排列组合 - 副本
13种排列组合题型详解，助你拿下高考数学卷上17分，一分都不能丢
13种排列组合题型详解，助你拿下高考数学卷上17分，一分都不能丢高考数学中有一部分知识叫做排列组合概率及统计学，大概占17分左右，但是这部分知识又不是很难，所以这17分一分都不能丢！类型一、特殊元素和特殊位置优先策略位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素；若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置；若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。
这种首先确定排列还是组合的问题，对于首位和末位无须考虑顺序，但是首位末位有优先需求，所以先要排首位和末位，末位必须是奇数，也就是从1，3,5这个里边去挑选一个即可，那首位还不能排0，在排除一个奇数，只剩下4个数可以选择，所以剩下的三位我们直接全排列就可以。
类型二、相邻/相间元素捆绑策略要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题，即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列。
审题时一定要注意关键字眼。
类型三、不相邻问题插空策略先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。
所以这两个方法的关键字都是相邻，以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。
“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定。
类型四、定序问题倍缩空位插入策略顺序固定问题用“除法”，对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。
当然还可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理。
类型五、重排问题求幂策略分房问题又名：住店法，重排问题求幂策略，解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合公式公式解释
排列组合是数学中的一个重要概念，用于计算不同元素的组合方式。
它在组合数学、概率论、统计学等领域中经常被应用。
本文将详细介绍排列组合的概念以及相关公式，并给出一些实际应用的例子。
1. 排列的概念及公式排列是指从n个元素中选取r个元素进行排序的方式。
这个过程中，每个元素只能使用一次，并且顺序不同即为不同的排列。
排列通常用P(n, r)表示，计算公式如下：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * … * 2 * 1。
n的阶乘表示从n个元素中选取所有元素进行排列的总数，而(n-r)!表示剩余元素的阶乘，即可以从n个元素中选取r个元素进行排列的总数。
排列的计算公式可以帮助我们高效地计算大量元素的排列情况。
例如，从10个数中选取3个数进行排列，即P(10, 3)，可以通过计算10! / 7!得到结果。
2. 组合的概念及公式组合是指从n个元素中选取r个元素进行组合的方式。
与排列不同，组合不考虑选取元素的顺序，因此不同顺序的元素组合被视为同一种组合方式。
组合通常用C(n, r)表示，计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，n!仍表示n的阶乘，r!表示r的阶乘，(n-r)!表示剩余元素的阶乘。
组合的计算公式可以帮助我们统计不同元素组合的数量。
例如，从10个数中选取3个数进行组合，即C(10, 3)，可以通过计算10! / (3! * 7!)得到结果。
3. 排列组合的应用排列组合在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些例子：3.1. 抽奖问题假设有10个人参加抽奖，每个人的抽奖号码是从1到10之间的整数。
如果我们想要知道抽取出来的3个人的号码的所有可能情况，可以使用组合的方法计算。
结果为C(10, 3) = 120。
3.2. 选课问题假设有10门课程可以选择，每个人可以选择其中的5门进行学习。
如果我们关心的是不同学生选择不同课程的情况，可以使用排列的方法计算。
排列组合ppt课件
排列的分类与计算方法
01
02
03
排列的定义
排列是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行排序。
排列的分类
根据取出的元素是否重复 ，排列可分为重复排列和 不重复排列。
排列的计算方法
排列的计算公式为 nPr=n!/(n-r)!，其中n为 总元素个数，r为要取出的 元素个数。
组合的分类与计算方法
后再合并答案。
利用对称性
在某些问题中，可以利用对称性 来简化计算，例如在计算圆周率 时可以利用对称性来减少计算量
。
学会推理和猜测
在某些问题中，需要学会推理和 猜测，尝试不同的方法和思路，
以寻找正确的答案。
解题注意事项与易错点
注意细节
在解题过程中要注意细节，例如元素的重复、遗漏等问题，避免 出现错误。
组合的定义
组合是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行组合，不考虑排序。
组合的分类
根据取出的元素是否重复 ，组合可分为重复组合和 不重复组合。
组合的计算方法
组合的计算公式为 nCr=n!/(r!(n-r)!)，其中n 为总元素个数，r为要取出 的元素个数。
排列组合的复杂应用
排列与组合的应用
另一个应用是解决组合问题，例如，在从n个不同元素中 选出m个元素的所有组合的问题中，可以使用排列组合的 方法来解决。
排列组合在物理中的应用
排列组合在物理中也有着广泛的应用，其中最常见的是在量子力学和统计物理中 。例如，在量子力学中，波函数的对称性和反对称性可以通过排列组合来描述。
在统计物理中，分子和原子的分布和运动可以通过排列组合来描述。例如，在理 想气体中，分子的分布和运动可以通过组合数学的方法来描述。
