高等代数与解析几何08上A答案.
高等代数与解析几何1~4章习题答案(DOC)
高代与解几第二章自测题（一）——行列式一、 判断题1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ）2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ）3. 2≥n 时，n 级的奇排列共2!n 个. （ √ ） 二、填空题1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列 2)22)(2)(12(13 --n n n 的逆序数是 n (n －1) .2. 设行列式ijn nD a ⨯=,则n n A a A a A a 1112121111...+++= D ，n n A a A a A a 5152125111...+++= 0 .3. 行列式D ＝x x x x x x 2213321232321--的展开式中4x 的系数是 -4 ，常数项是 -18 .4. 排列821j j j 的逆序数是9，则排列 178j j j 的逆序数是 19 .5. 设82718491423123267----=D ，则14131211M M M M -+-= 240 .二、证明题3. nn D n 20012000302202002210002----=（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）4. nD n 222232222222221=（提示：爪型行列式）高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组一、 判断题1. 如果矩阵A 有r 阶子式大于零,那么r A rank >)(.（ ×）2. 如果矩阵A 没有非零子式，那么0)(=A rank .（√ ）3. 如果矩阵A 的r 阶子式都等于零,那么r A rank <)(.（ √）4. 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ）5. 若n 元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n .（√ ） 三、填空题1. 54⨯矩阵A 的秩为2， 则A 的标准形为___⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000000001000001____________. 2 若n 元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n .三、计算与证明题1. 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=-++=++++04523,05734,03,02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解. 解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-45230573411110312111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----45230452304523012111→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000343532103131310100000000004523012111 取543,,x x x 为自由未知量，得其一般解为：……2. 解线性方程组12341234123421,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩解 方程组的增广矩阵为：B =⎢⎢⎢⎣⎡112224112--- 111- 121⎥⎥⎥⎦⎤，….……………………………….. 2分 对B 做行初等变换：B =⎢⎢⎢⎣⎡211000010000- 100⎥⎥⎥⎦⎤，…………………………….....…… 6分 从而得方程组的解为……3. 设n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数，n b b b ,,,21 是数域K 中任一组给定的数，证明：有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =,.,...,2,1n i =证明:要证有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =()n i ,,2,1 =,即要证有唯的一组数1210,...,,,-n c c c c ,使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++==++++=------n n n n n n n n n n n b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f 112210212122221021111221101...)(......)(...)(1 …… (2分)即证方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++------n n n n n n n n n n b x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x 1122102112222120111122110............1 …… (4分) 有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式121323312222112111111----=n nn nn n n a a a a a a a a a a a a D……(5分) T D 是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知,∑≤<≤-==nj i i jT a aD D 1)( ……(7分)又n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数,故0≠D ,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. …… (10分)4. 设n a a a ,...,,21是互不相同的数，b 是任意数，证明线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++----11212111221121......1...n n n n n n n n n bx a x a x a b x a x a x a x x x 只有唯一解，并求出这个解.证明:观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等，其系数行列式D =1121121111---n nn n na a a a a a是n 阶范德蒙德行列式 …… (4分) 因此，D =∏≤<≤-ni j j ia a1)(，由于n a a a ,...,,21是互不相同的数，所以0≠D ，根据克莱姆法则知此线性方程组只有唯一解, n k DD x kk ,...,2,1,==,其中k D 是将系数行列式D 的第k 列换成 T n b b b ),...,,,1(12-， …… (7分)显然k D 依然是n 阶范德蒙德行列式，且k D 的值只是将D 的值中k a 的地方换成b ，因此n k a a a a a a a a a b a b b a b a x k k k k k k n k k n k ,...,2,1,))...()()...(())...()()...((111111=--------=-+-+ (10分)5. 假设有齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,02,0321321321 x x x p x x x x x x当p 为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其一般解。
高等代数与解析几何习题答案
习题习题设A是一个"阶下三角矩阵。
证明：（1）如果A的对角线元素吗H勺（门=1,2,…/）,则A必可对角化；（2）如果A的对角线元素a ll=a22=-=a ll…f且A不是对角阵，则A不可对角化。
证明：（1）因为A是一个〃阶下三角矩阵，所以A的特征多项式为I 2E - A 1= （2 - ! ）（2 - «22）■ • （2 - 6/wj）,又因心工勺（/, j = 1,2, •••,/?）,所以人有" 个不同的特征值，即4有"个线性无关的特征向量，以这〃个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P,则有厂虫卩为对角阵，故A必可对角化。
（2）假设A可对角化，即存在对角阵〃= 人. ，使得A与B相似，进而A与3有相同的特征值人,人,…人。
又因为矩阵A的特征多项式为Ixtf —A1=（几_°］］）“ ，所以= ■ ■ ■ = A lt =, 从|（［J / 、如B=如=如丘，于是对于任意非退化矩阵x ,都有、% >X"BX =X%EX =gE = B,而A不是对角阵，必有厂曲=3",与假设矛盾，所以A 不可对角化。
习题设“维线性空间V的线性变换”有$个不同的特征值入，易，…,入，匕是人的特征子空间（心1,2,…,s）。
证明：（1）叫+岭+…+匕是直和；（2）a可对角化的充要条件是V = %㊉匕㊉…㊉匕。
证明：(1)取岭+£+・•・ +匕的零向量0，写成分解式有a x +a 2 + -- + a x =0,其中 q e V ； J = 1,2,…,s 。
现用 6b[…,b分别作用分解式两边，可得印+色+…+ % = 0人 © + + ・・• + A s a s = 0 常匕+石么+・・・+町匕=0写成矩阵形式为‘1人( 、1(4S ，…心):J 人f 1由于人,人,…，人是互不相同的，所以矩阵3= 1零，即矩阵B 是可逆的，进而有(卬，色,aJBB" = (0,0,…,0)B" = (0,0,…,0), (a 「勺，…)=(0,0,…,0)。
2008高考解答题专题训练五 解析几何参考答案(文)
