1.3.2算法案例[2]

思考1:对于多项式 f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1，求f(5)的值.
若先计算各项的值，然后再相加，那么 一共要做多少次乘法运算和多少次加法 运算？
4+3+2+1=10次乘法运 算， 5次加法运算.
思考2:在上述问题中，若先计算x2的值，
然后依次计算x2·x，(x2·x)·x，((x2·x)·x)·x
思考4:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ an2)x+…+a1)x+a0，由内向外逐层计算一 次多项式的值，其算法步骤如何？
第一步，计算v1=anx+an-1
第二步，计算v2=v1x+an-2
第三步，计算v3=v2x+an-3 … 第n步，计算vn=vn-1x+a0
思考5:上述求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值的方法 称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的 值，一共需要多少次乘法运算，多少次 加法运算？
n次乘法运算，n次加法运算.
考6:在秦九韶算法中，记v0=an， 那么第k步的算式是什么？
vk=vk-1x+an-k (k=1，2，…，n)
知识探究(二):秦九韶算法的程序设计
思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可 以用什么逻辑结构来构造算法？其算法 步骤如何设计？
第一步，输入多项式的次数n，最高次 项的系数an和x的值.
第二步，令v=an，i=n-1. 第三步，输入i次项的系数ai.
第四步，v=vx+ai，i=i-1. 第五步，判断i≥0是否成立.若是，则返回第
三步；否则，输出多项式的值v.
理论迁移
例1 已知一个4次多项式为 f (x) 2x 4 3x 3 2x2 x 5
用秦九韶算法求f(3)的值.
f(x)=( ((2x+3)x-2)x+1)x-5 v1=2×3+3=9 v2=9×3-2=25 v3=25×3+1=76 v4=76×3-5=223
所以f(3)= 223
小结作业
秦九韶算法的意义在于将求n次多 项式的值转化为求n个一次多项式 的值。在人工计算时，利用秦九韶 算法可以大幅简化运算。在多项式 求值的各种算法中，秦九韶算法是 一个优秀算法。
作业： P45练习：2 P48习题1.3A组：2 写作业本上
的值，这样每次都可以利用上一次计算 的结果，再将这些数与x和1相加，那么 一共做了多少次乘法运算和多少次加法 运算？
4次乘法运算，5次加法运算.
思考3:利用后一种算法思想求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值，这个 多项式可以改写成哪种形式？
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =… =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0
算法案例
问题提出
1.辗转相除法和更相减损术，是求两 个正整数的最大公约数的优秀算法，我 们将算法转化为程序后，就可以由计算 机来执行运算，实现了古代数学与现代 信息技术的完美结合.
2. n次多项式的求值，在我国古代数学 中也有一个优秀算法，即秦九韶算法.今 天我们一起来领略秦九韶算法的魅力
知识探究(一):秦九韶算法的基本思想