2013-理实班-数学-长郡(6)
2013年湖南省长沙市长郡中学入学数学试卷与解析
=99%
1﹣99%=1%．
即现价比原价减少 1%．
故选： B．
8．（ 4 分）如果 ＜ ＜ ，则式中的 m 最多可能表示（
A．5 B．6 C．7 D．8
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）个不同的自然数．
【解答】 解：
，
m＜ 14， ，
8.75＜m， 故 8.75＜ m＜14， 在 8.75 和 14 之间的自然数有： 9，10，11， 12，13 共 5 个； 故选： A．
如果余下这批零件仍由乙单独加工玩成，还需要多少天？ 22．（ 10 分）甲、乙两辆汽车分别从 A、B 两地同时相向而行，速度比为 7：11， 相遇后两车继续行驶，分别到 B、 A 两地后立即返回，当第二次相遇时，甲车距
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B 地 60 千米， A、 B 两地相距多少千米？ 23．（ 10 分） A 和 B 都是高度为 12 厘米的圆柱形容器，底面半径分别是 1 厘米 和 2 厘米，一水龙头单独向 A 注水，一分钟可注满． 现将两容器在它们的高度的 一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计） ，仍用该水龙头向 A 注水，求 （ 1） 2 分钟容器 A 中的水有多高？ （ 2） 3 分钟时容器 A 中的水有多高．
几天共采了 288 只蘑菇，平均每天采 32 只，这些天中有（
）天是雨天．
A．3 B．6 C．4 D．5
10．（4 分）A、B、C 三个飞机模型在空中停留的时间为： A 的 是 B 的 ，B 的
又是 C的 ，C在空中停留的时间比 A 多 13 分钟，则 B 在空中停留的时间为 （ ）
A．35 B．40郡中学入学数学试卷
一、判断题（每小题 2 分米，长 5 厘米的长方形纸上可以剪出一个半径为 2 厘
长郡理科实验班招生 考试数学试卷(十一)
长郡理科实验班招生 考试数学试卷（十一）时量：60分钟 满分：100分一、选择题（每题5分，共30分）1.已知实数a b ，满足222214a b a b =++，则20142015b b a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A.2- B.0 C.2D.0或22.已知0a ≠，在同一直角坐标系中，函数y ax =与2y ax =的图象有可能是（ ）3.如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，1AC = cm ，2BC = cm ，点P 从A 出发，以1cm/s 的速沿折线AC CB BA →→运动，最终回到A 点.设点P 的运动时间为x （s ），线段AP 的长度为y （cm ），则能反映y 与x 之间函数关系的图像大致是（ ）4.当2x l -≤≤时，二次函数()221y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为（ ）A.74-C.2或D.274-5.已知函数1y x=的图象在第一象限的一支曲线上有一点(),A a c ，点(),1B b c +在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程20ax bx c ++=的两根1x ，2x 判断正确的是（ ） A.121x x +>，120x x ⋅>B.120x x +<，120x x ⋅>C.1201x x <+<，120x x ⋅>D.12x x +与12x x ⋅的符号都不确定6.如图，在四边形ABCD 中，6AB AD ==，AB BC ⊥，AD CD ⊥，60BAD ∠=︒，点M 、N 分别在AB 、AD 边上，若AM ：MB=AN ：ND=1：2，则tan MCN ∠=（ ）A.33B.25C.23D.52-二、填空题（每题5分，共30分） 7.若关于x 的一元二次不等式122x x m ≤<⎧⎨>-⎩有解，则m 的取值范围为 .8.平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是 .9.设函数()22f x x =-.若()()f a f b =，且0a b <<，则ab 的取值范围是 . 10.已知{}[]x x x =-（[]x 表示不超过x 的最大整数），设方程{}120142015x -=的两.个不同实数解为1x ，2x ，则()2122015x x ⨯+= .11.在正方形的顶点和四边上的中点这8个点中，取三个点作为三角形的顶点，能够构成个等腰三角形.12.设1a ，2a ，…，2014a 是从1，0，-1这三个数中取值的一列数，若12201469a a a +++=L ，()()()2221220141114001a a a ++++++=L ，则1a ，2a ，…，2014a 中为0的个数 . 三、解答题（每题10分，共40分）13.如图，在ABC ∆中，AD 是中线，30ABC ∠=︒，45ADC ∠=︒. （1）求ABBD的值； （2）求ACB ∠的度数；14.某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装，专卖店又缺少资金。
长沙高中XX年高一分班情况汇总
长沙高中XX年高一分班情况汇总
【长郡】22个班，1234名新生，1-10班为理实班，11-22班为平行班。
【雅礼】24个班，1320名新生，1-9班理实班，10-11为国际班，12-24为平行班。
【附中】22个班，1-4班竞赛班，5-10平行班，11-14高实班，15-20理实班，21-22国际班
【南雅】15个班，1-7班为理实班，8-15班为平行班。
【麓山】15个班，1-2班直升班，3-10班签约班，包括长郡系签约生、市外单招签约生、长沙市6A生，其中8班为特长生；11~15班正取生。
【周南】22个班，1116名新生，1-2班为航空班、3班为新疆班、4班为直升班、5班为特特班、6班为6A特立班、7-9为5A特立班、10-14为平行班、15-22为实验班。
【周梅】7个班，364名新生，1-3班卓越班，4班直升班，5-7班弘毅班。
【师梅】8个班，452名新生，1-5班为理实班，6-8班为平行班。
【长梅】8个班，1-4班为理实班，5-6为高实班，7-8为平行班。
【长滨】9个班，401名新生，1-2班为理实班，3-4班为高实班，5-9班为平行班。
【岳麓博才】6个班，1个超常班，2个清北班，2个实验班，1个艺术班，每班不超过45人。
【雅洋】7个班，383名新生，1-2班为理实班，3班为综合实验班，4-7班为平行班。
【市实验】14个班，2个创新实验班，5个希望之星班，7个平行班。
【六中】10个班，1-3班景鹏班，4-7班长郡班，8-10班平行班。
湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷
2012年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷一、选择题（每题6分，共36分）1．（6分）若代数式的值为零，则x的取值范围为（）A．x=2或x=﹣1 B．x=﹣1 C．x=±2 D．x=22．（6分）如图：△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于P点，∠BPC=134°，则∠BAC=（）A．68°B．80°C．88°D．46°3．（6分）世界杯足球赛小组赛规定，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球数排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（）分．A．8 B．7 C．6 D．54．（6分）若正实数a、b满足ab=a+b+3，则a2+b2的最小值为（）A．﹣7 B．2 C．9 D．185．（6分）直线y=x+k与x轴、y轴的交点分别为A、B，如果△AOB的面积S ≤1，那么，k的取值范围是（）A．﹣1≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k≤1 D．k≤﹣1或k≥16．（6分）如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为直径，AB=4，AD=DC=1，则弦BC的长为（）A．3.5 B．2 C．D．二、填空题（每小题5分，共30分）7．（5分）如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=DB，DC=CA，则∠BAC=°．8．（5分）已知关于x的方程﹣2=有一个正整数解，则正整数m的可能取值共有个．9．（5分）一元钱的硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过mm（保留根号）．10．（5分）已知x+y=2，2y2﹣y﹣4=0，则y﹣的值为．11．（5分）已知，则a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc的值=．12．（5分）如图：四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=∠C=120°，CD=5，则四边形ABCD的面积为．三、解答题（本题共3题，13、14题11分，15每题12分，共34分）13．（11分）甲，乙，丙三人各有邮票若干枚，要求互相赠送．先由甲送给乙，丙，所给的枚数等于乙，丙原来各有的邮票数；然后依同样的游戏规则再由乙送给甲，丙现有的邮票数，最后由丙送给甲，乙现有的邮票数．互相送完后，每人恰好各有64枚．你能知道他们原来各有邮票多少枚吗？说出你的思考过程．14．（11分）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC 上的点，DE⊥DF．求证：EF2=BE2+CF2．（提示：要延长ED或FD，还要连接几条线段）15．（12分）如图，抛物线y=a（x+3）（x﹣1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（﹣2，6）．（1）求a的值及直线AC的函数关系式；（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．①求线段PM长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．2012年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题6分，共36分）1．（6分）若代数式的值为零，则x的取值范围为（）A．x=2或x=﹣1 B．x=﹣1 C．x=±2 D．x=2【分析】根据分子为零分母不为零分式的值为零，可得答案．【解答】解：由题意，得（x﹣2）（x+1）=0且|x|﹣1≠0，解得x=2，故选：D．【点评】本题考查了分式值为零的条件，利用分子为零分母不为零得出（x﹣2）（x+1）=0且|x|﹣1≠0是解题关键．2．（6分）如图：△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于P点，∠BPC=134°，则∠BAC=（）A．68°B．80°C．88°D．46°【分析】根据三角形内角和定理及角平分线的性质解答．