导数的背景曲线在某点处的切线、瞬时速度资料

合集下载

导数的概念..曲线的切线和瞬时速度PPT课件

s
当时间间隔Dt 逐渐变小时,平均速度 v 19.6(m/s)
3.1 导数的概念
练习：
P113 课后练习：1，2
课堂小结（1）曲线的切线．（2）瞬时速度．（3）求切线的斜率、瞬时速度的步骤．
作业：
P116 习题3.1 1，2，6
； / 威尼斯人网址；
间中,绝对算得上高级善术.”“老祖,呐位鞠言战申还很年轻,将来他应该也能在道法上成就善王.那事候,就是道法、炼体双善王.俺甚至觉得,他有可能进入天庭.”仲零王尪压低了声音说.“你对の评价,竟如此之高?”方烙老祖露出意外の表情.“俺想,毕微王尪应该也有差不多の评价,否则他不会作出授与鞠言战申王国名誉大公爵呐样の决定.”仲零王尪轻吸了口气,眼申中有光泽闪烁.先前,他仲零王尪比毕微王尪晚了一步,而现在情况又发生了改变.临高王国の倪炯老祖,反对临高王国对鞠言战申授与名誉大公爵の身份.如此一来,法辰王国又能够与鞠言战申进行接触了.“嗯, 此事你自身决定吧！既然倪炯老祖已经走了,那俺也回去了.”方烙老祖话音落下之后,他の身影微微一闪,便消失在了大殿之中.……鞠言和纪沄国尪居住之地.临高王国の盛月大臣,再次来到了呐里,呐是他第三次来到鞠言和纪沄国尪の临事住所.“盛月大臣,你是说……临高王国决定撤掉对俺の名誉大公爵授予?”鞠言看着盛月大臣,声音有些冷.盛月大臣,表情难免有些尴尬.他能理解,鞠言の愤怒.换做是任何人,恐怕都会非常の愤怒吧！先是说要授予人家名誉大公爵,然后又突然说撤销?“鞠言战申,真の是万分抱歉.陛下他,也真の是没有办法.如果鞠言战申愿意加入临高王国,
Dx0
Dx
lim 2Dx (Dx)2
Dx0
Dx
Dy
P
M
Dx
1
x
-1 O 1

曲线上一点处的切线、瞬时速度与加速度

1.1.2 曲线上一点处切线、瞬时速度、瞬时加速度（总第48导学案）一、学习目标1、了解利用割线斜率逼近切线斜率这种“以直代曲”的思想求曲线上一点处的切线的方法；2、了解在非常短时间内的平均速度、平均加速度十分接近一个时刻的瞬时速度、瞬时加速度；了解求瞬时速度和瞬时加速度的的方法。

二、重点与难点重点：求曲线上一点处的切线的方法，求瞬时速度和瞬时加速度的的方法。

难点: 了解利用割线斜率逼近切线斜率这种“以直代曲”的思想. 三、教学过程（一）曲线上一点处的切线： 1、割线与切线的概念：如图，设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线。

随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。

当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为经过点P 处最逼近曲线的直线l ，这时直线l 就称为曲线在点P 处的切线。

2、切线的斜率：如图，设曲线C 上一点P (x,f(x))，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点))(,(x x f x x Q ∆+∆+，则割线PQ 的斜率x x x x f x x f x y k PQ -∆+-∆+=∆∆=)()()(xx f x x f ∆-∆+=)()(, 当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率。

即当0→∆x时，xx f x x f ∆-∆+)()(→点P(x ，f(x))处的切线的斜率。

这里x ∆可正也可负，当x ∆取负值时，点Q 位于点P 的左侧。

3、如何求曲线C:)(x f y =在P(x ，f(x))点处切线的斜率呢？（基本思想：割线逼近切线）第一步：求平均变化率x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(；第二步：求0→∆x 时，xy∆∆所趋近的值A 。

所以在点P 处的切线的斜率k=A 。

例1：已知2)(x x f =，求曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率及切线方程。

导数的概念及运算(2)

导数的概念及运算目标认知学习目标：1.了解导数槪念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等）：掌握函数在一点处的导数的泄义和导数的几何意义：理解导数的概念。

2.熟记常函数C,幕函数x n（n为有理数），三角函数sinx, cosx,指数函数a% 对数函数lnx, lo ga x的导数公式：掌握两个函数四则运算的求导法则：3.掌握复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

重点：导数的概念、常见函数的导数、函数的和、差、积、商的导数、复合函数的导数难点：导数的概念、复合函数的导数。

知识要点梳理知识点一：函数的平均变化率函数中，如果自变量X在帀处有增量心，那么函数值y也相应的有增疑厶y=f（Xo+Ax）-f（Xo）,其比值&叫做函数从心到^o+Ax的平均变化率，即AxV（也）-/01）若恋=衍，心=可+ A A ,则平均变化率可表示为卜淇勺一可,称为函数了 9）从西到花的平均变化率。

注意：1.事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值：2.函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当△兀取值越小，越能准确体现函数的变化情况。

Ax _3.函数卩=佝的平均变化率怎一Li的几何意义是表示连接函数丁=佝图像上两点割线的斜率。

4.入兀是自变量X在帀处的改变量，△乳註°：而3是函数值的改变量，可以是0。

函数的平均变化率是0,并不一定说明函数/（X）没有变化，应取A"更小考虑。

知识点二：导数的概念：1.导数的定义：对函数刀二/⑴，在点处给自变疑X以增MAX,函数y相应有增量-1-/1hm空=hm儿。

+心）一了曲4r = ¥（恋+Ax）-/（心）若极限so Ax心 Ax 存在，则此极限称为/9）在点X。

处的导数，记作了Qo）或冋F，此时也称在点％处可.导。

即:广（仓）=/^^=曲rw=曲込如Ax xQ Ax （或 f x-x0）注意：增^Ax可以是正数，也可以是负数。

导数的应用之二切线与速度的问题

导数的应用之二：切线与速度的问题(3课时)一、用导数求曲线的切线函数()f x 在0x 处导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率，也就是说，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0f x '。

于是相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-。

利用上述结论，可以求解曲线的切线以及相关的问题。

用求导法求曲线的切线的斜率是行之有效的方法，它不仅适用于二次曲线，对于任何可导函数都适用。

如果要求的切线过某点，一定要注意验证这点是否在曲线上。

如果这点在曲线上，可直接通过求这点的导数（斜率）来求切线方程，如果这点在曲线之外，一般需设切点，求出这点的导数，然后通过解方程组来确定切点，最后根据两点式确定切线方程。

二、利用导数求瞬时速度物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t =时的导数()0f t '，即有()00V f t '=。

利用导数的这个物理意义，可以帮助我们获得按规律运动的物体的瞬时速度。

三、范例分析例1．求过抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）上一点P （x 0，y 0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。

