〕+…+λs 〔αs -βs 〕=0D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 和不全为0の数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =07.设矩阵A の秩为r ，那么A 中〔 〕A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，那么以下结论错误の是〔 〕A.η1+η2是Ax=0の一个解B.12η1+12η2是Ax=b の一个解 C.η1-η2是Ax=0の一个解 D.2η1-η2是Ax=b の一个解9.设n 阶方阵A 不可逆，那么必有〔 〕A.秩(A )<nB.秩(A )=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A 是一个n(≥3)阶方阵，以下述中正确の是〔 〕A.如存在数λ和向量α使A α=λα，那么α是A の属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，那么λ是A の特征值C.A の2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A の3个互不一样の特征值，α1，α2，α3依次是A の属于λ1，λ2，λ3の特征向量，那么α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A の特征方程の3重根，A の属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k ，那么必有〔 〕A. k ≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A 是正交矩阵，那么以下结论错误の是〔 〕A.|A|2必为1B.|A |必为1C.A -1=A TD.A の行〔列〕向量组是正交单位向量组13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .那么〔 〕A.A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有一样の特征值D. A 与B 合同14.以下矩阵中是正定矩阵の为〔 〕A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 第二局部 非选择题〔共72分〕二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕不写解答过程，将正确の答案写在每题の空格。
考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．n维向量组α1，α2，…，αs(3≤s≤n)线性无关的充分必要条件是A．存在一组不全为0的数k1，k2，…，ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs≠0．B．α1，α2，…，αs中任意两个向量都线性无关．C．α1，α2，…，αs中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出．D．α1，α2，…，αs中任意一个向量都不能用其余向量线性表出．正确答案：D解析：由于α1，α2，…，αs线性相关的充分必要条件是该组中至少存在一个向量，它可以用该组中其余s一1个向量线性表出，而线性无关是线性相关的反面，由此立即知(D)正确．知识模块：向量2．设A是4阶矩阵，且A的行列式｜A｜=0，则A中A．必有一列元素全为0．B．必有两列元素对应成比例．C．必有一列向量是其余列向量的线性组合．D．任一列向量是其余列向量的线性组合．正确答案：C解析：对于方阵A．由于｜A｜=0→A的列(行)向量组线性相关．由向量组线性相关的充要条件即知(C)正确．知识模块：向量3．已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关。
则向量组A．α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1，线性无关．B．α1—α2，α2—α3，α3—α4，α4—α1，线性无关．C．α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4—α1，线性无关．D．α1+α2，α2+α3，α3—α4，α4—α1，线性无关．正确答案：C解析：记(C)中的4个向量依次为β1，β2，β3，β4，则由已知，有[β1 β2 β3 β4]=[α1 α2 α3 α4]由于α1，α2，α3，α4线性无关，且上式最右边的矩阵的秩为4，于是知r[β1 β2 β3 β4]=r[α1 α2 α3 α4]=4。
故β1，β2，β3，β4线性无关，(C)正确．知识模块：向量4．设矩阵是满秩的，则直线L1：A．相交于一点．B．重合．C．平行但不重合．D．异面．正确答案：A解析：L1的方向向量为α1=(a1一a2，b1一b2，c1—c2)，L2的方向向量为α2=(a2一a3，b2一b3，c2一c3)．对矩阵A作仞等行变换：因为A是满秩的，故B也是满秩的．注意B的前2个行向量分别就是α1和α2，故α1与α2不共线．取L上的点P(a3，b3，c3)．取L2的点Q(a1，b1，c1)．由于混合积(α1 α2 =0故L1与L2共面，它们又不平行．故必交于一点．知识模块：向量5．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则A．当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0．B．当m＞n时，必有行列式｜AB｜=0．C．当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0．D．当n＞m时，必有行列式｜AB｜=0．正确答案：B解析：当m＞n时，m×n矩阵A的行向量组线性相关，故A的行向量组中至少有一行可由其它行向量组性表出，不妨设A的第1行可由A的其它行向量线性表出，因此，可通过初等行变换将A的第1行化成零行，即存在可逆矩阵Pm×n，使得PA的第1行为零行，于是PAB的第1行为零行，→｜PAB｜=0，即｜P｜｜AB=0．又｜P｜≠0，故得｜AB｜=0．知识模块：向量6．设n维列向量组α1，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，…，βm，线性无关的允分必要条件为A．向量组α1，…，αm可由向量组β1，…，βm线性表示．B．向量组β1，…，βm可由向量组α1，…，αm线性表示．C．向量组α1，…，αm与向量组β1，…，βm等价．D．矩阵A=[α1，…，αm]与矩阵B=[β1，…，βm]等价．正确答案：D解析：记向量组(Ⅰ)：α1，…，αm，向量组(Ⅱ)：β1，…，βm，由于m ＜n．故当(Ⅱ)线性无关时，(Ⅰ)与(Ⅱ)之间不一定存在线性表示。
