凑微分法
常微分方程凑微分法
常微分方程凑微分法常微分方程作为数学分析和物理学中非常重要的基础知识，涉及到了一系列的数学理论和方法，其中凑微分法就是其中的一种最常用、最基础的解题技巧。
在本文中，我们将从凑微分法的原理和步骤入手，讲解其具体应用和实现，在实际的数学和物理问题中，通过例题的形式来深入解析凑微分法的精髓和应用。
一、基本原理凑微分法是一种非常简单易懂的解题技巧，其基本思路是通过对微分方程进行一些特定的变换和调整，使得原方程可以化为几个可积的微分表达式，从而达到方便求解的目的。
该方法主要基于微分方程的性质和基本的微积分运算，利用普通微分和降阶的代数运算和技巧，使得原来难以处理的微分方程可以变成一些比较简单的方程，从而可以更加轻松地求解。
具体来说，凑微分法的基本思路可以概括为以下三个步骤：1. 判定微分方程的阶数和类型，确定需要凑的微分式以及其次数。
2. 通过巧妙的代数运算和微积分操作，将方程中可能的凑微分项进行配对和消去，使得方程变得更加简单。
3. 对更加简单的微分方程进行求解，最终得到原方程的通解或特解。
这三个步骤是凑微分法的核心内容，也是凑微分法能够成功解决大量微分方程问题的关键所在。
二、具体实现在实际的应用中，凑微分法最常用于解决非齐次和高阶微分方程，同时还可以解决一些简单的S型微分方程和变系数微分方程。
下面我们将从不同类型的微分方程出发，介绍凑微分法的具体应用和实现步骤。
1. 非齐次一阶微分方程对于比较简单的一阶非齐次微分方程，凑微分法的应用十分直观和简单，其基本步骤可以概括为：（1）将非齐次方程写成“齐次方程+特解”的形式；（2）找到一个函数v(x)，满足v(x)y’+v’(x)y=p(x)中的v’(x)/v(x)等于齐次方程的解y/h(x)；（3）将v(x)跟上述解h(x)相乘作为新的函数u(x)，得到新的一阶齐次微分方程u'(x)=h(x)；（4）对上述方程求解，得到一阶的齐次解C1，然后将其代入函数u(x)中，得到特解的形式y(x)=C1u(x)+u(x)∫p(x)u^(-2)(x)dx。
凑微分法和分部积分法学习笔记
（3）一般的选择原则：在选择u(x)与v(x)上，一般来说，有 如下规律
反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数 相乘，将排在前者令为u(x)，排在后者令为v(x)的导数，一般 能简化计算。
4 举例
例1 求下列不定积分
(1) xexdx xdex xex exdx xex ex C
2na2
dx (x2 a2)n1
(x2
x a2)2
2nIn
2na2In1
所以有递推关系式：
In1
1 2na2
(x2
x a2)n
2n 1 2na2
In,n
1,2,
特别地有：
I2
(x2
dx a
2
)2
n
1
1 2a2
x2
x a2
1 2a3
arctan x a
C
例4 求下列不定积分：
(1) ln(1 x)dx x t2,t 0 ln(1 t)dt2
因而要求 u(x)v(x)dx比 u(x)v(x)dx的计算简单才有意义
（2）此法常用于计算两类性质不同函数乘积的不定积分， 在计算中关键是u(x)与v(x)的选择问题，选择得当，计算将简
化；否则会更复杂，有时甚至无法求出。如 x cosxdx
令u x, dv cos xdx,即v sin x,则有
1 1 u2
du
arctanu a
C
1 a
arctan
x a
C
(5) xex2 dx 1 ex2 dx2 1 eudu
2
2
1 eu C 1 ex2 C
2
2
(6) f (x) f (x)dx f (x)df (x) udu
不定积分的计算(凑微分法)
7.1.2.1 换元积分法
1.第一类换元法（凑微分法） 2.小结、作业
1
利用积分的基本公式和积分法则所能计算的不定积
分是非常有限的。例如: cos 2xdx , 2x 18dx 就不能用积分
的基本公式和积分法则求出，因此，有必要进一步研究 不定积分的求法。本节我们将介绍换元积分法。
如例1，例2，例3可直接写成：
cos
2xdx
1 2
cos
2xd 2x
1 2
sin
2x
C
3
1 5x
dx
1 5
3
1 5x
d
3
5x
1 5
ln
3
5x
C
1
x2
e
1 x
dx
e
1 x
d
1
1
e x
C
x
由以上的例子可知，不定积分的第一类换元积分法 没有一个较统一的方法，但是其中有许多技巧。我们不 但要熟记不定积分的基本公式与性质，还需要掌握一些 常用的凑微分形式，
练习3
求
ln x x
dx.
