幂函数的性质

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幂函数的性质

幂函数的性质幂函数是数学中常见的一种函数形式，由x的幂次和常数项构成。

幂函数的一般形式可以表示为f(x) = ax^n + b，其中a、n和b为常数，且n为正整数。

幂函数具有独特的性质，包括定义域、值域、奇偶性、单调性以及图像特点等，下面将详细探讨幂函数的各种性质。

一、定义域幂函数的定义域取决于幂指数n的奇偶性：当n为奇数时，幂函数的定义域为实数集；当n为偶数时，幂函数的定义域取决于系数a的正负性：- 若a>0，则幂函数的定义域为非负实数集，即x ≥ 0；- 若a<0，则幂函数的定义域为空集，即不存在实数使幂函数的结果为负数。

二、值域幂函数的值域也与幂指数n的奇偶性和系数a的正负性相关：当n为奇数时，幂函数的值域为全体实数；当n为偶数时，幂函数的值域取决于系数a的正负性：- 若a>0，则幂函数的值域为非负实数集，即f(x) ≥ 0；- 若a<0，则幂函数的值域在实数轴上存在最大值，即存在一个唯一的实数C使得f(x) ≤ C。

三、奇偶性幂函数的奇偶性由幂指数n来决定：当n为偶数时，幂函数为偶函数，即f(x) = f(-x)，图像关于y轴对称；当n为奇数时，幂函数为奇函数，即f(x) = -f(-x)，图像关于原点对称。

四、单调性幂函数的单调性与幂指数n的奇偶性和系数a的正负性相关：当n为正整数且n为奇数时，幂函数在整个定义域上单调递增或单调递减；当n为正整数且n为偶数时，幂函数在定义域上存在极值点，若系数a>0，则为单调递增，若系数a<0，则为单调递减。

五、图像特点幂函数的图像具有一些特点：当n为正整数时：- 当n为奇数时，幂函数的图像经过点(0, 0)且从第三象限经过第一象限，右上倾斜；- 当n为偶数时，幂函数的图像经过点(0, 0)，右侧在y轴上方且上升（a>0）或下降（a<0）。

综上所述，幂函数的性质主要包括定义域、值域、奇偶性、单调性以及图像特点。

(word完整版)幂函数的性质

教学过程：一、幂函数1．幂函数的定义⑴一般地，形如y x α=(x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数; ⑵11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，在中学里我们只研究α为有理数的情形； ⑶幂函数与一、二次函数，正、反比例函数及指、对数函数一样，都是基本初等函数. 2．幂函数的图像⑵归纳幂函数的性质：① 当0α>时:ⅰ)图象都过()()0,0,1,1点。

ⅱ）在第一象限内图象逐渐上升，都是增函数,且α越大，上升速度越快。

ⅲ）当1α>时，图象下凸；当01α<<时,图象上凸。

21x1-=x② 当0α<时：ⅰ)图象都过()1,1点。

ⅱ)在第一象限内图象逐渐下降,都是减函数，且α越小，下降速度越快。

思考1：如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象？思考2：如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象？例题讲解：例1 写出下列函数的定义域和奇偶性(1)4y x = (2）14y x = （3）3y x -= （4）2y x -=例2 比较下列各组中两个值的大小：（1）11662,3 ；（2)4314.3-与43-π;（3）35)88.0(-与53(0.89)-．思考：.比较下列各数的大小：(1)2333441.1,1.4,1.1； (2) 3338420.16,0.5,6.25.--例3 已知函数()()2212.m m f x m m x +-=+则当m 为何值时，()f x 是（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数？例4 已知函数画出23y x -=的大致图象。

⑴求其定义域、值域；⑵判断奇偶性和单调性；⑶画出23y x -=的大致图象。

二、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念对于函数y=f（x)，我们把使f(x）=0的实数x叫做函数y=f(x）的零点(zero point）。

方程f（x）=0有实数根函数y=f(x）的图象与x轴有交点函数y=f(x）有零点连续函数在某个区间上存在零点的判别方法:如果函数y=f（x)在区间［a，b]上的图象是连续不断一条曲线,并且有f(a）·f(b)〈0，那么，函数y=f（x）在区间(a，b)内有零点.即存在c∈（a,b)，使得f（c ）=0，这个c也就是方程f(x）=0的根。

