吉林省辽源市2021届新高考数学第二次押题试卷含解析

吉林省辽源市2021届新高考数学第二次押题试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A ．
23
B ．
43
C ．2
D ．83
【答案】A 【解析】
由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，
且两直角边分别为1和2，所以底面面积为1
1212S =
⨯⨯= 高为2h =的三棱锥，所以三棱锥的体积为112
12333
V Sh ==⨯⨯=，故选A ．
2．已知椭圆22
2
2:19x y C a a
+=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）
A ．20,2⎛ ⎝⎭
B ．2⎫
⎪⎪⎝⎭
C ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
先求得椭圆焦点坐标，判断出直线12,l l 过椭圆的焦点.然后判断出12l l ⊥，判断出P 点的轨迹方程，根据P 恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率e 的取值范围. 【详解】
设()()12,0,,0F c F c -是椭圆的焦点，所以2
2
2
99,3c a a c =+-==.直线1l 过点()13,0F -，直线2l 过点
()23,0F ，由于()110m m ⨯+⨯-=，所以12l l ⊥，所以P 点的轨迹是以12,F F 为直径的圆229x y +=.由
于P 点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于3，即2239a >=，所以2918a +>，所以双曲线的离心91⎛⎫
2⎛
【点睛】
本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.
3．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
【答案】A 【解析】 【分析】
由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案. 【详解】
由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项. 【点睛】
考查集合并集运算，属于简单题.
4．设过抛物线()2
20y px p =>上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线()2
80y px p =>交于,A B
两点，直线OP 与抛物线()2
80y px p =>的另一个交点为Q ，则
ABQ ABO
S S
=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。

写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标，最后代入坐标，求得三角形面积比. 【详解】
作图，设AB 与OP 的夹角为θ，则ABQ △中AB 边上的高与ABO 中AB 边上的高之比为
sin sin PQ PQ
OP OP
θθ=，1ABQ Q P Q
ABO
P P S y y y PQ S OP y y -∴
===-，设211,2y P y p ⎛⎫
⎪⎝⎭，则直线121:2y
OP y x y p
=，即1
2p y x y =
，与28y px =联立，解得14Q y y =，从而得到面积比为11413y
y -=.
故选：C
【点睛】
解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题. 5．已知直线22y x a =-是曲线ln y x a =-的切线，则a =（ ） A ．2-或1 B ．1-或2 C ．1-或
12
D ．1
2
-
或1 【答案】D 【解析】 【分析】
求得直线2
2y x a =-的斜率，利用曲线ln y x a =-的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得a 的值.
【详解】
直线2
2y x a =-的斜率为1， 对于ln y x a =-，令1
1y x '==，解得1x =，故切点为()1,a -，代入直线方程得212a a -=-，解得12
a =-或1. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.
6．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0
()1,0kx x g x x x
≥⎧⎪
=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]
-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．11,65⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．11,
54⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．11,
54⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】D
做出函数(),()f x g x 的图象，问题转化为函数(),()f x g x 的图象在[5,5]-有7个交点，而函数(),()f x g x 在[5,0]-上有3个交点，则在[0,5]上有4个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】
作出函数(),f x ()g x 的图象如图所示，由图可知
方程()()f x g x =在[5,0]-上有3个不同的实数根， 则在[0,5]上有4个不同的实数根， 当直线y kx =经过(4,1)时，1
4
k =； 当直线y kx =经过(5,1)时，15
k =， 可知当
11
54
k ≤<时，直线y kx =与()f x 的图象在[0,5]上有4个交点， 即方程()()f x g x =，在[0,5]上有4个不同的实数根. 故选:D. 【点睛】
本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.
