高考数学基础强化训练题—《三角函数》
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题(含答案)
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题（含答案）一、单选题 1．函数tan2x y =是 A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数2．有一块矩形花圃ABCD 如图所示，其中10AB cm =，6BC cm =，现引进了新品种需将其扩大成矩形区域EFGH ，点A ，B ，C ，D 均落在矩形EFGH 的边上（不包括顶点），则扩大后的花圃的最大面积为（ ）A ．2100mB ．2128mC ．2144mD ．2196m3．已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><，其部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．15()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭或15()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 4．若α是第四象限角，则π－α是第（ ）象限角.A ．一B ．二C ．三D ．四5．若一个底面半径为1的圆锥侧面展开图是一个顶角为23π的扇形，则该圆锥的体积为（ ）A ．353π B ．223πC ．35πD ．22π 6．已知函数()()sin 0,2f x x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则tan ϕ=（ ）A 3B ．1C 3D ．37．下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+8．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()f x m =在[0,)π上有两个实根a ，b ，且||3a b π->，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭二、多选题9．设0θπ<<，非零向量()sin 2,cos a θθ=，()cos ,1b θ=，则（ ） A ．若1tan 2θ=，则//a b B ．若34πθ=，则a b ⊥ C ．存在θ，使2a b =D ．若//a b ，则1tan 2θ=10．关于函数()cos 23cos f x x x x =+，下列结论正确的有（ ） A ．函数()f x 有最小值2-B ．存在12,x x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立C ．函数()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称11．若ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 为直角三角形 C ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形D ．若2cos 22A c b c+=，则ABC 为直角三角形 12．已知函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．若函数()f x 的最小正周期为π，则其图象关于直线8x π=对称B ．若函数()f x 的最小正周期为π，则其图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．若函数()f x 在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为2D ．若函数()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是192388ω≤< 三、填空题13．已知tan 312πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则tan 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.14．如图，某湖有一半径为1km 的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2km 的点A 处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且90BAC ∠=︒，AB AC =．定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设AOB θ∠=．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________．15．若1tan 3α=-，则3sin 2cos 2sin cos αααα+=-_______. 16．已知函数()sin 0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><≤ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则点(,)P ωϕ的坐标为___.四、解答题17．已知函数()sin 3cos 33x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()1y f x =-的单调递增区间； （2）设函数()()()1sin g x x f x =+，求()g x 的值域.18．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，22ππϕ-<<，x ∈R 其部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式； （2）若23()f α=(0,)3πα∈，求cos2α的值.19．计算： （1）sin15︒；（2）sin cos cos sin 33ππαααα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）sin13sin73cos13sin17︒︒+︒︒．20．已知函数()222sin 4cos 1f x x x =-+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.21．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()3sin cos a bC C =+．(1)求B ；(2)已知23BC =，D 为边AB 上的一点，若1BD =，2ACD π∠=，求AC 的长．22．2020年一场突如其来的疫情让亿万中华儿女的心再一次凝结在一起，为控制疫情，让广大发热患者得到及时有效的治疗，武汉市某社区决定临时修建一个医院.医院设计平面图如图所示：矩形ABCD 中，400AB =米，300BC =米，图中DMN 区域为诊断区（M 、N 分别在BC 和AB 边上），ADN △、CDM 及BMN △区域为治疗区.受诊断区医疗设备的实际尺寸影响，要求MDN ∠的大小为4π.(1)若按照200AN CM ==米的方案修建医院，问诊断区是否符合要求？(2)按照疫情现状，病人仍在不断增加，因此需要治疗区的面积尽可能的大，以便于增加床位，请给出具体的修建方案使得治疗区面积S 最大，并求出最大值.23．已知向量,a b 满足2sin ,4a x x π⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(cos ,cos sin )b x x x =-，函数()()f x a b x R =⋅∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）在ABC 中，角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，且()222242cos a ac B a b c -=+-，求()f B参考答案1．A2．B3．B4．C5．B6．C7．C8．D 9．ABD10．ABC11．ABD12．ACD 13．12-14252km15．35 16．2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭17．（1）()2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18．（1）()2sin()6f x x π=+（2）cos 2α=19．（1（2）；（3）12.20．（1）π；（2）最小值是-3，最大值是32.21．(1)6B π=(2)AC =22．(1)不符合要求(2)按照tan 18ADN ADN π⎛⎫∠∠= ⎪⎝⎭修建，治疗区面积最大，最大值为240000-（平方米）23．（1）单调增区间为7,,1212k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k Z ∈；单调减区间为5,,1212k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k Z∈；（2）。
2025高考数学冲刺分层训练专题3-1、三角函数小题(一)
专题3-1、三角函数小题（一）一、单选题1．（2024·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设1cos 3x =，则sin 2x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．13−C ．3D ．3−sin 2x π⎛− ⎝1cos 3x =sin x ⎛∴− ⎝故选：B2．（2024·湖南岳阳·统考二模）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴查合，点A 是角α的终边与单位圆的交点，若点A 的横坐标为45−，则cos2α=（ ）A ．25−B ．25C ．725−D ．7253．（2024·江苏·统考一模）已知函数()()()sin 20πϕϕ=+<<f x x 的图象关于直线π6x =对称，则ϕ的值为（ ） A ．π12 B ．π6C ．π3D ．2π34．（2024·福建漳州·统考三模）已知πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭5πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．34−B ．34C ．4−D ．45．（2024·江苏泰州·统考一模）已知sin cos 65αα⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，则cos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．725−B ．725 C ．2425− D ．24256．（2024·福建泉州·统考三模）已知sin 0αα=，则cos 2=α（ ）A ．13−B ．0C ．13D7．（2024·山东·烟台二中校联考模拟预测）将函数()πcos 6f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）．A ．()g x 在ππ,23⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()g x 在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()g x 在ππ,23⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()g x 在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减8．（2024·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知πcos 243α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）．A ．13B ．12C ．12−D ．13−【详解】sin α−=13α=−．9．（2024·湖北·校联考模拟预测）已知cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪−⎝⎭，则cos α=（ ）A B C D10．（2024·湖北·统考模拟预测）已知cos 752α⎛⎫︒+= ⎪⎝⎭()cos 30α︒−的值为（ ）A ．13B ．13−C ．23D ．23−11．（2024·江苏·统考一模）在ABC 中，2π3BAC ∠=，BAC ∠的角平分线AD 交BC 于点D ，ABD △的面积是ADC △面积的3倍，则tan B =（ ） A B C D 【详解】1sin 21sin 2ABDADCAB AD BADAB AC AC AD CAD ⋅⋅∠==⋅⋅，在ABC 中，作sin b CAH AB AH ∠=+12．（2024·湖南·模拟预测）已知πsin 4sin 0,,21cos 4cos 2ααααα⎛⎫∈= ⎪+−⎝⎭，则tan 2α=（ ）ABCD【详解】α13．（2024·广东茂名·统考一模）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（ ）A ．()2cos sin cos f x x x x =+B ．()1cos 22sin cos xf x x x−=C ．()ππcos cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()ππsin cos 66f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多选题14．（2024·广东深圳·统考一模）已知函数()f x 的图象是由函数2sin cos y x x =的图象向右平移π6个单位得到，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在区间ππ,63⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 的图象关于直线π3x =对称D ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称15．（2024·浙江·校联考模拟预测）将函数π()2sin26f x x⎛⎫=−⎪⎝⎭的图象向左平移(0)θθ>个单位长度，得到函数()g x的图象，下列说法正确的是（）A．当5π6θ=时，()g x为偶函数B．当5π6θ=时，()g x在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C．当π4θ=时，()g x在ππ,66⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的值域为D．当π4θ=时，点π,06⎛⎫−⎪⎝⎭是()g x的图象的一个对称中心16．（2024·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知1 sin cos5θθ+=，()0,πθ∈，则（）A ． 12sin cos 25θθ=− B ． sin cos 1225θθ−=C ． 7sin cos 5θθ−=D ．4tan 3θ=−θcos θ0，所以sin ，解得4sin ,cos 5θ=17．（2024·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()222tan a c b B +−=，则B 的值为（ ）A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 18．（2024·山东潍坊·校考一模）将函数()π2cos 24f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭的图象向右平移π8个单位长度得到()y g x =的图象，则（ ）A ．()y f x =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B ．ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()y g x =是奇函数D ．()1y g x =−在[]π,π−上有4个零点2sin 2x ，故0，得到sin 19．（2024·山东·河北衡水中学统考一模）已知函数()ππsin()0,0,22f A x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>>−<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．当ππ,44x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为22⎡−⎢⎣⎦ C ．将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度可得函数()sin 2g x x =的图象 D ．将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称20．（2024·湖南湘潭·统考二模）将2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到()f x 的图象，则（ ）A ．π()2sin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象关于直线π12x =对称 C ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内是增函数21．（2024·湖南邵阳·统考二模）若函数()()()2cos cos sin 10f x x x x ωωωω=−−>的最小正周期为π，则（ ）A ．π24f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭B ．()f x 在π23π,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 在5π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有5个零点D ．()f x 在ππ,44⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1−【答案】BCπ4x ⎫+⎪⎭三、填空题22．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知5π2tan 43θ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则tan θ=________.所以tan 5θ=−. 故答案为：5−.23．（2024·浙江·校联考三模）写出一个满足下列条件的正弦型函数，()f x =____________．①最小正周期为π； ②()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥上单调递增； ③,()2x f x ∀∈≤R 成立．24．（2024·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中2a =，sin sin sin sin sin sin A B A C B C +=，则b c +的最小值为_____________.25．（2024·山东淄博·统考一模）若sin 63θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,πθ∈，则cos θ=______.【详解】()0,πθ∈π7π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭，又ππ,62⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π,π2⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，26．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）锐角α满足sin 43α⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos 2=α____________.27．（2024·湖南长沙·统考一模）已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>,若函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,且关于直线π3x =轴对称,则ω的最小值为______．28．（2024·广东惠州·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点()1,2，则2cos sin 2θθ+=__________． 【答案】1【分析】法一：利用三角函数的定义求出sin θ、cos θ的值，再利用二倍角的正弦公式计算可得结果；29．（2024·广东江门·统考一模）已知,02θ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，7cos29θ=，则sin θ的值为___________.30．（2024·广东湛江·统考一模）cos 70cos 20cos 65︒−︒=︒______．。
(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——三角函数(一)(含解析).doc
2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数（一）1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) ， x R .（ 1）求函数 yf ( x) 的对称中心；6（ 2）已知在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且f (B6 ) b c， ABC 的外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的最大值 . 22a【解析】f ( x) 1 cos2 x1 cos2( x) cos(2 x) cos2 x6313 sin 2x cos 2xcos2x223sin 2x1cos2x sin(2 x 6 ) . 22（1）令 2xk （ k Z ），则 xk（ kZ ），6212所以函数 yf ( x) 的对称中心为 (k,0) k Z ；212（2）由 f (B)b c，得 sin( B ) bc ，即 3 sin B 1cos B b c ，262a6 2a 2 2 2a整理得 3a sin B a cos B b c ，由正弦定理得：3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C ，化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B ，又因为 sin B0 ，所以 3 sin A cos A1，即sin( A1 ，6 )2由 0A，得A5 ，6 66所以 A，即 A3 ，6 6又 ABC 的外接圆的半径为3 ，所以 a 2 3 sin A 3 ，由余弦定理得222222232(b c) 2abc2bc cos A bcbc (b c)3bc (b c)(b c)44，即 ，当且仅当 bc 时取等号，所以周长的最大值为 9.2.【河北衡水】 已知函数 f x2a sin x cosx2b cos 2 x c a 0,b 0 ，满足 f 0 ，且当 x0,时， f x 在 x 取得最大值为 5.26 2（ 1）求函数 f x 在 x0, 的单调递增区间；（ 2）在锐角 △ABC 的三个角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且2 22 f C3，求a2b 2c 2 的取值范围 .2ab c【解析】（1）易得 f x5sin 2x 5，整体法求出单调递增区间为0, ， 2 ,；3 666 3 （2）易得 C，则由余弦定理可得 a2b 2c 2 2a 2 2b 2 ab2 b a 1，3a 2b 2c 2aba bbsin 2 A3 1 1由正弦定理可得sin B 3，所以asin Asin A2tan A2 ,22a 2b 2c 23,4 .a2b2c2rcos x, 1 r( 3 sin x,cos 2x) ， xR ，设函数3.【山东青岛】 已知向量 a， b 2r rf ( x) a b .（ 1）求 f(x)的最小正周期；（ 2）求函数 f(x)的单调递减区间；（ 3）求 f(x)在 0,上的最大值和最小值 . 2【解析】f (x) cos x, 1( 3 sin x,cos 2x) 23 cos x sin x 1cos2x 23sin 2 x 1cos 2x2 2cos sin 2x sin cos 2x6 6sin 2x.6（1）f ( x)的最小正周期为T 2 2，即函数f ( x) 的最小正周期为.2（2）函数y sin(2 x ) 单调递减区间：62k 2x 32k ， k Z ，2 6 2得：k x 5 k ， k Z ，63∴所以单调递减区间是3 k ,5k ， k Z .6（3）∵0 x ，2∴2x 5.6 6 6 由正弦函数的性质，当 2x6 2 ，即 x 时， f (x) 取得最大值1.3当x x 0 f (0) 1，即时，，6 6 2当 2x6 5 ，即 x2时， f21 ，6 2∴ f (x) 的最小值为1. 2因此， f (x) 在 0, 上的最大值是1，最小值是1 .2 224.【浙江余姚】已知函数 f ( x) sin x sin x cos( x ) .（ 1）求函数 f(x)的最小正周期；（ 2）求 f(x)在 0,上的最大值和最小值．2【解析】（ 1） 由题意得 f ( x) sin 2 x sin x cos x6sin 2 xsin x( 3 cos x 1sin x)2 23sin 2x3sin x cos x223(1 cos 2x)3sin 2x443 ( 1sin 2x3cos2x)3 2 2243sin( 2x) 32 34f (x) 的最小正周期为（ 2） x0, ，22x23 3 3当 2x，即 x0时， f ( x) min0 ；33当 2x5 时， f ( x) max2 3 33，即 x4212综上，得 x0时， f ( x) 取得最小值，为 0；当 x5 2 3 3时， f ( x) 取得最大值，为4125.【山东青岛】 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 b cos A 3a c ．3（ 1）求 cosB ；（ 2）如图， D 为 △ABC 外一点，若在平面四边形ABCD中， D 2 B ，且 AD 1， CD3 ， BC 6 ，求 AB 的长．