幂函数知识点总结

幂函数知识点总结幂函数是数学中常见的一类函数，主要应用于数据分析和物理学中。

它有着独特的数学性质，并且能够解释一系列规律性的现象，因此在各个领域中都有着广泛的应用。

本文将综合介绍幂函数的基本性质、作用机制和表达方式，以及其在实际应用中的各种特性。

一、基本性质幂函数（Power Function）是一类函数，通常定义为 y=x^n，其中x为变量，n为常数。

它同样也是一种一元函数，因为它只有一个变量X，表示函数值由变量X决定。

二、作用机制幂函数的作用机制主要体现在它的图象与数轴上。

因为x的增大会使得y的值也会加大，所以函数的图象通常是一条上凸的曲线。

这条曲线在原点处发散无限，而且具有明显的拐点，即抛物线的最高点。

此外，幂函数的作用机制还表现出了其“加速增长”的性质。

从图象上看，在抛物线最高点处，x增大时，y值会比较稳定，但是在x值增大之后，y值会变化得越来越快，这也是函数的最显著特征。

三、表达方式幂函数的表达方式很简单，一般情况下，以n来表示其幂的值，并且幂的值可以是整数、实数或负数，但必须保证x的值不等于0，这里说明由于x不等于0才有意义，因为若x等于0时，n为任意值，y都等于0.例如：y=x^2，即平方函数，n=2；y=x^3，即立方函数，n=3；y=x^2，即倒数平方函数，n=2.四、实际应用1、数据分析：幂函数在数据分析中应用十分广泛，其特有的“加速增长”性质，让数据分析者能够以规律的路径追求特定的结果。

例如，可以利用幂函数进行回归分析，以拟合给定数据；此外，可以利用幂函数构建概率模型，更好地研究联系型数据间的关系；2、物理学：幂函数在物理学中也有着广泛应用，可以用来模拟夸克的衰变过程，更好地理解物质的衰变规律；另外，也可以利用幂函数，研究物体受力的加速度变化，以及质量变化对物体运动的影响等。

综上所述，幂函数是一类重要的函数，它的基本性质、作用机制和表达方式构成了幂函数的基本框架，而在实际应用中，幂函数又有着广泛的用途，能够用于数据分析和物理学等领域，从而帮助人们更好地理解客观事物的变化规律。

幂函数的图像与性质表格

幂函数的图像与性质表格幂函数的图像：
幂函数的性质：
一、正值性质
当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：
a、图像都经过点（1,1）（0,0）。

b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数。

c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0。

二、负值性质
当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：
a、图像都通过点（1,1）。

b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。

利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。

其余偶函数亦是如此）。

c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

三、零值性质
当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：
a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。

它的图像不是直线。

幂函数的单调区间
当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

当α为分数时（且分子为1），α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：
①当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增。

②当α>0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递增。

③当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减。

④当α<0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

幂函数与指数函数的性质

幂函数与指数函数的性质幂函数和指数函数是数学中常见的函数类型，它们在各个领域中都有广泛的应用。

本文将介绍幂函数和指数函数的性质，包括定义、图像、增减性、奇偶性等方面。

一、幂函数的性质幂函数的一般形式为y = x^a，其中x为自变量，a为常数。

1. 幂函数的定义域幂函数的定义域是所有使x^a有意义的实数x的集合。

根据x^a的定义，当x为负数时，a的值不能是分数或为奇数的负整数，否则会出现无意义的数学运算。

2. 幂函数的图像特点幂函数的图像特点取决于幂指数a的值。

当a为正数时，幂函数的图像在坐标系中从左下方无限趋近于x轴上方；当a为负数时，图像则从左上方无限趋近于x轴下方；当a为零时，图像为常函数y=1。

3. 幂函数的增减性对于幂函数y = x^a，当a为正数时，随着x的增大，y也随之增大，即幂函数是递增的；当a为负数时，随着x的增大，y反而减小，即幂函数是递减的。

当a为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称，即为偶函数；当a为奇数时，幂函数的图像关于原点对称，即为奇函数。

二、指数函数的性质指数函数的一般形式为y = a^x，其中a为常数，x为自变量。

1. 指数函数的定义域指数函数的定义域是所有实数x。

2. 指数函数的图像特点指数函数的图像特点取决于底数a的值。

当a大于1时，指数函数的图像在坐标系中以点(0,1)为起点，随着x的增大而无限趋近于正无穷；当0<a<1时，图像则在坐标系中从点(0,1)向右无限延伸，逐渐接近x轴。

