2013届人教A版理科数学课时试题及解析(47)直线与圆、圆与圆的位置关系

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b2＋4b－4 ， 2 以 AB 为直径的圆过原点时，AO⊥BO，即 x1x2＋y1y2＝0，即 2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0， 把上面式子代入得 b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，即 b2＋3b－4＝0，解得 b＝－4 或 b＝1，都 在－3－3 2<b<－3＋3 2内，故所求的直线是 y＝x－4 或 y＝x＋1. 【难点突破】 x y 16．[解答] (1)证明：圆的标准方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，设直线方程为 ＋ ＝1，即 a b |a＋b－ab| bx＋ay－ab＝0，圆心到该直线的距离 d＝ ＝1，即 a2＋b2＋a2b2＋2ab－2a2b－2ab2 a2＋b2 ＝a2＋b2，即 a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝0，即 ab＋2－2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2. 1 (2)设 AB 中点 M(x， y)， 则 a＝2x， b＝2y， 代入(a－2)(b－2)＝2， 得(x－1)(y－1)＝ (x>1， 2 y>1)． (3)由(a－2)(b－2)＝2 得 ab＋2＝2(a＋b)≥4 ab，解得 ab≥2＋ 2(舍去 ab≤2－ 2)， 当且仅当 a＝b 时，ab 取最小值 6＋4 2，所以△AOB 面积的最小值是 3＋2 2. 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝
15．(13 分)已知圆 C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为 1 的直线 m，使 m 被圆 C 截得的弦为 AB，且以 AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线 m 的方程；若不存在， 说明理由．
难点突破 16．(12 分)已知与圆 C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相切的直线 l 交 x 轴，y 轴于 A，B 两点， |OA|＝a，|OB|＝b(a>2，b>2)． (1)求证：(a－2)(b－2)＝2； (2)求线段 AB 中点的轨迹方程； (3)求△AOB 面积的最小值．
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课时作业(四十七) [第 47 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系]
[时间：45 分钟
分值：100 分]
基础热身 1．直线 x＋ 3y－2＝0 被圆(x－1)2＋y2＝1 截得的线段的长为( ) A．1 B. 2 C. 3 D．2 2．从原点向圆 x2＋y2－12y＋27＝0 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ( ) A．π B．2π C．4π D．6π 3． 已知直线 l 过点(－2,0)，当直线 l 与圆 x2＋y2＝2x 有两个交点时，其斜率 k 的取值 范围是( ) A．(－2 2，2 2) B．(－ 2， 2) 1 1 2 2 － ， C.－ ， D. 8 8 4 4 2 4．集合 A＝{(x，y)|x ＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中 r>0，若 A∩B 中有且仅有一个元素，则 r 的取值集合为( ) A．{3} B．{7} C．{3,7} D．{2,7} 能力提升 π 5． 圆 2x2＋2y2＝1 与直线 xsinθ＋y－1＝0 ) θ≠2＋kπ，k∈Z的位置关系是( A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 6． 在圆 x2＋y2－2x－6y＝0 内，过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则 四边形 ABCD 的面积为( ) A．5 2 B．10 2 C．15 2 D．20 2 7． 曲线 y＝1＋ 4－x2(|x|≤2)与直线 y＝k(x－2)＋4 有两个交点时，实数 k 的取值范 围是( ) 5 3 5 A. 12，4 B.12，＋∞ 1 3 0， 5 ， C. D. 3 4 12 8． 直线 y＝kx＋3 与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4 相交于 M，N 两点，若|MN|≥2 3，则 k 的取值范围是( ) 3 A. －4，0 3 B. －∞，－4∪[0，＋∞) 3 3 C.－ ， 3 3 2 D. －3，0 9．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1 始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 的周长，则 a，b 满足 的关系是( ) 2 A．a ＋2a＋2b－3＝0 B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0 C．a2＋2a＋2b＋5＝0 D．a2－2a－2b＋5＝0 10． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 x2＋y2＝4 圆上有且仅有四个点到直线 12x－5y ＋c＝0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是________．
[解析] 直线过定点(0,3)．当直线与圆的相交弦长为 2 3时，由垂径定理定理可 |2k－3＋3| 3 得圆心到直线的距离 d＝1，再由点到线的距离公式可得 2 ＝1，解得 k＝± 3 .结合图 1＋k 3 3 象可知当直线斜率满足 k∈－ ， 时，弦长|MN|≥2 3. 3 33Biblioteka 8．C1学而思网校