排列组合公式总结大全(3篇)
第1篇在数学中，排列组合是研究有限集合中元素的不同排列和组合方式的一种数学分支。
它广泛应用于统计学、概率论、计算机科学、组合数学等领域。
以下是对排列组合中常用公式的总结，以供参考。
一、排列1. 排列的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2. 排列数公式：A(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
3. 排列的运算性质：（1）交换律：A(n, m) = A(n-m, n-m)（2）结合律：A(n, m) × A(m, k) = A(n, k)（3）逆运算：A(n, m) × A(m, n-m) = n!二、组合1. 组合的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，不考虑它们的顺序，这样的取法称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
2. 组合数公式：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]3. 组合的运算性质：（1）交换律：C(n, m) = C(n-m, n-m)（2）结合律：C(n, m) × C(m, k) = C(n, k)（3）逆运算：C(n, m) × C(m, n-m) = C(n, n)三、排列与组合的关系1. 排列与组合的关系：A(n, m) = C(n, m) × m!2. 排列与组合的区别：（1）排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。
（2）排列的运算性质与组合的运算性质不同。
四、排列组合的应用1. 排列组合在概率论中的应用：计算随机事件发生的概率。
2. 排列组合在计算机科学中的应用：设计算法、密码学、数据结构等。
3. 排列组合在统计学中的应用：抽样调查、数据分析等。
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教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的n 1m 2m 方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：n n m 12nN m m m =+++ 种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，n 1m 2m …，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：n n m 12nN m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合公式大全
排列组合公式大全在组合数学中，排列和组合是两个重要的概念。
排列指的是从一组元素中选择出一些元素按照一定的顺序排列，而组合则是从一组元素中选择出一些元素，不考虑顺序。
排列和组合在概率论、统计学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍一些常见的排列和组合公式，供读者参考。
排列公式1. 排列的定义在数学中，从n个元素中选取r个元素进行排列，记为P(n, r)。
排列的结果是有序的，具体的排列方式有nPr种。
2. 全排列公式当r等于n时，即从n个元素中选取n个元素进行排列，这种排列方式称为全排列。
全排列的总数为n!（n的阶乘），即：P(n, n) = n!3. 部分排列公式当r小于n时，即从n个元素中选取r个元素进行排列，这种排列方式称为部分排列。
部分排列的总数为：P(n, r) = n! / (n - r)!4. 循环排列公式循环排列是一种特殊的排列方式，它指的是把元素排列成一个环状。
对于n个元素的循环排列，总数为(n - 1)!。
P(n, 1) = (n - 1)!5. 有限排列公式在排列中，如果元素可以重复使用，则称为有限排列。
从n个元素中选取r个元素进行有限排列的总数为nr。
组合公式1. 组合的定义在数学中，从n个元素中选取r个元素进行组合，记为C(n, r)。
组合的结果是无序的，具体的组合方式有Cnr种。
2. 组合公式组合的总数可以使用下列公式计算：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)3. 组合与排列的关系组合数与排列数之间存在一定的关系。
具体来说，C(n, r)可以通过P(n, r)除以r!来计算，即：C(n, r) = P(n, r) / r!4. 二项式系数公式二项式系数是组合数学中常见的概念，它对应于二项式展开中各项的系数。
n 个元素的二项式系数可以使用组合公式计算：C(n, 0) = 1C(n, n) = 1C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)总结本文介绍了一些常见的排列和组合公式。
新东方优能中学-数学-第十四章 排列组合、二项式定理 - 副本
第十四章 排列组合、二项式定理第一节 排列组合1.★(2014河北邯郸二模理10) 某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得30-分；选乙题答对得10分，答错得10-分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 （ ） A ．24B ．36C ．40D ．44答案：D 考点：排列组合2.★(2014河北冀州中学3月月考理14)航空母舰“辽宁舰”在某次飞行训练中，有5架歼15-飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有 种． 答案：36 考点：排列组合3.★(2014河北邢台一模理8)4名优秀学生D C B A ,,,全部都被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有 ( ）A.18种B.36种C.72种D.108种 答案：B 考点：排列组合4.