解：
ln xdx x
ln
xd
(ln
x)
1ln2 xC
2
凑微分等式
1 dx d (ln x ) x
练习4 求 2xe x2 dx .
解：
2xex2 dx= e x2 dx 2 = e x2 + C
凑微分等式
2xdx dx2
练习5 求 tan xdx .
解：
tan
例如：
dx 1 d (ax) 1 d (ax b)
a
a
一、凑微分法
函数t 1 ( x)存在且连续, 且
f ( (t )) (t )dt F (t ) C ,
则
f ( x)dx F ( 1 ( x)) C.
证明： d ( F ( 1 ( x)) F (t ) ( 1 ) dx
1 f ( (t )) (t ) f ( x). (t )
x x 2 a 2 x 2 a 2 dx a 2 ln | x x 2 a 2 | C1
2 x a x 2 a 2 dx x 2 a 2 ln | x x 2 a 2 | C. 2 2
Yunnan University
2 x a x 2 a 2 dx x 2 a 2 ln( x x 2 a 2 ) C. 2 2
ln | sec x tan x | C.
Yunnan University
§2. 不定积分的计算
dx dx 例4. csc xdx x x sin x 2 sin cos 2 2 x x d d (tan ) 2 2 ln | csc x cotx | C. x x x tan cos 2 tan 2 2 2 d (x ) dx 2 ln | sec x tan x | C. cos x sin( x ) x 1 cos x 2 (tan csc x cotx) 2 sin x 例5. x 2 4 3x3 dx
cos x 1 cos x sin x dx sin xd sin x 1 sin x dx 0 1?
Yunnan University
§2. 不定积分的计算 将不定积分视为一个数进行运算是错误的, 不定积分是 原函数的集合. 此时, cos x d sin x sin x dx sin x ln | sin x | C. 使用分部积分公式还可得到一些有用的递推公式, 例如：
5.3 凑微分法和分部积分法
例7. 求
解: 令 u a x b , 则 d u ad x , 故
m 1 d u 1 1 u m 1 C 原式 = u
a a m 1
注: 当
时
例8. 求
想到公式
1 a
解:
2
dx 1 ( x )2
du 1 u2
x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C a a 1 u2
小练习: 求下列不定积分
dx (1) ; 2 1 25 x
(2) e x sin( e x )dx;
1 ln x (4) dx. x
(3) x
23
1 x dx;
3
1 Key : arcsin 5 x C ; cos e x C ; 5 4 3 1 2 3 3 (1 x ) C ; (1 ln x ) 2 C . 4 3
2. (3) 3. (1)(9) 4. (2)
P136. 5. (1) (4) (6) (9)
( x 2) 3 C 3 ln x 2 ln x 1 C ln x 1
例18 dx d ( x 1) arctan( x 1) C x2 2x 2 1 ( x 1) 2 1
2x 1
1
1 ( 2 x 2) 4 dx 例19 2 dx 2 2 x 2x 2 x 2x 2
u
指: 指数函数 三: 三角函数
1 1 x
2
, vx
x 1 x
2
原式 = xarccos x
dx
2
1 2
xarccos x
《凑微分法》课件
复合函数与幂函数混合积 分
例如，计算积分 $int (x^{2}e^{x})dx$ 时， 可以将 $x^{2}e^{x}$ 视为
$frac{d}{dx}(e^{x}x^{2})$ 的微分，从而得 到 $e^{x}x^{2}$ 的积分结果。
04
凑微分法的注意事项与技巧
凑微分法的注意事项
观察目标函数形式
凑微分法的数学原理
凑微分法的定义
凑微分法是一种通过观察或变形，将复杂的积分表达式转化为容易计算的积分表达式的技巧。其核心 思想是将被积函数进行适当的变形，使其符合某个已知的积分公式的形式，从而简化计算过程。
