2017-2018学年高中数学 综合检测 新人教A版必修5
2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：模块综合检测
模块综合检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a ,b ,c 成等比数列,且c=2a ,则cos B 等于( ). A .14B .34C .24D .23答案:B2下列结论正确的是( ).A.若ac>bc ,则a>bB.若a 8>b 8,则a>bC.若a>b ,c<0,则ac<bcD.若a <b ,则a >b答案:C3等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2+a 7+a 12=30,则S 13的值是( ).A.130B.65C.70D.75解析:因为a 2+a 7+a 12=(a 2+a 12)+a 7=2a 7+a 7=3a 7=30,所以a 7=10.所以S 13=13(a 1+a 13)2=13(a 7+a 7)2=13a 7=130.答案:A4已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( ).A.10B.9C.8D.5解析:由23cos 2A+cos2A=0,得cos 2A =125.∵A ∈A (0,π2),∴cos =15.∵cos A b=).=36+b 2-492×6b ,∴b =5或‒135(舍故选D .答案:D5若在等比数列{a n }中,a 4=7,a 6=21,则a 8等于( ).A.35B.63C.213D .±213答案:B6若在△ABC 中,a=4,b=43,A =30°,则角B 的度数等于( ).A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°答案:D7在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b 2=ac ,则角B 的取值范围是( ).A .(0,π3]B .[π3,π]C .(0,π6]D .[π6,π)答案:A8某旅行社租用A,B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,若旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆,则租金最少为( ).A.31 200元B.36 000元C.36 800元D.38 400元解析:设需A,B 型车分别为x ,y 辆(x ,y ∈N ),则x ,y 需满z ,则足{36x +60y ≥900,x +y ≤21,y -x ≤7,x ∈N ,y ∈N ,设租金为z=1600x+2400y ,画出可行域如图中阴影所示,根据线性规划中截距问题,可求得最优解为x=5,y=12,此时z 最小等于36800.故选C.答案:C9若x>0,y>0,且xy-(x+y )=1,则( ).A.x+y ≥2(2+1)B .xy ≤2+1C.x+y ≤≥2(2+1)2D .xy (2+1)解析:∵xy=1+(x+y )≤(x +y 2)2,∴(x+y )2-4(x+y )-4≥0,∴x+y ≥2(2+1),当且仅当x=y .=2+1时等号成立答案:A10若数列{a n }满足a 1=0,a n+1∈N *),则a 20等于( ).=a n -33a n +1(n A.0B.‒3C .3D .1解析:由a 1=0,a n+1∈N *),=a n -33a n +1(n 得a 2={a n }是周期数列,周期为3,所以a 20=a 2=‒3,a 3=3,a 4=0,…由此可知数列‒ 3.答案:B 11若在R 上定义运算☉:a ☉b=ab+2a+b ,则满足x ☉(x-2)<0的实数x 的取值范围为( ).A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2)解析:由题意,得x (x-2)+2x+(x-2)<0,即x 2+x-2<0,解得-2<x<1.答案:B12已知集合A={t|t 2-4≤0},对于满足集合A 的所有实数t ,关于x 的不等式x 2+tx-t>2x-1恒成立,则x 的取值范围是( ).A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,1)∪(3,+∞)C.(-∞,-1)D.(3,+∞)解析:由题意知A={t|-2≤t ≤2},设f (t )=(x-1)t+x 2-2x+1,由条件知f (t )在区间[-2,2]上恒为正值.于是有{f (-2)>0,f (2)>0,即{x 2-4x +3>0,x 2-1>0.解得x>3或x<-1.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n (n ∈N *)等于 .解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列,所以S n≥100.所以2n ≥51,n ≥6.=2(1-2n )1-2=2(‒1+2n )答案:614已知点P (x ,y )的坐标满足条件{x +y ≤4,y ≥x ,x ≥1,点O 为坐标原点,则|PO |的最小值等于 ,最大值等于 .答案:2 1015在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c.若C=120°,c =2a ,则a 与b 的大小关系是 .解析:由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos120°.∵c =2a ,∴2a 2=a 2+b 2+ab ,即a 2=b 2+ab ,a 2-b 2=ab>0.∴a 2>b 2,即a>b.答案:a>b16已知数列{a n }满足a 1=t ,a n+1-a n +2=0(t ∈N *,n ∈N *).记数列{a n }的前n 项和的最大值为f (t ),则f (t )= .答案:{t 2+2t 4,t 为偶数,(1+t 2)2,t 为奇数三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)设等差数列{a n }满足a 3=5,a 10=-9.(1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值.解(1)由a n =a 1+(n-1)d 及a 3=5,a 10=-9,得{a 1+2d =5,a 1+9d =-9,解得{a 1=9,d =-2,所以数列{a n }的通项公式为a n =11-2n.(2)由(1)知,S n =na 1+n (n -1)2d =10n ‒n 2.因为S n =-(n-5)2+25,所以当n=5时,S n 取得最大值.18(12分)海面上相距10海里的A ,B 两船,B 船在A 船的北偏东45°方向上.两船同时接到指令同时驶向C 岛,C 岛在B 船的南偏东75°方向上,行驶了80分钟后两船同时到达C 岛,经测算,A 船行驶了107海里,求B 船的速度.解如图所示,在△ABC 中,AB=10,AC=1∠ABC=120°.07,由余弦定理,得AC 2=BA 2+BC 2-2BA ·BC ·cos120°,即700=100+BC 2+10BC ,得BC=20.设B 船速度为v ,行驶时间),路程为BC=20海里,则有v /时),即B 船为8060=43(小时=2043=15(海里的速度为15海里/时.19(12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足2c -b a =cosB cosA .(1)求角A 的大小;(2)若a=2,求△ABC 面积的最大值.5解(1)因=,所以(2c-b )cos A=a cos B.为2c ‒b a cosBcosA 由正弦定理,得(2sin C-sin B )cos A=sin A cos B ,整理得2sin C cos A-sin B cos A=sin A cos B.所以2sin C cos A=sin (A+B )=sin C.在△ABC 中,0<C<π,所以sin C ≠0.所以cos A=.又0<A<π,故A=.12π3(2)由(1)得A=,又a=2,π35则cos A==,整理得b 2+c 2=bc+20.b 2+c 2‒a 22bc 12由基本不等式,得b 2+c 2≥2bc ,则bc+20≥2bc ,所以bc ≤20,当且仅当b=c 时,等号成立,故三角形的面积S=bc sin A=bc sin =bc ≤×20=5.1212π334343所以△ABC 面积的最大值为5.320(12分)已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8=-10.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列的前n 项和.{a n2n ‒1}解(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由已知条件可得{a 1+d =0,2a 1+12d =‒10,解得{a 1=1,d =‒1.故数列{a n }的通项公式为a n =2-n.(2)设数n 项和为S n,列{a n2n ‒1}的前即S n =a 1++…+,a 22a n2n ‒1则S 1=a 1=1,=++…+.S n 2a 12a 24a n 2n ∵当n>1时,=a 1++…+-S n 2a 2‒a 12a n ‒a n ‒12n ‒1a n 2n =1--(12+14+…+12n ‒1)2‒n 2n =1--=,(1‒12n ‒1)2‒n 2n n 2n∴S n =.n2n ‒1当n=1时,S 1=1也符合该公式.综上可知,数n 项和S n =.列{a n 2n ‒1}的前n2n ‒121(12分)电视台为某个广告公司特约播放两套片集,其中片集甲播映时间为20分钟,广告时间为1分钟,收视观众为60万;片集乙播映时间为10分钟,广告时间为1分钟,收视观众为20万.广告公司规定每周至少有6分钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间.电视台每周应播映两套片集各多少次,才能获得最高的收视率?解设片集甲播放x 集,片集乙播放y 集,则有{x +y ≥6,21x +11y ≤86,x ≥0,x ∈N ,y ≥0,y ∈N .要使收视率最高,则只要z=60x+20y 最大即可.M (2,4).由{21x +11y =86,x +y =6,得由图可知,当x=2,y=4时,z=60x+20y 取得最大值200万.故电视台每周片集甲和片集乙各播映2集和4集,其收视率最高.22(14分)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前4项和S 4=14,且a 1,a 3,a 7成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设T n 为数列的前n 项和,若T n ≤λa n+1对任意n ∈N *恒成立,求实数λ的最小值.{1a n a n +1}解(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由已知d=1或d=0(舍去),得{4a 1+6d =14,(a 1+2d )2=a 1(a 1+6d ),解得因此a 1=2.故a n =n+1.(2)∵由(1)可==-,知1a n a n +11(n +1)(n +2)1n +11n +2∴T n =-+-+…+-=.121313141n ‒11n +2n2(n +2)∵T n ≤λa n+1对任意n ∈N *恒成立,∴≤λ(n+2),n2(n +2)即λ≥n ∈N *恒成立.n2(n +2)2对任意==,又n2(n +2)2n 2(n 2+4n +4)12(n +4n +4)≤116当且仅当n=2时,取“=”.∴λ的最小值.为116。
最新人教A版高中数学必修五综合测试题及答案3套
最新人教A 版高中数学必修五综合测试题及答案3套综合学业质量标准检测(一)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值是( B ) A ．14 B ．16 C ．18D ．20[解析] ∵S 4＝1，S 8＝3，∴a 1·1－q 41－q ＝1，a 1·1－q 81－q ＝3，∴1＋q 4＝3，即q 4＝2，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 16(1＋q ＋q 2＋q 3)＝q 16·a 1(1－q4)1－q＝16.2．若1＋2＋22＋…＋2n >128，n ∈N *，则n 的最小值( B ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9[解析] 1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1. ∵2n ＋1－1>128＝27，∴n ＋1>7，n >6. 又∵n ∈N *，∴n ＝7.3．已知集合A ＝{x ||x ＋1|≤2}，B ＝{x |y ＝lg(x 2－x －2)}，则A ∩∁R B ＝(C ) A ．[－3，－1) B ．[－3，－1] C ．[－1,1]D ．(－1,1][解析] 因为A ＝{x ||x ＋1|≤2}＝{x |－3≤x ≤1}，B ＝{x |lg(x 2－x －2)}＝{x |x 2－x －2>0}＝{x |x <－1或x >2}，所以∁R B ＝{x |－1≤x ≤2}，所以A ∩∁R B ＝{x |－1≤x ≤1}．4．已知a >b >0，c ≠0，则下列不等式中不恒成立的是( B ) A ．ac 2>bc 2 B ．a －b c>0C ．(a ＋b )(1a ＋1b)>4D ．a 2＋b 2＋2>2a ＋2b[解析] ∵c ≠0，∴c 2>0，又∵a >b ，∴ac 2>bc 2； ∵a >b ，∴a －b >0，又c ≠0， ∴c >0时a －b c >0，c <0时，a －bc <0；∵a >b >0，∴(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab>2＋∵a >b >0，∴a 2＋b 2＋2－2a －2b ＝(a －1)2＋(b －1)2>0， 故A ，C ，D 恒成立，B 不恒成立．5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( C )A ．12B ．1C ．3D ．2[解析] 因为b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝bc ，所以cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×4×32＝3，故选C ．6．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( C ) A ．1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y <0D ．ln x ＋ln y >0[解析] 解法1：因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(x ＋y )＝ln1＝0，排除D ．故选C ． 解法2：因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0，故选C ．7．已知数列{a n }，满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2015＝( B )A ．12B ．2C ．－1D ．1[解析] 易知a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，∴数列{a n }的周期为3，而2015＝671×3＋2，∴a 2015＝a 2＝2.8．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影，由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( C )A ．22B ．4C ．32D ．6[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C (2，－2)．D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.故选C ．9．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1(n ∈N *)，若a n ＋a n ＋1＝11－3，则n 的值是( B )A ．12B ．9C ．8D ．6[解析] ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴a n ＋a n ＋1＝n ＋1－n ＋n ＋2－n ＋1 ＝n ＋2－n ＝11－3＝11－9， ∴n ＝9.10．已知△ABC 中，∠A ＝30°，AB 、BC 分别是3＋2、3－2的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于( D )A ．32B ．34C ．32或3 D ．32或34[解析] 依题意得AB ＝3，BC ＝1，易判断△ABC 有两解，由正弦定理，得AB sin C ＝BCsin A ，3sin C ＝1sin30°，即sin C ＝32.又0°<C <180°，因此有C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，B ＝90°，△ABC 的面积为12AB ·BC ＝32；当C ＝120°时，B ＝30°，△ABC 的面积为12AB ·BC ·sin B ＝12×3×1×sin30°＝34.综上所述，选D ． 11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( C ) A ．52 B ．78 C ．104D ．208[解析] 由等差数列的性质得a 2＋a 7＋a 12＝3a 7＝24，∴a 7＝8， ∴S 13＝13a 7＝104，故选C ．12．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于13．( C ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[解析] 由已知得，1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，则a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b＝4，当b a ＝ab，即a ＝b ＝2时取等号．[点评] 一个小题涉及到直线的方程与基本不等式，难度又不大，这是高考客观题命题的主要方向．平时就要加强这种小综合交汇训练．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 5＝b 5,2a 5－a 2a 8＝0，则b 3＋b 7＝4. [解析] ∵2a 5－a 2a 8＝2a 5－a 25＝0，a n ≠0，∴a 5＝2， ∴b 3＋b 7＝2b 5＝2a 5＝4.14．在△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则∠C ＝π4.[解析] 由正弦定理得3sin π3＝6sin C ，∴sin C ＝22，∵AB <BC ，∴C <A ，∴C ＝π4.15．已知变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0x ＋3y －3≥0y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. [解析] 作出可行域如图(包括边界)当直线z ＝ax ＋y 经过A 点， 位于直线l 1与x ＋2y －3＝0之间时， z 仅在点A (3,0)处取得最大值， ∴－a <－12，∴a >12.16．已知点(1，t )在直线2x －y ＋1＝0的上方，且不等式x 2＋(2t －4)x ＋4>0恒成立，则t 的取值集合为{t |3<t <4}.[解析] ∵(1，t )在直线2x －y ＋1＝0的上方， ∴t >3，∵不等式x 2＋(2t －4)x ＋4>0恒成立， ∴Δ＝(2t －4)2－16<0，∴0<t <4，∴3<t <4.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数.[解析] 由题意，设这三个数分别是a q ，a ，aq ，且q ≠1，则aq ＋a ＋aq ＝114①令这个等差数列的公差为d ，则a ＝aq ＋(4－1)·d .则d ＝13(a －a q)，又有aq ＝a q ＋24×13×⎝⎛⎭⎫a －a q ② 由②得(q －1)(q －7)＝0，∵q ≠1，∴q ＝7 代入①得a ＝14，则所求三数为2,14,98.18．(本题满分12分)(2016·贵阳市第一中学月考)设函数f (x )＝12sin2x －cos 2(x ＋π4).(1)若x ∈(0，π)，求f (x )的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (B2)＝0，b ＝1，求△ABC 面积的最大值．[解析] (1)由题意可知，f (x )＝12sin2x －1＋cos (2x ＋π2)2＝12sin2x －1－sin2x 2＝sin2x －12.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .又因为x ∈(0，π)，所以f (x )的单调递增区间是(0，π4]和[3π4，π)．(2)由f (B 2)＝sin B －12＝0，得sin B ＝12，由题意知B 为锐角，所以cos B ＝32. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得1＋3ac ＝a 2＋c 2≥2ac ，即ac ≤2＋3，当且仅当a ＝c 时等号成立． 因为S △ABC ＝12ac sin B ≤2＋34，所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 19．(本题满分12分)为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，去年冬天，某水利工程队在河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为10 000 m 2的矩形鱼塘，其四周都留有宽2 m 的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小.[解析] 设鱼塘的长为 x m ，宽为y m ，则农田长为(x ＋4)m ，宽为(y ＋4)m ，设农田面积为S .则xy ＝10 000，S ＝(x ＋4)(y ＋4)＝xy ＋4(x ＋y )＋16＝10 000＋16＋4(x ＋y )≥10 016＋8xy ＝10 016＋800＝10 816.当且仅当x ＝y ＝100时取等号． 所以当x ＝y ＝100时，S min ＝10 816 m 2. 此时农田长为104 m ，宽为104 m.20．(本题满分12分)(2015·浙江文，17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1nb n ＝b n ＋1－1(n ∈N *).(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .[分析] 等差等比数列的通项公式；数列的递推关系式；数列求和和运算求解能力，推理论证能力．解答本题(1)利用等比数列的通项公式求a n ；利用递推关系求b n .(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和．[解析] (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n . 当n ＝1时，b 1＝b 2－1，因为b 1＝当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n由累乘法得：b n ＝n .①， 又∵b n ＝1，符合①式，∴b n ＝n (2)由(1)知，a n b n ＝n ·2n ，所以T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2， 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.21．(本题满分12分)(2016·河南高考适应性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量m ＝(cos B,2cos 2C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积． [解析] (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0， ∴c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得 sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0， ∴sin A ＝2sin A cos C ．又∵sin A ≠0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由AD →＝DB →，知CD →－CA →＝CB →－CD →，所以2CD →＝CA →＋CB →， 两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos C ∴b 2＋a 2＋ba ＝28.①又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2 3.22．(本题满分14分)已知α、β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a 、b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值.[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝－aαβ＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－(α＋β)b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2， ∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤－10≤b ≤1. 建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如图所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．取B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32. 故b －3a －1的最大值是32，最小值是12.综合学业质量标准检测(二)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a <b <0，则( C ) A ．1a <1bB ．0<a b <1C ．ab >b 2D ．b a >a b[解析] ∵a <b <0，∴两边同乘b ，得ab >b 2，故选C ． 2．己知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |log 4x >12}，则( A )A ．A ∩B ＝∅ B ．B ⊆AC ．A ∩∁R B ＝RD ．A ⊆B[解析] A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，B ＝{x |log 4x >12}＝{x |x >2}，∴A ∩B ＝∅.故选A ．3．(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的平面区域为( C )[解析] 将点(0,0)代入不等式中，不等式成立，否定A 、B ，将(0,4)点代入不等式中，不等式成立，否定D ，故选C ．4．已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第三项是( C )A ．1B ．12C ．34D ．58[解析] ∵a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，∴选C ．5．已知A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则△ABC 的形状是( B ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．不确定[解析] 解法1：∵sin A ＋cos A ＝23，∴(sin A ＋cos A )2＝29，∴2sin A ·cos A ＝－79<0，∴A 为钝角，∴△ABC 的形状为钝角三角形．故选B ．解法2：假设0<A ≤π2，则π4<A ＋π4≤3π4，∴sin(A ＋π4)≥22>13.∴sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)≥1>23.与条件矛盾，∴A >π2.故选B ．6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( C )A ．3B ．932C ．332D ．33[解析] 依题意得a 2＋b 2－c 2－2ab ＋6＝0，∴2ab cos C －2ab ＋6＝0，即ab ＝6，△ABC 的面积等于12ab sin C ＝332，故选C ．7．在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( B ) A ．18 B ．99 C ．198D ．297[解析] 由已知得：a 3＋a 9＋a 6＝27，即3a 6＝27，a 6＝9. ∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝11a 6＝11×9＝99.故选B ．8．(2016·湖北七市教科研协作体联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( B )A ．9B ．92C ．4D ．52[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，直线截圆所得的弦长为 25，等于直径，∴直线ax ＋by －6＝0过圆心，即a ＋2b －6＝0.又a >0，b >0，由基本不等式得a ＋2b ≥22ab ，即ab ≤92，当且仅当a ＝3，b ＝32时等号成立，∴ab 的最大值为92.故选B ．9．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( A )A ．521mB ．10mC ．4 90013mD ．35m[解析] 作出示意图，设塔高OC 为h m ，在Rt △AOC 中，OA ＝h tan60°＝33h ，OB ＝h . AB ＝35，∠AOB ＝150°，由余弦定理得352＝(33h )2＋h 2－2×33h ·h cos150°， 解得h ＝521.故选A ．10．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n 5，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11等于( C )A ．811B ．919C ．1021D ．