【解答】解：∵在△BPC中，∠BPC=134°，∴∠1+∠2=180°﹣∠BPC=180°﹣134°=46°，∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，∴∠ABC+∠ACB=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×46°=92°，∴在△ABC中，∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣92°=88°．故选：C．【点评】此题考查了三角形的内角和定理，平分线性质．运用整体思想求出∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）是解题的关键．3．（6分）世界杯足球赛小组赛规定，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球数排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（）分．A．8 B．7 C．6 D．5【分析】首先根据题意推出6场比赛后各队的得分之和不超过18分，再分两种情形讨论①若一个队得7分，②若一个队得6分，看看其他队的得分的可能性，即可解决问题．【解答】解：4个队进行单循环比赛共比赛4×3÷2=6场，每场比赛后两队得分之和或为2分或为3分，所以6场比赛后各队的得分之和不超过18分，①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有3个队得分都大于或等于7分，所以这个队必定出线．②若一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线．故选：B．【点评】本题考查了比赛问题中的推理与论证；得到比赛的总场数以及相应的总积分是解决本题的突破点；分类探讨可以出线的小组的最低分是解决本题的难点．4．（6分）若正实数a、b满足ab=a+b+3，则a2+b2的最小值为（）A．﹣7 B．2 C．9 D．18【分析】设a+b=m，则ab=m+3，a2+b2变形，再整体代入，转化为关于x的二次函数求最小值，注意a、b正实数的条件的运用．【解答】解：设a+b=m，则ab=m+3，a、b可看作关于x的方程x2﹣mx+m+3=0的两根，a、b为实数，则△=（﹣m）2﹣4（m+3）≥0，解得m≤﹣2或m≥6，而a、b为正实数，∴a+b=m＞0，只有m≥6，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=m2﹣2（m+3）=（m﹣1）2﹣7，可知当m≥1时，a2+b2随m的增大而增大，∴当m=6时，a2+b2的值最小，为18．故选：D．【点评】本题考查了二次函数最值在确定代数式的值中的运用．本题要注意：①根据已知条件换元，转化为二次函数，②a、b为正实数条件的运用．5．（6分）直线y=x+k与x轴、y轴的交点分别为A、B，如果△AOB的面积S ≤1，那么，k的取值范围是（）A．﹣1≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k≤1 D．k≤﹣1或k≥1【分析】根据直线y=x+k与x轴、y轴的交点分别为A、B，可以求得出A、B 两点的坐标，由△AOB的面积S≤1，可以求得k的取值范围．【解答】解：∵直线y=x+k与x轴、y轴的交点分别为A、B，∴点A的坐标为（﹣2k，0），点B的坐标为：（0，k），∵△AOB的面积S≤1，∴，解得﹣1≤k≤1，∵k=0时，点A的坐标为（0，0），点B的坐标为：（0，0），∴此时点A、B、O组成的图形不能构成三角形，∴k的取值范围是﹣1≤k≤1且k≠0．故选：A．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．6．（6分）如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为直径，AB=4，AD=DC=1，则弦BC的长为（）A．3.5 B．2 C．D．【分析】根据勾股定理即可求得BD的长，求得cos∠CAD的值，进而求得AC的值，根据勾股定理即可求得BC的值，即可解题．【解答】解：如图，连AC、BD，过D作DE⊥AC于E．∴∠ADB=∠ACB=90°，∠ABD=∠CAD．∵BD==．∵AD=DC=1，∴∠DAC=∠DCA，∵∠DCA=∠ABD，cos∠CAD=cos∠ABD==．∴AE=AD•cos∠CAD=，∴AC=2AE=，∴BC==．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了余弦函数的求值，考查了根据余弦值求对应边的值．二、填空题（每小题5分，共30分）7．（5分）如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=DB，DC=CA，则∠BAC=108°．【分析】先设∠B=x，由AB=AC可知，∠C=x，由AD=DB可知∠B=∠DAB=x，由三角形外角的性质可知∠ADC=∠B+∠DAB=2x，根据DC=CA可知∠ADC=∠CAD=2x，再在△ABC中，由三角形内角和定理即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值，从而求解．【解答】解：设∠B=x，∵AB=AC，∴∠C=∠B=x，∵AD=DB，∴∠B=∠DAB=x，∴∠ADC=∠B+∠DAB=2x，∵DC=CA，∴∠ADC=∠CAD=2x，在△ABC中，x+x+2x+x=180°，解得x=36°．∴∠BAC=108°．故答案为：108．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类题目时往往要用到三角形内角和定理、三角形外角的性质等隐含条件．8．（5分）已知关于x的方程﹣2=有一个正整数解，则正整数m的可能取值共有4个．【分析】先去分母，解得x=6﹣m（x≠3），根据关于x的方程﹣2=有一个正整数解，m=5，4，2，1，0．则正整数m的可能取值共有5个．【解答】解：去分母得：x﹣2（x﹣3）=m，解得：x=6﹣m，x﹣3≠0，x≠3，∵关于x的方程﹣2=有一个正整数解，∴m=5，4，2，1．则正整数m的可能取值共有4个，故答案为：4．【点评】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是求出分式方程的解．9．（5分）一元钱的硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过mm（保留根号）．【分析】理解清楚题意，此题实际考查一个直径为24的圆，内接正三角形的边长．【解答】解：已知此圆半径为12，则OB=12mm．在直角△OBD中，BD=OB•sin60°=6mm．则可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正三角形的边长最大．【点评】此题所求结果有些新颖，要注意题目问题的真正含义．10．（5分）已知x+y=2，2y2﹣y﹣4=0，则y﹣的值为．【分析】根据x+y=2，得出x=2﹣y，再根据2y2﹣y﹣4=0，得出y﹣=，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．【解答】解：∵x+y=2，∴x=2﹣y，∵2y2﹣y﹣4=0，∴2y﹣1﹣=0∴2y﹣=1∴y﹣=，∴y﹣=y﹣=y﹣+1=+1=．故答案为：．【点评】此题考查了分式的化简求值，关键是根据给出的式子进行变形得出y﹣=，注意要用整体代入法进行计算比较简单．11．（5分）已知，则a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc的值= m2．【分析】根据完全平方公式先把要求的式子进行分解，再把a，b，c的值代入即可得出答案．【解答】解：∵，∴a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc=（a+b﹣c）2=（m+1+m+2﹣m﹣3）2=m2；故答案为：m2．【点评】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是根据完全平方公式把要求的式子进行变形，然后代入．12．（5分）如图：四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=∠C=120°，CD=5，则四边形ABCD的面积为．【分析】延长BC ，CB 分别作AE ⊥EF ，DF ⊥EF ，得梯形AEFD ，解△ABE 得BE ，AE ，解△CDF 得CF ，DF ，根据S 四边形ABCD =S 梯形AEFD ﹣S △ABE ﹣S △CDF 即可求解． 【解答】解：如图，延长BC 、CB ．作AE ⊥EF ，DF ⊥EF ，垂足分别是E 、F ． ∵∠B=120°， ∴∠EBA=60°， ∵AE ⊥EF ， ∴BE=AB=，AE=AB=同理求得CF=CD=，DF=．∴EF=EB +BC +CF=8， S △ABE =AE•BE=×=， S △CDF =CF•DF=××=， S 梯形AEFD =（AE +DF ）×EF=16，∴S 四边形ABCD =S 梯形AEFD ﹣S △ABE ﹣S △CDF =．故答案是：．【点评】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形．解答该题的难点是辅助线的作法．三、解答题（本题共3题，13、14题11分，15每题12分，共34分） 13．（11分）甲，乙，丙三人各有邮票若干枚，要求互相赠送．先由甲送给乙，丙，所给的枚数等于乙，丙原来各有的邮票数；然后依同样的游戏规则再由乙送给甲，丙现有的邮票数，最后由丙送给甲，乙现有的邮票数．互相送完后，每人恰好各有64枚．你能知道他们原来各有邮票多少枚吗？说出你的思考过程．【分析】假设甲原有邮票x枚，乙原有邮票y枚，丙原有邮票z枚．根据题目说明列出三次赠送的过程如下表甲乙丙原有x y z第一次送后x﹣y﹣z2y2z第二次送后2（x﹣y﹣z）2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z4z第三次送后4（x﹣y﹣z）2[2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z]4z﹣2（x﹣y﹣z）﹣[2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z]根据第三次赠送后的结果列出方程组先化简，最后代入消元法或加减消元法求出方程组的解即可．【解答】解：设甲原有邮票x枚，乙原有邮票y枚，丙原有邮票z枚．甲乙丙原有x y z第一次送后x﹣y﹣z2y2z第二次送后2（x﹣y﹣z）2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z4z第三次送后4（x﹣y﹣z）2[2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z]4z﹣2（x﹣y﹣z）﹣[2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z]根据第三次赠送后列方程组，即，③﹣②得2z﹣y=8 ④，②+①得y﹣z=24 ⑤，④+⑤得z=32，将z代入⑤得y=56，将y、z代入①得x=104，答：甲原有邮票104枚，乙原有邮票56枚，丙原有邮票32枚．