各地高考等比数列真题试卷(含详细答案)
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等比数列练习题
一、选择题
1.(2009年广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =22
5a ,2a =1,则1a = A.
2
1
B. 22
C. 2
D.2
【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得(
)2
2
8
41112a q a q a q ⋅=,即2
2q
=,又因为等比数列}{n a 的公比为
正数,所以q =
故212a a q =
==
,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列,那么( )
A 、3,9b ac ==
B 、3,9b ac =-=
C 、3,9b ac ==-
D 、3,9b ac =-=-
3、若数列}{
n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n
n 则
(A )15 (B )12 (C )-12 D )-15 答案:A
4.设{n a }为等差数列,公差d = -2,n S 为其前n 项和.若1011S S =,则1a =( ) A.18 B.20 C.22 D.24 答案:B 解析:
20
,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S
5.(2008四川)已知等比数列()n a 中21a =,则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.()
(),01,-∞+∞ C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞
答案 D
6.(2008福建)设{a n }是公比为正数的等比数列,若n 1=7,a 5=16,则数列{a n }前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C
7.(2007重庆)在等比数列{a n }中,a 2=8,a 5=64,,则公比q 为( ) A .2 B .3 C .4 D .8 答案 A
8.若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ,则公比为 A .2 B .4 C .8 D .16 答案:B
9.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,a n +1 =3S n (n ≥1),则a 6=
(A )3 × 44 (B )3 × 44+1 (C )44 (D )44+1 答案:A 解析:由a n +1 =3S n ,得a n =3S n -1(n ≥ 2),相减得a n +1-a n =3(S n -S n -1)= 3a n ,则a n +1=4a n (n ≥ 2),a 1=1,a 2=3,则a 6= a 2·44=3×44,选A .
10.(2007湖南) 在等比数列{}n a (n ∈N*)中,若11a =,41
8
a =,则该数列的前10项和为( ) A .4122- B .2122- C .101
22
- D .11122-
答案 B
11.(2006湖北)若互不相等的实数
成等差数列, 成等比数列,且310a b c ++=,则a = A .4 B .2 C .-2 D .-4 答案 D
解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a =b -d ,c =b +d ,由310a b c ++=可得b =2,所以a =2-d ,c =2+d ,又,,c a b 成等比数列可得d =6,所以a =-4,选D 12.(2008浙江)已知{}n a 是等比数列,4
1
252==a a ,,则13221++++n n a a a a a a =( ) A.16(n
--4
1) B.6(n
--2
1)
,,a b c ,,c a b
C.
332(n --41) D.3
32(n --21) 答案 C
二、填空题:
三、13.(2009浙江理)设等比数列{}n a 的公比1
2
q =
,前n 项和为n S ,则44S a = .
答案:15解析 对于443
1444134(1)1,,15
1(1)a q s q s a a q q a q q --==∴==--
14.(2009全国卷Ⅱ文)设等比数列{n a }的前n 项和为n s 。
若3614,1s s a ==,则4a =
答案:3
解析:本题考查等比数列的性质及求和运算,由3614,1s s a ==得q 3=3故a 4=a 1q 3
=3
15.(2007全国I) 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1S ,22S ,33S 成等差数列,则{}n a 的公比为 .答案
13
16.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ,且931,,a a a 成等比数列,则
10
429
31a a a a a a ++++的值为 .
答案
1316 三、解答题
17.(本小题满分12分)
已知等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=-3. (I )求数列{a n }的通项公式;
(II )若数列{a n }的前k 项和S k =-35,求k 的值.
18:①已知等比数列{}n a ,1231237,8a a a a a a ++==,则n a = ②已知数列{}n a 是等比数列,且210,30m m S S ==,则3m S =
③在等比数列{}n a 中,公比2q =,前99项的和9956S =,则36999a a a a +++⋅⋅⋅+= ④在等比数列{}n a 中,若394,1a a ==,则6a = ;若3114,1a a ==,则7a = ⑤在等比数列{}n a 中,()5615160,a a a a a a b +=≠+=,则2526a a +=
解:①2
12328a a a a == ∴22a = ∴131133
51
44a a a a a a +==⎧⎧⇒⎨
⎨⋅==⎩⎩ 或
13
4
1a a =⎧⎨=⎩ 当1231,2,4a a a ===时,1
2,2n n q a -==
当1234,2,1a a a ===时,1
11,422n n q a -⎛⎫
==⋅ ⎪
⎝⎭
②()()2
232370m m m m m m S S S S S S -=⋅-⇒=
③设114797
225898336999
b a a a a b a a a a b a a a a =+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ 则1223,b q b b q b ==,且12356b b b ++=
∴(
)2
1156b q q
=++= 即1
56
8124
b ==++ ∴23
132b b q ==
④2639a a a =⋅ 62a =± 2
7311a a a =⋅ 72a =(-2舍去) ∵当72a =-时,44
7340a a q q ==>
⑤10
15162526561516a a a a q a a a a ++==++ ∴()2
21516252656a a b a a a a a
++==+
19.(本小题满分12分) 已知等比数列{}n a 中,113a =
,公比1
3
q =. (I )n S 为{}n a 的前n 项和,证明:12
n
n a S -=
(II )设31323log log log n n b a a a =+++,求数列{}n b 的通项公式.