凑微分法的应用
凑微分法在数学、物理和工程领域中都有广泛的应用。通过凑微分法，我们可以将复杂的积分问题转 化为简单的计算，从而快速得到结果。例如，在求解某些物理问题的过程中，我们经常需要用到凑微 分法来计算某个物理量的变化率或累积值。
三角函数凑微分
例如，计算积分 $int sin{x}dx$ 时， 可以将 $sin{x}$ 视为 $frac{d}{dx}(cos{x})$ 的微分，从而 得到 $-cos{x}$ 的积分结果。
复杂问题的凑微分法实例
多项式与三角函数混合积 分
例如，计算积分 $int (x^{2} + sin{x})dx$ 时，可以将 $x^{2}$ 视为 $frac{d}{dx}(x^{3})$ 的微分，将 $sin{x}$ 视为 $frac{d}{dx}(cos{x})$ 的微分，从而得 到 $frac{3}{2}x^{2} - cos{x}$ 的积分结果 。
微分与积分的互逆关系
微分与积分互为逆运算
微分和积分在数学上是互逆的过程。微分是将函数进行局部线性化，而积分则是 求函数与x轴所夹的面积。由于这两个过程具有相反的特性，因此它们可以相互 转化。
第一换元积分法(凑微分法)
π π 作三角变换，令 x a sin t t , 那么 2 2
求 a 2 x 2 dx.
x
2 a x 1 a 2 x 2 dx arcsin x a 2 x 2 C . 2 a 2
a2 - x 2
x π π 解 令 x a tan t t ，则dx a sec 2 tdt． 2 2 dx a sec 2 t 1 1 d t cos t d t sin t C ． 所以 3 3 3 3 2 a a 2 x 2 2 a sec t a
积分
F t C
t 1 x 回代
1 F x C.
这种方法叫第二换元法．
使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数x t , 对 于 x t , 要 求 其 单 调 可 导 ， t 0, 且 其 反 函 数 t 1 x 存在．下面通过一些例子来说明．
例 2
解 注意到被积式中含有 e 项,而余下的部分恰有 微分关系： 2 xdx d( x 2 ) ．于是类似于例 1,可作如下变 换和计算：
求 2 xe dx ．
x2
x2
2 xe dx e d( x )
x
2
x
2
2
令u x 2
回代 x 2 e du e C e C.
2 2
解
设u cos x, 得 du sin xdx ,
求 cos 2 x sin xdx .
例 4
解
dx 求 ． 2 x 1 ln x
dx x 1 ln 2 x 1 ln 2 x x arcsin ln x C . dx 1
不定积分凑微分法
不定积分凑微分法不定积分凑微分法是一种常见的求解不定积分的方法，它的基本思想是通过对被积函数进行一定的代数变形，使得原函数的形式更加简单，从而更容易求解。
这种方法在高等数学中应用广泛，是学习微积分的重要内容之一。
不定积分凑微分法的核心是“凑微分”，也就是通过对被积函数进行一定的代数变形，使得被积函数的微分形式更加简单。
具体来说，我们可以通过以下几种方法来实现凑微分：1. 代数变形法：将被积函数进行一定的代数变形，使得其微分形式更加简单。
例如，对于被积函数f(x)=x^2+2x+1，我们可以将其变形为f(x)=(x+1)^2，从而得到f(x)的微分形式为2(x+1)dx。
2. 分部积分法：将被积函数进行分部积分，使得其微分形式更加简单。
例如，对于被积函数f(x)=xsinx，我们可以将其进行分部积分，得到f(x)=xcosx+sinx，从而得到f(x)的微分形式为cosxdx。
3. 有理函数分解法：将被积函数进行有理函数分解，使得其微分形式更加简单。
例如，对于被积函数f(x)=1/(x^2+1)，我们可以将其进行有理函数分解，得到f(x)=1/2[(x-i)/(x^2+1)+(x+i)/(x^2+1)]，从而得到f(x)的微分形式为1/2arctanxdx。
不定积分凑微分法的应用非常广泛，可以用于求解各种类型的不定积分，例如三角函数、指数函数、对数函数等。
在实际应用中，我们可以根据被积函数的特点选择不同的凑微分方法，从而更加高效地求解不定积分。