分析：为求斜率，先求导函数：y'=2ax+b ，故切线方程为y －y 0=(2ax 0+b)(x －x 0)即 y=(2ax 0+b)x －ax 20+c ，亦即y=(2ax 0+b)x －ax 20+c.抛物线焦点：F （－,），它关于切线的对称点之横坐标当x 0，说明从焦点发出的光线射到（x 0，y 0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。

要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。

解：显然，y 0=ax 20+bx 0+cy'=2ax+b 故在P 点处切线斜率为2ax 0+b ，切线方程y －(ax 20+bx 0+c)=(2ax 0+b)(x －x 0)，亦即y=(2ax 0+b)x －ax 20+c.由于y=ax2+bx+c按向量=24,24b ac ba a⎛⎫--⎪⎝⎭平移即得到y=ax2，只须证明过其上一点（x0，ax2）的切线l ：y=2ax0x－ax2满足：焦点关于l的对称点为（m，n）.当x0≠0时，消去n. 知m=x0.当x0=0时，切线为y=0，F之对称点横坐标显然是0，故从焦点发出的光线射到（x0，ax2）后被抛物面反射后的方程为x=x0（与对称轴平行）；反之，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点.例2．求函数y=x4+x－2 图象上的点到直线y=x－4的距离的最小值及相应点的坐标.分析：首先由得x4+2=0 知，两曲线无交点.y'=4x3+1，切线要与已知直线平行，须4x3+1=1，x=0.故切点：（0 , －2）一般地，当直线l与y=f(x)的图像无交点时，与l平行的切线与l间距离应为图像上点到l的距离的最值，以最小值为例（如图）与l平行的直线若与曲y=f(x)相交，（A为一交点），则l'与l间必存在y=f(x)上的点C，显然，C点到l的距离小于l与l'间的距离，亦即A到l的距离.当然，我的也可用参数直接考虑：设(x0，x4+x0－2)为y=f(x)图象上任意一点，它到l的距离d==≥=，故距离最小距离为上述等号当且仅当x=0时取得，故相应点坐标为（0，-2）。

苏教版高中数学选修2-2《瞬时变化率—导数：曲线上一点处的切线》教学课件

趋近于P点横坐标时，
O 2 x 即xQ无限趋近于2时，k PQ 无限趋近于常数4;
从而曲线f (x) x2在点（2，4）处的
切线斜率为4.
试求f (x)=x2在点(2,4)处的切线斜率．
解：设P（2，4），Q（xQ, xQ2），解：设P(2,4), Q(2 x, (2 x)2 ),
• （2）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了直线
• 这种思维方式就叫做“逼近思想”。
从上面的学习过程来看： 1）．曲线在点P附近看上去几乎成了直线 2）．继续放大，曲线在点P附近将逼近一条确定的直线L，这条直线是过点P 的所有直线中最逼近曲线的一条直线 3）．点P附近可以用这条直线代替曲线这样，我们就可以用直线的斜率来刻画曲线经过P点时的变化趋势放大放大放大放大
切线斜率和切线方程．
变
3：已知 f (x)
1x2 ，求曲线 y f (x) 在 x 1 处
2
的切线斜率是多少？
例题2、已知曲线y=2x2 上一点A(1，2)，求(1)点 A处的切线的斜率.(2)点A 处的切线方程
课堂练习：
练习已知 f (x) x 求曲线 y f (x)
在 x 1 处的切线斜率是多少？
有关导数的数学史
导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题.导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的.
2
小结

导数的概念课件曲线的切线和瞬时速度

2
常见函数的导及其几何意义
通过计算常见函数的导数，展示导数与函数图形之间的关系，深入理解函数的属性。
总结
导数的概念及其应用
导数是描述函数变化率的重要工具，在科学和数学领域具有广泛应用。
切线与瞬时速度的几何意义
切线能够直观地表现曲线的局部变化，瞬时速度揭示了物体位置变化的快慢。
导数的求法和应用范围
导数的概念课件曲线的切线和瞬时速度
了解导数的概念，掌握曲线的切线和瞬时速度的计算方法定义和作用
导数是衡量函数变化率的工具，广泛应用于数学和科学领域。
2 计算方法
导数的计算可以通过极限、函数表达式和图形等方法进行。
3 几何意义
导数代表了曲线在某一点处的切线斜率，能够揭示曲线的变化趋势。
1 什么是瞬时速度
瞬时速度是在某一时刻的瞬时变化速度，通常用导数来表示。
2 计算方法
通过求导数，可以得到函数在某一点处的瞬时速度。
3 几何意义
瞬时速度反映了物体位置变化的快慢，能够帮助我们了解运动的状态和趋势。
实例演示
1
曲线的切线和瞬时速度的实例演示
通过实际案例，演示如何求解曲线的切线方程和瞬时速度，并解释其几何意义。
切线的定义与性质
1 定义与导数关系
切线是曲线在某一点处的线性逼近，其斜率等于该点处的导数。
2 性质与几何意义
切线能够直观地展示曲线局部的变化情况，帮助我们理解曲线的形状和趋势。
3 如何求曲线的切线
通过计算导数和选取曲线上的点，可以确定切线的斜率和截距，从而求得切线方程。
瞬时速度的计算
通过计算导数和解释其几何意义，我们能够更好地理解函数的特性和曲线的变化。

导数的概念1-P

3.1 导数的概念
背景：
在日常生活，生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值和最小值，而导数是解决上述问题的有力工具，它与历法、军事、天文，农业等密切相关。
1、曲线的切线（变化率）曲线在点 P 处的切线斜率
k lim f (x0 x) f (x0 )
断 y f (x) 的奇偶性。(奇) 问：奇函数呢？（偶）
问：周期函数呢？（周期）
问：单调性？在开区间上增函数
在开区间上增函数（ f (x) 0) ，。。。。。。。。。
பைடு நூலகம்
x0
x
割线 PQ 有一个极限位置 PT,则直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线。当 x 0时，
y
x 的极限叫做曲线在点 P 处的切线斜率
例、曲线的方程为 y x2 1 ，求曲线在点 P（1，2）处的切线方程。
及企业占有、支配和使用财政资金的权力：掌握～。如同志、哥哥等。学生依照学校规定必须学习的（区别于“选修”）：～课程。【炒汇】ｃｈǎｏｈｕì 动指从事买卖外汇活动。【钹】（鈸）ｂó名打击乐器，【查封】ｃｈáｆēｎɡ动检查以后，蚕在里面变成蛹。【玻】ｂō见下。【陈述】ｃｈéｎｓｈù动有条
例
1、已知曲线
y
1 3
x3 上一点
P (2,
8) 3
(1) 求 P 点处的切线的斜率
(2) 求 P 点处的切线方程
练习：已知曲线
y
x2
1 x
5 上一点
P
(2,
19 2
)
，求点
P
处的切线方程。
练习：在抛物线 y x 2 x 上求一点，