1123[解析] 由n a 1＋a 2＋…＋a n ＝15n 得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝5n 2，则S n －1＝5(n －1)2(n ≥2)，a n ＝S n －S n －1＝10n －5(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝5也满足．故a n ＝10n －5，b n ＝2n －1，1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，所以原式＝12(1b 1－1b 11)＝12×(1－121)＝1021.故选C ．11．已知O 是△ABC 的重心，且满足sin A 3·OA →＋sin B 7·OB →＋sin C 8·OC →＝0，则角B 等于( B )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°[解析] 由正弦定理得：a 3OA →＋b 7OB →＋c 8OC →＝0，又由题意得：OA →＋OB →＋OC →＝0，∴a 3＝b 7＝c8，∴由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝⎝⎛⎭⎫37b 2＋⎝⎛⎭⎫87b 2－b 22×37b ×87b＝12∴B ＝60°.故选B ．12．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2y ≥2，x ＋y ≤8，则z ＝x －y 的最大值为( A )A ．4B ．－4C ．0D ．2[解析] 作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由z ＝x －y 得y ＝x －z ，欲求z 的最大值，可将直线l ：y ＝x 向下平移，当直线l 经过A 点时直线在y 轴上的截距－2最小，此时z 取得最大值．易求点A (6,2)，则z max ＝6－2＝4.故选A ．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为562.[解析] 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝52＋32－722×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，所以∠ADB＝60°.在△ABD 中，由正弦定理得AB sin60°＝AD sin45°，所以AB ＝562.14．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为－1≤a ≤0. [解析] 2x 2＋2ax －a －1≥0⇔x 2＋2ax －a ≥0，∴Δ≤0， ∴－1≤a ≤0.15．已知实数a ，b 满足a >1，b >0且2a ＋2b －ab －2＝0，那么a ＋2b 的最小值是10. [解析] 因为实数a ，b 满足a >1，b >0且2a ＋2b －ab －2＝0，整理1a －1＋2b ＝1，所以a＋2b ＝(a －1)＋2b ＋1＝[(a －1)＋2b ]⎣⎡⎦⎤1a －1＋2b ＋1＝2(a －1)b ＋2b a －1＋6，所以2(a －1)b ＋2ba －1＋6≥22(a －1)b ×2b a －1＋6＝10.当且仅当2(a －1)b ＝2ba －1时取等号． 16．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，则z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值是12.[解析] 如图，可行域为△ABC 及其内部，其中A (－1,0)，B (2,0)，C (12，32)．目标函数表示可行域内的点M 到点P (－1,1)的距离的平方，因此所求最小值为点P (－1,1)到直线AC ：x －y ＋1＝0的距离的平方，即(|－1－1＋1|2)2＝12.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2.(1)求sin2Asin2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．[分析] 考查同角三角函数基本关系式；正弦定理和三角形面积公式．三角恒等变换与运算求解能力．(1)利用两角和与差的正切公式，求出tan A ，再利用同角三角函数基本关系式得到结论； (2)已知A ，B 和a 可利用正弦定理形式的面积公式(两边及夹角)求解．[解析] (1)由tan(π4＋A )＝2，得tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2 A ＝2sin A cos A 2sin A cos A ＋cos 2 A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25.(2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)可得，sin A ＝1010，cos A ＝31010.由a ＝3，B ＝π4及正弦定理知：b ＝3 5.又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝255，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×35×255＝9.18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x(x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围． [解析] (1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x的最小值为－2.(2)解法1：因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1， 则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0所以a 的取值范围是[34，＋∞)．解法2：∵f (x )≤a 对任意x ∈[0,2]恒成立， ∴x 2－2ax －1≤0对任意x ∈[0,2]恒成立， 当x ＝0时，显然恒成立，a ∈R ；当x ∈(0,2]时，有a ≥x 2－12x ，令g (x )＝x 2－12x ，则g (x )＝x 2－12x 在(0,2]上单调递增，∴g (x )max ＝g (2)＝34.∴a ≥34.综上得a 的取值范围是[34，＋∞)．19．(本题满分12分)设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎨⎧12a n (n 为偶数)a n＋14 (n 为奇数).记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，….(1)求a 2、a 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论． [解析] (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14，a 3＝12a 2＝12a ＋18.(2)∵a 4＝a 3＋14＝12a ＋38，所以a 5＝12a 4＝14a ＋316，所以b 1＝a 1－14＝a －14，b 2＝a 3－14＝12(a －14)，b 3＝a 5－14＝14(a －14)．猜想：{b n }是公比为12的等比数列．证明如下：∵b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14＝12(a 2n －1＋14)－14＝12(a 2n －1－14)＝12b n (n ∈N *)，∴{b n }是首项为a －14，公比为12的等比数列．20．(本题满分12分)已知关于x 的一元二次不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0).导学号 54742970(1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围． [解析] (1)∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}， ∴－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，且k <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－3)×(－2)＝6，(－3)＋(－2)＝2k ，∴k ＝－25. (2)∵不等式的解集为R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k >66或k <－66，∴k <－66. 即k 的取值范围是(－∞，－66)． 21．(本题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求A 的值.[解析] (1)∵c ＝2，C ＝π3，由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2；(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2，②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6，综上所述，A ＝π2或A ＝π6.22．(本题满分14分)已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·2a n }的前n 项和S n .[解析] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)由(1)可知a n ·2a n ＝(2n －1)×22n －1，所以S n ＝1×21＋3×23＋5×25＋…＋(2n －3)×22n －3＋(2n －1)×22n －1，① 4S n ＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n －1，② ①－②得－3S n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1 所以S n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1－3＝2＋2×8(1－4n －1)1－4－(2n －1)×22n ＋1－3＝－6＋16(1－4n －1)＋(6n －3)×22n ＋19＝10＋(6n －5)×22n ＋19.学业质量标准检测(解三角形、数列部分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在锐角三角形ABC 中，已知A ＝2C ，则ac 的范围是( C )A ．(0,2)B ．(2，2)C ．(2，3)D ．(3，2)[解析] a c ＝sin A sin C ＝sin2Csin C ＝2cos C ，又A ＋B ＋C ＝π，A ＝2C ，∴π6<C <π4，∴2<ac< 3. 2．已知2a ＝3b ＝m ，且a ，ab ，b 成等差数列，则m ＝( C )A ．2 C ．6[解析] ∵2a ＝3b ＝m ，∴a ＝log 2又∵a ，ab ，b 成等差数列，∴2ab ＝a ＋b ⇒2＝1a ＋1b＝log m 2＋log m 3＝log m 6，∴m ＝ 6.3．在△ABC 中，若(a －a cos B )sin B ＝(b －c cos C )sin A ，则这个三角形是( D ) A ．底角不等于45°的等腰三角形 B ．锐角不等于45°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形[解析] 由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ， ∴a sin B cos B ＝c sin A cos C ， sin A sin B cos B ＝sin C sin A cos C ． ∴sin2B ＝sin2C ．∴B ＝C ，或2B ＝π－2C ，即B ＋C ＝π2.4．等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和S 9等于( B )A ．66B ．99C ．144D ．297[解析] 设b i ＝a i ＋a i ＋3＋a i ＋6，则由条件知{b n }为等差数列，且b 1＝39，b 3＝27，∴公差d ＝b 3－b 12＝－6，∴数列{a n }前9项的和a 1＋a 2＋…＋a 9＝b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝3(b 1＋d )＝3×(39－6)＝99.5．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( C )A ．43B ．5C ．52D ．62[解析] ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴c ＝4 2.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5.由正弦定理，得2R ＝bsin B＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)，故选C ．6．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( B ) A ．172B ．192C ．10D ．12[解析] 由题可知：等差数列{a n }的公差d ＝1，因为等差数列S n ＝a 1n ＋n (n －1)d2，且S 8＝4S 4，代入计算可得a 1＝12；等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 10＝12＋(10－1)×1＝192.故本题正确答案为B ．7．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >b >c ，a 2<b 2＋c 2，则A 的取值范围为( C )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)[解析] 由题意，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，∴A <π2.又a >b >c ，∴A >B >C ．又∵A ＋B ＋C ＝π，∴A >π3，故选C ．8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ( C )A ．4n －1B ．4n －1 C ．2n －1D ．2n －1[解析] 设公比为q ，则a 1(1＋q 2)＝52，a 2(1＋q 2)＝54，∴q ＝12，∴a 1＋14a 1＝52，∴a 1＝2.∴a n ＝a 1q n －1＝2×(12)n －1，S n ＝2[1－(12)n ]1－12＝4[1－(12)n ]，∴S n a n ＝4[1－(12)n ]2×(12)n －1＝2(2n －1－12) ＝2n －1.[点评] 用一般解法解出a 1、q ，计算量大，若注意到等比数列的性质及求S na n，可简明解答如下：∵a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)，∴q ＝12，∴S na n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝1－q n (1－q )·qn －1＝1－12n 12·12n －1＝2n －1. 9．根据下边框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( C )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1[解析] 由程序框图可知a 1＝2，a 2＝22，a 3＝23， ∴a n ＝2n .10．已知等比数列{a n }中，a n >0，a 5、a 95为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( B )A ．32B ．64C ．256D ．±64[解析] 由条件知a 5＋a 95＝10，a 5·a 95＝16， ∵{a n }是等比数列，∴a 250＝16，∵a n >0，∴a 50＝4，∴a 20a 50a 80＝a 350＝64. 11．△ABC 中，A ︰B ＝1︰2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3︰2两部分，则cos A 等于( C )A ．13B ．12C ．34D ．0[解析] ∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴点D 到AC 与点D 到BC 的距离相等， ∴△ACD 与△BCD 的高相等． ∵A ︰B ＝1︰2，∴AC >BC ．∵S △ACD ︰S △BCD ＝3︰2，∴AC BC ＝32. 由正弦定理，得sin B sin A ＝32，又∵B ＝2A ，∴sin2A sin A ＝32，∴2sin A cos A sin A ＝32， ∴cos A ＝34.12．若△ABC 的三边为a ，b ，c ，f (x )＝b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2，则函数f (x )的图象( B ) A ．与x 轴相切 B ．在x 轴上方 C ．在x 轴下方D ．与x 轴交于两点[解析] 函数f (x )相应方程的判别式Δ＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2 ＝(2bc cos A )2－4b 2c 2 ＝4b 2c 2(cos 2A －1)．∵0<A <π，∴cos 2A －1<0，∴Δ<0， ∴函数图象与x 轴没交点．故选B ．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于27.[解析] ∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，12为公差的等差数列．∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.14．三角形一边长14，它对的角为60°，另两边之比为8︰5，则此三角形面积为 [解析] 设另两边长为8x 和5x ，则 cos60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，∴x ＝2，∴另两边长为16和10，此三角形面积S ＝12×16×10·sin60°＝40 3.15．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，则a 2016＝－1. [解析] ∵a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，∴a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2，a 5＝1－1a 4＝12，……∴数列{a n }的值呈周期出现，周期为3. ∴a 2016＝a 3＝－1.16．已知a ，b ，c 分别为 △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC[解析] 由a ＝2，(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 及正弦定理可得，(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°. 在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，(等号在b ＝c 时成立)，∴bc ≤4.∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝ 3. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ．(1)求C ；(2)若△ABC 的面积为23，a ＋b ＝6，求∠ACB 的角平分线CD 的长度．[解析] (1)已知a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ，所以sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，即sin C ＝2sin C cos C ．因为0<C <π，所以cos C ＝12，故C ＝π3. (2)方法一：由已知，得S ＝12ab sin C ＝34ab ＝23，所以ab ＝8. 又a ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝2. 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4时，由余弦定理，得c 2＝4＋16－2×2×4×12＝12， 所以c ＝2 3.所以b 2＝a 2＋c 2，△ABC 为直角三角形，∠B ＝π2. 因为CD 平分∠ACB ，所以∠BCD ＝π6. 在Rt △BCD 中，CD ＝2cos π6＝433.当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝2时，同理可得CD ＝2cos π6＝433. 方法二：在△ABC 中，因为CD 平分∠ACB ，所以∠ACD ＝∠BCD ＝π6. 因为S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD ，所以S △ABC ＝12b · CD ·sin π6＋12a ·CD ·sin π6＝12CD ·sin π6·(a ＋b )＝14(a ＋b )·CD ． 因为S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，即23＝14×6·CD ，解得CD ＝433. 18．(本题满分12分))在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若m ＝(cos 2A 2，1)，n ＝(cos 2(B ＋C )，1)，且m ∥n .(1)求角A ；(2)当a ＝6，且△ABC 的面积S 满足3＝a 2＋b 2－c 24S时，求边c 的值和△ABC 的面积． [解析] (1)因为m ∥n ，所以cos 2(B ＋C )－cos 2A 2＝cos 2A －cos 2A 2＝cos 2A －cos A ＋12＝0， 即2cos 2A －cos A －1＝0，(2cos A ＋1)(coa A －1)＝0. 所以cos A ＝－12或cos A ＝1(舍去)，即A ＝120°. (2)由3＝a 2＋b 2－c 24S 及余弦定理，得tan C ＝33，所以C ＝30°. 又由正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝2 3. 所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝3 3. 19．(本题满分12分)(2016·广西自治区质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n. [解析] (1)当n ＝1时，a 1＝32a 1－1，∴a 1＝2. ∵S n ＝32a n －1，① S n －1＝32a n －1－1(n ≥2)，② ∴①－②得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，即a n ＝3a n －1，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n ＝2·3n －1.(2)由(1)得b n ＝2log 3a n 2＋1＝2n －1， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n ＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －3)(2n －1) ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －3－12n －1)]＝n －12n －1. 20．(本题满分12分)用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？[解析] 购买时付款300万元，则欠款2 000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{a n }，故a 1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)，a 2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)，a 3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)，a 4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)，…a n ＝100＋[2 000－100(n －1)]×0.01＝121－n (万元) (1≤n ≤20，n ∈N *)．因此{a n }是首项为120，公差为－1的等差数列．故a 10＝121－10＝111(万元)，a 20＝121－20＝101(万元)．20次分期付款的总和为S 20＝(a 1＋a 20)×202＝(120＋101)×202＝2 210(万元)． 实际要付300＋2 210＝2 510(万元)．即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2 510万元．21．(本题满分12分)在△ABC 中，若a 2＋c 2－b 2＝ac ，log 4sin A ＋log 4sin C ＝－1，S △ABC ＝3，求三边a ，b ，c 的长及三个内角A ，B ，C 的度数.[解析] 由a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12. ∵0°<B <180°，∴B ＝60°.∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac ×32＝3， ∴ac ＝4.①由log 4sin A ＋log 4sinC ＝－1，得sin A sin C ＝14. 由正弦定理，得ac 4R 2＝14， ∴44R 2＝14， ∴R ＝2(负值舍去)．∴b ＝2R sin B ＝2×2×32＝2 3. 由已知，得a 2＋c 2－(23)2＝4.②当a >c 时，由①②，得a ＝6＋2，c ＝6－ 2.∴三边的长分别为a ＝6＋2，b ＝23，c ＝6－ 2.由正弦定理，得sin A ＝a 2R ＝6＋24＝sin105°. ∴A ＝105°，即C ＝15°.同理，当a <c 时，a ＝6－2，b ＝23，c ＝6＋2，A ＝15°，B ＝60°，C ＝105°.22．(本题满分14分)(2015·石家庄市一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *，λ≠－1)，且a 1、2a 2、a 3＋3为等差数列{b n }的前三项.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和．[解析] (1)解法1：∵a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝λS n －1＋1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝λa n ，即a n ＋1＝(λ＋1)a n (n ≥2)，λ＋1≠0，又a 1＝1，a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，∴数列{a n }为以1为首项，公比为λ＋1的等比数列，∴a 3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，解法2：∵a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，a 3＝λS 2＋1＝λ(1＋λ＋1)＝λ2＋2λ＋1，∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1∴a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝S n －1＋1(n ≥2)∴a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)， 又a 1＝1，a 2＝2，∴数列{a n }为以1为首项，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)a n b n ＝(3n －2)·2n －1，∴T n ＝1·1＋4·21＋7·22＋…＋(3n －2)·2n －1 ① ∴2T n ＝1·21＋4·22＋7·23＋…＋(3n －5)·2n －1＋(3n －2)·2n ② ①－②得－T n ＝1·1＋3·21＋3·22＋…＋3·2n －1－(3n －2)·2n＝1＋3·2·(1－2n －1)1－2－(3n －2)·2n整理得：T n ＝(3n －5)·2n ＋5.。
2017-2018学年高中数学人教A版必修五习题：第1章+学业质量标准检测+Word版含答案
