《奇偶性》函数的概念与性质PPT
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函数奇偶性及单调性的综合应用课件
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则 称$f(x)$为增函数。
性质
增函数的图像是上升的，即随着$x$的 增大，$y$的值也增大。
单调减函数的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
奇偶性与单调性在数学问题中的应用实例
函数图像分析
通过分析函数的奇偶性和 单调性，可以更好地理解 函数的图像和性质，进而 解决相关的数学问题。
数值计算优化
在数值计算中，利用函数 的奇偶性和单调性，可以 更高效地求解数学问题和 优化算法。
数学建模应用
在数学建模中，结合奇偶 性和单调性，可以建立更 精确的数学模型，解决实 际问题。
THANKS
感谢观看
性质
减函数的图像是下降的，即随着$x$的增大，$y$的值减小。
单调性在函数图像中的应用
1 2 3
判断函数图像的单调性
通过观察函数图像的走势，可以判断函数的单调 性。
利用单调性判断函数值大小
在单调增函数中，如果$x_1 < x_2$，则有 $f(x_1) < f(x_2)$；在单调减函数中，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) > f(x_2)$。
对于函数$f(x) = x^{2}$，其在区间 $(-infty, 0)$上单调递减，在区间$(0, +infty)$上单调递增。对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区间$(-infty, 0)$ 和$(0, +infty)$上均为单调递减。
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则 称$f(x)$为增函数。
性质
增函数的图像是上升的，即随着$x$的 增大，$y$的值也增大。
单调减函数的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
奇偶性与单调性在数学问题中的应用实例
函数图像分析
通过分析函数的奇偶性和 单调性，可以更好地理解 函数的图像和性质，进而 解决相关的数学问题。
数值计算优化
在数值计算中，利用函数 的奇偶性和单调性，可以 更高效地求解数学问题和 优化算法。
数学建模应用
在数学建模中，结合奇偶 性和单调性，可以建立更 精确的数学模型，解决实 际问题。
THANKS
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性质
减函数的图像是下降的，即随着$x$的增大，$y$的值减小。
单调性在函数图像中的应用
1 2 3
判断函数图像的单调性
通过观察函数图像的走势，可以判断函数的单调 性。
利用单调性判断函数值大小
在单调增函数中，如果$x_1 < x_2$，则有 $f(x_1) < f(x_2)$；在单调减函数中，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) > f(x_2)$。
对于函数$f(x) = x^{2}$，其在区间 $(-infty, 0)$上单调递减，在区间$(0, +infty)$上单调递增。对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区间$(-infty, 0)$ 和$(0, +infty)$上均为单调递减。
第三章 第三节 函数的奇偶性及周期性 课件(共55张PPT)
是奇函数．]
3．设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝3x－7x＋2b(b 为常
数)，则 f(－2)＝( )
A．6
B．－6
C．4
D．－4
A [∵f(x)为定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时，
f(x)＝3x－7x＋2b，
∴f(0)＝1＋2b＝0，
∴b＝－12 .
∴f(x)＝3x－7x－1，
(2)因为函数 f(x)＝3x＋4sin x－1，f(－a)＝5，所以－3a＋4sin (－a)－1＝ 5，则 3a＋4sin a＝－6，所以 f(a)＝3a＋4sin a－1＝－6－1＝－7.
答案： (1)D (2)－7
已知函数奇偶性可以解决的 3 个问题 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性 求出解析式． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0 得到 关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参 数的值．
1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的 区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝ 偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0). (2)若 f(x＋a)＝f（1x） ，则 T＝2a(a>0). (3)若 f(x＋a)＝－f（1x） ，则 T＝2a(a>0).
奇偶性的概念课件
B．偶函数 D．非奇非偶函数
B [∵f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．]
3．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝______.
0 [∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＋f(x)＝0， ∴2ax2＝0对任意x∈R恒成立， 所以a＝0.]
4．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号) ①f(x)＝x3；②f(x)＝x12；③f(x)＝x＋1x；④f(x)＝x2，x∈[－1,2]．
4．函数 y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则 a 等于( )
A．－1
B．0
C．1
D．无法确定
C [∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即 a＝1.]