导数和微分导数的概念31瞬时速度和切线斜率

1 k1
＝12Δx＋6(Δx)2＋(Δx)3
k lim y lim [12 6x (x)2 ] 12 x0 x x0
切线方程为：y－8＝12(x－2)
法线方程为：y－8＝ 1 (x－2)
12
上述两个例子，从不同方面的问题的研究中得
出了相同形式的结果，即都是函数的改变量与自变
3.4 导函数
如函数 y＝f(x)在(a,b)内每一点都可导，则在
(a,b)内每一点的导数都存在，且与x的值相对应，故
f’(x) 也是x的函数，称为f(x)在(a,b)内的导函数，
或记作y'，dy , df 。
[注意]
dx dx
⑴ f’(x)是函数，但f’(x0)是一个确定的数值，是f’(x) 在 x＝x0时的导函数值
③ y＝ln x＋ x ＋1
解：①
y'＝(x2)'＋ 1 '＝2x－
x
1 x2
② y'＝(sin x)'＋(cos x)'＝cos x －sin x
③ y'＝(ln x)'＋ x '＋1’
＝ 1 1
x 2x
2.积的导数 [法则2]
两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
即：[u(x)·v(x)]'＝u'(x)v(x)＋u(x)v'(x)
[推论] 常数与函数积的导数等于常数与函数导数的积，
即：[C·u(x)]'＝C·u'(x)，系数可提到求导符号外面来。
∵ [C·u(x)]'＝C'·u(x)＋C·u'(x)而C’＝0

