工程力学第12章 动载荷与疲劳强度简述答案

工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答（教师用书）

(第12 章)

范钦珊唐静静

2006-12-18

σ 2

第 12 章 动载荷与疲劳强度简述

12－1 图示的 No.20a 普通热轧槽钢以等减速度下降，若在 0.2s 时间内速度由 1.8m/s

降至 0.6m/s ，已知 l =6m ，b =1m 。试求槽钢中最大的弯曲正应力。

q

习题 12－1 图

B

A

B

M C

解：No.20a 槽钢的线密度

ρ = 22.63 kg/m 习题 12－1 解图

加速度

a = 0.6 −1.8 = −6 m/s 2

0.2

由自重引起的均布载荷集度：

q 1 = ρg (↓)

由惯性力引起的均布载荷集度：

q 2 = ρa (↓) (加速度↑)

总的均布载荷集度： q = q 1 + q 2 = ρ( g + a )

弯矩：

M C = M max

= −q × 4 × 2 + q × 8

×3 = q × 4 = 4ρ( g + a ) 2 =4×22.63(9.8+6)=1430 N ·m

槽钢横截面上的最大正应力

d max = M C W min =

1430 24.2 ×10−6

= 59.1 MPa

12－2 钢制圆轴 AB 上装有一开孔的匀质圆盘如图 所示。圆盘厚度为 δ ，孔直径 D =300mm 。圆盘和轴一起 以匀角速度ω 转动。若已知： δ =30mm ，a =1000mm ， e =300mm ；轴直径 d =120mm ，ω =40rad/s ；圆盘材料密

度 ρ = 7.8 ×103 kg m 3 。试求由于开孔引起的轴内最大弯曲

正应力（提示：可以将圆盘上的孔作为一负质量（-m ）， 计算由这一负质量引起的惯性力）。

解：因开孔引起的惯性力：

习题 12－2 图

F I = me ω = ρ × π × D 4

2 ×δ ×e ω2

O

I O

O I o

由此引起的附加动反力：

F A

= F B

= F I

2

动载荷引起的附加最大动弯矩发生在 C 截面，其值为：

1

M max = F A a = 于是最大附加弯曲动应力：

F I a

2

M a ⋅ π ρD 2

⋅δe ω2

σ =

d max

= 2 4 = 22.4 MPa dmax W πd 3

32

12－3 质量为 m 的匀质矩形平板用两根平行且等长的轻杆悬挂着，如图所示。已知平 板的尺寸为 h 、l 。若将平板在图示位置无初速度释放，试求此瞬时两杆所受的轴向力。

h

o

习题 12－3 图

习题 12－3 解图

解：平板作曲线平移，初瞬时ω = 0 ，只有加速度 a τ

惯性力

∑F

t

= 0 ，

F =

ma τ

mg sin 30o

−

ma τ

= 0 ，

a τ

=

g O 2

（1）

∑ M A (F ) = 0 ， − mg ⋅ l + F cos 30o 2 I ⋅ h + F sin 30o 2 I ⋅ l + F cos

30o

2 B

⋅ l = 0 将 F = 1 mg 代入上式，得

2

F =

mg ( B 4l

3l − h ) （2）

∑

F n = 0 ， F A + F B − mg cos 30 = 0 ，

F =

mg (

A 4l

3l + h ) （3）

12－4 重量=5kN 的物体自由下落在直径为 300mm 的圆木柱上。木材的 E =10GPa 。试

求木柱内的最大正应力。若在柱上端垫以直径与木柱相同、厚度为 20mm 的橡皮，假设橡 皮的受力与变形近似满足胡克定律，且其 E =8.0MPa ，则木柱内的最大正应力减至多少?

3

3 解：（1）计算静应力

σ = P = 4 × 5 ×10

= 0.071MPa A π × 300 2

（2）计算动荷系数

k d = 1 + 1 + 2H

δ

Pl δ j = = j

5 ×103

× 6 ×103

2

= 0.0424 EA

k d = 1 + 10 ×103 ×

π × 300

4

1 +

2 ×1000

= 218

0.0424

习题 12－4 图

（3）动应力

σ d max = k d σ = 218 × 0.071 = 15.47MPa

（4）加橡皮后的动荷系数：

假设橡皮的力和变形近似满足胡克定律，故橡皮变形量为

Δ = 5 ×10 ×

20 2

= 0.177 8 ×

π × 300 4

k d = 1 + 1 + 2 ×1000

= 1 + 95.57 = 96.57

0.219

σ d max = k d σ = 96.57 × 0.071 = 6.78MPa

加橡皮后，应力下降至原来的 44％。

12－5 重量为 F P 的重物自由下落在图示梁上。设梁的抗弯刚度 EI 及抗弯截面系数 W

已知。试求梁内的最大正应力及梁跨度中间截面的挠度。

F P

习题 12－5 图

解：（1）计算动荷系数