D9_5隐函数求导
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高等数学(高等教育出版社)第九章D9_5隐函数求导ok
① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ; ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 , 则方程 在点 某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 并有连续偏导数 Fx z , x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 ;
Fy z y Fz
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内容小结
1. 隐函数( 组) 存在定理
2. 隐函数 ( 组) 求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式 .
思考与练习
设
求
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提示: z f ( x y z , x y z ) z z z f1 1 f 2 y z x y • x x x f1 y z f 2 z x 1 f1 x y f 2 f1 x 1 f 2 y z x x y • 1 z z
( F , G) ③J P (u, v)
0,
P
则方程组 F ( x, y, u, v) 0 , G ( x, y, u, v) 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u( x0 , y0 ) ,
v0 v( x0 , y0 ) 的单值连续函数 u u( x, y) , v v( x, y), 且有偏导数公式 :
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(P85)
Fu Fx Gu G x Fu Fy Gu G y
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F ( x, y , u , v ) 0 有隐函数组 设方程组 G ( x, y, u , v) 0
Fy z y Fz
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内容小结
1. 隐函数( 组) 存在定理
2. 隐函数 ( 组) 求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式 .
思考与练习
设
求
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提示: z f ( x y z , x y z ) z z z f1 1 f 2 y z x y • x x x f1 y z f 2 z x 1 f1 x y f 2 f1 x 1 f 2 y z x x y • 1 z z
( F , G) ③J P (u, v)
0,
P
则方程组 F ( x, y, u, v) 0 , G ( x, y, u, v) 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u( x0 , y0 ) ,
v0 v( x0 , y0 ) 的单值连续函数 u u( x, y) , v v( x, y), 且有偏导数公式 :
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(P85)
Fu Fx Gu G x Fu Fy Gu G y
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F ( x, y , u , v ) 0 有隐函数组 设方程组 G ( x, y, u , v) 0
9-5 隐函数求导公式.
v v( x, y)，它们满足条件u0 u( x0 , y0 ) ,v0 v
( x0 , y0 )，并有
Fx Fv
u 1 (F ,G) Gx Gv , x J ( x,v) Fu Fv
Gu Gv
v 1 (F ,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
§9-5 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形 二、方程组的情形
三、小结
一、一个方程的情形
1. F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点P( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点P( x0 , y0 ) 的
u
解得 因此
z 1 ex(x z) sin( x z)
du dx
f1
y x
f2
1 ex (x z)
sin( x z)
f3
xyz xx
2. 设
是由方程
和
所确定的函数 , 求 (1999考研)
解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得 (1 y)
dz dx
x f f x f Fy Fx xf 1 Fy Fz
( f x f )Fy x f Fx Fy x f Fz
(Fy x f Fz 0)
解法2 微分法. z x f (x y), F(x, y, z) 0
对各方程两边分别求微分:
《D95隐函数求导》课件
结果分析：得到隐函数 f ( x , y, z ) 的 导 数 ， 进 一 步 求 解原问题
PART FIVE
隐函数求导公式：注意隐函数求导公式的使用，避免错误使用 隐函数求导步骤：按照隐函数求导的步骤进行求解，避免遗漏步骤 隐函数求导技巧：掌握隐函数求导的技巧，提高求解效率 隐函数求导应用：了解隐函数求导在实际问题中的应用，提高求解能力
确定求解精度：根据实际问题的需求，确定求解的精度要求 选择合适的算法：根据求解精度要求，选择合适的求解算法 调整参数：根据求解精度要求，调整求解过程中的参数，如迭代次数、步长等 验证结果：求解完成后，对结果进行验证，确保满足精度要求
导入必要的库和模块 定义隐函数 使用导数公式求解
编写代码实现求解过程 运行代码并查看结果 总结求解过程的注意事项
隐函数：f(x,y)=0 应用条件：f_x不等于0
求导公式：f'(x,y)=-f_y/f_x
计算方法：代入公式，求解导 数
确定隐函数：找 出需要求导的隐 函数
隐函数求导：使 用D95隐函数求 导公式进行求导
计算导数：将隐 函数代入求导公 式，计算导数
验证结果：检查导 数是否满足D95隐 函数求导公式，确 保结果正确
数学研究：在数学领域，D95隐函 数求导可以应用于微积分、代数、 几何等领域的研究。
经济分析：在经济领域，D95隐函 数求导可以应用于金融、经济、管 理等领域的分析。
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工程应用：在工程领域，D95隐函 数求导可以应用于机械设计、电子 工程、计算机科学等领域。
教育领域：在教育领域，D95隐函 数求导可以应用于数学教育、科学 教育等领域。
步骤一：确定 f(x,y)的导数
9_5 隐函数的求导公式
解 (1) 将方程组改写成下面的形式
F ( x, y,u,v) x x(u,v) 0, G( x, y,u,v) y y(u,v) 0. 则按假设 J (F ,G) ( x, y) 0.