线性代数题库及答案
试 卷 六一.单项选择题（每题3分，共18分）1．向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，向量组s βββ，，， 21能线性表示 向量组s ααα，，，21，则以下结论中不能成立的是 (A). 向量组s βββ，，，21线性无关； (B). 对任一个j α)0(s j ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C). 存在一个j α)0(s j ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D). 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价． 2．设B A ，为n 阶可逆矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C 00，则C 的伴随矩阵=*C (A)．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B A 00； (B)．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*-*-B A A B 11||00||； (C)．⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B A A B 00； (D)．⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B B A A 00． 3．设向量组321,,ααα是三维线性空间V 的基，则 也是V 的基.(A). 32133122112,,αααβααβααβ++=+=+=； (B)．213212112,,ααβααβαβ-=+==；(C)．32133222113,,2αααβααβααβ++=+=+=； (D)．3213322211,,αααβααβααβ++=-=-=． 4．设A 为n m ⨯实矩阵，n A r =)(，则 ．(A)．A A T 必合同于n 阶单位矩阵； (B)．T AA 必等价于m 阶单位矩阵；(C)．A A T 必相似于n 阶单位矩阵； (D)．T AA 是m 阶单位矩阵． 5．设A 为n m ⨯矩阵，0)(≠=b m A r ，，则线性方程组b Ax = ．(A)．可能无解； (B)．一定无解； (C)．可能有解； (D)．一定有解．6．已知向量组s ααα，，，21可由向量组t βββ，，， 21 线性表示，则 ． (A)．当t s >时，向量组s ααα，，，21必线性相关； (B)．当t s >时，向量组t βββ，，，21必线性相关； (C)．当t s <时，向量组s ααα，，，21必线性相关； (D)．当t s <时，向量组t βββ，，，21必线性相关． 二.填空题（每题3分，共18分）1．设B A ，为三阶方阵，行列式⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-==02012B A C B A 矩阵，，，则行列式=C ．2．已知B A ，为n 阶方阵，1±=λ不是B 的特征值，且E B A AB =--，则=-1A ．3．实二次型322123222132122),,(x x a x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则常数 a 的取值范围为 ．4．若三阶方阵A 有特征值 2,1,1，则行列式=+*-A A 21 ．5．设A 为三阶方阵，2)(=A r ，321ααα，，是线性方程组)0(,≠=b b Ax 的解， 已知 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+13121αα，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0103α，则线性方程组b Ax =的通解为=α ．6．已知b 为一常数，设集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++==R b a a b a a a a V ，，，212121αα， 若V 是向量空间3R 的子空间，则=b ．1．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=301220211A ，已知多项式12)(23--=x x x g ，求行列式)(A g . 2．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+bx ax x x x x x 321312111， (1) 常数b a ，取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？ (2) 当方程组有无穷多解时，求出其通解．3．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111111111A ，(1) 若矩阵B 满足AB B A =+，试求矩阵B ； (2) 若列向量α满足T A αα=，试求ααT ． 4．求正交变换Qy x =,将二次型23212221321433),,(x x x x x x x x f +-+=化为标准形．