7．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．
A ．
15
B ．
25
C ．
310
D ．
14
【分析】
基本事件总数4520n =⨯=，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率． 【详解】
解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数， 基本事件总数4520n =⨯=，
其和等于11包含的基本事件有：(9,2)，(3,8)，(7,4)，(5,6)，共4个，
∴其和等于11的概率41205
p =
=． 故选：A ． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 8．已知ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=（ ）
A ．1
B ．2-
C ．
12
D ．12
-
【答案】C 【解析】 【分析】
以,BA BC 为基底，将,AD BE 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解. 【详解】 22
2,,33
BD DC BD BC AD BD BA BC BA ==
=-=-, 11
,22AE EC BE BC BA =∴=
+, 211
()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+
22
111362BC BC BA BA =-⋅- 111123622=-⨯⨯⨯=.
故选:C.
9．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：
22(0,0,0),(0,0,2),3,0,0,
0,3,033O A B C ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在
AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度
是（ ） A ．22 B ．1121-
C ．521+
D ．23
【答案】C 【解析】 【分析】
将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后最短路径就是AOO '△的边OO '，在AOO '△中，利用余弦定理即可求解. 【详解】
将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后如下图所示：
最短路径就是AOO '△的边OO '． 易求得30OAB O AC '∠=∠=︒， 由2AO =，2
33
OB =
433AB = 433AC =
，222
63
BC OB OC =+=222
cos 2AB AC BC BAC AB AC
+-⇒∠=
⋅ 161683
333444233
+-
==
由余弦定理知2222cos OO AO AO AO AO OAO ''''=+-⋅⋅∠ 其中2AO AO '==，()321
cos cos 60OAO BAC -'∠=︒+∠=
【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
10．二项式7
32x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
展开式中，1x 项的系数为（ ） A ．945
16
-
B ．189
32
-
C ．2164
-
D ．
2835
8
【答案】D 【解析】 【分析】
写出二项式的通项公式,再分析x 的系数求解即可. 【详解】
二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为777217
731(3)22r
r r
r r r r r x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
,令721r -=-,得4r =,
故1x 项的系数为74
447
12835
(3)28
C -⎛⎫-=
⎪⎝⎭
. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.
11．若集合{
}{,33A x y B x x ===-≤≤，则A B =（ ）
A ．[]3,2-
B ．{}
23x x ≤≤ C ．()2,3 D ．{}
32x x -≤<
【答案】A 【解析】 【分析】
先确定集合A 中的元素，然后由交集定义求解． 【详解】
{{}{}
2,33A x y x x B x x ===≤=-≤≤，{}32x x ∴A⋂B =-≤≤.
故选：A ． 【点睛】
A ．–10
B ．14-
C ．–18
D ．–20
【答案】D 【解析】 【分析】
利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得n S ，再利用二次函数的性质，可得当4n =或5时，n S 取到最小值. 【详解】
根据题意，可知{}n a 为等差数列，公差2d =，
由134,,a a a 成等比数列，可得2
314a a a =，
∴1112
()4(6)a a a ++=，解得18a =-.
∴22(1)981
829()224
n n n S n n n n -=-+
⨯=-=--. 根据单调性，可知当4n =或5时，n S 取到最小值，最小值为20-. 故选：D. 【点睛】
本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n 项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当4n =或5时同时取到最值. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系xOy 中，若函数()f x lnx ax ＝﹣在1x ＝处的切线与圆2
2210C x x y a ++：﹣﹣＝存在公共点，则实数a 的取值范围为_____． 【答案】(][)0,12,+∞
【解析】 【分析】
利用导数的几何意义可求得函数()f x lnx ax ＝﹣在1x ＝处的切线,再根据切线与圆存在公共点,利用圆心
到直线的距离满足的条件列式求解即可. 【详解】
解：由条件得到()1
'f x a x
=
- 又()()1,'11f a f a =-=-
即()1
10a x y ﹣﹣﹣＝ 圆C 方程整理可得：()2
21x y a -+= 即有圆心()1,0C 且0a ＞ 所以圆心到直线的距离
d =
=
≤
解得2a ≥或01≤＜a , 故答案为：(][)0,12,+∞．
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程的问题,同时也考查了根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题,属于基础题.