不定积分凑微分法是一种非常实用的数学工具，它可以帮助我们更加轻松地求解各种类型的不定积分，提高我们的数学能力和解题能力。
因此，在学习微积分的过程中，我们应该认真掌握不定积分凑微分法，加强对其应用的理解和掌握。
5.3凑微分法和分部积分法
x 1 1 1 2 2 2 x x 1 ( x 1) x( x 1)
dx dx dx 原式 2 x x 1 ( x 1)2 d( x 1) d( x 1) ln x 2 x 1 ( x 1)2
1 d( x 2 1) ln x arctan x 2 2 x 1
1 ln x ln( x 2 1) arctan x C . 2
2. 当真分式分母中含有因子( x a) 时,则分解后
k
有下列k 个部分分式之和：
A1 A2 2 x a ( x a) Ak . k ( x a)
解 (1) (sin x) cos xdx (sin x) d sin x
t dt ( 令 t sin x )
ln sin x C , 1 ln t C , 1 1 1 (sin x ) t C , 1 . C , 1 1 1
1 1 1 d(a x) d (a x) 2a a x ax
1 ax 1 ln C ln a x ln a x C 2a a x 2a
1. 当真分式分母中含有因子( x 2 px q)k , p 2 4q 0 时,则分解后有下列k 个部分分式之和：
f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C [ f ( u)du]u ( x ) .
使用此公式的关键在于
(5 1)
第一换元积分公式（凑微分法）
说明
将
f ( x)dx 凑成 F '[ ( x)] '( x)dx.
4.2 凑微分法
解: 对照基本积分公式，上式和
1 写成 − 3 d ( − 3 x + 1)
u
相似
就可以使用公式 于是
∫e
u
dx = e
+ C
∫e
−3 x +1
1 −3 x+1 dx = − ∫ e d (−3x + 1) 3
1 − 3 x +1 = − e +C 3
1 （ 3） ∫ 1 + 4 x 2 dx
解: 对照基本积分公式，上式和
= − ln cos x + C
( 2 ) ∫ sin xdx
3
解: :
sin 3 xdx = ∫ sin 2 x ⋅ sin xdx ∫
= −∫ (1 − cos x)d cos x
2
= − ∫ d cos x + ∫ cos2 xd cos x
1 3 = − cos x + cos x + C 3
∫
∫
1 x−4 = ln +C 3 x −1
(2)∫
解: :
1 dx 2 x + 4x + 5
1 1 ∫ x2 + 4x +5dx= ∫1+ (x + 2)2 dx d ( x + 2) =∫ 1 + ( x + 2) 2
= arctan( x + 2) + C
1 （ 3）∫ 1 + e
x
dx
解: :
因为 d (1 + x ) = 2 xdx
1 2 所以 xdx = d (1 + x ) 2
则
∫1+
求不定积分的几种基本方法
x
dx x2
1
1 dt arcsin t C arcsin 1 C.
1 t2
x
综合起来，得
x
dx arcsin 1 C.
x2 1
x
在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到
的．所以它们通常也被当作公式使用．这样,常用的积分 公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中 常数a＞0).
1 2x
dx 3
1 2
1 2x
3
(2x
3)dx
1 2
1 2x
3
d(2x
3)
1 2
1du u
1 ln u C 1 ln 2x 3 C.
2
2
，
一般地，对于积分
f (ax b)dx 总可以作变量代换
u ax b，把它化为
f
(ax
b)dx
3
1
(x2
3
1) 2
C.
3
例5 求
xex2 dx.
解 令 u x2,则 du 2xdx ,有
xex2 dx 1 ex2 (2x)dx 1 eudu
2
2
，
1 eu C 1 ex2 C.