合作 探究 释疑 难
函数奇偶性的判断
【例 1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x4；(2)f(x)＝x5； (3)f(x)＝x＋1x；(4)f(x)＝x12.
又函数f(x)＝
1 3
x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特
点，易得b＝0.
(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，
∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.]
利用奇偶性求参数的常见类型及策略 1定义域含参数：奇、偶函数fx的定义域为[a，b]，根据定义 域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数. 2解析式含参数：根据f－x＝－fx或f－x＝fx列式，比较 系数即可求解.
则为非奇非偶函数．]
5．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝ x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
人教版(2019)高中数学2 第1课时奇偶性的概念教学共27张PPT教育课件
我
没
有
耐
心
不
过
我
对
演
员
还
是
很
有
耐
心
。
但
是
当
我
拍
完
一
个
镜
头
，
下
一
个
镜
头
试
完
镜
后
我
希
望
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
很
快
就
可
以
拍
。
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
，
1
5
分
钟
后
你
还
没
有
弄
完
我
就
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
弄
五
分
钟
就
弄
完
所
以
最
后
通
常
变
成
我
自
己
弄
。
但
这
样
做
有
一
个
不
好
的
后
果
就
是
当
你
真
的
五
分
钟
弄
完
就
会
给
别
人
一
种
感
觉
他
在
现
场
完
(2)使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－5,－2)∪(2,5)．
(课件2)1.3函数的基本性质奇偶性
函数。
偶函数的性质
偶函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内 任意一个$x$，都有$f(-
x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数 。
偶函数的图像
偶函数的图像关于y轴对称。
偶函数的性质
偶函数在$x=0$处有定义，即 $f(0)=0$。
偶函数的导数
如果一个函数是偶函数，那么 它的导数可能是奇函数或偶函 数，取决于导数的定义和计算
偶函数在其定义域内是连 续的，并且在$x=0$处有 定义。
02
CATALOGUE
奇偶性的判断方法
奇函数的判断方法
奇函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$ ，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数的性质
奇函数在原点对称，即当$x=0$时，$f(0)=0$。
奇偶性与周期性的关系
奇函数与周期性的关系
奇函数的周期性
奇函数在数学上具有一些特殊的性质，其中之一就是它的周 期性。奇函数通常具有一个或多个周期，这些周期是函数值 重复出现的点。对于奇函数，其周期通常为2π的整数倍。
奇函数的对称性
奇函数在对称轴两侧的函数值是相等的，但符号相反。因此 ，奇函数在对称轴两侧的函数值会以对称的方式重复出现， 这也是奇函数周期性的一个表现。
THANKS
感谢观看
偶函数在数学问题中的应用
概率分布
在概率分布中，偶函数可以用来 描述随机变量的概率密度函数， 帮助确定随机变量的概率分布规
律。
微分方程
在求解微分方程时，偶函数可以提 供一种对称性，简化方程的求解过 程。
几何形状
在几何形状中，偶函数可以用来描 述对称的几何图形，如圆形、椭圆 形等。
偶函数的性质
偶函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内 任意一个$x$，都有$f(-
x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数 。
偶函数的图像
偶函数的图像关于y轴对称。
偶函数的性质
偶函数在$x=0$处有定义，即 $f(0)=0$。
偶函数的导数
如果一个函数是偶函数，那么 它的导数可能是奇函数或偶函 数，取决于导数的定义和计算
偶函数在其定义域内是连 续的，并且在$x=0$处有 定义。
02
CATALOGUE
奇偶性的判断方法
奇函数的判断方法
奇函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$ ，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数的性质
奇函数在原点对称，即当$x=0$时，$f(0)=0$。