★（2015河北“五校联盟”质监（一)理7）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有 （ ） A.36种 B.30种 C.24种 D.6种 答案：B 考点：排列组合5.★★(2014河北衡水中学上学期四调理5)高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）A ．1800B ．3600C ．4320D ．5040 答案：B 考点：排列组合6.★（2014河北衡水中学上学期四调理7）6张卡片上分别写有数字,5,4,3,2,1,1从中取4张排成一排，可以组成不同的4位奇数的个数为（ ）A ．180B ．126C ．93D ．60 答案：B 考点：排列组合7.★（2014河北衡水中学上学期四调理13）对一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有________种（用数字作答）． 答案：30 考点：排列组合8.★★(2014河北衡水中学上学期五调理12)数列{}n a 共有12项，其中10a =，52a =，125a =，且11,1,2,3,11k k a a k +-==⋅⋅⋅，则满足这种条件的不同数列的个数为（ ）A.84B.168C.76D.152 答案：A考点：1.数列；2.排列组合.9.★（2014河北衡水中学下学期期中理8）将一个白球，两个相同的红球，三个相同的黄球摆放成一排.则白球与黄球不相邻的放法有（ ） A ．10种 B ．12种C ．14种D ．16种答案： 考点：排列组合10.★（2010河南周口期末文10）将6名同学分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么不同的分配方案有（ ）A.35B.50C.55D.70 答案:B考点：排列组合.11.★（2013河南南阳一中三模理8）2名男生和3名女生站成一排照相，若男生甲不站两端，3名女生中有且只有两名相邻，则不同的排法种数是 ( ） A.36 B.42 C.48D.60答案：C 考点：排列组合.12.★★（2013河南十所名校考前压轴卷理9）某人冬天外出时在两只手上都戴上双层手套，其中内层的两只手套不分左右，即2只内层手套看成一样的，但外层的两只手套分左右，即外层手套不能反着戴，那么不同的戴手套的顺序有 （ )A ．4种B ．6种C ．8种D ．16种 答案：B 考点：排列组合.13.★(2013河南郑州盛同期末理16)为了支援边远山区的教育事业，我市决定将某校4名男老师和3名女老师选派到该地区3所学校支教，则每所学校既有男老师又有女老师的分配方法共有_____种. 答案：216 考点：排列组合.14.★（2013河南郑州盛同一模理11）从5,4,3,2,1这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有 ( )A ．51个B ．54个C ．12个D ．45个 答案：A 考点：排列组合.15.★（2014河南洛阳三模理4）若从9,...,3,2,1这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）A ．60种B ．63种C ． 65种D ．66种答案：D考点：排列组合.16.★(2014河南内黄一中一模理9)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有 ( )A ．30种B ．60种C ．90种D ．150种答案：D 考点：排列组合.17.★（2014河南商丘三模理4）分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有 ( )A.34A 种B.3133.A A 种C.1143.C C 种D.2244.C A 种 答案：D 考点：排列组合.18.★(2012山西省襄汾第六次练兵测试理14)有七名同学站成一排照相，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有 ． 答案：192 考点：排列组合.19.★（2013山西山大附中1月月考理5）从5,4,3,2,1这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字有2和3时，且2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有 （ ）A ．12个B ．54个C ．51个D ．45个 答案：C 考点：排列组合.20.★（2013山西四校第二次联考理5）从4,2中选一个数字，从5,3,1中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ( ) A ．6 B ．12 C ．18 D ．24答案：D 考点：排列组合.21.★（2013山西四校第四次联考理15）某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有 ． 答案：216 考点：排列组合.22.★（2014山西山大附中4月月考理15）某农科所要在一字排开的1,2,3,4,5,6六块试验田中，种植六种不同型号的农作物，根据要求，农作物甲不能种植在第一及第二块试验田中，且农作物乙与甲不能相邻，则不同的种植方法有 种． 答案：312 考点：排列组合.第二节 二项式定理1.★(2014河北邯郸一模理13)二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数 (用数字作答). 答案：60 考点：二项式定理2.★(2014河北唐山期末理14)在10(x 的展开式中，9x 项的系数为 . 答案：45考点：二项式定理.3.★（2014河北唐山一模理4）82)x二项展开式中的常数项为（ ）A.56B.112C.56-D.112- 答案：C考点：二项式定理4.★(2015河北“五校联盟”质监（一)理5)在154)212(+x 的展开式中，系数是有理数的项共有 （ ）A.4项B.5项C.6项D.7项 答案：A考点：二项式定理5.★★（2014河北衡水中学上学期四调理4）已知()|2||4|f x x x =++-的最小值是n ，则二项式1()n x x-展开式中2x 项的系数为（ ）A ．