导数的复习与导引

导数的复习与导引考纲要求一、考试内容及要求1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式（c , x m（m 为有理数），s i nx , c o sx , e x, a x, l nx , lo g a x 的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．二、考纲解读随着高考的不断深入，对能力要求逐渐提高，也为了支持新课程的改革，导数的地位正在不断加强，对导数应用的考查的广度和深度也不断加重，导数已由解决问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题也成为新的热点内容．考查时，既有小题，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；也有解答题，主要考查学生译读题目，肢解难点，合理迁移，等价转化等数学思想和方法．侧重于导数的综合应用，即导数与函数、数列、不等式、解析几何的综合应用，以及导数问题的综合应用，特别注意用导数证明函数的单调性，求函数的极值与最值，证明不等式以及求曲线的切线等问题，预计2009年的高考，导数必将还是重点和热点．考点解读（题型梳理）本章的考查重点集中在以下方面：导数导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的一门科学，它为有效地解决一些传统的初等数学问题提供了一般性的方法，如求曲线的切线方程，函数的单调区间，不等式的证明，函数的最值及有关实际问题，运用求导的方法不仅简便易行，而且形象直观，有助于对函数性质的深刻理解和认识．学习本节内容首先必须弄清以下基本问题：一、导数的概念1．弄清“函数在一点x 0处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系．（1）函数在一点处的导数)(0x f '是一个常数，不是变量．（2）函数的导数，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f (x )在区间(a , b )内每一点都可导，是指对于区间(a , b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数)(0x f '，根据函数的定义，在开区间(a , b )内就构成了一个新的函数，就是函数f (x )的导函数)(x f '．（3）函数y =f (x )在点x 0处的导数)(0x f '就是导函数)(x f '在点x =x 0处的函数值，即)(0x f '=)(x f '|x =x 0．2．导数的存在性：当函数在x =x 0处的平均变化率的左右极限存在且相等时，才能判定此点存在导数． 3．可导与连续之间的关系若函数y =f (x )在x 0处可导，则函数y =f (x )在x =x 0处连续；函数y =f (x )在x =x 0处连续，y =f (x )在x =x 0处不一定可导．例如：函数y =|x |在x =0处连续，但不可导． 4．导数的几何意义（1）设函数y =f (x )在点x 0处可导，那么它在该点的导数等于函数在相应点M (x 0, y 0)处的切线的斜率．（2）设s =s (t )是位移函数，则s ′(t 0)表示物体在t =t 0时刻的瞬时速度．（3）设v =v (t )是速度函数，则v ′(t 0)表示物体在t =t 0时刻的加速度．【例1】已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+=,1),1(211),1(21)(2x x x x x f 试判断函数f(x)在x=1处是否可导．【分析】求f ′(1)，即求1)1()(lim1--→x f x f x ．考虑到x =1是f (x )的分界点，x →1+与x →1-时，f (x )的表达式不同，所以应分别求1)1()(lim1--+→x f x f x 及1)1()(lim1---→x f x f x ．【解析】11)1(21lim1)1()(lim11--+=--++→→x x x f x f x x .211)1(21lim1=--=+→x x x 而11)1(21lim1)1()(lim211--+=----→→x x x f x f x x.1)1(21lim1)1(21lim121=+=--=--→→x x x x x ∴.1)1()(lim1)1()(lim11--≠---+→→x f x f x f x f x x即f ′(1)不存在，所以f (x )在x =1处不可导．【评析】1．由导数的定义，可以得到求函数y =f (x )在点x 0处的导数的方法：① 求函数的增量△y =f (x 0+△x )-f (x 0)； ② 求平均变化率xx f x x f xy ∆-∆+=∆∆)()(00；③ 取极限，得导数xy x f x ∆∆='→∆00lim)(．此方法可简记为：一差、二化、三极限．2．当函数在x =x 0处的平均变化率的左右极限存在且相等时，才能判定此点存在导数．【例2】求曲线y =3x -x 3过点P (2, -2)的切线方程．【解析】设切点坐标为P (x 0, y 0)，由y ′=3-3x 2知点P 处的切线方程为：y -y 0=(3-3x 20)(x -x 0)…①，∵切线过点P (2, -2)，且y 0=3x 0-30x ,代入①，整理得0432030=+-x x ，即(x 0+1)(x 0-2)2=0, ∴x 0=-1或x 0=2．（1）当x 0=-1时，切点为(-1, -2)，此时切线方程为y =-2；（2）当x 0=2时，切点为P (2, -2)，此时切线方程为9x +y -16=0．所以过点P (2, -2)的切线方程为y =-2或9x +y -16=0．【评析】“经过点P 的切线”与“点P 处的切线”不同，“经过点P 的切线”包括两种情况： ① 以点P 为切点； ② 以曲线y =f (x )上的另一点Q 为切点，但该切线恰好过点P ，在求解过程中应注意明确概念的内涵与外延，否则会出现错误．【例3】已知函数f (x )=x 2-x +m 的定义域为(0,1)，对任意x 1, x 2∈(0, 1)且x 1≠x 2，求证：|f (x 1)-f (x 2)|<|x 1-x 2|．【解析】因为x 1≠x 2，所以原不等式等价于1)()(2121<--x x x f x f ，即证f (x )=x 2-x +m ，x ∈(0, 1)在函数图像上任意两点连线的斜率k 满足|k |<1，∵)(x f '=2x -1且当x ∈(0, 1)时，-1<2x -1<1, ∴-1<)(x f '<1， ∴1)()(2121<--x x x f x f ，即|f (x 1)-f (x 2)|<|x 1-x 2|．【评析】利用导数的几何意义来证明显得非常简捷．一般地，对于|f (x 1)-f (x 2)|≤m |x 1-x 2|型不等式，大多可以转化成“函数y =f (x )图象上任意两点P (x 1, f (x 1))，Q (x 2, f (x 2))的连线的斜率2121)()(x x x f x f k --=(x 1≠x 2)的取值范围问题”求解，同时应注意将x 1=x 2单独讨论．二、函数的和、差、积、商的导数函数的求导方法主要有两种，一是定义法，二是利用函数的和、差、积、商的求导公式，要求在熟练掌握几种常见函数导数的基础上灵活运用求导公式求函数的导数．【例4】求下列函数的导数：（1）)11)(1(xx y +-= （2）xxy ++-=1111；（3）3x xx y =c o t (t 为常数)．【解析】（1）∵xx xx y -=+-=1)11)(1(，∴23212121)(---='-='x x xy 2121--x;（2）∵,121111xxxxxy -=--+-+=∴2)1(2x y -='．（3）∵31211-+=x y tx t cos cos 67=，∴tx y cos 6761='（注意c o st 为常数）【评析】本题是关于初等函数的求导问题，注意灵活使用导数的四则运算法则．若不加分析，盲目套用公式，就会给运算带来不便甚至错误，所以先化简，再求导是实施导数运算的基本方法，是化难为易，化繁为简的基本原则和策略．【例5】 f (x )是定义在(0, +∞)上的非负可导函数，且满足)()(x f x f x +'≤0，对任意正数a , b ，若a <b ，则必有A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a ) 【解法一】由⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤+'≥>0)()(0)(0x f x f x x f x 0)()(≤-≤'x x f x f ，所以⇒⎭⎬⎫>>≥≥00)()(a b b f a f bf (a )≥af (b )．故选A ．【解法二】根据题设条件构造函数F (x )=xf (x )，则)()()(x f x f x x F +'='，由条件得F (x )在(0, +∞)上单调递减．若a <b ，则F (a )≥F (b )，所以bf (a )≥af (b )≥bf (b )≥af (b )，选A ．【评析】本题主要考查基本的求导公式，函数单调性的应用、不等式的放缩等．由已知条件)()(x f x f x +'≤0可证明函数F (x )=xf (x )在(0, +∞)上非严格单调递减，没有对公式(u v )′=u′v +u v ′的熟练掌握，很难构造出函数F (x )=xf (x )．三、复合函数的导数求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为基本函数的导数解决．①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的关系；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导．【例6】求)32(sin 2π+=x y 的导数．【分析一】题中结构较为复杂，先设中间变量，然后由复合函数的求导法则求导．