当a为1时，指数函数为常函数y=1。

3. 指数函数的增减性对于指数函数y = a^x，当底数a大于1时，随着x的增大，y也随之增大，即指数函数是递增的；当0<a<1时，随着x的增大，y反而减小，即指数函数是递减的。

指数函数没有奇偶性的特点。

综上所述，幂函数和指数函数在定义域、图像特点、增减性、奇偶性等方面都有一些共同点和区别。

它们的性质对于解决实际问题和理解数学概念都具有重要意义。

高中数学必修1幂函数的基本性质

高中数学必修1幂函数的基本性质幂函数是数学中一种常见的函数类型，它的表达式形式为 $y = x^a$，其中 $x$ 是自变量，$a$ 是常量指数。

幂函数的基本性质有以下几个方面：1. 定义域和值域对于幂函数 $y = x^a$，当指数 $a$ 是有理数时，定义域为正实数集，即 $x > 0$；当指数 $a$ 是整数时，定义域为实数集；当指数 $a$ 是负有理数时，定义域为整个实数集。

其中，当指数 $a$ 是正偶数时，值域为正实数集，$y > 0$；当指数 $a$ 是正奇数时，值域为整个实数集；当指数 $a$ 是负偶数时，值域为正实数集，$y > 0$；当指数 $a$ 是负奇数时，值域为负实数集，$y < 0$。

2. 奇偶性对于幂函数 $y = x^a$，当指数 $a$ 是偶数时，函数为偶函数，即 $f(-x) = f(x)$；当指数 $a$ 是奇数时，函数为奇函数，即 $f(-x) = -f(x)$。

3. 单调性当指数 $a$ 是正数时，幂函数是递增函数，即 $a > 0, x_1 <x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$；当指数 $a$ 是负数时，幂函数是递减函数，即 $a < 0, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$。

4. 极值点和拐点当指数 $a$ 是正数时，幂函数不具有极值点和拐点；当指数$a$ 是负数时，幂函数具有极值点和拐点。

具体的极值点和拐点的位置需要根据具体的指数和函数图像来判断。

以上是关于高中数学必修1幂函数的基本性质的简要介绍。

幂函数作为数学中常见的函数类型，在数学的应用中具有重要的作用。

幂函数高考知识点总结

幂函数高考知识点总结幂函数是高中数学中非常重要的一部分内容，也是高考中经常出现的知识点之一。

幂函数在数学中具有广泛的应用，不仅仅体现在纵坐标的数值关系上，更是涉及到图像特征、函数性质以及解题方法等方面。

下面我将对幂函数的相关知识进行总结和梳理，希望对大家复习和备考有所帮助。

1、幂函数的定义和性质幂函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^b，其中a和b是常数，而x是变量。

其中，a称为幂函数的系数，b称为幂函数的指数。

幂函数的定义域由指数b的正负决定，若b为正整数，则定义域是全体实数；若b为负整数，则定义域是x ≠ 0的一切实数；若b为0，则幂函数的定义域是x > 0的一切实数。

当只考虑幂函数f(x)在正数定义域上的取值时，幂函数的图像可以分为两种情况：当a > 1时，图像呈现递增趋势；当0 < a < 1时，图像则呈现递减趋势。

2、幂函数的图像特征通过观察幂函数的图像，我们可以得出一些重要的结论。

首先，当幂函数的系数a为正数时，图像都经过第一象限的点(1, a)。

其次，当幂函数的指数b为奇数时，幂函数的图像对称于y轴；当幂函数的指数b为偶数时，幂函数的图像具有原点对称性。

除此之外，我们还可以通过改变系数a和指数b的值，来改变幂函数图像的特征，如峰值的高低、函数图像的陡峭程度等。

3、幂函数的运算与应用幂函数的求导是高中数学中的重要内容之一。

对于幂函数f(x) =ax^b，其中a为常数，b为实数，我们可以通过求导的方法来确定幂函数的导函数形式。

具体来说，当指数为整数时，我们可以利用幂函数的定义进行求导；当指数为实数且不为整数时，我们则需要利用对数函数的性质来求导。

此外，由于幂函数具有多种性质和特点，在解决实际问题时也能够提供很多启示和方法。

4、幂函数的解题技巧和例题分析在高考中，幂函数常常出现在各种数学题目中，因此熟练掌握幂函数的解题方法是非常重要的。

对于幂函数的解题技巧，我们可以利用以下几点进行分析和总结：首先，要熟悉幂函数的性质和特点，了解其图像形态和函数性质；其次，要能够根据题目给出的条件和要求，建立幂函数方程或不等式；最后，要善于运用数学方法和思维工具，进行合理的推导和计算。

