2016-2017学年山东省德州市高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2016-2017学年山东省德州市高二下学期期末考试数学（文）
试题
一、选择题
1．已知{}
2
|430 A x x x =-+≥， B Z =，则R B C A ⋂= ( )
A. ∅
B. {}1,2,3
C. {}2
D. ()1,3 【答案】C
【解析】{}
2
|430 {|31}A x x x x x x =-+≥=≥≤或.
{|13}R C A x x =<<.
B Z =.
{}2R B C A ⋂=.
故选C.
2．设i 是虚数单位，若21z
i i
=+-，则复数z 的共轭复数是( ) A. 2i + B. 3i + C. 3i - D. 1i +
【答案】B
【解析】由21z
i i
=+-，得()()212213z i i i i i =+-=-++=- 复数z 的共轭复数是3i +.
故选B. 3．函数()()
1
ln 12f x x =
-的定义域为( )
A. 1,2⎛
⎫
-∞-
⎪⎝⎭
B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. ()(),00,-∞⋃+∞
D. ()1,00,2⎛⎫
-∞⋃ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】函数()()
1
ln 12f x x =
-有意义，
可得1−2x >0,且ln(1−2x )≠0， 解得x <
1
2
且x ≠0， 即有定义域为(−∞,0)∪(0, 12
). 故选：D.
4．用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程31x ax b
e ++=至少有一个实根”时，要做
的假设是( )
A. 方程3
1x ax b
e ++=没有实根 B. 方程3
1x
ax b
e ++=至多有一个实根
C. 方程3
1x
ax b
e ++=至多有两个实根 D. 方程3
1x ax b e ++=恰好有两个实根
【答案】A
【解析】反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，
∴用反证法证明命题“设为实数,则方程3
1x ax b e ++=至少有一个实根”时， 要做的假设是：方程3
1x ax b e ++=没有实根。

本题选择A 选项.
5．下列命题中错误的是( )
A. 命题“[]0,1x ∃∈，使210x -≥”的否定为“[]
0,1x ∀∈，都有210x -<” B. 若命题p 为假命题，命题q 为真命题，则()()p q ⌝∨⌝为真命题 C. 命题“若,x y 均为奇数，则x y +为奇数”及它的逆命题均为假命题
D. 命题“若220x x +=，则0x =或2x =”的逆否命题为“若0x ≠或2x ≠，则
220x x +≠”
【答案】D
【解析】对于A ，命题“[]
0,1x ∃∈，使2
10x -≥”的否定为“[]
0,1x ∀∈，都有
210x -<”正确；
对于B ，若命题p 为假命题，则p ⌝为真命题，命题q 为真命题，则q ⌝为假命题，则
()()p q ⌝∨⌝为真命题，正确；
对于C ，命题“若,x y 均为奇数，则x y +为奇数”及它的逆命题：“若x y +为奇数，则,x y 均为奇数”为假命题，故正确；
对于D ，命题“若2
20x x +=，则0x =或2x =”的逆否命题为“若0x ≠且2x ≠，
则2
20x x +≠”不正确；
故选D.
6．函数()()22
ln 1f x x x
=+-
的零点所在的大致区间为( ) A. ()0,1 B. ()1,2 C. ()2,3 D. ()3,4 【答案】B 【
解
析
】
()()2
2ln 1f x x x =+-
在
()
0,∞+函数单增，且
()()11ln220,2ln302
f f =-=-
. 所以函数()()2
2
ln 1f x x x =+-
的零点所在的大致区间为()1,2.
7．已知3
4
35a -
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭， 16
log 27b =， 21log 5c =，则,,a b c 的大小关系为( )
A. a b c >>
B. a c b >>
C. c b a >>
D. b c a >> 【答案】A 【解析】34
126
31
0log 272?log 55a b c -
⎛⎫=>>=>->= ⎪
⎝⎭
,故a b c >>.
故选A.
8．某实验员在培养皿中滴入了含有10个某种真菌的实验液，经1小时培养真菌数目繁殖为原来的2倍，经测量知该真菌的繁殖规律为10y e λ=，其中λ为常数， t 表示时间(单位：小时)， y 表示真菌个数，经过8小时培养，真菌能达到的个数为( ) A. 640 B. 1280 C. 2560 D. 5120 【答案】C
【解析】原来的细菌数为10，
由题意可得,在函数10y e λ=中，当t =1时，y =20， ∴20=10e λ即e λ=2， y =1010t e λ=10⋅2t
若t =8,则可得此时的细菌数为y =10×28=2560， 故选：C.