15B ． 15-C ．30D ． 30- 答案：A考点：1.绝对值函数；2.二项式定理.6.★(2014河北衡水中学上学期五调文13)已知7270127()x m a a x a x a x -=++++L 的展开式中4x 的系数是35-，则1237a a a a ++++L = ． 答案：1考点：二项式定理7.★(2014河北衡水中学上学期五调理13)已知7270127()x m a a x a x a x -=++++L 的展开式中4x 的系数是35-，则1237a a a a ++++L = 答案：1考点：二项式定理.8.★(2014河北衡水中学下学期二调理14)若21()n x x+的二项展开式中，所有项的二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为 ． 答案：考点：二项式定理10.★（2010河南周口期末文14）在3(2n x x-的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是______． 答案:7考点：二项式定理.11.★(2014河南内黄一中一模理13)61(3)x x－的二项展开式中，常数项为_____________. 答案：-540 考点：二项式定理.12.★(2014河南豫东、豫北十所名校届高三阶段性测试（五）理7)已知 8(12)x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba为 （ ）A.1285 B. 2567 C.5125 D. 1287答案：A考点：二项式定理.13.★(2012山西省襄汾第六次练兵测试理13)若=a 0sin xdx π⎰，则二项式61⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a 展开式中含x 的项的系数是 ． 答案：240 考点：二项式定理.14.★（2013山西阳泉第二次调研理13）已知∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+n a a n(1)*N 的展开式中含2a 的项为第3项，则n 的值为 ．答案：10 考点：二项式定理.。
排列组合解题运算技巧
排列组合解题运算技巧
排列组合是概率论和组合数学中的基本概念，解题时需要灵活运用一些技巧。
以下是一些排列组合解题的常见技巧：
排列：
1. 基本定义：排列是指从一组元素中取出一部分元素进行安排，考虑元素的顺序。
2. 公式：对于n个不同的元素，取r个进行排列的方法数为\(P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)。
3. 重复排列：如果有重复的元素，需要除以重复元素的阶乘。
组合：
1. 基本定义：组合是指从一组元素中取出一部分元素，不考虑元素的顺序。
2. 公式：对于n个不同的元素，取r个进行组合的方法数为\(C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)。
3. 二项式定理：\((a+b)^n\) 的展开式中各项的系数就是\(C(n, r)\)。
常见技巧：
1. 分步法：复杂问题可以分解为若干个简单的排列或组合问题。
2. 分类讨论：当问题中有多个条件时，可以分情况讨论，再求解各种情况下的排列或组合。
3. 相对排列组合：某些问题中，可以将问题转化为相对排列或组合，简化计算。
4. 应用场景：排列组合常见于概率、统计、密码学等领域，多在计数问题中使用。
5. 注意特殊情况：在排列组合中，0的阶乘为1，\(C(n, 0) = C(n, n) = 1\)。
这些技巧在解决排列组合问题时可以提供一些指导。
在具体问题中，理解问题的本质，巧妙应用这些技巧，可以更高效地解决问题。
排列组合解题方法(一)
排列组合解题方法(一)排列组合解题方法什么是排列组合?排列组合是数学中的一个重要概念，用于解决问题中的选择和安排。
排列是指从一组元素中取出若干个元素进行安排，而组合是指从一组元素中取出若干个元素进行选择。
排列和组合的计算方法有很多种，下面将详细介绍几种常用的方法。
方法一：公式法1.排列：–公式：A n m=n!(n−m)!–解释：从n个元素中取出m个元素进行排列的方法数。
2.组合：–公式：C n m=n!m!(n−m)!–解释：从n个元素中取出m个元素进行组合的方法数。
方法二：迭代法1.排列：排列，直到选择完所有元素。
–代码示例：def permutation(nums, path, res): if len(path) == len(nums):res.append(path[:]) # 注意此处要使用path的副本returnfor num in nums:if num in path:continuepath.append(num)permutation(nums, path, res)path.pop()# 使用示例nums = [1, 2, 3]res = []permutation(nums, [], res)2.组合：组合，直到选择完所有元素。
–代码示例：def combination(nums, start, k, path, res):if k == 0:res.append(path[:]) # 注意此处要使用path的副本returnfor i in range(start, len(nums)):path.append(nums[i])combination(nums, i + 1, k - 1, path,res)path.pop()# 使用示例nums = [1, 2, 3]res = []combination(nums, 0, 2, [], res)方法三：动态规划法1.排列：–算法：使用动态规划计算排列的方法数。
排列组合基础知识详解
排列组合基础知识详解概述在数学中，排列和组合是两个基本的概念。
它们是解决计数问题的重要工具。
我们通过对元素的组织和选择来计算排列和组合的数量。
本文将详细讨论排列和组合的定义、计算公式以及应用场景。
排列排列是从给定元素集合中按照一定顺序选择若干元素的方式。