幂函数图像及性质知识点总结(最新)

幂函数图像及性质知识点总结
一、幂函数图像及性质
1、正值性质
当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：
（1）图像都经过点（1,1）（0,0）；
（2）函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；
（3）在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0。

2、负值性质
当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：
（1）图像都通过点（1,1）；
（2）图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。

利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。

其余偶函数亦是如此）。

（3）在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

3、零值性质
当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：
1、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。

它的图像不是直线。

二、什么是幂函数
幂函数属于基本初等函数之一，一般y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。

例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。

【幂函数图像及性质知识点总结】
1。

幂函数的图像与性质

幂函数的图像与性质幂函数是一类常见的数学函数，它的表达形式为y = x^n，其中x是自变量，n是常数指数。

在本文中，我们将探讨幂函数的图像以及它的一些基本性质。

一、幂函数图像的特点幂函数的图像是由指数n的不同取值而呈现出多种形态。

下面我们将分别讨论指数为正偶数、正奇数、负偶数和负奇数时的情况。

1. 指数为正偶数时（n > 0且n为偶数）当指数为正偶数时，幂函数的图像呈现出关于y轴对称的特点。

以y = x^2为例，当x取正负值时，y值都为正，且当x取0时，y值为0。

图像在原点处有一个最小值点，随着x的逐渐增大或减小，y也逐渐增大，但增长速度逐渐减慢。

2. 指数为正奇数时（n > 0且n为奇数）当指数为正奇数时，幂函数的图像呈现出关于原点对称的特点。

以y = x^3为例，当x取正值时，y值为正；当x取负值时，y值为负。

图像在原点处有一个零点，当x逐渐增大或减小时，y也随之增大或减小，但增长速度较快。

3. 指数为负偶数时（n < 0且n为偶数）当指数为负偶数时，幂函数的图像呈现出关于x轴对称的特点。

以y = x^-2为例，当x取正值时，y值小于1；当x取0时，y值无定义；当x取负值时，y值同样小于1。

图像在x轴上有一个渐近线y=0，当x逐渐增大或减小时，y的绝对值逐渐减小。

4. 指数为负奇数时（n < 0且n为奇数）当指数为负奇数时，幂函数的图像呈现出关于原点对称的特点。

以y = x^-3为例，当x取正值时，y值大于1；当x取负值时，y值小于-1。

图像在原点处有一个零点，当x逐渐增大或减小时，y的绝对值逐渐增大。

二、幂函数的基本性质除了图像的特点，幂函数还有一些其他的基本性质。

下面我们将介绍其中的两个重要性质。

1. 幂函数的增减性根据幂函数的指数正负，我们可以判断幂函数的增减性。

当指数为正时，幂函数是递增函数，随着自变量的增大，函数值也随之增大；当指数为负时，幂函数是递减函数，随着自变量的增大，函数值却减小。

幂函数的性质理解

幂函数的性质理解想要真正的理解幂函数的性质，首先需要了解幂函数的定义：形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

在这里我们可以看到，X是自变量，a为常数，在上面的概念里，自变量X的系数为1。

在初等函数中，我们只研究幂函数中的a为有理数的情况，而a为无理数的情况我们目前不做探讨。

幂函数有以下几个性质：一、幂函数在区间（0，+∞）中都有定义，而且幂函数的图像都通过坐标系（1,1）这一点。

二、当幂函数中a>0时，那么，幂函数的图像必会经过坐标系的(0,0)点，并且在零到正无穷的区间上是增函数。

三、当幂函数中a<0时，那么，在零到正无穷的区间上此幂函数的图像是减函数。

四、当幂函数中a=0时，那么，图像为直线Y=1去掉（0,1）这一点。

我们再来看看在第一象限内幂函数的性质在第一象限内，当幂函数中的a>0时，幂函数的图像必须会经过（0,0）（0,1）两个点，并且函数的值将伴随着变量X的增大而增大。