【解析 】解：（ 1）在ABC 中，由正弦定理得 sin B cos A3sin Asin C ，3又 C( A B) ，所以 sin B cos A3sin Asin( A B) ，3故 sin B cos A3sin Acos B cos Asin B ，sin A3所以 sin Acos B3sin A ，3又 A(0, ) ，所以 sin A30 ，故 cos B3（2） QD 2 B ， cos D2cos 2 B 113又在ACD 中， AD 1， CD 3∴由余弦定理可得 AC2AD2CD22AD CD cosD 19 2 3 ( 1) 12 ，3∴ AC2 3 ，在 ABC 中， BC6 ， AC 2 3 ， cosB3，3∴由余弦定理可得 AC2AB 2 BC 2 2 AB BCcosB ，即 12 AB 2 6 2 AB63 ，化简得 AB 2 2 2 AB 6 0 ，解得 AB 3 2 ．3故 AB 的长为 32 ．6. 【江苏泰州】如图，在△ABC 中，ABC，2ACB， BC 1.P 是△ ABC 内一点，且BPC.3 2（1）若ABP，求线段AP的长度；6（2）若APB 2，求△ ABP 的面积 .3【解析】（1）因为PBC ，所以在 Rt PBC 中，6BPC ， BC 1，PBC3 ，所以 PB 1 ，2 2在 APB 中，ABP ， BP 13 ，所以， AB6 2AP2 AB 2 BP2 2AB BP cos PBA3 1 2 13 37，所以 AP 7 ；4 2 2 4 2（2）设PBA ，则PCB ，在 Rt PBC 中，BPC ， BC 1，2PCB ，所以 PB sin ，在 APB 中，ABP ， BP sin ， AB 3 ，APB 2，3由正弦定理得：sin 3 1sin3cos1sinsin sin 2 2 2 23 3sin 3 cos ，又 sin 2 cos2 1 sin2 32 7SABP 1AB BP sin ABP 1 3 sin 2 3 3 .2 2 148.【辽宁抚顺】已知向量m sin x,1 ， n cos x,3， f x m n4 4（ 1）求出 f(x)的解析式，并写出f(x)的最小正周期，对称轴，对称中心；（ 2）令 h xf x6，求 h(x)的单调递减区间；（ 3）若 m // n ，求 f(x)的值．【解析】（1） f xm nsin x4cos x341sin 2 x4 3 1sin 2x231cos2x 3222所以 f x 的最小正周期 T ，对称轴为 xk , kZ2对称中心为k ,3 , kZ42（2） h xf x1 cos2 x 32 36令2k2x32k , kZ 得k x6k ,k Z3所以 h x 的单调减区间为3k ,k ,k Z6（3）若 m // n ，则 3sinxcos x即 tan x13444tan x 2f x1cos2x 3 1sin 2 x231 sin2 x cos 2 xcos x2 sin 2 xcos 2 322 x1 tan2 x 1 332 tan 2 x 31109.【辽宁抚顺】已知函数 f x 2 3 sin x cos x 2cos 2 x 1 ， x R ．（ 1）求函数 f x 的最小正周期及在区间0,2 上的最大值和最小值；（ 2）若 f x 06，x 0, 2 ，求 cos 2x 0 的值．54【解析】（ 1） 由 f(x)＝ 2 3 sin xcos x ＋ 2cos 2x － 1，得 f(x)＝ 3 (2sin xcos x)＋(2cos2x－1)＝ 3 sin 2x＋cos 2x＝2sin 2x ，6所以函数 f(x)的最小正周期为π0 x , 2 x6 7 , 1 sin 2 x 12 6 6 2 6所以函数 f(x)在区间 0, 上的最大值为2，最小值为－ 12（ 2）由（1）可知f(x0)＝2sin 2 x6又因为 f(x0 )＝6，所以 sin 2 x6＝3 .5 5由 x0∈, ，得 2x0＋∈ 2,74 2 6 3 6从而 cos 2 x0 ＝ 1 sin 2 2 x06 ＝－46 5所以 cos 2x0＝ cos 2 x06 6 ＝ cos 2x0 cos ＋ sin 2x06sin6 6 6＝3 4 31010.【广西桂林】已知f x 4sin 24 x sin x cosx sin x cosx sin x 1 . 2（ 1）求函数 f x 的最小正周期；（ 2）常数0 ，若函数 y f x 在区间, 2上是增函数，求的取值2 3范围；（ 3）若函数 g x 1 f 2 x af x af x a 1在,的最大值为2 2 4 22，求实数的值 .【解析】（1）f x 2 1 cos x sin x cos2 x sin 2 x 1 22 2sin x sin x 1 2sin 2 x 1 2sin x .∴ T 2 .（2） f x 2sinx .由 2kx 2k2kx2k2 得, k Z ，222 ∴ fx 的递增区间为2k2, 2k, k Z2∵ fx 在,2上是增函数，23∴当 k0 时，有2, 22,.320,∴, 解得 03242 22 ,3∴ 的取值范围是0,3.4（3） gx sin 2x a sin xa cos x 1 a 1.2 令 sin xcos x t ，则 sin 2x1 t2 .112a21 2att2aa∴ y 1 ta 1at2 t4a .222∵ t sin x cos x2 sin x，由x 得x，4 42244∴ 2 t 1 .①当a2 ，即 a2 2 时，在 t2 处 y max2 1 a 2 .22由21 a2 2 ，解得 a8 8 2 2 12 2 （舍去 ).22 2 1 7②当2 a 1，即2 2 a2 时， y maxa 21 a ，由 a 21a 22424 2得 a 2 2a 8 0 解得 a2 或 a 4 （舍去） .③当a1，即a 2 时，在 t 1处y max a 1 ，由a1 2 得a 6.2 2 2综上， a 2 或 a 6 为所求.11.【江苏无锡】如图所示，△ ABC 是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖．．．．．（假设湖岸是笔直的），其中两腰CA CB 60 米，cos CAB 2.为了给市民3营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC，AB 上分别取点E，F（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF（宽度不计），使得三角形AEF 和四边形 BCEF 的周长相等 .（1）若水上观光通道的端点 E 为线段 AC 的三等分点（靠近点 C），求此时水上观光通道 EF 的长度；（2）当 AE 为多长时，观光通道 EF 的长度最短？并求出其最短长度 .【解析】（1）在等腰ABC 中，过点 C 作 CH AB 于 H ，在 Rt ACH 中，由 cosAH AH 240 ， AB 80 ，CAB ，即，∴ AHAC 60 3∴三角形 AEF 和四边形 BCEF 的周长相等.∴ AE AF EF CE BC BF EF ，即 AE AF 60 AE 60 80 AF ，∴AE AF 100.∵ E 为线段 AC 的三等分点（靠近点 C ），∴ AE 40， AF 60，在AEF 中，EF 2 AE 2 AF 2 2 AE AF cos CAB 402 602 2 40 60 2 200 ，3∴ EF 2000 20 5 米.即水上观光通道EF 的长度为20 5米.（2）由（ 1）知，AE AF 100 ，设 AE x ，AF y ，在AEF 中，由余弦定理，得EF 2 x2 y2 2x y cos CAB x2 y 24xy x y10xy .23 3∵ xy x y 2 1002 10 502 2 502 .502，∴EF22 3 350 6∴EF，当且仅当x y取得等号，3所以，当 AE 50 米时，水上观光通道EF 的长度取得最小值，最小值为50 6米.312.【江苏苏州】如图，长方形材料ABCD 中，已知AB 2 3 ， AD4 .点P为材料ABCD 内部一点，PE AB 于 E ， PF AD 于 F ，且 PE1 ，PF 3 .现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足MPN 150 ，点M、N分别在边AB，AD上.（ 1）设FPN，试将四边形材料AMPN 的面积表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点 N 在 AD 上的位置，使得四边形材料 AMPN 的面积 S 最小，并求出其最小值 .【解析】（1）在直角NFP 中，因为 PF 3 ，FPN ，所以 NF 3 tan ，所以 S NAP 1NA PF 1 1 3 tan 3 ，2 2在直角 MEP 中，因为 PE 1，EPM3，所以MEtan，3所以 S AMP1AM PE 1 3 tan31，2 2所以 SSNAPSAMP3tan1tan33 ，0, .2 23（2）因为S 3 1 tan33 tan3，tan2 33tan2 13 tan22令 t 13 tan，由0, ，得 t1,4，3所以S3 3t24t 4 3 t 43 3 t4 3 23 ，2 3t 2 3t 323t33当且仅当t2 3233 时，即 tan时等号成立，3此时，AN 2 3233，Smin3 ，答：当AN 2 3AMPN 的面积 S 最小，最小值为 233 时，四边形材料.313.【江苏苏州】 如图，在平面四边形ABCD 中， ABC3AD ，， AB4AB=1.uuur uuur3 ，求 △的面积；（ 1）若 AB BCABCg（ 2）若 BC 2 2 ， AD 5 ，求 CD 的长度 .【解析】uuur uuur3 ，所以 uuur uuur，（1）因为 AB BCBAgBC 3guuur uuurABC3 ，即 BA BC cosABC 3 ， AB 1 ，所以 1 uuur3 uuur3 2 ，又因为BC cos 3，则 BC44 1 uuur uuur ABC 3所以 S ABC AB BC sin .2 2（2）在 ABC 中，由余弦定理得：AC 2AB 2 BC 2 2 AB BC cos31 8 21 2 22 13 ，42解得： AC 13 ，在ABC 中，由正弦定理得：ACBC2 13sin ABC sin，即sin BAC，BAC13所以 cos CADcosBACsin BAC2 13 ，213在ACD 中，由余弦定理得：CD 2AD 2 AC 2 2AD AC cos CAD ，即 CD3 2 .14.【山东栖霞】 已知函数 f xA sin xA 0,0,的部分图象222如图所示， B ， C 分别是图象的最低点和最高点，BC4 .4（1）求函数 f(x)的解析式； （2）将函数y f x 的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到3原来的 2 倍（纵坐标不变）得到函数 yg x 的图象，求函数 yg 2 x 的单调递增区间 .13【解析】（1）由图象可得：3 T 5 ( ) ，所以 f (x) 的周期 T .4 12 3于是2，得2 ，C 524 A 22又 B， A ， ， A ∴ BC 4 ∴ A 1，12 1224又将 C (5,1) 代入 f (x)sin(2 x) 得， sin(2 5) 1，1212所以 25=2k，即=2k( k R ) ，1223由2 得， ，23∴ f (x)sin(2 x) .3（2）将函数 yf (x) 的图象沿 x 轴方向向左平移个单位长度，3得到的图象对应的解析式为：y sin(2 x) ，3再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为 g( x)sin( x3 ) ，cos(2x2 )22(x13y g ( x) sin 3 )22由 2k22k， kZ 得, kx k ， k Z ,2x336∴函数 yg 2 ( x) 的单调递增区间为 k,k (kZ ) .3615.【山东滕州】 已知函数 f ( x)Asin( x ) ( A 0, 0,) 的部分图象如 2图所示 .（ 1）求函数 f (x) 的解析式；（ 2）把函数 y f ( x) 图象上点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，得到函数y g (x) 的图象，求611关于 x 的方程 g ( x) m(0 m 2) 在 x [,] 时3 3所有的实数根之和 .【解析】2（1）由图象知，函数 f ( x) 的周期T，故 2 .T点 (, A) 在函数图象上，6∴ Asin(26) A，∴ sin(3) 1，解得：3 2k2， k Z ，即2k6， k Z ，又2 ，从而.6点 (0,1) 在函数图象上，可得：Asin(2 0 ) 1 ，6∴ A 2 .故函数 f (x) 的解析式为： f ( x) 2sin(2 x ) .6 （2）依题意，得g (x) 2sin( x ) .3∵ g( x) 2sin( x ) 的周期T ，3∴ g( x) 2sin( x ) 在 x [11] 内有2个周期. ,3 3 3令x3 k ， k Z ，2解得 x k ， k Z ，6即函数 g (x) 2sin( x ) 的对称轴为 x k ， k Z .3 6又 x [3 ,11 ] ，则 x3[0,4 ] ，3所以 g(x) m(0 m 2) 在 x [ , 11 ] 内有4个实根，3 3不妨从小到大依次设为x i (i 1,2,3, 4) .则x1x2 ， x3 x4 13 ，2 6 2 6故 g( x) m(0 m 2) 在x [3 ,11 ] 时所有的实数根之和为：3x1 x2 x3 x4 14. 3。
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题(含答案)
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题（含答案）一、单选题1．已知(0,)θπ∈且满足cos 2cos θθ=，则tan θ=A ．B ．CD 2．在△ABC 中，7,5a c ==，则sin :sin A C 的值是（ ）A ．75B ．57C ．712D ．5123．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 24．函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在下列区间内递减的是（ ） A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[],0π-C ．22,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．已知a =116116tan tan +︒-，b =⎝⎭，c a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c a b >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >> 6．函数f (x )＝3sin(2x －6π)在区间[0，2π]上的值域为 A ．[32-，32] B ．[32-，3]C ．[D ．[，3] 7．将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，所得函数的解析式是（ ）A ．cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 2y x =-D ．sin 2y x = 8．函数tan y x =周期为（ ）A ．2πB ．2πC ．πD ．3π9．在ABC 中，60A =︒，43a =，42b =，则B 等于（ ）A ．45︒B ．135︒C ．45︒或135︒D ．3010．函数()sin()f x A x b ωϕ=++的图象如下：则()f x 的解析式和(0)(1)(2)(2006)S f f f f =+++⋯+的值分别为A ．1()sin 122f x x π=+，2006S = B ．1()sin 122f x x π=+，120062S = C ．1()sin 122f x x π=+，120072S = D ．1()sin 122f x x π=+，2007S = 11．设函数f (x )＝2sin(2πx ＋5x )．若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．12 12．如图所示，在ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，23AB BD =，2BC BD =，若2BD =，则sin C 的值为（ ）A ．33B ．23C ．223D ．66二、填空题13．函数()()sin 0,0,y A x A ωϕωϕπ=+>><的图象如图所示，则该函数的解析式为y =______.14．在ABC ∆中，如果lg lg lgsin 2a c B -==-，且B 为锐角，则三角形的形状是__________．15．已知()2cos 3f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则(1)(2)(2022)f f f +++的值为________.16．sin 73cos13sin167cos 73︒︒-︒︒=________.17．已知△ABC 中，3cot 4A =-，则cos A =______. 18．252525sin cos tan 634πππ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭______． 19．已知扇形的半径为3cm ，圆心角为60︒，则扇形的面积为 2cm ．20．若sin 41cos 5γγ=+，则1cos 2sin γγ-=______.三、解答题21．求下列各式的值（1）2log 342233log 9log 2log 3log 432-++⋅； （2）()()()sin 1071sin99sin 171sin 261-︒︒+-︒-︒．22．已知一扇形的面积S 为定值，求当扇形的圆心角为多大时，它的周长最小？最小值是多少？23．在ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，()cos sin cos cos A A a C c A =+； （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC 14b c +的最小值．24．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2a =，b =2B A =. （1）求sin A ；（2）求△ABC 的面积.25．（1）已知tan()22βα-=，tan()32αβ-=-，求)tan(βα+的值； （2）化简：21tan 9sin (12sin 99)︒︒-︒-．26．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且有2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求C ；（2）若3c =，求ABC ∆面积的最大值.27．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-. （1）求()f x 的最大值及此时的x 的集合；（2）求()f x 的单调增区间；（3）若1()2f α=，求sin(4)6πα-. 28．已知矩形纸片ABCD 中，AB=6，AD=12，将矩形纸片右下角折起，使该角的顶点B 落在矩形的边AD 上，且折痕的两端点M 、N 分别位于边AB ，BC 上，此时的点B 记为点P ，设MNB θ∠=，MN y =.(1)当15MNB ∠=时，判断N 的位置；(2)试将y 表示成θ的函数并求y 的最小值。
2020高考数学专项复习《三角函数10道大题》(带答案)
4 2 ) 三角函数1.已知函数 f (x ) = 4 c os x s in(x +（Ⅰ）求 f (x ) 的最小正周期；) -1.6（Ⅱ）求 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值.6 42、已知函数 f (x ) = sin(2x + ) 3+ sin(2x - 3 + 2 cos 2 x - 1, x ∈ R .（Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期；（Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值.4 43、已知函数 f (x ) = tan(2x +),4（Ⅰ）求 f (x ) 的定义域与最小正周期；⎛ ⎫（II ）设∈ 0, ⎪ ，若 f ( ) = 2 cos 2, 求的大小⎝ ⎭4、已知函数 f (x ) =(sin x - cos x ) sin 2x.sin x（1） 求 f (x ) 的定义域及最小正周期；（2） 求 f (x ) 的单调递减区间.5、 设函数 f (x ) = cos(2x + + sin 2x .24（I ）求函数 f (x ) 的最小正周期；（ II ） 设 函 数 1g (x ) 对 任 意 x ∈ R ， 有g (x + 2 = g (x ) ， 且 当x ∈[0, ] 时 ， 2g (x ) = - f (x ) ，求函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式.22 ) )3 + = 6、函数 f (x ) = A sin(x -称轴之间的距离为 ，2) +1（A > 0,> 0 ）的最大值为 3， 其图像相邻两条对 6（1）求函数 f (x ) 的解析式；（2）设∈(0, ) ，则 f ( ) = 2 ，求的值.2 27、设 f ( x ) = 4cos( ωx -π)sin ωx + cos 2ωx ，其中> 0.6（Ⅰ）求函数 y = f ( x ) 的值域（Ⅱ）若 y = f ( x ) 在区间⎡- 3π ,π⎤上为增函数，求 的最大值.⎣⎢ 2 2 ⎥⎦8、函数 f (x ) = 6 cos 2x + 23 cos x - 3(> 0) 在一个周期内的图象如图所示， A 为 图象的最高点， B 、C 为图象与 x 轴的交点，且∆ABC 为正三角形.（Ⅰ）求的值及函数 f (x ) 的值域；8 3 （Ⅱ）若 f (x 0 ) 5，且 x 0 ∈(- 10 2, ) ，求 f (x 0 1) 的值.3 39、已知 a , b , c 分别为∆ABC 三个内角 A , B , C 的对边， a cos C + 3a sin C - b - c = 0（1）求 A ；（2）若 a = 2 ， ∆ABC 的面积为 ；求b , c .10、在 ∆ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知 cos A cos C ．＝ 2，sin B ＝ 53(Ⅰ)求 tan C 的值； (Ⅱ)若 a ＝ 2 ，求∆ ABC 的面积．3 2 2 ) max+ = - (x )答案1、【思路点拨】先利用和角公式展开，再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数，最后求周期及闭区间上的最值.【精讲精析】（Ⅰ）因为 f (x ) = 4 cos x sin(x + 1) -1 = 4 cos x ( sin x + cos x ) -1622= 3 sin 2x + 2 cos 2 x -1 = 3 sin 2x + cos 2x = 2 s in(2x +，所以 f (x ) 的最小正周期为.62（Ⅱ）因为- ≤ x ≤ 6 4 ，所以- ≤ 2x + ≤ 6 6 3 .于是，当2x + = 6 2 ，即 x =6时， f (x ) 取得最大值 2；当2x + = - 6 6 ，即 x = - 时， f (x ) 取得最小值－1.62、【解析】 （1）2f (x )= sin (2x + )+sin(2x - )+2cos x -1 = 2 s in 2x cos + cos 2x = 2 sin(2x + )3 3 3 42函数 f (x ) 的最小正周期为T = =23 （2） - ≤ x ≤ ⇒ - ≤ 2x + ≤ ⇒ - ≤ sin(2x +4 4 4 4 4 2 4) ≤ 1 ⇔ -1 ≤ f (x ) ≤当 2x + = (x = ) 时 ， 4 2 8 f (x )min = -1f (x ) = ， 当 2x = - 时 ， 4 4 4【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为 y =A sin (x +) 的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.3、【思路点拨】1、根据正切函数的有关概念和性质；2、根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值.k【精讲精析】（I）【解析】由2x +≠ + k , k ∈ Z ， 得 x ≠ + , k ∈ Z . 4 2 8 2k为 .2所以 f (x ) 的定义域为{x ∈ R | x ≠ + 8 2, k ∈ Z } ， f (x ) 的最小正周期（II）【解析】由 f ( ) = 2 cos 2, 得tan(+2) = 2 cos 2,42) ) )1 sin(+ 4 = 2(cos2 - s in 2 ), cos(+整理得4 sin + coscos - sin= 2(cos + sin )(cos - sin ). 21 1 因为∈(0, ) ，所以sin + cos ≠ 0.因此(cos - s in ) 4= ,即sin 2= .2 2由∈(0, ) ，得2∈(0, ) .所以2= ,即= .4 2 6 124、解（1）： sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ k(k ∈ Z ) 得：函数 f (x ) 的定义域为{x x ≠ k , k ∈ Z }f (x ) =(sin x - cos x ) sin 2x= (sin x - cos x ) ⨯ 2 cos xsin x= sin 2x - (1+ cos 2x ) = 2 sin(2x --14 2得： f (x ) 的最小正周期为T = = ；2（2）函数 y = sin x 的单调递增区间为[2k - , 2k + 2 2](k ∈ Z )3则2k - ≤ 2x - ≤ 2k + ⇔ k - ≤ x ≤ k +2 4 2 8 8得： f (x ) 的单调递增区间为[k - , k ),(k , k + 3](k ∈ Z )8 85、本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力.【 解 析 】1 1f (x ) = cos(2x + + sin 2 x = 1 cos 2x - 1 sin 2x + 1 (1- cos 2x )2 4 2 2 2= - sin 2x ， 2 22（I ）函数 f (x ) 的最小正周期T = =21 1（II ）当 x ∈[0, ] 时， g (x ) = - f (x ) = sin 2x2 当 x ∈[-2 21 1 sin 2x 当 x ∈[-, - ) 时， (x +) ∈[0, )2 2 g (x ) = g (x +) = sin 2(x +) = 2 2sin 2x⎧- 1 sin 2x (x ≤ 0) - ≤ ⎪ 22 得函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式为 g (x ) = ⎨ .