14．成都市某次高三统考，成绩X 经统计分析，近似服从正态分布2(100,)X N σ～，且
(86100)0.15P X <≤=，若该市有8000人参考，则估计成都市该次统考中成绩X 大于114分的人数为
_____． 【答案】2800. 【解析】 【分析】
根据正态分布密度曲线性质，结合(86100)0.15P X <≤=求得()1
1140.150.352
P X >=-=，即可得解. 【详解】
根据正态分布2100,X N σ～（），且(86100)0.15P X ≤=＜，
所以()1
1140.150.352
P X >=
-= 故该市有8000人参考，则估计成都市该次统考中成绩X 大于114分的人数为80000.352800⨯=． 故答案为：2800． 【点睛】
此题考查正态分布密度曲线性质的理解辨析，根据曲线的对称性求解概率，根据总人数求解成绩大于114的人数.
15．某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有________种.
【分析】
先考虑每班安排的老师人数，然后计算出对应的方案数，再考虑刘老师和王老师在同一班级的方案数，两者作差即可得到不同安排的方案数. 【详解】
安排6名老师到4个班则每班老师人数为1，1，2，2，共有1122
6542180C C C C =种， 刘老师和王老师分配到一个班，共有112
43224C C A =种，
所以18024156-=种. 故答案为：156. 【点睛】
本题考查排列组合的综合应用，难度一般.对于分组的问题，首先确定每组的数量，对于其中特殊元素，可通过 “正难则反”的思想进行分析.
16．执行右边的程序框图，输出的T
的值为 .
【答案】
116
【解析】
初始条件1,1,3n T n ==<成立方 ；
运行第一次：1
013
11,2,322
T xdx n n =+=+
==<⎰
成立； 运行第二次：1
2
033111,3,32236
T x dx n n =+=+==<⎰不成立；
输出T 的值：
11
.6结束 所以答案应填：11
.6
17．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种. 方案一：每满100元减20元；
方案二：满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球（逐个有放回地抽取），所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）
（1）该商场某顾客购物金额超过100元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得7折或8折优惠的概率； （2）若某顾客购物金额为180元，选择哪种方案更划算？ 【答案】（1）1
2
（2）选择方案二更为划算 【解析】 【分析】
（1）计算顾客获得7折优惠的概率11
8
P =
，获得8折优惠的概率238P =，相加得到答案.
（2）选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取的值为126，144，162，180.，计算概率得到数学期望，比较大小得到答案. 【详解】
（1）该顾客获得7折优惠的概率3
12148P ⎛⎫==
⎪⎝⎭，
该顾客获得8折优惠的概率2
2
23223448
P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，
故该顾客获得7折或8折优惠的概率12131
882
P P P =+=
+=. （2）若选择方案一，则付款金额为18020160-=.
若选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取的值为126，144，162，180.
3
23113(126),(144)828P X P X C ⎛⎫===== ⎪⎝⎭
， 3
3
103
31311(162),(180)2828
P X C P X C ⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则1331
1261441621801538888
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 因为160153>，所以选择方案二更为划算. 【点睛】
本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
18．已知椭圆C ：2
214
x y +=，不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点.
（Ⅰ）若线段MN 的中点坐标为11,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
，求直线l 的方程； （Ⅱ）若直线l 过点(4,0)，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（PM k ，PN k 分别为直线PM ，PN 的斜率），求0x 的值.
【答案】（Ⅰ）220x y +-=（Ⅱ）01x = 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据点差法，即可求得直线的斜率，则方程即可求得；
（Ⅱ）设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，根据0PM PN k k +=，即可求得参数的值. 【详解】
（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则2
2112
222
1,4
1.
4
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减，可得
()()()()1212121204
x x x x y y y y -++
-+=.（*）
因为线段MN 的中点坐标为11,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以122x x +=，121y y +=. 代入（*）式，得
()()1212204
x x y y -⋅+
-=.
