第5章轴向拉压2

FN2 = F2
FN1l1 FN2l2 ( F2 − F1 )l1 F2 l2 + ∆l = + = EA EA EA EA
F2 (l1 + l2 ) F1l1 ∴ ∆l = − EA EA
F A a B a C 2F 3F
x F
例 ：已知杆件的 E、A、F、a 。 截面位移） 求：△LAC 、δB（B 截面位移） εAB （AB 段的线应变）。 段的线应变）。 解：1) 2) FN 计算内力， 计算内力，画 FN 图： 计算： 计算：
钢索
∑ mA = 0
60° 60° D
A
800
B
400 C 400
FN sin 60o × 0.8 − 1.2 F + 1.6 FN sin 60o = 0
F A FN FN B D C
∴FN = F /
3 = 11 . 55 ( kN )
2) 钢索的应力和伸长分别为： 钢索的应力和伸长分别为：
FN 11 . 55 σ = = × 10 9 = 151 ( MPa ) A 76 . 36
（−） F+γL1A1
N
12m
x2
σ max
FN max = ≤ [σ ] ⇒ A A
C x
F+γL1A1+γL2A2
例：结构如图，已知材料的[σ]= M P a ，E=20 G P a,混凝土容 结构如图，已知材料的[ ]=2 混凝土容 重γ =22k N/m³，设计上下两段的面积并求A截面的位移△ A。 ，设计上下两段的面积并求 截面的位移 F=100 kNF A x1 12m AB：FN1（x1）=F+γA1x1 P BC：FN2（x2）=F+γL1A1 + γA2x2
L1
b1
横向线应变： 横向线应变： ε ′ =
∆a a
∆b = b
b
实验证明，在弹性范围内： 实验证明，在弹性范围内：
µ =
ε ′ ε
a1 a
→
ε ′ = − µε
µ —— 横向变形系数（泊松比） 横向变形系数（泊松比）
例
试分析杆 AC 的轴向变形 ∆l。 C 截面的位移？
分段求解: 分段求解:
FN1 = F2 − F1
F
刚索
A
△1
B
C
△c
D
△2
=
B ′ D′
∆L 1.36 = = 0.79(mm) 2 sin 60 3 2× 2
例：结构如图，已知材料的[σ]= M P a ，E=20 G P a,混凝土容 结构如图，已知材料的[ ]=2 混凝土容 重γ =22k N/m³，设计上下两段的面积并求A截面的位移△ A。 ，设计上下两段的面积并求 截面的位移 F=100 kN F A x1 12m 解：1、画轴力图 P AB：FN1（x1）=F+γA1x1 BC：FN2（x2）=F+γL1A1 + γA2x2 2、由强度条件设计截面积 B
F + γ L 1 A1 ≤ [σ A1 ⇒
N
]
B
F+γL1A1
F A1 ≥ [σ ] − γL1
12m
x2
F + γ L 1 A1 + γ L 2 A 2 ≤ [σ A2 ⇒
F+γL1A1+γL2A2
]
C x
F + γL1 A1 A2 ≥ [σ ] − γL2
F=100 kN A 12m
AB：FN1（x1）=F+γA1x1 BC：FN2（x2）=F+γL1A1 + γA2x2 3、确定 截面的位移 、确定A截面的位移
2)求各杆的伸长 ∆li
3)画A点的位移图
A1
AA5 = AA4 + A4 A5
AA4 = ∆l1 / cos 45o , A4 A5 = ∆l2 ctg 45o ∆l1 AA5 = + ∆l2 ctg 45o = 0.9999mm + 0.404 mm cos 45o ∴ AA5 = 1.404 mm
N1
B
FN 2
l1
l2
FN1 = 2 P = 14.14kN ,
FN 2 = − P = −10kN
A
P
C
A2 45 ∆l2
P
A
∆l1
14.14 × 103 × 1 = 0.707 mm, ∆l1 = = 9 −6 E1 A1 200 × 10 × 100 × 10 FN 2 l2 − 10 × 103 × 2 ∆l2 = = = −0.404mm 9 −6 E2 A2 70 × 10 × 250 ×10 × 2 FN1 l1
45
A4 A3 A5
为刚梁， 例 ：设横梁 ABCD 为刚梁，横截面面积为 76.36mm² 的钢索绕过 设横梁 无摩擦的滑轮。 无摩擦的滑轮。设 F=20kN，试求：刚索的应力和 C 点的垂直 ，试求： 位移。 位移。设刚索的 E =177GPa。 。 ）、求钢索内力 解：1）、求钢索内力： 对：ABD ）、求钢索内力：
二、杆系结构的节点位移
点的节点位移？ 求C点的节点位移？ 点的节点位移 A l B