9．为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下22⨯列联表：
附：
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++参照附录，得到的正确结论是( )
A. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B. 在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
C. 有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
D. 有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
【
解
析
】
经
计算
()
()()()()
()2
2
210045153010 3.030 2.70655457525
n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯=
=
≈>++++⨯⨯⨯，
参照附表，得到的正确结论是有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”。

本题选择D 选项.
点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．
10．已知()2
1cos 4
f x x x =+， ()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图象是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于()2
1cos 4
f x x x =+， ∴()1
'2
f x x sinx =
-， ∴()()''f x f x -=-,故()'f x 为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD ， 又当2
x π
=
时, '102424f sin ππ
ππ⎛⎫=-=-<
⎪⎝⎭
，排除C ，只有A 适合， 故选：A.
点睛：判断函数图象一般是研究函数的性质，一般有：奇偶性，单调性，极限值，端点值或是特殊点.
11．已知()12x
f x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， ()()2
ln 1g x x =+，若[]12,1x ∀∈--， []20,1x ∃∈，
使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是( )
A. (],4-∞
B. (],2-∞
C. (],2ln2-∞-
D. (]
,4ln2-∞- 【答案】B
【解析】要使命题成立需满足()()12min min f x g x ≥，
函数()()2
ln 1g x x =+在[]
0,1上是增函数,所以()()200min g x g ==，
函数()12x
f x m ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
在[]2,1--上是减函数,所以()()112min f x f m =-=-，
∴20m -≥， ∴2m ≤. 故选B.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若
()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最
值，最终转化为()min 0
f x > ，若()0
f x <恒成立
()max 0f x ⇔<；
（3）若
()()
f x
g x
> 恒成立，可转化为
()()min max
f x
g x > .
12．()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时， ()
()()2
1'20x f x xf x ++<，且
()20f =，则不等式()0f x <的解集是( )
A.
()(),22,-∞-⋃+∞
B.
()()2,00,2-⋃
C.
()()2,02,-⋃+∞
D.
()(),20,2-∞-⋃
【答案】C
【解析】构造函数()()
()21g x x f x =+，则()()
()2
'1'g x x f x =+. 又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()
()2
1g x x f x =+为奇函数，
且当0x >时， ()()
()()2
'1'20g x x f x xf x =++<， ()g x 在()0,+∞上函数单减，
()()0?0f x g x <⇔<.
又()20g =，所以有()0f x <的解集()()2,02,-⋃+∞.
故选C.
点睛：本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则及构造函数解不等式，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”以构造恰当的函数；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造合适的函数。

二、填空题
13．计算： 2log 33355log 4log 436
+-=__________． 【答案】11
【解析】2222log 32log 3log 333335
55
4log 4log log 2log 9229115436
36
+-=+=+=+=.
14．我们知道：在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式
为
d =
，通过类比的方法，可求得：在空间中，点()0,1,1-到平面
2230x y z +++=的距离为__________．
【答案】1
【解析】类比点P ()00,x y 到直线0Ax By C ++=
的距离为d =−，
可知在空间中，
点()0,1,1-到直线2230x y z +++=的距离
313
d ==
=. 故答案为：1.