⎪ sin 2x (-≤ x <⎩⎪ 2 22 ) ) , 0] 时， (x + ) ∈[0, ] g (x ) = g (x + ) = 1 sin 2(x + ) = - 1 2 2 2 2 2 2 23 ⎢ ⎥ 6、【解析】（1）∵函数 f ( x ) 的最大值是 3，∴ A +1 = 3，即 A = 2 .∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ，∴最小正周期T =，∴= 2 .2故函数 f ( x ) 的解析式为 f (x ) = 2 s in(2x -) +1.61（2）∵ f ( ) = 2 s in(- 2) +1 = 2 ，即sin(- 6 ) = ，6 2∵ 0 << ，∴ - <- < ，∴- = ，故= .2 6 63 6 6 3⎛ 3 1⎫ 7、解：（1） f ( x ) = 4 2 cos x + 2 sin x ⎪⎪s in x + cos 2x ⎝ ⎭= 2 3 sin x cos x + 2 sin 2 x + cos 2 x - sin 2 x =3 sin 2x +1因-1 ≤ sin 2x ≤ 1，所以函数 y = f ( x ) 的值域为⎡1- 3,1+ 3⎤⎣⎦⎡ ⎤（2）因 y = sin x 在每个闭区间 ⎢⎣2k - 2 , 2k + 2 ⎥⎦ (k ∈ Z ) 上为增函数，故 f ( x ) = 3 sin 2x +1 (> 0) 在每个闭区间⎡ k - 4 , k + ⎤(k ∈ Z ) 上 4为增函数.⎡ 3 ⎤⎡ kk ⎤⎣⎦依题意知⎢- , ⎥ ⊆ ⎢ -, + ⎥ 对某个 k ∈ Z 成立，此时必有 k = 0 ，于是 ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 4 4⎦⎧- 3≥ -⎪ 2 41 1⎨⎪ ≤⎩ 2 4，解得≤ ，故的最大值为 . 6 6 8. 本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想. [解析]（Ⅰ）由已知可得： f (x ) = 6 cos2x+ 23 cos x - 3(> 0)=3cosωx+ 3 sin x = 2 3 s in(x + )3又由于正三角形 ABC 的高为 2 ，则 BC=42 所以，函数 f (x )的周期T = 4 ⨯ 2 = 8，即= 8，得= 4所以，函数 f (x )的值域为[-2 3,2 3] .......................... 6 分 （Ⅱ）因为 f (x 0 ) =853，由（Ⅰ）有1 - ( 4)2 57 6 53 1 c os 2A5 561f (x ) = x 08 3x 0 42 3sin( 4 + ) =3 ， 即sin( 54 + ) = 35 由 x 0∈（- 10 2x 0 + ∈ (-，），得( ) , )3 34 3 2 2所以，即 x 0 3 cos( 4 + ) = =3 5 故 f (x + 1) = x 0= x 0 + + 02 3sin( = 4 x 0 + + ) 2 4 33sin[( ) ] 4 3 4x 0 2 3[sin( 4 + ) cos 3 4 + cos( 4 + ) s in3 4 = 2 3( 4⨯ 2 + 3 ⨯ 2 )5 2 5 2=12 分9..解：（1）由正弦定理得：a cos C + 3a sin C -b -c = 0 ⇔ sin A c os C - 3 sin A sin C = sin B + sin C⇔ sin A cos C + 3 sin A sin C = sin(a + C ) + sin C⇔ 3 sin A - cos A = 1 ⇔ sin( A - 30︒ ) = 12⇔ A - 30︒ = 30︒ ⇔ A = 60︒（2） S = bc sin A = ⇔ bc = 4 ， 2a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos A ⇔ b + c = 410. 本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点.(Ⅰ)∵cos A 2 0，∴sin A ＝ ，＝ ＞33又2 sin C ．35 cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝5 cos C ＋3整理得：tan C ＝ 5 ．(Ⅱ) 由图辅助三角形知： sin C ＝． 又由正弦定理知：a sin A c ，sin C故c 3 ． (1)b 2c 2 a 2 2对角 A 运用余弦定理：cos A ＝2bc ． (2) 3 解(1) (2)得： b 3 or b ＝ 3 (舍去)． ∴∆ ABC 的面积为：S ＝ 5． 3 2。
高考数学专题复习题：三角函数
高考数学专题复习题：三角函数1．关于正切函数x y tan =，下列判断不正确的是（ ）A ．是奇函数B ．在整个定义域上是增函数C ．在定义域内无最大值和最小值D ．平行于x 轴的直线被正切曲线各支所截取线段相等2．若)4tan()(π+=x x f ，则（ ）A ．)1()0()1(−>>f f fB ．)1()1()0(−>>f f fC ．)1()1()0(f f f >−>D ．)1()0()1(f f f >>− 3．函数)4tan(x y −=π的定义域是（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠4πx x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≠4πx x C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,4ππD ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,43ππ 4．函数)4tan()(π+=x x f 的单调增区间为（ ） A ．Z k k k ∈+−),2,2(ππππ B ．Z k k k ∈+),,(πππ C ．Z k k k ∈+−),4,43(ππππ D ．Z k k k ∈+−),43,4(ππππ 5．函数2162tanx x y −+=的定义域是（ ） A ．[]4,4−B ．),(),4[πππ−−−C ．]4,(),(πππ −D ．]4,(),(),4[ππππ −−− 6．不是函数)42tan(π−=x y 的对称中心的是（ ） A ．（0,89π） B ．（0,83π） C ．（0,8π） D ．（0,4π）7．下列命题中：（1）函数)tan(ϕ+=x y 在定义域内不存在递减区间（2）函数)tan(ϕ+=x y 的最小正周期为π（3）函数)4tan(π+=x y 的图像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,4π对称 （4）函数)4tan(π+=x y 的图像关于直线4π=x 对称其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 8．已知)22(,tan ππ<<−=x x y ，若3−≥y ，则自变量x 的取值范围为________．9．函数)60(),42tan(ππ<≤+=x x y 的值域是________． 10．已知函数1tan tan 2++=x x y ，（Z k k x ∈+≠,2ππ）则函数的值域是________． 11．若函数)2tan(θ+=x y 的图像的一个对称中心为（0,3π），则θ＝________．12．函数的定义域为________． 13．如果直线与函数（）的图像相交，那么相邻两交点间的距离一定是________．14．若函数，则的定义域是________，最小正周期是________． 15．如果函数，那么单调区间一定是________，最小正周期一定是________，对称中心为________．16．函数的最小正周期是________．17．若函数的最小正周期满足，则正整数________． 18．已知函数在)4,3(ππ−上是减函数，则的取值范围是________． 19．函数的单调递增区间________．20．已知，，求的最值及相应的的值．21．已知函数)4tan(2)(πω+=x x f （0>ω），)(x f y =的图像与直线2=y 的两个相邻的交点的距离等于π2，求)(x f 的单调递增区间．1tan 3−=x y 3=y x y ωtan =0>ω)42tan()(π+=x x f )(x f )23tan()(x x f ππ−=)(x f x y tan =)3tan(2)(πω−=x x f 231<<T =ωx y ωtan =ωx y tan lg =43ππ≤≤−x 2tan 2tan )(2++=x x x f )(x f x。
2022年高考数学二轮复习强化训练 4三角函数的图象与性质
强化训练4 三角函数的图象与性质——小题备考一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω∈R )的最小正周期为π，则实数ω＝( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．±12．函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，然后横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变得到函数y ＝2sin 2x 图象，则f (x )的表达式为( )A ．2cos 4xB ．－2cos xC ．－2sin 4xD ．2sin x3．古希腊人早在公元前就知道，七弦琴发出不同的声音，是由于弦长度的不同．数学家傅里叶(公元1768年～1830年)关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声——都可以归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以用三角函数描述的．已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的三角函数图象，图象的解析式是f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)，则( )A ．ω＝3，φ＝π6B ．ω＝6，φ＝π3C ．ω＝3，φ＝π4D ．ω＝6，φ＝5π64．已知函数f ()x ＝sin ωx ＋cos ωx ()ω>0 的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0 对称B ．关于直线x ＝π8 对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0 对称 D ．关于直线x ＝π3对称 5．已知函数f ()x ＝cos ()ωx ＋φ ⎝⎛⎭⎫ω>0，||φ<π2 的图象如图所示，为了得到y ＝cos ωx 的图象，只需把y ＝f ()x 的图象上所有点( )A.向左平移π12 个单位长度B ．向右平移π12 个单位长度C ．向左平移π6 个单位长度D ．向右平移π6个单位长度6．[2021·辽宁沈阳三模]已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2 <φ<π2)的部分图象如图所示，B ，D 两点为函数f (x )图象上的一个最高点和一个最低点，直线BC ，DE 与x 轴垂直，四边形BCDE 为边长为4的正方形，则( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4 B. f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4 C ．f (x )＝3 sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋3π4 D. f (x )＝3 sin ⎝⎛⎭⎫π4x －3π47．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象关于直线x＝π对称，则ω的最小值是( )A ．13B ．1C ．53D ．238．已知函数g (x )＝3 sin (ωx ＋φ)，g (x )图象上每一点的横坐标缩短到原来的12，得到f (x )的图象，f (x )的部分图象如图所示，若AB → ·BC → ＝||AB→ 2，则ω等于( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π2二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2021·河北秦皇岛二模]已知函数f (x )＝cos ωx －3 sin ωx (ω＞0)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是( )A ．ω＝2B ．函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12 (k ∈Z )C ．函数f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫7π12，0 中心对称D ．函数f (x )的图象可由y ＝2cos ωx 图象向右平移π6 个单位长度得到10. [2021·石家庄二模]设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 的图象为曲线E ，则( ) A ．将曲线y ＝sin 2x 向右平移π3个单位长度，与曲线E 重合B ．将曲线y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 上各点的横坐标缩短到原来的12 ，纵坐标不变，与曲线E 重合C ．⎝⎛⎭⎫－π12，0 是曲线E 的一个对称中心 D ．若x 1≠x 2，且f ()x 1 ＝f ()x 2 ＝0，则||x 1－x 2 的最小值为π211．[2021·广东大联考]将函数f (x )＝sin (ωx ＋π6 )(ω∈N *)的图象向右平移π6个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若f (x )的所有对称中心与g (x )的所有对称中心重合，则ω可以为( )A ．3B ．6C ．9D ．1212．[2021·山东德州二模]已知函数f (x )＝A cos (x ＋φ)＋1(A >0，|φ|<π2)，若函数y ＝|f (x )|的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π6 对称B ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－5π6，1 对称 C ．将函数y ＝2sin x ＋1的图象向左平移5π6个单位可得函数f (x )的图象D ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0 上的值域为[3 ＋1，3] 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2021·广东大联考]写出一个最小正周期为2的偶函数f (x )＝__________．14．已知函数y ＝sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________．15．若函数y ＝cos x 的图象沿x 轴向右平移π3个单位，再将图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的12 ，则新图象对应的函数解析式是________________．16．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 的图象向右平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g (x )的图象．若g (x 1)g (x 2)＝4，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则g (x )＝________，x 1－2x 2的最大值为________．1．解析：因为f ()x ＝sin ωx －cos ωx ＝2 sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4 ， 所以f （x ）的最小正周期T ＝2π||ω ＝π，解得ω＝±2.故选C. 答案：C2．解析：函数y ＝f （x ）的图象向左平移π4个单位，然后横坐标变为原来的2倍，得到f ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4 ，即f ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4 ＝2sin 2x ＝2sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－π ， ∴f ()x ＝2sin ()4x －π ＝－2sin 4x ， 故选C. 答案：C3．解析：由图象知，T ＝2⎝⎛⎭⎫1112π－712π ＝2π3， ∴2πω ＝2π3，则ω＝3. 又A sin ⎝⎛⎭⎫3×7π12＋φ ＝0，sin ⎝⎛⎭⎫74π＋φ ＝0， ∴74π＋φ＝2k π（k ∈Z ）， 由φ∈（0，π），得φ＝π4.故选C. 答案：C4．解析：∵函数f ()x ＝sin ωx ＋cos ωx ＝2 sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ()ω>0 的最小正周期为2πω＝π，∴ω＝2，∴f ()x ＝2 sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ， 令x ＝π3 ，求得f ()x ＝sin 11π12 ≠0，且f ()x 不是最值，故A 、D 错误；令x ＝π8 ，求得f ()x ＝2 ，为最大值，故函数f ()x 的图象关于直线x ＝π8对称，故B正确，C 错误；故选B. 答案：B5．解析：由图象可知：T 4 ＝7π12 －π3 ＝π4 ⇒T ＝π，则ω＝2πT＝2，所以f ()x ＝cos ()2x ＋φ ，将点⎝⎛⎭⎫π3，0 代入解析式可得cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ ＝0， 由图象可知：2π3 ＋φ＝π2 ＋k π，k ∈Z ，又||φ <π2 ，所以令k ＝0，φ＝－π6所以f ()x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ，只需将函数f ()x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 向左平移π12个单位长度 则可得到y ＝cos 2x 的图象， 故选A. 答案：A6．解析：由题意有A ＝2，T ＝2πω ＝8，可得ω＝π4，有f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ ，f （0）＝2sin φ＝2 ，有sin φ＝22 ，又由－π2 <φ<π2 ，得φ＝π4，有f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4 . 故选B. 答案：B7．解析：函数f （x ）＝sin ωx （其中ω>0）的图象向右平移π4个单位长度，可得y ＝sinω⎝⎛⎭⎫x －π4 ， 因为平移后的函数图象关于直线x ＝π对称，所以ω⎝⎛⎭⎫π－π4 ＝π2 ＋k π()k ∈Z ，则ω＝23 ＋43k ()k ∈Z ， 又ω>0，所以ω的最小值是23.故选D. 答案：D8．解析：根据AB → ·BC → ＝||AB → 2⇒||AB → ||BC → cos ()180°－∠ABC ＝||AB→ 2 ⇒－2cos ∠ABC ＝1，可得cos ∠ABC ＝－12，故∠ABC ＝120°，所以AD ＝6，故g （x ）的周期为24，所以2πω ＝24，ω＝π12，故选A. 答案：A9．解析：f （x ）＝cos ωx －3 sin ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 ， 由图象得：3T4 ＝π3 －⎝⎛⎭⎫－5π12 ＝3π4， 故T ＝π＝2πω，故ω＝2，故A 正确；令2k π－π≤2x ＋π3 ≤2k π得：k π－2π3 ≤x ≤k π－π6，故函数f （x ）的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－2π3，k π－π6 （k ∈Z ），故B 错误； ∵f ⎝⎛⎭⎫7π12 ＝0，故C 正确；∵f （x ）的图象可由y ＝2cos ωx 图象向左平移π6个单位长度得到，故D 错误；故选AC. 答案：AC10．解析：A ：曲线y ＝sin 2x 向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π＋π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ， 显然该函数的图象与曲线E 不重合，故A 不正确；B ：由曲线y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ，故B 正确；C ：因为f ⎝⎛⎭⎫－π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－π3 ＝－1≠0，所以点⎝⎛⎭⎫－π12，0 不是该函数的对称中心，故C 不正确；D ：由f （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝0，可得2x －π3 ＝k π（k ∈Z ）⇒x ＝k π2 ＋π6（k ∈Z ）， 因为f ()x 1 ＝f ()x 2 ＝0，所以x 1＝k 1π2 ＋π6 （k 1∈Z ），x 2＝k 2π2 ＋π6（k 2∈Z ），所以||x 1－x 2 ＝π2||k 1－k 2 ，因为x 1≠x 2，k 1，k 2∈Z ，所以||k 1－k 2 的最小值为1，即||x 1－x 2 的最小值为π2，故D 正确，故选BD. 答案：BD11．解析：将函数f （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6 （ω∈N *）的图象向右平移π6个单位后得到函数y ＝g （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋π6 的图象， 若f （x ）的所有对称中心与g （x ）的所有对称中心重合， 故f （x ）的图象和g （x ）的图象相差半个周期的整数倍， ∴π6 ＝k ·12 ·2πω ＝k ·πω ，即ω＝6k ，k ∈Z ， 则ω可等于6，12， 故选BD. 答案：BD12．解析：结合函数 y ＝|f （x ）|的图象易知，函数f （x ）的最大值3，最小值为－1, 则A ＝2，f （x ）＝2cos （x ＋φ）＋1，代入点（0，2），则2cos φ＋1＝2，cos φ＝12 ，因为|φ|<π2 ，所以φ＝π3，f （x ）＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＋1， x ＋π3 ＝k π（k ∈Z ），即x ＝－π3 ＋k π（k ∈Z ），函数f （x ）关于x ＝－π3＋k π（k ∈Z ）对称，A 不符合题意；x ＋π3 ＝π2 ＋k π（k ∈Z ），即x ＝π6＋k π（k ∈Z ），函数f （x ）关于点⎝⎛⎭⎫π6＋k π，1 （k ∈Z ）对称，B 符合题意；函数y ＝2sin x ＋1的图象向左平移5π6个单位，得出f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π6 ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π2 ＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＋1，C 符合题意； 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0 时，x ＋π3 ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3 ，cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ∈⎣⎡⎦⎤12，1 ，f （x ）∈[2，3]，D 不符合题意．故选BC. 答案：BC13．解析：根据题意，要求函数是最小正周期为2的偶函数， 可以联想余弦函数， 则f （x ）＝cos （πx ）， 答案：cos （πx ）（答案不唯一）14．解析：由函数y ＝sin （2x ＋φ）⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ ＝±1.因为－π2 <φ<π2 ，所以π6 <2π3 ＋φ<7π6 ，则2π3 ＋φ＝π2 ，φ＝－π6. 答案：－π615．解析：函数y ＝cos x 的图象沿x 轴向右平移π3个单位，得到的图象的对应函数的解析式为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ，再将该图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的12，得到新图象对应的函数解析式是y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3 .答案：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3 16．解析：将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 的图象向右平移π3 个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋π6 ＋1＝－cos 2x ＋1的图象，故g （x ）的最大值为2，最小值为0，若g （x 1）g （x 2）＝4，则g （x 1）＝g （x 2）＝2，即cos 2x 1＝cos 2x 2＝－1.又x 1，x 2∈[－2π，2π]，∴2x 1，2x 2∈[－4π，4π]，要使x 1－2x 2取得最大值，则应有2x 1＝3π，2x 2＝－3π，此时x 1－2x 2的最大值为3π2 ＋3π＝9π2.答案：－cos 2x ＋1 9π2。
高考数学二轮复习专项强化练五三角函数试题
