中考数学专家讲坛60 探索分类标准提高解题能力素材(PDF)

２ （ 当。 ＜了 ） ＜ａ 下时， － ， ｄ＝ ａ十
１ ， 。 ７、 ￣
乙 ａ
一 少户 ＞
２ 一１ ２ ， ａ ／ ＞０ ａ一１ ． ２ ＞０
解得＜ 誓 之 ：ａ ． １＜
解之得 ａ ＝１
丫 万．同 ＞护 ． 理： 产下
一 ， ，
而 ｂ 二ｂ 一份 （ 十 十 ） 令 （ 一 十 ） 一ｃ ｂ ＝ ｂ ＞
￣ （ 、， ＝ 厂二 二 ｂ １， ＋－ ） 当 ａ 咤、 ， 解 了） ， 一 一 ” ， ， ＝音 （ ．７、 １ 时 ’ ２ 一 ’ａ ＝ ａ 、， － ” 一 ，
沪二 代 １ ， ，．７、 ／二 、 ．＿ 二 ： Ｖ ７ ＝份 （ 十 十 ） ， ｃ ｂ 二Ｖ ７， 时 ａ ＝ｃ 这 二ｂ ． ２、 ’ｂ＇ ” － ４‘ 一
思路
是奇 函数． ２
依 结论 ３ ｆ １ 是奇 函数．又 ｆ ） ， （ ） － ｘ （ ＿ ｘ
ｅ一ｅ ｅ－１ ‘ － ＝ ／＇ ｅ
２ ２
思路 依性质 ２ ｙ ｘ 和ｙ 知， ＝ａ ＋２ ＝ ３－ｂ ｘ 互为反函数， ｙ ｘ 过定点 直线 ＝ａ ＋２ （，）依结论 ２ （，） ｙ ｘ ．代入 ０２， 知（ ０Ｅ ＝３一ｂ ２ 得ｂ ， ＝３－ｂ ＝６则ｙ ｘ 过定点（， ） （ 一６．又依 ０ 结论 ２ 一６０Ｅ ａ ＋２代入得 ａ 知（ ， ｙ ｘ ， ） ＝ 二
１３故选 Ａ ／， ．
例６
ｅ一ｅ ｚ －
． ｖ＝ 。
因为ｘ 时， ＞０ 当ｘ增加
ｅ 增。减、以 增。ｅｅ ｘ 力 刁 二力 二一 也 ， ， 拿 所 时一 也
增加， ｆ 为增函数． 即 （） ｘ 依结论 ４ｆ ＇ ） ，－（ 在 ｘ （， ０ ＋｝） 上也是增函数， Ｃ 故选 ． 简评 这道题假如先求反函数， 由 再 ｆ ＇ 确定其性质就麻烦多了． －（） ｘ
ｘ ／或ｘ ． ＜２ａ ＞２
把值域当有界 例 １ 求 证 ： ｘ井粤 值 为 ｙ＝ ２ １ 的 域 ２ 州卜 － ｉ Ｘ 一 卜工 州
［／ ，］ １３３．
。， 护－ｘ ， ＋ｌ １、护－ｘ ＋ｌ －下丁 一 二 夕ｌ 厂一气一 一 万 ， 丁 错证 ｕ ｌ－ 厂下一一
ｘ“ ｘ 十 十 １ ３ ｘ‘ ｘ 十 １ 十
下． 十 下 ｏ ｌ 厂，
乙 口
二 ｌ ‘ — 少， 丁 ａ十 ‘＝
乙 ａ
１ ， 、 ７、
１， ，．７、
， 较ａｂｃ 试比 ， 的大小． ，
，， ｃ 分析 本题中ａｂ 的大小关系决定于 ａ的取值 ， 因此确定 ａ的值是探索分类标准 的关键．
转化为一元二次方程有无实根或实根分布等 问题，因此判断“ ” 乙 正负， 以及一元二次方程 实根分布是分类讨论的常用方法．抛物线与 圆可能有 ４ 个交点、 个交点、 个交点、 个 ３ ２ １