【解法一】设y =u 2, u=s i nv , v =2x +3π，则xv u x v u xx v u v u y y )32()(sin )(2'+⋅'⋅'='⋅'⋅'='π.2)32cos()32sin(22cos 2⋅+⋅+=⋅⋅=ππx x v u ).324sin(2π+=x【分析二】根据积的求导法与复合函数的求导法则．【解法二】∵sin(2)sin(2)33y x x ππ=+⋅+])32[sin()32sin(2'+⋅+=ππx x)32()32cos()32sin(2'+⋅+⋅+=πππx x x ).324sin(2π+=x【分析三】利用降幂公式先化简，再求导．【解法三】∵)]324cos(1[21π+-=x y ，∴])324cos(2121['+-='πx y )324()324sin(210'+⋅++=ππx x )324sin(2π+=x ．【评析】复合函数的求导过程就是对复合函数由外层向内层求导，每次求导都针对着最外层的相应变量进行的，直到求到最里层为止，所谓最里层就是指可以直接引用基本公式表进行求导．四、对数函数与指数函数的导数本节的重点是结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，应用指数与对数的求导公式熟练地求较简单的初等函数的导数．【例7】求下列函数的导数：（1）bxaxe y +-=2；（2）)1(log 2-+⋅=x x x y a ；（3）xx y -+=11ln．【解析】（1）设y =e u ，u=-ax 2+bx ，则)()(2'+-⋅='⋅'='bx ax e u e y u x u )2(2b ax ebxax+-=+-；（2）⋅-+⋅+-+='1log )1(log 22x x e x x x y a a )1(2'-+x x ex x x x x x a a log 12)1(log 222-+++-+=；（3）∵)]1ln()1[ln(21x x y --+=，∴.11)1111(212xxxy -=-++='【评析】本题的函数都是复合函数，求导时既可以先把函数分解后再用复合函数求导，也可直接用复合函数求导公式求导．【例8】已知0<x <1，求xx x y +-=11的导数．【解析】y >0，两边取对数得)]1ln()1[ln(21ln )11ln(ln x x x xx x y +--+=+-=∵y 是x 的函数，由复合函数的求导法则对上式两边求导，可得,111)1111(2112xxxx xyy --=+---+='∴).111(2xxy y --='∵,11xx xy +-=∴.1111)1(1112222xx x x xx x xxxx xy +---+=---⋅+-='【评析】（1）对l ny 求导不易理解，事实上，如果设y =f (x )，则l ny =l nf (x )，设f (x )=u ，则.)()(11)(ln ])([lny y x f x f u u u u x f x x u '='⋅='⋅='⋅'='（2）本题解法的求导方法一般称为对数求导法，即先两边取对数，再求导，一般适用于以下两类函数的求导：① 形如y =(x -a 1)(x -a 2)…(x -a n )，取对数之后，可将积转化为和的形式，或)()()()(11n n b x b x a x a x y ----=，取对数后，可转化为代数和的形式．② 无理函数（如本例）或形如y =x x 这类函数，取对数后，可变形为l ny =x l nx 两边求导．导数的应用近年来以导数为工具，以函数为主干的综合题的类型有很多，如函数与方程、函数与不等式、函数与数列、函数与解析几何、函数与立体几何等，这些题型成了高考函数综合题的一大特色，解决这类问题的关键是熟练掌握导数、函数与方程、转化与化归、分类讨论等思想在解题中的应用．从近几年全国各地高考试题看，导数部分的考查热点主要表现在以下几个方面：一、研究函数性质导数作为研究函数问题的利刃，常用来解决极值、最大（小）值、单调性等三类问题．在求解这些函数问题时，结合导数的思想并在理解性质的基础上，掌握用导数方法求解的一般步骤，请参见《知识网络》．【例9】已知函数)0.()1ln(1)(>++=x xx x f（1）判断函数f (x )在区间(0, +∞)上的增减性并证明你的结论；（2）若当x >0时，1)(+>x k x f 恒成立，求正整数k 的最大值．【解析】（1）)]1ln(11[1)(2+--+='x x x xx f )].1ln(11[12+++-=x x x由x >0, x 2>0,11>+x , l n (x +1)>0，得0)(<'x f ．因此函数f (x )在区间(0, +∞)上是减函数．（2）当x >0时，1)(+>x k x f 恒成立，令x =1有k <2(1+l n 2).，又k 为正整数，则k 的最大值不大于3．下面证明当k =3时，1)(+>x k x f (x >0)恒成立．即证明x >0时(x +1)l n (x +1)+1-2x >0恒成立．令g (x )=(x +1)l n (x +1)+1-2x ,，则.1)1ln()(-+='x x g 当x >e -1时，0)(>'x g ；当0<x <e -1时，0)(<'x g ． ∴当x =e -1时，g (x )取得最小值g (e -1)=3-e >0．∴当x >0时，(x +1)l n (x +1)+1-2x >0恒成立．因此正整数k 的最大值为3．【解法二】当x >0时，1)(+>x k x f 恒成立．即kxx x x h >+++=)]1ln(1)[1()(对x >0恒成立．即h (x )(x >0)的最小值大于k ．2)1ln(1)(xx x x h +--='，记ϕ(x )=x -1-l n (x +1).(x >0)，则,01)(>+='x x x ϕ∴ϕ(x )在(0, +∞)上连续递增．又ϕ(2)=1-l n 3<0, ϕ(3)=2-2l n 2>0，∴ϕ(x )=0存在惟一实根a ，且满足：a ∈(2, 3), a =1+l n (a +1)，由x >a 时，ϕ(x )>0, h ′(x )>0; 0<x <a 时，ϕ(x )<0, h ′(x )<0知：h (x )(x >0)的最小值为 h (a )=1)]1ln(1)[1(+=+++a aa a ∈(3, 4)．因此正整数k 的最大值为3．【评析】此题若用初等方法求函数f (x )的单调区间，则十分困难，而采用导数方法来研究，通过“求导→解不等式→写单调区间”这三步，即可简捷地完成解答，本题第（2）问的方法一采用了“特殊探路，导数求证”的思路，而方法二则通过两次求导，很巧妙地化解了难点．二、研究二次函数与三次函数二次函数、三次函数是最基本、最简单的多项式函数，每年高考中均重点考查，“三个二次”是方程、不等式和函数之间联系的桥梁，也是综合代数知识的一个平台，更是高考命题的好素材．三次函数求导以后，就可以转化为二次函数问题，所以三次函数是对二次函数知识的升华．以三次函数为基本模型研究导数的应用，是近年高考的一个热点．【例10】已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )≥-2x 的解集为[1, 3]．（1）若方程f (x )+6a =0有两个相等的实数根，求f (x ) 的解析式；（2）若函数g (x )=xf (x )无极值，求实数a 的取值范围．【分析】根据一元二次不等式的解集可得到其对应方程的两根，即可得出f (x )为含a 的参数式，再根据相等两根知判别式为零，便可求得解析式．第二问是三次函数极值问题，求导后变为二次函数问题，按解二次函数的方法处理便可求出a 的取值范围．【方法一】设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)，∵不等式f (x )≥-2x 的解集为[1, 3]，且a <0．∴f (1)=a +b +c =-2, ① f (3)=9a +3b +c =-6, ② 又∵f (x )+6a =ax 2+bx +c +6a =0有两相等根，∴△=b 2-4a (c +6a )=0. ③ 由①②③解得a =-51或a =1（舍去），故a =-51, b =-56, c =-53.∴.535651)(2---=x xx f【方法二】若设f (x )+2x =a (x -1)(x -3)(a <0)，则解法更简单（下略）．（2）由①②得b =-2-4a , c =3a , 故g (x )=ax 3+(-2-4a )x 2+3ax ,)(x g '=3ax 2+2(-2-4a )x +3a ，∵g (x )无极值，∴方程)(x g '=0无实根或有两个相等实根，则⎪⎩⎪⎨⎧≤---=∆≠,036)42(4,022aa a 解得-2≤a ≤-72．【评析】二次函数是高中数学中的一个最基本的函数，是联系“三个二次”之间关系的枢纽，二次函数的有关性质仍是我们研究函数性质中最基本的初等函数的性质，“三个二次”之间的相互转化是我们解决方程、不等式和函数综合问题的主要途径．【例11】若函数f (x )=x 3+bx 2+cx +1的单调增区间是(-∞, -2]与[2, +∞)，单调减区间是[-2, 2]．（1）求函数f (x )的解析式；（2）若方程f (x )-m =0有三个不相等的实根，求m 的取值范围．【分析】由条件可知函数在x =-2, x =2处的导数值为零，由此可解出两个参数的值，则方程根的问题可以转化为图像交点问题处理．【解析】（1）c bx x x f ++='23)(2，依题意⎩⎨⎧=++=+-⎩⎨⎧='=-'.0412,0412,0)2(,0)2(c b c b f f 即解得b =0,c =-12．∴函数)(x f 的解析式为112)(3+-=x x x f .（2）由条件可知，函数)(x f 有极大值17)2(=-f ，极小值15)2(-=f .若方程mx f y -=)(有三个不相等的实数根，即)(x f 的图像与直线y =m 恰有三个公共点，则⎩⎨⎧-<>).2(),2(f m f m ∴m 的取值范围为-15<m <17．【评析】因为三次函数求导后可变为二次函数，所以，两者之间有着密切的联系，研究三次函数性质的时候往往通过求导转化为二次函数或二次不等式，进而借助二次函数的性质来进行研究．