15．已知直线l 过点()1,1P ，且与曲线3y x =在点P 处的切线互相垂直，则直线l 的方程为__________．(写成一般式方程) 【答案】340x y +-=
【解析】设曲线3
y x =在点P (1,1)处的切线斜率为k ，则()'13k f ==
因为直线直线l 与曲线3
y x =在点P (1,1)处的切线互相垂直 所以l k ×3=−1即13
l k =-. 直线l ： ()1
113
y x -=-
-，整理得： 340x y +-=. 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点()00,P x y 及斜率，其求法为：设()00,P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为： ()()000'y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点()()
00,P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．
16．如果对定义在区间D 上的函数()f x ，对区间D 内任意两个不相等的实数12,x x ，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为区间D 上的“H 函数”，给出下列函数及函数对应的区间：
①()()32111,322f x x x x x R =
-+∈；②()3cos sin ,0,2f x x x x x π⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭
； ③()()()1,,1x
f x x e x -=+∈-∞；④()1ln ,0,f x x x x e ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭
，以上函数为区间D 上的“H 函数”的序号是__________．(写出所有正确的序号)
【答案】①②
【解析】∵对于任意给定的不等实数
x 1，x 2，不等式
()()()()11
2
21221
x f x x f x x f x x f x +>+恒成立， ∴不等式等价为（x 1-x 2）[f （x 1）-f （x 2）]>0恒成立， 即函数f （x ）是定义在R 上的增函数，
①()()32111,322f x x x x x R =-+∈, ()21
'02f x x x =-+>，函数递增，
②
()3,0,2f x x cosx sinx x π⎛⎫
=+-∈ ⎪
⎝⎭
，
()
'3sin cos 304f x x x x π⎛
⎫=--=+> ⎪⎝
⎭，函数递增，
③()()()1,,1x f x x e x -=+∈-∞， ()2
'x x f x e
+=
， 显然函数在（-∞，-2）递增，在（-2，1）递减，
④()1,0,f x xlnx x e ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭，
'ln 10f x x =+<（），函数递减，
故答案为：①②．
点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x )>0（或f′(x )<0）仅是f (x )在某个区间上递增（或递减）的充分条件。

在区间（a ,b ）内可导的函数f (x )在（a ,b ）上递增（或递减）的充要条件应是f ′(x )≥0或f′(x )≤0恒成立，且f′(x )在（a ,b ）的任意子区间内都不恒等于0。

这就是说，函数f (x )在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f′(x 0)=0.
三、解答题
17．已知复数()
()22431
233
a a z a a i a R a --=
++-∈+. (1)若z z =，求a ；
(2) a 取什么值时， z 是纯虚数. 【答案】(1) 1a =;(2) 14
a =-. 【解析】试题分析：
(1)由题意得到关于实数a 的方程组，求解方程组可得1a =;
(2)z 为纯虚数，则实部为0，虚部不为零，据此可得1
4
a =-.
试题解析： (1) 2
30
{
230a a a +≠+-=， 解得3{
31
a a a ≠-=-=或，
所以1a =.
(2) 2230
{4310 230
a a a a a +≠--=+-≠，
解得3
1
{1 4
13a a a a a ≠-==-≠≠-或且，
所以1
4
a =-.
18．已知集合(
){
}
2
|lg 56 A x y x x ==-++，集合{}
22
|440,0 B x x x a a =-+-≥>.
命题:p x A ∈，命题:q x B ∈.
(1)若A B ⋂≠∅，求a 的取值范围；
(2)若q ⌝是p 的充分条件，求a 的取值范围. 【答案】（1）()0,4；（2）(]
0,3.
【解析】试题分析：（1）分别求函数()
2l g 56y x x =-++的定义域和不等式
22440x x a -+-≥（a>0）的解集化简集合A ，由A B ⋂≠∅得到区间端点值之间的
关系，解不等式组得到a 的取值范围； （2）求出¬p 对应的x 的取值范围，由¬p 是q 的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解a 的范围． 试题解析：
(1) ()
{}{
}
2
|lg 56 |1 6 A x y x x x x ==-++=-<<；
{}
{}22|440,0 |22 B x x x a a x x a x a =-+-≥>=≥+≤-或；
若A B ⋂≠∅，则必须满足26a +<或21a ->-，解得4a <； 所以a 的取值范围是()0,4. (2) :22q a x a ⌝-<<+， ∵q ⌝是p 的充分条件，
∴{}|22 x x x a -<<+是{}|1 6 x x -<<的子集，
则26{
21
a a +≤-≥-，
解得3a ≤.
∴a 的取值范围为(]
0,3.
19．已知二次函数()()2
0f x ax bx c a =++≠满足条件()()11f x f x -=+，
()20f =，且()f x 的图象与直线y x =恰有一个公共点.
(1)求()f x 的解析式；
(2)设()()26g x f x x =++，是否存在实数m ，使得函数()g x 在区间[]
2,m m -上的最大值为2？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）()2
12
f x x x =-
+；（2）1m =-或6m =. 【解析】试题分析：（1）分析条件得二次函数对称轴得2b a =-，由()f x 的图象与直线y x =恰有一个公共点，联立得∆，结合()20f =即可求二次函数； （2）讨论()g x 的对称轴3
2
x =和定义域[]2,m m -位置关系求最值即可. 试题解析：
(1)由()()11f x f x -=+，可得其图象关于直线1x =对称，∴2b a =-； 又∵()20f =，∴()00f =，即0c =， ∴()2
2f x ax ax =-，
由题知方程()f x x =有一解，即()2
210ax a x -+=有两个相等实数根，
∴()2
210a ∆=+=. 可得210a +=，即12
a =-， ∴()2
12
f x x x =-
+. (2) ()2
36g x x x =-++，其图象的对称轴为32
x =， ①当32
m ≤
时， ()()2
max 362g x g m m m ==-++=，解得1m =-或4m =，故1m =-.