【点评】解答此题的关键是用表格的方式列出三次赠送邮票的过程，根据第三次结果列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．14．（11分）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC 上的点，DE⊥DF．求证：EF2=BE2+CF2．（提示：要延长ED或FD，还要连接几条线段）【分析】延长FD到点G，使DG=DF，连接BG、EG，易证EF=EG，△CDF≌△BDG，可得BG=CF，∠DBG=∠C，即可求得∠ABG=90°，即可判定△BEG是直角三角形，根据勾股定理可得BE2+BG2=EG2，即可解题．【解答】证明：延长FD到点G，使DG=DF，连接BG、EG，如图所示：∵∠EDF=90°，DF=DG，∴DE垂直平分FG，∴EF=EG，∵D是BC中点，∴CD=BD，在△CDF和△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG=CF，∠DBG=∠C，∵∠A=90°，∴∠C+∠ABC=90°，∴∠ABG=∠ABC+∠DBG=90°，∴△BEG是直角三角形，∴BE2+BG2=EG2，∴EF2=BE2+CF2．【点评】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质以及直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△CDF≌△BDG是解题的关键．15．（12分）如图，抛物线y=a（x+3）（x﹣1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（﹣2，6）．（1）求a的值及直线AC的函数关系式；（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．①求线段PM长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）c在抛物线上，将c代入解析式，就可求出a的值；A是抛物线与x轴的坐标，根据抛物线求出A点坐标，由A、C两点坐标，利用待定系数法，可求出直线AC的函数关系式．（2）设出p点的横坐标m，p在直线上，然后用横坐标m表示出p点的坐标，M与P的横坐标相同，且M在抛物线上，同样可用m表示出M点坐标，然后求出线段PM，最后根据PM长度的关系式判断m为何值时，线段最长．【解答】解：（1）点C（﹣2，6）在抛物线y=a（x+3）（x﹣1）上得6=a（﹣2+3）（﹣2﹣1）∴a=﹣2（3分）∴抛物线的函数解析式为y=﹣2（x+3）（x﹣1）由题意得抛物线与x轴交于B（﹣3，0）、A（1，0）设直线AC为y=kx+b，则有0=k+b6=﹣2k+b解得k=﹣2，b=2∴直线AC的函数解析式为y=﹣2x+2（6分）（2）①设P的横坐标为m（﹣2≤m≤1），则M的横坐标是m．P（m，﹣2m+2），M（m，﹣2m2﹣4m+6）（7分）∴PM=﹣2m2﹣4m+6﹣（﹣2m+2）=﹣2m2﹣2m+4=∴当m=﹣时，PM的最大值为（10分）②存在，∵∠CPM=∠APN若∠CMP=∠ANP=90°如图1，则点M的纵坐标为6，6=﹣2（x+3）（x﹣1），x2+2x=0，x（x+2）=0，x1=0，x2=﹣2（舍），则点M的坐标为（0，6），如图2，若∠PCM=∠ANP=90°，过点C作与AC垂直的直线，则直线CM为：y=（x+2）+6，联立y=（x+2）+6与y=﹣2（x+3）（x﹣1），（x+2）+6=﹣2（x+3）（x﹣1），4x2+9x+2=0，（x+2）（4x+1）=0，x=﹣2（舍）或x=﹣，当x=﹣时，y=﹣2×（﹣+3）×（﹣﹣1）=，则点M的坐标为M（﹣，），故M1（0，6）、M2（，）（14分）【点评】本题综合考查了二次函数的与直线相交下，交点问题的计算，以及线段最长最短问题，三角形问题等．。
2013-理实班-数学-长郡(10)
数学试题10一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分） 1． 如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30︒，那么这个三角形的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能唯一确定2． 如图，正比例函数(0)y kx k =>与反比例函数1y x=的图象相交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ，若ABC △的面积为S ，则（ ） A ．1S = B ．2S = C ．3S = D ．S 的值不确定3． 边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有（ ） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个4． 如果1x 、2x 是两个不相等的实数，且满足21120031x x -=，22220031x x -=，那么12x x 等于（ ） A ．2003 B ．2003- C ．1 D ．1-5． 如图，矩形ABCD 被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD 的面积等于（ ） A ．152 B ．143 C ．132 D ．1086． 如图，若PA PB =，2APB ACB ∠=∠，AC 与PB 交于点D ，且4PB =，3PD =，则AD DC ⋅等于（ ） A ．6 B ．7 C ．12 D ．16二、填空题：（每题6分，共36分）7． 若30a b +=(0)b ≠，则22222124b a ab b a b a b ++⎛⎫-÷= ⎪+-⎝⎭；8． ABC △中，AB =2AC =，BCBC 边的长为；DAB CPCBAD9． 锐角ABC △中，1a =，2b =，则c 边的取值范围是 ；（用不等式表示）．10．已知锐角ABC △中，60A ∠=︒，BD 和CE 都是ABC △的高．如果ABC △的面积为12，那么四边形BCDE 的面积为 ；11．如下左图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =．若以C 点为圆心，r 为半径所作的圆与线段AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是 ．12．有P 、Q 、R 、S 四人去公园玩跷跷板，从上面的示意图中，请你指出这四人体重从小到大依次为．三、解答题（本大题共2题，每题14分，共28分）13．某市为了节约用水，规定：每户每月用水量不超过最低限量3am 时，只付基本费8元和定额损耗费c 元(5)c ≤；若用水量超过3am 时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每31m 付b 元的超额费．根据上表的表格中的数据，求a 、b 、c ．14．如图1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴的交点为C ，顶点为D ，直线CD 与x 轴的交点为E ，解析式为3y x =--，线段CD⑴求抛物线的解析式；⑵若平行于x 轴的直线与抛物线交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径； ⑶如图2，F 是y 轴上一点，且AF CD ∥，在抛物线上是否存在点P ，使直线PB 恰好将四边形AECF 的周长和面积同时平分？如果存在，请求出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．C BA图1图2。
长郡理科实验班招生 考试数学试卷(一)
最全长郡理科实验班招生考试数学试卷（一）时量：60分钟满分：100分一选择题（每题5分，共30分）l.已知α为实数，则代数式27−12α＋2a2的最小值为（）A.0B.3C.33D.92.若n为整数，则能使n+1n−1也为整数的n的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个·3.已知α，b为实数，且αb=1，设M=a a+1+b b+1,N=1a+1+1b+1,则M、N的大小关系是A..M>NB.M=NC.M<N.D.无法确定4.一张圆桌旁有四个座位如图，A,B,C,D四人随机坐在四个座位上，则A与D相邻的概率是（）A.23B12C14 D.295.如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A.2πB.πC.23D.46.如图，平面中两条直线l1，和l2相交子点0，对于平面上任意一点M，若P,q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p1,q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，有以下几个结论：①“距离坐标”是（0,1)的点有1个；②“距离坐标”是（5，的的点有4个；③“距离坐标”是（α，α），（α为非负实数）的点有4个．其中正确的有其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（每题5分，共30分）7.已知α，b,C是实数，且α2+6b＝-17,b2+8c=-23,c2+2α＝14，则α＋b+c=.8.已知关于 的不等式（2α-b）＞b的解集是 棨−12，则a b b+-36a3=.9.对正实数α，b作定义a∗b=ab−a+b，若4*x=44，则x的值是.10.在△ABC中，AB=4C,∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E 两点，连结CD，如果AD=l，则tan∠BCD的值为.11.已知：如图，在直角△ABC中，AD=DE=EB，且CD2+CE2=1，则斜边AB的长为12.小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的是基叫做中裆题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多道．三、解答题（每题10分，共40分）13.某商场将进价为2600元的彩电以3000元售出，平均每天能销售出6台．为丁配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种彩电的售价每降低50元，平均每天就能多售出3台．(1）商场要想在这种彩电销售中每天盈利3600元，同时又要使百姓得到最卢大实惠，每台彩电应降价多少元？(2）每告彩电降价多少元时，商场每天销售这种彩电的利润最高？最高利润是多少？14.已知点M,N的坐标分别为（0,1),(0,-1），点P是抛物线y=14x2上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；（2）设直线PM与抛物线y=14x2的另一个交点为点Q，连接NP、NQ，求证：∠PNM=∠QNM.15、已知关于x的方程（m2−1）x2−33m−1+18=0有两个正整数根（m是整数），△ABC的三边a、b、c满足c=23，m2+a2m−8a=0，m2+b2m−8b=0，求：（1）m的值；（2）△ABC的面积；16.直线y=x−10与x轴交于A点，点B在第一象限，且AB=35，以cos∠OAB=25 (1）若点C是点B关于x轴的对称点，求过0、C、A三点的抛物线的表达式(2）在(1）中的抛物线上是否存在点P(P点在第一象限），使得以点P、0、C、A为顶点的囚边形是梯形？