所以直线l 的斜率121212
y y k x x -=
=--.
所以直线l 的方程为11
(1)22
y x -
=--，即220x y +-=. （Ⅱ）设直线l ：4x my =+（0m ≠），联立2
2
4,
1.4
x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 整理得(
)
2
2
48120m y my +++=.
所以(
)
2
2
6441240m m ∆=-⨯⨯+>，解得212m >. 所以12284m y y m +=-
+，122
12
4
y y m =+.
所以12
1020PM PN y y k k x x x x +=
+--()()()()
1202101020y x x y x x x x x x -+-=--
()()()21121201020x y x y y y x x x x x +-+=
--()()()()()2112120
102044my y my y y y x x x x x +++-+=--
()()
()()
120121020240my y x y y x x x x +-+=
=--，
所以()()12012240my y x y y +-+=. 所以()()()()0120120
2228112824240444
m x m
my y x y y m x m m m -+-+=⋅+-⋅==+++. 因为0m ≠，所以01x =. 【点睛】
本题考查中点弦问题的点差法求解，以及利用代数与几何关系求直线方程，涉及韦达定理的应用，属中档题.
19．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2
124n n a S n +=++，21a -，3a ，7a ，恰为等
比数列{}n b 的前3项．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列1n n n nb a a +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ；若对*n N ∀∈均满足2020n
m T >，求整数m 的最大值； （3）是否存在数列{}n c 满足等式()111
122n
n i
n i i a
c n ++-=-=--∑成立，若存在，求出数列{}n c 的通项公式；
若不存在，请说明理由．
【答案】（2）1n a n =+，2n
n b =（2）1
212
n n T n +=-+，m 的最大整数是2．
（3）存在，1
2n n c -= 【解析】 【分析】
（2）由2
124n n a S n +=++可得2123n n S a n -=++（2n ≥），然后把这两个等式相减，化简得11n n a a +=+，
公差为2，因为21a -，3a ，7a 为等比数列，所以()3271a a a 2
=-，化简计算得，12a =，从而得到数列
{}n a 的通项公式，再计算出 21a -，3a ，7a ，从而可求出数列{}n b 的通项公式；
（2）令112221
n n
n n n n nb c a a n n ++==-++，化简计算得10n n c c +->，从而可得数列{}n c 是递增的，所以只要n
T
的最小值大于
2020m 即可，而n T 的最小值为111
3
T c ==，所以可得答案； （3）由题意可知，()()()()1
121321111122n n n n n a c a c a c a c n +---+-+-+⋯+-=--，
即()1
*
121232
2,
n n n n c c c nc n n N +--+++⋯+=--∈，这个可看成一个数列的前n 项和，再写出其前
（1n -）项和，两式相减得，()*
12121,
n
n n n c c c c n N --+++⋯+=-∈，利用同样的方法可得
()
1*2n n c n N -=∈.