5．设三维列向量 T），，121(=α，(1) 求三维列向量γβ，，使γβα，，为正交向量组；(2) 证明γβα，，是3R 的基，并求向量T），，111(=η在γβα，，下的坐标.6．设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111101011321ααα，，； ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10010001321a βββ，，(1) 问：a 取何值时向量组321βββ，，是向量空间3R 的基，为什么？ (2) 求3R 中基321ααα，，到基321βββ，，的过渡矩阵．1. 设=f Ax x T 是n 元实二次型,存在n 维实列向量21x x ，,使11x A x T0>， 22x A x T0<, 证明: 存在n 维实列向量00≠x ,使00x A x T =0.2．设n 阶方阵A 即是正交矩阵又是正定矩阵，证明：A 为n 阶单位矩阵．试 卷 六------答案一．B C D A D A二．1．16- 2．1))((-+-E B E B 3．2<a 4．2125 5．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111010k 6．0三．1．A 的特征值为4,1,1 ………4分)(A g 的特征值为 31,2,2-- …7分124)(=A g …………8分2．（1）A E A B A B E A 1)(,)(--==- ……2分A B 21212121212121212121=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----= …………4分（2）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111111111αααTA ……6分3111)111(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴ααT…………8分或 A A T T T T T TT)()()(2αααααααααααααα==== …6分333333333332=∴=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=ααT AA ………8分3．（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→120001101011b a A ………………2分 1,2==b a 无穷多解； 2≠a 唯一解； 1,2≠=b a 无解 ……5分（2）R k k x x x ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,111001321 ……………………8分4．特征值为5,1,1 ……………………2分对应的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011,100,011 …………5分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴0100021212121Q ， 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=2332112123211211y x y y x y y x ……7分标准形为 2322215y y y f ++= ………………8分5．（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==++101,0120221321ξξx x x 正交化⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=521012γβ, 4分（2）说明γβα,,线性无关，是3R 的基 ………………5分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-15151321321321111501212121x x x x x x ,)(γβαη ……8分 注：答案不唯一6．（1）a 为任意值都使321,,βββ线性无关，所以是基 …………3分 （2）A )()(321321αααβββ= …………5分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+------==-a a a A 11111121)()(3211321βββααα……8分四．1．因为 00>>q p 且，，所以f 的规范形为22122221r p p y y y y y f ---+++=+ ………………4分取T y ），，，，，，，001001(0 =，则有000≠=Py x ，使0001001000=----+++== Ax x f Tx ……7分 ……8分2．A 为正交阵E A A T =∴ 又A 正定A E A A A T ⇒=∴=∴2的特征值为1± A 正定，A ∴的特征值只为1 ………………4分 因A 是实对称阵，∃∴可逆阵P ，有E PP A E AP P ==∴=--11……8分试 卷 七一、单项选择题（每题3分，共15分）1._____________2)(2101210211的值为则，的秩若矩阵a A r a a A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---= 1或者1．-(D)1；-(C)1；-0或(B)0；(A)2._____________1||*=-=A A A 伴随矩阵则，，且为正交矩阵设 A．-(D)••••••••••••••A； (C)；A -(B)•••••••••••； A (A)T T3.设βα，是n 维列向量,0≠βαT ,n 阶方阵T E A αβ+=,3≥n ，则在A 的n 个特征值中,必然______________(A) 有n 个特征值等于1； (B) 有1-n 个特征值等于1； (C) 有1个特征值等于1； (D) 没有1个特征值等于1．4.