专项强化练(五) 三角函数A 组——题型分类练题型一 同角三角函数的根本关系与诱导公式 1．sin 240°＝________．解析：sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 答案：－322．cos α＝－513，角α是第二象限角，那么tan(2π－α)＝________．解析：因为cos α＝－513，角α是第二象限角，所以sin α＝1213，所以tan α＝－125，故tan(2π－α)＝－tan α＝125.答案：1253．(2021·平潮中学模拟)当α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，假设sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，那么sin α－cos α的值是________．解析：由诱导公式得sin(π－α)－cos(π＋α)＝sin α＋cos α＝23， 所以2sin αcos α＝－79，(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝169，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α－cos α>0， 所以sin α－cos α＝43.答案：43[临门一脚]1．“小于90°的角〞不等同于“锐角〞，“0°～90°的角〞不等同于“第一象限的角〞．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z }．2．记住以下公式：(1)l ＝αR ；(2)S ＝12lR ；(3)S ＝12αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．3．利用诱导公式进展化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号→脱周期→化锐角．特别注意函数名称和符号确实定．4．在利用同角三角函数的平方关系时，假设开方，要特别注意限定角的范围，判断符号．5．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．6．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．题型二 三角恒等变换1．假设1＋cos 2αsin 2α＝12，那么tan 2α＝________．解析：因为1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，所以tan α＝2，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43. 答案：－432．假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，那么cos α的值是________． 解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3. 又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝45， ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.答案：43－3103．(2021·四校联考)角α，β满足tan αtan β＝13.假设cos(α－β)＝45，那么cos(α＋β)的值是________．解析：法一：由tan αtan β＝13，cos (α－β)＝45得，⎩⎪⎨⎪⎧sin αsin βcos αcos β＝13，cos αcos β＋sin αsin β＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin αsin β＝15，cos αcos β＝35，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝25.法二：设cos(α＋β)＝x ，即cos αcos β－sin αsin β＝x ， ①由cos(α－β)＝45得，cos αcos β＋sin αsin β＝45， ②由①②得cos αcos β＝25＋x 2，sin αsin β＝25－x2，两式相除得tan αtan β＝25－x 225＋x 2＝13，解得x ＝25，即cos(α＋β)＝25.答案：254．(2021·中学模拟)α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos 2α－cos 2α＝－14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝________．解析：因为cos 2α－cos 2α＝－14，所以cos 2α－sin 2α－cos 2α＝－14，即sin 2α＝14，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α>0，sin α＝12，所以α＝π6，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝tan π3＝ 3.答案： 35．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝13，那么tan(2α＋β)的值是________．解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝－725， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－247.又2α＋β＝⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3， 所以tan(2α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝－247＋131＋247×13＝－139.答案：－139[临门一脚]三角恒等变换中常见的两种形式：一是化简；二是求值．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进展转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进展转化求解．题型三 三角函数的定义域和值域1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的定义域为_____________________________________． 解析：由2x －π3≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋5π12(k ∈Z )，故所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π2＋5π12，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π2＋5π12，k ∈Z2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．解析：因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3. 答案：2－ 33．函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________． 解析：y ＝2cos 2x ＋5sin x －4 ＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98. 故当sin x ＝1时，y max ＝1， 当sin x ＝－1时，y min ＝－9，故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9，1]． 答案：[－9，1] [临门一脚]1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或者三角函数图象来求解，不能无视y ＝tan x 的定义域的限制．2．三角函数的值域有几种常见类型：一是可以化为HY 型的，利用三角函数图象求解；二是可以化为二次型的，利用换元法求解，但要注意“新元〞的取值范围；三是可以用导数法来解决．题型四 三角函数的图象1．将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin(4x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象，那么φ＝________．解析：将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，所以φ＝π3.答案：π32.(2021·中学模拟)函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω，φ为常数，且ω>0，0<φ<π)，f (x )的局部图象如下图，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π12的值是________．解析：由函数f (x )的图象知T 2＝7π12－π12＝π2，又ω>0，所以2πω＝π，即ωf (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，因为0<φ<π，所以π6<π6＋φ<7π6，所以π6＋φ＝π2，得φ＝π3，所以当x ≥0时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫25π6＋π3＝1.答案：13．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈[0，2π])的图象和直线y ＝12的交点的个数是____________．解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝12，解得x ＋π3＝2k π＋π6或者x ＋π3＝2k π＋5π6，k ∈Z ，即x＝2k π－π6或者x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，又因为x ∈[0，2π]，所以x ＝π2或者11π6，所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 (x ∈[0，2π])的图象和直线y ＝12 的交点的个数是2.答案：24．(2021·二模)假设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，且其相邻两条对称轴间的间隔 为π2，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是________．解析：因为函数f (x )的图象的相邻两条对称轴间的间隔 为π2，所以最小正周期T ＝2πω＝π，得ω＝2，又函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝2，φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又0<φ<π，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4＋π6＝2cos π6＝ 3.答案： 3 [临门一脚]1．要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，假设不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.4．五点法求y ＝A sin(ωx ＋φ)中的φ的方法：根据图象确定φ时要注意第一个平衡点和第二个平衡点的区别．题型五 三角函数的性质1．(2021·高三期末)函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4图象的相邻两对称轴的间隔 为________． 解析：因为函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期T ＝2π2＝π，所以该函数图象的相邻两对称轴的间隔 为π2.答案：π22．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是________． 解析：由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，因此，当k ＝－1时，直线x ＝－π6是与y 轴最近的对称轴．答案：x ＝－π63．假设函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象过点(0，3)，那么函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间是____________．解析：由题意可得，2sin (2×0＋φ)＝3， ∴sin φ＝32. 又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z .∵0≤x ≤π，∴k ＝0时，π12≤x ≤7π12，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π124．假设函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，那么φ＝________．解析：假设f (x )为偶函数，那么f (0)＝±1，即sin φ3＝±1，所以φ3＝k π＋π2(k ∈Z )．所以φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．因为φ∈[0，2π]，所以φ＝3π2.答案：3π25．假设函数f (x )＝4cos ωx sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(ω>0)的最小正周期是π，那么函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值是________．解析：由题意知，f (x )＝4cos ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6， 由f (x )的最小正周期是π，且ω>0， 可得2π2ω＝π，ω＝1，那么f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值是－1. 答案：－1 [临门一脚]1．求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数的充要条件为φ＝k π(k ∈Z )；为偶函数的充要条件为φ＝k π＋π2(k ∈Z )．3．求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；如要求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可．4．三角函数的性质主要是划归为y ＝A sin(ωx ＋φ)，再利用y ＝sin x 性质求解．三角函数划归主要是针对“角、名、次〞三个方面．B 组——高考提速练1．sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°的值是________．解析：因为sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°＝sin 18°·sin 78°＋cos 18°·cos 78°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12.答案：122．函数y ＝12sin x －1的定义域是_____________________________________．解析：由2sin x －1≠0得sin x ≠12，故x ≠π6＋2k π(k ∈Z )且x ≠5π6＋2k π(k ∈Z )，即x ≠(－1)k·π6＋k π(k ∈Z )．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠〔－1〕k ·π6＋k π，k ∈Z 3．函数y ＝2sin 2x ＋3cos 2x －4的最小正周期为________.解析：因为y ＝2sin 2x ＋3cos 2x －4＝cos 2x －2＝1＋cos2x 2－2＝12cos2x －32，故最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.答案：π4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的单调递增区间为_______________________________________．解析：由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z ) 5．cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，那么tan φ＝________．解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin φ＝32， 又|φ|<π2，那么cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.答案： 36．(2021·HY 中学模拟)将函数y ＝sin 2x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，再将函数g (x )的图象向右平移π8个单位长度，得到函数f (x )的图象，那么函数y ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4在[0，π]上的值域为________．解析：将函数y ＝sin 2x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝sin 4x 的图象．将g (x )＝sin 4x 的图象向右平移π8个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＝－cos 4x ，所以y ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＝sin x －3cos x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.因为0≤x ≤π，所以－π3≤x －π3≤2π3，－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤1，所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3在[0，π]上的值域为[－3，2]． 答案：[－3，2]7．(2021·邗江中学模拟)假设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________．解析：法一：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan α＋31－3tan α＝1，得tan α＝3－2，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝3－13－3＝33.法二：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·π12＝33，所以2tanπ121－tan2π12＝33，可得tan π12＝2－ 3.又tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－tan π121＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3tan π12＝1－〔2－3〕1＋〔2－3〕＝33. 法三：假设α为锐角，因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，所以α＋π3＝π4，α＝－π12，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan π6＝33. 答案：338．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，将函数y ＝f (x )的图象向右平移2π3个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，那么ω的最小值等于________． 解析：将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象向右平移2π3个单位长度后，所得函数为y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3.因为所得图象与原函数图象重合，所以f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3，所以kT ＝2π3，k ∈N *，即2k πω＝2π3，k ∈N *，所以ω＝3k ，k ∈N *，所以ω的最小值等于3. 答案：39．函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx (其中ω∈(0，1))，假设f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，那么f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为____________． 解析：f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6， ∵f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫π6，0， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω－π6＝0， ∴π3ω－π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝3k ＋12，k ∈Z ， ∵ω∈(0，1)，∴ω＝12， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， 由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3 10．tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，那么 sin 2αcos 2β的值是________． 解析：sin 2αcos 2β＝sin[〔α＋β〕＋〔α－β〕]cos[〔α＋β〕－〔α－β〕]＝sin 〔α＋β〕cos 〔α－β〕＋cos 〔α＋β〕sin 〔α－β〕cos 〔α＋β〕cos 〔α－β〕＋sin 〔α＋β〕sin 〔α－β〕＝tan 〔α＋β〕＋tan 〔α－β〕1＋tan 〔α＋β〕tan 〔α－β〕＝2＋31＋2×3＝57. 答案：5711．(2021·中学模拟)cos 2y ＝35，tan(x ＋y )＋tan(x －y )＝103，那么tan x ＝________． 解析：由cos 2y ＝cos 2y －sin 2y sin 2y ＋cos 2y ＝1－tan 2y 1＋tan 2y ＝35，得tan 2y ＝14.因为tan(x ＋y )＋tan(x －y )＝tan x ＋tan y 1－tan x tan y ＋tan x －tan y 1＋tan x tan y ＝103，所以2tan x 〔1＋tan 2y 〕1－tan 2x tan 2y ＝103，所以tan 2x ＋3tan x －4＝0，所以tan x ＝1或者tan x ＝－4.答案：1或者－412.(2021·中学模拟)如图，函数f (x )＝6sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象与y 轴交于点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－322，与x 轴交于A ，B 两点，假设A (－3，0)，AC ⊥BC ，那么f (3)＝________． 解析：由题意得6sin φ＝－322，所以sin φ＝－32.因为－π2<φ<π2，所以φ＝－π3.由图可知OA ＝3，OC ＝322，所以tan ∠CAB ＝OC OA ＝22，因为AC ⊥BC ，所以∠BCO ＝∠CAB ，所以tan ∠BCO ＝OBOC ＝22，所以OB ＝32，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32＝9，ω＝2πT ＝2π9，所以f (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9x －π3，所以f (3)＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9×3－π3＝6sin π3＝322. 答案：32213.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是________． 解析：原式＝2cos 〔30°－20°〕－sin 20°sin 70° ＝2〔cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°〕－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3. 答案： 314．函数f (x )＝sin x (x ∈[0，π])和函数g (x )＝12tan x 的图象交于A ，B ，C 三点，那么△ABC 的面积为________．解析：由题意知，x ≠π2，令sin x ＝12tan x ，可得sin x ＝sin x 2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，可得sin x ＝0或者cos x ＝12，那么x ＝0或者π或者π3，不妨设A (0，0)，B (π，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，那么△ABC 的面积为12×π×32＝3π4. 答案：3π4。
高考数学模拟题汇编《三角函数》专项练习题-带答案