【详解】
解：（2）由题，当1n =时，12225a S =+，即12
225a a =+
当2n ≥时，2
124n n a S n +=++ ① 2123n n S a n -=++ ②
①-②得2
2
121n n n a a a +-=+，整理得()22
11n n a a +=+，又因为各项均为正数的数列{}n a ．
故{}11,n n n a a a +=+是从第二项的等差数列，公差为2． 又2371,,a a a -恰为等比数列{}n b 的前3项，
故()()()()2
23272221115a a a a a a =-⇒+=-+，解得23a =．又12
225a a =+，
故12a =，因为211a a -=也成立．
故{}n a 是以12a =为首项，2为公差的等差数列．故211n a n n =+-=+． 即2，4，8恰为等比数列{}n b 的前3项，故{}n b 是以12b =为首项，公比为
4
22
=的等比数列， 故2n n b =．综上1n a n =+，2n
n b =
（2）令112221
n n
n n n n nb c a a n n ++==-++，则 2+1111121(1)2222()3221
n n n n
n n n n n n n n n b nb c c a a a a n n n n ++++++++-=-=---++++
22231
n n
n n +=-
++ 2(31)
0(3)(+1)
n n n n +=
>+ 所以数列{}n c 是递增的， 若对*n N ∀∈均满足2020
n m
T >
，只要n T 的最小值大于2020m 即可
因为n T 的最小值为1113
T c ==， 所以2020
3
m <
，所以m 的最大整数是2． （3）由
()111
122n
n i
n i i a
c n ++-=-=--∑，得
()()()()1121321111122n n n n n a c a c a c a c n +---+-+-+⋯+-=--，
()1*
1212322,
n n n n c c c nc n n N +--+++⋯+=--∈ ③
()
*123123(1)2(1)2,
2,n n n n c c c n c n n n N ---+++⋯+-=---∈ ④
③-④得，()*
12121,
n
n n n c c c c n N --+++⋯+=-∈ ⑤，
()
1*123121,
2,n n n n c c c c n
n N ----+++⋯+=-∈ ⑥
⑤-⑥得，()1
*
2
n n c n N -=∈，
所以存在这样的数列{}n c ，()1
*
2n n c n N -=∈
【点睛】
此题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，最值，恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
20．某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以AB 为直径的圆，且300AB =米，景观湖边界CD 与AB 平行且它们间的距离为502米．开发商计划从A 点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作PQ ．设
2AOP θ∠=．
（1）用θ表示线段,PQ 并确定sin 2θ的范围；
（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ 的长度设计到最长，求PQ 的最大值．
【答案】（1）502
300sin cos PQ θθ-＝，2sin 213
θ<≤；（2）6. 【解析】 【分析】
(1) 过点Q 作QH AB ⊥于点,H 再在AOP 中利用正弦定理求解AP ,再根据
sin 2QH AQ πθ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
＝
求解AQ ,进而求得PQ .再根据0PQ >确定sin 2θ的范围即可.
(2)根据(1)有150232cos PQ sin θθ
⎛
⎫
=- ⎪
⎝
⎭
,再设()132cos f sin θθθ=-,求导分析函数的单调性与最值即可. 【详解】 解：()1
过点Q 作QH AB ⊥于点,H 则502QH ＝在AOP 中,
150,2OA OP AOP θ∠＝＝＝,
2
OAP π
θ∴∠-＝,
由正弦定理得：sin 2sin 2OP AP
πθθ=
⎛⎫- ⎪⎝⎭
,
300AP sin θ∴＝,
502sin 2QH AQ πθ∴=
⎛⎫- ⎪⎝⎭
＝
, 502
==300PQ AP AQ sin θ∴--
502
3000cos PQ sin θθ
-
>＝,因为cos 0θ>, 化简得
2
sin 213
θ<≤ ()
2502130050232cos cos PQ sin sin θθθθ⎫-
=-⎪⎭＝,
令(
)1cos f
θθθ=-
,sin 213
θ<≤,且2(0,)θπ∈, (
)22sin tan 'cos cos cos f θθθθθθθ⎛
⎫=-
= ⎪⎝
⎭
()222
sin cos tan cos cos θθθθθ⎛⎫+ ⎪= ⎪⎝⎭
(
)()
2
3cos tan 1tan cos tan tan θθθθθθ⎡⎤=+=-⎣⎦
因为(0,
)2
π
θ∈,故cos 0θ>
令'()0,f θ＝
即3tan tan 0θθ+-=
,
230(,)tan tan θθθ∴++=
记000,2tan θθπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,
当00θθ＜＜时,()()'0,f f θθ>单调递增；
当02
π
θθ＜＜时,()()'0,f f θθ<单调递减,
又
023
sin θ=
>
, ∴
当tan θ,()f θ取最大值,
此时sin cos θθ
1
c os PQ θθ⎫
=-=⎪⎭
PQ ∴
的最大值为
【点睛】
本题主要考查了三角函数在实际中的应用,需要根据题意建立角度与长度间的关系,进而求导分析函数的单调性,根据三角函数值求解对应的最值即可.属于难题.