20、某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ,M 的价值在使用过程中逐年减少,从第2年到第6年,每年初M 的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M 的价值为上年初的75%. (I )求第n 年初M 的价值n a 的表达式; (II )设12,n
n a a a A n
++
+=
若n A 大于80万元,则M 继续使用,否则须在第n 年初对M 更新,证明:
须在第9年初对M 更新. 解析:(I )当6n ≤时,数列{}n a 是首项为120,公差为10-的等差数列.
当6n ≥时,数列{}n a 是以6a 为首项,公比为
3
4
为等比数列,又670a =,所以 因此,第n 年初,M 的价值n a 的表达式为6
12010(1)13010,6370(),74
n n n n n n a a n ---=-≤⎧⎪
=⎨=⨯≥⎪⎩ (II)设n S 表示数列{}n a 的前n 项和,由等差及等比数列的求和公式得
当16n ≤≤时,1205(1),1205(1)1255;n n S n n n A n n =--=--=-
当7n ≥时,
66
6786
333
()570704[1()]780210()444
3
780210()4.n n n n n n S S a a a A n
---=+++
+=+⨯⨯⨯-=-⨯-⨯=
因为{}n a 是递减数列,所以{}n A 是递减数列,又
8696
8933
780210()780210()4779448280,7680,
864996A A ---⨯-⨯==>==<
21:①已知{}n a 等比数列,32420
2,3
a a a =+=,求{}n a 的通项公式。
②设等比数列{}n a 的公比为()0q q >,它的前n 项和为40,前2n 项和为3280,且前n 项和中最
大项为27,求数列的第2n 项。
③设等比数列{}n a 的公比1q <,前n 项和为n S ,已知3422,5a S S ==,求{}n a 的通项公式。
解:①13
q =
或3q = 323n n a -=⨯ 或 323n n a -=⨯ ②当1q =时 12140
23280
n n S na S na ==⎧⎨==⎩ 无解
当1q ≠时 ()()1212140
1132801n n n n a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪
=
=⎪-⎩
2182n n n S q S =+= ∴81n
q = ∴
11
12
a q =-- ∵0q > 即81n
q =1> ∴1q > ∴10a > ∴数列{}n a 为递增数列
∴1
112781n n a a a q q -===⋅ 解方程组111
3112a q a q
⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩ 得113a q =⎧⎨=⎩ ∴
2121213n n n a a q --==
③由已知()1110,1n
n a q a S q -≠=- 时 ()()2142112
11511a q a q a q q q ⎧=⎪
--⎨=⨯⎪
--⎩
得()42151q q -=- ∵1q < ∴1q =- 或 2q =-
当1q =-时,()1
12,21n n a a -==-
当2q =-时,()()11
2111,21222
n n n n a a ---=
=-=- 22.数列{}n a 为等差数列,n a 为正整数,其前n 项和为n S ,数列{}n b 为等比数列,且113,1a b ==,数列{}n a b 是公比为64的等比数列,2264b S =.
(1)求,n n a b ;(2)求证
12
11
134
n S S S +++
<. 解:(1)设{}n a 的公差为d ,{}n b 的公比为q ,则d 为正整数,
3(1)n a n d =+-,1n n b q -=
依题意有1363(1)22642(6)64n n nd
a d n d a
b q q b q S b d q +++-⎧====⎪
⎨⎪=+=⎩
①
由(6)64d q +=知q 为正有理数,故d 为6的因子1,2,3,6之一, 解①得2,8d q ==
故1
32(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=
(2)35(21)(2)n S n n n =++++=+ ∴
12
1111111
132435
(2)
n S S S n n +++=++++
⨯⨯⨯+。