第一章 学业质量标准检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，A ＝45°，则此三角形解的情况是导学号 68370183( B ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解[解析] ∵b sin A ＝100×22＝502<80， ∴b sin A <a <b ， ∴此三角形有两解．2．已知a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，b ＝7，c ＝3，B ＝π6，那么a 等于导学号 68370184( C )A ．1B ．2C ．4D ．1或4[解析] 在△ABC 中，b ＝7，c ＝3，cos B ＝32，由余弦定理有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即7＝a 2＋3－3a ，解得a ＝4或a ＝－1(舍去)． 故a 的值为4．3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则导学号 68370185( A )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定[解析] ∵c ＝2a ，∠C ＝120°，∴由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴a 2－b 2＝ab ，∴(a ＋b )(a －b )＝ab ， ∴a －b ＝aba ＋b >0，∴a >b ．4．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为35，面积为14，那么这个三角形的此两边长分别是导学号 68370186( D )A ．3和5B ．4和6C ．6和8D ．5和7[解析] 设夹角为A ，∵cos A ＝35，∴sin A ＝45，S ＝12bc sin A ＝14，∴bc ＝35，又b －c ＝2，∴b ＝7，c ＝5． 5．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是导学号 68370187( C )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形[解析] 由题意知：cos A ·cos B ＝sin 2C2，∴cos A ·cos B ＝1－cos C 2＝12－12cos [180°－(A ＋B )]＝12＋12cos(A ＋B )，∴12(cos A ·cos B ＋sin A ·sin B )＝12，∴cos(A －B )＝1， ∴A －B ＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形，故选C ．6．若把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为导学号 68370188( A )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定 [解析] 设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，c 为最大边， 新三角形的三边长为a ＋x ，b ＋x ，c ＋x ， ∴c ＋x 为最大边，其对角为最大角．而(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝x 2＋2(a ＋b －c )x >0， ∴设最大角为θ，则cos θ＝(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )22(a ＋x )(b ＋x )>0，∴θ为锐角，故选A ．7．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 等于导学号 68370189( B )A ． 3B ．2 393C ．2633D ．292[解析] 由题意，知3＝12bc sin A ＝12c ·sin60°，∴c ＝4．由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－2×1×4×12＝13，∴a ＝13．∴a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A＝1332＝2 393．8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为导学号 68370190( D )A ．1B ．2C ． 2D ． 3[解析] 由sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，得a 2＋b 2－ab ＝c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12．∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°． ∴sin C ＝32，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝3． 9．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是导学号 68370191( A )A ．①②B ．①④C ．①②③D ．③④[解析] ①c sin B <b <c ，故有两解；②b sin A <a <b ，故有两解； ③b ＝c sin B ，有一解； ④c <b sin C ，无解．所以有两解的有①②，故选A ．10．若G 是△ABC 的重心，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则角A ＝导学号 68370192( D )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°[解析] 由重心性质可知GA →＋GB →＋GC →＝0，故GA →＝－GB →－GC →，代入aGA →＋bGB →＋33cGC→＝0中，即(b －a )GB →＋(33c －a )GC →＝0，因为GB →，GC →不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝033c －a ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a c ＝3a，故cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，因为0<A <180°，所以A ＝30°，故选D ．11．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对边的边长，若cos A ＋sin A －2cos B ＋sin B ＝0，则a ＋bc的值是导学号 68370193( B )A ．1B ． 2C ． 3D ．2[解析] 将cos A ＋sin A －2cos B ＋sin B ＝0，整理得(cos A ＋sin A )(cos B ＋sin B )＝2，即cos A cos B＋sin B cos A ＋sin A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2，∴cos(A －B )＝1，sin(A ＋B )＝1， ∴A －B ＝0，A ＋B ＝π2，即A ＝B ＝π4，C ＝π2．利用a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，则a ＋b c ＝2R sin A ＋2R sin B 2R sin C ＝sin A ＋sin B sin C ＝22＋221＝2．(R 为△ABC 的外接圆半径)12．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20 n mile ，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为导学号68370194( B )A ．20(2＋6)n mile/hB ．20(6－2)n mile/hC ．20(3＋6)n mile/hD ．20(6－3)n mile/h[解析] 由题意可知∠SMN ＝15°＋30°＝45°，MS ＝20，∠MNS ＝45°＋(90°－30°)＝105°，设货轮每小时航行x n mile ，则MN ＝12x ，∴∠MSN ＝180°－105°－45°＝30°， 由正弦定理，得12x sin30°＝20sin105°，∵sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24，∴x ＝20(6－2)，故选B ．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，已知b ＝1，sin C ＝35，b cos C ＋c cos B ＝2，则AC →·BC →＝__85或－85__．导学号 68370195[解析] 由余弦定理的推论，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ．∵b cos C ＋c cos B ＝2， ∴a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2，∴a ＝2，即|BC →|＝2． ∵sin C ＝35，0°<C <180°，∴cos C ＝45，或cos C ＝－45．又∵b ＝1，即|AC →|＝1， ∴AC →·BC →＝85，或AC →·BC →＝－85．14．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C ．若△ABC 的面积为16sin C ，则C＝__60°__．导学号 68370196[解析] ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ， 由正弦定理，得a ＋b ＝2c ．又∵a ＋b ＋c ＝2＋1，∴c ＝1，a ＋b ＝2． 又S △ABC ＝12ab sin C ＝16sin C ．∴ab ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝12，∵0°<C <180°， ∴C ＝60°．15．(2016·全国卷Ⅱ理，13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝__2113__．导学号 68370197[解析] 解法一：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，从而sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin B sin A ＝2113．解法二：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，从而cos B ＝－cos(A ＋C )＝－cos A cos C ＋sin A sin C ＝－45×513＋35×1213＝1665．由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013．由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b ＝2113．解法三：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013．从而b ＝a cos C ＋c cos A ＝2113．解法四：如图，作BD ⊥AC 于点D ，由cos C ＝513，a ＝BC ＝1，知CD ＝513，BD ＝1213．又cos A ＝45，所以tan A ＝34，从而AD ＝1613．故b ＝AD ＋DC ＝2113．16．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于D ，则BDCD的值为__6__．导学号 68370198[解析] 在△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，由余弦定理得cos60°＝AB 2＋42－(27)22AB ·4＝12，解得AB ＝6(负值舍去)．因为Rt △ABD 与Rt △ACD 有公共边AD ，所以62－BD 2＝42－(27－BD )2，解得BD ＝1277，所以CD ＝277，所以CD ＝277．故BD CD＝6．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(2016·北京理，15)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac ． 导学号 68370199 (1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．[解析] (1)由余弦定理及题设条件得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22．又0<∠B <π，所以<B ＝π4．(2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4，则2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎫A －π4． 因为0<∠A <3π4，所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1．18．(本题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知cos C ＝35．导学号 68370200(1)若CB →·CA →＝92，求△ABC 的面积；(2)设向量x ＝(2sin B 2，3)，y ＝(cos B ，cos B2)，且x ∥y ，求sin(B －A )的值．[解析] (1)由CB →·CA →＝92得ab cos C ＝92．又因为cos C ＝35，所以ab ＝92cos C ＝152．又C 为△ABC 的内角，所以sin C ＝45．所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3．(2)因为x ∥y ，所以2sin B 2cos B2＝3cos B ，即sin B ＝3cos B ，因为cos B ≠0，所以tan B ＝3． 因为B 为三角形的内角，所以B ＝π3．所以A ＋C ＝2π3，所以A ＝2π3－C ．所以sin(B －A )＝sin(π3－A )＝sin(C －π3)＝12sin C －32cos C ＝12×45－32×35＝4－3310． 19．(本题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围 1 km 内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h 的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？ 导学号 68370201[解析] 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1 km ．在△ABC 中，AB ＝3≈1．732，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB sin30°AC ＝32， ∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1． 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1． ∵BC12×60＝5， ∴在BC 上需要5 min ，CD 上需要5 min ．∴最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 该考点才算合格．20．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3，求：导学号 68370202(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．[解析] (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2．又cos B ＝13，所以ac ＝6．由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ． 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13．解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2．因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2． (2)在△ABC 中， sin B ＝1－cos 2B ＝1－(13)2＝223．由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429．因为a ＝b >c ，所以C 为锐角， 因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－(429)2＝79．于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327．21．(本题满分12分)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＋bA ＋B＝a －csin A －sin B ，b ＝3．导学号 68370203(1)求角B ； (2)若sin A ＝33，求△ABC 的面积． [解析] (1)∵a ＋bsin (A ＋B )＝a －csin A －sin B，∴a ＋b c ＝a －c a －b ．∴a 2－b 2＝ac －c 2，即a 2＋c 2－b 2＝ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12．∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3．(2)由b ＝3，sin A ＝33，sin B ＝32，a sin A ＝bsin B，得a ＝2．由a <b 得A <B ，从而cos A ＝63， 故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3＋326． ∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3＋322． 22．(本题满分12分)如右图所示，甲船以每小时30 2 n mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20 n mile ．当甲船航行20 min 到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距10 2 n mile ，问乙船每小时航行多少n mile ？ 导学号 68370204[解析] 解法一：如图，连结A 1B 2，由题意知A 2B 2＝10 2 n mile ，A 1A 2＝302×2060＝10 2 n mile ． 所以A 1A 2＝A 2B 2．又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，所以△A 1A 2B 2是等边三角形．所以A 1B 2＝A 1A 2＝10 2 n mile ．由题意知，A 1B 1＝20 n mile ，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200． 所以B 1B 2＝10 2 n mile ． 因此，乙船速度的大小为10220×60＝302(n mile/h)． 答：乙船每小时航行30 2 n mile ．解法二：如下图所示，连结A 2B 1，由题意知A 1B 1＝20 n mile ，A 1A 2＝302×2060＝10 2 n mile ，∠B 1A 1A 2＝105°，又cos105°＝cos(45°＋60°)＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝2(1－3)4， sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60° ＝2(1＋3)4， 在△A 2A 1B 1中，由余弦定理，得A 2B 21＝A 1B 21＋A 1A 22－2A 1B 1·A 1A 2·cos105°＝202＋(102)2－2×20×102×2(1－3)4＝100(4＋23)， 所以A 2B 1＝10(1＋3)n mile由正弦定理，得sin ∠A 1A 2B 1＝A 1B 1A 2B 1·sin ∠B 1A 1A 2＝2010(1＋3)×2(1＋3)4＝22， 所以∠A 1A 2B 1＝45°，即∠B 1A 2B 2＝60°－45°＝15°，cos15°＝sin105°＝2(1＋3)4． 在△B 1A 2B 2中，由题知A 2B 2＝10 2 n mile ，由余弦定理，得B 1B 22＝A 2B 21＋A 2B 22－2A 2B 1·A 2B 2·cos15°＝102(1＋3)2＋(102)2－2×10(1＋3)×102×2(1＋3)4＝200， 所以B 1B 2＝10 2 n mile ，故乙船速度的大小为10220×60＝302(n mile/h)． 答：乙船每小时航行30 2 n mile ．。
最新人教A版高中数学必修5综合测评试卷及解析(B)
模块综合测评(B )(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.不等式2-xx ≥0的解集是( ) A .{x|0<x<2}B .{x|0<x ≤2}C .{x|x<0或x ≥2}D .{x|x<0或x>2}{x (x -2)≤0,x ≠0,解得0<x ≤2,故不等式的解集为{x|0<x ≤2}.2.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,a 3=5,S k+2-S k =36,则k 的值为( ) A.8B.7C.6D.5{a n }的公差为d ,∵a 1=1,a 3=5,∴d=5-12=2, ∴a n =1+2(n-1)=2n-1.∵S k+2-S k =a k+2+a k+1=2(k+2)-1+2(k+1)-1=4k+4=36,∴k=8,故选A .3.在△ABC 中,a=√3b ,A=120°,则角B 的大小为( ) A .30°B .45°C .60°D .90° 由正弦定理asinA=bsinB,得sin B=bsinAa=b ·√32√3b=12.因为A>B ,所以B=30°,故选A .4.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-3n (n ∈N *),若p-q=5,则a p -a q 等于( ) A .10B .15C .-5D .20S n =2n 2-3n (n ∈N *),所以a n =S n -S n-1=4n-5(n ≥2).又a 1=S 1=-1,适合上式,所以数列{a n }的通项公式为a n =4n-5(n ∈N *).于是a p -a q =4(p-q )=20.故选D .5.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若ab =b+√3ca,sin C=2√3sin B ,则tan A 等于( )A .√3B .1C .√33D .-√3sin C=2√3sin B ,得sinCsinB =2√3,利用正弦定理化简得sinCsinB =cb =2√3,即c=2√3b.由ab =b+√3ca,整理得a 2-b 2=√3bc ,所以cos A=b 2+c 2-a 22bc=-√3bc+c 22bc=-√3bc+2√3bc2bc=√32.由A ∈(0,π),知A=π6,则tan A=tanπ6=√33.故选C .6.在等差数列{a n }中,a 5,a 10是方程x 2-10x-6=0的两个根,则{a n }的前14项和为( ) A .55B .60C .65D .70在等差数列{a n }中,a 5,a 10是方程x 2-10x-6=0的两个根,∴a 5+a 10=10,∴{a n }的前14项和S 14=142(a 1+a 14)=7(a 5+a 10)=7×10=70.故选D .7.已知M (-4,0),N (0,-3),P (x ,y )中的x ,y 满足{x ≥0,y ≥0,3x +4y ≤12,则△PMN 面积的取值范围是( )A .[12,24]B .[12,25]C .[6,12]D .[6,252]{x ≥0,y ≥0,3x +4y ≤12表示的平面区域如图中的阴影部分所示.因为过点M (-4,0),N (0,-3)的直线的方程为3x+4y+12=0,而它与直线3x+4y=12平行,且两条直线间的距离d=|12+12|√3+4=245,所以当点P 在原点O 处时,△PMN 的面积最小,其面积为△OMN 的面积,此时S △OMN =12×3×4=6;当点P 在线段AB 上时,△PMN 的面积最大,且为12×√32+42×245=12,故选C .8.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a=√33b ,且B=2A ,则cos 2A 等于( ) A .12B .-12C .√32D .-√32a=√33b ,所以sin A=√33sin B ,即sin A=√33sin 2A=2√33sin A cos A ,于是cos A=√32, 故cos 2A=2cos 2A-1=12.9.已知不等式组{2x -y -2≥0,3x +y -8≤0,x +2y -1≥0则z=yx+1的最大值与最小值的比值为( )A .-2B .-12C .-83D .-12,不等式组{2x -y -2≥0,3x +y -8≤0,x +2y -1≥0所表示的平面区域为图中的阴影部分,易知z=yx+1表示平面区域内的点与定点P (-1,0)的连线的斜率.由{3x +y -8=0,2x -y -2=0,可得{x =2,y =2,即A (2,2).由{3x +y -8=0,x +2y -1=0,可得{x =3,y =-1,即B (3,-1).由图知直线AP 的斜率最大,此时z=y x+1最大,故z max =23;直线BP 的斜率最小,z min =-14.故z=yx+1的最大值与最小值的比值为-83,故选C .10.在数列{a n }中,a 1=1,a n+1=a n +n+1,设数列{1a n}的前n 项和为S n ,若S n <m 对一切正整数n 恒成立,则实数m 的取值范围为( ) A.(3,+∞) B.[3,+∞) C.(2,+∞)D.[2,+∞)a 1=1,a n+1-a n =n+1,则a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=(n-1+1)+(n-2+1)+…+(1+1)+1=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1=n (n+1)2,当n=1时,也满足上式,∴a n =n (n+1)2(n ∈N *),∴1a n=2n (n+1)=2(1n -1n+1),∴S n =21-12+12−13+…+1n −1n+1=21-1n+1.∵S n <m 对一切正整数n 恒成立,∴m ≥2,故选D .11.已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若a=b cos C+c sin B ,且△ABC 的面积为1+√2,则b 的最小值为( )A .2B .3C .√2D .√3a=b cos C+c sin B 及正弦定理,得sin A=sin B cos C+sin C sin B ,即sin(B+C )=sin B cos C+sin C sin B ,得sin C cos B=sin C sin B.因为sin C ≠0,所以tan B=1.因为B ∈(0,π),所以B=π4.由S △ABC =12ac sin B=1+√2,得ac=2√2+4.又b 2=a 2+c 2-2ac cos B ≥2ac-√2ac=(2-√2)(4+2√2)=4,当且仅当a=c 时,等号成立,所以b ≥2,b 的最小值为2,故选A .12.已知正实数x ,y 满足x>12,y>1,不等式4x 2y -1+y 22x -1≥m 恒成立,则m 的最大值为( ) A .2√2 B .4√2 C .8D .16,2x-1>0,y-1>0,4x 2y -1+y 22x -1=[(2x -1)+1]2y -1+[(y -1)+1]22x -1≥4(2x -1)y -1+4(y -1)2x -1≥4×2√2x -1y -1·y -12x -1=8,即4x 2y -1+y 22x -1≥8,当且仅当{2x -1=1,y -1=1,2x -1y -1=y -12x -1,即{x =1,y =2时,取等号,因此4x 2y -1+y 22x -1的最小值是8,即m ≤8.故m 的最大值是8,故选C .二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知在△ABC 中,AB=√3,BC=1,sin B+√3cos B=0,则△ABC 的面积为 .sin B+√3cos B=0可得tan B=-√3,所以B=120°,于是△ABC 的面积为S=12·AB ·BC ·sin B=12×√3×1×sin 120°=34.14.若关于x 的不等式x 2-ax+1≤0和ax 2+x-1>0对任意的x ∈R 均不成立,则实数a 的取值范围是 .x 2-ax+1>0和ax 2+x-1≤0对任意x ∈R 恒成立,故a ≠0,且{a 2-4<0,a <0,1+4a ≤0,解得{-2<a <2,a <0,a ≤-14,即-2<a ≤-14.-2,-14]15.已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的大小依次成等差数列,最长边和最短边的长是方程x 2-9x+20=0的两实根,则AC= .A ,B ,C 成等差数列,所以2B=A+C ,又因为A+B+C=π,所以B=π3.设方程x 2-9x+20=0的两根分别为a ,c ,则{a +c =9,ac =20,由余弦定理可知:AC 2=a 2+c 2-2ac cos B=(a+c )2-2ac-2ac cos B=92-2×20-2×20×12=21,所以AC=√21. √2116.已知等比数列{a n }的前n 项和S n =t ·3n-1-13,则函数y=(x+2)(x+10)x+t(x>0)的最小值为 .,公比q ≠1.因为S n =a 1(1-q n )1-q=a11-q −a11-q q n ,而题中S n =t ·3n-1-13=t3·3n-13,易知-t3=-13,故t=1,所以y=(x+2)(x+10)x+t=(x+2)(x+10)x+1=x+1+9x+1+10.因为x>0,所以x+1>1,所以y ≥2√(x +1)·9x+1+10=16,当且仅当x+1=9x+1,即x=2时,等号成立.所以函数y=(x+2)(x+10)x+t(x>0)的最小值为16.三、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知关于x 的一元二次不等式kx 2-2x+6k<0(k ≠0). (1)若不等式的解集是{x|x<-3或x>-2},求k 的值; (2)若不等式的解集是R ,求k 的取值范围.∵不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},∴-3,-2是一元二次方程kx 2-2x+6k=0的两根,且k<0.∴{(-3)×(-2)=6,(-3)+(-2)=2k ,∴k=-25. (2)∵不等式的解集为R , ∴{k <0,Δ=4-4k ·6k <0,即{k <0,k >√66或k <-√66,∴k<-√66. 故k 的取值范围是(-∞,-√66).18.(本小题满分12分)(2020·山东高考)在①ac=√3,②c sin A=3,③c=√3b 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC ,它的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且sin A=√3sin B ,C=π6, ?:选条件①.由C=π6和余弦定理,得a 2+b 2-c 22ab=√32.由sin A=√3sin B及正弦定理,得a=√3b.于是2222√3b2=√32,由此可得b=c.由①ac=√3,解得a=√3,b=c=1.因此,选条件①时,问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件②.由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=√32.由sin A=√3sin B及正弦定理,得a=√3b.于是2222√3b2=√32,由此可得b=c.所以B=C=π6.由A+B+C=π,得A=π-π6−π6=2π3.由②c sin A=3,即c sin2π3=3,所以c=b=2√3,a=6.因此,选条件②时,问题中的三角形存在,此时c=2√3.方案三:选条件③.由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=√32.由sin A=√3sin B及正弦定理,得a=√3b.于是2222√3b2=√32,由此可得b=c.由③c=√3b,与b=c矛盾.因此,选条件③时,问题中的三角形不存在.19.(本小题满分12分)已知数列{a n}的前n项和为S n=-n2+2kn(k∈N*),且S n的最大值为4.(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)令b n=5-a n2n,求数列{b n}的前n项和.由题意知当n=-2k2×(-1)=k时,S n取得最大值4,所以-k2+2k·k=k2=4,解得k=2或k=-2(舍去),所以S n=-n2+4n.当n=1时,a1=S1=3.当n≥2时,a n=S n-S n-1=5-2n.经验证n=1时也符合该式.故数列{a n}的通项公式为a n=5-2n(n∈N*).(2)由(1)知b n=n2n-1.设数列{b n}的前n项和为T n,则T n=120+221+322+423+…+n2n-1,12T n =121+222+323+424+…+n2n ,两式相减得12T n =120+121+122+123+…+12n -1−n2n=1-(12)n1-12−n 2n =2[1-(12)n ]−n2n , 所以T n =4-(12)n -2−n 2n -1=4-2+n 2n -1.20.(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,点P 在BC 边上,∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4. (1)求∠ACP 的度数;(2)若△APB 的面积是3√32,求sin ∠BAP 的值.在△APC 中,因为∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4,PC 2=AP 2+AC 2-2·AP ·AC ·cos ∠PAC ,所以22=AP 2+(4-AP )2-2·AP ·(4-AP )·cos 60°, 整理得AP 2-4AP+4=0, 解得AP=2. 所以AC=2.所以△APC 是等边三角形, 所以∠ACP=60°.(2)因为∠APB 是△APC 的外角,所以∠APB=120°.因为△APB 的面积是3√32,所以12·AP ·PB ·sin ∠APB=3√32,解得PB=3.在△APB 中,AB 2=AP 2+PB 2-2·AP ·PB ·cos ∠APB=22+32-2×2×3×cos 120°=19, 所以AB=√19.在△APB 中,由正弦定理得ABsin∠APB =PBsin∠BAP,所以sin ∠BAP=√19=3√5738. 21.(本小题满分12分)某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3千元、2千元.甲、乙两种产品都需要在A,B 两台机床上加工,A,B 两台机床每加工一件甲种产品所需工时分别为1工时、2工时;加工一件乙种产品所需工时分别为2工时和1工时.若A,B 两种机床每月有效使用时数分别为400工时、500工时,如何安排生产,才能使销售收入最大?最大销售收入是多少?x 件,乙种产品y 件,销售收入为z ,则z=3x+2y ,{x +2y ≤400,2x +y ≤500,x ≥0,y ≥0,作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示.作直线l 0:3x+2y=0,平移直线l 0至经过点P 时,可使销售收入z 取最大值.解{x +2y =400,2x +y =500,得{x =200,y =100,所以z max =3×200+2×100=800.故生产甲种产品200件,乙种产品100件,才能使销售收入最大,且最大销售收入是800千元.22.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=-2,且满足S n =12a n+1+n+1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =log 3(-a n +1),设数列{1b n b n+2}的前n 项和为T n ,求证:T n <34.S n =12a n+1+n+1(n ∈N *),得S n-1=12a n +n (n ≥2,n ∈N *),两式相减,并化简,得a n+1=3a n -2, 即a n+1-1=3(a n -1). 因为a 1-1=-2-1=-3≠0,所以{a n -1}是以-3为首项,3为公比的等比数列, 所以a n -1=(-3)·3n-1=-3n . 故a n =-3n +1.b n =log 3(-a n +1)=log 33n =n ,得1b n b n+2=1n (n+2)=12(1n -1n+2), T n =12(1-13+12−14+13−15+…+1n -1−1n+1+1n −1n+2) =12(1+12-1n+1-1n+2) =34−2n+32(n+1)(n+2)<34.。