（Ⅰ）解：设抛物线S 的方程为22.y px = 显然0,0.k b ≠≠-----------------1分 由24200,2,x y y px +-=⎧⎨=⎩ 可得22200.y py p +-= 由0∆>，有0p >，或160.p <- 设1122(,),(,),B x y C x y 则12,2p y y +=-121212(5)(5)1010.4448y y y y px x +∴+=-+-=-=+设33(,)A x y ，由ABC ∆的重心为(,0),2p F 则123123,0323x x x y y y p ++++==，331110,.82p p x y ∴=-=∵点A 在抛物线S 上，∴2112(10),28p p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴8.p =∴抛物线S 的方程为216.y x = （Ⅱ）解：当动直线PQ 的斜率存在时，设动直线PQ 方程为y kx b =+，显然0,0.k b ≠≠ ------------------------------------------------9分设(,)(,)P P Q Q P x y Q x y ，∵PO OQ ⊥，∴ 1.OP OQk k ⋅=-∴1,QP P Qy y x x ⋅=-∴0.P Q P Q x x y y += 将y kx b =+代入抛物线方程，得216160,ky y b -+=∴16.P Q by y k=从而22222,16P Q P Q y y b x x k ⋅== ∴22160.b b k k += ∵0,0k b ≠≠，∴16,b k =- ∴动直线方程为16(16)y kx k k x =-=-， 此时动直线PQ 过定点(16,0). 当直线PQ 的斜率不存在时，显然PQ x ⊥轴， 又PO OQ ⊥，∴POQ 为等腰直角三角形.由216,,y x y x ⎧=⎨=⎩ 216,,y x y x ⎧=⎨=-⎩ 得到(16,16),(16,16)P Q -， 此时直线PQ 亦过点(16,0).综上所述，动直线PQ 过定点(16,0)M .（Ⅰ）解：过点P 作PN 垂直直线32y =-于点.N 依题意得||||PF PN =，所以动点P 的轨迹为是以30,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点，直线32y =-为准线的抛物线， 即曲线W 的方程是26.x y = （Ⅱ）解：依题意，直线12,l l 的斜率存在且不为0，设直线1l 的方程为3y kx =+， 由12l l ⊥ 得2l 的方程为132y x k =-+.将32y kx =+代入26x y =， 化简得2690x kx --=. 设1122() () A x y B x y ，，，， 则12126 9.x x k x x +==-，2||6(AB k ∴==同理可得21||61.CD k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴四边形ACBD 的面积2222111||||18(1)1182722S AB CD k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当 221k k=， 即1k =±时，min 72.S = 故四边形ACBD 面积的最小值是72. 3．（Ⅰ）解：)2,0(p F ，∴设直线l 的方程为2p kx y +=.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=,2,22py x p kx y 可得0222=--p pkx x .……2分设),(),(2211y x B y x A 、，则,221pk x x =+221p x x -=．,444)(2)2()2(2222222212122121pp p k p k p x x kp x x k p kx p kx y y =++-=+++=+⋅+=⋅ ∴2212143p y y x x -=+=⋅.（Ⅱ）解：由py x 22=，可得px y 22=，∴p x y ='.∴抛物线在B A 、两点处的切线的斜率分别为px p x 21,. ∴在点A 处的切线方程为)(111x x p x y y -=-，即pxx p x y 2211-=.……7分同理在点处B 的切线方程为p xx p x y 2222-=.解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=,2,2222211px x p x y p x x p x y 可得⎪⎩⎪⎨⎧-==.2,p y pk x即点Q 的纵坐标为2p-.………………9分 （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知， )2,(ppk Q -，2222)1()22()0(p k p p pk +=++-=， 又),21()(222212121k p p x x k pkx p kx y y +=++=+++=+.)1(4)21(244)(2)2)(2(222222212121p k p p k p p p y y p y y p y p y +=++⋅+=+++=++=∴=. ……13分4．（Ⅰ）解：由题知，曲线W 是以(1,0)F 为焦点，以直线1x =-准线的抛物线， 所以曲线W 的方程为24y x =．………… 2分（Ⅱ）解：因为直线l 与曲线W 交于A 、B 两点，所以 l 的斜率k 存在，且0k ¹设直线l 的方程为(1)y k x =+，由2(1),4y k x y x=+⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k +-+=． 因为直线l 与曲线W 交于A 、B 两点， 所以0k ≠，2244(2)40k k ∆=-->， 即||1k <且0k ≠．设点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ,则212242k x x k-+=，121x x =，点C 的坐标为11(,)x y -， 11(1)y k x =+，22(1)y k x =+． 所以11(1,)FC x y =--，22(1,)FB x y =- ------------------------8分又因为1221(1)(1)()x y x y ----1221(1)(1)(1)(1)x k x x k x =-++-+12(22)k x x =- 0=， 所以FC FB λ=．（Ⅲ）由题意121||||2S PF y y =⋅+12|(2)|k x x =++2242|(2)|k k k -=+4||k = 因为||1k <且0k ≠，所以S 的取值范围是(4,)+∞． 5．（Ⅰ）解：设椭圆方程为22221y x a b+=（a >b>0）．依题意，12c e a ==, c=1，2a ∴=，2223b a c =-=，………………………………2分 ∴所求椭圆方程为 22143y x +=．………4分 （Ⅱ）解：若直线l 的斜率k 不存在，则不满足2AF FB =．当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为1y kx =+．因为直线l 过椭圆的焦点F （0，1），所以k 取任何实数, 直线l 与椭圆均有两个交点A 、B ．设A 1,122(),(,),x y B x y联立方程 221,1.43y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得22(34)690k x kx ++-=．…………6分122634k x x k -∴+=+， ① 122934x x k -⋅=+， ② 由F （0，1），A 1,122(),(,)x y B x y ，则1122(,1),(,1)AF x y FB x y =--=-，2AF FB =，∴1122(,1)2(,1)x y x y --=-，得212x x -=．……………………8分将212x x -=代入①、②，得22634k x k =+， ③ 222968x k =+， ④……………10分 由③、④ 得，226()34k k =+2968k +， 化简得223634k k =+92，解得245k =，5k =±.∴直线l的方程为：15y x =±+．…………13分 6．（Ⅰ）解：设椭圆方程为：22221(0).x y a b a b+=>>由22b =得 1b =. 又FE OF =，∴2221,.a c a c c c ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩解得1a c ==. ∴椭圆方程为：2212x y +=.离心率2c e a ==.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知点F 坐标为（1，0），又直线AB 的斜率存在，设AB 的斜率为k ,则AB 的方程为(1)y k x =-.由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(12)4220k x k x k +-+-= （*）设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是（*）方程两根，且12x x <，∴12x x == ∵////AD BC x 轴，且1||||3BC AD =， ∴22211()3a a x x c c-=-即12(23=，解得1k =±. ∴直线AB 的方程为10x y --=或10x y +-=. （Ⅲ）∵点(1,0),(2,0)F E ，∴EF 中点N 的坐标为3(,0)2. (1)当AB x ⊥轴时，111(1,),(1,),(2,)A y B y C y --，那么此时AC 的中点为3(,0)2，即AC 经过线段EF 的中点N . --------------------------9分 (2)当AB 不垂直x 轴时，则直线AB 斜率存在,设直线AB 的方程为(1)y k x =-,由（*）式得22121222422,1212k k x x x x k k -+==++. 又∵2211222,x y =-<得130,2x -≠ 故直线,AN CN 的斜率分别为：112122112(1),2(1),3323222y k x yk k k x x x -====----121121(1)(1)(23)223x x x k k k x ----∴-=⋅-.又1211212(1)(1)(23)3()24x x x x x x x ----=+--,22221[124(1)4(12)]012k k k k=---+=+. ∴120,k k -=即12k k =.且,AN CN 有公共点N ，∴ ,,A C N 三点共线. ∴直线AC 经过线段EF 的中点N . 综上所述，直线AC 经过线段EF 的中点. 7．（Ⅰ）解：由点M 是BN 中点，又0=⋅，可知PM 垂直平分BN .所以|PN |=|PB |，又|PA |+|PN |=|AN |，所以|PA |+|PB |=4.由椭圆定义知，点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆. 设椭圆方程为12222=+b y a x ，由2a =4，2c =2，可得a 2=4，b 2=3.可知动点P 的轨迹方程为.13422=+y x ……6分 （Ⅱ）解：设点PB y x P ),,(00的中点为Q ，则)2,21(0y x Q +， 0020200202020212424143312)1(||x x x x x x y x PB -=+-=-++-=+-= 即以PB 为直径的圆的圆心为)2,21(00y x Q +，半径为01411x r -=， 又圆422=+y x 的圆心为O （0，0），半径r 2=2，又121161)433(41412141)2()21(||020*********++=-+++=-+=x x x x x y x OQ =0411x +， 故|OQ |=r 2－r 1，即两圆内切.…………13分 8．