若存在，求出点O的坐标；若不存在，请说明理由．(3）若将点O、A分别变换为点Q(-4m,0),R(6m,0）（m 0且为常数）），设过Q、R两点且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线（开口向上）与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S∆QNM，△QNR的面积为S∆QNR，求S∆QNM:S∆QNR的数学试卷（一）参考答案一、选择题（每题5分，共30分）1.B2.D3.B4.A5.C6.B二、填空题（每题5分，共30分）7.-88.-39.3610.12 11.55312.20三、解答题（每题10分，共40分）13.解：设每台彩电降价x 元（0<x<400），商场销售这种彩电平均每天的利润为y 元，则有y =3000−2600−x 6+=350（x 2−−4000）……………………4分(1）因为要每天盈利3600元，则y=36002−300x −4000=3600所以x 2−300x +2000=0，解得x=100或俨200,又因为要使百姓得到最大实惠，则每台要降价200元．…………………………7分(2)∵y =350x 2−300x −4000=350（x −150）2+3750∴当x=150时，y 取得最大值为3750,所以每台彩电降价150元时，商场的利润最高为3750元．………………10分14.解：（1）设点P 的坐标为（x 0，14x 02），则PM===14x02+1；……………………4分（2）如图，分别过点P，Q作直线y=-1的垂线，垂足分别为H、R，由（1）知PH=PM,MN、QR都垂直于直线y=-1，所以PH//MH//QR，于是QM EN=MP NH,所以QR RN=PH HN,因此，Rt∆PHN∽Rt∆QNM.………………………………9分于是∠HNP=∠RNQ，从而∠PNM=∠QNM。
湖南四大名校内部资料长郡中学理科实验班入学考试数学试卷及答案
为 x1，x2 ，其中 2 x1 1 ， 0 x2 1 ，下列结论：① 4a 2b c 0 ；② 2a b 0 ；
③ a 1；④ b2 8a 4ac ．其中正确的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第 5 题图
第 6 题图
二、填空题（每题 4 分，共 32 分）
第 8 题图
15、已知，在△ABC 中，∠C＝90°，斜边长为 7.5，两条直角边的长分别是关于 x 的方程 x2—3（m＋ 1 ）x＋9m＝0 的两个根，则△ABC 的内切圆面积是_____________.
2
16、对于自然数 n ，将其各位数字之和记为 an ，如 a2009 2 0 0 9 11，
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18、如图 1，过点 E 0，1 作平行于 x 轴的直线 l ，抛物线 y 1 x2 上的两点 A、B 的横坐
4
标分别为1 和 4，直线 AB 交 y 轴于点 F ，过点 A、B 分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点 C 、
__________________________装____________________________ ____订______________________________线___________
姓名_________________ 性别
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A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
长郡理科实验班招生考试数学试卷28
数学试卷28时间：75分钟 满分：100分一、选择题（每小题4分，共32分）1、当3=x 时，代数式332)1()2(x x -+-的值是（ ） A 、3B 、321-C 、323-D 、132-2、已知一直角三角形的三边长为a 、b 、c 、∠B ＝90°，那么关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况是（ ）A 、有两个相等的实根B 、有两个不相等的实根C 、没有实数根D 、无法确定3、两年期定期储蓄的年利率为2.25％，按国家规定，所得利息要缴纳20％的利息税，王大爷于2002年6月存入银行一笔钱，两年到期时，共得税后利息540元，则王大爷2002年6月的存款为（ ）A 、20000元B 、18000元C 、15000元D 、12800元4、如图，MN 是⊙O 的直径，若∠A ＝20°，∠PMQ ＝50°，以PM 为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（ ）A 、正七边形B 、正八边形C 、正六边形D 、正十边形5、如图，AB=AC ，EA=ED ，∠BAD ＝20°， ∠EDC ＝10°，则∠B 的度数为（ ）A 、45°B 、50°C 、55°D 、不能确定6、已知非零实数a 、b 满足0122=+-+++b a b ab a ，则ba 11+的值等于（ ） A 、－1 B 、0C 、1D 、27、若函数|)196100|196100(2122+-++-=x x x x y ，则自变量x 取1,2,3,4,…99,100这100个自然数时，函数值的和为（ ）AB DCE学校 姓名 性别 联系电话 考场号A 、540B 、390C 、194D 、978、设x 1、x 2是方程020*******=+-x x 的两个实根，实数a 、b 满足：2004,200320042200412003220031=+=+bx ax bx ax ，则2005220051bx ax +的值为（ ）A 、2005B 、2003C 、－2005D 、－2003二、填空题（每小题4分，共32分）9、已知实数a 满足a a-a||=+-20032002，则22002-a 的值为 。
长沙四大名校理实班考试的经验分享
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长沙四大名校理实班考试的经验分享
四大名校的考试一般时间上是从过完年后开始：
长郡一般每周六都有考试，讲是要电话通知，但也接受现在报名，考试是：上午考数学（100分）、英语（100分）、物理（60分），数学和英语不难，物理有一定的难度，中午1：20分出成绩，下午考数学、英语，4：20分结束，如果考取了，晚上7点半以后会有电话通知第二天面试；
附中也接受现在报名，上午考数学、英语、物理，也是物理有一定难度，下午复试考数学，第一次考了一篇作文，考完后当天就会公布录取名单；
雅礼也接受现场报名，上午考数、英、物，下午2：30开始家长会陆续接到下午复试的通知，下午考数学、英语、结果大约一周后通知；一中接受现在报名，只考数学（150分）和英语（50分），过3天出成绩后会有老师打电话通知。
考试大概就是这些，四大名校考试的特点是主要看数学成绩，其次是英语要及格，再看物理成绩决定下午的复试
2。
2013年湖南省长沙市长郡中学理科班入学数学试卷(一)
2013年湖南省长沙市长郡中学理科班入学数学试卷（一）一、选择题（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分）1．（6分）若分式的值为零，则x的值应取（）A．x=2或x=﹣1 B．x=﹣1 C．x=±1 D．x=22．（6分）如图：△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于P点，∠BPC=134°，则∠BAC=（）A．68°B．80°C．88°D．46°3．（6分）世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（）A．6分 B．7分 C．8分 D．9分4．（6分）若正实数a、b满足ab=a+b+3，则a2+b2的最小值为（）A．﹣7 B．0 C．9 D．185．（6分）直线与x轴y轴的交点分别为A、B，如果S△AOB≤1，那么k 的取值范围是（）A．k≤1 B．0＜k≤1 C．﹣1≤k≤1且k≠0 D．k≤﹣1或k≥16．（6分）如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为直径，AB=4，AD=DC=1，则BC的长为（）A．B． C．D．二、填空题（每题5分，共30分）7．（5分）如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=DB，DC=CA，则∠BAC=°．8．（5分）已知关于x的方程有正数解，则m的取值是．9．（5分）一元钱的硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过mm（保留根号）．10．（5分）已知x+y=2，2y2﹣y﹣4=0，则y﹣的值为．11．（5分）已知，则a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc的值=．12．（5分）如图：四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=∠C=120°，CD=5，则四边形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共3小题，13、14题11分，15每题12分共34分）13．（11分）甲，乙，丙三人各有邮票若干枚，要求互相赠送．先由甲送给乙，丙，所给的枚数等于乙，丙原来各有的邮票数；然后依同样的游戏规则再由乙送给甲，丙现有的邮票数，最后由丙送给甲，乙现有的邮票数．互相送完后，每人恰好各有64枚．你能知道他们原来各有邮票多少枚吗？说出你的思考过程．14．（11分）已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2+BF2=EF2．15．（12分）如图，抛物线y=a（x+3）（x﹣1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（﹣2，6）．（1）求a的值及直线AC的函数关系式；（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．①求线段PM长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．2013年湖南省长沙市长郡中学理科班入学数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分）1．（6分）若分式的值为零，则x的值应取（）A．x=2或x=﹣1 B．x=﹣1 C．x=±1 D．x=2【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．【解答】解：由分子（x+1）（x﹣2）=0，解得：x=﹣1或2．当x=﹣1时，分母|x|﹣1=1﹣1=0，分式没有意义．当x=2时，分母|x|﹣1=2﹣1=1≠0，分式的值为0．故选：D．【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．2．（6分）如图：△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于P点，∠BPC=134°，则∠BAC=（）A．