x
y
Fu d( z ) Fv d( z ) 0
F1(
z
d
x
z2
x
d
z
)
F2(
zdy z2 Nhomakorabeay
d
z
)
0
xF1 yF2 z2
dz
F1d x F2 d y z
dz
z x F1
y F2 (F1d x F2d y).
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
F ( x, y, u, v) 0 G( x, y, u, v) 0
u u(x, y)
v
v
(
x,
y)
由 F、G 的偏导数组成的行列式
J (F ,G) Fu Fv (u, v) Gu Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
一邻域内连续且有连续偏导数, 又 ( x, y) 0. (u, v )
(1)
证明方程组
x y
x(u, v ), y(u, v )
在点( x, y, z)的某一邻域内唯一确定一组连续且具有
连续偏导数的反函数 u u( x, y),v v( x, y).
( 2) 求反函数u u( x, y),v v( x, y)对x, y的偏导 数.
D9_5隐函数求导
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Fx Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G x Gv x J ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G y Gv y J ( y, v ) Gu Gv Fu Fx 1 v 1 ( F , G ) ( F , G ) Fu Fv Gu G x J x J ( u, x ) (u , v) Gu Gv Fu Fv Fu Fy 1 v 1 ( F , G ) Gu Gv Fu Fv Gu G y y J ( u, y ) Gu Gv
x x y z xz • 0 f1 1 f 2 y y f1 x z f 2 x f1 y z f 2 y
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x 1 f1 x y f 2 f1 y z f 2 z
两边对 x 求偏导
2z x ( ) 2 x 2 z x
(2 z ) 2 x 2 (2 z )3
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结束
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
F ( x, y , u , v ) 0 G ( x, y, u, v) 0
d2y d x2
x 0 y 1
1
F ( x, y ) sin y e x x y 1 0 x Fx e y, Fy cos y x
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定理2 . 若函数 F ( x, y, z ) 满足:
① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ; ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 , 则方程 在点 某一邻域内可唯一 确定一个连续函数 z = f (x , y) , 满足 并有连续偏导数 Fx z , x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 ;
Fx Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G x Gv x J ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G y Gv y J ( y, v ) Gu Gv Fu Fx 1 v 1 ( F , G ) ( F , G ) Fu Fv Gu G x J x J ( u, x ) (u , v) Gu Gv Fu Fv Fu Fy 1 v 1 ( F , G ) Gu Gv Fu Fv Gu G y y J ( u, y ) Gu Gv
x x y z xz • 0 f1 1 f 2 y y f1 x z f 2 x f1 y z f 2 y
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x 1 f1 x y f 2 f1 y z f 2 z
两边对 x 求偏导
2z x ( ) 2 x 2 z x
(2 z ) 2 x 2 (2 z )3
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二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
F ( x, y , u , v ) 0 G ( x, y, u, v) 0
d2y d x2
x 0 y 1
1
F ( x, y ) sin y e x x y 1 0 x Fx e y, Fy cos y x
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定理2 . 若函数 F ( x, y, z ) 满足:
① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ; ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 , 则方程 在点 某一邻域内可唯一 确定一个连续函数 z = f (x , y) , 满足 并有连续偏导数 Fx z , x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 ;
高等数学D95隐函数求导公开课获奖课件
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
第8页
设 z f (x, y) 是方程 F (x, y) 0 所确定的隐函数 , 则
F(x, y , f (x , y ) ) 0
同样可得
两边对 x 求偏导
Fx Fz
z x
0
在 (x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内Fz 0
z Fx x Fz
u y
yu xv x2 y2
故有
u 1 x J
u v
y x
xu x2
yv y2
v 1 x J
x u y v
xv x2
yu y2
v y
xu x2
yv y2
第19页
例5.设函数 x x (u , v), y y (u , v)在点(u,v) 某一
邻域内有持续偏导数,且 (x, y) 0 (u, v)
v
v(x,
y)
由 F、G 偏导数构成行列式
J
(F,G) (u, v)
Fu Gu
Fv Gv
称为F、G 雅可比 行列式.