在第一象限内，当幂函数中的a<0时，幂函数的图像必须会经过（1,1）一点，而且函数的值将伴随着变量X的增大而减小；图像向上方与Y轴无限接近，图像向右方与X轴无限接近。

在理解幂函数的性质过程中不妨直观感受一下幂函数图像在a取不同值时的变化。

当a≤-1时，如果函数在第一象限和第三象限为减函数，那么a为奇数；如果函数第二象限为增函数，那么a为偶数。

当a≥1时，如果a是奇数，那么函数就是奇函数；如果a是偶数，那么函数就是偶函数。

当0<a<1时，函数为增函数。

在对幂函数的性质理解上，最好是通过一些具体的实例作为研究对象，这样可以直观的通过图像的变化去摸清规律，通过这些变化的规律去思考性质，这是最科学的学习方法。

幂函数的图像及性质

幂函数的图像及性质
【幂函数的图像】
在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＝x3，y＝ x
1 2
，y＝x－1的图象
分别如下图.
幂函数的图像及性质
【典型例题】
1(1、)判已断知f(f(xx))在＝(0，x2 2 ＋，∞)上的单调性并证明； (2)当x∈[1，＋∞)时，求f(x)的最大值.
幂函数的图像及性质
【变形训练】
故所求幂函数为y＝x－3.这个函数是奇函数，其定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，根据函数在 x∈(0，＋∞)上为减函数，推知函数在(－∞，0)上也为减函数.
x∈(－∞，0]
时，减
(0,0)，(1,1)
x∈(0，＋ ∞) 时，减 x∈(－∞， 0) 时，减
(1,1)
幂函数的图像及性质
【幂函数的性质】
提示：幂函数y＝xα(α∈R)随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不同．但它们的图象均不经过第四象限，在其他象限的图象可由定义域和奇偶性决定.
(2)由(1)知，f(x)的单调减区间为(0，＋∞)， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上的最大值为f(1)＝2.
幂函数的图像及性质
【典型例题】
2、已知幂函数y=xp-3 (p∈N*）的图象关于y轴对称，且p在(0，＋∞)上p 是减函数，求满足
(a1)3 (32a)3 的a的取值范围．
知识点——
幂函数的图像及性质
幂函数的图像及性质
【幂函数的性质】
函数 y=x
y=x2
性质
定义域 R
R
值域
R
[0，＋∞)

幂函数图像及性质总结

幂函数图像及性质总结幂函数是一种常见的函数形式，表示为 $ f(x) = ax^b $，其中a和b是实数常数，且b不等于零。

在本文中，我们将探讨幂函数的图像和性质，帮助读者更好地理解幂函数在数学中的应用和意义。

幂函数的图像特征幂函数的图像一般呈现为一条曲线，其形状取决于幂函数中的指数b的正负性和大小。

当b>0时，幂函数的图像在第一象限中从左向右递增；当b<0时，幂函数的图像在第一象限中从左向右递减。

若b为偶数，则幂函数的图像在第一和第三象限中均为非负，且在原点处取得最小值；若b为奇数，则幂函数的图像在第一、第三象限中一正一负，且在原点处有切线。

幂函数的性质总结1.定义域和值域：幂函数的定义域为全体实数集 $ \mathbb{R} $，值域取决于指数b的正负性。

2.奇偶性：当指数 $ b $ 为偶数时，幂函数是偶函数；当指数 $ b $ 为奇数时，幂函数是奇函数。

3.对称性：如果 $ b $ 为偶数，则幂函数关于y轴对称；如果 $ b $ 为奇数，则幂函数关于原点对称。

4.增减性：当 $ b > 0 $ 时，幂函数在定义域上递增；当 $ b < 0 $ 时，幂函数在定义域上递减。

5.极值点和拐点：幂函数的极值点和拐点通常出现在指数b为偶数的情况下。

6.与常函数的比较：当幂函数的指数b大于1时，其增长速度快于常函数；当指数b在 0 到 1 之间时，其增长速度为常函数；当指数b为负时，其绝对值小于 1 时，其增长速度慢于常函数。