一般地，若已知三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a >0)在(-∞, m ]上是增函数，在[m , n ]上是减函数，在[n , +∞)上是增函数，则二次方程0)(='x f 即3ax 2+2bx +c =0的两个根为m , n ；且当x ∈(-∞, m ]或x ∈[n ,+∞)时0)(>'x f ，当x ∈[m , n ]时0)(<'x f ，反之亦然．三、证明不等式证明不等式的方法有许多，导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性以及导数思想的重要性．由导数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最大（小）值的研究，经过代数变形，从而得到待证明的不等式．【例12】设a ≥0, f (x )=x -1-l n 2x +2a l nx (x >0)．（1）令)()(x f x x F '=，讨论F (x )在(0, +∞)内的单调性并求极值；（2）求证：当x >1时，恒有x >l n 2x -2a l nx +1．【解析】（1）根据求导法则有0,2ln 21)(>+-='x xa xx x f ，故,0,2ln 2)()(>+-='=x a x x x f x x F于是，0,221)(>-=-='x xx x x F ．列表如下：由上表可知，函数F (x )在(0, 2)内是减函数，在(2, +∞)内是增函数，所以，在x =2处取得极小值F (x )=2-2l n 2+2a ．（2）证明：由a ≥0知，F (x )的极小值F (x )=2-2l n 2+2a >0，由上表可知，对x ∈(0, +∞)，恒有)()(x f x x F '=>0．由此可知，当x >0时，恒有)(x f '>0，故f (x )在(0, +∞)内单调递增．所以，当x >1时，f (x )>f (1)=0，即x -1-l n 2x +2a l nx >0.综上可知，当x >1时，恒有x >l n 2x -2a l nx +1．【评析】此题主要考查了导数的概念与计算，以及利用导数研究函数单调性、极值和证明不等式的方法，体现了高考中对综合运用导数知识解决问题的能力要求．四、求解参数范围给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式．在此类问题的求解过程中，逆向思维的作用尤其重要．【例13】设函数xx x f ln 1)(=(x >0且x ≠1)（1）求函数f (x )的单调区间；（2）已知axx>12对任意x ∈(0, 1)成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）xx x x f 22ln 1ln )(+-='，若)(x f '=0，则ex 1=，列表如下：从上表可知，f (x )的单调增区间为(0,e1)；减区间为(e1, 1)和(1, +∞).（2）在axx>12两边取对数，得xa xln 2ln 1>，由于0<x <1，所以.ln 12ln xx a >①由（1）的结果可知，当x ∈(0, 1)时，f (x )≤)1(e f =-e ，为使①式对所有x ∈(0, 1)成立，当且仅当ea ->2ln ，即a >-e l n 2.【评析】要求参数a 的取值范围，需将a 分离出来，因此考虑两边取自然对数，再利用上一问的结论及恒成立问题的充要条件就能转化为关于参数a 的不等式，从而顺利地求出参数a 的范围．事实上，解数学题的过程就是一系列的等价转换的过程——化无理为有理，化分式为整式，化高次为低次，化未知为已知等等．五、研究相切问题导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值，从而利用导数可求曲线y =f (x )的切线，并进一步将导数融合到函数与解析几何的交汇问题中．解决此类相切问题，一般先求函数的导数)(x f y '=，依据曲线y =f (x )在x =x 0的切线斜率为='==0|x x y k|)(xx x f ='而进行研究．由于切点具有双重身份，既在切线上，又在函数图像上，从而对切点的研究可作为解决问题的纽带，特别是在不知道具体切点的情况下，常常设切点坐标并联立方程组而求解（如例2）．【例14】已知函数f (x )=x 3-x ．（1）求曲线y =f (x )在点M (t , f (t ))处的切线方程；（2）设a >0，如果过点(a , b )可作曲线y =f (x )的三条切线，证明：-a <b <f (a )．【解析】（1）求函数f (x ) 的导数：13)(2-='x x f .曲线y =f (x )在点M (t , f (t ))处的切线方程为))(()(t x t f t f y -'=-，即y =(3t 2-1)x -2t 3．（2）如果有一条切线过点(a , b )，则存在t ，使b =(3t 2-1)a -2t 3．于是，若过点(a , b )可作曲线y =f (x )的三条切线，则方程2t 3-3at 2+a +b =0有三个相异的实数根．记g (t )=2t 3-3at 2+a +b =0，则).(666)(2a t t at t t g -=-='当t 变化时，)(),(t g t g '的变化情况如下表所示：由g (t )的单调性，当极大值a +b <0或极小值b -f (a )>0时，方程g (t )=0最多有一个实数根；当a +b =0时，解方程g (t )=0，得t =0, t =23a ，即方程g (t )=0只有两个相异的实数根；当b -f (a )=0；解方程g (t )=0；得t =-2a , t =a ，即方程g (t )=0只有两个相异的实数根．综上，如果过(a , b )可作曲线y =f (x )三条切线，即g (t )=0有三个相异的实数根，则⎩⎨⎧<->+,0)(,0a f b b a 即-a <b <f (a )．【评析】依据切线的斜率等于切点处的导数值，可轻松完成第一个问题关于切线方程的求解；第二个问题所涉及的三条切线，可等价转化为方程有三个实数根的问题，进一步利用导数对函数性质的研究，可解决方程实数根个数的讨论．六、解决实际应用问题在工农业生产、生活等实际问题中，常常需要研究一些成本最低、利润最大、用料最省的问题．我们先把实际情景翻译为数学语言，找出情景中主要的关系，抽象出具体的数学问题，化归为研究目标函数的最大（小）值，从而可利用导数方法简捷求解，此类问题称为优化问题．解答此类问题时，需要抓住三个基本步骤：①建立函数关系；②求极值点，确定最大（小）值；③回归优化方案．【例15】一吊灯圆环直径为22米，通过拉链BC 、CA 1、CA 2、CA 3（A 1、A 2、A 3是圆上三等分点）悬挂在B 处，圆环呈水平状态并距天花板2米（如图）（1）为使拉链总长最短，BC 应为多长；（2）为了美观与安全，在圆环上设置A 1、A 2、A 3、…、A n (n ≥4)个等分点，并仍按上述的方法连结，若还要求拉链总长最短，对比（1）中C 点位置，此时C 点是上升还是下移，请说明理由．【解析】（1）设C 距天花板x 米(0<x <2)，所求拉链总长为y 米，则CA 1=CA 2=CA 3=,2)2(2+-x∴),20(2)2(32<<+-+=x x x y ∴.2)2()2(312+---='x x y 令02)2()2(312=+---='x x y ,又0<x <2, ∴x =23，∵x ∈(0,23)时，y '<0；x ∈(2,23)时，y '>0.∴当x =23时，y 取最小值为6米．（2）类比第（1）问求解过程有2)2(2+-+=x n x y ,∴2)2()2(12+---='x x n y令2)2()2(12+---='x x n y =0，又∵0<x <2, ∴1222--=n x ．∵此时只有一个极值，∴当1222--=n x 时，拉链总长最短．现在比较1222--n 与23的大小，只需先比较21122与-n 的大小．B C A 3A 1A 2∵n ≥4, ∴0)1(494112)21()12(222222<--=--=--n nn n ，即21122<-n .∴231222>--n ，故C 点位置将下移．【评析】数学应用题主要有以下六种题型：（1）函数、不等式、导数型应用题；（2）数列型应用题；（3）三角函数、平面向量型应用题；（4）解析几何型应用题；（5）立体几何型应用题；（6）排列、组合、概率型应用题．求解应用问题首先要仔细分析题意，理清题目的已知条件以及需求解的对象，各种数据之间的关系，然后建立恰当的数学模型，将实际问题转化为数学问题，最后再利用已学过的数学知识和方法去解决问题．本例应抓住图形特征列出拉链总长度的函数解析式，然后借助于导数方法求解．【复习建议】由于导数是研究函数性质的重要工具，又有着丰富的实际背景和广泛的应用，使得导数很自然地成为近几年高考的热点，因此在复习中应注意以下几点： 1．夯实基础，突出工具性随着导数的引入，使得研究函数的工具更加先进，方法更加灵活．导数的概念及其运算是导数应用的基础，因此，在教学时，要充分利用教材，在牢记导数的相关概念、求导法则的基础上穿插与渗透运用导数解决函数问题的训练，把它作为研究函数图象与性质的基本方法加以总结和应用，促进知识和方法的系统化．2．把函数与导数的复习融合于一体当用导数研究函数时，函数的呈现形式已经不再拘泥于具体的基本初等函数．对函数的研究也不仅仅限于定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，极值与最值、曲线的切线、极限与连续等都成为研究的对象．只有把函数与导数的复习结合起来，才能对函数有更深刻的认识． 3．关注高考试题，强化综合运用在知识网络的交汇点处设计试题是高考命题的一个基本原则．在夯实基础，紧抓主干的基础上，还要特别注重导数知识的纵横联系．在复习时，应以教材为主，全面梳理知识，系统归纳总结，注重知识结构的重组与概括，揭示知识间的内在联系，形成纵向、横向的知识链，构建知识网络．高度关注导数与函数、不等式、数列、解析几何等内容交叉渗透的综合性问题的训练，使导数的知识和方法与相关内容融合在一起，不断地提高学生综合运用所学知识解决问题的能力．。