交点、 个交点等 ５ ０ 种情况。 解 将 Ｊ ＝万ｘ代入 ｘ＋犷一２ ｝ ＇ ２ ２ ａ － ｘ
， 、 １、
从条件看， 基本不等式知： ＝ 万 由 当ａ Ｖ ￣ ａ一１ ， ２ ＝０并整理得
时，和： ｂ 都等于最小值护下 因此以ａ ， ＝ 了 下作标准， 值分为。 ＜了 ａ 将ａ Ｇａ 下，＝ ｖ ａＶ 下， 万三类， 此为标准进行讨论． ＞ 以
０即‘ ．同理 ａ ，所以ａ ＞ｃ ， ＜ｂ ＞ｂ ＞ｂ ． 例 ３ 已知：，， ２３ｘ是锐角三角形的 ３ 边， ｘ的范围． 求 分析 本题中ｘ是锐角三角形的边， 由 ３ 边关系定理及锐角三角形的条件知， ） 分ｘ ３ｘ 两种情况讨论． ，＜３ 解 由题意得：
ｘ ３ ＞ ，
１ 一 ２
解之得 ａ ７８ ａ ＞１／ 或 ＜一ｌ ． 评述 求 圆锥曲线的交点不能仅仅由 ２ ｉ１ ｆ ａ ， 的正负值来判断， 还必须辅之以实根分 布来判定． 本题若思考不严密， 易造成漏解的
情况．
一２ ＋１／＞０ ａ ７４ ， ２ 一１２ ， ａ ／＜０ ａ一１ ． ２ ＞０
例 ５ 解关于 ｘ的不等式
ａ ｅ （ ＋ｌ ＞ ０ ｘ 一２ ） ＋４ ． ａ ｘ
分析
当ａ 时， ＝０ 原式为一次不等式． 原式为二次不等式， 当 ａ 时， ＃。 故需分
例 值 的３ 错 析 域中 类 误
吴庆余
（ 山东省东营市第二中学 ２７０） ５００
类讨论．
略解 （ 当 ＝０ 原式为一２ ＋ ） ａ 时， ｃ ｌ ｘ
丁｝ｘ ｝ｉ
３ ， ／．
１ 镇２ ＜ｘ
＿，
乙＜ －ｘ＜、一厂
，９
４
原不等式的解集
丁、ｘ 、丁
３／
／ ９
评述 上述表解使分类讨论思想一 目了 然， 分类标准的探索也在分析中表现出来．
２ 概念、 公式、 性质、 法则应用范围和适用条 件是分类标准之一
ａ ， 例 ２ 已知：＞Ｏｂ
ｘ按 。 簇１１ 簇２２ ＜３ ＜ｘ 、＜ｘ ，＜ｘ 分成 ３ 类进 行讨论 ， 见下表．
１ 簇２ ＜ｘ
２ ｘ ３ ＜ ＜
ｇ ｇ３ 一 ｇ ｇ 一 ｌ－一ｏ－３ ｘ＜ ｌ音一ｏ， ｘ》一 ｌ告一ｏ （ ｘ）一 ｏＬ ｌ １ ） １ ｏ ｘ ｌ （ ） １ ｏ ｘ ｌ含３ ） １ ｇｘ （ ， ｘ ｇ 一
的反函数是（
． ）
探索分类标准 提高解题能力
陈 基 （ 苏 海 县 庄中 ２ ６ ） 江 省 安 孙 学 ２５ ６２
达式 ， 分段函数是同一个函数． 对于含有绝对 值的函数、 方程或不等式间题往往根据“ 零 点” 分类讨论．
分类讨论是数学中的重要思想方法．加 强分类思想的训练， 可以培养同学们思维的 严密性和合理性， 提高解题能力． 分类讨论的 思想分散于教科书各章节， 由于没有统一介 绍， 同学们对分类讨论法不能灵活运用， 多多 少少产生心理恐慌， 尤其是对分类标准感到 捉摸不定． 下面就分类标准探讨一下， 以期对 分类讨论有进一步的认识． １ 分段函数是墓于分类思想的典型模式 分段函数是将函数定义域分为若干区 间， 在不同区间上分类讨论而得到不同的表