2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版必修5：阶段质
阶段质量检测（三） 不等式(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ>0 .⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0 C.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ>0 .⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0 解析：选D 结合二次函数的图象，可知若ax 2＋bx ＋c <0，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ＋1>0所表示的平面区域是( )解析：选D 不等式x －y ＋5≥0表示的区域为直线x －y ＋5＝0及其右下方的区域，不等式x ＋y ＋1>0表示的区域为直线x ＋y ＋1＝0右上方的区域，故不等式组表示的平面区域为选项D.3．已知a <b <|a |，则( ) A.1a >1b B ．ab <1 C.a b >1D ．a 2>b 2解析：选D 由a <b <|a |，可知0≤|b |<|a |，由不等式的性质可知|b |2<|a |2，所以a 2>b 2，故选D.4．若－4<x <1，则f (x )＝x 2－2x ＋22x －2( )A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1解析：选D f (x )＝x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎡⎦⎤(x －1)＋1x －1，又∵－4<x <1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0. ∴f (x )＝－12⎣⎡⎦⎤－(x －1)＋1－(x －1)≤－1.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时等号成立． 5．已知关于x 的不等式：|2x －m |≤1的整数解有且仅有一个值为2(其中m ∈N *)，则关于x 的不等式：|x －1|＋|x －3|≥m 的解集为( )A ．(－∞，0]B ．[4，＋∞)C ．(0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)解析：选D 由不等式|2x －m |≤1，可得m －12≤x ≤m ＋12 ，∵不等式的整数解为2， ∴m －12≤2≤m ＋12，解得 3≤m ≤5.再由不等式仅有一个整数解2，∴m ＝4.问题转化为解不等式|x －1|＋|x －3|≥4，当x ≤1时，不等式为 1－x ＋3－x ≥4，解得 x ≤0； 当1＜x ≤3时，不等式为 x －1＋3－x ≥4，解得x ∈∅. 当x ＞3时，不等式为x －1＋x －3≥4，解得x ≥4. 综上，不等式解为(－∞，0]∪[4，＋∞)．故选D.6．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，则不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <g (x )max ，又g (x )max ＝g (4)＝－2，所以a <－2.7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集为D ，下列命题中正确的是( )A ．∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1B ．∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2C ．∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3 D ．∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2解析：选B 画出不等式组所表示的区域如图所示，作直线l ：x ＋2y ＝0，平移l ，从而可知当经过点A ，即x ＝2，y ＝－1时，(x ＋2y )min ＝0，即x ＋2y ≥0，故只有B 成立，故选B.8．已知x >0，y >0，若不等式2log 12[(a －1)x ＋ay ]≤1＋log 12(xy )恒成立，则4a 的最小值为( )A.6＋24B.6＋24C.6＋2D.6＋ 2解析：选C 由于 2log 12[(a －1)x ＋ay ]≤1＋log 12(xy )得log 12[(a －1)x ＋ay ]≤12＋12log 12(xy )，即log12[(a －1)x ＋ay ]≤log12⎝⎛⎭⎫22·xy ，所以(a －1)x ＋ay ≥22·xy ，所以a ≥x ＋22·xy x ＋y，整理得a ≥1＋22·y x 1＋y x，令1＋22·y x ＝t >1，则yx ＝2(t －1)，所以a ≥t 1＋2(t －1)2＝t2t 2－4t ＋3＝12t ＋3t －4，而12t ＋3t－4≤126－4＝6＋24，所以4a ≥6＋2.故选C.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)9．已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |－2，a ∈R 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是______．解析：函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |－2，a ∈R 的定义域为R ，所以|x ＋1|＋|x －a |≥2恒成立，|x ＋1|＋|x －a |几何意义是数轴上的点到－1，a 的距离的和，到－1，a 的距离的和大于或等于2的a 满足a ≤－3或a ≥1.答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)10．若一次函数f (x )满足f (f (x ))＝x ＋1，则f (x )＝________，g (x )＝f 2(x )x (x >0)的值域为________．解析：试题分析：由已知可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ，又因为f (f (x ))＝x ＋1，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，ab ＋b ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12，故有f (x )＝x ＋12；从而g (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋122x ＝x ＋14x ＋1≥2x ·14x ＋1＝2，当且仅当x ＝14x (x >0)即x ＝12时等号成立．故g (x )的值域为[2，＋∞)．答案：x ＋12[2，＋∞)11．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 解析：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，要使x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立．则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0.解得m ≤－5. 答案：(－∞，－5]12．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋1≤0，x ＋y ≤m ，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m 的取值范围为________，如果目标函数z ＝2x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.解析：作出可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x －2y ＋1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.要使不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则点A (1,1)在直线x ＋y ＝m 的左下方， 即1＋1<m ，所以m 的取值范围为m >2.当目标函数z ＝2x －y 经过点B (1，m －1)时，z 取得最小值－1，即2－(m －1)＝－1，所以m ＝4.答案：(2，＋∞) 413．若正实数x ，y 满足xy ＋x ＋2y ＝6，则xy 的最大值为________，x ＋y 的最小值为________．解析：因为6＝xy ＋x ＋2y ≥xy ＋22xy ，所以(xy －2)(xy ＋32)≤0，xy ≤2，即xy ≤2 ，所以xy 的最大值为2.由xy ＋x ＋2y ＝6得x ＝6－2y y ＋1，0<y <3，所以x ＋y ＝6－2y y ＋1＋y ＝8y ＋1＋(y ＋1)－3≥42－3，当且仅当8y ＋1＝y ＋1，即y ＝22－1时取等号，所以x ＋y 的最小值为42－3.答案：2 42－314．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (x 2－x )>－5的解集为________． 解析：先解不等式f (t )>－5，即⎩⎪⎨⎪⎧ t ≤0，t 2－4t ＋3>－5或⎩⎪⎨⎪⎧t >0，－t 2－2t ＋3>－5，解得t ≤0或0<t <2，所以不等式f (t )>－5的解集为(－∞，2)，所以要求解不等式f (x 2－x )>－5的解集，只需求x 2－x <2，解得－1<x <2，所以所求解集为(－1,2)．答案：(－1,2)15．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －5≤0，y ≥14x 2＋14，则xy 的取值范围为________，(x ＋y )2＋y 2x 2＋2y 2的取值范围为________．解析：作出可行域如图所示，设直线y ＝kx (x >0)与曲线y ＝14x 2＋14相切，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝14x 2＋14⇒x 2－4kx ＋1＝0⇒Δ＝16k 2－4＝0⇒k ＝12，所以y x∈⎣⎡⎦⎤12，1⇒x y ∈[1,2]，又(x ＋y )2＋y 2x 2＋2y 2＝x 2＋2y 2＋2xy x 2＋2y 2＝1＋2x 2＋2y2xy＝1＋2x y ＋2y x，令t ＝x y ∈[1,2]，令f (t )＝x y ＋2y x ＝t ＋2t ，t ∈[1,2]，所以可知f (t )在[1，2)上单调递减；f (t )在 (2，2]上单调递增；所以f (t )max ＝3，f (t )min ＝22，所以(x ＋y )2＋y 2x 2＋2y 2的取值范围为⎣⎡⎦⎤53，1＋22. 答案：[1,2]⎣⎡⎦⎤53，1＋22三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(14分)解下列不等式(组)：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)>0，x 2<1；(2)6－2x ≤x 2－3x <18.解：(1)原不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－2或x >0，－1<x <1，即0<x <1，所以原不等式组的解集为{x |0<x <1}．(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧6－2x ≤x 2－3x ，x 2－3x <18，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≥0，x 2－3x －18<0，因式分解，得⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x ＋2)≥0，(x －6)(x ＋3)<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2或x ≥3，－3<x <6，所以－3<x ≤－2或3≤x <6.所以不等式的解集为{x |－3<x ≤－2或3≤x <6}．17．(15分)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2，(1)解不等式|g (x )|＜5；(2)若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由||x －1|＋2|＜5得－5＜|x －1|＋2＜5， ∴|x －1|＜3，解得－2＜x ＜4 .所以原不等式的解集为{x |－2＜x ＜4}．(2)因为对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立， 所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，从而a ≥－1或a ≤－5. 故实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞)． 18．(15分)已知f (x )＝x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1. (1)当a ＝12时，解不等式f (x )≤0；(2)若a >0，解关于x 的不等式f (x )≤0.解：(1)当a ＝12时， 有不等式f (x )＝x 2－52x ＋1≤0，∴⎝⎛⎭⎫x －12(x －2)≤0，∴12≤x ≤2， 即所求不等式的解集为⎣⎡⎦⎤12，2.(2)∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1a (x －a )≤0，a >0，且方程⎝⎛⎭⎫x －1a (x －a )＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝1a ， ∴当1a >a ，即0<a <1时，不等式的解集为⎣⎡⎦⎤a ，1a ； 当1a <a ，即a >1时，不等式的解集为⎣⎡⎦⎤1a ，a ； 当1a＝a ，即a ＝1时，不等式的解集为{1}． 19．(15分)某公司计划在2017年同时出售变频空调和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润最大．已知这两种产品的直接限制因素是资金和劳动力，经调查，得到这两种产品的有关数据如下表：解：设空调、洗衣机的月供应量分别是x 台，y 台，总利润是z 百元，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋20y ≤300，5x ＋10y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤30，x ＋2y ≤22，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，目标函数为z ＝6x ＋8y .作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示． 由z ＝6x ＋8y 得y ＝－34x ＋z 8，由图可得，当直线经过可行域上的点M 时，截距z8最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝30，x ＋2y ＝22，得点M 的坐标为(4,9)，满足x ，y ∈N ，所以z max ＝6×4＋8×9＝96.答：当空调的月供应量为4台，洗衣机的月供应量为9台时，可获得最大利润，最大利润为9 600元．20．(15分)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB |＝3米，|AD |＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长度应在什么范围内？(2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：设AN 的长为x 米(x >2)， 由|DN ||AN |＝|DC ||AM |，得|AM |＝3x x －2， ∴S 矩形AMPN ＝|AN |·|AM |＝3x 2x －2.(1)由S 矩形AMPN >32，得3x 2x －2>32，又x >2，则3x 2－32x ＋64>0，解得2<x <83或x >8，即AN 长的取值范围为⎝⎛⎭⎫2，83∪(8，＋∞)．(2)y＝3x2x－2＝3(x－2)2＋12(x－2)＋12x－2＝3(x－2)＋12x－2＋12≥23(x－2)×12x－2＋12＝24，当且仅当3(x－2)＝12x－2，即x＝4时，取等号，∴当AN的长度是4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．。
2017-2018学年度必修五综合测试卷
必修五综合测试卷一、选择题（每题5分，共50分）1．不等式x －1x ＋2>1的解集是( ) A ．{x |x <－2} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |x <1}D ．{x |x ∈R } 2．下列说法正确的是( )A ．a >b ⇒ac 2>bc 2B ．a >b ⇒a 2>b 2C ．a >b ⇒a 3>b 3D ．a 2>b 2⇒a >b 3.若,,a b c R ∈,且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A.a b b c +≥-B.ac bc ≥C.20c a b>- D 2()0a b c -≥ 4.对于任意实数,,,a b c d ，命题①若,0,a b c ><则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >；③若22ac bc <，则a b <；④若a b >，则 11a b <；⑤若0,0a b c d >>>>，则a c b d >。
其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.45．若x ＋23x －5<0，化简y ＝25－30x ＋9x 2－(x ＋2)2－3的结果为( ) A ．y ＝－4x B ．y ＝2－x C ．y ＝3x －4 D ．y ＝5－x6.已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为( ) A.11{|}32x x -<< B.11{|}32x x x <->或 C.{|32}x x -<< D.{|32}x x x <->或 7.对于任意实数x,不等式04)2(2)2(2<----x a x a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.()2,∞-B.]2,(-∞C.]2,2(-D.)2,2(-8.已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，若n n S S a 2,313==+，则=4a （ ）A.6B.12C.16D.249.已知}{n a 是递减的等比数列，且5,2312=+=a a a ，则)(13221*+∈+++N n a a a a a a n n 的取值范围是（ ）A.[12,16)B.[8,16)C.)332,8[D.)332,316[ 10.正项数列}{n a 中，)2(2,2,12121221≥+===-+n a a a a a n n n ，则=6a （ ）A.16B.8C.22D.4二、填空题（每题5分，共30分）11.ABC ∆中，oB b x a 45,2,===，若ABC ∆有两解，则x 的取值范围是12.等比数列}{a n 中，===n n n S S S 32,60,4813.若14,24a b <<-<<，则2a b -的取值范围是14.若x R ∈,则2x 与1x -的大小关系是15（A ）对于x ∈R ，式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，则常数k 的取值范围是_________． （B ）不等式log 12(x 2－2x －15)>log 12(x ＋13)的解集是_________． 16.（A ）=-++-+-22222212979899100（B ）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)34()1(--=n a n n ，则n S =_________．三、解答题（13题10分，其余每题12分）17.在ABC ∆中，已知1)cos(32cos =+-C A A（1）求角A 的大小（2）若ABC ∆的面积5,35==b S ，求C B sin sin 的值18.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24,111+==+n n a S a（1）设n n n a a b 21-=+，证明数列{}n b 是等比数列（2）求数列{}n a 的通项公式19.在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知101=a ，且3215,22,a a a +成等比数列（1）求n a （2）若0<d ，求na a a a ++++ 32120．(12分)已知m ∈R ，试解关于x 的不等式：(m ＋3)x 2－(2m ＋3)x ＋m >0.21.（1）若不等式049)1(220822>+++++-m x m mx x x 对任意实数x 都成立，求实数m 的取值范围（2）已知函数122++=ax ax y 的定义域为R ，解关于x 的不等式022<+--a a x x22. 正项数列}{n a 中，)(111,21,12121*++∈⋅===N n a a a a a n n n （1）求n a （2）求数列{}2+⋅n n a a 的前n 项和。
2017-2018学年高中数学必修5模块综合检测题含答案
2017-2018学年高中数学必修5模块综合检测题2018.1.23本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)⎛⎤112．定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，－1，x ＜0，则当x ∈R 时，不等式x ＋2＞(2x －1)sgn x的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3＋334＜x ＜－3＋334 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞－3＋334 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－3＋334[Z|X D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3＋334＜x ＜3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若函数f (x )＝(2－a 2)x ＋a 在区间[0,1]上恒为正，则实数a 的取值范围是________． 14．在R 上定义运算⊗，a ⊗b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊗(x －2)<0的实数x 的取值范围为________．必修5模块综合检测题参考答案【第1题解析】由9x 2＋6x ＋1≤0，得(3x ＋1)2≤0，可求得其解为x ＝－31.故选D.【第2题解析】利用线性规划知识，求解目标函数的取值范围．如下图．根据题意得C (1＋，2)．作直线－x ＋y ＝0，并平移，过点B (1,3)和C (1＋，2)时，z ＝－x ＋y 分别取最大值和最小值，则－(1＋)＋2<z <－1＋3，∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－，2)．故选A.【第5题解析】∵不等式x ＋a x ＋1<2的解集为P ，且1∉P ，∴1＋a 1＋1≥2，即a ＋12a≤0，∴－1<a ≤0.故选D.【第6题解析】∵x >1，y >1，且xy ＝16，∴log 2x >0，log 2y >0且log 2x ＋log 2y ＝log 216＝4.∴log 2x ·log 2y ≤2log2x ＋log2y 2＝4(当且仅当x ＝y ＝4时取等号)．故选D.【第7题解析】由图象知抛物线顶点坐标为(6,11)，且过点(4, 7)．设y ＝a (x －6)2＋11，将点(4,7)代入，得7＝a (4－6)2＋11，∴a ＝－1.∴y ＝－(x －6)2＋11＝－x 2＋12x －25.∴年平均利润为x y ＝－x －x 25＋12＝12－x 25.∵x ＋x 25≥10，即x ＝5时，取等号25，∴当x ＝5时，x y有最大值2.故选C.【第8题解析】∵不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈21成立，∴对一切x ∈21，ax ≥－x 2－1，即a ≥－x x2＋1成立．令g (x )＝－x x2＋1＝－x 1.易知g (x )＝－x 1在21内为增函数．∴当x ＝21时，g (x )max ＝－25.∴a 的取值范围是a ≥－25，即a 的最小值是－25.故选C.【第9题解析】“求(1－a i x )2<1(i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围”实质上是求不等式组2<12<1的解集，由于这几个不等式结构一样，则其中解集“最小”的一个不等式的解集即是不等式组的解集．(1－a i x )2<1即a i 2x2－2a i x <0，a i x (a i x －2)<0.∵a i >0，∴这个不等式可化为x ai 2<0，∴0<x <ai 2.若ai 2取最小值，则a i 应取最大值，因此0<x <a12，故选B.【第11题解析】设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为x ，y ∈N ，y －x≤7，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点P (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．故选C.【第12题解析】当x ＞0时，不等式化为x ＋2＞2x －1，解得x ＜3，即0＜x ＜3；当x ＝0时，不等式恒成立；当x ＜0时，不等式化为x ＋2＞(2x －1)－1，即2x 2＋3x －3＜0，解得－433＜x＜433，即－433＜x ＜0.综上可知，不等式的解集为＜x ＜333.故选D.【第13题解析】当2－a 2＝0时，a ＝±.由题意知a ＝时符合题意． 当2－a 2≠0，即a ≠±时，f (x )是一次函数，在[0,1]上是单调的，∴>0，0>0，即－a2＋a ＋2>0.a>0，解得0<a <2且a ≠±.综上可知0<a <2.故填(0,2).【第14题解析】∵x ⊗(x －2)＝x ·(x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2，∴x ⊗(x －2)<0，即x 2＋x －2<0，即(x ＋2)(x －1)<0，∴实数x 的取值范围为－2<x <1.故填(－2,1).【第15题解析】设f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，由题意可知f (x )的图象如图1所示，则有>0<0，⇔a ＋b ＋2>0.a ＋2b ＋1<0，图1图2【第16题解析】作出可行域如图所示的阴影部分，平移直线l ：ax ＋by ＝0，由于a >0，b >0，∴直线l 的斜率为－b a<0，∴当直线l 经过点A 时，z ＝ax ＋by 取得最大值6.由x －y ＋2＝0，3x －y －6＝0，解得y ＝6，x ＝4，∴A (4,6)．∴4a ＋6b ＝6.∴32a ＋b ＝1且a >0，b >0.∴a 1＋b 2＝b 2a ＋b 2＝38＋a b ＋3b 4a ≥38＋23b 4a ＝33.(当且仅当a b ＝3b 4a ，即a ＝23b 时取等号)故填33.【第17题答案】y min ＝3.【第17题解析】令t ＝x 2＋1，则t ≥1，且x 2＝t －1.∴y ＝x2＋1x4＋3x2＋3＝t t －1＋3＝t t2＋t ＋1＝t ＋t 1＋1.∵t ≥1，∴t ＋t 1≥2t 1＝2，当且仅当t ＝t 1，即t ＝1时，等号成立．∴当t ＝1时，t 1min ＝2，此时x ＝0，y min ＝t ＋t 1＋1＝3.故当x ＝0时，函数y 取最小值，y min ＝3.【第18题答案】x >2或x <－1m ∈，31，问题转化为g (m )在m ∈，31上恒大于0，则>0，>0，解得x >2或x <－1.故填x >2或x <－1.【第19题答案】23【第19题解析】(1)若a ＝2，则不等式f (x )≥0化为2x 2－5x ＋3≥0，∴不等式f (x )≥0的解集为或x≤13. (2)∵ax 2－(2a ＋1)x ＋a ＋1＝a (x －1)2－(x －1)，令g (a )＝a (x －1)2－(x －1)，则g (a )是关于a 的一次函数，且一次项的系数为(x －1)2≥0，∴当x －1＝0时，f (x )＝0不合题意；当x ≠1时，g (a )为[－2,2]上的增函数．∵f (x )<0恒成立，∴只要使g (a )的最大值g (2)<0即可，即g (2)＝2(x －1)2－(x －1)<0，解得1<x <23. 综上，x 的取值范围是23. 学科*网【第20题答案】（1）f (x )＝38－x ＋10180－5x，x ∈[0,100]；（2）分别用20万元和80万元资金投资A ，B 两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．【第21题答案】存在常数a ＝41，b ＝21，c ＝41满足题意．【第21题解析】由f (－1)＝0，得a －b ＋c ＝0.①又对x ∈R ，不等式x ≤f (x )≤21(x 2＋1)成立，取x ＝1，有1≤f (1)≤1，∴f (1)＝1，故a ＋b ＋c ＝1.②由①②可得b ＝21，c ＝21－a ，将其代入x ≤f (x )≤21(x 2＋1)，得x ≤ax 2＋21x ＋21－a ≤21(x 2＋1)对x ∈R 恒成立，即x －a≤0 ④1对x ∈R 恒成立．由③得Δ≤0a>0，⇒a ＝41.由④得Δ≤0<0，⇒a ＝41.综合可知，存在常数a ＝41，b ＝21，c ＝41满足题意．【第22题答案】存在实数k ∈[3，＋∞)使不等式恒成立．【第22题解析】存在．将不等式4－kx －x 4≤0变形，即－x 4≤kx －4(x >0)．可设f 1(x )＝－x 4，f 2(x )＝kx －4.故f 2(x )中参数k 的几何意义是直线y ＝kx －4的斜率．由下图知当直线y ＝kx －4与曲线y ＝－x 4相切时，关于x 的方程－x 4＝kx －4有唯一大于0的解，将方程整理成关于x 的一元二次方程kx 2－4x ＋4＝0.由Δ＝(－4)2－4×4×k ＝0，可得k ＝3.又直线y ＝kx －4过定点(0，－4)，故要使f 1(x )≤f 2(x )(x >0)恒成立，只需k ≥3即可．综上，存在实数k ∈[3，＋∞)使不等式恒成立．。