68°B．80°C．88°D．46°【分析】根据三角形内角和定理及角平分线的性质解答．【解答】解：∵在△BPC中，∠BPC=134°，∴∠1+∠2=180°﹣∠BPC=180°﹣134°=46°，∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，∴∠ABC+∠ACB=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×46°=92°，∴在△ABC中，∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣92°=88°．故选：C．【点评】此题考查了三角形的内角和定理，平分线性质．运用整体思想求出∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）是解题的关键．3．（6分）世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（）A．6分 B．7分 C．8分 D．9分【分析】易得小组赛的总场数为小组数×（小组数﹣1）÷2，可得4个队的总积分，进而分类讨论小组得6分或7分能否出线即可．【解答】解：4个队单循环比赛共比赛4×3÷2=6场，每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过18分，①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线，②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线．应选B．【点评】本题考查了比赛问题中的推理与论证；得到比赛的总场数以及相应的总积分是解决本题的突破点；分类探讨可以出线的小组的最低分是解决本题的难点．4．（6分）若正实数a、b满足ab=a+b+3，则a2+b2的最小值为（）A．﹣7 B．0 C．9 D．18【分析】设a+b=m，则ab=m+3，a2+b2变形，再整体代入，转化为关于x的二次函数求最小值，注意a、b正实数的条件的运用．【解答】解：设a+b=m，则ab=m+3，a、b可看作关于x的方程x2﹣mx+m+3=0的两根，a、b为实数，则△=（﹣m）2﹣4（m+3）≥0，解得m≤﹣2或m≥6，而a、b为正实数，∴a+b=m＞0，只有m≥6，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=m2﹣2（m+3）=（m﹣1）2﹣7，可知当m≥1时，a2+b2随m的增大而增大，∴当m=6时，a2+b2的值最小，为18．故选：D．【点评】本题考查了二次函数最值在确定代数式的值中的运用．本题要注意：①根据已知条件换元，转化为二次函数，②a、b为正实数条件的运用．5．（6分）直线与x轴y轴的交点分别为A、B，如果S△AOB≤1，那么k 的取值范围是（）A．k≤1 B．0＜k≤1 C．﹣1≤k≤1且k≠0 D．k≤﹣1或k≥1【分析】先求出直线与x轴y轴的交点分别为A、B，得到OA，OB的长，利用三角形的面积公式得到不等式，对照选项进行判断．【解答】解：令x=0，则y=k，得B（0，k）；令y=0，则x=﹣2k，得A（﹣2k，0），=•|2k|•|k|=k2≤1，所以OA=|2k|，OB=|k|，S△AOB所以﹣1≤k≤1且k≠0．故选：C．【点评】会求一次函数与两坐标轴的交点坐标，掌握用坐标表示线段；记住三角形的面积公式．6．（6分）如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为直径，AB=4，AD=DC=1，则BC的长为（）A．B． C．D．【分析】根据勾股定理即可求得BD的长，求得cos∠CAD的值，进而求AC的值，根据勾股定理即可求得BC的值，即可解题．【解答】解：如图，连AC、BD，过D作DE⊥AC于E．∴∠ADB=∠ACB=90°，∠ABD=∠CAD．∵BD==．cos∠CAD=cos∠ABD=．∴AE=AD•cos∠CAD=，∴AC=2AE=，∴BC==．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了余弦函数的求值，考查了根据余弦值求对应边的值．二、填空题（每题5分，共30分）7．（5分）如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=DB，DC=CA，则∠BAC=108°．【分析】先设∠B=x，由AB=AC可知，∠C=x，由AD=DB可知∠B=∠DAB=x，由三角形外角的性质可知∠ADC=∠B+∠DAB=2x，根据DC=CA可知∠ADC=∠CAD=2x，再在△ABC中，由三角形内角和定理即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值，从而求解．【解答】解：设∠B=x，∵AB=AC，∴∠C=∠B=x，∵AD=DB，∴∠B=∠DAB=x，∴∠ADC=∠B+∠DAB=2x，∵DC=CA，∴∠ADC=∠CAD=2x，在△ABC中，x+x+2x+x=180°，解得x=36°．∴∠BAC=108°．故答案为：108．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类题目时往往要用到三角形内角和定理、三角形外角的性质等隐含条件．8．（5分）已知关于x的方程有正数解，则m的取值是m＜6且m ≠3．【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．【解答】解：去分母得，x﹣2x+6=m解得，x=6﹣m∵分母x﹣3≠0即x≠3∴6﹣m≠3即m≠3又∵x＞0∴6﹣m＞0即m＜6则m的取值是m＜6且m≠3．【点评】解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．并且在解方程去分母的过程中，一定要注意分数线起到括号的作用，并且要注意没有分母的项不要漏乘．9．（5分）一元钱的硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过mm（保留根号）．【分析】理解清楚题意，此题实际考查一个直径为24的圆，内接正三角形的边长．【解答】解：已知此圆半径为12，则OB=12mm．在直角△OBD中，BD=OB•sin60°=6mm．则可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正三角形的边长最大．【点评】此题所求结果有些新颖，要注意题目问题的真正含义．10．（5分）已知x+y=2，2y2﹣y﹣4=0，则y﹣的值为．【分析】根据x+y=2，得出x=2﹣y，再根据2y2﹣y﹣4=0，得出y﹣=，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．【解答】解：∵x+y=2，∴x=2﹣y，∵2y2﹣y﹣4=0，∴2y﹣1﹣=0∴2y﹣=1∴y﹣=，∴y﹣=y﹣=y﹣+1=+1=．故答案为：．【点评】此题考查了分式的化简求值，关键是根据给出的式子进行变形得出y﹣=，注意要用整体代入法进行计算比较简单．11．（5分）已知，则a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc的值=m2．【分析】根据完全平方公式先把要求的式子进行分解，再把a，b，c的值代入即可得出答案．【解答】解：∵，∴a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc=（a+b﹣c）2=（m+1+m+2﹣m﹣3）2=m2；故答案为：m2．【点评】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是根据完全平方公式把要求的式子进行变形，然后代入．12．（5分）如图：四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=∠C=120°，CD=5，则四边形ABCD的面积为．【分析】延长BC，CB 分别作AE⊥EF，DF⊥EF，得梯形AEFD，解△ABE得BE，AE，解△CDF得CF，DF，根据S四边形ABCD=S梯形AEFD﹣S△ABE﹣S△CDF即可求解．【解答】解：如图，延长BC、CB．作AE⊥EF，DF⊥EF，垂足分别是E、F．∵∠B=120°，∴∠EBA=60°，∵AE⊥EF，∴BE=AB=，AE=AB=同理求得CF=CD=，DF=．∴EF=EB+BC+CF=8，S△ABE =AE•BE=×=，S△CDF =C F•DF=××=，S梯形AEFD =（AE+DF）×EF=16，∴S四边形ABCD=S梯形AEFD﹣S△ABE﹣S△CDF =．故答案是：．【点评】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形．解答该题的难点是辅助线的作法．三、解答题（本大题共3小题，13、14题11分，15每题12分共34分）13．（11分）甲，乙，丙三人各有邮票若干枚，要求互相赠送．先由甲送给乙，丙，所给的枚数等于乙，丙原来各有的邮票数；然后依同样的游戏规则再由乙送给甲，丙现有的邮票数，最后由丙送给甲，乙现有的邮票数．互相送完后，每人恰好各有64枚．你能知道他们原来各有邮票多少枚吗？说出你的思考过程．【分析】假设甲原有邮票x枚，乙原有邮票y枚，丙原有邮票z枚．根据题目说明列出三次赠送的过程如下表根据第三次赠送后的结果列出方程组先化简，最后代入消元法或加减消元法求出方程组的解即可．【解答】解：设甲原有邮票x 枚，乙原有邮票y 枚，丙原有邮票z 枚．根据第三次赠送后列方程组，即，③﹣②得 2z ﹣y=8 ④， ②+①得 y ﹣z=24 ⑤， ④+⑤得 z=32， 将z 代入⑤得 y=56， 将y 、z 代入①得 x=104，答：甲原有邮票104枚，乙原有邮票56枚，丙原有邮票32枚．【点评】解答此题的关键是用表格的方式列出三次赠送邮票的过程，根据第三次结果列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．14．（11分）已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2+BF2=EF2．【分析】过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM，通过证明AM=BF，EF=EM即可得出答案．【解答】证明：过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM．∵AM∥BC，∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，∴△ADM≌△BDF．∴AM=BF，MD=DF．又∵DE⊥DF，∴EF=EM．∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．【点评】本题考查了勾股定理与全等三角形的判定与性质，有一定难度，关键是正确作出辅助线．15．（12分）如图，抛物线y=a（x+3）（x﹣1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（﹣2，6）．（1）求a的值及直线AC的函数关系式；（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．