应用泛函分析中的区间方法

1997年　3月第21卷第1期
河北师范大学学报(自然科学版)
Jo urnal of Hebei N or mal U niver sity(N atur al Science)
M ar.1997
V ol.21N o.1应用泛函分析中的区间方法
刘成杰
(河北廊坊管道学院基础部,065000,廊坊;35岁,男,讲师)
摘　要　引入区间的各种算术运算及区间积分的概念,并应用这些知识进行误差估计及解微分方程.
关键词　区间的算术运算;区间积分;区间算子
分类号　O177.92
利用区间的运算去估计误差或解微分方程的方法,称为区间方法.
1　区间的算术运算及误差估计
设〔a,b〕,〔c,d〕是实轴上的有界闭区间,规定区间之间的算术运算如下
(1)〔a,b〕+〔c,d〕={x+y x∈〔a,b〕,y∈〔c,d〕}=〔a+c,b+d〕;
(2)〔a,b〕-〔c,d〕={x-y x∈〔a,b〕,y∈〔c,d〕}=〔a-d,b-c〕;
(3)〔a,b〕〔c,d〕={x y x∈〔a,b〕,y∈〔c,d〕}=〔m in(ac,ad,bc,bd〕,max(ac,ad,bc, bd)〕;
(4)〔a,b〕/〔c,d〕={x/y x∈〔a,b〕,y∈〔c,d〕}=〔a,b〕〔1/d,1/c〕.
对于除法情况,要求0 〔c,d〕.
对于函数的计算有如下规律.设函数f(x1,…,x n)在R n上连续,当自变量x i在区间〔a i,b i〕上取值时,显然f(x1,…,x n)在区间
〔inf f(x1,…,x n),sup f(x1,…,x n)〕
上变化,其中i=1,2,…,n.
例1　极坐标(r, )与直角坐标(x,y)有如下关系
x=r cos , y=r sin .
若 ∈〔0.445,0.455〕,r∈〔0.915,0.925〕,试估计x,y的范围.
解　设x=r cos ∈〔a,b〕,
则　〔a,b〕=〔0.915,0.925〕cos〔0.445,0.455〕=〔0.915,0.925〕〔0.898,0.903〕=〔0.822,0.835〕.
设y=r sin ∈〔c,d〕,
则　〔c,d〕=〔0.915,0.925〕sin〔0.445,0.455〕=〔0.915,0.925〕〔0.430,0.440〕=〔0.393,0.407〕.
故取　x*=(0.822+0.835)/2=0.828; y*=(0.393+0.407)/2=0.400.
收稿日期:1996-05-19;修回日期:1996-11-07
有误差估计 x -x * ≤(0.835-0.822)/2≤0.007;
y -y * ≤(0.407-0.393)/2≤0.007.
2　区间积分
在函数空间可以引入偏序关系:
设M ={f (x ) f (x )是非空集合D 上的实值函数},M 中的偏序关系 f ≤g
成立的充要条件是对任何t ∈D ,有 f (t )≤g (t ).
在此偏序集M 中记〔f ,g 〕为 〔f ,g 〕
={h (t ) f (t )≤h (t )≤g (t ),t ∈D },则〔f ,g 〕
是M 中的一个空间.设f 和g 是有界闭区间〔a ,b 〕上的实值函数,〔a ,b 〕 R 1,并且f ≤g .定义区间值函数
F (t )为 F (t )=〔f (t ),g (t )〕, t ∈〔a ,b 〕
.再定义区间值函数F (t )的积分为
∫b a F (t )d t =∫b a f (t )d t ,∫b a
g (t )d t ,此积分称为区间积分.其中∫b a f (t )d t 是f (t )在区间〔a ,b 〕上的达布下积分,∫b
a
g (t )d t 是g (t )在区间〔a ,b 〕上的达布上积分.
由上述定义可得如下定理.
定理1　设h (t )是〔a ,b 〕上的Riemann 可积函数,F (t )是定义在〔a ,b 〕
上的区间值函数,如果对任何t ∈〔a ,b 〕
,有h (t )∈F (t ),则 ∫b a h (t )d t ∈∫b
a F (t )d t .其中∫b
a h (t )d t 是普通的Riemann 积分.定理2　如果F 和G 是区间〔a ,
b 〕上的两个区间值函数,并且F G ,即对任何t ∈〔a ,b 〕有 F (t ) G (t ).
则 ∫b a F (t )d t ∫b
a G (t )d t .以上定理表明,区间积分保持包含关系.
对实数区间A 0,A 1,…,A n ,可作多项式　P (t )=A 0+A 1t +…+A n t n .
其中t 是实变量,那么又可对P (t )进行如下的积分:
∫x 0P (t )d t =∑n k =0∫x
0A k t k d t =A 0x +A 1x 2/2+…+A n x n +1/(n +1),　x >0.
3　区间方法解微分方程′=ct 2+y b ,
(0)=a ,
0≤a ≤0.1,　0.2≤b ≤0.38,　3.3≤c ≤3.6.
解　首先将初值问题写成等价的积分方程
19第1期 刘成杰:应用泛函分析中的区间方法
y(t)=a+∫t0(cs2+y b(s))d s.
定义区间算子为
P(Y)(t)=〔0,0.1〕+∫t0{〔3.3,3.6〕s2+Y(s)〔0.2,0.38〕}d s,并令Y0(t)=〔0,B〕,t∈〔0,t〕.其中B>0,t1>0待定,这里希望
P(Y0)(t) Y0(t),　t∈〔0,t1〕.
为此记　〔0,B〕〔0.2,0.38〕={y b y∈〔0,B〕,b∈〔0.2,0.38〕}=
　〔0,B0.2〕,　0<B≤1,〔0,B0.38〕,　1≤B.
对于区间值函数Y(s)〔0.2,0.38〕,记　Y(s)=〔Y(s),Y(s)〕,
Y(s)〔0.2,0.38〕={y b y∈Y(s),b∈〔0.2,0.38〕}=
　〔Y(s)0.38,Y(s)0.2〕,　0≤Y(s)≤Y(s)<1;〔Y(s)0.38,Y(s)0.38〕,　0≤Y(s)≤1≤Y(s);〔Y(s)0.2,Y(s)0.38〕,　1<Y(s)≤Y(s).
经计算得 P(Y0)(t)=〔0,0.1〕+〔1.1,1.2〕t3+〔0,B〕〔0.2,0.38〕t.
如果取B=1,并且t1满足　t1+1.2t31≤0.9,
则有 P(Y0)(t) Y0(t), t∈〔0,t1〕.
比如取t1=0.6,那么给定的初值问题对于a,b,c范围内的任意值,得到下列结论:
1.1t3≤y(t)≤0.1+t+ 1.2t3
对于〔0,0.6〕内的任一点t上式均成立.类似地,还可以得到更大范围的近似解.
通过递归方法,可以得到解的更精确的范围,此处不再叙述.
从例2看到,对参数有振动的微分方程,区间方法能够确定一个范围,使得所有可能的情况对应的解,均在此范围内.
参考文献
1　夏道行.实变函数论与泛函分析:下册.第二版,北京:高等教育出版社,1985.15～55 The Interval Method of Applied Functional Analysis
Liu Chengjie
(Depar tm ent of Bas ic Cours es,L angfang Pip elin e College,065000,Langfang,PRC) Abstract　Introduces the arithm etic operation of interv als and the co nception of in-terv al integ ral,and how to estimate erro r and so lute differential equatio ns by applying interval method.
Key words　arithmetic operation of interv als;interval integral;interval operator
(责任编辑　陈　静)
20 河北师范大学学报(自然科学版) 第21卷。