2017-2018学年人教A版数学必修五模块综合检测三 含答
模块综合检测（三） (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式x 2<x ＋6的解集为( ) A ．{x |－2<x <3} B ．{x |x <－2} C ．{x |x <－2或x >3} D ．{x |x >3}解析：选A 不等式化为x 2－x －6＝(x －3)(x ＋2)<0，解得－2<x <3. 2．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则a 18＝( ) A ．8.5 B ．8 C ．7.5D ．7解析：选B a 4＋a 8＝2a 6＝10，即a 6＝5，d ＝14(a 10－a 6)＝14，则a 18＝a 10＋8d ＝6＋2＝8.3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ＞12 B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2D.1a ＋b ≤18解析：选D 因为2＝a ＋b2≤a 2＋b 22，所以a 2＋b 2≥8，所以1a 2＋b 2≤18. 4．已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133，则a n 等于( )A ．3nB ．3n －1C ．3n －2D ．3n ＋1解析：选C 由q ＝3，S 3＝133得a 1－331－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝3sinA sin C ，则角B 为( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选A 由正弦定理可得a 2＋c 2－b 2＝3ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，所以B ＝π6，故选A. 6．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12解析：选C 因为(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，又不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，所以(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝(－1)2－4(－a 2＋a ＋1)<0，解得－12<a <32.7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函数z ＝2x －y －1的最大值为( )A ．5B ．4 C.12D ．－3解析：选B 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，z ＝2x －y －1可变形为：y ＝2x －z －1，表示斜率为2，在y 轴上截距为－z －1的一组平行线，将直线l ：z ＝2x －y －1进行平移，当直线经过点B 时，目标函数z 达到最大值，所以z max ＝2×2－(－1)－1＝4，故选B.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( )A. 2B. 3C.32D ．2解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴B ＝60°.又由正弦定理得a sin A ＝bsin B，∴sin A ＝a sin Bb＝1×323＝12， ∴A ＝30°或A ＝150°(舍去)，∴C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝32.9．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15.若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( ) A ．30 B ．45 C ．90D ．186解析：选C 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝6，a 1＋4d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)·3＝3n ， ∴b n ＝a 2n ＝6n ，∴{b n }的前5项和为S 5＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝6＋12＋18＋24＋30＝90. 10．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ＝43，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰或直角三角形D ．钝角三角形解析：选A 由正弦定理得cos A cos B ＝b a ＝sin Bsin A ，即sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.又b a ＝43，所以a ≠b ，故A ＝B舍去，所以A ＋B ＝π2，即△ABC 为直角三角形．11．已知a >b ，则不等式：①a 2>b 2；②1a <1b ；③1a －b >1a 中不能恒成立的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 对于①，a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )，a －b >0，但a ＋b 的符号无法确定； 对于②，1a －1b ＝b －aab，b －a <0，但ab 的符号无法确定；对于③，1a －b －1a ＝b a －b a ，a －b >0，但ba的符号不确定．所以这三个不等式都不能恒成立．12．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2解析：选C 由1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0得k ≥－a ＋b 2ab，而a ＋b 2ab＝b a ＋a b＋2≥4，所以－a ＋b2ab≤－4，因此要使k ≥－a ＋b2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上) 13．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 16＝________.解析：由题意可知a 2＝－1，a 3＝2，a 4＝12，a 5＝－1，a 6＝2，a 7＝12，…，所以数列{a n }是以3为周期的周期数列． 又16＝3×5＋1，所以a 16＝a 1＝12.答案：1214.如图，为了测量河对岸A ，B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从点C 可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从点D 可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从点E 可以观察到点B ，C .并测量得到一些数据：CD ＝2，CE ＝23，∠D ＝45°，∠ACD ＝105°，∠ACB ＝48.19°，∠BCE ＝75°，∠E ＝60°，则A ，B 两点之间的距离为________.⎝⎛⎭⎪⎫其中cos 48.19°取近似值23解析：依题意知，在△ACD 中，∠A ＝30°， 由正弦定理得AC ＝CD sin 45°sin 30°＝2 2.在△BCE 中，∠CBE ＝45°， 由正弦定理得BC ＝CE sin 60°si n 45°＝3 2.在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC cos ∠ACB ＝10，所以AB ＝10. 答案：1015．已知a ∈，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为________． 解析：把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则f (a )＞0对于任意的a ∈恒成立，易知只需⎩⎪⎨⎪⎧f－＝x 2－5x ＋6>0，f ＝x 2－3x ＋2>0，解得x ＜1或x ＞3.所以x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，1)∪(3，＋∞)16．某房地产开发公司用800万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，已知第一层每平方米的建筑费用为600元，楼房每升高一层，每平方米的建筑费用增加40元．若把楼房建成n 层后，每平方米的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，则n ＝________.解析：易知每层的建筑费用构成等差数列，设为{a n }，则n 层的建筑总费用为S n ＝600×103＋(600＋40)×103＋…＋×103＝(2n 2＋58n )×104，所以每平方米的平均综合费用为 800×104＋n 2＋58n41 000n＝10⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋800n＋58≥102 2n ×800n＋58＝1 380元，当且仅当2n ＝800n，即n ＝20时等号成立．答案：20三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax 2－4ax －3. (1)当a ＝－1时，求关于x 的不等式f (x )>0的解集；(2)若对于任意的x ∈R ，均有不等式f (x )≤0成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，不等式ax 2－4ax －3>0，即－x 2＋4x －3>0. 可化为x 2－4x ＋3<0，即(x －1)(x －3)<0，解得1<x <3， 故不等式f (x )>0的解集为(1,3)．(2)①当a ＝0时，不等式ax 2－4ax －3≤0恒成立； ②当a ≠0时，要使得不等式ax 2－4ax －3≤0恒成立；只需⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－4a 2－4a －，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－34≤a ≤0，即－34≤a <0，综上所述，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0. 18．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C成等差数列．(1)若b ＝23，c ＝2，求△ABC 的面积；(2)若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，试判断△ABC 的形状．解：因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C .又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3.(1)法一：因为b ＝23，c ＝2，所以由正弦定理得b sin B ＝csin C ，即b sin C ＝c sin B ，即23sin C ＝2×32，得sin C ＝12. 因为b >c ，所以B >C ，即C 为锐角，所以C ＝π6，从而A ＝π2.所以S △ABC ＝12bc ＝2 3.法二：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即a 2－2a －8＝0，得a ＝4.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×2×32＝2 3.(2)因为sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，所以sin 2B ＝sin A ·sinC . 由正弦定理得b 2＝ac ；由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 所以ac ＝a 2＋c 2－ac ，即(a －c )2＝0，即a ＝c . 又因为B ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．19．(本小题满分12分)货轮在海上自B 点以40 km/h 的速度沿方向角(从指北方向顺时针转到目标方向线的旋转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方向角为110°，航行半小时后，船到达C 点，观测灯塔A 的方向角是65°，求货轮到达C 点时与灯塔A 的距离．解：在△ABC 中，BC ＝40×0.5＝20 km ， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝65°＋(180°－140°)＝105°， ∠BAC ＝45°.根据正弦定理，得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，AC ＝BC ·sin∠ABC sin ∠BAC ＝20·sin 30°sin 45°＝10 2.故货轮到达C 点时与灯塔的距离为10 2 km.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋a 2x ＋2b －a 3，当x ∈(－2,6)时，其值为正，而当x ∈(－∞，－2)∪(6，＋∞)时，其值为负．(1)求实数a ，b 的值及函数f (x )的解析式；(2)设F (x )＝－k4f (x )＋4(k ＋1)x ＋2(6k －1)，问k 取何值时，函数F (x )的值恒为负值？解：(1)由题意可知－2和6是方程f (x )＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－2＋6＝4，2b －a 3a＝－2×6＝－12.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－8.∴f (x )＝－4x 2＋16x ＋48.(2)F (x )＝－k4(－4x 2＋16x ＋48)＋4(k ＋1)x ＋2(6k －1)＝kx 2＋4x －2.当k ＝0时，F (x )＝4x －2不恒为负值； 当k ≠0时，若F (x )的值恒为负值，则有⎩⎪⎨⎪⎧k <0，16＋8k <0，解得k <－2.21．(本小题满分12分)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 2＋S 2＝31，a n ＋1＝3a n －2n(n ∈N *)．(1)求证：{a n －2n}为等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)由a n ＋1＝3a n －2n可得a n ＋1－2n ＋1＝3a n －2n －2n ＋1＝3a n －3·2n ＝3(a n －2n)，即a n ＋1－2n ＋1a n －2n＝3.又a 2＝3a 1－2，则S 2＝a 1＋a 2＝4a 1－2， 得a 2＋S 2＝7a 1－4＝31，得a 1＝5，∴a 1－21＝3≠0，且a n ＋1－2n ＋1a n －2n＝3.故{a n －2n}为等比数列． (2)由(1)可知a n －2n＝3n －1(a 1－21)＝3n，故a n ＝2n＋3n， ∴S n ＝－2n1－2＋－3n1－3＝2n ＋1＋3n ＋12－72. 22．(本小题满分12分)已知定义域为的函数f (x )是增函数，且f (1)＝1.(1)若对于任意x ∈，总有4f 2(x )－4(2－a )·f (x )＋5－4a ≥0，求实数a 的取值范围；(2)证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋223＋…＋n 2n ＋1<1.解：(1)f (x )在上是增函数，则f (x )≤f (1)＝1，故1－f (x )≥0， 当f (x )＝1时，不等式化为0·a ＋1≥0，显然a ∈R ；当f (x )<1时，不等式化为a ≤4f2x －8f x ＋54－4f x对于x ∈恒成立．设y ＝4f2x －8f x ＋54－4f x＝1－f (x )＋14[1－f x≥1.当且仅当f (x )＝12时取等号，∴y min ＝1，从而a ≤1， 综上所述，a ∈(－∞，1]． (2)令T n ＝122＋223＋…＋n2n ＋1，①则12T n ＝123＋224＋…＋n －12n ＋1＋n2n ＋2，② ①－②化简得，T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1<1，又由①知T n >0，∵f (x )在上是增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋223＋…＋n 2n ＋1<f (1)＝1.。
优化方案2017高中数学模块综合检测新人教A版必修5
模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式－x 2＋5x ＋14≤0的解集为( ) A ．{x |x ≥7或x ≤2} B ．{x |2≤x ≤7} C ．{x |x ≥7或x ≤－2}D ．{x |－2≤x ≤7}解析：选C.－x 2＋5x ＋14≤0⇒x 2－5x －14≥0⇒(x －7)·(x ＋2)≥0⇒x ≥7或x ≤－2. 2．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为( ) A ．5 2 B ．5 3 C ．2 5D ．3 5解析：选A.依题意，知三角形的最大边为b .由于A ＝30°，根据正弦定理，得bsin B＝asin A，所以b ＝a sin B sin A ＝5sin 135°sin 30°＝5 2. 3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋3，若a n ＝2 017，则n ＝( ) A ．667 B ．668 C ．669D ．673解析：选D.因为a n ＋1＝a n ＋3，所以a n ＋1－a n ＝3， 所以{a n }是以1为首项，3为公差的等差数列， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2. 因为a n ＝2 017，所以n ＝673. 4．下列命题中，一定正确的是( ) A ．若a >b 且1a >1b，则a >0，b <0B ．若a >b ，b ≠0，则a b>1 C ．若a >b 且a ＋c >b ＋d ，则c >d D ．若a >b 且ac >bd ，则c >d解析：选A.A 正确，若ab >0，则a >b 与1a >1b不能同时成立；B 错，如取a ＝1，b ＝－1时，有a b＝－1<1；C 错，如a ＝5，b ＝1，c ＝1，d ＝2时，有a ＋c >b ＋d ，c <d ；D 错，取a ＝－1，b ＝－2，则a >b ，令c ＝－3，d ＝－1，有ac >bd ，c <d .5．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1·a 9＝16，则a 2·a 5·a 8的值为( ) A ．16 B ．32 C ．48D ．64解析：选D.由等比数列的性质可得，a 1·a 9＝a 25＝16.因为a n ＞0，所以a 5＝4，所以a 2·a 5·a 8＝a 35＝64，故选D. 6.函数y ＝ x 2＋mx ＋m 2对一切x∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0≤m ≤2解析：选D.Δ＝m 2－4×m2＝m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64解析：选C.易知等比数列的公比不为－1，由等比数列的性质得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，即3，12，S 6－15成等比数列，则3(S 6－15)＝144，所以S 6＝63.8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )A. 2B. 3C.32D ．2解析：选C.因为A 、B 、C 依次成等差数列，所以B ＝π3，又因为a sin A ＝b sin B⇒sin A ＝12⇒A ＝π6(因为a <b )，所以C ＝π2，所以S △ABC ＝12ab ＝32. 9．已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，则x ＋y 的最小值为( )A ．16B ．15C ．8D ．4解析：选A. 因为1x ＋9y＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y.因为x >0，y >0，所以y x ＋9x y ≥2 y x ·9xy＝6. 当且仅当y x＝9xy，即y ＝3x 时取等号．又因为1x ＋9y＝1，所以x ＝4，y ＝12.所以当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.10．若平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，y －2≤0，y ≥k （x ＋1）的面积为3，则实数k 的值为( )A.13 B.12 C.45D.32解析：选B . 由平面区域Ω的面积为3，可得0<k <2.所以可作可行域如图所示．又因为A (－1，0)，C (0，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k－1，2，所以S △ABC ＝12×|BC |×2＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1×2＝3.所以k ＝12.11．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax ＋y 取得最大值，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，35B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞ 解析：选C. 直线3x －5y ＋6＝0和直线2x ＋3y －15＝0的斜率分别为k 1＝35，k 2＝－23，且两直线的交点坐标为(3，3)，作出可行域如图所示，当且仅当直线z ＝ax ＋y 经过点(3，3)时，z 取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的斜率－a 满足－23<－a <35，解得－35<a <23，故选C.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ，B ，C 成等差数列，2a ，2b ，2c 成等比数列，则cos A cos B ＝( )A.14B.16C.12D.23解析：选A. 由已知得2B ＝A ＋C ，又A ＋C ＋B ＝π， 故B ＝π3.又4b 2＝4ac ，则b 2＝ac ，所以由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝ac ，即(a －c )2＝0，故a ＝c ，所以△ABC 是等边三角形， 则cos A cos B ＝cos π3×cos π3＝14.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，c ＝2a ，则cos B 的值为________．解析：因为a ，b ，c 成等比数列且c ＝2a ， 所以b 2＝ac ＝2a 2，所以b ＝2a ，c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3a 24a 2＝34.答案：3414．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cosC ＝3cos A sin C ，则b ＝________．解析：由sin A cos C ＝3cos A sin C得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3·b 2＋c 2－a 22bc·c ，则a 2＋b 2－c 2＝3(b 2＋c 2－a 2)，a 2－c 2＝b 22，又a 2－c 2＝2b ，则有b 22＝2b ，故b ＝4.答案：415．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，且t ＝2＋x －14y ，则当t 取最大值时x 的值为________．解析：因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝1， 所以t ＝2＋x －14y ＝2＋1－y －14y ≤3－2y ×14y＝2， (当且仅当y ＝14y ，即y ＝12时取等号)所以x ＝1－y ＝12.答案：1216．若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为“调和数列”，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 3x 18的最大值是________．解析：因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为“调和数列”，所以x n ＋1－x n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，即数列{x n }为等差数列，由x 1＋x 2＋…＋x 20＝200得20⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 202＝20（x 3＋x 18）2＝200，即x 3＋x 18＝20，易知x 3、x 18都为正数时，x 3x 18有最大值，所以x 3x 18≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋x 1822＝100(当且仅当x 3＝x 18时等号成立)，即x 3x 18的最大值为100.答案：100三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 7＝49，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝（a n ＋1）·2n －1n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，7a 1＋7×62d ＝49， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得b n ＝（a n ＋1）·2n －1n＝（2n －1＋1）·2n －1n＝2n，所以T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2(n ∈N *)．