奇偶性与周期性的关系
奇函数与周期性的关系
奇函数的周期性
奇函数在数学上具有一些特殊的性质，其中之一就是它的周 期性。奇函数通常具有一个或多个周期，这些周期是函数值 重复出现的点。对于奇函数，其周期通常为2π的整数倍。
奇函数的对称性
奇函数在对称轴两侧的函数值是相等的，但符号相反。因此 ，奇函数在对称轴两侧的函数值会以对称的方式重复出现， 这也是奇函数周期性的一个表现。
THANKS
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偶函数在数学问题中的应用
概率分布
在概率分布中，偶函数可以用来 描述随机变量的概率密度函数， 帮助确定随机变量的概率分布规
律。
微分方程
在求解微分方程时，偶函数可以提 供一种对称性，简化方程的求解过 程。
几何形状
在几何形状中，偶函数可以用来描 述对称的几何图形，如圆形、椭圆 形等。
函数的奇偶性课件(共14张PPT)
y
则f (x) f (x) 2x
即2 f (x) 2x
2
即f (x) x
-2 o
2
x
故解集为：- 2，-1 0,1
-2
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：定义在R 上的函数 f (x), 对任意x, y R都有 f (x y) f (x) f ( y) 1, 且x 0时，f (x) 1, f (1) 2
f (x)单调递减，则f (1 m) f (m) 成立的 m 取值范围 是 ________。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
例2：定义在 3,3 上的函数 f (x), g(x)分别为偶函数、
奇函数，图像如下，则不等式 f (x) 0的解集是：
g(x)
(_2_,_1_)__(_0_,1_) __(_2,_3_) 。
(1)求证：f (x)是R上的增函数； (2)解不等式： f (3x 1) 7; (3)求证：g(x) f (x) 1是奇函数。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
课堂总结：
1：函数奇偶性的定义： “数”与“形”的特征
2：利用函数的奇偶性求值、求解析式
3：函数奇偶性与单调性的联系： “模拟图像”
题型三：奇偶性与单调性的联系：
例：已知函数 y f (x)(x 0)为奇函数，在 x 0,
上为单调增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 f (2x 1) 0 解集为__________.
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式：定义在 2,2上的偶函数 f (x)，当x 0 时，
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
1 第1课时 函数奇偶性的概念(共45张PPT)
【解】 (1)因为 x∈R， 所以－x∈R， 又因为 f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|) ＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数. (2)因为函数 f(x)的定义域为{－1，1}， 关于原点对称，且 f(x)＝0， 所以 f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数.
解：(1)由题意作出函数图象如图所示：
(2)由图可知，单调递增区间为(－1，1). (3)由图可知，使 f(x)<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞).
巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y 轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的 函数图象. [注意] 作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称 点为(－x0，－y0)，关于 y 轴的对称点为(－x0，y0).
C.坐标原点对称
D.直线 y＝x 对称
解析：选 C.函数 f(x)＝1x－x 是奇函数，其图象关于坐标原点对称.
3.(2020·武汉高一检测)函数 f(x)＝x＋x22＋a＋8 3为奇函数，则实数 a＝
(
)
A.－1
B.1
C.－32
D.32
解析：选 C.由题得 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0，即 0＋2a＋3＝0，所以 a＝
探究点 2 奇、偶函数的图象 已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≤0 时，f(x)＝x2＋2x.
现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补出完整函数 y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数 y＝f(x)的递增区间； (3)根据图象写出使 f(x)<0 的 x 的取值集合.