1
一）、分析受力确定各杆的内力 FNi ）、分析受力确定各杆的内力 二）、求各杆的变形量△li； ）、求各杆的变形量△ 求各杆的变形量
l C
∆l2
2
∆l1
C1
F Ni l i ∆ li = E i Ai
三）、画节点位移图求节点位移 ）、画节点位移图求节点位移 以垂线代替图中弧线
F
2）作伸长或缩短线端点垂线； 作伸长或缩短线端点垂线； B’ 点就是节点 的位移点。 点就是节点B的位移点 的位移点。
3 ) B点水平位移： B = BB 1 = ∆ L1 u 点水平位移：
C
图2
vB = BB2
B2
拉 FN 1 压 FN 2
B'
B F
B点垂直位移： 点垂直位移：
vB ∆ L2 = ∆ L 1 ctg α + sin α
刚索
A
800
B
60° 60° D 400 C 400
∆L =
FN L 11 .55 × 1 .6 = = 1 .36 ( mm ) EA 76 .36 × 177
3）画变形图求C点的垂直位移为： ）画变形图求 点的垂直位移为 点的垂直位移为：
B B ′ + D D ′ ∆ 1 sin 60 + ∆ 2 sin 60 ∆C = = 2 2
2 2 ∆ B = u B + vB B点位移： 点位移： 点位移
为钢管， 为铝管， 例：杆1为钢管，A1= 100 mm²，E1 = 200 GPa, l1= 1 m ;杆2为铝管， 杆 为钢管 ， 杆 为铝管 A2= 250 mm²，E2 = 70 GPa。P = 10 kN。试求：节点 点的垂 ， 。 。试求：节点A 直位移。 直位移。 解：1)求各杆内力 F
− Fa − 3Fa − 4Fa FN L (1). ∆L = ∑ + = ⇒ ∆LAC = ∆LAB + ∆LBC = EA EA EA EA − 3 Fa ( 2 ).δ B = ∆ L BC = 负值表示位移向下 EA − Fa ∆ L AB EA = − F ( 3 ). ε AB = = L AB a EA
一、轴向拉压杆的变形
1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。
分析两种变形 1、轴向变形： ∆L= L1 - L ， 轴向变形 ∆L 轴向线应变： （1）轴向线应变： ε = L 虎克定律: （2）虎克定律:
对于塑性材料构件， 后再增加载荷， 对于塑性材料构件，当σmax达到σs 后再增加载荷， σ 分布趋于均匀化，不影响构件静强度 分布趋于均匀化， 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展， 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件 塑性与脆性材料） （塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
§5-4 轴向拉压杆的变形 节点的位移
F
C2
C ''
C' CC ' ' 就是 点的近似位移。 就是C点的近似位移 点的近似位移。
FN 1
C
FN 2
C点的节点位移图 点的节点位移图
F
写出图 2 中 B 点位移与两杆变形间的关系
L1 A B
∆l
L2
2
α
∆l 1 B 1
分析： 一 受力分析： 分析： 、受力分析： 点的节点位移图 二、画B点的节点位移图： 点的节点位移图： 1）画沿原杆伸长或缩短线； 画沿原杆伸长或缩短线
XA
YA
F
FN L 11 .55 × 1.6 ∆L = = = 1.36 ( mm ) EA 76 .36 × 177
为刚梁， 例 ：设横梁 ABCD 为刚梁，横截面面积为 76.36mm² 的钢索绕过 设横梁 无摩擦的滑轮。 无摩擦的滑轮。设 F=20kN，试求：刚索的应力和 C 点的垂直 ，试求： 位移。 位移。设刚索的 E =177GPa。 。 2) 钢索的伸长为： 钢索的伸长为：
§5 - 3
应力集中
应力集中概念
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－ 由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中
应力集中因数
σ max K= σ0
σmax－最大局部应力 σ 0 －名义应力 净截面上的平均应力） 名义应力(净截面上的平均应力 净截面上的平均应力）
应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件， 对于脆性材料构件，L1
∫