结语通过以上对幂函数图像及性质的总结，我们可以更深入地理解幂函数在数学中的重要性和应用。

幂函数在数学建模、物理学等领域有着广泛的应用，希望本文能够帮助读者更好地理解幂函数的概念和特性。

幂函数与指数函数的性质

幂函数与指数函数的性质在数学中，幂函数和指数函数是两种常见的函数类型，它们在各自的领域中具有独特的性质和特点。

本文将介绍幂函数和指数函数的定义、图像特征、性质以及它们在解决实际问题中的应用。

一、幂函数的性质幂函数是指具有形如f(x)=ax^n的函数，其中a和n为常数，n通常为整数。

幂函数的性质如下：1. 定义域：幂函数的定义域为实数集。

2. 幂函数的图像特征：当n为偶数时，a>0时，幂函数的图像在整个定义域上为上升的U形曲线；当a<0时，图像在整个定义域上为下降的倒U形曲线。

当n为奇数时，无论a的正负，幂函数的图像都会穿过原点，并在第一象限和第三象限上升或下降。

3. 奇偶性：当n为偶数时，幂函数是偶函数，即满足f(x)=f(-x)；当n为奇数时，幂函数是奇函数，即满足f(x)=-f(-x)。

4. 零点：当a>0时，幂函数不存在零点；当a<0时，幂函数的零点为x=0。

5. 极限：当n>0时，当x趋近于无穷大或负无穷大时，幂函数的极限也趋近于无穷大或负无穷大；当n<0时，当x趋近于无穷大或负无穷大时，幂函数的极限趋近于0。

二、指数函数的性质指数函数是以一个固定的实数为底数，自变量为指数的函数，表示为f(x)=a^x，其中a为底数，a>0且a≠1。

指数函数的性质如下：1. 定义域：指数函数的定义域为实数集。

2. 指数函数的图像特征：当0<a<1时，指数函数的图像在整个定义域上为下降曲线；当a>1时，图像在整个定义域上为上升曲线。

3. 奇偶性：指数函数没有奇偶性，即不满足奇函数或偶函数的性质。

4. 零点：指数函数不存在零点，因为指数函数的取值范围始终大于0。

5. 极限：当x趋近于无穷大时，指数函数的极限趋近于无穷大；当x趋近于负无穷大时，指数函数的极限趋近于0。

三、幂函数与指数函数的应用幂函数和指数函数在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用举例：1. 金融领域：指数函数常用于计算复利问题，比如计算存款在多年后的本息总额。