2
2
凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式．在
解 为使被积函数有理化．利用三角公式
令 x a sin t,t ( , ), 则它是
22
sin2 t cos2 t 1
不定积分的凑微分
不定积分的凑微分法一、不定积分的凑微分法例1 cos x x e e dx ⎰（x x e dx de =） cos x x e de =⎰ （cos d O O ⎰）sin x e C =+ （sin C O + ）通过凑微分公式，凑出一个中间变量（被积函数中那个复合函数的中间变量“O ”），得到一个不定积分公式的左边，从而套公式解决问题———这是《凑微分法》的主要思想.二、不定积分的凑微分举例例1. 求下列积分：（1）3x e dx ⎰；（2）112dx x -⎰； (3) .解（1）3x e dx ⎰ 3133x e d x =⎰ 313x e C =+； （2）112dx x-⎰ ()1112212d x x=---⎰ 1ln 122x C =--+；（3）2=22csc =⎰C =-.例2. 求下列积分： (1)1ln dx x x ⎰；（2） 1xxe dx e +⎰；（3）tan xdx ⎰； 解 (1)1ln dx x x ⎰1ln ln d x x=⎰ ln ln x C =+（注：此类积分一般都含“ln x ”，所以“1ln dx d x x=”中“x ”不用加绝对值.）； （2）1xxe dx e +⎰ 11x x de e=+⎰ 1(1)1x x d e e=++⎰ ln(1)x e C =++；（3）tan xdx ⎰ sin cos x dx x=⎰ 1cos cos d x x=-⎰ ln cos x C =-+即tan xdx ⎰ln cos x C =-+------------------------------------可做不定积分公式； 类似可得cot xdx ⎰ln sin x C =+-------------------------------可做不定积分公式综上所述，凑微分法的关键是：利用凑微分公式凑出剩下的那个复合函数的中间变量.凑不出，就不能用凑微分法，须考虑其它的积分法-------比如说下一节的分部积分法.思考题1. 思考凑微分公式在凑微分法中的地位与作用.练习题1.用凑微分法计算下列积分：（1）cos 2xdx ⎰；（2）1x dx e ⎰； （3）（4）5sin cos x xdx ⎰；（5）； .练习题1.答案（1）cos 2xdx ⎰1cos 222xd x =⎰1sin 22x C =+；（2）1x dx e ⎰x e dx -=⎰()x e d x -=--⎰x e C -=-+；（3）()1223x dx -=-⎰()()12123233x d x -=---⎰C =；（4）5sin cos x xdx ⎰ 5sin sin xd x =⎰ 61sin 6x C =+；（5）= ()arcsin ln x C =+；。
高等数学第二节 凑微分法
解
1
a2 x2dx
1 a2[1 (
x)2]dx
a[11(x)2]d(ax)
a
a
例5 求 a2 1x2dx(a0为常 ).数
解
a2 1 x2dx
a2[1
1 (
x)2]dx
1
x
a[1(x)2]d(a)
a
a
1 a
1
1 ( x)2
d(x) a
1arctxanC.
a
a
a
以上两个例子可作式为使公用:
a21x2dxarca xsiC n . a2 1x2dxa 1arca xta C.n
例13 求a2 1x2dx(a0).
解
a2
1
x2
dx
1
(ax)(ax)dx
21a(a (axx ))a ((axx ))dx21a(a 1xa 1x)d x
பைடு நூலகம்
2 1 a a 1 x d ( a x ) 2 1 a a 1 x d ( a x )
1ln |ax|1ln |ax| C1ln|ax|C.
1(x1si2nx)C 22
1x1sin 2xC. 24
例16 求co3sxdx.
解 co3sxdxco2x scoxd sxco2sxdsin x
(1si2n x)dsixn
d sixn si2x n d sixn
sin x1si3nxC. 3
例17 求 si3n xco 2xd sx.