高考数学模拟题汇编《三角函数》专项练习题-带答案1.（2024·天津和平区·高三上期末）已知函数()sin (0)f x x ωω=> 函数()f x 图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为π2 将()f x 图象上所有的点向左平移π4个单位长度 再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） 得到的图象所表示的函数为（ ） A. ()πsin 24h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()1πsin 24h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. ()πsin 24h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. ()cos2h x x = 2.（2024·天津和平耀华中学·高三上期末）已知函数()()()cos 210,0πf x A x A ϕϕ=+-><< 若函数()y f x =的部分图象如图所示 函数()()sin g x A Ax ϕ=- 则下列结论正确的个数有（ ）①将函数()1y f x =+的图象向左平移π12个单位长度可得到函数()g x 的图象 ②函数()y g x =的图象关于点π,06⎛⎫-⎪⎝⎭对称 ③函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦④若函数()()0g x θθ+≥为偶函数 则θ的最小值为7π12． A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个3.（2024·天津河北区·高三上期末）函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π 将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后得到()y g x =的图象 则下列命题中不正确．．．的是( ) A. 函数()y g x =图象的两条相邻对称轴之间距离为2π B. 函数()y g x =图象关于1112π=x 对称C. 函数()y g x =图像关于7(,0)24π对称 D. 函数()y g x =在5(0,)12π内单调减函数.4.（2024·天津河东区·高三上期末）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.有下列四个结论：①3πϕ=﹔①()f x 在7,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 ①()f x 的最小正周期T π= ①()f x 的图象的一条对称轴为3x π=.其中正确的结论有( )A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①5.（2024·天津河西区·高三上期末）将函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图像向左平移π3个单位 得到函数()y g x =的图像 若函数(y g x =）的一个极值点是π6 且在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 则ω的值为（ ）A.23B.43C.83D.1636.（2024·天津红桥区·高三上期末）已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在π6x =处取得最大值2 ()f x 的最小正周期为π 则ω=______ ()f x 在π[0,]2上的单调递减区间是______.7.（2024·天津南开区·高三上期末）设函数()()3sin (0,π)f x x ωϕωϕ-><.若π5π0,388f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x 的最小正周期大于2π 则（ ）A.17π,312ωϕ==-. B. 111π,324ωϕ== C. 2π,312ωϕ==- D. 211π,312ωϕ== 8.（2024·天津宁河区·高三上期末）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于π12x =-对称 它的最小正周期为π 关于该函数有下面四个说法： ①()f x 的图象过点π,012⎛⎫⎪⎝⎭ ②()f x 在区间5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 ()f x 的取值范围为33⎡⎢⎣⎦④把函数sin 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度 可得到()f x 的图象．以上四个说法中 正确的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 49.（2024·天津五所重点校·高三上期末）已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭ 其图象相邻两个对称中心之间的距离为π4且直线π12x =-是其一条对称轴 则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 在区间ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. 点5π,024⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D. 将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍 纵坐标不变 再把得到的图象向左平移π6个单位长度 可得到一个奇函数的图象10.（2024·天津西青区·高三上期末）将函数sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象沿x 轴向左平移8π个单位后 得到一个偶函数的图象 则ϕ的取值不可能是（ ） A. 34π-B. 4π-C.4π D.54π 11.（2024·天津八校联考·高三上期末）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的对称中心到对称轴的最小距离为π4将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后所得图象关于y 轴对称 且()()12max 1f x f x -=关于函数()f x 有下列四种说法： ①π6x =是()f x 的一个对称轴 ②π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 ③()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 ④若()()120f x f x == 则12π2k x x -= ()k ∈Z ． 以上四个说法中 正确的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 412.（2024·天津塘沽一中·高三上期末）已知函数())3cos cos f x x x x =+.下列结论错误．．的是（ ） A. ()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭ B. π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最大值 C. ()f x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. 把函数cos 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度后 再向上平移12个单位长度 可得到()f x 的图象.13.（2024·天津部分区·高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向左平移π6个单位长度 得到函数()g x 的图象 则()g x 所具有的性质是（ ） A. 图象关于直线π6x =对称 B. 图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C. ()g x 的一个单调递增区间为ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 曲线()y g x =与直线32y =的所有交点中 相邻交点距离的最小值为π6答案：1.（2024·天津和平区·高三上期末）已知函数()sin (0)f x x ωω=> 函数()f x 图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为π2 将()f x 图象上所有的点向左平移π4个单位长度 再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） 得到的图象所表示的函数为（ ） A. ()πsin 24h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B. ()1πsin 24h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C. ()πsin 24h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D. ()cos2h x x =【答案】A 【详解】由题意得π42T = 22T ππω== 则1ω= 所以()sin f x x = 则将()f x 图象上所有的点向左平移π4个单位长度变为()πsin 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） 得到的图象所表示的函数为()πsin 24h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A.2.（2024·天津和平耀华中学·高三上期末）已知函数()()()cos 210,0πf x A x A ϕϕ=+-><< 若函数()y f x =的部分图象如图所示 函数()()sin g x A Ax ϕ=- 则下列结论正确的个数有（ ）①将函数()1y f x =+的图象向左平移π12个单位长度可得到函数()g x 的图象 ②函数()y g x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 ③函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦④若函数()()0g x θθ+≥为偶函数 则θ的最小值为7π12． A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【详解】因为1311A A --=-⎧⎨-=⎩ 所以2A = 所以()()2cos 21f x x ϕ=+-．又因为()02cos 12f ϕ=-= 得3cos 2ϕ=（舍）或1cos 2ϕ=- 因为0πϕ<< 可得23ϕπ=所以()2π2cos 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ()2π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭函数()1y f x =+的图象向左平移π12个单位长度得到 ()π2π2π3π2π2cos 22cos 22sin 263323y x x x g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故A 正确对于B 令2π2π,3x k k -=∈Z 解得ππ,32k x k =+∈Z 所以()g x 关于点()ππ,023k k ⎛⎫⎪⎝⎭+∈Z 对称当1k =-时 对称点为π,06⎛⎫-⎪⎝⎭故B 正确 对于C π32g ⎛⎫=⎪⎝⎭ π03g ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππ23g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故C 错误 对于D 函数()()0g x θθ+≥为偶函数 即()2π2sin 223g x x θθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭为偶函数 所以2ππ2π32k θ-=+ Z k ∈ 解得7ππ122k θ=+ Z k ∈ 又0θ≥ 所以当1k =-时π12θ=为最小值 故D 错误． 故选：B ．3.（2024·天津河北区·高三上期末）函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π 将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后得到()y g x =的图象 则下列命题中不正确．．．的是 A. 函数()y g x =图象的两条相邻对称轴之间距离为2π B. 函数()y g x =图象关于1112π=x 对称C. 函数()y g x =图像关于7(,0)24π对称 D. 函数()y g x =在5(0,)12π内单调减函数.【答案】C 【详解】将函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位后得到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数()g x 的对称中心横坐标为262x k πππ+=+ 即()62k x k Z ππ=+∈ C 选项错误 故选C ．4.（2024·天津河东区·高三上期末）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.有下列四个结论：①3πϕ=﹔①()f x 在7,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 ①()f x 的最小正周期T π= ①()f x 的图象的一条对称轴为3x π=.其中正确的结论有( )A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①【答案】A 【详解】因为()30f = 所以3sin ϕ= 由于0ϕπ<< 所以3πϕ=或23π 由于图象最高点在y轴左侧 所以23ϕπ= ①不正确 因为06f π⎛⎫=⎪⎝⎭所以2sin()063ππω+= 解得2,63k k ωππ+=π∈Z 64k ω=- 令1k =得2ω= 周期为π ①正确由2222,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z 可得,1212k x k k 7πππ-≤≤π-∈Z 令0k =可得增区间为7,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦①正确 因为3x π=时 24233x ππ+=所以3x π=不是对称轴 ①不正确 故选：A. 5.（2024·天津河西区·高三上期末）将函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图像向左平移π3个单位 得到函数()y g x =的图像 若函数(y g x =）的一个极值点是π6 且在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 则ω的值为（ ）A.23B.43C.83D.163【答案】A 【详解】由题意得：()ππππ2sin 2sin 3636g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦又函数(y g x =）的一个极值点是π6即π6x =是函数()g x 一条对称轴所以πππππ6362k ωω++=+ 则223k ω=+（k ∈Z ） 函数 ()g x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 则函数()g x 的周期2πππ263T ω⎡⎤⎛⎫=>-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解得02ω<< 则0k = 23ω=故选：A. 6.（2024·天津红桥区·高三上期末）已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在π6x =处取得最大值2 ()f x 的最小正周期为π 则ω=______ ()f x 在π[0,]2上的单调递减区间是______. 【答案】 ①. 2 ①. ππ[,]62【详解】依题意 函数22())f x a b x ωϕ=++ 222a b + 2ππω= 解得2ω=又π()26f = 则ππ22π,Z 62k k ϕ⨯+=+∈ 即πZ π2,6k k ϕ=+∈ 因此π()2sin(2)6f x x =+ 当π[0,]2x ∈时 ππ7π(2)[,]666x +∈由ππ7π2266x ≤+≤ 解得ππ62x ≤≤ 于是()f x 在ππ[,]62上单调递减所以2ω= ()f x 在π[0,]2上的单调递减区间是ππ[,]62.故答案为：2 ππ[,]627.（2024·天津南开区·高三上期末）设函数()()3sin (0,π)f x x ωϕωϕ-><.若π5π0,388f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x 的最小正周期大于2π 则（ ）A.17π,312ωϕ==-. B. 111π,324ωϕ== C. 2π,312ωϕ==- D. 211π,312ωϕ== 【答案】C 【详解】由()f x 的最小正周期大于2π 可得π42T > 因为π5π0,388f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得5ππ3π4884=+=T 则3πT = 且0ω> 所以2π23T ω==即2()3sin 3ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭f x x 由5π25π3sin 3838ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f 即5πsin 112ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得5ππ2π122ϕ-=+k k ∈Z 则π2π12k ϕ=-- k ∈Z 且π<ϕ 可得0k = π12ϕ=- 所以23ω=π12ϕ=-.故选：C ．8.（2024·天津宁河区·高三上期末）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于π12x =-对称 它的最小正周期为π 关于该函数有下面四个说法：①()f x 的图象过点π,012⎛⎫⎪⎝⎭ ②()f x 在区间5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 ()f x 的取值范围为33⎡⎢⎣⎦④把函数sin 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度 可得到()f x 的图象．以上四个说法中 正确的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【详解】()f x 的最小正周期为π 所以2ππω= 得2ω=由()f x 关于π12x =-对称 则ππsin 1126f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以πππ,Z 62k k ϕ-+=+∈ 解得2ππ,Z 3k k ϕ=+∈ 又π2ϕ< 所以π3ϕ=- 所以()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于①：πππsin 01263f ⎛⎫⎛⎫=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①错误对于②：由5π11π1212x ≤≤得ππ3π2232x ≤-≤ 函数sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 所以()f x 在区间5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ②正确对于③：由π02x ≤≤得ππ2π2333x -≤-≤ 函数sin y x =在π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 所以()f x 的取值范围为32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦③错误 对于④ 把函数sin 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度得ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ④正确故选：B.9.（2024·天津五所重点校·高三上期末）已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭ 其图象相邻两个对称中心之间的距离为π4且直线π12x =-是其一条对称轴 则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 在区间ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C. 点5π,024⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D. 将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍 纵坐标不变 再把得到的图象向左平移π6个单位长度 可得到一个奇函数的图象【答案】C 【详解】对于A 由题意可知 函数()f x 的最小正周期为ππ242T =⨯= A 错误 2π4Tω== ()()sin 4f x x ϕ=+因为直线π12x =-是函数()f x 的一条对称轴 则()ππ4πZ 122k k ϕ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭得()5ππZ 6k k ϕ=+∈ 因为π2≤ϕ 则π6ϕ=- 所以 ()πsin 46f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.对B 当ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时 5πππ4666x -≤-≤ 故函数()f x 在区间ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调 B 错对C()5πsin π024f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ 故点5π,024⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 C 对 对D 由题意可知 ()πππsin 2sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦不为奇函数 D 错. 故选：C. 10.（2024·天津西青区·高三上期末）将函数sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象沿x 轴向左平移8π个单位后 得到一个偶函数的图象 则ϕ的取值不可能是（ ） A. 34π-B. 4π-C.4π D.54π 【答案】B 【详解】将()1sin cos sin 2222y x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到的图象对应的函数为1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由题意得()42k k Z ππϕπ+=+∈ ①()4k k Z πϕπ=+∈当1,0,1k =-时 ϕ的值分别为34π-4π 54π所以ϕ的取值不可能是4π-.故选：B. 11.（2024·天津八校联考·高三上期末）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的对称中心到对称轴的最小距离为π4将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后所得图象关于y 轴对称 且()()12max 1f x f x -=关于函数()f x 有下列四种说法： ①π6x =是()f x 的一个对称轴 ②π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 ③()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 ④若()()120f x f x == 则12π2k x x -= ()k ∈Z ． 以上四个说法中 正确的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【详解】根据题意由对称中心到对称轴的最小距离为π4可得1π44T = 即2ππT ω== 得2ω= 将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后可得()2πsin 23f x A x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭其图象关于y 轴对称 所以()f x 偶函数 则2πππ32k ϕ-+=+ Z k ∈ 解得7ππ6k ϕ=+ Z k ∈ 由π2ϕ<可知当1k =-时 π6ϕ=符合题意由()()12max 21f x f x A -==可得12A = 因此()1πsin 226f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于① 当π6x =时 π1ππ1sin 262662f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 取得最大值所以π6x =是()f x 的一个对称轴 即①正确 对于② 当π3x =-时 π12ππ1sin 032362f ⎛⎫⎛⎫-=-+=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以π,03⎛⎫-⎪⎝⎭不是()f x 的一个对称中心 即②错误 对于③ 当π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时 可得ππ7π2,666x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 又sin y x =在π7π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调 所以()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调递增的 所以③错误 对于④ 若()()120f x f x == 由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期 所以任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍 由()1πsin 226f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭周期为π可得12π2k x x -=()k ∈Z 即④正确 所以正确的个数只有①和④共2个.故选：B12.（2024·天津塘沽一中·高三上期末）已知函数())3cos cos f x x x x =+.下列结论错误．．