ｘ 一 （ａ ｀ 二０ ｀ ２ 一令 ） ＋ａ 一１ ， ｘ 一 “ 一 一 ２ 一’
（ 关）
其中△ ＝一２＋１／． ａ ７４
（） ＊ 有 ２ １当方程（ ） 个不等的正根时， ２ 曲线有 ４ 个交点．
了 ｜ １ 丈
此
时
有
Ｌ ｅ
一２ 十１ ／ ＞０ ａ ７４ ，
ｘ ３ ２ ＜ 十 ，
ｘ＜ ３ ，
解之得ａ ７８ ＝１／ 或一１ ＜ｌ ＜ａ ．
（） ＊ 只有零根或 １ ４当方程（ ） 根为零、 １ 根为负时， ２曲线 只有 １ 个交点．此时有
｝一 ２ ２１＝ ０， ａ‘－ ／ ｌ｀ ａ一
〕
ｎ
或
２ 一１ ２ ０ ａ ／＜
ａ一 １ ． ２ ＝０
， 解之得ａ ＝
４ｘ ）（ －１２ １， ｒ、１／扩一ｘ 夸 （一１１ ｝ ）／１ 刀丁ｙ：丁之 之 下一一下万 ／ ｘ － ｀ ＿Ｃ， 尧 一丁 ＋ｌ尧 人二 Ｓ ｘ一 ｘ 十 １ 十 （Ｚ ＋ ２ ｘ＋ｘ １ ）
扩一ｘ ＋ｌ ３ ｘ任Ｒ） 即 ｙ （ ， ＝ｘ ＋ｘ 的 域 〔，． ］ Ｚ ＋ｌ 值 为冬３ 分析 上面证明显然是把值域当成了ｙ
４ ， ＞０得解为 ｘ ． ＜２
（） ＃。 原式可化为 时， ２当ａ
ａ 鱼 （ ２ Ｏ （ ） 一） ． ｘ ｘ ＞ 一
２ａ ＜２ ／ ＜ｘ ．
ａ
①当ａ 时， ／＜２故原式的解为 ＜Ｏ 因２ａ ， ②当 。 ＜ｌ 因 ２ ／， ＜ａ 时， ＜２ａ故原式的 解为ｘ 或 ｘ ／． ＜２ ＞２ａ ③当ａ 时， ２ａ ， ｗｌ 因 ／＜２故原式的解为
， ， ”“ ‘ “ ２、 ．ｂ／ “ ２、 “ ｂ ＂
１， ，． ７、
１， ，
７、 、
（） ２当方程（ ） １ ＊ 有 个正根和 １ 个零根 时， ２曲线有 ３ 个交点．
此时有
２ 一１ ２ ， ａ ／ ＞０ ａ 一１ ． ２ ＝０
Байду номын сангаас
０即‘ ， ， ＜ｂ所以ａ ＜ｂ ＜ｃ ．
、 厂下 二 ，Ｌ ， １ ， ． ７ 、、 （ ） ａ＞ 丫 ７时 ， ＝ 份 （ ’么 ） ３ 当 一‘ ｂ ２“ ａ＋ ａ ＞ 、 ‘一 一 ” ’ 一 叨’ 一 －
对 ｘ进行讨论 新的不等式 新的不等式的解
０ 簇１ ＜ｘ
例 且 求不等式
｝ ｝ ｌ， ） ｘ｝１ ｌｉ ＋ｆ ３ ＜ ｏ ｘ ｏ （ ｇ ｇ 一
的解集．
分 首 考 ｏ３ ， ） 要 虑ｌｉ ｇ（ ｘ 析 先 ｇｘｌ ３ － ， ３ ｏ
有意义来限定解的范围， 。 ＜３然后根 即 ＜ｘ ， 据“ 零点”＝１ｘ 确定分类标准， ，＝２ 将变量
少
臼 ａ
１７ ＋ － ４
Ｖ
Ｉ
０
或
ｅ ｅ