①求线段PM长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）c在抛物线上，将c代入解析式，就可求出a的值；A是抛物线与x轴的坐标，根据抛物线求出A点坐标，由A、C两点坐标，利用待定系数法，可求出直线AC的函数关系式．（2）设出p点的横坐标m，p在直线上，然后用横坐标m表示出p点的坐标，M与P的横坐标相同，且M在抛物线上，同样可用m表示出M点坐标，然后求出线段PM，最后根据PM长度的关系式判断m为何值时，线段最长．【解答】解：（1）点C（﹣2，6）在抛物线y=a（x+3）（x﹣1）上得6=a（﹣2+3）（﹣2﹣1）∴a=﹣2（3分）∴抛物线的函数解析式为y=﹣2（x+3）（x﹣1）由题意得抛物线与x轴交于B（﹣3，0）、A（1，0）设直线AC为y=kx+b，则有0=k+b6=﹣2k+b解得k=﹣2，b=2∴直线AC的函数解析式为y=﹣2x+2（6分）（2）①设P的横坐标为m（﹣2≤m≤1），则M的横坐标是m．P（m，﹣2m+2），M（m，﹣2m2﹣4m+6）（7分）∴PM=﹣2m2﹣4m+6﹣（﹣2m+2）=﹣2m2﹣2m+4=∴当m=﹣时，PM的最大值为（10分）②存在，∵∠CPM=∠APN若∠CMP=∠ANP=90°如图1，则点M的纵坐标为6，6=﹣2（x+3）（x﹣1），x2+2x=0，x（x+2）=0，x1=0，x2=﹣2（舍），则点M的坐标为（0，6），如图2，若∠PCM=∠ANP=90°，过点C作与AC垂直的直线，则直线CM为：y=（x+2）+6，联立y=（x+2）+6与y=﹣2（x+3）（x﹣1），（x+2）+6=﹣2（x+3）（x﹣1），4x2+9x+2=0，（x+2）（4x+1）=0，x=﹣2（舍）或x=﹣，当x=﹣时，y=﹣2×（﹣+3）×（﹣﹣1）=，则点M的坐标为M（﹣，），故M1（0，6）、M2（，）（14分）【点评】本题综合考查了二次函数的与直线相交下，交点问题的计算，以及线段最长最短问题，三角形问题等．。
2013年湖南省长沙市长郡中学理科班入学数学试卷(四)
2013年湖南省长沙市长郡中学理科班入学数学试卷（四）一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分）1．（6分）不等式组：的解集是（）A．x＞﹣3 B．x≥2 C．﹣3＜x≤2 D．x＜﹣3，则∠BAE是∠B的（）倍．2．（6分）如图，AC=CD=DA=BC=DEA．6 B．4 C．3 D．23．（6分）如果x取任何实数时，函数y=ax2+bx+c都不能取正值，则必有（）A．a＞0且△≥0 B．a＜0且△≤0 C．a＜0且△≥0 D．a＞0且△≤0 4．（6分）如图将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AB=，则AE的长为（）A．2 B．3 C．2 D．5．（6分）在平面上具有整数坐标的点称为整点．若一线段的端点分别为（2，11），（11，14），则在此线段上（包括端点）的整点共有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．8个6．（6分）设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，则x，y，z中（）A．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小于0 D．至少有一个大于0二、填空题：（每小题5分，共30分）7．（5分）等腰三角形ABC的底边BC=10cm，∠A=120°，则△ABC的外接圆半径为cm．8．（5分）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且BC=，则圆心O到AC的距离是．9．（5分）如图，有反比例函数y=，y=﹣的图象和一个以原点为圆心，2为半径的圆，则S阴影=．10．（5分）如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，AB=AC+CD，∠C=80°，那么∠B的度数是．11．（5分）已知梯形ABCD的面积为S，AB∥CD，AB=b，CD=a（a＜b），对角线AC与BD交于点O，若△BOC的面积为，则=．12．（5分）一堆有红，白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，，每一个红球都记作“3”，但白球个数的2倍比红球多，若把每个白球都记作“2”则总数为60，那么，白球有个，红球有个．三、解答题（本大题共3小题，13、14题11分，15题12分）13．（11分）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．14．（11分）预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值．15．（12分）已知抛物线y=﹣ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y 轴的正半轴交于点C．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2013年湖南省长沙市长郡中学理科班入学数学试卷（四）参考答案与试题解析一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分）1．（6分）不等式组：的解集是（）A．x＞﹣3 B．x≥2 C．﹣3＜x≤2 D．x＜﹣3【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：由①得：x≥2．由②得：x＞﹣3．∴不等式组的解集为：x≥2．故选B．【点评】求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．，则∠BAE是∠B的（）倍．2．（6分）如图，AC=CD=DA=BC=DEA．6 B．4 C．3 D．2，可得△ACD是等边三角形，即∠ACD=∠ADC=∠【分析】由AC=CD=DA=BC=DECAD=60°，∠B=∠BAC，∠E=∠DAE，又由三角形外角的性质，∠B与∠BAE的度数，继而求得答案．，【解答】解：∵AC=CD=DA=BC=DE∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∠B=∠BAC，∠E=∠DAE，∵∠ACD=∠B+∠BAC，∠ADC=∠E+∠DAE，∴∠B=∠BAC=∠DAE=∠E=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠DAE=120°，∴∠BAE=4∠B．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（6分）如果x取任何实数时，函数y=ax2+bx+c都不能取正值，则必有（）A．a＞0且△≥0 B．a＜0且△≤0 C．a＜0且△≥0 D．a＞0且△≤0【分析】根据二次函数的性质可知，只要抛物线开口向下，且与x轴无交点即可．【解答】解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为非负数，则必须保证抛物线开口向下，且与x轴只有一个交点，或者无交点；则a＜0且b2﹣4ac≤0，故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．①当x取一切实数时，函数值y恒为正的条件：抛物线开口向上，且与x轴无交点；②当x取一切实数时，函数值y恒为负的条件：抛物线开口向下，且与x轴无交点．4．（6分）如图将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AB=，则AE的长为（）A．2 B．3 C．2 D．【分析】利用折叠易证△AEB是含30°的直角三角形，利用相应的三角函数即可求得AE的长．【解答】解：延长EB交AD于点M，根据折叠的性质易证明△AME是一个等边三角形，则∠EAB=30°，在直角三角形ABE中，根据30°所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理求得AE=2．故选：C．【点评】此题中的折叠方法也是折叠等边三角形的一种常用方法，那么△AEB是含30°的直角三角形．5．（6分）在平面上具有整数坐标的点称为整点．若一线段的端点分别为（2，11），（11，14），则在此线段上（包括端点）的整点共有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．8个【分析】根据题意，设经过点（2，11）、（11，14）的直线方程y=ax+b（a≠0），利用待定系数法求得该直线方程，然后在此线段上（包括端点）寻找整点．【解答】解：设经过点（2，11）、（11，14）的直线方程y=ax+b（a≠0），则，解得，，∴所求的线段所在的直线方程为y=x+；①当y=12时，x=5，即整点（5，12）在该线段上；②当y=13时，x=8，即整点（8，13）在该线段上；又∵端点（2，11）、（11，14）也是整点，∴在此线段上（包括端点）的整点共有4个；故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形性质．解得该题的关键是求得此线段所在的直线的方程，根据该直线方程取y的整数值．6．（6分）设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，则x，y，z中（）A．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小于0 D．至少有一个大于0【分析】由题意x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，将x，y，z相加，然后根据完全平方式的性质，进行求解；【解答】解：∵x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，∴2（x+y+z）=2a2﹣2bc+2b2﹣2ca+2c2﹣2ab=（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ca+c2）=（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＞0，∴x+y+z＞0，故x，y，z至少有一个大于0，故选：D．【点评】此题主要考查非负数的性质，即非负数大于等于0，比较简单．二、填空题：（每小题5分，共30分）7．（5分）等腰三角形ABC的底边BC=10cm，∠A=120°，则△ABC的外接圆半径为cm．【分析】连接OA交BC于D，根据三线合一定理得出BD=DC，∠OAC=∠BAC，得出等边三角形OAC，推出∠AOC=60°，在△ODC中根据勾股定理求出即可．【解答】解：连接OA交BC于D，∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，∴∠AOC=∠BOA，∵OB=OC，∴BD=DC，OA⊥BC，∴由垂径定理得：BD=DC=5cm，∠OAC=∠BAC=×120°=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠DCO=90°﹣60°=30°∴OC=2OD，设OD=a，OC=2a，由勾股定理得：a2+52=（2a）2，a=，OC=2a=（cm）．故答案是：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆和外心，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部．