21．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，数列{}n b 为等差数列，且111b a ==，331b a =+，
557b a =-.
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n A ；
（3）设n S 为数列{}2
n a 的前n 项和，若对于任意n *∈N ，有1
23
n b n S t +=⋅，求实数t 的值. 【答案】（1）12n n a ，21n b n =-（2）(23)23n n n A -⋅+=（3）2
3
t =
【解析】 【分析】
（1）假设公差d ，公比q ，根据等差数列和等比数列的通项公式，化简式子，可得d ，q ，然后利用公式法，可得结果.
（2）根据（1）的结论，利用错位相减法求和，可得结果. （3）计算出n S ，代值计算并化简，可得结果. 【详解】
解：（1）依题意：2114
1121
47b d a q b d a q ⎧+=+⎨+=-⎩， 即24
248d q d q ⎧=⎨=-⎩
，解得：2
2d q =⎧⎨=⎩ 所以12n n
a ，21n
b n =-
（2）1
212
n n n a b (n )-=-，
2113252(21)2n n A n -+⨯+⨯+
+-⨯=，
23123252(21)22n n n A ⨯+⨯+⨯+-=+
⨯，
上面两式相减，得：
2112(222)(21)2n n n n A -+++
+--=⨯-
则12(12)
12(21)212
n n n A n ---=+⨯--⨯-
即n A -(32)23n
n -=⨯- 所以，(23)23n
n n A -⋅+= （3）2
22
2
n n a -=14n -=
23114444n n S -++++=+
，
所以1441
143
n n n S --==
- 由123n
b n S t +=⋅得，21411233
n n t --+=⨯，
即221
212
23233
n n t -==⨯=⨯ 【点睛】
本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，以及利用错位相减法求和，属基础题. 22．对于正整数n ，如果(
)*
k k N
∈个整数1
2
k
a a a ⋯，，
，满足1
21k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，
且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，
，为n 的一个“正整数分拆”.记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，
，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g . (Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，
，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值; (Ⅲ)对所有的正整数n ，证明:n n f g ≤;并求出使得等号成立的n 的值.
(注:对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，
，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)
【答案】
(Ⅰ) ()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ) n 为偶数时，2
n k =，n 为奇数时，1
2n k -=；
(Ⅲ)证明见解析，2n =，4n = 【解析】 【分析】
(Ⅰ)根据题意直接写出答案.
(Ⅱ)讨论当n 为偶数时，k 最大为2
n k =
，当n 为奇数时，k 最大为1
2n k -=，得到答案.
(Ⅲ) 讨论当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <，当n 为偶数时， 根据对应关系得到n n f g ≤，再计算221f g ==，442f g ==，得到答案. 【详解】
(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.
(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2
n k =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为1
2
n k -=；
综上所述：n 为偶数，k 最大为2
n k =，n 为奇数时，k 最大为1
2n k -=. (Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <； 当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，
则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”， 故n n f g ≤. 综上所述：n n f g ≤.
当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==； 当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3 故442f g ==；
当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <.
综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =. 【点睛】
本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
23．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为414S =, 且137,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式;
（2）求数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
【答案】（1）1n a n =+；（2）()
22n n
n T =+．
【解析】
试题分析：（1）设公差为d ，列出关于1,a d 的方程组，求解1,a d 的值，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）可得
1111
12
n n a a n n +=-++，即可利用裂项相消求解数列的和. 试题解析：（1）设公差为d .由已知得()()
12
1114614
{26a d a d a a d +=+=+,解得1d =或0d =（舍去）, 所以12a =,故1n a n =+. （2）
()()11111
1212n n a a n n n n +==-++++,
()
111111...23341222n n T n n n ∴=
-+-++-=+++ 考点：等差数列的通项公式；数列的求和.。