（Ⅰ）解：依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)y k x =+，将(1)y k x =+代入5322=+y x ， 消去y 整理得 2222(31)6350.k x k x k +++-=设1122() () A x y B x y ，，，，则4222122364(31)(35)0 (1)6. (2)31k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪+⎩， 由线段AB 中点的横坐标是12-，得2122312312x x k k +=-=-+，解得3k =±，适合（1）式， 所以直线AB 的方程为10x +=，或10x ++=. （Ⅱ）解：① 当直线AB 与x 轴不垂直时，由（Ⅰ）知22121222635. (3)3131k k x x x x k k -+=-=++，所以2121212127777(1)(1)3333MA MB x x y y x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++=+++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭将(3)代入，整理得 2222227(1)(35)(6)493319k k k k MA MB k k ⎛⎫+-++- ⎪⎝⎭⋅=+++4.9= ② 当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A B ，的坐标分别为11⎛⎛-- ⎝⎝、，，此时亦有4.9MA MB ⋅= 综上，4.9MA MB ⋅= 9．（Ⅰ）解：连结OP ，因为Q 为切点，PQ ⊥OQ ，又勾股定理有，222OQ OP PQ -=又由已知22,PA PQ PA PQ ==故，即()()()222221b 2a 1b a -+-=-+…化简得03b 2a =-+-----------------------------------4分 （Ⅱ）解：由03b 2a =-+，得32a b +-=()5456a 5132a a 1b a PQ 22222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-+=-+=故当56a =时，线段PQ 长取最小值552-------------------------------------8分（Ⅲ）解：设圆P 的半径为R ，圆P 与圆O 有公共点，由于圆O 的半径为1，所以有101+≤≤-R P R 即R 1-≥OP 且R 1+≤OP而()5956a 532a a b a OP 22222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-+=+=故当56a =时，553min =OP ，此时b=1553,53min -=R 故半径取最小值时，圆P 的方程是222)1553()53()56(-=-+-y x ------------------------------------------14分10．（Ⅰ）解： 设直线l的方程为y kx =+22(12x kx ++=.整理，得221()102k x +++=. ① 因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于222184()4202k k k ∆=-+=->，解得k <k >.∴ 满足条件的k 的取值范围为2,(,)22k ∈-∞-+∞（ ……… 6分（Ⅱ）解：设P （x 1,y 1）,Q (x 2,y 2),则OP OQ +＝（x1+x 2，y 1+y 2),由①得12212x x k+=-+.② 又1212()y yk x x +=++.③因为 0)A ，(0, 1)B ， 所以( 1)AB=.所以OP OQ +与AB 共线等价于 1212)x x y y ++. 将②③代入上式，解得2k =. 所以不存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线. 11．（Ⅰ）解：由题意, 直线l 的斜率一定存在，可设直线l 的方程为4(2)y k x -=-，则由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-).2(4,18422x k y y x 得2222(2)(48)416240k x k k x k k -+--+-=． 设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，由2OA OB OP +=，知P 为AB 中点， 所以12124,8x x y y +=+=．…………3分由21224842k kx x k -+==-，得1k =．所以直线l 的方程为2y x =+．……5分 （Ⅱ）解：由1282++=x x y ，得82+='x y ．设（0x ，0y ）为曲线1282++=x x y 上一点，过（0x ，0y ）的切线方程为))(82(000x x x y y -+=-，即128))(82(02000+++-+=x x x x x y .与l 方程联立得⎩⎨⎧+=+++-+=,2,128))(82(02000x y x x x x x y 解得7210020+-=x x x . …………9分 又由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.2,18422x y y x 解得A )0,2(-、B )8,6(. ∴ ]6,2[7210020-∈+-=x x x .故 222622260+≤≤-x .（Ⅲ）解：ABD ACD ∠=∠一定成立．由点P )4,2(和直线l 得1l ：6=+y x ．联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==-,6,18422x y y x 得 C （546+-，5412-），D （546--，5412+）．所以0=⋅，即⊥．由对称性可知，⊥. 所以A 、B 、C 、D 四点共圆，所以ABD ACD ∠=∠. 12．（Ⅰ）解：设双曲线方程为).0,0(12222>>=-b a by a x 由已知得.1,,2,32222==+==b c b a c a 得故双曲线C 的方程为1322=-y x . …………6分 （Ⅱ）解：联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.13,22y x m kx y .0336)31(222=----m kmx x k 整理得 直线与双曲线有两个不同的交点，⎪⎩⎪⎨⎧>-+=∆≠-∴.0)31(12,031222k m k ------------------------------------------8分可得.1322->k m ① ).0,0(1313131,,.31,3132,316).,(),,(),,(222002210221002211≠≠-=-+-=∴⊥-=+=-=+=-=+m k kk km k m k MN AB k m m kx y k km x x x k km x x y x B MN y x N y x M AB 由题意则的中点为设 整理得3k 2=4m +1. ②…………………10分将②代入①，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4.又3k 2=4m +1>0（k ≠0），即m >－41.……12分 ∴m 的取值范围是（－41，0）∪（4，+∞）…13分13．（Ⅰ）证明：设双曲线的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，由222c aa b c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得a ，a=b ， ∴双曲线的渐近线方程为y=±x 。
07-08-1A参考答案
一、单项选择题（每小题3分，共18分）1、C ；2、B ；3、A ；4、C ；5、A ；6、C 二、填空题（每小题3分，共18分）7、；8、24；9、；10、；11、；12、120−4a 02n −()j i E ,三、解答下列各题（每小题6分，共24分）13解：31411522152201200120D 217340216229570113r r r r −−+−−=−−−−−LL 分23112012221603094113113r r c −−−−−=LL 分14解：；…………….4分8A =1B −…………….2分8AB A B ==−15解：12101253020200101X −⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠LL 分3101252020200101−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠LL 分16110201⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠LL 分16解：的矩阵为f ．11A 422124λλ−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠LL 分因此，二次型为正定二次型．矩阵为正定矩阵．f ⇔A 矩阵的各阶顺序主子式全大于零．⇔A 而矩阵的各阶顺序主子式分别为A ，，011>=D 22441λλλ−==D ．————2分()()21442124113+−−=−−==λλλλA D 所以，二次型为正定二次型．，且f ⇔0422>−=λD ()()02143>+−−=λλD由，得．0422>−=λD 22<<−λ由，得．()()02143>+−−=λλD 12<<−λ因此，得．————2分12<<−λ四、综合题（每小题10分，共40分）17解：()123451725217252301110217147,,,,2140640044003121031212110017252170323303121030111101033001100011000110000000000000000r r r a a a a a ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−−−−−⎜⎟⎜⎟=⎯⎯→⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛−⎜⎛⎞⎛⎞⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝4⎞⎟⎟⎟⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎠LL 分所以（1）,所以向量组线性相关，————1分()5354321<=a a a a a ,,,,R （2）取为一个极大无关组，————2分321a a a ,,————3分32143132a a a a ++=321503131a a a a ++−=18解：————4分⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=22000014001111003111131117231531203111b a b a A 当4时，方程组有唯一解；当4，2时，方程组无解≠a =a ≠b 当4，2时，＝3<4，方程组有无穷多组解,———3分=a =b )(A r =(A r 其通解为，为任意常数.————3分T T k )0,1,1,2()0,0,1,1(−+−=αk 19解：1）由于是矩阵的一个特征向量，所以有⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=111ξ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=2135212b a A ————2分()0ξA I =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+−−−−−−=−1112135212λλλλb a 即：．