8．（5分）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且BC=，则圆心O到AC的距离是3．【分析】首先过O作AC的垂线段，再利用三角形相似就可以求出O到AC的距离．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∵OD⊥AC，∴∠ADO=90°，∠A公共，∴△ABC∽△ADO，∴，即OD=；在△ABC中，∠BAC=30°，∴AC=2BC=8，AB==12，∴OA=6=BO，∴OD=．【点评】主要利用了相似三角形的对应线段成比例．9．（5分）如图，有反比例函数y=，y=﹣的图象和一个以原点为圆心，2为半径的圆，则S阴影=2π．【分析】由反比例函数的对称性可得，图中的阴影部分正好为两个四分之一圆，即为一个半圆的面积．【解答】解：由反比例函数的对称性知S阴影=π×22=2π．故答案为：2π．【点评】解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．10．（5分）如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，AB=AC+CD，∠C=80°，那么∠B的度数是40°．【分析】在AB上截取AE=AC，先根据角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，再根据“SAS”可判断△AED≌△ACD，则ED=CD，∠AED=∠C=80°，由于AB=AC+CD得到EB=CD=ED，即△EBD为等腰三角形，所以∠AED=∠B+∠EDB，于是∠B=∠AED=40°．【解答】解：在AB上截取AE=AC，如图，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵在△AED和△ACD中，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠AED=∠C=80°，∵AB=AC+CD，∴EB=CD=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠AED=40°．故答案为40°．、【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰三、“AAS”、“ASA”“SAS”角形的性质．11．（5分）已知梯形ABCD的面积为S，AB∥CD，AB=b，CD=a（a＜b），对角线AC与BD交于点O，若△BOC的面积为，则=．【分析】依据题意可先作出简单的图形，可设S△COD的面积为S1，S△AOB的面积为S2，由题中条件建立关于S1?S2的方程，解方程得出S1?S2之间的关系，进而可求解a、b之间的关系．【解答】解：如图，设S△COD的面积为S1，S△AOB的面积为S2，由S ABCD=S，∵AB∥CD，∴S△ABD=S△ABC，∴S△AOD﹣S△AOB=S△BOC﹣S△AOB，∴S△AOD=S△BOC=S，得S1+S2=S﹣2×S=S，①∵==，∴S1?S2=S△BOC?S△AOD=S2，②联立①、②∵△COD∽△AOB，∴=，③∵a＜b，∴S1＜S2，解方程组得S1=S，S2=S，代入③得=．故答案为．【点评】本题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定及性质以及面积的问题，能够通过方程的思想建立等式，进而求解结论．12．（5分）一堆有红，白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，，每一个红球都记作“3”，但白球个数的2倍比红球多，若把每个白球都记作“2”则总数为60，那么，白球有9个，红球有14个．【分析】设有白球x个，有红球y个，根据条件就有x＜y，2x＞y，2x+3y=60，从而构成一个不等式组，求出其解即可．【解答】解：设有白球x个，有红球y个，由题意，得，由③，得x=④，把④代入①，得y＞12．把④代入②，得y＜15．∵x、y为整数，y=13，14，当y=13时，x=舍去，当y=14时，x=9，∴白球9个，红球14个故答案为：9，14．【点评】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用，解答本题时根据条件建立不等式是解答本题的关键．三、解答题（本大题共3小题，13、14题11分，15题12分）13．（11分）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．【分析】先把原方程化为2x2﹣3x﹣（k+3）=0，一定是一个一元二次方程，在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，因而可能方程有两个相同的实根，求得即可进行判断；或解方程得到的两个根中有一个是方程的增根，即x=1是方程2x2﹣3x﹣（k+3）=0的解，即可求得方程的另一解，然后进行判断；或方程有两个异号得实数根；或其中一根是0，即可求得方程的另一根，进行判断．因而这个方程中再分四种情况讨论：（1）当△=0时；（2）若x=1是方程①的根；（3）当方程①有异号实根时；（4）当方程①有一个根为0时，最后结合题意总结结果即可．【解答】解：原方程可化为2x2﹣3x﹣（k+3）=0，①（1）当△=0时，，满足条件；（2）若x=1是方程①的根，得2×12﹣3×1﹣（k+3）=0，k=﹣4；此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根；（3）当方程①有异号实根时，且x≠1即k≠﹣4，得k＞﹣3，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，k=﹣3，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根．综上所述，满足条件的k的取值范围是或k=﹣4或k≥﹣3．【点评】主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点要分情况讨论．14．（11分）预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值．【分析】（1）设出必需的未知量，找出等量关系为：甲原单价×甲原数量+乙原单价×乙原数量=1500，（甲原单价+1.5）×（甲原数量﹣10）+（乙原单价+1）×乙原数量=1529；（甲原单价+1）×（甲原数量﹣5）+（乙原单价+1）×乙原数量=1563.5．（2）结合（1）得到的式子，还有205＜2倍甲总价+乙总价＜210，求出整数解．【解答】解：（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是ax+by=1500，①由甲商品单价上涨 1.5元、乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个的情形，得（a+1.5）（x﹣10）+（b+1）y=1529．②再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形，得（a+1）（x﹣5）+（b+1）y=1563.5，③由①、②、③得④⑤④﹣⑤×2并化简，得x+2y=186．（2）依题意，有205＜2x+y＜210及x+2y=186，54＜y＜由y是整数，得y=55，从而得x=76．答：（1）x、y的关系x+2y=186；（2）x值为76，y值为55．【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到合适的关系式．当必需的量没有时，应设出未知数，在做题过程中消去无关的量．15．（12分）已知抛物线y=﹣ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y 轴的正半轴交于点C．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线y=﹣ax2+2ax+b的对称轴，可以根据公式直接求出，抛物线与x轴的另一交点与A关于对称轴对称，因而交点就可以求出．（2）AB的长度可以求出，连接PC，在直角三角形OCP中，根据勾股定理就可以求出C点的坐标，把这点的坐标代入抛物线的解析式，就可以求出解析式．（3）本题应分AC或BC为对角线和以AB为对角线三种情况进行讨论，当以AC 或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB．就可以求出点M的坐标．当以AB为对角线时，点M在x轴下方易证△AOC≌△BNM，可以求出点M的坐标．【解答】解：（1）对称轴是直线：x=1，点B的坐标是（3，0）．（2分）说明：每写对1个给（1分），“直线”两字没写不扣分．（2）如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB=4．∴PC=AB=×4=2在Rt△POC中，∵OP=PA﹣OA=2﹣1=1，∴OC=，∴b=（3分）当x=﹣1，y=0时，﹣a﹣2a+=0∴a=（4分）∴y=﹣x2+x+．（5分）（3）存在．（6分）理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为M（x，y）．①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB．由（2）知，AB=4，∴|x|=4，y=OC=．∴x=±4．∴点M的坐标为M（4，）或（﹣4，）．（9分）说明：少求一个点的坐标扣（1分）．②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．过M作MN⊥AB于N，则∠MNB=∠AOC=90度．∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC=MB，且AC∥MB．∴∠CAO=∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN=AO=1，MN=CO=．∵OB=3，∴0N=3﹣1=2．∴点M的坐标为M（2，﹣）．（12分）综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为M1（4，），M2（﹣4，），M3（2，﹣）．说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分【点评】本题主要考查了抛物线的轴对称性，是与勾股定理相结合的题目．难度较大．。
湖南省长沙市长郡中学高三实验班选拔考试理数试题
湖南省长沙市长郡中学高三实验班选拔考试理数试题比知识你海纳百川，比能力你无人能及，比心理你处变不惊，比信心你自信满满，比体力你精力充沛，综上所述，高考这场比赛你想不赢都难，祝高考好运，考试顺利。