的是（ ） A. ()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭ B. π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最大值 C. ()f x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 把函数cos 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度后 再向上平移12个单位长度 可得到()f x 的图象.【答案】A 【详解】由题意可得：()()3sin cos cos f x x x x =+3cos21π1sin 2262+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭x x x 对于选项A ：因为5π5ππ111sin sin π1266222⎛⎫⎛⎫=++=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f 所以()f x 的一个对称中心为5π1,122⎛⎫ ⎪⎝⎭ 故A 错误 对于选项B ：πππ1π13sin sin 6362222⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f 所以π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最大值 故B 正确 对于选项C ：因为ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 则πππ2,622x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦ 且sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增 所以()f x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 故C 正确对于选项D ：把函数cos 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度后 得到πππππcos 2cos 2cos 2sin 263626⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦y x x x x 的图象 再向上平移12个单位长度 得到()π1sin 262⎛⎫=++= ⎪⎝⎭y x f x 的图象 故D 正确 故选：A. 13.（2024·天津部分区·高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向左平移π6个单位长度 得到函数()g x 的图象 则()g x 所具有的性质是（ ）A. 图象关于直线π6x =对称B. 图象关于点5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称 C. ()g x 的一个单调递增区间为ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 曲线()y g x =与直线3y =的所有交点中 相邻交点距离的最小值为π6 【答案】D 【详解】由题意()ππsin 2sin 326g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于A 133πππ33sin g ⎛⎫⎛⎫=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以图象不关于直线π6x =对称 故A 错误 对于B 5π5ππ1sin 022163g ⎛⎫⎛⎫=+=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以图象不关于点5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称 故B 错误 对于C 当ππ,123x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 2π2,ππ3t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦ 由复合函数单调性可知此时()g x 单调递减 故C 错误 对于D 若()23π3sin 2g x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 则ππ22π33x k +=+或()π2π22π,Z 33x k k +=+∈ 所以曲线()y g x =与直线3y =的所有交点中 相邻交点距离的最小值为2πππ3326=-.故选：D.。
高考数学 三角函数(基础及能力训练)1
高考数学 三角函数（基础及能力训练）11． 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增2． 若将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．3．设α是第三象限角，且tan α＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝____________．4． 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求54f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．5． 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．6． 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间，(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．7． 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且04=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ， 其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值； (2)若⎪⎭⎫ ⎝⎛4αf ＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．8． 设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2. (1)求f (x )的最小正周期和对称轴方程； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，求f (x )的值域．。
高考数学专题复习题：三角函数
高考数学专题复习题：三角函数1．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是（ ）A ．cos |2|y x =B ．|sin |y x =C ．sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．3cos 22y x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭2．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么（ ）A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定 4．函数[]2sin 2,0,6y x x ππ⎛⎫=−∈ ⎪⎝⎭的增区间是（ ）A ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 5．函数2sin cos ,36y x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=−−+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．6．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是（ ）A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 7．下列关系式中正确的是（ ）A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°8．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是（ ） A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2) 9．函数2cos ,,363y x x πππ⎛⎫⎡⎤=−∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为________．10．如果x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，那么函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值为________，最大值为________．11．如果关于x 的不等式23sin 2cos 30x x m +++>在7,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，那么m 的取值范围为________． 12．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．13．如果函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，那么ω＝________．14．函数)sin(cos x y =的定义域是________．15．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为________．16．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则φ的值为________．17．已知函数()2sin 26f x x m π⎛⎫=−− ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为________．18．x y 2cos log 21=的增区间为________．19．3cos 2−=x y 的增区间为________．20．已知函数，且． （1）求的解析式．（2）已知，且，求．()),02f x x πϕϕ=+<<(0)1f =()fx ()()44f f ππαα−++=322παπ<<sin cos αα−。
三角函数、平面向量、数列强化训练参考答案
所以f (n +1)-f (n )=2n -12n-2n -32n -1=5-2n2n㊂当n =1或n =2时,f (n +1)-f (n )>0;当n ȡ3,n ɪN 时,f (n +1)-f (n )<0㊂又因为f (3)=34,所以f (n )m a x =34㊂因为不等式2λ-λ2>(2n -3)(2-a n )对任意的正整数n 恒成立,所以2λ-λ2>34,解得12<λ<32㊂24.(1)根据正弦定理a s i n A =bs i n B=cs i n C=2R ,由s i n B =s i n C 得b =c ,故B =C ,所以A =π-2B ㊂由3s i n B =2s i n A ,得3s i n B =2s i n (π-2B ),故3s i n B =4s i n B c o s B ㊂因为B ɪ(0,π),所以s i n B ʂ0,故c o s B =34㊂所以s i n B =1-c o s 2B =134㊂(2)因为s i n B =s i n C =134,c o s B =c o s C =34,所以s i n 2C =2s i n C c o s C =2ˑ34ˑ134=398,c o s 2C =2c o s 2C -1=2ˑ342-1=-58㊂所以c o s 2C +π6=c o s 2C c o sπ6-s i n 2C s i nπ6=-58ˑ32-398ˑ12=-53+3916㊂(责任编辑 王福华)三角函数㊁平面向量㊁数列强化训练参考答案一㊁选择题1.D 2.A 3.C 4.A 5.D 6.B 7.C 8.A 9.A 10.C 11.B 12.A 二㊁填空题13.-23A B ң+16A C ң14.5 15.①16.25三㊁解答题17.(1)由正弦定理得s i n B s i n A =s i n A c o s B -π6㊂又在әA B C 中,s i n A ʂ0,故s i n B =c o s B -π6=32c o s B +12s i n B ,即s i n B =3c o s B ,所以t a n B =3㊂因为B ɪ(0,π),所以角B 的大小为π3㊂(2)由a ,b ,c 依次成等比数列得b 2=a c ,由正弦定理得s i n 2B =s i n A s i nC ㊂故1t a n A +1t a n C =c o s A s i n A +c o s C s i n C=s i n (A +C )s i n A s i n C =s i n B s i n A s i n C =1s i n B =233㊂18.(1)依题意,5=c 2+2-2㊃2㊃c ㊃c o s 45ʎ,化简得c 2-2c -3=0,解得c =-1(舍去)或c =3㊂(2)S әA B C =12B A ㊃B D ㊃s i n 45ʎ=12㊃3㊃2㊃22=32㊂所以S әB C D =S әA B C -S әA D C =12,则S әB C D =12㊃B D ㊃B C ㊃s i n 45ʎ=12,即B D ㊃2㊃22=1,所以B D =1㊂由余弦定理得C D 2=B D 2+B C 2-2㊃B D ㊃BC ㊃c o s B =1+2-2㊃1㊃2c o s 45ʎ=1,所以C D =1㊂19.(1)由题意可得a 1q 3=9a 1q ,a 1(1-q 3)1-q=13,q >0,解64 演练篇 参考答案 高考数学 2022年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.得a 1=1,q =3㊂所以a n =3n -1,S n =1-3n1-3=3n-12㊂(2)假设存在常数λ,使得数列{S n +λ}是等比数列㊂因为S 1+λ=λ+1,S 2+λ=λ+4,S 3+λ=λ+13,所以(λ+4)2=(λ+1)(λ+13),解得λ=12,此时S n +12=12ˑ3n,所以S n +1+12S n +12=3㊂故存在常数λ=12,使得数列S n +λ 是等比数列㊂20.(1)因为2n ,a n ,2S n -a n 成等差数列(n ɪN *),所以2a n =2S n -a n +2n ㊂所以当n ȡ2时,2a n -1=2S n -1-a n -1+2(n -1),所以2a n -2a n -1=(2S n -a n +2n )-2S n -1-a n -1+2(n -1) ,化简得a n =3a n -1+2,所以a n +1=3(a n -1+1)㊂当n =1时,2a 1=2a 1-a 1+2,解得a 1=2,所以a 1+1=3㊂所以数列{a n +1}是首项为3,公比为3的等比数列㊂所以a n +1=3n ,a n =3n-1㊂(2)b n =a n +1a n a n +1=3n(3n -1)(3n +1-1)=1213n-1-13n +1-1㊂所以数列{b n }的前n 项和为T n =1213-1-132-1+132-1-133-1+ +13n-1-13n +1-1 =1212-13n +1-1㊂21.(1)由题意知,a 1=2㊂由a 1+2a 2+3a 3+ +n a n =(n -1)㊃2n +1+2(n ȡ1),得a 1+2a 2+3a 3+ +(n -1)a n -1=(n -2)㊃2n+2(n ȡ2)㊂以上两式相减可得n a n=n -1 ㊃2n +1+2 -n -2 ㊃2n+2 =n ㊃2nn ȡ2㊂所以a n =2n(n ȡ2)㊂当n =1时,a 1=2也适合上式㊂所以数列{a n }的通项公式为a n =2n㊂(2)由(1)知,b n =2n +1a n=2n +12n㊂所以S n =b 1+b 2+b 3+ +b n =321+522+723+ +2n +12n;12S n =322+523+724+ +2n -12n +2n +12n +1㊂两式相减得:12S n =321+522+723+ +2n +12n-322+523+724+ +2n -12n+2n +12n +1=32+2122+123+124+ +12n -2n +12n +1=12+2ˑ121-12 n1-12-2n +12n +1=52-(2n +5)㊃12n +1㊂所以S n =-(2n +5)㊃12n+5㊂22.(1)由题意可得m ㊃n =2b c o s A =a c o s C +c c o s A ㊂由正弦定理可得2s i n B c o s A =s i n A ㊃c o s C +s i n C c o s A ㊂所以2s i n B c o s A =s i n (A +C )=s i n B ㊂因为s i n B ʂ0,所以2c o s A =1,所以c o s A =12㊂又因为A ɪ(0,π),所以A =π3㊂(2)c o s 2B -4c o s A s i n B =1-2s i n 2B -2s i n B =-2s i n B +122+32㊂因为A =π3,所以0<B <2π3,所以0<s i n B ɤ1㊂当且仅当s i n B =1时,-2s i n B +122+32取得最小值,此时B =π2㊂74演练篇 参考答案 高考数学 2022年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.因为a =3,所以由正弦定理可得b =as i n A=23,c =b c o s A =3㊂故әA B C 的周长为a +b +c =3+33㊂(3)s i n B s i n C =s i n C s i n2π3-C=s i n C 32c o s C +12s i n C=34si n 2C +12s i n 2C =34s i n 2C +14(1-c o s 2C )=12s i n 2C -π6+14㊂因为A =π3,所以C ɪ0,2π3,所以2C -π6ɪ-π6,7π6 ,所以s i n 2C -π6 ɪ-12,1 ,所以12s i n 2C -π6 +14ɪ0,34㊂所以s i n B s i n C 的取值范围为0,34㊂23.(1)因为f (x )=x 2-3x ,S n =f (n ),所以S n =n 2-3n ㊂当n ȡ2时,S n -1=(n -1)2-3(n -1)㊂所以a n =S n -S n -1=2n -4㊂当n =1时,a 1=S 1=-2,也满足a n =2n -4㊂综上可得,a n =2n -4㊂(2)因为a n =2n -4,b n =a n4ˑ3n,所以b n =2n -44ˑ3n =n -22ˑ3n ,b 1=-16<0,b 2=0㊂当n ȡ3时,b n >0,故T 1=T 2为T n 的最小值,即T n 的最小值为-16㊂因为对于任意的n ɪN *,总存在x ɪ[2,4],使得T n >m f (x )成立,所以-16>[m f (x )]m i n ㊂因为x ɪ[2,4],f (x )=x 2-3x =x -322-94,所以f (x )ɪ[-2,4]㊂当m >0时,-16>[m f (x )]m i n ,即-16>-2m ,解得m >112;当m <0时,-16>[m f (x )]m i n ,即-16>4m ,解得m <-124;当m =0时,-16>0,显然不成立㊂故实数m 的取值范围为112,+ɕɣ-ɕ,-124㊂24.(1)因为A n =n 2,所以n ȡ2时,a n =A n -A n -1=n 2-(n -1)2=2n -1㊂当n =1时,a 1=1也适合上式㊂所以a n =2n -1㊂因为a n +1-a n =2(b n +1-b n ),所以b n +1-b n =12ˑ2=1㊂又因为b 1=2,所以数列{b n }是首项为2,公差为1的等差数列㊂所以B n =2n +n (n -1)2ˑ1=n 2+3n2㊂(2)因为对任意的n ɪN *,都有a n =B n ,所以a n +1-a n =B n +1-B n =b n +1㊂故b n +1-b n =12ˑ(a n +1-a n )=12b n +1,所以b n +1=2b n ,b 1>0㊂所以数列{b n }是等比数列,公比为2㊂所以B n =2n-12-1b 1=(2n-1)b 1㊂因为b n +1a n a n +1=B n +1-B n B n +1B n =1B n -1B n +1,又b 2a 1a 2+b 3a 2a 3+b 4a 3a 4+ +b n +1a n a n +1<13成立,所以1B 1-1B 2+1B 2-1B 3+ +1B n -1B n +1=1B 1-1B n +1=1b 11-12n-1<13㊂所以b 1>31-12n-1 ㊂因为对任意的n ɪN *,都成立,所以b 1ȡ3,所以正实数b 1的取值范围为[3,+ɕ)㊂(责任编辑 王福华)84 演练篇 参考答案 高考数学 2022年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高考数学复习专题训练—三角函数与解三角形解答题(含解析)
高考数学复习专题训练—三角函数与解三角形解答题1.(2021·山东滨州期中)已知向量a=(cos x,sin x),b=(4√3sin x,4sin x),若f(x)=a·(a+b).(1)求f(x)的单调递减区间;]上的最值.(2)求f(x)在区间[0,π22.(2021·北京丰台区模拟)如图,△ABC中,∠B=45°,N是AC边的中点,点M在AB边上,且MN⊥AC,BC=√6,MN=√3.(1)求∠A;(2)求BM.3.(2021·山东潍坊二模)如图,D为△ABC中BC边上一点,∠B=60°,AB=4,AC=4√3.给出如下三种数值方案:①AD=√5;②AD=√15;③AD=2√7.判断上述三种方案所对应的△ABD的个数,并求△ABD唯一时,BD的长.4.(2021·海南海口月考)在△ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,b cos C+c cos B=4,B=π.请再在下4列三个条件:①(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3a sin B;②b=4√2;③√3c sin B=b cos C中,任意选择一个,添加到题目的条件中,求△ABC的面积.5.(2021·辽宁大连一模)如图,有一底部不可到达的建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差,请你针对误差情况进行说明.6.(2021·湖北武汉3月质检)在△ABC中,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2π3,b=√6.(1)若cos A cos C=23,求△ABC的面积;(2)试问1a +1c=1能否成立?若能成立,求此时△ABC的周长;若不能成立,请说明理由.7.(2021·湖南长沙模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b-c)sinCb+a=sin B-sin A.(1)求角A;(2)若a=2,求1tanB +1tanC的最小值.8.(2021·江苏南京期中)如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q,其中∠AQC=2π3.计划在BC⏜上再建一座观赏亭P,记∠POB=θ(0<θ<π2).(1)当θ=π3时,求∠OPQ的大小;(2)当∠OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,当游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,求sin θ的值.答案与解析1.解由于f(x)=a·(a+b)=|a|2+a·b=1+4√3sin x cos x+4sin2x=1+2√3sin 2x+4·1-cos2x2=2√3sin 2x-2cos 2x+3=4sin(2x-π6)+3.(1)由π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ(k∈Z),解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递减区间是[π3+kπ,5π6+kπ](k∈Z).(2)由于x∈[0,π2],所以2x-π6∈[-π6,5π6],故当2x-π6=π2即x=π3时,函数f(x)取最大值7;当2x-π6=-π6即x=0时,函数f(x)取最小值1.2.解(1)如图,连接MC,因为N是AC边的中点,且MN⊥AC, 所以MC=MA.在Rt△AMN中,MA=MNsinA=√3sinA,所以MC=√3sinA.在△MBC中,由正弦定理可得MCsinB=BCsin∠BMC,而∠BMC=2∠A,所以√3sinA·sin45°=√6sin2A,即√3sinA·√22=√62sinAcosA,所以cos A=12,故∠A=60°.(2)由(1)知MC=MA=√3sin60°=2,∠BMC=2∠A=120°.在△BCM中,由余弦定理得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC,所以(√6)2=BM2+22-2BM·2·cos 120°,解得BM=√3-1(负值舍去).3.解过点A作AE⊥BC,垂足为点E(图略),则AE=4·sin 60°=2√3,当AD=√5时,AD<AE,所以方案①对应△ABD无解,当AD=√15时,AE<AD<AB<AC ,所以方案②对应△ABD 有两解, 当AD=2√7时,AB<AD<AC ,所以方案③对应△ABD 只有一解. 由方案③知AD=2√7,设BD=x (x>0),所以在△ABD 中由余弦定理得(2√7)2=42+x 2-2×4×x×cos 60°,即x 2-4x-12=0,解得x=6或x=-2(舍去).又因为在△ABC 中易得BC=8,BD=6<BC ,符合题意, 所以BD 的长为6.4.解 若选择条件①,则(a+b+c )(sin A+sin B-sin C )=3a sin B ,由正弦定理可得(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,所以(a+b )2-c 2=3ab ,整理得a 2+b 2-c 2=ab ,所以cos C=12,故C=π3.又B=π4,所以A=π-π3−π4=5π12. 又因为b cos C+c cos B=4,所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac=4,即a=4.由正弦定理可得asinA =bsinB , 所以b=asinB sinA=4sin π4sin 5π12=4(√3-1), 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4(√3-1)×sin π3=4(3-√3). 