Ｖ ｌ 、
一元二次方程根的判别式的正、 负是分类 常用标准 例 ４ 讨论抛物线 少＝ｘ２ ／ 与圆ｘ＋ ２
犷一２ｘ ａ一１ 的交点情况． ａ＋ ２ ＝。
分析 二次曲线交点情况的讨论， 通常
一１ ．
（） ５当方程（ ） ＊ 无实根或只有负根时， ２
曲线无交点． 此时有
‘
ｘ＜２＋３， ３ ２ ２ ２ ２ ２或 ２ ＋２， ＜ｘ
３ ｘ＋ ２ ＜ ．
解之得： ｘ 丫 ３ ＜ 丽或了 ｘ ． 成 子万＜ ＜３ ｘ 取 的 值范围 是护亏 ｘ 丫 ３ 应 户 一 ＜ １． ＜
一
Ｊ
似乎无从下手．联想圆中面积最大矩形为圆 内 接正方形， 将圆转化为扇形， 可分为 ２ 种情 形： 一让矩形的一边放在扇形的一条半径上， 二让矩形的一边与扇形的弦平行．又考虑到 角０ 的范围， 因此还需分 ０ （０９０，＝ Ｅ ，０ ０ ０ ） ９０ Ｅ ０ ８０ ３ ０， （０， ０ 等 部分来讨论．（ ０ ９ １ ） 解略） 结论 当Ｂ （０ ０） 让矩形的一边 Ｅ ， 时， ０ ９０ 在扇形的一条半径上剪出的面积最大， 最大
Ｃ ＝３ ＝ ｂ 一２ Ｄ ＝３ｂ ａ ， ； ａ ，＝６
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
奇函数， （， 它在（ ＋－） ０ 上是减函数； 偶函数， （， 它在（ ＋－） ０ 上是减函数； 奇函数， （， 它在（ ＋－） ０ 上是增函数； 偶函数， （， 它在（ ＋－） ０ 上是增函数・ 显然 ｆ ｘ （）
ｅ一ｅ ２ ＝ －
４ 应用题根据实际情况进行分类 例 ６ 怎样将半径 为 Ｒ 中心角为 ０ 、
３） ＝
（ｘ 一４ ＋２ （ ｘ ｘ ） ２ Ｚ ｘ ） 一２ Ｚ 一４ 一２ （ Ｚ ＋ｌＺ ｘ ＋ｘ ）
（ ＜０ １０ 的扇形铁片裁剪出一块面积 ０ ＜ ０ ０ ８）
最大的矩形． 分析 该题是一个实际间题， 怎样裁剪
简评 将求 广 １ ） （ 的问题利用性质等 ａ 价转化为求方程 ｆ ＝ａ的解的间题， （ ） ｘ 有事 半功倍之效．
例 ５ 如果直线ｙ ａ 十２ ＝ ｘ 与直线ｙ ＝ ３－ 关于直线ｙ ｘ ｘｂ ＝ 对称， 那么（ ） ．
Ａ ＝１３ｂ ； ａ ，＝６ Ｂ ／ ，＝一６ ａ ／ ＝１３ｂ ；
（） ３ 当方程（ 有 ２ ，） 个相等的正根或 １ 个正根、 个负根时， 曲线有 ２ １ ２ 个交点． 了 ！ ／ Ｉ 同 ＞了 ． 下． 理： 万， ａ ７４ ， 此 时 有 ２ 一２ ＋１／ 二０ 、！ 一 ， ， １， ，． ７、 １ ， ， ７、 、 ａ ／＞０ ２ ＜０ ２ 一１２ ， 或 ａ一１ ． 而 ｂ ＝ｂ －专 （＋十） －ｃ ｂ ＝音 （一十） ｂ ＞ ａ一１ ， ２、 “’ｂ’ ２“ ｂ’ “ ‘ ２ ＞０