绝密★启用前长郡中学2017～2018学年新高三实验班选拔考试理科数学试卷本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，时量120分钟，满分150分第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本大题共12小题，靶√5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若复数（其中，为虚数单位）的虚部为1，则A. 1B. 2C.D.C,的虚部为，，故选C.2. 已知集合，集合，则A. B. C. D.B,,故选B.3. 长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为A. B. C. D.B由古典概型概率公式，可得选取的人恰为一男一女的概率为，故选B.4. 已知等差数列的前项和为，若，则A. 23B. 96C. 224D. 276D是等差数列，可设首项为，公差为，由，可得，，故选D.5. 已知为双曲线的一个焦点，其关于双曲线的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为A. B.C. 2D.C设右焦点关于渐近线：的对称点为，则在上交于，由点到直线距离公式可得，为直角三角形，三边分别为，由对称性知，，，故选C.6. 下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是A. B.C. D.C对于.函数是奇函数，在为整数）上递增，则不满足；对于.函数为奇函数，由于，则在上递增，则满足；对于.函数为偶函数，则不满足；对于.函数既不是奇函数，也不是偶函数，则不满足，故选C.7. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为A. 7B. 9C. 10D. 11B执行程序框图，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；结束循环，输出，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 若二项式展开式的各项系数之和为，则含项的系数为A.560 B. C. 280 D.A因为二项式展开式的各项系数之和为，所以，的通项为，令项的系数为，故选A.9. 某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是A. B.C. D.C依题意，由几何体的三视图可知，此几何体为一个直三棱柱和一个半圆柱组成的组合体，且直三棱柱底面为两直角边为和的直角三角形，高为，半圆柱的底面半径为，高为，所以该几何体的体积为，故选C.10. 已知椭圆，若直线经过，与椭圆交于两点，且，则直线的方程为A. B. C. D.B设直线斜率为，，，由与联立可得，，则，解得，故选B.11. 已知三棱锥的每个顶点都在球的表面上，底面，且二面角的正切值为4，则球的表面积为A. B. C. D.D设中点为，可得，则是“二面角”的平面角，由于“二面角” 的正切值为，，由余弦定理知，，由正弦定理知，外接圆直径，设外接球半径为，则，球的表面积为，故选D.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.12. 已知函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为A. B. C. D.A函数在区间上有两个零点，等价于与的图象有两个交点，设与的图象相切，切点为，则，解得，因为关于的方程，与有两个交点，，故选A.【方法点睛】判断方程零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .本题的解答就利用了方法③.第Ⅱ卷（90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若实数满足，则的最小值为__________．画出表示的可行域如图，由图知，直线平移经过点时，有最小值为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14. 设，，且，则__________．由，可得，故答案为.15. 已知，，则__________．，，故答案为.16. 在数列中，首项不为零，且，为的前项和．令，则的最大值为__________．数列首项，所以数列是公比为的等比数列，，，，所以，设，令,当且时取等号，，即的最大值为，故答案为.三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在锐角中，分别为角的对边，且．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求面积的取值范围．(1) ；（2）.试题分析：（Ⅰ）由，根据二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简可得，从而可得结果；（Ⅱ）在中，由正弦定理得，又，∴，∴，又∵，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）∵，∴①，又∵，∴②，又③，将①，②，③代入已知得：，整理得，即，又∵，∴，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∵为锐角三角形，∴且，解得，在中，由正弦定理得：，∴，又，∴，∴，又∵，∴．18. 如图，在直三棱柱中，，为线段的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．(1)证明见解析；（2）或.试题分析：（Ⅰ）由直棱柱的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量及，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）∵三棱柱是直三棱柱，∴平面，又平面∴，∵，是的中点，∴，又平面平面，∴平面，又平面，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，故以为原点，为轴，为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示），设，则，∴，设平面的一个法向量，则，即，则，令可得，，故，设直线与平面所成角为，则，解得或，即或．19. 某地4个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购买的对象．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30以上．其中不足50的周数大约有5周，不低于50且不超过70的周。
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数学试题6
考试时量：60分钟；满分：100分
一、填空题：（每小题6分，本题满分36分）
1．化简：21111
x x x -+=++ .
2．在数学中，为了简便，记()11231n
k k n n ==++++-+∑ ；且1!1=，2!21=×，3!321=××，…，
()()!12321n n n n =-- ××××××．20062007
1
1
2007!
2006!
k k k k ==-+
=∑∑ ． 3．在同一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，那么4条直线两两相交，最多有 个交点，8条直线两两相交，最多有 个交点．
4．如图，45AOB =︒∠，过OA 上到点O 的距离分别为1357911 ，
，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1234S S S S ，，
，，．观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积10S = ．
5．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，30AOC =︒∠，半径为1cm 的P ⊙的圆心在直线OA 上P 以1cm /秒的速度沿由A 向B 的方向移动，开始时，6cm PO =．那么当P ⊙的运动时间t （秒）满足条件 时，P ⊙与直线CD 相交．
B
6．如图，在ABC △中，1086AB AC BC ===，，
，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA CB ，分别相交于点P Q ，，则线段PQ 长度的最小值是 ．
P
C
Q A
B
二、选择题：（每小题6分，本题满分36分）
7．在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数227
64
y x x =+-
的图象与x 轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5
8．如图，正方形ABCD 的面积为1，M 是AB 的中点，则图中阴影部分的面积是（ ） C
D
A M B
A ．
310 B ．13
C ．25
D ．49 9．小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为69千克，坐标在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一端仍然着地．后来小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地．小宝体重可能是（ ） A ．23.3千克 B ．23千克 C ．21.1千克 D ．19.9千克
10．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块
的个数，那么该几何体的主视图为（ ）
31 2
4 2 1
A B C D
11．7条长度均为整数厘米的线段：1234567a a a a a a a ，
，，，，，，满足1234567a a a a a a a <<<<<<，且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形．若11a =厘米，721a =厘米，则6a =（ ） A ．18厘米 B ．13厘米 C ．8厘米 D ．5厘米
12．现有甲、乙、丙、丁、戊五个同学，他们分别来自一中、二中、三中．已知：⑴每所学校至少有
他们中的一名学生；⑵在二中联欢会上，甲、乙、戊作为被邀请的客人演奏了小提琴；⑶乙过去曾在三中学习，后来转学了，现在同丁在同一个班学习；⑷丁、戊是同一所学校的三好学生．根据以上叙述可以断定甲所在学校为（ ） A ．一中 B ．二中 C ．三中 D ．不确定
三、解答题：（14分+14分，满分28分）
13．如图，点A B C D ，，
，是直径为AB 的O ⊙上四个点，C 是劣弧BD 的中点，AC 交BD 于点E ，2AE =，1EC =．
⑴ 求证：DEC ADC △△∽．（4分）
⑵ 试探究四边形ABCD 是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由．（5分）
⑶ 延长AB 到H ，使BH OB =．求证：CH 是O ⊙的切线．（5分）
备用图
14．如图，点()40M ，，
以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线216
y x bx c =++ 过点A 和B ，与y 轴交于点C ．
⑴ 求点C 的坐标，并在此坐标系中画出抛物线的大致图象．（4分）
⑵ 点()8Q m ，在抛物线21
6
y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ PB +的最
小值．
⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．（5分）。