假设我们有n个元素，需要从中选择r个元素，并将它们按照一定顺序排列。
这样的排列数量可以表示为P(n, r)或nPr，计算公式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n!表示n的阶乘，即从1到n的所有正整数的乘积。
这个计算公式可以理解为：先从n个元素中选择一个放在第一位，再从剩下的n-1个元素中选择一个放在第二位，依次类推直到选择r个元素。
例如，假设我们有4个元素A、B、C和D，需要选择2个元素进行排列。
那么有以下6种排列方式：ABACADBABCBD公式计算为：P(4, 2) = 4! / 2! = 4 × 3 = 12。
组合组合是从给定元素集合中按照某种方式选择若干元素的方式。
与排列不同，组合的选择不考虑元素的顺序。
同样假设我们有n个元素，需要从中选择r个元素，组成一个无序的集合。
这样的组合数量可以表示为C(n, r)或nCr，计算公式为：C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)公式中的计算逻辑与排列类似，不同的是排列中还需要考虑元素的顺序，而组合中只需要选择元素本身，不需要考虑顺序。
回到之前的例子，我们有4个元素A、B、C和D，需要选择2个元素进行组合。
那么有以下6种组合方式：ABACADBCBDCD公式计算为：C(4, 2) = 4! / (2! × (4 - 2)!) = 4 × 3 / 2 = 6。
排列和组合的应用场景排列和组合广泛应用于各个领域，特别是概率统计、组合数学、计算机科学等。
在概率统计中，排列和组合用来计算可能性的数量。
例如，在赌场的扑克牌游戏中，我们可以通过排列和组合来计算获胜的可能性。
排列组合知识点总结
排列组合知识点总结排列组合是数学中一个重要的分支，它在解决许多实际问题中都有着广泛的应用，比如抽奖、选座位、安排比赛等等。
下面让我们一起来详细了解一下排列组合的相关知识点。
一、基本概念1、排列从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同。
排列数用 A(n, m) 表示。
2、组合从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。
组合数用 C(n, m) 表示。
二、排列数与组合数的计算公式1、排列数公式A(n, m) ＝ n(n 1)（n 2)…（n m ＋ 1) ＝ n! ／（n m)！2、组合数公式C(n, m) ＝ n! ／ m!（n m)！三、排列组合的基本性质1、排列的性质（1）A(n, n) ＝ n!（2）A(n, m) ＝ nA(n 1, m 1)2、组合的性质（1）C(n, 0) ＝ C(n, n) ＝ 1（2）C(n, m) ＝ C(n, n m)四、解决排列组合问题的常用方法1、特殊元素优先法对于存在特殊元素的问题，优先考虑特殊元素的排列或组合。
2、捆绑法当要求某些元素必须相邻时，可以将这些元素看作一个整体，与其他元素一起进行排列，然后再考虑这些相邻元素的内部排列。
3、插空法当要求某些元素不能相邻时，先将其他元素排列好，然后在这些元素之间及两端的空位中插入不能相邻的元素。
4、间接法有些问题直接求解较为复杂，可以先求出总的排列或组合数，然后减去不符合要求的排列或组合数。
5、分类讨论法当问题包含多种情况时，需要对不同情况进行分类讨论，然后将各种情况的结果相加。
五、常见的排列组合问题类型1、排队问题例如，n 个人排成一排，共有多少种不同的排法；某些人必须相邻或不能相邻的排法等。
排列组合ppt课件
排列与组合的进一步推广
总结词
排列与组合是基本的组合数学概念，它们的进一步推广包括超排列、错排、组合数等。
详细描写
超排列是指对于给定的集合和元素个数，所有可能的排列方式。错排是指对于给定的集 合和元素个数，所有可能的排列方式中，元素不在正确位置上的排列方式。组合数是指
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
几何领域
在几何领域中，排列组合用于研究 空间散布和组合问题，例如组合几 何和图论等。
在计算机科学中的应用
数据结构和算法
01
排列组合在计算机科学的数据结构和算法中有着广泛的应用，
例如在动态计划、图算法等领域中。
离散概率论
02
离散概率论是计算机科学中研究离散随机事件的分支，排列组
合在其中用于描写事件的概率和数量。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯独性。
排列与组合的联系与区分
联系
排列和组合都是从n个不同元素 中取出m个元素（m≤n）的选取
方式。
区分
排列斟酌顺序，而组合不斟酌顺 序；排列有方向性，而组合无方
向性。
应用场景
排列适用于需要斟酌顺序的情况 ，如体育比赛排名、音乐演奏顺 序等；组合适用于不斟酌顺序的 情况，如彩票选号、电路连接等
。
排列组合的运算法则
排列组合的运算法则摘要：一、排列组合的概念二、排列组合的运算法则1.排列公式2.组合公式3.排列组合公式三、实例解析四、应用场景正文：排列组合是组合数学中的基本概念，它广泛应用于各种学科和实际问题中。
排列组合的研究对象是有限的、不同的元素，主要研究将这些元素进行有序排列或无序组合的问题。
接下来，我们将介绍排列组合的运算法则，并通过实例进行解析。
一、排列组合的概念1.排列：从n个不同元素中取出m个元素进行有序排列，称为排列。
排列用符号A(n,m)表示。
2.组合：从n个不同元素中取出m个元素，不考虑元素之间的顺序，称为组合。
组合用符号C(n,m)表示。
二、排列组合的运算法则1.排列公式排列公式为：A(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1。
2.组合公式组合公式为：C(n,m) = n! / [m! * (n-m)!]其中，n!和m!分别表示n和m的阶乘。
3.排列组合公式排列组合公式为：P(n,m) = C(n,m) * A(m,m)其中，P(n,m)表示从n个元素中取出m个元素的排列组合数。
三、实例解析例如，有5个人参加一场比赛，需要分成3个小组，求不同的分组方法数量。
解：根据组合公式，C(5,3) = 5! / [3! * (5-3)!] = 10所以，有10种不同的分组方法。