解得—————3分⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=+−+−=++−0210350212λλλb a 103−==−=λ，，b a2）由1）得，所以，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=201335212A ()31201335212+=+−+−−−=−λλλλλA I 因此是矩阵的3重特征根．————2分1−=λA 而()312I A 5232101R R −−⎛⎞⎜⎟−−=−−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠从而所对应的线性无关的特征向量只有一个，————2分1−=λ因此矩阵不能相似于对角矩阵．————1分A 20、证：因为，所以向量组线性无关，而()()3R R ==ⅠⅡ321ααα，，4321αααα，，，线性相关，所以，存在数，使得321λλλ，，（*）――――3分3322114ααααλλλ++=设有数，使得4321k k k k ，，，————2分()0ααααα=−+++454332211k k k k 将（*）式代入上式并化简，得()()()0αααα=+−+−+−54343324221411k k k k k k k λλλ由于，所以向量组线性无关．因此，由上式，得()4R =Ⅲ5321αααα，，，，——————2分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==−=−=−00004433422411k k k k k k k λλλ解此方程组，得，因此，向量组04321====k k k k 45321ααααα−，，，线性无关，即此向量组的秩为4．——————3分。
高等代数与解析几何答案同济大学
高等代数与解析几何答案同济大学高等代数与解析几何答案同济大学【篇一：大学所有课程课后答案】资料打开方法：按住ctrl键，在你需要的资料上用鼠标左键单击资料搜索方法：ctrl+f 输入关键词查找你要的资料【数学】?o?o?o?o?o?o?o?oo?o?o?o?o?o?o?o?o? 习题答案o?o??o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o【计算机/网络/信息】??o?o?o?o【经济/金融/营销/管理/电子商务】?o?o?o?o?o?o?o?【篇二：kehoudaanhuizong】的日志经济金融[pdf格式]《会计学原理》同步练习题答案[word格式]《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页）[word格式]《成本会计》配套习题集参考答案[word格式]《实用成本会计》习题答案[word格式]《会计电算化》教材习题答案（09年）[jpg格式]会计从业《基础会计》课后答案[word格式]《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先）[word格式]《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什）[word格式]《国际贸易》课后习题答案（海闻p.林德特王新奎）[pdf格式]《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印[word格式]《金融工程》课后题答案（郑振龙版）[word格式]《宏观经济学》课后答案（布兰查德版）[jpg格式]《投资学》课后习题答案（英文版，牛逼版）[pdf格式]《投资学》课后习题答案（博迪，第四版）[word格式]《微观经济学》课后答案（高鸿业版）[word格式]《公司理财》课后答案（英文版，第六版）[word格式]《国际经济学》教师手册及课后习题答案（克鲁格曼，第六版）[word格式]《金融市场学》课后习题答案（张亦春，郑振龙，第二版）[pdf格式]《金融市场学》电子书（张亦春，郑振龙，第二版）[word格式]《微观经济学》课后答案（平狄克版）[word格式]《中级财务会计》习题答案（第二版，刘永泽）[pdf格式]《国际经济学》习题答案（萨尔瓦多，英文版）[jpg格式]《宏观经济学》课后答案（曼昆，中文版）[pdf格式]《宏观经济学》答案（曼昆，第五版，英文版）pdf格式[word格式]《技术经济学概论》（第二版）习题答案[word格式]曼昆《经济学原理》课后习题解答[pdf格式]西方经济学（高鸿业版）教材详细答案[word格式]完整的英文原版曼昆宏观、微观经济学答案[word格式]《金融市场学》课后答案（郑振龙版）化学物理[word格式]《固体物理》习题解答（方俊鑫版）[word格式]《简明结构化学》课后习题答案（第三版，夏少武）[word格式]《生物化学》复习资料大全（3套试卷及答案+各章习题集）[pdf格式]《光学教程》习题答案（第四版，姚启钧原著）[word格式]《流体力学》实验分析答案（浙工大版）[word格式]《高分子化学》课后习题答案（第四版，潘祖仁主编）[pdf格式]《化工热力学》习题与习题答案（含各种版本）[word格式]《材料力学》习题答案[word格式]《量子力学导论》习题答案（曾谨言版，北京大学）[pdf格式]《理论力学》习题答案（动力学和静力学）[word格式]《大学物理》完整习题答案[ppt格式]流体输配管网习题详解（重点）[pdf格式]《结构化学基础》习题答案（周公度，北大版）[pdf格式]《物理化学》习题答案与课件集合（南大）[word格式]《传热学》课后习题答案（第四版）[word格式]《控制电机》习题答案[pdf格式]《化工原理答案》课后习题答案（高教出版社，王志魁主编，第三版）[pdf格式]《工程力学》课后习题答案（梅凤翔主编）[pdg格式]《工程电磁场导论》习题详解[pdf格式]《材料力学》习题答案（单辉祖，北京航空航天大学）[word格式]《热工基础》习题答案（张学学主编，第二版，高等教育出版社）[word格式]《大学物理实验》实验题目参考答案（第2版，中国林业出版社）[word格式]《大学物理基础教程》课后习题答案（第二版，等教育出版社）[word格式]《水力学》习题答案（李炜，徐孝平主编，武汉水利电力大学出版社）[pdf格式]《普通物理学教程电磁学》课后习题答案（梁灿斌，第2版）[word格式]《激光原理与激光技术》习题答案完整版（北京工业大学出版社）[word格式]《固体物理》习题解答（阎守胜版）[ppt格式]《仪器分析》课后答案（第三版，朱明华编）[word格式]《高分子化学》习题答案（第四版）[pdf格式]《物理化学》习题答案（南大，第五版）[ppt格式]《高频电子线路》习题参考答案（第四版）[pdf格式]《原子物理学》习题答案（褚圣麟版）[ppt格式]《分析力学》习题答案[word格式]《分析化学》习题答案（第三版，上册，高教版）[ppt格式]《普通物理》习题答案（磁学，电学，热学）[pdf格式]《材料力学》课后习题答案（单辉祖，第二版，高教出版社）[word格式]《分析化学》课后习题答案（第五版，高教版）[word格式]《分析化学》习题解答[word格式]《理论力学》课后习题答案（赫桐生，高教版）[word格式]《大学物理学》习题解答[pdf格式]《电动力学》习题答案（第三版，郭硕宏）[pdf格式]《大学物理》课后答案（陈信义）上下册的[pdf格式]《数学物理方法》(第三版)习题答案[jpg格式]《普通化学（第五版）》习题详解（配套浙大编的）[pdf格式]《光学》习题答案及辅导（赵凯华）[pdf格式]《工程光学》习题答案[pdf格式]《材料力学》详细习题答案及辅导（第四版，刘鸿文）[pdf格式]《电磁场与电磁波》（第4版）习题答案及自学辅导[pdf格式]《量子力学教程》习题解答（周世勋版）[word格式]《流体力学》习题答案[pdf格式]《有机化学》课后习题答案（胡宏纹，第三版）[word格式]《有机化学》习题答案（汪小兰主编）[word格式]《化工热力学》习题及详细解答[pdf格式]《工程热力学》课后全解（第三版，沈维道编，高教版）[pdf格式]《理论力学》课后习题答案[word格式]自动控制原理习题集（自学辅导推荐）[pdf格式]《自动控制原理》课后题答案（胡寿松，第四版）[pdf格式]大学物理习题及答案[pdf格式]《物理学》习题分析与解答（马文蔚主编，清华大学，第五版）[pdf格式]《电机与拖动基础》课后习题答案（第四版，机械工业出版社，顾绳谷主编）[word格式]《土力学》习题解答/课后答案[pdf格式]《数学物理方法》习题解答案详细版（梁昆淼，第二版）[pdf格式]《传热学》课后答案（杨世铭，陶文铨主编，高教版）[pdf格式]《材料力学》详细辅导及课后答案（pdf格式，共642页）[word格式]大学物理实验绪论课指导书及参考答案[word格式]《大学基础物理学》课后答案（共16个单元）[pdf格式]流体力学课后答案(高教版，张也影，第二版)[pdf格式]程守洙、江之永主编《普通物理学》（第五版）详细解答及辅导电子信息[pdf格式]《数字通信》习题答案（第四版，proakis）[pdf格式]《信号与系统》习题答案（第四版，吴大正）[word格式]《基础电子技术》习题解答（哈工大，蔡惟铮）[word格式]《微机原理及应用》习题答案[ppt格式]《通信电路》课后习题答案（沈伟慈，西安电子科技大学出版社）[jpg格式]《信号与系统》习题答案详解（郑君莉，清华大学，牛逼完整版）[ppt格式]《电路分析》习题答案（第2版，高等教育出版社，胡翔俊）[word格式]《热工测量与自动控制》习题及答案[pdf格式]《信息论与编码》学习辅导及习题详解（傅祖芸版）[pdf格式]《电工学——电子技术》习题答案（下册）[pdf格式]《数字逻辑电路与系统设计》习题答案[word格式]《数字电路与逻辑设计》课后习题答案，讲解详细[word格式]《电工学》课后习题答案（第六版，上册，秦曾煌主编）[pdf格式]《数字信号处理》完整习题答案（程佩青，英文版）[word格式]《微机原理》作业答案（李继灿版）[word格式]《通信原理》课后习题答案及每章总结（樊昌信，国防工业出版社，第五版）[pdf格式]《信号与系统》课后习题答案[pdf格式]《数字电子技术基础》课后习题答案（完整答案版）[word格式]《电子线路-非线性部分》课后答案（谢嘉奎高等教育出版社）[word格式]《通信原理》习题答案[pdf格式]《电路分析》课后答案及学习指导（第二版，胡翔骏，高教版）[pdf格式]《数字信号处理——基于计算机的方法》习题答案（第二版）[pdf格式]《数字电子技术基础》详细习题答案（阎石第四版）[word格式]《测控电路》习题答案（机械出版社）[word格式]《电力电子技术》习题答案（第四版，王兆安，王俊主编）[word格式]《单片机及接口技术》课后答案（梅丽凤，王艳秋，清华大学出版社）[pdf格式]《电路》习题答案上（邱关源，第五版）[ppt格式]《信息论与编码》辅导ppt及部分习题答案（曹雪虹，张宗橙，北京邮电大学出版社）[pdf格式]《电子电路分析与设计》课后题答案（英文版）[pdf格式]《电力电子技术》习题答案（第4版，西安交通大学）[word格式]《自动控制原理》课后题答案（卢京潮主编，西北工业大学出版社）[word格式]《控制工程基础》课后习题解答（清华版）[word格式]《控