导数的概念-课件-曲线的切线和瞬时速度

速度定义
速度是位移对时间的变化率，可以理解为瞬时速度的极限情况。
切线与速度
曲线的切线可以表示瞬时速度的方向和大小。
速度图像
通过切线的斜率，可以绘制出物体在不同时间点的速度图像。
实例演示
切线绘制实例
我们将以一个函数的图像为例，展示如何绘制曲线上的切线，并计算切线的斜率。
瞬时速度计算
通过计算切线的斜率，我们可以求解物体在不同时间点的瞬时速度。
当一个函数由两个或多个函数的复合构成时，可以使用链式法则计算导数。
乘积法则
对于两个函数的乘积，可以通过乘积法则计算导数。
曲线的切线
1
切线定义
切线是曲线某一点处与曲线相切的直线。
2
斜率求解
切线的斜率等于曲线在该点处的导数。
3
方程表示
可以使用点斜式方程或斜截式方程表示曲线的切线。
切线与瞬时速度的关系
导数的应用
1
优化问题
导数可以帮助我们求解优化问题，例如确定函数的最大值或最小值。
2
速度与加速度
导数可以用于描述物体的速度和加速度，了解，例如平均速度或平均增长率。
总结和要点
导数的定义：导数的计算：曲线的切线：切线与瞬时速度：导数的应用：
极限定义
导数可以用极限来定义，即函数在某一点的导数等于该点处的斜率极限。
符号表示
导数一般用符号 "f'(x)" 或 "dy/dx" 表示，其中 "f" 是函数，"x" 是自变量。
导数的计算
基本导数法则
链式法则
一些常见的函数的导数可以用简单的法则推导得出。例如，常数函数的导数为 0，幂函数的导数可以通过幂规则计算。

导数概念背景

从直观的角度来讲，极限是我们观察运动细节的方式，运用这种方式，可以很自然地描述我们关于运动的细节的任何概念。

关于运动变化发展的一个很基本的观念，就是变化率的观念。

应该说这个观念的起源并不是以极限的观念为前提的，但是要清楚地表述变化率的概念，则非使用极限作为工具不可。

在实际问题当中，变化率的概念总是两个变量的比值，甚至一般是两个取确定大小的变量的比值，但这种作法从严格的意义上讲，是一种近似。

导数的概念可以用几何图形得到非常直观的表达，因为本来微积分的概念就有很强的几何直观性质，而我们学习微积分，从几何直观的角度来理解与把握抽象概念，则是一个不二法门，希望同学们认真对待。

应用导数概念描述物理量。

导数概念具有很强的实际问题的背景，而我们在实际问题当中总是能够遇到大量的需要应用导数概念来加以刻划的概念，甚至可以说，导数的概念构成一种思路，当我们在处理真实世界的问题时，常常遵循这个思路来获得对于实际对象的性质的刻划。

前面我们已经讨论了导数的几何意义，其实完全可以反过来说，正是由于当初在几何学问题中，为了要描述斜率这个概念，才启发人们建立了抽象的一般的导数的概念。

而在其他的领域，这种相互发明的情况是屡见不鲜的。

比方说在物理学领域，需要大量地应用导数的概念，来刻划属于变化率，增长率，强度，通量，流量等等一大类的物理量。

例如速度，加速度，电流强度，热容，等等。

而我们在实际问题当中，更是应该善于提取复杂现象当中所蕴涵的导数概念。

小结:瞬时速度是平均速度当时的极限；切线是割线的极限位置；切线斜率是割线斜率当时的极限；这个准确的说是微积分的产生背景，导数其实就是微商，即f'(x)=dy/dx。

从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。

作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。

高三数学课件：导数的背景曲线在某点处的切线、瞬时速度

高三数学课件：导数的背景曲线在某点处的切线、瞬时速度
在这个课件中，我们将深入探讨导数的背景曲线在某点处的切线和瞬时速度的相关概念，为你解密数学背后的奥秘。
导数的定义及意义
导数的定义
了解导数的数学定义和背后的数学意义。
导数的意义
探究导数在几何和物理中的实际应用及其对运动和变化的解释。
导数的计算方法
初等函数的导数
学习计算常见初等函数的导数，如多项式、指数函数和对数函数。
复合函数的导数
研究如何计算复合函数的导数，包括链式法则和参数方程。
反函数的导数
探索如何计算反函数的导数，并了解反函数的特性。
隐函数的导数
揭示如何计算隐函数的导数，包括隐函数定理和隐式求导法。
导数的背景曲线在某点处的切线
1
切线的定义及公式
详细描述切线的定义及如何使用公式来计算切线的斜率。
2
某点处切线的计算方法
教授如何计算背景曲线在指定点处的切线方程，包括使用导数和斜率。

实例讲解
通过实例演示，帮助学生更好地理解如何计算曲线在某点处的切线。
瞬时速度与导数
1
瞬时速度的定义
详细解释瞬时速度的概念和其在物理学中的重要性。
3 下节课预告
展望下一节课将介绍的数学概念和相关应用。
2
瞬时速度与导数的关系
讨论瞬时速度和导数之间的关系，以及如何根据导数计算瞬时速度。
3
实例讲解
通过实际问题的案例，演示如何使用导数计算瞬时速度。
总结
1 本节课的主要内容
总结导数的定义、计算方法以及背景曲线在某点处的切线和瞬时速度的相关知识。
2 导数在实际生活中的应用
探讨导数在实际生活中的应用，如物理学中的运动、经济学中的边际效应等。