解 si3n xco 2xs dx1 2(si5nxsin x)dx
令 u14x1 4
u3du
1 u4 16
C 1(14x)4C. 16
不定积分的计算(凑微分法)
ln u C
5
u 35 x
1
ln 3 5x C
5
例3 求
1
1
e x dx
.
x2
解：
1
x2
1 凑微分
e x dx
1 u
1
ex
d
1
x
x
eudu
基本的积分公式
eu C
u1 x
1
ex C
方法熟练之后，可以不用写出换元过程，使计算简便。
如例1，例2，例3可直接写成：
cos2xdx
1 2
cos2xd(2x)
2x u
1
c
基本的积分公式1 osudu
s
in
u
C
2
2
u 2x
1 sin 2x C 2
这样不定积分的基本积分公式的适用范围就更加广泛。
1.第一类换元法（凑微分法）
定理 若 f (u)du F(u) C ，且u ( x) 有连续函数，则
f ((x))(x)dx f ((x))d((x)) F((x)) C
这种积分方法成为第一类换元积分法，也叫凑微分
法，可以用形象的式子表示如下：
凑微分
f ((x))(x)dx f ((x))d ((x))
变量替换
变量替换
f (u)d (u) F(u) C F ((x)) C
( x)u
u ( x)
说明 使用此公式的关键在于将所求积分
f [(x)](x)dx 凑成 f ((x))d((x))
本节主要讲了不定积分的第一类换元积分法，也称 凑微分法。
第一类换元积分法的步骤：先凑微分，然后换元 （可省略换元过程），根据基本的积分公式计算结果。
凑微分法、换元法 英文
凑微分法、换元法英文
凑微分法和换元法在数学中分别对应着"Integration by Substitution"和"Integration by Parts"。
1. 凑微分法（Integration by Substitution）：
凑微分法是一种常用的积分技巧，通过引入一个新的变量来替代原来的变量，从而将原积分转化为更容易求解的形式。
该方法的基本思想是利用链式法则将被积函数中的一个部分作为新变量的导数，从而简化积分运算。
2. 换元法（Integration by Parts）：
换元法是另一种常用的积分技巧，用于求解复杂的积分问题。
该方法的基本思想是将被积函数中的一个部分作为新的变量，通过对原积分式进行分解并应用积分运算的基本性质，将原积分转化为更简单的形式。
凑微分法和换元法都是解决积分问题的重要工具，它们可以帮助我们化简复杂的积分式，使得求解过程更加简洁和高效。
在实际
应用中，根据被积函数的形式和特点，选择合适的积分方法可以大大简化计算过程，提高求解的准确性和效率。
总结起来，凑微分法和换元法是两种常用的积分技巧，它们分别对应着"Integration by Substitution"和"Integration by Parts"。
这两种方法在数学中起到了重要的作用，能够帮助我们解决复杂的积分问题。
凑微分法求不定积分
凑微分法求不定积分不定积分是高等数学中常见的重要概念，占据着重要的地位，受到了广大学生和教师的广泛关注。
其解法不论是中学生还是大学生均需要充分掌握，掌握的核心思想是补充凑微分法。
本文就以凑微分法求不定积分来阐述凑微分法的重要性、基本原理及步骤。
什么是凑微分法求不定积分? 凑微分法是一种比较简单、容易理解的方法，它可以被应用来求解不定积分。
凑微分法一般用来求解单变量积分，其基本思想是 M = ∫f(x) dx = f(x) - F(x) =f(b) -f(a) -∫a~bF'(x)dx , 其中F'(x)是f(x)在x处的导数。
凑微分法求解不定积分的基本步骤大致如下：（1）确定积分的范围：积分的范围就是把函数的取值范围指定为[a,b], 其中a,b分别是函数f(x)的开始点和结束点；（2）确定函数f(x)：在确定函数f(x)之前，需要先确定函数是线性函数，指数函数，对数函数，三角函数，双曲函数等，不同的函数类型有不同的特点，需要分析清楚；（3）确定积分的起点a和终点b：它们是确定函数f(x)的取值范围，有一定的规律和范围；（4）求函数f(x)的导函数F'(x)：根据函数的类型和取值范围，对函数进行导数的求解；（5）求积分数值：利用步骤(1)～(4)中求得的数据计算出积分数值。
凑微分法在学习和研究数学上有着重要的作用，但同时也会给学生构成重要考试内容，所以充分掌握凑微分法就显得尤为重要。
学习凑微分法不仅仅是为了通过考试，更是为了使自己理解和掌握数学的本质，为自己的学习提供一个基础。
本文利用凑微分法求不定积分的方法，详细介绍了凑微分法的重要性、基本原理、步骤以及其应用于学习的重要性。
期望通过本文，使学生更加系统地、全面地掌握凑微分法的知识，以最大限度发挥其功能和价值，使学生在学习和考试中都可以获得成功。
高等数学第一类换元法(凑微分法)
注: 一般情形:
x f ( x ) dx
2
x2 u
1 f ( u) du. 2
完
例 4 计算不定积分 解
x 1 x 2 dx .