制工程基础》习题答案（第二版，燕山大学）[ppt格式]《自动控制原理》习题答案[swf格式]《微电子器件与ic设计》习题答案（科学出版社）[pdf格式]《电力拖动自动控制系统》习题答案[pdf格式]《电工学》习题答案（第六版，秦曾煌）[word格式]《数字信号处理》习题答案[pdf格式]《信号与系统》习题及精解[pdf格式]《信号与系统》课后习题答案（于慧敏著）[pdf格式]《信号与系统》课后习题答案（西安电子科技大学）[word格式]电子技术数字和模拟部分答案（第四版，康华光）[word格式]《信息论与编码》习题答案(高等教育出版社)仇佩亮编[pdf格式]《现代控制系统》答案（英文版）730页[pdf格式]《数字电子技术》课后习题答案详解（阎石，第四版）[pdf格式]《数字电子技术基础》习题答案（阎石，第五版）[pdf格式]《信号与系统》习题详解（奥本海姆版）[pdf格式]《信号与线性系统分析》习题答案及辅导参考（吴大正版）[word格式]《信号与系统》习题解析（燕庆明，第3版）非常详细[word格式]《ibm-pc汇编语言》课后习题答案[pdf格式]《数字信号处理教程》习题解答（第二版）[pdf格式]《数字信号处理》课后答案及详细辅导（丁美玉，第二版）[word格式]《现代通信原理》习题答案（曹志刚版）[word格式]《模拟电子技术基础》详细习题答案（童诗白，华成英版，高教版）[word格式]《模拟电子技术基础简明教程》课后习题答案（杨素行第三版）[word格式]《单片机原理及应用》课后习题答案（张毅刚主编，高教版）[word格式]《数字逻辑》（第二版）习题答案（欧阳明星主编）[ppt格式]《模拟电子技术基础》课后习题答案（共10章）[pdf格式]《数字逻辑》第四版习题答案法学政治[pdf格式]《公共关系学》习题及参考答案（复习必备）[word格式]《公司法》课后练习及参考答案[word格式]《国际经济法》课后参考答案[word格式]思想道德修养与法律基础课后习题答案[word格式]《毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论》习题答案（2008年修订版的）[word格式]《马克思主义基本原理概论》新版完整答案文学历史[pdf格式]《语言学概论》习题答案(自考,新版教材)[pdf格式]《语言学概论练习题》答案[pdf格式]《语言学教程》课后答案[word格式]选修课《中国现当代文学》资料包[word格式]《传播学教程》课后答案（郭庆光主编，完整版）[word格式]现代汉语题库（语法部分）及答案[word格式]《中国近代史纲要》课后习题答案[word格式]《中国近现代史》选择题全集（共含250道题目和答案）[word格式]《中国近代史纲要》完整课后答案（高教版）数学应用[word格式]高等数学习题答案及提示[pdf格式]《线性代数》习题答案（魏福义，黄燕苹，中国农业出版社）[word格式]《概率论与数理统计》8套习题及习题答案（自学推荐）[word格式]《线性代数》9套习题+9套相应答案（自学，复习推荐）[pdf格式]《概率论与数理统计》习题册答案（四川大学版）[pdf格式]《近世代数基础》习题解答（张瑞禾版，高教版）[word格式]《数值分析）大作业（详细，英文版）[pdf格式]《算法导论》课后习题答案（英文版）[word格式]《概率论》完整习题答案（李贤平，复旦版）[word格式]《概率论与数理统计》课后习题解答（东南大学出版社）[pdf格式]《数学分析》完整习题答案（第二版，陈传璋编，复旦大学高等教育出版社）[pdf格式]《概率论与数理统计》优秀学习资料[word格式]《概率论与数理统计及其应用》课后答案（浙江大学盛骤谢式千编著）[word格式]《常微分方程》习题解答（王高雄版）[pdf格式]《泛函分析》习题解答（张恭庆版）[word格式]《线性代数》课后习题答案（陈维新，科学出版社）[pdf格式]《高等代数与解析几何》习题答案（同济大学）[pdf格式]《运筹学（第三版）》讲解和习题答案（清华大学出版社）[pdf格式]《复变函数》习题答案（第四版）[pdf格式]《理工类复习全书》课后答案详解（陈文灯）[pdf格式]《积分变换》习题答案（配套东南大学张元林编的）[word格式]《离散数学》习题答案（高等教育出版社）[word格式]《线性代数》习题解答（王中良）[word格式]工程数学《概率统计简明教程》习题全解（高教版）[word格式]《概率论与数理统计》习题答案（复旦大学出版社）[pdf格式]《概率论与数理统计》习题详解（浙大二、三版通用）[pdf格式]《复变函数与积分变换》习题答案[ppt格式]高等数学上下《习题ppt》[ppt格式]《概率论与数理统计》习题答案[word格式]离散数学习题解答（第四版）清华大学出版社【篇三：教高厅函200746号】txt>教育部办公厅关于公布2007年度普通高等教育精品教材书目的通知各省、自治区、直辖市教育厅（教委），新疆生产建设兵团教育局，部属各高等学校，有关出版社：为进一步提高高等教育教材质量，推动优秀教材进课堂，我部决定在已出版的“十一五”国家级规划教材中评选精品。
高等代数与解析几何习题答案
习题习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。
证明：（1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a === 2211，且A 不是对角阵，则A 不可对角化。
证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλ ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，所以A 有n个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。
（2）假设A 可对角化，即存在对角阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n B λλλ21，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21 。
又因为矩阵A 的特征多项式为na A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλ ，从而E a a a a B nn 112211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与假设矛盾，所以A 不可对角化。
习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值s λλλ,,,21 ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i =。
证明：（1）s V V V +++ 21是直和；（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕= 21。
证明：（1）取s V V V +++ 21的零向量0，写成分解式有021=+++s ααα ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1 =。
现用12,,,-s σσσ 分别作用分解式两边，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121s s s s s ss s αλαλαλαλαλαλααα 。
丘维声高等代数与解析几何
丘维声高等代数与解析几何高等代数和解析几何是数学中两个重要的分支学科，它们在数学研究和应用中起着重要的作用。
本文将从丘维声高等代数和解析几何的定义、基本概念和应用等方面进行阐述。
一、丘维声高等代数丘维声高等代数是由中国数学家丘维声先生创立的。
它是对初等代数的进一步推广和发展，主要研究多项式、线性代数、群论、环论、域论等数学对象的性质和相互关系。
丘维声高等代数不仅是数学中的一门基础学科，也是其他数学分支的重要工具和基础。
在丘维声高等代数中，多项式是一个重要的概念。
多项式是由常数和变量经过加法、减法和乘法运算得到的表达式。
丘维声高等代数研究了多项式的因式分解、根与系数的关系、多项式方程的解法等内容。
多项式的因式分解是将一个多项式表示为几个乘积的形式，这在解决实际问题中具有重要的意义。
线性代数也是丘维声高等代数的重要组成部分。
线性代数研究了向量空间、线性变换、矩阵等概念和性质。
向量空间是由一组向量组成的集合，线性变换是将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换。
矩阵是由数个数按照一定规则排列成的矩形阵列。
丘维声高等代数通过研究向量空间和线性变换的性质，为解决实际问题提供了数学工具。
群论、环论和域论是丘维声高等代数的重要分支。
群论研究了集合上的一种二元运算的代数结构，环论研究了集合上具有两种二元运算的代数结构，域论研究了具有四则运算的代数结构。
这些代数结构和运算在数学和其他学科中具有广泛的应用，例如密码学、编码理论等。
二、解析几何解析几何是研究几何图形的坐标表示和性质的数学分支。
它将几何问题转化为代数问题，通过代数方法来解决几何问题。
解析几何的基本思想是将几何问题转化为代数方程，并通过求解这些方程来得到几何图形的性质。
在解析几何中，平面坐标系和空间坐标系是常用的表示方法。
平面坐标系是由两个坐标轴组成的平面，用来表示二维几何图形。
空间坐标系是由三个坐标轴组成的空间，用来表示三维几何图形。
通过坐标系，我们可以将几何图形的位置、形状和大小等信息用数学语言进行描述。
北京大学高等代数与解析几何试题解答(初稿)
2008年 北京大学研究生入学考试高等代数与解析几何试题解答说明: 本试题解答由SCIbird 提供, 继续在博士家园论坛首发. 若有转载, 请注明转载自博士家园论坛. 在看证明前, 建议读读下面一段话,将有助于对本套试题解答的理解.现在看到的这套试题的解答, 算是我本人在过去两个月学习高代的一个阶段总结. 考虑到自身水平, 我觉得十分有必要声明两点:(1). 和数分一样, 高代也是自学的. 只不过刚学不久, 但没数分学的时间长, 也没数分用的熟练. 于是我决定在这套试题解答中使用尽可能使用比较基本的方法, 这样会降低自己出错的机会. 但这样写可能在一些高手的眼里就显的太基础了, 太俗了, 甚至方法很笨拙. 可这也是没办法的事, 比如我目前还不怎么会用约当标准型.(2). 在本解答中,我尽量写的通俗些, 但为避免引起大家的困惑和不必要的争议, 需要先说明下我在这里所使用的定理和结论皆出自下面两本书:《高等代数简明教程》 蓝以中 编著, 《解析几何》尤承业 编著. 如果你对本解答中所使用的定理或结论不理解的话, 请查阅上面的两本书.高等代数部分解答1. (1) 若A 是m n ×矩阵，非齐次线性方程组Ax β=有解，且()r A r =，则方程组Ax β=的解向量中线性无关的最多有多少个? 并找出一组最多的线性无关的解向量.解: 最多有1n r −+个线性无关的解向量. 理由如下:a). 设Ax β=的一个特解为0X , 对应的齐次方程的一个基础解系为12,,,n r ηηη− . 令0k k x X η=+, 12,,,n k r =− . 则0X 与k x 都是Ax β=的解,我们断定01,,,n r X x x − 是线性无关的.令 00110n r n r k x k X k x −−+++= , 两边乘以矩阵A 得到010010()()n r n r k k AX k k k k β−−++=+++=+ .