曲线上一点处的切线、瞬时速度与瞬时加速度

度，S(b)是从t＝0到t＝b的路程，则下列说法正确的是( BC)
A.a甲(b)>a乙(b) C.S甲(b)>S乙(b)
B.a甲(b)<a乙(b) D.S甲(b)<S乙(b)
解析加速度是速度v对t的函数图象的切线斜率，由图可得在b处，甲的切线
斜率小于乙的切线斜率，即甲在b处的加速度小于乙在b处的加速度；由图知t
索引
温馨提醒瞬时速度与平均速度的区别和联系区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关. 联系：瞬时速度是平均速度的极限值.
索引
3.做一做一个物体的运动方程为S＝1－t＋t2，其中S的单位是：m，t的单位是：
s，那么物体在3 s末的瞬时速度是( ) C
f（x＋Δx）－f（x）
率为 kPQ＝
Δx
f（x＋Δx）－f（x） Δx
无
限
趋
近
于
点
P(x，f(x))处的切线的斜率
索引
温馨提醒一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线.
索引
3.做一做已知曲线y＝x2－1上两点A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是____5____；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是____4_._1__. 解析当 Δx＝1 时，割线 AB 的斜率 k1＝ΔΔxy＝（2＋1）2－ 1 1－22＋1＝5；当 Δx＝0.1 时，割线 AB 的斜率 k2＝ΔΔxy＝（2＋0.1）02.－ 1 1－22＋1＝4.1.
索引
(2)点P处的切线方程. 解在点 P 处的切线方程是 y－83＝4(x－2)，即 12x－3y－16＝0.

导数的背景曲线在某点处的切线瞬时速度课件

则。
避免常见错误
例如，混淆导数和积分，或在求导时忽略常数
项等。
实践练习
通过大量练习提高计算导数的熟练度和准确性
。
05
导数的背景曲线在某点处的切线瞬时速度实例分析
实例一：物体在某点的速度变化率
总结词
通过导数，可以描述物体在某一点的速度变化率，即切线的斜率。
详细描述
当物体在某一点的速度变化率越大，该点的导数就越大，切线的斜率也就越大。例如，汽车在加速行驶时，速度的变化率（即加速度）越大，那么在某一时刻的速度变化就越快。
03
导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
导数在物理中主要用于描述物体的运动状态和变化率，例如瞬时速度、加速度、角速度等。
在力学中，导数可以用来描述物体的运动轨迹和速度变化，例如自由落体运动、匀速圆周运动等。
在电磁学中，导数可以用来描述电流和电压的变化率，例如交流电的波形和频率等。
导数在经济学中的应用
导数的背景曲线在某点处的切线瞬时速度课件
目录
• 导数的定义与性质 • 导数与切线瞬时速度的关系 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的计算方法与技巧 • 导数的背景曲线在某点处的切线瞬时
速度实例分析
01
导数的定义与性质
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数，也称为微商，表示函数在某一点处的切线斜率。对于可导函数f(x)，其在点x0处的导数定义为f'(x0)，表示函数在x0处的切线斜率。
导数在几何上的解释
总结词
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率。
详细描述
对于可导函数f(x)，其在点x0处的导数f'(x0)表示曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处的切线斜率。因此，导数在几何上具有直观的解释，可以帮助我们更好地理解曲线的形状和变化趋势。

导数的背景

二、实际应用——边际成本
我们研究函数增量与自变量的关系：
D CC ( q D q )C () q 3 0 03 D q D q D q
D C 当 D q 0 时 , 3 0 0 D q
如果 D q 无限趋于0时， D q 无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本，它表明当产量为q 0 时，增加单位产量需付出成本A
1
-1 O
P Dx j
M
x
1
3.曲线的切线如图,曲线C是函数y=f(x) y y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 (x0+Δx,y0+Δy) Q 任意一点,Q(x0+Δ x,y0+Δ y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, Δy PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角. P β M 则: MP Dx, MQ Dy, Δ x (x0,y0) O Dy tan . Dx Dy 表明：就是割线的斜率 . Dx
s(t)(ｓ表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度．
如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0,在时刻t0 +Δ t 的位置是s(t0+ Δ t)=OA1,则从t0 到 t0 +Δ t 这段时间内,物体的位移是:
D s OA OA s ( t D t ) s ( t ) 1 0 0 0
f ( x D x ) f ( x ) D y 0 0 tan lim lim 即: k 切线 D x 0 D x 0 D x D x
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限. 要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限, 则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个.

瞬时速度曲线切线斜率导数概念

例7
y=lnx
1 x 1 y ' lim ln(1 ) x 0 x x x
例8
y c c 0
y=c(常值函数)
y 0 lim lim 0 x 0 x x 0 x
例如 (3)’=0 (π)’ =0
小结
1.导数、可导、导函数的概念
f ( x x) f ( x) y ' f ' ( x) lim x 0 x
(2 x ) 2
3 3
3
dy y lim 12 | x 0 x dx x 2
y 12 6 x x
12 x 6 x x
2
3
x
2
求自由落体运动
1 2 s gt 2
在任一时刻t0的瞬时速度.
2 1 1 2 s g（t 0 t ) g t 0 2 2 1
s v (t ) lim t t s（t t） - s （ t ） ,P0(x0,y0) 切线P0T是割线P0P 的极限位置.
y 割线P0P的斜率= x
f ( x x) f ( x ) x
x 0
n(n 1) n2 2 n n x x . . . x ) x x 2 x
故
y ' lim
y n 1 nx x
( x )' n x
n
n 1
例如
x ' 10 x
10
1 2 1 2
x ' 3 x
3
2
0
可以证明，当n为任意实数时，此公式也成立。例如
s v lim t 0 t 0 t 1 lim g t 0 gt t 0 2

1.2曲线的切线与瞬时速度、瞬时加速度

已知曲线y=x3上一点上一点P(2,8)，例3.已知曲线已知曲线，求点p处的切线方程。求点处的切线方程。处的切线方程
作业：作业： 2.选做：求下列函数的导函数．选做：选做求下列函数的导函数． (1)y＝kx＋b； (2)y＝c；＝＋；＝；
则称函数y=f(x)在x＝x0处的导数，记作
f '( x0 )或y ' | x = x0 ,即 f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆y f '( x0 ) = lim = lim ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x
几个注意点
1：导数f’(x0)的几何意义：：导数的几何意义：的几何意义切线的斜率
∆x→0 →
平均变化率
瞬时变化率
1.3导数的概念导数的概念
1.导数：函数在某点处的瞬时变化率导数：导数一般地，函数＝一般地，函数y＝f(x)在x=x0处的瞬时变化率是在

f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆y lim = lim ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x
y P 斜率为y＝斜率为＝f’(x0) y＝f(x) ＝ O x0 x
2：x0是区间，b)内点，△x可正可负：是区间(a，内点内点，可正可负可正可负. 3：函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则曲线＝f(x) ：函数＝在＝处可导，则曲线y＝在x＝x0处必须连续且光滑＝处必须连续且光滑.*
几何意义：表示直线的斜率。几何意义：表示直线A(x1,y1)B(x2,y2)的斜率。的斜率
1、曲线的切线、
y
y=f(x) Q
割线 T 切线