18．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.19．(本小题满分12分)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥|2x －3|.(1)画出点(x ，y )所在平面区域；(2)设a >－1，在(1)所求的区域内，求函数z ＝y －ax 的最大值和最小值． 解：(1)已知不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥2x －3，2x －3≥0或 ⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥3－2x ，2x －3<0.从而得点(x ，y )所在的平面区域为图中所示的阴影部分(含边界)．其中AB ：y ＝2x －5；BC ：x ＋y ＝4；CD ：y ＝－2x ＋1；DA ：x ＋y ＝1.(2)z 表示直线l ：y －ax ＝z 在y 轴上的截距，且直线l 与(1)中所求区域有公共点． 因为a >－1，所以当直线l 过顶点C 时，z 最大．因为C 点的坐标为(－3，7)． 所以z 的最大值为7＋3a .如果－1<a ≤2，那么当直线l 过顶点A (2，－1)时，z 最小，最小值为－1－2a . 如果a >2，那么当直线l 过顶点B (3，1)时，z 最小，最小值为1－3a .20．(本小题满分12分)(2015·高考浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)． 由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n .整理得b n ＋1n ＋1＝b nn ，所以b n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋ (2)－n ·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a ＋bc＝cos （A ＋C ）cos C.(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2，求使△ABC 面积最大时，a ，b 的值． 解：(1)因为cos(A ＋C )＝cos(π－B )＝－cos B ， 由题意及正弦定理， 得2sin A ＋sin B sin C ＝－cos Bcos C，即2sin A cos C ＝－(sin B cos C ＋cos B sin C )＝－sin(B ＋C )＝－sin A . 因为A ∈(0，π)，所以sin A >0.所以cos C ＝－12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(2)因为由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以4＝a 2＋b 2－2ab ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即4＝a 2＋b 2＋ab .所以4＝a 2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ＝3ab .所以4≥3ab ，ab ≤43(当且仅当a ＝b 时等号成立)．因为S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ，所以当a ＝b 时△ABC 面积最大为33，此时a ＝b ＝233. 故当a ＝b ＝233时，△ABC 的面积最大为33.22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )满足f (－2)＝0，且2x ≤f (x )≤x 2＋42对一切实数x 都成立．(1)求f (2)的值； (2)求f (x )的解析式； (3)设b n ＝1f （n ），数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n >4n3（n ＋3）. 解：(1)因为2x ≤f (x )≤x 2＋42对一切实数x 都成立，所以4≤f (2)≤4，所以f (2)＝4. (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 因为f (－2)＝0，f (2)＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝4，4a －2b ＋c ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2－4a .因为ax 2＋bx ＋c ≥2x ，即ax 2－x ＋2－4a ≥0恒成立， 所以a >0，Δ＝1－4a (2－4a )≤0，得(4a －1)2≤0， 所以a ＝14，c ＝2－4a ＝1，故f (x )＝x24＋x ＋1.(3)证明：因为b n ＝1f （n ）＝4（n ＋2）2>4（n ＋2）（n ＋3）＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n >4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1n ＋3＝4 n 3(n ＋3).。
2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版必修5讲义：模块复习精要 模块综合检测 Word版含答案
(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系为( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x ) C ．f (x )<g (x )D ．随x 值变化而变化解析：选A 因为f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，所以f (x )>g (x )．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°解析：选C 由正弦定理知a sin A ＝b sin B， ∴sin A ＝a sin B b ＝2sin 60°3＝22.又a <b ，B ＝60°，∴A <60°，∴A ＝45°.3．若关于x 的不等式x 2－3ax ＋2>0的解集为(－∞，1)∪(m ，＋∞)，则a ＋m ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 由题意，知1，m 是方程x 2－3ax ＋2＝0的两个根，则由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m ＝3a ，1×m ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，m ＝2，所以a ＋m ＝3，故选D. 4．已知数列{a n }为等差数列，且a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43D ．45解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ， 则2a 1＋3d ＝13，∴d ＝3，故a 4＋a 5＋a 6＝3a 1＋12d ＝3×2＋12×3＝42.5．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394解析：选B 由余弦定理得AB 2＋4－2·AB ×2×cos 60°＝7，解得AB ＝3或AB ＝－1(舍去)，设BC 边上的高为x ，由三角形面积关系得12·BC ·x ＝12AB ·BC ·sin 60°，解得x ＝332，故选B.6．某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车，若要使所费的总工作时数最少，那么这两家工厂工作的时间分别为( )A ．16,8B ．15,9C ．17,7D ．14,10解析：选A 设A 工厂工作x 小时，B 工厂工作y 小时，总工作时数为z ，则目标函数为z ＝x ＋y ，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥40，2x ＋y ≥40，x ≥0，y ≥0作出可行域如图所示，由图知当直线l ：y ＝－x＋z 过Q 点时，z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝40，2x ＋y ＝40，得Q (16,8)，故A 厂工作16小时，B 厂工作8小时，可使所费的总工作时数最少．7．若log 4(3x ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：选D 由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3b ＋4a ＝3a b ＋4b a ＋7≥43＋7，当且仅当3a b ＝4ba ，即a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号，故选D.8．定义max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥b ，b ，a <b ，设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2，|y |≤2，则z ＝max{4x ＋y,3x －y }的取值范围是( )A ．[－8,10]B ．[－7,10]C ．[－6,8]D ．[－7,8]解析：选B 做出约束条件所表示的平面区域如图阴影部分所示．令4x ＋y ≥3x －y ，得x ≥－2y ，当x ≥－2y 时，z ＝4x ＋y ；当x <－2y 时，z ＝3x －y .在同一直角坐标系中作出直线x ＋2y ＝0的图象，如图所示．当(x ，y )在平面区域CDEF 内运动时(含边界区域)，此时x ≥－2y ，故z ＝4x ＋y ，可知目标函数z ＝4x ＋y 在D (2,2)时取到最大值10，在F (－2，1)时取到最小值－7；当(x ，y )在平面区域ABCF 内运动时(含边界区域但不含线段CF )，此时x <－2y ，故z ＝3x －y ，可知目标函数z ＝3x －y 在B (2，－2)时取到最大值8，在F (－2,1)时z ＝3x －y ＝－7，所以在此区域内－7<z ≤8.综上所述，z ＝max{4x ＋y,3x －y }∈[－7，10]，故选B.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)9．若不等式|2x ＋a |＜b 的解集为{x |1＜x ＜4}，则ab 等于________．解析：显然，当b ≤0时，不合题意，当b ＞0时，由|2x ＋a |＜b 可得－b ＜2x ＋a ＜b ，所以－b －a 2＜x ＜b －a2，因此⎩⎪⎨⎪⎧－b －a 2＝1，b －a2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝3，故ab ＝－15.答案：－1510．在数列{a n }中，S n 为它的前n 项和，已知a 2＝3，a 3＝7，且数列{a n ＋1}是等比数列，则a 1＝________，a n ＝________，S n ＝________.解析：令x n ＝a n ＋1，则x 2＝4，x 3＝8，因为{a n ＋1}是等比数列，所以x n ＝2n ，即a n ＝2n－1，a 1＝1，S n ＝2(1－2n)1－2－n ＝2n ＋1－2－n .答案：1 2n －1 2n ＋1－2－n11．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．解析：由于三边长构成公差为4的等差数列， 故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4.由一个内角为120°，知其必是最长边x ＋4所对的角． 由余弦定理得，(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)·cos 120°， ∴2x 2－20x ＝0，∴x ＝0(舍去)或x ＝10， ∴S △ABC ＝12×(10－4)×10×sin 120°＝15 3.答案：15 312．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. 解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.答案：－1n13．如果实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤3，则yx 的取值范围是________，z ＝x 2＋y 2xy 的最大值为________．解析：画出可行域如图中阴影部分所示，则A⎝⎛⎭⎫43，83，B (3,6)，C (3,1)，y x 的几何意义是区域上的点与坐标原点连线的斜率，所以k OC ≤y x ≤k AB ，即13≤yx≤2. 因为z ＝x 2＋y 2xy ＝x y ＋y x ＝1k ＋k 在⎣⎡⎦⎤13，1单调递减，在[1,2]上单调递增，当k ＝13时，有z max ＝103.答案：⎣⎡⎦⎤13，2 10314．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －3c 3a＝cos C cos A .若角B ＝π6，BC 边上的中线AM ＝7，则A ＝________，△ABC 的面积为________．解析：由正弦定理及2b －3c 3a ＝cos C cos A 得2sin B －3sin C 3sin A ＝cos Ccos A ，整理得2sin B cos A ＝3sin(A ＋C )＝3sin B ，又sin B ≠0，所以cos A ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6.又B ＝π6，∴a ＝b ，△ACM 中，由余弦定理得cos 2π3＝b 2＋b 24－7b 2＝－12，解得b ＝2，所以△ABC 的面积S ＝12×2×2×32＝ 3. 答案：π6315．已知实数x ，y >0且xy ＝2，则x 3＋8y 3x 2＋4y 2＋8的最小值是________，此时x ＝________，y ＝________.解析：因为x ，y >0且xy ＝2，由于x 3＋8y 3x 2＋4y 2＋8＝(x ＋2y )(x 2－2xy ＋4y 2)x 2＋4y 2＋4xy＝(x ＋2y )[(x ＋2y )2－6xy ](x ＋2y )2＝(x ＋2y )2－12(x ＋2y )＝(x ＋2y )－12x ＋2y ，令x ＋2y ＝t ，则t ＝x ＋2y ≥22xy ＝4，有t －12t 在[4，＋∞)上单调递增，所以当t ＝4时有最小值4－124＝1，当且仅当x ＝2，y＝1时取等号．答案：1 2 1三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(14分)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .解：(1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴通项a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝242，得12n ＋n (n －1)2×2＝242，解得n ＝11，或n ＝－22(舍去)．故n ＝11.17．(15分)已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)， 所以2x 2＋bx ＋c <0的解集是(0,5)，所以0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根， 由根与系数的关系，知－b 2＝5，c2＝0，所以b ＝－10，c ＝0，所以f (x )＝2x 2－10x .(2)对任意的x ∈[－1,1]，f (x )＋t ≤2恒成立等价于对任意的x ∈[－1,1]，2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立．设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数，所以g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ，所以10＋t ≤0，即t ≤－10，所以t 的取值范围为(－∞，－10]．18．(15分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a2n －1a 2n ＋1的前n 项和．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1(3－2n )(1－2n )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1， 从而数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a2n －1a 2n ＋1的前n 项和为12(1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1)＝n1－2n. 19．(15分)在△ABC 中，BC ＝6，点D 在BC 边上，且(2AC －AB )cos A ＝BC cos C . (1)求角A 的大小；(2)若AD 为△ABC 的中线，且AC ＝23，求AD 的长；(3)若AD 为△ABC 的高，且AD ＝33，求证：△ABC 为等边三角形．解：(1)由(2AC －AB )cos A ＝BC cos C 及正弦定理，有(2sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ， 得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B ，所以cos A ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝AC sin A BC ＝12.因为A ＋B <180°，所以B ＝30°，所以C ＝90°. 因为D 是BC 的中点，所以DC ＝3， 由勾股定理，得AD ＝AC 2＋DC 2＝21.(3)证明：因为12AD ·BC ＝12AB ·AC sin A ，且AD ＝33，BC ＝6，sin A ＝32，所以AB ·AC＝36.因为BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ， 所以AB 2＋AC 2＝72，所以AB ＝AC ＝6＝BC ， 所以△ABC 为等边三角形．20．(15分)(全国丙卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.。
2017-2018学年人教A版数学必修五模块综合检测一 含答
模块综合检测（一） (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个等差数列的第5项a 5＝10，且a 1＋a 2＋a 3＝3，则有( ) A ．a 1＝－2，d ＝3 B ．a 1＝2，d ＝－3 C ．a 1＝－3，d ＝2D ．a 1＝3，d ＝－2解析：选A ∵a 1＋a 2＋a 3＝3且2a 2＝a 1＋a 3， ∴a 2＝1.又∵a 5＝a 2＋3d ＝1＋3d ＝10， ∴d ＝3，∴a 1＝a 2－d ＝1－3＝－2.2．若a <1，b >1，那么下列命题中正确的是( ) A.1a >1bB.b a>1 C ．a 2<b 2D ．ab <a ＋b解析：选D 利用特值法，令a ＝－2，b ＝2. 则1a <1b ，A 错；b a<0，B 错；a 2＝b 2，C 错．3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：选A 由不等式组作出可行域如图所示，由图可知：当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－1,1)时，z 取得最小值为－1.4．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( )A ．3∶2∶1 B.3∶2∶1 C.3∶2∶1D ．2∶3∶1解析：选D ∵A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ∶b ∶c ＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30° ＝1∶32∶12＝2∶3∶1. 5．已知△ABC 中，三内角A ，B ，C 依次成等差数列，三边a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选D 由题意可得B ＝60°，再由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 又三边a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ，上式即为a 2＋c 2－2ac ＝(a －c )2＝0， 则a ＝c ，所以△ABC 是等边三角形．6．等比数列{a n }的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n }的首项为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C S 4－(a 2＋a 4)＝60⇒a 1＋a 3＝60. ∴q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝3，a 1＝6. 7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3解析：选D 根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.8．关于x 的不等式x 2－ax －6a ＜0的解集是{x |m ＜x ＜n }，且n －m ≤5，则实数a 的取值范围是( )A ．C ．(－25，－24)∪(0,1)D ．解析：选D 由题意知，方程x 2－ax －6a ＝0有两根分别为m 和n ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2＋24a ＞0⇒a ＜－24或a ＞0，m ＋n ＝a ，mn ＝－6a .又0＜n －m ≤5，∴(n －m )2＝(n ＋m )2－4nm ＝a 2＋24a ≤25， 即a 2＋24a －25≤0，解得－25≤a ≤1. ∴－25≤a ＜－24或0＜a ≤1. 故实数a 的取值范围是．9．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤a a，x －y ≤0，若函数z ＝x ＋y 的最大值为4，则实数a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D.32解析：选A 由不等式组作出可行域，如图所示的阴影部分，当z ＝x ＋y 过y ＝x 和y ＝a 的交点A (a ，a )时，z 取得最大值，即z max ＝a ＋a ＝4，所以a ＝2.10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若内角A ，B ，C 依次成等差数列，且不等式－x 2＋6x －8>0的解集为{x |a <x <c }，则S △ABC 等于( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3D ．4 3解析：选B 由于不等式－x 2＋6x －8>0的解集为{x |2<x <4}， ∴a ＝2，c ＝4.又角A ，B ，C 依次成等差数列，∴B ＝π3，∴S △ABC ＝12×2×4×sin π3＝2 3.11．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：选B 设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1qn －3，a 1qn －2，a 1qn－1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －6＝4，两式相乘，得a 61q3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，所以a n1·q n n －12＝64，即(a 21qn －1)n＝642，即2n＝642，所以n ＝12.12．函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析：选A ∵x ＞1， ∴x －1＞0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋x －＋3x －1＝x －2＋x －＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上)13．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则1<⎪⎪⎪⎪⎪⎪211x <2的解集是________．解析：由已知可得1<2x －1<2，解得1<x <32，所以所求解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1<x <32.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1<x <32 14．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝________.解析：由a n ＋1＝2a n ，{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n. ∴2b n ＝2n＋2n ＋1，即b n ＝3×2n －1，∴S 6＝3×1＋3×2＋…＋3×25＝189.答案：18915．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________ km.解析：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝40°＋80°＝120°，AB＝3 km，AC＝2 km.设BC＝a km.由余弦定理的推论，得cos 120°＝a2＋4－94a，解得a＝6－1或a＝－6－1(舍去)，即B到C的距离为(6－1) km.答案：(6－1)16．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.∴a>4或a<－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝35 .(1)若b＝4，求sin A的值；(2)若S△ABC＝4，求b，c的值．解：(1)∵cos B＝35>0，且0<B<π，∴sin B＝1－cos2B＝4 5 .由正弦定理asin A ＝bsin B，得sin A＝a sin Bb＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12·2·c ·45＝4. ∴c ＝5.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 3(x 2－4x ＋m )的图象过点(0,1)． (1)求实数m 的值； (2)解不等式：f (x )≤1.解：(1)由已知有f (0)＝log 3m ＝1， ∴m ＝3.(2)由(1)知f (x )＝log 3(x 2－4x ＋3)． 由x 2－4x ＋3>0，得x <1或x >3，∴函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)． ∵log 3(x 2－4x ＋3)≤1且y ＝log 3x 为增函数， ∴0<x 2－4x ＋3≤3， ∴0≤x <1或3<x ≤4，∴不等式的解集为{x |0≤x <1或3＜x ≤4}．19．(本小题满分12分)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin Bsin C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解：(1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC .由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.20．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足上式，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2. 设{b n }的公比为q ，由已知条件a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1知，b 1＝2，b 2＝12，所以q ＝14，∴b n ＝b 1qn －1＝2×14n －1，即b n ＝24n －1.(2)∵c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋ (2n －1)4n －1.4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n. 两式相减得3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n＝13． ∴T n ＝19．21．(本小题满分12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB ＝3米，AD ＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？请求最小面积．解：(1)设AN ＝x (x >2)米，则ND ＝x －2， 因为ND DC ＝AN AM ，所以x －23＝x AM， 所以AM ＝3xx －2. 所以3xx －2·x >32， 所以3x 2－32x ＋64>0， 所以(3x －8)(x －8)>0， 所以2<x <83或x >8.即2<AN <83或AN >8.(2)S 矩形AMPN ＝3x2x －2＝x －2＋x －＋12x －2＝3(x －2)＋12x －2＋12≥236＋12＝24， 当且仅当x ＝4时取等号．所以当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为24平方米．22．(本小题满分12分)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．解：(1)由x >0，y >0,3n －nx ≥y ，得0<x <3. 则D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．记y ＝－nx ＋3n 为l ，l 与x ＝1，x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1，y 2， 则y 1＝2n ，y 2＝n ，∴a n ＝3n (n ∈N *)．(2)∵S n ＝3(1＋2＋…＋n )＝3n n ＋2，∴T n ＝n n ＋2n.令T n ＋1T n ＝n ＋22n>1，解得n <2， ∴当n ≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，即T n 的最大值为32.所以实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。