因为0β≠, 所以010()n r k k k −+++= .代回上式得 11220n r n r k k k ηηη−−+++= .考虑到基础解系是线性无关的, 故 10n r k k −=== , 进而00k =.这就证明了01,,,n r X x x − 是线性无关的.b). 往下只需证明Ax β=的任意2n r −+个解向量必线性相关. 任取2n r −+个解向量, 记为12,,,s y y y (这里2s n r =−+).其中 0i i y X α=+ , 12,,(,)i n r L αηηη−∈设11220s s y y y λλλ+++= ,即 12011220()s s s X λλλαλλαλα++++++=+两边乘以矩阵A 得到, 120()s λλλ+++= --------(1),代入上式有, 11220s s λαλααλ+++= ---------(2).下面我们证明, 确实存在一组不全为0的常数12,,,s λλλ ,使得(1)(2)均成立.注意到12,(,),i s n r L ααηηη−∈− , 2s n r =−+.则 121,,,s s s s αααααα−−−− 必定线性相关. 因此存在一组不全为0的常数 121,,,s k k k − 使得110()s i i i s k αα−=−=∑. 令11s i s i k λ−==−∑, 121,,,,i i s k i λ==−则满足(1)(2)式, 这就证明了12,,,s y y y 是线性相关的.c). 显然, 0010,,,n r X X X ηη−++ 就是一组满足要求的解向量.注: 本题按理说不难, a)也容易想到, 证明也不是很难. 到是b)的证明有些难度. 这就好像求最大值, 找到一个备选的可能最大值可能比较容易, 但要证明没有其他元素比她大可能就困难了. 本题的困难之处在于非齐次线性方程组的解集不是一个线性空间(没有0元素), 这就比较麻烦了, 需要转化一下. 下面我们来梳理一下证明思路:首先, 直观上向量个数越多, 其线性相关的可能性越大. 注意到非齐次线性方程组的解是: "特解+齐次基础解系" 的形式, 特解必须有, 而基础解系向量越少, 则线性无关的可能性就越大. 很自然的我们应该考察这样一组解向量: 0010,,,n r X X X ηη−++ . 证明它们是线性无关的, 只能用定义了. 我们知道12,,,n r ηηη− 是线性无关的. 而这个0X 有点碍事, 于是两边用A 作用把它消去.其次, 要证明最大性, 我们还得证明任意2n r −+解向量必线性相关. 这就要有一点技巧了! 如果你观察的足够仔细会发现我上面b)的证明实际上是从两边出发往中间(1)(2)夹的. 虽然把0X 消去了, 但又多了一个条件(1). 注意到我们取的2n r −+个i α中至多有n r −个是独立的, 也就是说至少有两个向量是多余的. 于是我们可这样考虑由(1), 得11s i s i λλ−==−∑. 代入(2), 发现110()s i i i s λαα−=−=∑.上面的1s −个向量是线性相关的, 因而i λ有非零解. 显然满足(1)(2).(2). 若Ax β=对所有m 维非零向量β都有解，求()r A解: ()r A m =. 理由如下:不妨A 是m s ×矩阵, 即12(,,,)s A ηηη= , 其中i η为m 维列向量.方程组有解, 意味着β可由A 的列向量线性表示, 因此12(,,,)s L βηηη∈ .显然当0β=时方程组也有解(零解). 因为对所有m 维非零向量β都有解, 也就是说 任取m K β∈, β可由A 的列向量线性表示. 因此12(,,,)m s K L ηηη⊂ .所以 12dim (,,,)s m L ηηη≤ .注意到12()dim (,,,)s r A L ηηη= 及 ()r A m ≤, 因此有()r A m =.注: 方程Ax β=有解的几何意义, 就是向量β可由矩阵A 的列向量线性表示. 即12(,,,)s L βηηη∈ . 再由β取法的任意性, 得到12(,,,)m s KL ηηη⊂ . 往下的思路就自然了.2. (1) 若A 是s n ×矩阵，B 是n m ×矩阵，()()r AB r B =.则对于所有m l ×矩阵C 是否有()()r ABC r BC =? 并给出理由。
11-12(2)高等代数与解析几何试卷(A)参考答案及评分标准
中国计量学院2011 ~ 2012学年第 2 学期《高等代数》(2)课程试卷（A ）参考答案及评分标准一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.D2.B3.D4.C5.A二、填空题(每小题3分，共15分)1.1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭；2. __1，-3__；3.100010011⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭； 4. 20x y +-= 5.222x y pz +=．三、计算题1．(12分)设A 是3P 中的线性变换，且A 在基)1,1,1(1-=η,)1,0,1(2-=η,)1,1,0(3=η下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求A 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵.解 因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011， 所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，-------------4分故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211 -------------12分2．(12分)求λ矩阵222211λλλλλλλλλλ()A ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的标准形、不变因子、行列式因子、初等因子．解 对-λ矩阵作初等变换,有A =)(λ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--222101λλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--)1(00001λλλλ → )()1(0000001λλλλD =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+ 标准形为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=)1(000001)(λλλλD ；----------------------6分 不变因子为：)1()(,)(,1)(321+===λλλλλλd d d ；----------------------8分 行列式因子为：)1()(,)(,1)(2321+===λλλλλλD D D ；----------------------10分 初等因子为：1,,2+λλλ.----------------------12分3．(12分) 设二次型()222123123121323,,22448f x x x x x x x x x x x x =---++ ，求一正交变换 x Ty =，将二次型化为标准形. 解 二次型对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=242422221A ，----------------------2分且A 的特征多项式为 2)2)(7(-+=-λλλA E ，特征值为2,7321==-=λλλ．---------------------4分 相应的特征向量为 ()()()1,0,2,0,1,2,2,2,1321=-=-=ααα，---------------------6分正交化,可得()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=1,54,52,0,1,2,2,2,1321βββ， 再单位化,有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=535,534,532,0,51,52,32,32,31321ηηη， ----------------------8分令X=TY ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=53503253451325325231T ，----------------------10分 则 232221'227y y y AX X ++-=．----------------------12分4.(12分) 求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程. 解 设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：z Zy Y x X ==----------------------3分 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,， -----------6分 将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：0)()(222=-+--y z y z z x即：0222=-+z y x此为所要求的锥面方程. ----------------------12分5. (12分)求过双曲抛物面z y x =-41622上的点（2,1,0）的直母线方程. 解：双曲抛物面z y x =-41622的两族直母线为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x u uy x )24(24 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-z yx v v yx 24(24----------------------6分将点（2,1,0）分别代入上面两族直母线的方程，求得,1==v u----------------------10分因此，所求的直母线方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x yx 24124 及 ⎪⎩⎪⎨⎧==-024z y x ----------------------12分四、证明题((每小题5分，共10分)1.在2R 中，定义变换(,)(2,2)x y x y x y σ=++． （1）证明：σ是2R 的线性变换.（2）取2R 的一组基：12(1,0),(0,1)εε==，求σ的值域2()σR 及2()σR 的一组基.证明(1)设1221x x A y y σξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，σ是2R 到R 的映射，且2,,k αβ∀=∈∀∈R R ，有()()k l A k l kA lA σαβαβαβ+=+=+，所以σ是线性变换；-----------------3分(2) 对于2R 的基：12(1,0),(0,1)εε==，有12()(1,2),()(2,1)σεσε==，易知12(),()σεσε线性无关，于是它们构成2()σR 的一组基，且值域为 12()((),())((1,2),(2,1))L L σσεσε==3R .-----------------5分 2.欧氏空间V 中的线性变换A 称为反对称的，如果对任意α，β∈V ，有（A α，β）= —（α，A β）． 证明：如果V 1是反对称线性变换A —子空间，则V 1⊥也是A —子空间．证明 任取∈αV 1⊥，可证A ∈αV 1⊥，即A ∈αV 1，事实上，任取β∈V 1，由于V 1是A 子空间，因此A β1V ∈，而∈αV 1⊥，故（α，A β）=0．----------------------3分再由题设，A 是反对称的，知（A α，β）= —（α，A β）=0，----------------------4分由β的任意性，即证A ∈αV 1 ．从而V 1⊥也是A —子空间．----------------------5分。