______________)()(，则阶方阵，且秩相等，既为，设B r A r n B A = ．r(B)r(A)B),r(A (D)；r(A)2B),r(A (C)；r(A)2B)r(A (B)；0r(A－B)(A)+≤==+=5．设n A 为阶矩阵，且0232=+-E A A ，则矩阵A E A E --与2(A) 同时为可逆矩阵； (B) 同时为不可逆矩阵； (C) 至少有一个为零矩阵； (D) 最多有一个为可逆矩阵．二、填空题（每题3分，共15分）1．设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵，行列式2||=A ，则 |2|*A =___________． 2. 行列式D 中第二行元素的代数余子式的和∑=412j j A =__________ ,其中1111111111111111---=D3. 已知实二次型32212322213212224)(x x x ax x x x x x x f ++++=，，为正定二次型，则实常数a 的取值范围为________________． 4. 2n 阶行列式 AB BA D =＝ ,其中n 阶矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A 0000000， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000b b b B 。
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苏州大学《线性代数》课程（第十二卷）答案 共3页 院系 专业
一、填空题：（30%）
1、21=x ，32=x ，44=x
2、=X ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--610115243 3、=-*1)(A A 31 4、=t 15 5、=--1)
2(E A )3(21E A + 6、8=t 7、=-1)(AB 61-
8、2)(=A r 9、=Λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00025或⎥⎦
⎤⎢⎣⎡25000 10、1=+E A
二、判断题：（10%）（1）√ （2） √ （3） × （4） × （5）× 三、（8%）解： A A 2
1])21[(11=
--， （2%） ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-02121102321121001100211101310,)21(1 E A （4%） =A 2=--11)]21[(A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-011031100 （2%） 四、（8%）解：⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000630321987654321321αααA 2)(=A r , 21,αα为极大无关组 （3%） 321211 , ,αααααα+++由321,,ααα线性表示
≤+++) , ,(321211ααααααr ),,(321αααr
又因21,αα为极大无关组，故211 ,ααα+也线性无关，
所以2) , ,(321211=+++ααααααr ，且211 ,ααα+是极大无关组（5%）
五、（10%）解：,)(T T T T B C BC AXB == 又,0≠B T B B ,都可逆，
T T C A X C AX 1-=⇒= （4%）
=-1A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100210121， =X ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----111211110 （6%） 六、（10%）解：[]⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--→→=000011001112a a
a b A A （2%） （1） 当,1≠a 且1-≠a ，方程组有无穷多组解，一般解为
,1121x a x -+= ( 1123x a
x +=为自由未知量） （4%） （2） 当,1=a 方程组有无穷组解，一般解为：
, ( 132321x x x x x --=是自由未知量） （4%）
七、（14%）解：（1） 3)-(1)( 2λλλ+=-A E ，,12,1-=λ33=λ （2%）
对,12,1-=λ得特征向量()T 0,1,11-=ξ， ()T
1,0,02=ξ 所有特征向量为 212211,( k k k k ξξ+为不全为零的任意常数）（2%） 对33=λ，得特征向量()T 0,1,13=ξ，
所有特征向量为 333( k k ξ是任意非零常数） （2%）
（2） λ是A 的特征值，X 是对应的特征向量，则122++λλ是E A A ++22的特
征值，且X 仍是对应的特征向量。
E A A ++22的特征值为,02,1=λ 163=λ （3%）
对应于02,1=λ的特征向量为 ,21ξξ
对应于163=λ的特征向量为 3ξ，且向量组成 ,21ξξ， 3ξ正交， 将其单位化：T
⎪⎭⎫ ⎝⎛-==0,21,211111ξξη，
T ⎪⎭⎫ ⎝⎛==0,21,2
11222ξξη，33ξη= 正交矩阵⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000212102121Q ，T Q （E A A ++22）⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1600Q （5%） 八、（10%）证明：（反证） 假设1α能由432,,ααα线性表示，
因为321,,ααα线性无关 ， 32,αα也线性无关，
因为432,,ααα线性相关，则4α可由32,αα线性表示。
即1α能由32,αα线性表示 ，321,,ααα线性相关 这与已知矛盾。
所以1α不能由432,,ααα线性表示。
（10%）。