2017-2018学年高中数学必修五教材用书：第一章 解三角形 阶段质量检测 A卷 学业水平达标 含答案 精品
(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析：选A 由题意有asin A ＝b＝bsin B，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．2．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于( )A.63B.62C.12D.32解析：选A ∵A＝180°－45°－60°＝75°，∴A＞C＞B，∴边b最短．由bsin B＝csin C得b＝c sin Bsin C＝sin 45°sin 60°＝63.3．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝4，那么满足条件的△ABC( ) A．有一个解B．有两个解C．无解D．不能确定解析：选C b sin A＝4×sin 60°＝4×32＝2 3.又a＝6，且6＜23，故△ABC无解．4．若三角形三边长如下：①4,6,8；②10,24,26；③10，12,14.其中分别为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的是( )A．①②③B．③②①C．②③①D．③①②解析：选B 利用余弦定理，计算最大边所对角的余弦值，判断最大角是钝角、直角或锐角即可．5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB ―→·BC ―→的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18D ．－19解析：选D 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝49＋25－362×7×5＝1935.∴AB ―→·BC ―→＝－|AB ―→||BC ―→|cos B ＝－7×5×1935＝－19.6．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B 等于( ) A.154 B.34 C.31516D.1116解析：选D 依题意，结合正弦定理得6a ＝4b ＝3c ， 设3c ＝12k (k ＞0)，则有a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ， 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝k2＋k 2－k22×2k ×4k＝1116. 7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B 等于( )A.π6B.π4C.π3D.3π4解析：选C 由正弦定理得(c －b )(c ＋b )＝(c －a )a ，即c 2＋a 2－b 2＝ac,2ac cos B ＝ac ，cos B ＝12.又0<B <π，因此B ＝π3.8．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D.22解析：选C ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ＝8，∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝2A ，a ＝1，b ＝43，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解析：选C 由正弦定理得1sin A ＝43sin 2A，则cos A ＝23，从而cos B ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝－19＜0，所以角B 为钝角，△ABC 是钝角三角形．10．(全国丙卷)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( ) A.31010 B.1010C ．－1010D ．－31010解析：选C 法一：设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝23a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，∴b ＝53a .∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a ＝－1010.故选C. 法二：如图，AD 为△ABC 中BC 边上的高．设BC ＝a ，由题意知AD ＝13BC ＝13a ，B ＝π4，易知BD ＝AD ＝13a ，DC ＝23a .在Rt △ABD 中，由勾股定理得，AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＝23a . 同理，在Rt △ACD 中，AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝53a . ∴cos A ＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a ＝－1010. 11．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a ，那么a 的取值范围为( ) A ．(8,10) B ．(22，10) C ．(22，10)D ．(10，8)解析：选B 设1,3，a 所对的角分别为C ，B ，A ，由余弦定理知a 2＝12＋32－2×3cos A ＜12＋32＝10,32＝1＋a 2－2×a cos B ＜1＋a 2， ∴22＜a ＜10.12．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，在炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A ．10 3 米B ．100 3 米C ．2030 米D ．30米解析：选D 设炮台顶部为A ，两条船分别为B ，C ，炮台底部为D ，可知∠BAD ＝45°，∠CAD ＝60°，∠BDC ＝30°，AD ＝30.分别在Rt△ADB ，Rt△ADC 中，求得DB ＝30，DC ＝30 3.在△DBC 中，由余弦定理得BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC cos 30°，解得BC ＝30.故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上) 13．在△ABC 中，已知b ＝503，c ＝150，B ＝30°，则边长a ＝________. 解析：由余弦定理得a 2＋c 2－2ac cos 30°＝b 2， ∴a 2－1503a ＋15 000＝0. 解得a ＝1003或50 3. 答案：1003或50 314．△ABC 为钝角三角形，且C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________．解析：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∵C 为钝角，∴cos C <0，∴a 2＋b 2－c 2<0， 故a 2＋b 2<c 2. 答案：a 2＋b 2<c 215．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为________．解析：∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0. 整理得，c 2＝a 2＋b 2－ab . ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴cos C ＝12.即C ＝π3.答案：π316．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°.若AC ＝ 2AB ，则BD ＝________.解析：如图所示，设AB ＝a ，AC ＝2a ，BD ＝k ，DC ＝2k ，在△ABD 与△ADC 中分别运用余弦定理有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝k 2＋2＋2k ，2a 2＝4k 2＋2－4k ，解得k 2－4k －1＝0⇒k ＝2＋ 5.答案：2＋ 5三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，求B 及S △ABC . 解：在△ABC 中，由正弦定理，得sin B ＝b a sin A ＝623×12＝32.又A ＝30°，且a ＜b ，∴B ＝60°或B ＝120°. ①当B ＝60°时，C ＝90°，△ABC 为直角三角形， 故S △ABC ＝12ab ＝6 3.②当B ＝120°时，C ＝30°，△ABC 为等腰三角形， 故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×23×6sin 30°＝3 3.18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35.(1)求b 的值；(2)求sin C的值．解：(1)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝4＋25－2×2×5×35＝17，所以b＝17.(2)因为cos B＝35，所以sin B＝45，由正弦定理bsin B ＝csin C，得1745＝5sin C，所以sin C＝417 17.19．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C－2a sin C＝b sin B.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.解：(1)由正弦定理得a2＋c2－2ac＝b2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B.故cos B＝22，因此B＝45°.(2)因为sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，C＝180°－(45°＋75°)＝60°，故a＝b·sin Asin B＝2＋62＝1＋3，c＝b·sin Csin B＝2×si n 60°sin 45°＝ 6.20．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b ＋c＝8.(1)若a＝2，b＝52，求cos C的值；(2)若sin A＋sin B＝3sin C，且△ABC的面积S＝92sin C，求a和b的值．解：(1)由题意可知c＝8－(a＋b)＝7 2 .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×2×52＝－15.(2)∵sin A ＋sin B ＝3sin C ， 由正弦定理可知a ＋b ＝3c . 又因a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6. 由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3.21．(本小题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km 内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km 处有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h 的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解：如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1km.在△ABC 中，AB ＝ 3，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB sin 30°AC ＝32， ∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1. 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形， ∴CD ＝1.∵BC12×60＝5，∴在BC 上需要5 min ，CD 上需要5 min.答：最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并持续至少5 min 才算合格． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝32sin 2x －12(cos 2x －sin 2x )－1. (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且c ＝7，f (c )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(3，sin B )共线，求a ，b 的值．解：(1)f (x )＝32sin2x －12cos 2x －1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1， 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－1时，f (x )min ＝－2. ∴最小正周期为T ＝π. (2)f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1.∵0＜C ＜π，∴－π6＜2C －π6＜11π6，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3. ∵m ∥n ，∴sin B －3sin A ＝0， ∴b －3a ＝0.①∵c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ，c ＝7， ∴7＝a 2＋b 2－ab ② 由①，②知：a ＝1，b ＝3.。
高中数学综合检测新人教A版必修5(2021年整理)
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综合检测时间:120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知{a n｝是等比数列，a3＝错误!，a6＝2，则公比q＝( ）A．－错误!B．－2C．2 D.错误!解析：错误!＝q3＝8，∴q＝2.答案：C2．若a、b为实数，则下面一定成立的是( )A．若a＞b，则a4＞b4B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a＞|b｜,则a2＞b2D．若a≠｜b｜,则a2≠b2解析：a＞｜b|⇔a2＞b2.答案：C3．下列命题中正确的是（)A．a〉b⇒ac2>bc2B．a〉b⇒a2>b2C．a〉b⇒a3〉b3D．a2〉b2⇒a>b解析：选项A中，当c＝0时，ac2＝bc2,所以A不正确;选项B中,当a＝0，b＝－1时a〉b，但a2〈b2，所以B不正确；选项D中，当a＝－2,b＝－1时，a2>b2，但a<b，所以D不正确．很明显C正确．答案：C4．已知各项均为正数的等比数列｛a n｝，a1·a9＝16，则a2·a5·a8的值为( ）A．16 B．32C．48 D．64解析：由等比数列的性质可得，a1·a9＝a错误!＝16.∵a n〉0，∴a5＝4，∴a2·a5·a8＝a错误!＝64，故选D.答案：D5．在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋错误!ac，则角B的大小是（)A．45° B．60°C．90° D．135°解析：由已知得a2＋c2－b2＝错误!ac，所以cos B＝错误!＝错误!＝错误!.又0°〈B<180°，所以B＝45°.答案:A6．设等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a1＝－11，a4＋a6＝－6,则当S n取最小值时,n等于（) A．6 B．7C．8 D．9解析：∵｛a n}是等差数列，∴a4＋a6＝2a5＝－6，即a5＝－3，∴d＝错误!＝错误!＝2，故{a n}是首项为－11的递增数列，所有的非正项之和最小．∵a6＝－1，a7＝1，∴当n＝6时，S n取得最小值．答案：A7．在△ABC中，AB＝3,BC＝13,AC＝4,则AC边上的高为（）A。
2017-2018学年第二学期新课标人教A版高中数学必修五期末复习测试题
12、已知等差数列{}n a 中， 449,24a S ==,则7a =答案：1513、在等比数列{}n a 中， 22a =， 516a =，则6a =答案：3214、数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则6S 等于 答案：67 15、数列1{}(1)n n +的前n 项和为n S ,则99S 等于 答案：9910016、在等差数列{}n a 中， 347a a +=，则126a a a +++=_______. 答案：2117、设等比数列{}n a 的公比为q ，若11a =， 48a =-，则q =__________．答案：2-18、已知集合}034x {x 2≤--=x A ，}3x 1-N {x <<∈=B ，则=⋂B A答案：{0,1,2}19、若正数a ，b 满足111=+b a ，则1-91-1b a +的最小值为 答案：620、若正数a ，b 满足且42=+b a ，则ab 1的最小值为 答案：21 21、设0,1a b >>，若2a b +=，则311a b +-的最小值为（ ）答案：4+22、已知正实数a b 、满足2a b +=，则91a b +的最小值是（ ） 答案：823、不等式11>-xx 的解集为________ 答案：）（0,∞-24、不等式01-<x x 的解集为________ 答案：）（1,025、不等式01x x <+的解是_____． 答案：()1,0-26、若正数a ，b 满足162=+b a ，则ab 的最大值为________答案：3227、若x ，y 都是正数，且3x y +=，则4111x y +++的最小值为__________ 答案：9528、已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________ 答案：829、如图，在△ABC 中，AC ＝1，∠BAC ＝60°，S △ABC ＝ 3.(1)求sin ∠ACB 的值；(2)记BC 边上的中线为AD ，求AD 的长．答案：(1) sin ∠ACB ＝＝23913;(2) BC 边上的中线长为212. 30、已知数列{}n a 满足()*113,31.2n n a a a n N +==-∈ （1）若数列{}n b 满足12n n b a =-，求证： {}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的前项和.n S答案：（1） 略；(2) 312n n n S +-=. 31、已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且6347S S a -=， 532a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T .答案：（1）2n n a =；（2）()1122n n T n +=-⋅+32、已知等差数列{}n a 满足36a =,前7项和为749S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()33nn n b a =-⋅，求{}n b 的前n 项和n T . 答案：(1) 3n a n =+;(2) ()+121334n n n T -⨯+=.33、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*231n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .答案：（1）()1*3n n a n N -=∈.（2）()*1133n n n T n N -+=-∈. 34、已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =,且124,,a a a 成等比数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()()111n n n b a a =-+，若数列{}n b 前n 项和n T ，证明12n T <. 答案：（1）2n a n =；（2）略.35、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-.(1)求6S ；（2）求证{}1n a +为等比数列；(3)求数列{}n S 的前n 项和n T .答案：（1）120；（2）略；（2）225242n n n ++--。
2017-2018学年人教A版数学五模块综合检测(二)含答案
模块综合检测（二)（时间120分钟，满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，a＝2，b＝错误!，A＝45°，则B等于（）A．45°B．30°C．60° D．30°或150°解析：选B 由正弦定理得错误!＝错误!，解得sin B＝错误!。
∵a〉b，∴A>B，∴B＝30°。
2．若0<x〈错误!,则y＝x（3－2x）的最大值是( )A.错误!B。
错误!C．2 D。
错误!解析:选D ∵0<x〈错误!，∴错误!－x>0.∴y＝x（3－2x）＝2·x错误!≤2错误!2＝错误!,当且仅当x＝错误!－x，即x＝错误!时取“＝",∴函数y＝x（3－2x)的最大值为错误!.3．在等差数列{a n｝中，a1＝0,公差d≠0,若a m＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为（)A．37 B．36C．20 D．19解析：选A a m＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋错误!d＝36d＝a37，故选A.4．已知不等式x2－2x－3〈0的整数解构成等差数列｛a n}的前三项，则数列{a n}的第4项为（)A．3 B．－1C．2 D．3或－1解析：选D ∵x2－2x－3〈0，∴－1<x〈3.∴a1＝0,a2＝1，a3＝2，a4＝3或a1＝2，a2＝1，a3＝0，a4＝－1。
5．下列命题正确的是（)A．若ac>bc,则a〉bB．若a2>b2,则a〉bC．若错误!〉错误!，则a〈bD．若错误!〈错误!,则a<b解析：选D 对于A，不清楚c的正负情况，所以不能确定a>b；对于B，a2〉b2⇒|a｜>｜b｜，a，b大小不确定；对于C,不清楚ab的正负,不能随意将不等式两边同时乘ab且不等式不变号；对于D,由于a≥0，错误!≥0,由平方法可知将错误!〈错误!两边平方,得a<b.故选D.6．已知m＝a＋错误!（a>2)，n＝22－x2(x〈0），则m，n之间的大小关系是（）A．m>n B．m<nC．m＝n D．m≤n解析:选A ∵a>2,x<0，∴m＝(a－2）＋错误!＋2≥2错误!＋2＝4，n＝22－x2〈22＝4，∴m>n，故选A。
2017-2018学年人教A版高中数学五模块综合评价(二)含答案
模块综合评价(二)（时间：120分钟满分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( ）A．若a，b,c是等差数列，则log2a,log2b，log2c是等比数列B．若a,b，c是等比数列，则log2a，log2b,log2c是等差数列C．若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列D．若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列解析:错误!＝2b－a，错误!＝2c－b，因为a,b，c成等差数列，所以c－b＝b－a，所以2b－a＝2c－b,即错误!＝错误!。
答案：C2．在△ABC中，A＝135°,C＝30°,c＝20，则边a的长为（) A．10错误!B．20错误!C．20错误!D。
错误!解析：由正弦定理：asin A＝错误!,所以a＝错误!＝错误!＝20错误!。
答案：B3．不等式2x2＋mx＋n〉0的解集是{x｜x〉3或x〈－2｝，则m，n的值分别是( )A．2，12 B．2,－2C．2，－12 D．－2,－12解析:由题意知－2，3是方程2x2＋mx＋n＝0的两个根，所以－2＋3＝－错误!，－2×3＝错误!，所以m＝－2，n＝－12.答案：D4．在等差数列｛a n}中，首项a1＝0,公差d≠0，若a m＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( ）A．37 B．36 C．20 D．19解析:由a m＝a1＋a2＋…＋a9得（m－1)d＝9a5＝36d⇒m＝37.答案：A5．不等式(x－2y＋1）（x＋y－3）〈0表示的区域为（)A BC D解析：利用点（4，0）判断不等式(x－2y＋1）·(x＋y－3)<0，故排除选项A、B、D.答案：C6．若三条线段的长分别为3、5、7,则用这三条线段（)A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形解析:由余弦定理：设最大角为A，则cos A＝错误!＝－错误!＜0，所以A为钝角．答案：C7．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，那么不等式42－36＋45＜0成立的x的取值范围是( )A。
(新课标)2017春高中数学学业质量标准检测新人教A版必修5资料
学业质量标准检测(解三角形、数列部分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在锐角三角形ABC 中，已知A ＝2C ，则a c的范围是导学号 54742572( C ) A ．(0,2) B ．(2，2) C ．(2，3)D ．(3，2)[解析] a c ＝sin A sin C ＝sin2Csin C＝2cos C ，又A ＋B ＋C ＝π，A ＝2C ，∴π6<C <π4，∴2<ac< 3. 2．(2016·安徽蚌埠市质检)已知2a＝3b＝m ，且a ，ab ，b 成等差数列，则m ＝导学号 54742573( C ) A ． 2 B ． 3 C ． 6D ．6[解析] ∵2a＝3b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 3m . 又∵a ，ab ，b 成等差数列，∴2ab ＝a ＋b ⇒2＝1a ＋1b＝log m 2＋log m 3＝log m 6，∴m ＝ 6.3．在△ABC 中，若(a －a cos B )sin B ＝(b －c cos C )sin A ，则这个三角形是导学号 54742574( D ) A ．底角不等于45°的等腰三角形 B ．锐角不等于45°的直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形[解析] 由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ， ∴a sin B cos B ＝c sin A cos C ， sin A sin B cos B ＝sin C sin A cos C ． ∴sin2B ＝sin2C ．∴B ＝C ，或2B ＝π－2C ，即B ＋C ＝π2.4．等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和S 9等于导学号 54742575( B )A ．66B ．99C ．144D ．297[解析] 设b i ＝a i ＋a i ＋3＋a i ＋6，则由条件知{b n }为等差数列，且b 1＝39，b 3＝27，∴公差d ＝b 3－b 12＝－6，∴数列{a n }前9项的和a 1＋a 2＋…＋a 9＝b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝3(b 1＋d )＝3×(39－6)＝99.5．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为导学号 54742576( C )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．6 2[解析] ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴c ＝4 2.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5.由正弦定理，得2R ＝bsin B＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)，故选C ．6．(2015·新课标Ⅰ文，7)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝导学号 54742577( B )A ．172B ．192C ．10D ．12[解析] 由题可知：等差数列{a n }的公差d ＝1，因为等差数列S n ＝a 1n ＋n n －1d2，且S 8＝4S 4，代入计算可得a 1＝12；等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 10＝12＋(10－1)×1＝192.故本题正确答案为B ．7．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >b >c ，a 2<b 2＋c 2，则A 的取值范围为导学号 54742578( C )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)[解析] 由题意，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0，∴A <π2.又a >b >c ，∴A >B >C ．又∵A ＋B ＋C ＝π，∴A >π3，故选C ．8．(2015·唐山市一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na nC ．2n －1D ．2n －1[解析] 设公比为q ，则a 1(1＋q 2)＝52，a 2(1＋q 2)＝54，∴q ＝12，∴a 1＋14a 1＝52，∴a 1＝2.∴a n ＝a 1qn －1＝2×(12)n －1，S n ＝2[1－12n]1－12＝4[1－(12)n]，∴S na n ＝4[1－12n]2×12n －1＝2(2n －1－12)＝2n－1.[点评] 用一般解法解出a 1、q ，计算量大，若注意到等比数列的性质及求S na n，可简明解答如下： ∵a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)，∴q ＝12，∴S n a n ＝a 11－q n 1－q a 1q n －1＝1－q n1－q ·q n －1＝1－12n 12·12n －1＝2n－1. 9．根据下边框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是导学号 54742580( C )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1[解析] 由程序框图可知a 1＝2，a 2＝22，a 3＝23， ∴a n ＝2n.10．