高等代数与解析几何课件
•
b定义为一个
a • b | a || b | cos a,b .
量 讨论内积、向量的长度、两个向量的夹角的关系.
代
a
b
数
b0
第
命题6.3 向量a与b垂直的充分必要条件是 ：ab 0.
一 章 a,
b,
定理6.4 向量的内积有下列性质：对任意的向量
c以及实数k , 有 (IP1)对称性质a
要条件是：
a
b
c
0.
章
C
向
A
B
量
例1.2用向量方法证明：对角 线互相平分的四边形
代 是平行四边形 . D
O
C
数
A
B
第
向量的标量乘法
一
定义1.3 实数k与向量a的标量乘积ka是一个向量， 它的长度是a的长度的| k | 倍，当k 0时它的方向与a
章 向
相同，当k 0时方向与a相反.
（对M任1）意k的(m向a量 ) a(,kbm以)a及; 实数 k有：
（3）推广到有限个点 线性流形.
量
（4）线性流形的基本特征.
（5）单纯形的概念.
代
例2.2 证明线性流形LM（A1，A2，，An )中任意
数 两点M1，M 2一定包含在这个线性流形内.
第
思考题：线性流形的基本特征.
（1）“直”、“平”，（2）是否包含零向量.
一
例2.3 设a和b是两个非零向量.试证由它们的线性
数
第
问题：（1）讨论两个非零向量共线的性质；
一
（2）讨论三个点共线的条件； （3）讨论三个向量共面的性质；
章 （4）讨论四个点共面的条件.
（5）将以上问题推广或一般化.
高等代数与解析几何试卷(A)参考答案及评分标准
中国计量学院2011 ~ 2012学年第 2 学期《高等代数》(2)课程试卷（A ）参考答案及评分标准一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.D2.B3.D4.C5.A二、填空题(每小题3分，共15分)1.1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭；2. __1，-3__；3.100010011⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭； 4. 20x y +-= 5.222x y pz +=．三、计算题1．(12分)设A 是3P 中的线性变换，且A 在基)1,1,1(1-=η,)1,0,1(2-=η,)1,1,0(3=η下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求A 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵.解 因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011， 所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，-------------4分故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211 -------------12分2．(12分)求λ矩阵222211λλλλλλλλλλ()A ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的标准形、不变因子、行列式因子、初等因子．解 对-λ矩阵作初等变换,有A =)(λ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--222101λλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--)1(000001λλλλ→ )()1(0000001λλλλD =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 标准形为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=)1(0000001)(λλλλD ；----------------------6分 不变因子为：)1()(,)(,1)(321+===λλλλλλd d d ；----------------------8分行列式因子为：)1()(,)(,1)(2321+===λλλλλλD D D ；----------------------10分初等因子为：1,,2+λλλ.----------------------12分3．(12分) 设二次型()222123123121323,,22448f x x x x x x x x x x x x =---++ ，求一正交变换 x Ty =，将二次型化为标准形. 解 二次型对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=242422221A ，----------------------2分且A 的特征多项式为 2)2)(7(-+=-λλλA E ，特征值为2,7321==-=λλλ．---------------------4分 相应的特征向量为 ()()()1,0,2,0,1,2,2,2,1321=-=-=ααα，---------------------6分正交化,可得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=1,54,52,0,1,2,2,2,1321βββ， 再单位化,有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=535,534,532,0,51,52,32,32,31321ηηη， ----------------------8分令X=TY ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=53503253451325325231T ，----------------------10分 则 232221'227y y y AX X ++-=．----------------------12分4.(12分) 求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程. 解 设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：z Z y Y xX == ----------------------3分 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,， -----------6分将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：0)()(222=-+--y z y z z x即：0222=-+z y x此为所要求的锥面方程. ----------------------12分5. (12分)求过双曲抛物面z y x =-41622上的点（2,1,0）的直母线方程. 解：双曲抛物面z y x =-41622的两族直母线为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x u uy x )24(24 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-z yx v v yx )24(24----------------------6分将点（2,1,0）分别代入上面两族直母线的方程，求得,1==v u----------------------10分 因此，所求的直母线方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x yx 24124 及 ⎪⎩⎪⎨⎧==-0024z yx ----------------------12分四、证明题((每小题5分，共10分)1.在2R 中，定义变换(,)(2,2)x y x y x y σ=++． （1）证明：σ是2R 的线性变换.（2）取2R 的一组基：12(1,0),(0,1)εε==，求σ的值域2()σR 及2()σR 的一组基.证明(1)设1221x x A y y σξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，σ是2R 到R 的映射，且2,,k αβ∀=∈∀∈R R ，有()()k l A k l kA lA σαβαβαβ+=+=+，所以σ是线性变换；-----------------3分(2) 对于2R 的基：12(1,0),(0,1)εε==，有12()(1,2),()(2,1)σεσε==，易知12(),()σεσε线性无关，于是它们构成2()σR 的一组基，且值域为12()((),())((1,2),(2,1))L L σσεσε==3R .-----------------5分2.欧氏空间V 中的线性变换A 称为反对称的，如果对任意α，β∈V ，有（A α，β）= —（ α，A β）．证明：如果V 1是反对称线性变换A —子空间，则V 1⊥也是A —子空间．证明 任取∈αV 1⊥，可证A ∈αV 1⊥，即A ∈αV 1，事实上，任取β∈V 1，由于V 1是A 子空间，因此A β1V ∈，而∈αV 1⊥，故（α，A β）=0．----------------------3分再由题设，A 是反对称的，知（A α，β）= —（α，A β）=0，----------------------4分由β的任意性，即证A ∈αV 1 ．从而V 1⊥也是A —子空间．----------------------5分（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
高等代数与解析几何 第二版 (陈志杰 著) 高等教育出版社
4 6
5 1
6 2
;
·1·
若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡
(2)
1 6
4 8
5 5
6 4
3 7
2 2
8 1
7 3
;
m (3)
2 6
5 3
4 1
3 2
9 7
8 9
6 8
7 5
1 4
;
? .co (4)
1 2
3 4
5 6
··· ···
2n − 1 2n
2 1
4 3
m (1)
1 −3
0 −2
4 10
−1 −11
;
−1 1 −15 8
.co 2 0
0 0
1 −1 2 3 4
(2)
2 −1 1
1 2 5
−1 1 −8
2 1 −5
0 3 −12
.