幂函数和根函数的象和性质

幂函数和根函数的象和性质幂函数是指数函数的特殊形式，而根函数则是幂函数的逆运算。

它们是数学中一个重要的函数类型，具有一些特殊的性质和象。

本文将就幂函数和根函数的象和性质进行详细的讲解。

一、幂函数的象和性质幂函数的一般形式为 f(x) = x^a，其中 a 是实数。

幂函数的定义域可以是整个实数集，而值域则取决于指数 a 的奇偶性。

1. 当 a 是正整数时，幂函数的值域为正实数集。

例如，f(x) = x^2 是一个以原点为顶点的抛物线，它的象是大于等于零的所有实数。

2. 当 a 是负整数时，幂函数的值域为正实数集的倒数。

例如，f(x) = x^(-1) 是一个双曲线，它的象是所有不等于零的实数。

3. 当 a 是零时，幂函数变为常数函数 f(x) = 1，其象为常数 1。

4. 当 a 是分数时，幂函数的值域可以是整个实数集。

例如，f(x) = x^(1/2) 是一个以原点为顶点的开口向上的抛物线，它的象是大于等于零的所有实数。

幂函数具有以下性质：1. 幂函数是单调递增的，当 a 是正数时，函数的增长速度更快；当a 是负数时，函数的增长速度越来越慢。

2. 幂函数在 x = 0 处一般是不连续的，当 a 是正数时，零的左侧没有定义；当 a 是负数时，零的右侧没有定义。

3. 幂函数的图像关于 y 轴对称，即 f(x) = f(-x)。

二、根函数的象和性质根函数的一般形式为f(x) = √x，其中 x 是非负实数。

根函数的定义域是非负实数的集合，值域则取决于根指数的奇偶性。

1. 当根指数是奇数时，根函数的象是非负实数集。

例如，f(x) = √x 是一个以原点为顶点的开口向上的抛物线，它的象是大于等于零的所有实数。

2. 当根指数是偶数时，根函数的象是非负实数集的零点。

例如，f(x) = √(x^2) 是一条以原点为对称轴的折线，它的象是大于等于零的所有实数。

根函数的主要性质包括：1. 根函数是单调递增的，且具有一次连续性。

幂函数的性质

课堂小结
幂函数的性质：
1、幂函数在(0,+∞)都有定义;幂函数在第一象限均有图像，第四象限没有图像 2、当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
4、所有幂函数的图象都通过点(1,1);
课堂检测
1下列哪些说法是正确的？
布置作业
A组（必做）
教材71页练习4.1.3 B组（选做）学案98页A组第1、2题
2 1 1 2 3 4 5 6x
奇偶性
奇增
-1 -2
-3 -4
单调性
-5
-6
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
探究新知
y
6
5 4
3
定义域
R
R
-5 -4 -3 -2 -1
2 1 1 2 3 4 5 6x
奇偶性
奇增
偶
-1 -2
-3 -4
单调性
-5
-6
探究新知
-2 -8 -1 -1 0 0 1 1 2 y
R
R
R
［0,+∞) 非奇非偶增
-5 -4 -3 -2 -1
1 1 -1 -2 2 3 4
5
6x
奇偶性
奇增
偶
奇
奇 x∈(0,+∞)时,减 x∈(-∞,0)时,减
单调性
增
-3 -4
-5 -6
探究新知
y
6
5 4
3
2 奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
-5 -4 -3 -2 -1
1 1 -1 2 3 4 5 6x
单调性
增
增

幂函数与根函数的定义与性质

幂函数与根函数的定义与性质幂函数和根函数是高中数学中常见的函数类型，它们在数学和实际问题中有广泛的应用。

本文将重点讨论幂函数和根函数的定义和性质，并通过例子来进一步说明它们的特点和使用。

一、幂函数的定义与性质幂函数是指形如$f(x) = x^a$的函数，其中$a$为常数。

幂函数的定义域为实数集，当$a$为正数时，幂函数在定义域上是递增的；当$a$为负数时，幂函数在定义域上是递减的。

当$a$为0时，幂函数在定义域上恒为1，即$f(x) = 1$。

幂函数的性质如下：1. 幂函数的图像与参数$a$的取值有关。

当$a>1$时，幂函数的图像呈现出增长迅速的特点，图像向上开口；当$0<a<1$时，幂函数的图像呈现出增长缓慢的特点，图像向下开口。

2. 幂函数在$x=0$处通常有一个特殊点。

当$a>0$时，幂函数在$x=0$处的值为0；当$a<0$时，并不存在$x=0$处的点。

3. 幂函数可以通过变换（平移、伸缩）来得到新的函数。

如$f(x) =2x^3$，在幂函数$x^3$的基础上，将所有点的横坐标伸缩为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标伸缩为原来的2倍。

4. 幂函数的零点和极限。

当$a>0$时，幂函数的零点只有$x=0$；当$a<0$时，幂函数没有零点。

当$x$趋近于正无穷大时，幂函数的值趋近于正无穷大；当$x$趋近于负无穷大时，幂函数的值趋近于0。

例子1：考虑幂函数$f(x) = x^2$，它的图像呈现出开口向上的抛物线形状。

对于任意正数$x_1$和$x_2$，若$x_1 > x_2$，则$f(x_1) >f(x_2)$，说明该幂函数是递增的。

在$x=0$处，该幂函数取到最小值0。

当$x$趋近于正无穷大时，$f(x)$也趋近于正无穷大。

二、根函数的定义与性质根函数是指形如$f(x) = \sqrt[a]{x}$的函数，其中$a$为正整数且$a\geq 2$。

幂函数图像的性质定义_幂函数的解析式_幂函数的单调性和奇偶性

幂函数•冥函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。

幂函数的解析式：y=xα幂函数的图像：•幂函数图像的性质：所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。

幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。

幂函数的单调性和奇偶性：对于幂函数（a∈R)．(1)单调性当a>0时，函数在第一象限内是增函数；当a<0时，函数在第一象限内是减函数．(2)奇偶性①当a为整数时，若a为偶数，则是偶函数；若a为奇数，则是奇函数。

②当n为分数，即（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，为奇函数；分子p为偶数时，为偶函数，若分母q为偶数，则为非奇非偶函数．。