四、应用场景1.密码学：在密码学中，排列组合可用于计算密码组合的数量，以评估密码的安全性。
2.组合优化：在组合优化问题中，排列组合可用于计算不同方案的数量，以便找到最优解。
3.概率论：在概率论中，排列组合可用于计算事件的组合概率。
4.生物学：在生物学中，排列组合可用于研究基因组合和生物多样性。
总之，排列组合的运算法则在许多领域具有广泛的应用价值。
专升本数学排列组合知识点解析
专升本数学排列组合知识点解析在专升本数学中，排列组合是一个重要且具有一定难度的知识点。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，在实际生活和工作中也经常能看到其身影。
接下来，咱们就详细地剖析一下排列组合的相关知识。
首先，咱们得弄清楚什么是排列。
排列指的是从 n 个不同元素中，取出 m 个元素（m≤n），按照一定的顺序排成一列。
比如，从 5 个不同的字母 A、B、C、D、E 中取出 3 个进行排列，就有 60 种不同的排法。
排列数的计算公式为：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！。
这里的“！”表示阶乘，例如 5! ＝ 5×4×3×2×1 。
举个例子，从 8 个人中选 3 个人排成一排拍照，那么排列数 A(8, 3) ＝ 8! ／（8 3)！＝ 8×7×6 ＝ 336 ，即共有 336 种不同的排法。
接下来，再看看组合。
组合则是从 n 个不同元素中，取出 m 个元素（m≤n）组成一组，不考虑元素的顺序。
比如，从 5 个不同的字母 A、B、C、D、E 中取出 3 个组成一组，就有 10 种不同的组合方式。
组合数的计算公式是：C(n, m) ＝ n! ／ m!（n m)！。
比如说，从 10 个不同的水果中选 4 个组成一份水果拼盘，组合数C(10, 4) ＝ 10! ／ 4!（10 4)！＝ 210 ，即有 210 种不同的选法。
在解决排列组合问题时，有几个重要的原则和方法需要掌握。
一个是分类加法计数原理。
如果完成一件事有 n 类不同的方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法……在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝ m1 ＋ m2 ＋＋ mn 种不同的方法。
另一个是分步乘法计数原理。
完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法……做第 n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1×m2××mn 种不同的方法。
排列组合(国外英语资料)
排列组合（国外英语资料）一、基本概念1. 排列（Permutation）排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列成一列的过程。
在排列中，元素的顺序是至关重要的。
排列的公式为：P(n, m) = n! / (nm)!2. 组合（Combination）组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑元素的顺序，仅关注元素的选择。
组合的公式为：C(n, m) = n! / [m! (nm)!]二、应用实例1. 排列实例假设有一个由4个不同字母组成的单词，我们需要找出所有可能的3字母排列。
根据排列公式，我们可以计算出共有P(4, 3) = 4! / (43)! = 24种排列。
2. 组合实例在一场足球比赛中，教练需要从11名球员中选出5名首发球员。
这里我们关注的是球员的选择，而不是出场顺序。
根据组合公式，我们可以计算出共有C(11, 5) = 11! / [5! (115)!] = 462种不同的首发阵容。
三、国外英语资料推荐1. "Introduction to Probability, Statistics, and Random Processes" H. P. Roy and P. K. Bhatia这本书详细介绍了排列组合在概率论和统计学中的应用，适合初学者和有一定基础的读者。
2. "Discrete Mathematics and Its Applications" Kenneth H. Rosen作为一本经典的离散数学教材，本书涵盖了排列组合的基本概念、性质和实例，适合大学生和研究生阅读。
3. "Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science" Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik本书深入浅出地讲解了排列组合在计算机科学中的应用，适合对数学和计算机科学感兴趣的读者。
1.2.2组合 - 副本
Cmn 种不同的取法； 第二步，将取出的 m 个元素做全排列，共有 Amm种不
同的排法． 由分步乘法计数原理，知 Anm＝CnmAmm，故 Cmn ＝AAmnmm.
组 合
乘积 形式
Cmn ＝AAmnmm＝
nn(nn－1)(1nn2)－••2•(…n nm－1m) ＋1 m!m！
问题1
问题2
情况
从已知的 3 个不同元素 中每次取出 2 个元素,
按照 一定的顺 序 .
排成一列
从已知的 3 个不同元素 中每次取出 2 个元素,
并成一组
共同点 从已知的 3 个不同元素中每次取出 2 个元素
不同点 与顺序 有关，
排列
与顺序 无关，
组合 。
基本概念
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m （m≤n）个元素并成一组，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合．
排列与组合的
概念有什么共 同点与不同点？
共同点: 都要“从n个不同元素 中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
元素相同
C7 10
10! 7!3!
10
9 3!
8
C2 1110
11
2!
C3 10 9 8
10
3!