②当322m -≥
即72
m ≥时， ()()2
max 2742g x g m m m =-=-+-=， 1m =或6m =，故6m =.
③当322m m -<
<即3722m <<时， ()max 333224
g x g ⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭，不符合题意. 综上所述， 1m =-或6m =.
点睛：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）. 找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值.
20．在一次抽样调查中测得样本的6组数据，得到一个变量y 关于x 的回归方程模型，其对应的数值如下表：
(1)请用相关系数r 加以说明y 与x 之间存在线性相关关系(当0.81r >时，说明y 与x 之间具有线性相关关系
)；
(2)根据(1)的判断结果，建立y 关于x 的回归方程并预测当9x =时，对应的y 值为多少(b 精确到0.01).
附参考公式：回归方程ˆˆˆy
bx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 122
1ˆn
i i i n
i i x y nxy b x nx ==-=-∑∑，
ˆˆa
y bx =-，相关系数r 公式为：
n
x y nxy
r -=
参考数据：
6
1
47.64i i i x y ==∑，
6
2
1
139i
i x ==∑，
4.18=，
1.53=.
【答案】(1) y 与x 之间存在线性相关关系;(2) 0.36 3.6ˆ2y
x =-+,0.38. 【解析】试题分析：
(1)由题意求得0.99r ≈-； 0.81r >，说明y 与x 之间存在线性相关关系；
(2)结合所给数据可求得回归方程为0.36 3.6ˆ2y
x =-+,0.38.据此预测当9x =时，对应的y 值为0.38. 试题解析：
(1)由题意，计算()1
234567 4.56
x =⨯+++++=，
()1
3 2.48 2.08 1.86 1.48 1.1026
y =⨯+++++=，
且6
11
47.64i i i x y ==∑，
4.18=，
1.53.
n
x y nxy
r -=
47.646 4.52 6.36
0.994.18 1.53 6.3954
-⨯⨯=
=-≈-⨯；
∵0.81r >，说明y 与x 之间存在线性相关关系；
(2) 1222147.646 4.52 6.360.361396 4.517.5ˆn
i i i n i i x y nxy b x nx
==--⨯⨯===-≈--⨯-∑∑. ∴20.36ˆˆ 4.5 3.62a
y bx =-=+⨯=. ∴y 与x 的线性回归方程为0.36 3.6ˆ2y
x =-+. 将9x =代入回归方程得0.369 3.6.ˆ2038y
=⨯+=. 点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
21．已知函数()2
1ln ,2
f x x ax a R =-∈.
(1)求函数()f x 的单调区间；
(2)若关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值. 【答案】(1) 当0a ≤时， ()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无减区间， 当0a >时，
()f x 的单调递增区间为⎛
⎝
，单调递减区间为⎫
+∞⎪⎪⎭
;(2)2.
【解析】试题分析：
(1)首先对函数求导，然后对参数分类讨论可得当0a ≤时， ()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无减区间，
当0a >时，
()f x 的单调递增区间为⎛
⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭
; (2)将原问题转化为()2
2ln 12x x a x x
++≥
+在()0,+∞上恒成立，考查函数
()()22ln 12x x g x x x
++=
+的性质可得整数a 的最小值是2.
试题解析：
(1) ()2
11'ax f x ax x x
-=-=，函数()f x 的定义域为()0,+∞.
当0a ≤时， ()'0f x >，则()f x 在()0,+∞上单调递增， 当0a >时，令()'0f x =
，则x =
舍负)，
当0x <<
时， ()'0f x >， ()f x 为增函数，
当x >
()'0f x <， ()f x 为减函数， ∴当0a ≤时， ()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无减区间，
当0a >时， ()f x
的单调递增区间为⎛ ⎝
，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭. (2)解法一：由()21
ln 112
x ax a x -≤--得()()22ln 12x x a x x ++≤+，
∵0x >，
∴原命题等价于()22ln 12x x a x x
++≥
+在()0,+∞上恒成立，
令()()2
2ln 12x x g x x x
++=+，
则()()()
()
2
2
212ln '2x x x g x x
x
-++=
+，
令()2ln h x x x =+，则()h x 在()0,+∞上单调递增，
由()110h =>， 112ln2022h ⎛⎫
=-+< ⎪⎝⎭
，
∴存在唯一01,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使()00h x =， 002ln 0x x +=.