若选择条件②,则b=4√2. 又因为b cos C+c cos B=4,所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b22ac =4,即a=4.又B=π4,所以由正弦定理可得asinA =bsinB , 所以sin A=asinBb=4sin π44√2=12,所以A=π6或A=5π6.由于b>a ,所以B>A ,因此A=5π6不合题意舍去,故A=π6,从而C=π-π6−π4=7π12. 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4√2×sin 7π12=4(√3+1). 若选择条件③,因为b cos C+c cos B=4, 所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac=4,所以a=4.因为√3c sin B=b cos C ,所以√3sin C sin B=sin B cos C ,所以tan C=√33,于是C=π6,从而A=π-π6−π4=7π12,所以由正弦定理可得a sinA =bsinB , 所以b=asinB sinA=4sin π4sin 7π12=4(√3-1), 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4(√3-1)×sin π6=4(√3-1). 5.解 (1)选用测角仪和米尺,如图所示.①选择一条水平基线HG ,使H ,G ,B 三点在同一条直线上;②在H ,G 两点用测角仪测得A 的仰角分别为α,β,HG=a ,即CD=a.测得测角仪器的高是h ;③(方法一)在△ACD 中,由正弦定理,得ACsinα=CDsin (β-α), 所以AC=CDsinαsin (β-α)=asinαsin (β-α),在Rt △ACE 中,有AE=AC sin β=asinαsinβsin (β-α), 所以建筑物的高度AB=AE+h=asinαsinβsin (β-α)+h. (方法二)在Rt △ADE 中,DE=AEtanα, 在Rt △ACE 中,CE=AEtanβ, 所以CD=DE-CE=AEtanα−AEtanβ=AE (tanβ-tanα)tanαtanβ,所以AE=atanαtanβtanβ-tanα,所以建筑物的高度AB=AE+h=atanαtanβtanβ-tanα+h. (2)①测量工具问题;②两次测量时位置的间距差; ③用身高代替测角仪的高度.6.解 (1)由B=2π3,得A+C=π3,cos(A+C )=cos A cos C-sin A sin C ,即12=cos A cos C-sin A sin C.因为cos A cos C=23,所以sin A sin C=16.因为a sinA =c sinC =√6√32=2√2,所以a=2√2sin A ,c=2√2sin C.所以S △ABC =12·2√2sin A·2√2sin C·sin B=4sin A·sin B sin C=4×16×√32=√33. (2)假设1a +1c =1能成立,所以a+c=ac.由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,所以6=a 2+c 2+ac.所以(a+c )2-ac=6,所以(ac )2-ac-6=0,所以ac=3或ac=-2(舍去),此时a+c=ac=3. 不满足a+c ≥2√ac ,所以1a +1c =1不成立.7.解 (1)由(b -c )sinCb+a =sin B-sin A ,可得(b-c )sin C=(sin B-sin A )(b+a ),由正弦定理得(b-c )c=(b-a )(b+a ),即b 2+c 2-a 2=bc , 由余弦定理,得cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,因为0<A<π,可得A=π3.(2)由(1)知A=π3,设△ABC 的外接圆的半径为R (R>0),可得2R=asinA =4√33, 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=b 2+c 2-bc ≥bc , 即bc ≤a 2=4,当且仅当b=c=2时取等号, 又1tanB +1tanC =cosBsinB +cosCsinC =cosBsinC+sinBcosCsinBsinC =sin (B+C )sinBsinC =sinAsinBsinC =2R ·2RsinA 2RsinB ·2RsinC=2R ·abc =8√33bc ≥8√33×4=2√33,所以1tanB +1tanC 的最小值为2√33.8.解 (1)在△POQ 中,因为∠AQC=2π3,所以∠AQO=π3.又OA=OB=3,所以OQ=√3. 设∠OPQ=α,则∠PQO=π2-α+θ. 由正弦定理,得3sin (π2-α+θ)=√3sinα,即√3sin α=cos(α-θ), 整理得tan α=√3-sinθ,其中θ∈(0,π2).当θ=π3时,tan α=√33.因为α∈(0,π2),所以α=π6. 故当θ=π3时,∠OPQ=π6.(2)设f(θ)=√3-sinθ,θ∈(0,π2),则f'(θ)=-sinθ(√3-sinθ)+cos 2θ(√3-sinθ)2=1-√3sinθ(√3-sinθ)2.令f'(θ)=0,得sin θ=√33,记锐角θ0满足sin θ0=√33,当0<θ<θ0时,f'(θ)>0;当θ0<θ<π2时,f'(θ)<0, 所以f(θ)在θ=θ0处取得极大值亦即最大值.由(1)可知tan α=f(θ)>0,则α∈(0,π2),又y=tan α单调递增,则当tan α取最大值时,α也取得最大值.故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,sin θ=√33 .。
三角函数--2024年数学高考真题和模拟好题分类汇编(解析版)
专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos(α-β)=()A.-3mB.-m3C.m3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cosαcosβ,sinαsinβ的关系，结合tanαtanβ的值可求前者，故可求cosα-β的值.【详解】因为cosα+β=m，所以cosαcosβ-sinαsinβ=m，而tanαtanβ=2，所以=12×2b×kb×sin A2+12×kb×b×sin A2，故cosαcosβ-2cosαcosβ=m即cosαcosβ=-m，从而sinαsinβ=-2m，故cosα-β=-3m，故选：A.2(新课标全国Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y=sin x与y=2sin3x-π6的交点个数为() A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y=sin x的的最小正周期为T=2π，函数y=2sin3x-π6的最小正周期为T=2π3，所以在x∈0,2π上函数y=2sin3x-π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax，当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=()A.-1B.12C.1D.2【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A：当x∈-π8 ,π3时，2x-π3∈-7π12,π3，由函数y=sin x在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8 ,π3上不为单调递增，故A错误；对B：当x=5π6时，2x-π3=4π3，由x=4π3不是函数y=sin x的对称轴，故x=5π6不是f x 图象的对称轴，故B错误；对C：当x∈-π6 ,π4时，2x-π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,1 2，故C错误；对D：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y=sin2x+2×5π12-π3=sin2x+π2=cos2x，该函数关于y轴对称，故D正确.故选：D.8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由fπ4=1，得sinπ4ω+φ=22，又点π4,1及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2kπ,k∈Z，由f5π8=0，点5π8,0及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2kπ,k∈Z，联立解得ω=2，φ=-π4+2kπ,k∈Z，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f(x)=2sin2x-π4，若将函数f(x)的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y=sin2x-2θ-π4，则-2θ-π4=π2-kπ,k∈Z，而θ>0，因此θ=-3π8+kπ2,k∈N，所以当k=1时，θ取得最小值为π8 .故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。
高考数学三角函数练习题及答案解析_图文.docx
高考数学三角函数练习题及答案解析(2010 ±海文数)19.(本题满分12分)TT已知Ovxv —,化简：2lg(cos x • tan x +1 - 2 sin 2 + lg[V2 cos(x 一 彳)]一 lg(l + sin 2x). 解析：原式=lg(sin_r+cosx)+lg(cosx+siru)-lg(sinx+cosx)2=0.(2010湖南文数)16.(本小题满分12分) 已知函数 f (x) = sin 2x-2sin 2 x （I ）求函数/（x ）的最小正周期。
（II ）求函数/（X ）的最大值及/（X ）取最大值时X 的集合。
解(I )因为/(x) = sin2x-(l-cos2x)= s/2sin(2r + -J)-l t所以函数/（x ）的最小正周期为卩=夸=兀（II ）由（I ）知，当2x +于=2A 卄号，即+晋（kZ ）时，/（X ）取最大值 7?-1・因此函数/（X ）取址大值时;c 的集合为{职“后+罟”G Z}・O（2010浙江理数）（18）（本题满分14分）®AABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c, 已知 cos2C =4⑴求sinC 的值;（11）当8=2, 2sinA=sinC 吋，求 b 及 c 的长.解析：木题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。
（I ） 解：因为 cos2C=l-2sin 2C=--,及 0<C< 兀4 所以 sinC=——.4（II ） 解：当 a=2, 2sinA=sinC 吋，由正弦定理一-—=—-—,得sin A sinC c=4/x4 * it口 ■由COS2C=2COS2C-1=一一，J 及0<C<H得4cosC=±由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC,得 b 2± V6 b-12=0所以rb=>/6V、c=4 或（2010全国卷2理数）（17）（本小题满分10分）53 \ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD = 33, sin5 = —, cosZADC = -f 求 AD. 13 5【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形小的 应用，考查考牛对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】3 R由 cosZADeJ? >0,知 B< 2.12 4[fl 已知I 得 cosB=l 13 , sinZADC=5 .从而 sinZBAD=sin ( ZADC-B) =s【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近儿年高考的热点，在高考试题屮频繁出现. 这类题型难度比鮫低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保超, 不会冇太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角 或将边角互化.（2010陕西文数）17.（本小题满分12分）在AABC 屮，已知B=45° ,。
高考数学三角函数大题专项练习
高考解答题训练之三角函数1．(1)解：∵ac b=2, ∴43si s sin 2==nC inA B , ∴23sin =B ,且ABC ∆是锐角三角形，∴3π=B(2) x x x x x x f sin cos 23sin 21sin )3sin()(+-=+-=π)),0[（)6sin(3cos 23sin 23ππ∈-=-=x x x x∴3)(max =x f ,23)(min -=x f 2. 解：（1）∵A c a sin 23=，∴A C A sin sin 2sin 3=,且0sin ≠A∴23sin=C ,又三角形ABC 是锐角三角形， ∴3π=C（2）∵23343sin 21===∆ab C ab S ABC ， ∴6=ab 又∵ C ab b a ccos 2222-+=， ∴ 722=-+ab b a∴ 73)(2=-+ab b a ，∴ 2537)(2=+=+ab b a∴ 5=+b a 3.解：（1）由条件得：)sin 23cos21()(x x x f -=)sin 23cos 21(x x + 22cos 14322cos 141sin 43cos 4122xx x x -⋅-+⋅=-=412cos 21-=x , ∴ 周期ππ==22T (2))42cos(222sin 212cos 21)(π+=-=x x x x h , 故当）(242Z k k x ∈=+ππ，即）(8Z k k x ∈-=ππ时，取最大值)(x h ，故所求的角的集合为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=）(8Z k k x x ππ 4．解：（1） ∵q p //，∴ 02cos 7122si ）sin -1（=-⋅A nA A ∴ 0）sin 21(7122sin 2si 22=---A A nA ∴ 067sin 5si 2=-+A A n ，∴ 53si =nA （2）∵ 53si =nA ，故54cos ±=A 又3sin 21==∆A bc S ABC ，且2=b ，∴ 5=c ∴ 45或13cos 2222=-+=A bc c b a∴ 53或13=a5．解：（1） ∵ 4cos 2222=-+=C ab b a c，∴2=c故ABC ∆的周长为：5 （2）∵ 41cos =C , ∴415sin =C 又∵ 87222144cos =⨯⨯-+=A , ∴ 815sin =A ∴ 1611sin sin cos cos )cos(=+=-C A C A C A6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知B ＝60°．（Ⅰ）若cos(B ＋C )＝－1114，求cos C 的值；（Ⅱ）若a ＝5，→AC ·→CB ＝5，求△ABC 的面积．7．在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别是a 、b 、c ，若.0cos )2(cos =++B c a C b (I)求内角B 的大小；(Ⅱ)若b=2，求∆ABC 面积的最大值．8．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知B ＝60°，cos(B ＋C )＝－1114．（Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）若a ＝5，求△ABC 的面积．9． 已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈的图象的一部分如下图所示． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()(2)y f x f x =++的最大值与最小值．y1 12 －2－1 －1 02 3 4 5 67x第16题图10. 在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在x=处取得最大值．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．。
2023高考数学复习专项训练《三角函数的应用》(含答案)
2023高考数学复习专项训练《三角函数的应用》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）设函数f(x)=Acos(ωx+φ)（其中A＞0，|ω|<;4,0<;φ<;π)的大致图象如图所示，则f（x）的最小正周期为（）A. π2B. πC. 2πD. 4π2.（5分）数学必修二介绍了海伦−秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.若把以上这段文字写成公式，即S=√14[a2c2−(a2+c2−b22)2]，其中a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边.若√3cosB√3sinB =1tanC，b=2，则△ABC面积S的最大值为()A. √3B. √5C. 3D. √23.（5分）某干燥塔的底面是半径为1的圆面O，圆面有一个内接正方形ABCD框架，在圆O的劣弧BC上有一点P，现在从点P出发，安装PA，PB，PC三根热管，则三根热管的长度和的最大值为()A、4B、2√3C、3√3D、2√6A. 4B. 2√3C. 3√3D. 2√64.（5分）现只有一把长为2m的尺子，为了求得某小区草坪坛边缘A，B两点的距离AB(AB大于2m)，在草坪坛边缘找到点C与D，已知∠ACD=90∘，且tan∠ADB=−2√2，测得AC=1.2m，CD=0.9m，BD=1m，则AB=()A. √373m B. √5m C. √172m D. 3√22m5.（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>;0,ω>;0,|φ|<;π2)在一个周期内的图象如图所示.若方程f（x）=m在区间[0，π]上有两个不同的实数解x1,x2，则x1+x2的值为（)A. π3B. 23π或43π C. 43π D. π3或43π6.（5分）设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0⩽t⩽24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：经长期观观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()A、y=12+3sinπ6t,t∈[0,24]B、y=12+3sin(π6t+π),t∈[0,24]C、y=12+3sinπ12t,t∈[0,24]D、y=12+3sin(π12t+π2),t∈[0,24]A. y=12+3sinπ6t,t∈[0,24]B. y=12+3sin(π6t+π),t∈[0,24]C. y=12+3sinπ12t,t∈[0,24]D. y=12+3sin(π12t+π2),t∈[0,24]7.（5分）泰山于1987年12月12日被列为世界文化与自然双重遗产，泰山及其周边坐落着许多古塔.某兴趣小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60∘，在塔底C处测得A处的俯角为45∘.已知山岭高CD为256米，则塔高BC为()A. 256(√2−1)米B. 256(√3−1)米C. 256(√6−1)米D. 256(2√3−1)米8.（5分）为迎接校运动会的到来，学校决定在半径为20√2m，圆心角为π的扇形空地4OPQ内部修建一平行四边形观赛场地ABCD，如图所示，则观赛场地面积的最大值为( )A. 200m2B. 400(2−√2)m2C. 400(√3−1)m2D. 400(√2−1)m29.（5分）如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s（cm）和时)，那么单摆摆动一个周期所需的时间为间t（s）的函数关系式为s=6sin(2πt+π6（）A. 2πsB. πsC. 0.5sD. 1s10.（5分）小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为()A. 11+sin α米 B. 11−cos α米 C. 11−sin α米D. 11+cos α米11.（5分）瀑布是庐山的一大奇观，为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A 点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为32，沿山道继续走20m ，抵达B 点位置测得瀑布顶端的仰角为π3.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为π3，则该瀑布的高度约为()A. 60mB. 90mC. 108mD. 120m12.（5分）设y =f(t)是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中0⩽t ⩽24，表格中是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数y =f(t)的图象可以近似地看成函数y =k +Asin(ωt +φ)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A. y =12+3sin π6t,t ∈[0，24] B. y =12+3sin(π6t +π2)，t ∈[0，24] C. y =12+3sin π12t,t ∈[0,24] D. y =12+3sin(π12t +π2)，t ∈[0,24] 二 、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）振动量函数y =√2sin(ωx +φ)(ω>;0)的初相和频率分别为-π和32，则它的运动周期为_______________，相位是_______________.14.（5分）如图，在平面直角坐标系中，点P 以每秒π2的角速度从点A 出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到B ，再以每秒π3的角速度从点B 沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点O，则上述过程中动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为__________.15.（5分）函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>;0,|φ|<;π2)的图象如图所示，则函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为_______________；为了得到g(x)=sinωx的图象，只需把y=f(x)的图象上所有的点向右平移_______________个单位长度.16.（5分）已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0⩽t⩽24，单位：小时)的函数，记作y=f(t).某日各时刻记录的浪高数据如下表：经长期观测，y=f(t)可近似地看成是函数y=Acosωt+b.根据以上数据，可得函数y=Acosωt+b的表达式为__________.17.（5分）一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16分钟后P点距地面的高度是____．三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）某地为发展旅游业，在旅游手册中给出了当地一年每个月的月平均气温表，根据图中提供的数据，试用y=Asin(ωt+φ)+b近似地拟合出月平均气温y(单位：℃)与时间t(单位：月)的函数关系，并求出其周期和振幅，以及气温达到最大值和最小值的时间.(答案不唯一)19.（12分）某地种植大棚蔬菜，已知大棚内一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：ℎ)的变化近似满足函数关系：f(t)=12−3sin(π12t+π3)，t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若某种蔬菜的生长要求温度不高于10.5℃，若种植这种蔬菜，则在哪段时间大棚需要降温？20.（12分）如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20m.(1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少?(2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远?21.（12分）健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140mmHg和60～90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)=25sin160πt+115，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期;(2)求此人每分钟心跳的次数;(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.22.（12分）如果α为小于360°的正角，且这个角的7倍角的终边与这个角的终边重合，则这样的角α是否存在?23.（12分）某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：（A＞0，ω＞0）.（1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，则船舶在一天中有几个小时可以安全进出该港？答案和解析1.【答案】C;【解析】略2.【答案】A;【解析】此题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，两角和与差公式，考查二次函数求最值问题，考查转化思想，属于较难题．先利用两角和的正弦公式、三角形的内角和、诱导公式化简已知条件可得sinC=√3sinA，由正弦定理可得c=√3a代入面积公式结合二次函数的性质即可求解.