C C 9 2
11
11
C C 3 7
10
10
用组合的定义思考
排列组合的常见题型及其解法(good)
排列、组合问题，在高考中所占比重不大，但试题都具有一定的灵活性、机敏性和综合性，在“倡导创新体系，提高素质教育”的今天，该类试题是最好的体现，由于有些问题比较抽象，且题型繁多，解法独特，再加上限制条件，容易产生错误。
本文就排列、组合问题的常见题型的求解方法加以归纳，供大家参考。
1、特殊元素——优先法：对于含有限定条件的排列、组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。
例1，用0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？[解析]因组成的三位数为偶数，末尾的数字必须是偶数，又0不能排在首位，故0是其中的特殊元素应优先安排。
①当0排在末尾时，有 24A 个；②当0不排在末尾时，有 141312A A A 个，根据分类记数原理，其中偶数共有3014131224=+A A A A 个。
例2，1名老师和4名获奖学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法多少种。
[解析]优先考虑对特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上来排，有 13A 种。
剩下的位置由4名学生全排列，有 44A 种。
因此共有 724413=A A 种不同的排法。
2、相邻问题——捆绑法：对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起看作一个元素与其它元素进行排列，然后再对这几个元素进行全排列。
例3，5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有 种。
[解析]将3名老师捆绑起来看成一个元素，与5名学生排列，有 66A 种排法；而3名老师之间又有 33A 种排法，故满足条件的排法共有 43203366=A A 种。
例4，计划展出10幅不同的画，其中一幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种？[解析]把每种画捆绑在一起，看成一个整体，又水彩画较特殊，应优先安排。
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12nNm m m 种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12nNm m m 种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合问题公式
排列组合是数学中常见的一个概念，用于计算一组事物的不同选择和排列方式的总数。
在很多实际问题中，我们经常需要计算排列组合的个数，比如在概率论、统计学、计算机科学等领域中。
在排列组合中，我们常常遇到两个主要的概念，分别是排列和组合。
一、排列排列是指从一组事物中按照一定的顺序选取若干个事物进行排列，这些事物通常具有明确的先后次序。
如果从n个不同的事物中选取m个进行排列，这种排列的数目记为P(n, m)或者nPm。
排列的计算公式如下：P(n, m) = n! / (n - m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n - 1) * (n - 2) * … * 3 * 2 * 1。
排列的应用非常广泛，比如在密码学中，可以用来计算密码的位数和种类组合方式，从而确定密码的破解难度；在概率统计中，可以用来计算事件的发生概率等。
二、组合组合是指从一组事物中选取若干个事物进行组合，这些事物之间通常没有明确的先后次序。
如果从n个不同的事物中选取m个进行组合，这种组合的数目记为C(n, m)或者nCm。
组合的计算公式如下：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)组合数目的计算方法比排列简单一些，因为组合只考虑选取事物的组合方式，而不考虑它们的排列顺序。
组合的应用也非常广泛，比如在概率统计中的二项分布、组合数学、图论、社会科学等领域都有它的身影。
三、排列组合的应用举例 1. 在一场比赛中，有8个选手参加，如果要计算前3名的组合方式，可以通过排列的方式计算，即P(8, 3) = 8! / (8 - 3)! = 8! / 5! = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1) = 8 * 7 * 6 = 336。
2.在一个班级中，有10个男生和12个女生，如果要从中选出5个人组成一个小组，可以通过组合的方式计算，即C(22, 5) = 22! / (5! * (22 - 5)!) = 22! / (5! * 17!) = (22 * 21 * 20 * 19 * 18) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 22 * 21 * 20 * 19 *18 / 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 33649。
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排列、组合、二项式定理基础知识：1、二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a nn n r r n r n n n n n n2、几个基本概念（1）二项展开式：右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式（2）项数：二项展开式中共有1+n 项（3）二项式系数：),,2,1,0(n r C r n =叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数 （4）通项：展开式的第1+r 项，即),,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+ 3、展开式的特点（1）系数都是组合数,依次为C 1n ,C 2n ,C n n,…,C n n (2)指数的特点①a 的指数 由n 0( 降幂)。
②b 的指数由0 n （升幂）。
③a 和b 的指数和为n 。
(3)展开式是一个恒等式，a ，b 可取任意的复数，n 为任意的自然数。
4、二项式系数的性质：（1）对称性:在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即 （2）增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n nC 当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n nC=21+n nC（3）二项式系数的和：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即（2）二项式系数的三个性质⎪⎩⎪⎨⎧二项式系数和增减性和最值对称性例1 的近似值（精确到0.001）是 ． 例2 除以100的余数是 ．mn n m n C C -=n n n k n n n n C C C C C 2210=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++∴ 0213n-1n n n n C +C +=C +C +=2例3（l）若的展开式中，的系数是的系数的7倍，求；（2）已知的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，求； (3）已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求．例4（1）已知那么=_________.（2）=___________.例5（1）展开式中常数项是．（2）的展开式中的系数为．（3）展开式中，的系数等于．例6（1）在的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则（2）的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大项是．例7 已知,那么例8的值等于（）．A．111105 B．111111 C．12345 D．99999家庭作业：一、选择题1、如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”的外边是由四个色块构成，可以用线段在不穿越另两个色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有 ( ) A. 8种 B. 12种 C. 16种D. 20种2、从6名志愿者中选出4个分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，其中甲乙两名志愿者不能从事翻译工作，则不同的选排方法共有（ ）A ．96种B ．180种C ．240种D ．280种 3、五种不同的商品在货架上排成一排，其中a 、b 两种必须排在一起，而c 、d 两种不能排在一起，则 不同的选排方法共有（ ）A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种 4、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ）A . 10种 B. 20种 C. 30种 D . 60种5、设a 、b 、m 为整数（m >0),若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余.记为a ≡b (mod m )。