∴当00x x <<时， ()'0g x >， ()g x 为增函数， 当0x x >时， ()'0g x <， ()g x 为减函数，
∴0x x =时， ()()()0002max 00
000
2ln 121
22x x x g x x x x x x +++==
=++，
∴0
1a x ≥
， 又01,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则()011,2x ∈，
由a Z ∈，所以2a ≥.
故整数a 的最小值为2.
解法二： ()21
ln 112
x ax a x -≤--得，
()2222ln 20ax a x x +---≥，
令()()()2222ln 20g x ax a x x x =+--->，
()2
'222g x ax a x
=+--，
①0a ≤时， ()'0g x <， ()g x 在()0,+∞上单调递减， ∵()1340g a =-<，∴该情况不成立. ②0a >时， ()()()()22222
221'ax a x ax x g x x
x
+---+=
=
当10,x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时， ()'0g x <， ()g x 单调递减；
当1,x a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'0g x >， ()g x 单调递增，
∴()min 1112ln g x g a a a ⎛⎫
==-- ⎪⎝⎭
，
()0g x ≥恒成立()min 1
1
2ln 0g x a a
⇔=--≥， 即11
2ln
0a a
+≤. 令()11
2ln h a a a
=+，显然()h a 为单调递减函数.
由a Z ∈，且()110h =>， ()1
2ln402
h =-<，
∴当2a ≥时，恒有()0h a ≤成立，
故整数a 的最小值为2.
综合①②可得，整数a 的最小值为2.
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中
数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：
{ x cos y αα
== (α为参数)，以
原点O 为极点，
x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为
sin 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
. (1)求直角坐标系下曲线1C 与曲线2C 的方程；
(2)设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最大值，并求此时点P 的坐标.
【答案】(1) 22
13y x +=, 80x y +-=;(2)
最大值为13,22⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
. 【解析】试题分析：
(1)将极坐标、参数方程转化可得直角坐标系下曲线1C 与曲线2C 的方程分别
为2
2
13
y x +=, 80x y +-=; (2)利用点到直线距离公式结合三角函数的性质可得点P 到2C 上点的距离的
最大值是此时点P 的坐标是13,22⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
.
试题解析：
(1)
由曲线1:{ x cos C y α
α
==
，可得{ x cos sin α
α==，两式两边平方相加得：
2
2
13
y x +=.
即曲线1C 在直角坐标系下的方程为2
2
13
y x +=.
由曲线(
)2:sin sin cos 4C πρθρθθ⎛
⎫+=+= ⎪⎝
⎭即s i n c o s 80ρθρθ+-=，
所以80x y +-=，
即曲线2C 在直角坐标系下的方程为80x y +-=.
(2)由(1)知椭圆1C 与直线2C
无公共点，椭圆上的点()
cos P αα到直线
80
x y +-=的距离
为
i n 83s
i
s i
n
6d πα⎛⎫=
=
=+- ⎪⎝⎭
，
∴当sin 16πα⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭
即43πα=时， d
的最大值为
此时点P 的坐标为13,22⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
.
23．已知函数()1f x x x a =++-. (1)当3a =时，解不等式()5f x >；
(2)若关于x 的不等式()21f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 37| 2
2x x x
⎧⎫
-⎨⎬⎩
⎭
或;(2) (],2-∞. 【解析】试题分析：
(1)结合题意零点分段可得不等式的解集为37| 22x x x ⎧⎫
-⎨⎬⎩
⎭或;
(2)利用绝对值不等式的性质得到关于实数a 的不等式，求解不等式可得实数
a 的取值范围是(],2-∞.
试题解析：
(1)当3a =时， ()125f x x x =++->，等价于 ①1{
135x x x ≤----+>，得3
2
x <-
； ②13{ 135
x x x -<<+-+>，无解；
③3{ 135
x x x ≥++->，得72
x >
综上，解集为37| 22x x x ⎧⎫
-⎨⎬⎩
⎭或.
(2) ()111f x x x a x a x x a x =++-=++-≥++-
121a a =+≥-，
则121a a +≥-或()121a a +≤--， 得2a ≤，所以a 的取值范围为(],2-∞.。