解：因为√3cosB√3sinB =1tanC=cosCsinC，所以sinC=√3sinCcosB+√3cosCsinB=√3sin(B+C)=√3sinA，由正弦定理可得：c=√3a，代入面积公式可得：S=√14[a2⋅3a2−(a2+3a2−222)2]=√14[3a4−(2a2−2)2]=√14(−a4+8a2−4)=√14[−(a2−4)2+12]=√−14(a2−4)2+3，所以当a=2时，−14(a2−4)2+3取得最大值3，所以△ABC面积S的最大值为√3，故选：A.3.【答案】null;【解析】此题主要考查三角函数的实际应用，属于基础题.求出|PA|+|PB|+|PC|=2√3sin(θ+φ)，利用三角函数的性质即可求解.解：如图，设∠PAC=θ，θ∈[0,π4]，可得|PA|+|PB|+|PC|=2[cosθ+sin(π4−θ)+sinθ]=(2+√2)cosθ+(2−√2)sinθ=2√3sin(θ+φ)，其中tanφ=3+2√2，φ∈(π4,π2 )，所以(|PA|+|PB|+|PC|)max=2√3，由的范围可以取到最大值.故选B.4.【答案】C;【解析】此题主要考查解三角形的实际应用，考查数学运算的核心素养与应用意识，属于中档题.由题意可得AD=1.5m，利用tan∠ADB，求出cos∠ADB，进一步进行求解即可.解：因为∠ACD=90∘，AC=1.2m，CD=0.9m，所以AD=√AC2+CD2=1.5m.因为tan∠ADB=−2√2，所以cos∠ADB=−13，所以AB=√1.52+12−2×1.5×1×(−13)=√172m.5.【答案】D;【解析】略6.【答案】null;【解析】此题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式以及应用，通过对实际问题的分析，转化为解决三角函数问题，属基础题.通过排除法进行求解，由y=f(t)可以近似看成y=k+Asin(ωx+φ)的图象，故可以把已知数据代入y=k+Asin(ωx+φ)中，分别按照周期和函数值排除，即可求出答案．解：排除法：∵y=f(t)可以近似看成y=k+Asin(ωx+φ)的图象，∴由T=12可排除C、D，将(3,15)代入，排除B.故选A.7.【答案】B;此题主要考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了数形结合思想和运算求解能力，属于基础题．根据题意结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出塔高BC 的值．解：如图所示，在Rt △ACD 中，∠CAD =45°，CD =256， 所以AD =256，在Rt △ABD 中，∠BAD =60°， 所以BD =ADtan∠BAD =256√3， 所以BC =BD −CD =256√3−256， 即塔高BC 为256(√3−1)米． 故选：B.8.【答案】D;【解析】如图所示，连接OC ，设∠COA =θ，作DF ⊥OP ，CE ⊥OP ，垂足分别为F ，E ．根据平面几何知识可知，AB =CD =EF ，DF =OF =CE ，∴CE =20√2sinθ，EF =OE −OF =20√2cosθ−20√2sinθ．故四边形ABCD 的面积S 等于四边形DFEC 的面积，即有S =20√2sinθ×20√2(cosθ−sinθ)=400(sin2θ+cos2θ−1)=400√2sin(2θ+π4)−400，其中θ∈(0,π4)．所以当sin(2θ+π4)=1，即θ=π8时，S max =400(√2−1)，即观赛场地面积的最大值为400(√2−1)m 2．故选D ．9.【答案】D;10.【答案】C; 【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用. 由题设可得PA −1=PAsinα，即可得结果. 解：由题设，PC =PB′sinα=PAsinα，而PC =PA −1，所以PA −1=PAsinα，可得PA =11−sinα米.故选：C11.【答案】A; 【解析】此题主要考查解三角形的应用，根据题意作出示意图是解答该题的关键，考查空间立体感、学科素养和运算能力，属于中档题．作出示意图，过点B 作BC ⊥OA 于C ，结合三角函数和勾股定理，转化为平面几何中的简单计算，即可得解．解：根据题意作出如下示意图，其中tanα=32，β=θ=π3，AB =20m ，过点B 作BC ⊥OA 于C ， 设OH =3x ，则OA =OH tanα=2x ，OB =OH tanβ=√3x ，在Rt △ABC 中，因为AB =20，θ=π3，所以AC =AB ×cos π3=10，BC =AB ×sin π3=10√3，所以OC =OA −AC =2x −10，在Rt △OBC 中，由勾股定理知，(2x −10)2+(10√3)2=(√3x)2， 化简得x 2−40x +400=0，解得x =20， 所以瀑布的高度OH =3x =60m.故答案选：A.12.【答案】A;【解析】略13.【答案】23;3πx−π; 【解析】略14.【答案】f(t)={2sinπt2,0<t⩽2sin[π3(t−2)+π],2<t⩽5;【解析】此题主要考查利用三角函数的定义解决实际问题，在做题过程中点的坐标与角度之间的关系，属于综合题.解：由三角函数的定义可得：当动点P在半径为2的上半圆上运动时，t∈(0,2],终边OP对应的角度为π2t，所以P点坐标为(2cosπ2t,2sinπ2t)，当动点P在半径为1的下半圆上运动时，t∈(2,5],终边OP对应的角度为π3(t−2)+π，所以P点坐标为(cos[π3(t−2)+π],sin[π3(t−2)+π])，综上：动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为y={2sinπ2t,t∈(0,2]sin[π3(t−2)+π],t∈(2,5]15.【答案】π;π6+kπ,k∈Z;【解析】略16.【答案】y=12cosπ6t+1;【解析】此题主要考查了三角函数模型的应用的相关知识，试题难度一般. 解题时先计算出周期和振幅，然后求解解析式即可.解：由表中数据，知周期T=12，∴ω=2πT =2π12=π6，由t=0，y=1.5，得A+b=1.5；由t=3，y=1.0，得b=1.0，∴A=0.5，b=1，∴y=12cosπ6t+1.17.【答案】14;【解析】解：设P 与地面高度与时间t 的关系，f （t ）=Asin （ωt+φ）+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意可知：A=8，B=10，T=12，所以ω=，又因为f （0）=2，故ϕ=-πt所以f （16）=8sin(π- ． 故答案为：14．18.【答案】解：根据图象可知，当t =1时，y 有最小值15;当t =8时，y 有最大值27. ∴{−A +b =15ω+φ=−π28ω+φ=π2A +b =27解得{A =6b =21ω=π7φ=−9π14， ∴y =6sin(π7t −9π14)+21，周期T =2πω=2ππ7=14，振幅A =6.气温在1月份时达到最低， 在8月份时达到最高.;【解析】此题主要考查由y =Asin(ωt +φ)的部分图象确定其解析式，属于中档题． 当t =8月份时平均气温达到最大值25℃，当t =1月份时，平均气温达到最小值15℃，列出方程组，结合周期与振幅，从而可得函数解析式．19.【答案】解：(1)由题意，函数f(t)=12−3sin(π12t +π3)，t ∈[0,24), 根据正弦型函数的性质可得−1⩽sin(π12t +π3)⩽1，所以f(t)max=15,f(t)min=9，可得f(t)max−f(t)min=6，则实验室这一天的最大温差为6℃.(2)由题意，令f(t)>10.5，即12−3sin(π12t+π3)>10.5，即sin(π12t+π3)<12，因为t∈[0,24),可得π12t+π3∈[π3,7π3),所以5π6<π12t+π3<13π6，解得6<t<22，即在6时至22时这段时间内大棚需要降温.;【解析】此题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，三角函数模型的应用，属于中档题.(1)根据正弦型函数的性质可得−1⩽sin(π12t+π3)⩽1，求得f(t)max=15,f(t)min=9，进而求得这一天的最大温差；(2)根据题意，令f(t)>10.5，得到sin(π12t+π3)<12，利用正弦型函数的性质，求得t的范围即可求解.20.【答案】解(1)连接OB，如图所示，设∠AOB=θ，则AB=OBsinθ=20sinθ，OA=OBcosθ=20cosθ，且θ∈(0,π2).因为A，D关于点O对称，所以AD=2OA=40cosθ.设矩形ABCD的面积为S，则S=AD·AB=40cosθ·20sinθ=400sin2θ.因为θ∈(0,π2)，所以2θ∈(0,π)，所以当sin2θ=1，即θ=π4时，S max=400(m2).此时AO=DO=10√2(m).故当A，D距离圆心O为10√2m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400m2.(2)由(1)知AB=20sinθ，AD=40cosθ，所以AB+BC+CD=40sinθ+40cosθ=40√2sin(θ+π4)，又θ∈(0,π2)，所以θ+π4∈(π4,3π4)，当θ+π4=π2，即θ=π4时，(AB+BC+CD)max=40√2(m)，此时AO=DO=10√2(m)，即当A，D距离圆心O为10√2m时，步行小路的距离最远.;【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查正弦函数的最值，是中档题21.【答案】解(1)T =2π|ω|=2π160π =180(min).(2)f =1T=80. 即此人每分钟心跳的次数为80.(3)p(t)max =115+25=140(mmHg)，p(t)min =115−25=90(mmHg)， 即收缩压为140mmHg ，舒张压为90mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90mmHg ，在正常值范围内.;【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查正弦函数的周期与频率之间的关系以及求正弦函数的的值域相关问题，属于一般题.22.【答案】解：由题意，有7α=k·360°＋α(k ∈Z)，即α=k·60°． 又由于0°＜α＜360°，即0°＜k·60°＜360°(k ∈Z)，则k 取1，2，3，4，5，所以α的值可取60°，120°，180°240°，300°．; 【解析】略.23.【答案】【解析】（1）由题表中数据可得：水深的最大值为13，最小值为7，所以{A +B =13,−A +B =7B =13+72=10,A =13−72=3,且相隔12小时达到一次最大值，说明周期为12，因此T=2πω=12,ω=π6,故f(t)=3sin π6t +10(0≤t ≤24)（2）要想船舶安全，必须f （t ）≥11.5，即3sin π6t +10≥11.5， 所以sin π6t ≥12，所以2kπ+π6≤π6t ≤5π6+2kπ,k ∈Z ，解得12k+1≤t≤5+12k ，k ∈Z ，当k=0时，1≤t≤5；当k=1时，13≤t≤17.故船舶能安全进出该港的时间段为1：00至5：00，13：00至17：00，共8个小时.; 【解析】略。
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高考数学基础强化训练题—《三角函数》一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于（ ）A ．17 B ．7 C ．17- D ．7- 2．将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=-3．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于 （ ）A ．23 B ．32C ．2D ．3 4．设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是（ ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值5．已知非零向量AB 与AC 满足().0AB AC BC AB AC+=且1..2AB AC AB AC = 则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形6．下列函数中,图像的一部分如右图所示的是（ ）A ．y =sin(x +6p )B ．y =sin(2x －6p )C ．y =cos(4x －3p) D ．y =cos(2x －6p ) 7．若△ABC 的内角A 满足322sin =A ，则sincos AA +=（ ）A ．315B ．315-C ．35D ．35-8．△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为（ ）A ．6π B ．3πC ．2πD ．23π 9．函数sin 2cos 2y x x =的最小正周期是（ ）A ．2πB ．4πC ．4πD ．2π 10．设a b c 分别是ΔABC 的三个内角ABC 所对的边,则a 2=b (b +c)是A =2B 的 （ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件11． "等式sin()sin 2αγβ+=成立"是",,αβγ成等差数列 "的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 12．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ）A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．已知βα,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53,13124sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos πα=___ _．14．给出下面的3个命题：（1）函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π；（2）函数)23sin(π-=x y 在区间)23,[ππ上单调递增；（3）45π=x 是函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是 ．15． cos 43cos77sin 43cos167oooo+的值为 ．16．函数|)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的图象如图所示，则()()()()=++++2006321f f f f 的值等于 .2 026xy三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量()()1,3,cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅=． （1）求角A ；（2）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tan B ．18．（本小题满分12分）已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f . （1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域.19．（本小题满分12分）已知310,tan cot 43παπαα<<+=-． （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin 8sincos11cos 822222sin 2ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．20．（本小题满分12分）有一块半径为R ，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.21．（本小题满分12分）设)2,0(πα∈，函数)(x f 的定义域为]1,0[，且,0)0(=f1)1(=f ，对定义域内任意的,x y ，满足)()sin 1(sin )()2(y f x f yx f αα-+=+，求: （1）)21(f 及)41(f 的值；（2）函数()sin(2)g x x α=-的单调递增区间；（3）N n ∈时，12n na =，求)(n a f ,并猜测∈x ]1,0[时，)(x f 的表达式.22．（本小题满分14分）已知函数22()sin 3sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =++∈（1）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？参考答案1．B ．∵(,)2παπ∈，3sin 5α=， ∴ 4cos 5α= ， 3tan 4α=，∴ 31tan 14tan()7341tan 14πααα+++===-- ．2．C. 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=，因此选C. 3．B ．∵ ()2sin (0)f x x ωω=>的最小值是2-时 2 ()2k x k Z w wππ=-∈ ∴2324k w w ππππ-≤-≤ ∴362w k ≥-+且82w k ≥- ∴min 32w = 故本题的答案为B.4．B. 令sin ,(0,1]t x t =∈，则函数()sin (0)sin x a f x x xπ+=<<的值域为函数1,(0,1]ay t t =+∈的值域，又0a >，所以1,(0,1]ay t t=+∈是一个减函减，故选B.5．A 向量和三角形之间的依赖关系，认识角平分线和高及夹角用两向量数量积包装的意义， 注意0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+= ⎪⎝⎭知,角A 的平分线和BC 的高重合, 则→→=AC AB ，由21=∙→→→→ACAC ABAB 知，夹角A 为600,则ABC △为等边三角形，选A ．6．D 由图像可知,所求函数的周期为p 排除(A)(C)对于(B)其图像不过(6p-,0)点，所以应选D. 7．A.∵sin 22sin cos 0A A A =>，∴cos 0A >. ∴sin cos 0A A +>，sin cos A A +=2(sin cos )A A +12sin cos 1sin 2A A A =+=+215133=+=.应选A. 8．B. 222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ⇒+-=-⇒+-=，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23C C π=⇒=，故选择答案B.9．D. 1sin 2cos 2sin 42y x x x ==所以最小正周期为242T ππ==,故选D. 10．A 由余弦定理得a 2=b 2+c 2－2bc cos A ,所以a 2=b (b +c)+c 2－bc －2bc cos A 中c 2－bc －2bc cos A =c (c －b －b cos A )=2Rc (sin C －sin B －2sin B cos A )=Rc (sin(A +B )－sin B －2sin B cos A )=Rc (sin(A －B )－sin B )(*),因为A =2B ,所以(*)=0,即得a 2=b (b +c);而当由余弦定理和a 2=b (b +c)得bc =c 2－2bc cos A ,l 两边同时除以c 后再用正弦定理代换得sin B =sin C －2sin B cos A ,又在三角形中C =π－(A +B),所以sin B =sin(A +B )－2sin B cos A ,展开整理得sin B =sin(A －B ),所以B =A －B 或A =π(舍去),即得A =2B ,所以应选A ． 11．B 若()sin sin 2αγβ+=,则“α，β，γ成等差数列”不一定成立,反之必成立,选B ．12．D. 111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形.故选D.13．5665- 由于3,(,)4παβπ∈,所以322παβπ<+<,24ππβπ<-<,故4cos()5αβ+=,5cos()413πβ-=-,cos()cos[()()]44ππααββ+=+--=45123()()513135⨯-+⨯-=5665-.14．①②．③中π45=x 是)252sin(π+=x y 的对称中心． 15．12-．诱导公式变角，再逆用三角公式切入， cos 43cos77sin 43cos167+=();21120cos 77sin 43sin 77cos 43cos 00000-==-+16．2．由图象知()4sin 2,42,0xx f T πππωφ=∴===，其图象关于点()6,2,0,4==x x 对称知，()()()()()()()()2006321,682502006,8,08321f f f f T f f f f ++++∴+⨯===++++()()()()()()()()()().246sin 45sin 44sin 43sin 42sin 4sin 26543212006200320022001=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=+++++=++++=ππππππf f f f f f f f f f17．（1）∵1m n ⋅= ∴()()1,3cos ,sin 1A A -⋅= 即3sin cos 1A A -=312sin cos 122A A ⎛⎫⋅-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-= ∴3A π=．（2）由题知2212sin cos 3cos sin B BB B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=． ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --=， ∴tan 2B =或tan 1B =-．而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =．∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--23123+=--85311+=．18．（1）53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππ ，x x x x f c o s 2c o s 21s i n 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x c o s s i n 3-=53354+=. （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f ，ππ≤≤x 2 ， 6563πππ≤-≤∴x ， 16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[.19．（1）由10tan cot 3αα+=-得23tan 10tan 30αα++=，即1tan 3tan 3αα=-=-或，又34παπ<<，所以1tan 3α=-为所求. （2）225sin 8sin cos 11cos 822222sin 2ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭=1-cos 1+cos 54sin 118222cos αααα++--=55cos 8sin 1111cos 1622cos αααα-+++--=8sin 6cos 8tan 622cos 22αααα++=--=526-.20．如下图，扇形AOB 的内接矩形是MNPQ ，连OP ，则OP=R ，设∠AOP=θ，则∠QOP =45°－θ，NP=R sin θ,在△PQO 中，︒=θ-︒135sin )45sin(R PQ ，∴PQ =2R sin(45°－θ).S 矩形MNPQ =QP ·NP=2R 2sin θsin(45°－θ)=22R 2·［cos(2θ－45°)－22］ ≤212-R 2，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°时，S 矩形MNPQ 的值最大且最大值为212-R 2. 工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB ，以扇形一半径OA 为一边，在扇形上作角AOP 且使∠AOP =22.5°，P 为边与扇形弧的交点，自P 作PN ⊥OA 于N ，PQ ∥OA 交OB 于Q ，并作OM ⊥OA 于M ，则矩形MNPQ 为面积最大的矩形，面积最大值为212-R 2. 21．（1）αααsin )0()sin 1(sin )1()()(20121=-+==+f f f f ，122011()()()sin (1sin )(0)sin 422f f f f a a a +==+-=， αααα221sin sin 2)21()sin 1(sin )1()21()43(-=-+=+=f f f f ， αααα324143sin 2sin 3)41()sin 1(sin )43()2()21(-=-+=+=f f f f ， 212sin 1sin 0sin ,sin )sin 23(sin ===∴-=∴αααααα或或，4141212162)(,)(,,),,0(===∴∈f f 因此ππαα .（2）)2sin()2sin()(656ππ+=-=x x x g ,)(x g ∴的增区间为)](,[632Z k k k ∈--ππππ.（3） N n ∈，nn a 21=，所以))((21)21(21)2021()21()(111N n a f f f f a f n n n n n ∈==+==---， 因此)(n a f 是首项为21)(1=a f ，公比为21的等比数列，故nn n f a f 21)21()(==， 猜测x x f =)(. 22．（1）1cos 23()sin 2(1cos 2)22x f x x x -=+++ 313sin 2cos 22223sin(2).62x x x π=++=++()f x ∴的最小正周期2.2T ππ== 由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即 ,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）方法一：先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度，得到sin(2)6y x π=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3sin(2)62y x π=++的图象.方法二：把sin 2y x =图象上所有的点按向量3(,)122a π=-平移，就得到3sin(2)62y x π=++的图象.。