已知a =1+C 120+C 220·2+C 320·22+…+C 2020·219，b ≡a (mod 10)，则b 的值可以是（ ） A.2015 B.2011 C.2008 D.20066、在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛(每两队之间赛两场)，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．积分多的前两名可出线(积分相等则要比净胜球数或进球总数)．赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为（ ） A ．22种 B ．23种 C ．24种 D ．25种7、令1)1(++n n x a 为的展开式中含1-n x项的系数，则数列}1{na 的前n 项和为 （ ）A ．2)3(+n n B ．2)1(+n n C ．1+n n D ．12+n n8、若5522105)1(...)1()1()1(-++-+-+=+x a x a x a a x ，则0a = （ ）A ．32B ．1C ．-1D ．-329、二项式23nx ⎛⎝*()n N ∈展开式中含有常数项，则n 的最小取值是 （ ）A 5B 6C 7D 810、四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）A ．150种B ．147种C ．144种D ．141种 11、两位到北京旅游的外国游客要与2008奥运会的吉祥物福娃（5个）合影留念，要求排成一排，两位游客相邻且不排在两端，则不同的排法共有 （ ） A ．1440 B ．960 C ．720 D ．480 12、若x ∈A 则x 1∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M={－1，0，31，21，1，2，3，4} 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）A ．15B ．16C ．28D ．25二、填空题13．四封信投入3个不同的信箱，其不同的投信方法有_________种． 14、在72)2)(1(-+x x 的展开式中x 3的系数是 ．15、已知数列{n a }的通项公式为121+=-n n a ，则01n C a +12n C a + +33n C a +n n n C a 1+=16、对于任意正整数，定义“n 的双阶乘n!!”如下：对于n 是偶数时，n!!=n·(n －2)·(n －4)……6×4×2；对于n 是奇数时，n!!=n·(n －2)·(n －4)……5×3×1． 现有如下四个命题：①(2005!!)·(2006!!)=2006!；②2006!!=21003·1003!；③2006!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5．正确的命题是________． 三、解答题17、某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法．那么该小组中男、女同学各有多少人？18、设m，n∈Z＋，m、n≥1，f(x)=(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中，x的系数为19．（1）求f(x)展开式中x2的系数的最值；（2）对于使f(x)中x2的系数取最小值时的m、n的值，求x7的系数．19、7位同学站成一排．问：(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种?20、已知(nx 的展开式中前三项的系数成等差数列．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．21、由0，1，2，3，4，5这六个数字。
（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（3）组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？参考答案1、C2、C3、C4、B5、 B6、C7、 D8、 A9、 C 10、D 11、B12、A 具有伙伴关系的元素组有－1，1，21、2，31、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，个数为C 14+ C 24+ C 34+ C 44=15, 选A ．13、34 14、1008 15、n n 32 16、①②③④ 点拨：(2005!!)×(2006!!)17、解： 设男生有x 人，则女生有8－x 人，依题意，，∴(8－x)·6=180，x 3－9x 2＋8x ＋60=0，x 3－5x 2－(4x 2－20x)－(12x －60)=0， (x －5)(x 2－4x －12)=0，∴x 1=5，x 2=6，x 3=－2(舍去)． ∴男生5人，女生3人；或男生6人，女生2人．18、解： =19，即m ＋n=19．∴m=19－n(1)设x 2的系数为T==n 2－19n ＋171 =(n －)2＋171－．∵n ∈Z ＋，n ≥1， ∴当n=1或n=18时，T max =153，当n=9或10时，T min =81； (2)对于使f(x)中x 2的系数取最小值时的m 、n 的值，即f(x)=(1＋x)9＋(1＋x)10 从而x 7的系数为．19、 (1)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有种．(2)方法同上，一共有种．(3)将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有种方法．(4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素时．一共有2个元素，∴一共有排法种数：(种)．20、解：（Ⅰ）由题设，得 02111C C 2C 42n n n +⨯=⨯⨯， 即2980n n -+=，解得n ＝8，n ＝1（舍去）．（Ⅱ）设第r ＋1的系数最大，则1881188111C C 2211C C .22rr r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥，≥ 即1182(1)11.291r r r ⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪-⎩≥，≥ 解得r ＝2或r＝3．所以系数最大的项为537T x =，9247T x =．21、解：（1）1355300A A = (2)31125244156A A A A +=(3) 312154431112A A A A +++=22、(1) =(－15)(－16)(－17)=－4080； (2)性质①、②均可推广，推广的形式分别是：①，②(x ∈R ，m ∈N ＋)事实上，在①中，当m=1时，左边==x ，右边==x ，等式成立；当m≥2时，左边=x(x －1)(x －2)…(x －m ＋1) =x[(x －1)(x －2)…((x －1)－(m －1)＋1)]=因此，①成立； 在②中，m=1时，左边==右边，等式成立； 当m≥2时，左边=x(x －1)(x －2)…(x －m ＋1)＋mx(x －1)(x －2)…(x －m ＋2)=x(x－1)(x－2)…(x－m＋2)[(x－m＋1)＋m]=(x＋1)x(x－1)(x－2)…[(x＋1)－m＋1] ==右边，因此②(x∈R，m∈N＋)成立．。