11． 已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l：y＝x－1 被圆 C 所截得 的弦长为 2 2，则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为________． → 12．已知直线 x＋y＋m＝0 与圆 x2＋y2＝2 交于不同的两点 A、B，O 是坐标原点，|OA＋ → → OB|≥|AB|，那么实数 m 的取值范围是________． m ≤x－22＋y2≤m2，x，y∈R ，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m 13． 设集合 A＝x，y 2 ＋1，x，y∈R}，若 A∩B≠∅，则实数 m 的取值范围是________． 14． (10 分)求与圆 x2＋y2－2x＝0 外切且与直线 x＋ 3y＝0 相切于点 M(3， － 3)的圆的 方程．
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9． C [解析] 即两圆的公共弦必过(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 的圆心， 两圆相减得相交弦的方 2 程为－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a ＋1＝0，将圆心坐标(－1，－1)代入可得 a2＋2a＋2b＋5＝0. 10．(－13,13) [解析] 直线 12x－5y＋c＝0 是平行直线系，当圆 x2＋y2＝4 上有且只有 |c| 四个点到该直线的距离等于 1 时，得保证圆心到直线的距离小于 1，即 <1，故－13<c<13. 13 11． x＋y－3＝0 [解析] 由题意， 设所求的直线方程为 x＋y＋m＝0， 设圆心坐标为(a,0)， 则由题意知： |a－1|2＋2＝(a－1)2，解得 a＝3 或－1，又因为圆心在 x 轴的正半轴上，所以 a＝3， 2 故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有 3＋0＋m＝0，即 m＝－3，故所 求的直线方程为 x＋y－3＝0. 12．(－2，－ 2]∪[ 2，2) [解析] 方法 1：将直线方程代入圆的方程得 2x2＋2mx＋ m2－2＝0，Δ＝4m2－8(m2－2)>0 得 m2<4，即－2<m<2.设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2 m2－2 → → → → → → → → → ＝－m，x1x2＝ ，|OA＋OB|≥|AB|即|OA＋OB|≥|OB－OA|，平方得OA· OB≥0，即 x1x2 2 m2－2 ＋y1y2≥0，即 x1x2＋(m＋x1)(m＋x2)≥0，即 2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2≥0，即 2× ＋m(－ 2 m)＋m2≥0，即 m2≥2，即 m≥ 2或 m≤－ 2.综合知－2<m≤－ 2或 2≤m<2. → → → → → 方法 2：根据向量加减法的几何意义|OA＋OB|≥|AB|等价于向量OA，OB的夹角为锐角 2 2 或者直角，由于点 A，B 是直线 x＋y＋m＝0 与圆 x ＋y ＝2 的交点，故只要圆心到直线的距 |m| 离大于或者等于 1 即可，也即 m 满足 1≤ < 2，即－2<m≤－ 2或者 2≤m<2. 2 1 13. ≤m≤2＋ 2 [解析] 若 m<0，则符合题的条件是：直线 x＋y＝2m＋1 与圆(x－2)2 2 |2－2m－1| 2－ 2 2＋ 2 ＋y2＝m2 有交点，从而由 ≤|m|，解之得 ≤m≤ ，矛盾； 2 2 2 若 m＝0，则代入后可知矛盾； m 1 1 若 m>0，则当 ≤m2，即 m≥ 时，集合 A 表示一个环形区域，且大圆半径不小于 ，即 2 2 2 2 直径不小于 1，集合 B 表示一个带形区域，且两直线间距离为 ， 2 从而当直线 x＋y＝2m 与 x＋y＝2m＋1 中至少有一条与圆(x－2)2＋y2＝m2 有交点，即可 符合题意，从而有 |2－2m| |2－2m－1| 2－ 2 ≤|m|或 ≤|m|，解之得 ≤m≤2＋ 2， 2 2 2 1 所以综上所述，实数 m 的取值范围是 ≤m≤2＋ 2. 2 14．[解答] 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 由题知所求圆与圆 x2＋y2－2x＝0 外切， 则 a－12＋b2＝r＋1.① 又所求圆过点 M 的切线为直线 x＋ 3y＝0， b＋ 3 故 ＝ 3.② a－3 |a＋ 3b| ＝r.③ 2 解由①②③组成的方程组得 a＝4，b＝0，r＝2 或 a＝0，b＝－4 3，r＝6. 故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4 或 x2＋(y＋4 3)2＝36. 15．[解答] 设存在直线方程为 y＝x＋b 满足条件， 代入圆的方程得 2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0， 直线与该圆相交则 Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0，解得－3－3 2<b<－3＋3 2.
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课时作业(四十七) 【基础热身】 1．C [解析] 圆心到直线的距离 d＝ |1＋0－2|
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1 ＝ ， 1 ＋ 3 2
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∴弦长 l＝2 r2－d2＝ 3. 2．B [解析] 圆即 x2＋(y－6)2＝32，数形结合知所求的圆弧长为圆周长的三分之一， 1 即 ×(2π)×3＝2π. 3 3．C [解析] 圆心坐标是(1,0)，圆的半径是 1，直线方程是 y＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k |k＋2k| 1 2 2 ＝0，根据点线距离公式得 2 <1，即 k2< ，解得－ <k< . 8 4 4 k ＋1 4．C [解析] 集合 A，B 表示两个圆，A∩B 中有且仅有一个元素即两圆相切，有内切 和外切两种情况，由题意，外切时，r＝3；内切时，r＝7，即 r 的值是 3 或 7. 【能力提升】 1 5．A [解析] 圆心到直线的距离 d＝ ，根据 θ 的取值范围，0≤sin2θ<1，故 1＋sin2θ π 1 注意条件θ≠ ＋kπ，k∈Z时，sinθ≠± 1. d> ＝r 2 2 6．B [解析] 将圆方程配方得(x－1)2＋(y－3)2＝10. 设圆心为 G，易知 G(1,3)． 最长弦 AC 为过 E 的直径，则|AC|＝2 10.最短弦 BD 为与 GE 垂直的弦，如图 1－2 所 示． 易知|BG|＝ 10，|EG|＝ 0－12＋1－32＝ 5， |BD|＝2|BE|＝2 BG2－EG2＝2 5. 1 所以四边形 ABCD 的面积为 S＝ |AC||BD|＝10 2.故选 B. 2