3 −7 8 9 13
:
(1)
1 −3
19 −35
0 −54
0 0
.
w −1 −30 a 1 0 0
hd (2)
2 −1 1
) (
Y)?
w (1) −a21a34a15a23a52; a : (1) U.
(2) +a32a15a24a53a41.
(2) .
~% y V9 6 : d 3.
l )#G Y? ! a23 .
h : −a11a32a23a44, −a31a42a23a14, −a41a12a23a34.
P2(3) = 1+P1(2)+P2(2),
kl U# #$ P2(n) = (n − 2) + (n − 1) + · · · + 2 =
高等代数与解析几何(Higher Algebra and Analytic Geometry)
高等代数与解析几何（Higher Algebra and Analytic Geometry）课程教学大纲一、课程编号：040504，040505二、课程类别：必修课课程学时：160学时适用专业：信息与计算科学先修课程：初等代数、初等几何三、课程的性质与任务《高等代数与解析几何》是数学、通信、计算机、信息等专业学生的重要的基础课程，是现代信息科学中不可缺少的数学工具。
主要目的是掌握本门课程的基本理论和基本方法。
四、教学主要内容及学时分配（一）向量代数（20学时）（二）行列式（14学时）（三）线性方程组与线性子空间（24学时）（四）矩阵（20学时）（五）线性空间与欧几里德空间（20学时）（六）几何空间的常见曲面（12学时）（七）线性变换（16学时）（八）线性空间上的函数（10学时）（九）坐标变换与二次曲线方程的化简（4学时）（十）一元多项式理论（16学时）（十一）多项式矩阵与若当典范形（4学时）五、教学基本要求（一）理解向量的概念，掌握向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；熟悉向量间垂直、共线、共面的条件；会用坐标进行向量的运算。
（二）理解n阶行列式的概念及性质，掌握常见类型的行列式的计算；熟悉克兰姆法则。
理解矩阵及初等变换的概念。
（三）理解n维向量的概念、线性相关与线性无关的定义，了解几个相关结论。
理解线性方程组解的结构，熟练掌握求解方法；会用线性方程组理论判别n维向量组的线性相关性；掌握求直线、平面方程的方法；理解线性子空间、基、维数、坐标的概念，了解简单性质。
（四）理解向量组及矩阵的秩，掌握求逆矩阵、秩的方法；熟悉线性方程组有解判别条件；理解线性映射与矩阵的对应关系。
（五）理解线性空间、欧氏空间、同构、和、直和的概念，了解其性质；掌握施密特正交化方法；了解最小二乘法；会求直线或平面的夹角、点到平面的距离；了解正交矩阵的性质。
（六）了解常见二次曲面的方程及形状，会求简单的旋转曲面、柱面、锥面的方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 0 2 2
1．矩阵
A
2
3
4
3
的迹为
0 0 5 4
2
1
1
3
A 2;
B 1;
C 0;
（D ） D 1.
2．空间中曲面方程为
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ,
则它是
（C ）
A 椭球面; B 单叶双曲面; C 双叶双曲面; D 椭圆抛物面.
3．下面叙述错误的是:
（ A）
A. 一个n 方阵可以对角化的充分必要条件是该方阵的各特征根的几何重
数之和小于等于n ;
B. 一个n 方阵可以对角化的充分必要条件是该方阵每个特征根的几何重
数等于其代数重数;
C．一个n 方阵可以对角化的充分必要条件是该方阵有n 个线性无关的特征
向量;
院（系）：
D. 一个n 阶方阵可以对角化的充分必要条件是该方阵相似与一个对角矩阵.
2 0 4
4. 设 A 0 6 0 ,下列是矩阵 A 的特征向量的是:
L k
.
.
第 1 页(共 5 页)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
学号：
华中师范大学 2007 –2008 学年第一学期 期末考试试卷 A
课程名称 高等代数与解析几何 2 课程编号 83410004 任课教师
题号 一 二 三 四 五 总分 分值 20 20 24 24 12 100 得分
学生姓名：
年级：
专业：
得分 评阅人 一、选择题，请将正确答案的字母填在括号内：（每空 5 分 共 20 分，）
得分 评阅人
四、简答题与证明题：（每题 8 分，共 24 分）
1．请说明列初等变换有那些? 并写出对应的初等矩阵. 请证明任意一个可逆 矩阵可以写成有限个初等矩阵的乘积.
2．讨论下列三个平面的位置关系:
M1 : x y bz 3; M 2 : 2x (a 1) y (b 1)z 7; M3 : (1 a) y (2b 1)z 0.
得分 评阅人
1．求异面直线
L1 :
三、计算题：（每题 12 分，共 24 分）
x9 4
y2 3
z 1 , L2
:
x 2
y7 9
z2 2
之间的距离.
第 2 页(共 5 页)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
第 3 页(共 5 页)
3．已知OA ,OB ,OC 不共面, 试证: 向量 R 垂直于 平面 ABC .
4．若1,2, ,n（1 0 ）为向量空间V F m 一个线性相关的向量组, 试证明: 存在 r 1, 使得 r L(1, ,r1) .
第 4 页(共 5 页)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
55
3．平面上的仿射坐标变换公式为:
x y
r11 r21
r12 r22
x y
t1 t2
，det
r11 r21
r12 r22
0
.
4.
平面上的二次曲线方程为:
(
X
T
,1)
Q LT
L k
X 1
0
,
那么它的三个欧式不
பைடு நூலகம்
变量为:
Q
trQ,
det
Q,
det
LT
得分 评阅人
五、行列式的计算：（每题 10 分，共 10 分）
设 sk x1k x2k xnk , k 0,1, 2, . 证明：
s0 s1 D s1 s2
sn1 sn
sn1
sn (xi x j )2 . 1i jn
s2n2
第 4 页(共 5 页)
4 0 2
A (1 0 1)T ; B (1 2 0)T ; C (2 0 1)T ;
（A ） D (0, 0, 1)T .
得分 评阅人
二、填空题：（每空 5 分，共 20 分）
1．多项式
4
x3
3x
1
的标准分解式是
4(
x
1 2
)
2
(
x
1)
.
1 4 2
2．设矩阵
A
0
0
3 4
4
,
3
则 A1 的三个特征值为1, 1 , 1 .