已知等比数列{a n }中，a n >0，a 5、a 95为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为C ．256D ．±64[解析] 由条件知a 5＋a 95＝10，a 5·a 95＝16， ∵{a n }是等比数列，∴a 250＝16， ∵a n >0，∴a 50＝4，∴a 20a 50a 80＝a 350＝64.11．△ABC 中，A ︰B ＝1︰2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3︰2两部分，则cos A 等于导学号 54742582( C )A ．13B ．12C ．34D ．0[解析] ∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴点D 到AC 与点D 到BC 的距离相等， ∴△ACD 与△BCD 的高相等． ∵A ︰B ＝1︰2，∴AC >BC ．∵S △ACD ︰S △BCD ＝3︰2，∴AC BC ＝32.由正弦定理，得sin B sin A ＝32，又∵B ＝2A ，∴sin2A sin A ＝32，∴2sin A cos A sin A ＝32， ∴cos A ＝34.12．若△ABC 的三边为a ，b ，c ，f (x )＝b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2，则函数f (x )的图象导学号 54742583( B )A ．与x 轴相切B ．在x 轴上方C ．在x 轴下方D ．与x 轴交于两点[解析] 函数f (x )相应方程的判别式Δ＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2＝(2bc cos A )2－4b 2c 2＝4b 2c 2(cos 2A －1)．∵0<A <π，∴cos 2A －1<0，∴Δ<0， ∴函数图象与x 轴没交点．故选B ．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．(2015·安徽文，13)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于27.导学号 54742584[解析] ∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，12为公差的等差数列．∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.14．三角形一边长14，它对的角为60°，另两边之比为8︰5，则此三角形面积为导学号 54742585[解析] 设另两边长为8x 和5x ，则 cos60°＝64x 2＋25x 2－14280x2，∴x ＝2， ∴另两边长为16和10，此三角形面积S ＝12×16×10·sin60°＝40 3.15．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，则a 2016＝－1.导学号 54742586[解析] ∵a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，∴a 2＝1－1a 1＝12， a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2，a 5＝1－1a 4＝12，……∴数列{a n }的值呈周期出现，周期为3. ∴a 2016＝a 3＝－1.16．(2014·新课标Ⅰ理，16)已知a ，b ，c 分别为 △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 导学号 54742587[解析] 由a ＝2，(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 及正弦定理可得， (a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，(等号在b ＝c 时成立)，∴bc ≤4. ∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝ 3.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(2016·河北邯鄣市一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ．导学号 54742588(1)求C ；(2)若△ABC 的面积为23，a ＋b ＝6，求∠ACB 的角平分线CD 的长度．[解析] (1)已知a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，由正弦定理，得 sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ，所以sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，即sin C ＝2sin C cos C ． 因为0<C <π，所以cos C ＝12，故C ＝π3.(2)方法一：由已知，得S ＝12ab sin C ＝34ab ＝23，所以ab ＝8.又a ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4时，由余弦定理，得c 2＝4＋16－2×2×4×12＝12，所以c ＝2 3.所以b 2＝a 2＋c 2，△ABC 为直角三角形，∠B ＝π2.因为CD 平分∠ACB ，所以∠BCD ＝π6.在Rt △BCD 中，CD ＝2cosπ6＝433. 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2时，同理可得CD ＝2cosπ6＝433. 方法二：在△ABC 中，因为CD 平分∠ACB ，所以∠ACD ＝∠BCD ＝π6.因为S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD ，所以S △ABC ＝12b · CD ·sin π6＋12a ·CD ·sin π6＝12CD ·sin π6·(a ＋b )＝14(a ＋b )·CD ．因为S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，即23＝14×6·CD ，解得CD ＝433.18．(本题满分12分)(2016·甘肃省一诊)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若m ＝(cos 2A2，1)，n ＝(cos 2(B ＋C )，1)，且m ∥n .导学号 54742589(1)求角A ；(2)当a ＝6，且△ABC 的面积S 满足3＝a 2＋b 2－c 24S时，求边c 的值和△ABC 的面积．[解析] (1)因为m ∥n ，所以cos 2(B ＋C )－cos 2A 2＝cos 2A －cos 2A 2＝cos 2A －cos A ＋12＝0，即2cos 2A －cos A －1＝0，(2cos A ＋1)(coa A －1)＝0.所以cos A ＝－12或cos A ＝1(舍去)，即A ＝120°.(2)由3＝a 2＋b 2－c 24S 及余弦定理，得tan C ＝33，所以C ＝30°.又由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝2 3. 所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝3 3.19．(本题满分12分)(2016·广西自治区质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *).导学号 54742590(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n.[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝32a 1－1，∴a 1＝2.∵S n ＝32a n －1，①S n －1＝32a n －1－1(n ≥2)，②∴①－②得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，即a n ＝3a n －1，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＝2·3n －1.(2)由(1)得b n ＝2log 3a n2＋1＝2n －1，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n ＝11×3＋13×5＋…＋12n －32n －1＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －3－12n －1)]＝n －12n －1. 20．(本题满分12分)用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？导学号 54742592[解析] 购买时付款300万元，则欠款2 000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{a n }，故a 1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)，a 2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)， a 3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)，a 4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)，…a n ＝100＋[2 000－100(n －1)]×0.01＝121－n (万元) (1≤n ≤20，n ∈N *)． 因此{a n }是首项为120，公差为－1的等差数列． 故a 10＝121－10＝111(万元)，a 20＝121－20＝101(万元)．20次分期付款的总和为S 20＝a 1＋a 20×202＝120＋101×202＝2 210(万元)．实际要付300＋2 210＝2 510(万元)．即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2 510万元． 21．(本题满分12分)在△ABC 中，若a 2＋c 2－b 2＝ac ，log 4sin A ＋log 4sin C ＝－1，S △ABC ＝3，求三边a ，b ，c 的长及三个内角A ，B ，C 的度数.导学号 54742593[解析] 由a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵0°<B <180°，∴B ＝60°. ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac ×32＝3，∴ac ＝4.①由log 4sin A ＋log 4sinC ＝－1，得sin A sin C ＝14.由正弦定理，得ac 4R 2＝14，∴44R 2＝14， ∴R ＝2(负值舍去)． ∴b ＝2R sin B ＝2×2×32＝2 3. 由已知，得a 2＋c 2－(23)2＝4.②当a >c 时，由①②，得a ＝6＋2，c ＝6－ 2. ∴三边的长分别为a ＝6＋2，b ＝23，c ＝6－ 2. 由正弦定理，得 sin A ＝a2R＝6＋24＝sin105°. ∴A ＝105°，即C ＝15°.同理，当a <c 时，a ＝6－2，b ＝23，c ＝6＋2，A ＝15°，B ＝60°，C ＝105°.22．(本题满分14分)(2015·石家庄市一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *，λ≠－1)，且a 1、2a 2、a 3＋3为等差数列{b n }的前三项.导学号 54742594(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和．[解析] (1)解法1：∵a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)， ∴a n ＝λS n －1＋1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝λa n ，即a n ＋1＝(λ＋1)a n (n ≥2)，λ＋1≠0， 又a 1＝1，a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，∴数列{a n }为以1为首项，公比为λ＋1的等比数列， ∴a 3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1 ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，解法2：∵a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，a 3＝λS 2＋1＝λ(1＋λ＋1)＝λ2＋2λ＋1， ∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1 ∴a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)， ∴a n ＝S n －1＋1(n ≥2)∴a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)， 又a 1＝1，a 2＝2，∴数列{a n }为以1为首项，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)a n b n ＝(3n －2)·2n －1，∴T n ＝1·1＋4·21＋7·22＋…＋(3n －2)·2n －1①∴2T n ＝1·21＋4·22＋7·23＋…＋(3n －5)·2n －1＋(3n －2)·2n② ①－②得－T n ＝1·1＋3·21＋3·22＋…＋3·2n －1－(3n －2)·2n＝1＋3·2·1－2n －11－2－(3n －2)·2n整理得：T n ＝(3n －5)·2n＋5.。
2017-2018学年人教A版数学五阶段质量检测(二)含答案
阶段质量检测（二）(A卷学业水平达标）（时间120分钟,满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3，5，9，17,33，…的通项公式a n等于( ）A．2n B．2n－1C．2n＋1 D．2n＋1解析：选C 由于3＝2＋1,5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是a n＝2n＋1。
2．已知数列{a n}的首项a1＝2，且a n＝4a n－1＋1（n≥2），则a4为（）A．148 B．149C．150 D．151解析：选B ∵a1＝2，a n＝4a n－1＋1（n≥2），∴a2＝4a1＋1＝4×2＋1＝9，a3＝4a2＋1＝4×9＋1＝37，a4＝4a3＋1＝4×37＋1＝149。
3．记等差数列{a n}的前n项和为S n,若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( )A．2 B．3C．6 D．7解析：选B S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16,∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，∴d＝3.4．在数列{a n｝中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为（) A．49 B．50C．51 D．52解析:选D ∵2a n＋1－2a n＝1，∴a n＋1－a n＝错误!，∴数列{a n｝是首项a1＝2，公差d＝错误!的等差数列，∴a101＝2＋错误!(101－1）＝52。
5．已知等比数列｛a n｝满足a1＝3,且4a1,2a2，a3成等差数列，则数列{a n｝的公比等于（)A．1 B．－1C．－2 D．2解析：选D 设｛a n｝的公比为q(q≠0），因为4a1，2a2，a3成等差数列，所以4a1＋a1q2＝4a1q，即q2－4q＋4＝0，解得q＝2.6．（安徽高考）公比为2的等比数列｛a n}的各项都是正数，且a3a11＝16,则a5等于( ）A．1 B．2C．4 D．8解析：选A 因为a3a11＝a错误!，又数列｛a n}的各项都是正数，所以解得a7＝4，由a7＝a5·22＝4a5，求得a5＝1。
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综合检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知{a n }是等比数列，a 3＝14，a 6＝2，则公比q ＝( )A ．－12B ．－2C ．2D.12解析：a 6a 3＝q 3＝8，∴q ＝2. 答案：C2．若a 、b 为实数，则下面一定成立的是( ) A ．若a ＞b ，则a 4＞b 4B ．若|a |＞b ，则a 2＞b 2C ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2D ．若a ≠|b |，则a 2≠b 2解析：a ＞|b |⇔a 2＞b 2. 答案：C3．下列命题中正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B ．a >b ⇒a 2>b 2C ．a >b ⇒a 3>b 3D ．a 2>b 2⇒a >b解析：选项A 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以A 不正确；选项B 中，当a ＝0，b ＝－1时a >b ，但a 2<b 2，所以B 不正确；选项D 中，当a ＝－2，b ＝－1时，a 2>b 2，但a <b ，所以D 不正确．很明显C 正确． 答案：C4．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1·a 9＝16，则a 2·a 5·a 8的值为( ) A ．16 B ．32 C ．48D ．64解析：由等比数列的性质可得，a 1·a 9＝a 25＝16. ∵a n >0，∴a 5＝4，∴a 2·a 5·a 8＝a 35＝64，故选D. 答案：D5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：由已知得a 2＋c 2－b 2＝2ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0°<B <180°，所以B ＝45°. 答案：A6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9解析：∵{a n }是等差数列，∴a 4＋a 6＝2a 5＝－6，即a 5＝－3， ∴d ＝a 5－a 15－1＝－3＋114＝2，故{a n }是首项为－11的递增数列，所有的非正项之和最小．∵a 6＝－1，a 7＝1，∴当n ＝6时，S n 取得最小值． 答案：A7．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A.322B.332C.32D ．3 3解析：由BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A ，得cos A ＝12.∵A 为△ABC 的内角，∴A ＝π3，∴AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332. 答案：B8．如果关于x 的不等式5x2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是( ) A ．80≤a ＜125 B ．80＜a ＜125 C ．a ＜80D ．a ＞125解析：由5x2－a ≤0，得－a5≤x ≤a5.而5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，所以4≤a5＜5，所以80≤a ＜125.答案：A9．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：作出可行域．如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋1＝0，2x －y －3＝0，得A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋3m －1＋2m ，5－1＋2m .平移y ＝－x ，当其经过点A 时，x ＋y 取得最大值． 即1＋3m －1＋2m ＋5－1＋2m＝9，解得m ＝1.答案：C10．在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形D ．直角三角形解析：由已知，得cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2， 又|cos(A －B )|≤1，|sin(A ＋B )|≤1， 故cos(A －B )＝1且sin(A ＋B )＝1， 即A ＝B 且A ＋B ＝90°，故选C. 答案：C11．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1D.12解析：∵23＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤3. 由a x＝b y＝3得x ＝log a 3，y ＝log b 3，∴1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 33＝1.故选C. 答案：C12．数列{a n }中，a n ＞0且{a n a n ＋1}是公比为q (q ＞0)的等比数列，满足a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＋2＞a n ＋2a n＋3(n ∈N *)，则( )A ．0＜q ＜1＋22B ．0＜q ＜1＋52C ．0＜q ＜－1＋22D ．0＜q ＜－1＋52解析：∵{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列， ∴a n a n ＋1＝(a 1a 2)·q n －1，∴(a 1a 2)·qn －1＋(a 1a 2)·q n＞(a 1a 2)·qn ＋1，∴1＋q ＞q 2，∴q 2－q －1＜0， ∴0＜q ＜1＋52.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．不等式1x≤x 的解集是________．解析：1x ≤x 等价于x －1x≥0，即x 2－1x≥0，所以不等式的解集为{x |－1≤x <0或x ≥1}．答案：{x |－1≤x <0或x ≥1}14．等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝16，那么数列{a n }的前6项和S 6＝________. 解析：设公比为q ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1q 4＝16，解得a 1＝1，q ＝2， 所以S 6＝a 1－q 61－q＝1－261－2＝63. 答案：6315.如图，△ ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析：在△ABC 中，由余弦定理得：cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22·AC ·BC ＝4＋12－42×2×23＝32，∴∠C ＝30°.在△ADC 中由正弦定理，得AD sin C ＝ACsin ∠ADC，∴AD 12＝222.故AD ＝ 2. 答案： 216. 不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切x ∈R 恒成立， 即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1>0对一切x ∈R 恒成立． 若a ＋2＝0，显然不成立； 若a ＋2≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>016－a ＋a －⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >－2，16－a ＋a －⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >－2a <－3或a >2⇔a >2.答案：(2，＋∞)三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)△ABC 中，BC ＝7，AB ＝3，且sin C sin B ＝35.(1)求AC ； (2)求角A .解析：(1)由正弦定理，得AC sin B ＝ABsin C，∴AB AC ＝sin C sin B ＝35. ∴AC ＝5×33＝5.(2)由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋25－492×3×5＝－12.又0°<A <180°，∴A ＝120°.18．(12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求实数a ，b 的值；(2)当c >2时，解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解析：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1，a >0，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0， 即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }．19．(12分)设二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ∈N *)有两个实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1；(2)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列；(3)当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式．解析：(1)由根与系数的关系，得α＋β＝a n ＋1a n ，αβ＝1a n，代入6α－2αβ＋6β＝3，并化简，得a n ＋1＝12a n ＋13.(2)证明：因为a n ＋1＝12a n ＋13，所以a n ＋1－23＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n －23.因此，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是公比为12的等比数列．(3)当a 1＝76时，a 1－23＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是首项为12，公比为12的等比数列．所以a n －23＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，故a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.20.(12分)要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：cm)，能使整个矩形广告面积最小． 解析：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ， 则ab ＝20 000，所以b ＝20 000a，广告的高为(a ＋20)cm ，宽为(3b ＋30)cm(其中a >0，b >0)， 广告的面积S ＝(a ＋20)(3b ＋30)＝30(a ＋2b )＋60 600＝30⎝⎛⎭⎪⎫a ＋40 000a＋60 600 ≥30×2a ·40 000a＋60 600＝12 000＋60 600＝72 600. 当且仅当a ＝40 000a，即a ＝200时等号成立，此时b ＝100.故当广告矩形栏目的高为200 cm ，宽为100 cm 时，可使整个矩形广告的面积最小． 21．(13分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin 22C ＋sin 2C ·sin C ＋cos 2C ＝1，且a ＋b ＝5，c ＝7. (1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)∵sin 22C ＋sin 2C ·sin C ＋cos 2C ＝1， ∴4sin 2C ·cos 2C ＋2sin 2C ·cos C ＋1－2sin 2C ＝1， 即2sin 2C (2cos 2C ＋cos C －1)＝0. ∴2sin 2 C (2cos C －1)(cos C ＋1)＝0. ∵在△ABC 中，sin C ≠0，cos C ＞－1， ∴cos C ＝12，∴C ＝π3.(2)∵cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝a ＋b 2－c 2－2ab 2ab ＝12，∴25－72ab ＝32，∴ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.22．(13分)已知各项均为正数的数列{a n }，满足a 2n ＋1－a n ＋1a n －2a 2n ＝0(n ∈N *)，且a 1＝2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·log 12a n ，若b n 的前n 项和为S n ，求S n ；(3)在(2)的条件下，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值．解析：(1)∵a 2n ＋1－a n ＋1a n －2a 2n ＝0， ∴(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－2a n )＝0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ＋1＋a n >0， ∴a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，所以数列{a n }是以2为公比的等比数列． ∵a 1＝2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n.(2)由(1)及b n ＝a n log 12a n 得，b n ＝－n ·2n，∵S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，∴S n ＝－2－2·22－3·23－4·24－…－n ·2n①∴2S n ＝－22－2·23－3·24－4·25－…－(n －1)·2n －n ·2n ＋1②②－①得，S n ＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2n1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2.(3)要使S n ＋n ·2n ＋1>50成立，只需2n ＋1－2>50成立，即2n ＋1>52，∴使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值为5.。