1 2
x
1 x dx
2
dx (1 x ) (1 x )
1 2 2
2
1 (1 x ) d (1 x 2 ) 2
例7
求下列不定积分
(1)
1 dx ; a 2 x 2
( 2)
1 dx . 2 x 8 x 25
解 (1) 原式
1 arctan x C ; a a
(2) 原式
1 1 dx dx 12 2 ( x 4) 2 9 3 x 4 1 3
例7
求下列不定积分
1 dx ; ( 2) 2 1 dx . 2 2 x 8 x 25 a x 1 arctan x C ; 解 (1) 原式 a a 1 1 (2) 原式 dx dx 12 2 2 3 x 4 ( x 4) 9 1 3 1 1 d x 4 1 arctan x 4 C . 2 3 x 4 3 3 3 1 3 (1)
1 sin 2 x d ( 2 x ) 1 cos 2 x C ; 解法一 原式 2 2 解法二 原式 2 sin x cos x dx 2 sin x d (sin x )
(sin x )2 C;
解法三 原式 2 sin x cos x dx 2 cos x d (cos x )
f (sin x ) cos xdx f (sin x )d (sin x );
计算poisson积分的四种方法
计算poisson积分的四种方法
1、凑微分法：把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法。
2、换元法：包括整体换元，部分换元等等。
3、分部积分法：利用两个相加函数的微分公式，将所建议的分数转变为另外较为简
单的函数的分数。
4、有理函数积分法：有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，由多项式
的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和。
分数公式法
直接利用积分公式求出不定积分。
换元积分法
换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
一、第一类换元法（即为兎微分法）
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。
进而求得原不定积分。
二、备注：第二类换元法的转换式必须对称，并且在适当区间上就是单调的。
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。
当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。
常用的换元手段有两种：
1、根式赋值法，
2、三角代换法。
在实际应用领域中，赋值法最常用的就是链式法则，而往往用此替代前面所说的换元。
链式法则就是一种最有效率的微分方法，自然也就是最有效率的分数方法。
分部积分法
分部积分法的实质就是：将所求分数化成两个分数之差，分数难者先分数，实际上就
是两次分数。
有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假
分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和，可见问题转化为
计算真分式的积分。
可以证明，任何真分式总能水解为部分分式之和。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（3） 不定积分的凑微分法（第一换元法）
将引例抽象化，对于具有形如[()]'()f x x dx ϕϕ⎰的不定积分，可利
用下面的积分方法：
()
[()]'()[()]()[()]
u x f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ===⎰⎰⎰
定理1 设f (u )具有原函数, u =
(x )可导, 则有换元公式
⎰⎰⎰+=+==='C x F C u F du u f x d x f dx x x f )]([)()()()]([)()]([ϕϕϕϕϕ 其中，'()()F u f u =, 此称为积分形式的不变形，又称为第一换元积分法或凑微分法。
总结：凑微分法的关键是凑成微分'()()x dx d x ϕϕ=的形式，即通过凑成某个函数的微分，进一步的凑成基本积分公式，然后利用基本公式积出来 （4）案例讲解
例1. 求下列函数的不定积分
(1) cos 2xdx ⎰ （一级）
(2) 1
3dx x
+⎰
（一级）
(3) 3(12)x dx -⎰ （一级）
解: (1) 11
cos 2cos 22cos 22xdx xd x udu ==⎰⎰⎰(令2u x =)
11
sin sin 222
u C x C =+=+
注：此题利用凑微分公式1
22
d x dx =，从而凑出了
cos sin udu u C =+⎰这个积分公式
(2) 1111(3)332dx d x du x x u
=+=++⎰
⎰⎰(令3u x =+) 11
ln ln 322
u C x C =+=++
注：此题利用凑微分公式(3)dx d x =+，从而凑出了
1
ln du u C u =+⎰这个积分公式。