《函数的奇偶性》函数的概念与性质(第2课时奇偶性的应用)
数学分析中的工具
在数学分析中，奇偶性是研究函数性质的重要工具，可以帮助我 们了解函数的对称性和变化规律。
展望奇偶性在其他领域的应用前景
计算机科学
在计算机科学中，奇偶性可以 应用于加密和数据传输等领域
，保障信息安全。
物理学
在物理学中，奇偶性可以应用 于波动、电磁学等领域，帮助 我们理解自然现象。
统计学
数。
奇偶性的判定方法
01
02
03
定义法
根据奇偶函数的定义判断 。
图像法
通过观察函数的图像判断 。
代数法
通过代入特殊值进行计算 和判断。
02
奇偶性在函数图像中的应用
利用奇偶性判断函数图像的对称性
奇函数图像关于原点对称
如果一个函数的定义域关于原点对称 ，且满足$f(-x) = -f(x)$，则该函数的 图像关于原点对称。
利用奇偶性解决其他学科中的问题
化学反应
在化学反应中，反应速率和反应 机理可以利用奇偶性进行分析，
理解反应的规律和特性。
生物学研究
在生物学研究中，如生态学、生物 统计学等，可以利用奇偶性分析生 物种群的数量变化和分布情况。
社会学研究
在社会学研究中，人口统计数据、 社会调查数据等都可以利用奇偶性 进行统计分析，理解社会现象和规 律。
《函数的奇偶性》函数的概 念与性质(第2课时奇偶性的 应用)
汇报人： 2023-12-28
目录
• 函数奇偶性的定义与性质 • 奇偶性在函数图像中的应用 • 奇偶性在实际问题中的应用 • 奇偶性在数学建模中的应用 • 总结与展望
01
函数奇偶性的定义与性质
奇偶性的定义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，则称 $f(x)$为奇函数。
在数学分析中，奇偶性是研究函数性质的重要工具，可以帮助我 们了解函数的对称性和变化规律。
展望奇偶性在其他领域的应用前景
计算机科学
在计算机科学中，奇偶性可以 应用于加密和数据传输等领域
，保障信息安全。
物理学
在物理学中，奇偶性可以应用 于波动、电磁学等领域，帮助 我们理解自然现象。
统计学
数。
奇偶性的判定方法
01
02
03
定义法
根据奇偶函数的定义判断 。
图像法
通过观察函数的图像判断 。
代数法
通过代入特殊值进行计算 和判断。
02
奇偶性在函数图像中的应用
利用奇偶性判断函数图像的对称性
奇函数图像关于原点对称
如果一个函数的定义域关于原点对称 ，且满足$f(-x) = -f(x)$，则该函数的 图像关于原点对称。
利用奇偶性解决其他学科中的问题
化学反应
在化学反应中，反应速率和反应 机理可以利用奇偶性进行分析，
理解反应的规律和特性。
生物学研究
在生物学研究中，如生态学、生物 统计学等，可以利用奇偶性分析生 物种群的数量变化和分布情况。
社会学研究
在社会学研究中，人口统计数据、 社会调查数据等都可以利用奇偶性 进行统计分析，理解社会现象和规 律。
《函数的奇偶性》函数的概 念与性质(第2课时奇偶性的 应用)
汇报人： 2023-12-28
目录
• 函数奇偶性的定义与性质 • 奇偶性在函数图像中的应用 • 奇偶性在实际问题中的应用 • 奇偶性在数学建模中的应用 • 总结与展望
01
函数奇偶性的定义与性质
奇偶性的定义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，则称 $f(x)$为奇函数。
函数的奇偶性说课稿ppt
偶函数的定义与性质
偶函数的定义：如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
3. 若偶函数在$x=0$处有定义，则一定 有$f(0)=0$。
2. 偶函数在y轴两侧是对称的。
偶函数的性质 1. 偶函数的图像关于y轴对称。
奇偶性的判断方法
在数学分析中，奇函数和偶函数具有不同的性质。奇函数 图像关于原点对称，而偶函数图像关于y轴对称。这些性 质在解决一些数学问题时非常有用，例如求函数的积分、 求解微分方程等。
在微积分中的应用
在微积分中，奇偶性也是研究函数的重要工具之一。奇偶性可以帮助我们简化函 数的积分和微分计算。例如，对于一些具有对称性的函数，我们可以通过奇偶性 来简化计算过程，提高计算效率。
奇函数的定义与性质
95% 85% 75% 50% 45%
0 10 20 30 40 5
奇函数的定义：如果对于函数$f(x)$的定义域内任意$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。 奇函数的性质
1. 奇函数的图像关于原点对称。
2. 奇函数在原点有定义则一定过原点。
3. 若奇函数在$x=0$处有定义，则$f(0)=0$。
在微积分中，奇偶性还与一些重要的数学概念相关联，例如周期性和傅里叶分析 。奇偶性可以帮助我们更好地理解这些概念，并进一步研究函数的性质和行为。
在实际生活中的应用
奇偶性在实际生活中也有广泛的应用。例如，在物理学中，一些物理量（如质量、电荷等）是具有奇 偶性的，它们的性质和行为可以用奇偶性来描述和预测。
05
总结与展望
总结
回顾函数的奇偶性的定义和性质，包括奇函数、偶 函数、既奇又偶函数和非奇非偶函数。
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