雅可比
第14页
定理3. 设函数 F (x, y,u, v), G(x, y,u, v) 满足: ① 在点 P(x0 , y0 ,u0 , v0 ) 某一邻域内具有持续偏 导数；
y
F1
(
x z2
)
F2
(
y z2
)
z F2 x F1 y F2
故
dz
z dx x
z dy y
z x F1
y F2 (F1dxzx F2FFdyxz )
第12页
解法2 微分法. 对方程两边求微分:
F(x , y) 0 zz
第8页
设 z f (x, y) 是方程 F (x, y) 0 所确定的隐函数 , 则
F(x, y , f (x , y ) ) 0
同样可得
两边对 x 求偏导
Fx Fz
z x
0
在 (x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内Fz 0
z Fx x Fz
u y
yu xv x2 y2
故有
u 1 x J
u v
y x
xu x2
yv y2
v 1 x J
x u y v
xv x2
yu y2
v y
xu x2
yv y2
第19页
例5.设函数 x x (u , v), y y (u , v)在点(u,v) 某一
邻域内有持续偏导数,且 (x, y) 0 (u, v)
v
v(x,
y)
由 F、G 偏导数构成行列式
J
(F,G) (u, v)
Fu Gu
Fv Gv
称为F、G 雅可比 行列式.
雅可比
第14页
定理3. 设函数 F (x, y,u, v), G(x, y,u, v) 满足: ① 在点 P(x0 , y0 ,u0 , v0 ) 某一邻域内具有持续偏 导数；
y
F1
(
x z2
)
F2
(
y z2
)
z F2 x F1 y F2
故
dz
z dx x
z dy y
z x F1
y F2 (F1dxzx F2FFdyxz )
第12页
解法2 微分法. 对方程两边求微分:
F(x , y) 0 zz
如何理解隐函数求导公式
如何理解隐函数求导公式隐函数求导公式是微积分中的一个重要概念，用于求解在一些情况下无法直接表达的函数的导数。
它是基于隐函数定理和链式法则推导而来的。
理解隐函数求导公式需要了解以下几个方面的知识：1.隐函数定理：隐函数定理是微积分中的一个重要定理，用于描述隐式定义的函数的性质。
其表述为：如果一个二元函数在一些点附近连续且具有可导的偏导数，且一个偏导数不为零，那么这个函数定义了一个隐式函数。
2.链式法则：链式法则是微积分中的一个重要定理，用于求复合函数的导数。
根据链式法则，如果函数f(x)和g(x)都可导，那么复合函数h(x)=f(g(x))也可导，且他的导数满足h'(x)=f'(g(x))*g'(x)。
基于以上知识，我们可以理解隐函数求导的具体步骤。
1.设有一个方程F(x,y)=0，其中x和y是自变量，F是未知函数。
2.假设这个方程确定了一个隐含函数y=f(x)。
3. 对方程两边同时关于 x 求导，得到 F_x + F_y * dy/dx = 0，其中 F_x 表示 F 对 x 的偏导数，F_y 表示 F 对 y 的偏导数。
4. 解这个方程得到 dy/dx 的表达式，即隐函数的导数表达式。
举例来说明隐函数求导的具体步骤：考虑方程x^2+y^2-1=0，我们希望求解该方程确定的隐含函数y=f(x)的导数表达式。
1. 首先对方程两边关于 x 求导，得到 2x + 2y * dy/dx = 0。
2. 将此方程变形得 dy/dx = -2x / 2y = -x/y。
3. 最终得到导数表达式 dy/dx = -x/y。
这个例子中，我们通过隐函数求导公式求得了隐函数的导数表达式。
通过这个导数表达式，我们可以求出隐函数在任意点的导数值。
总结来说，隐函数求导公式是通过隐函数定理和链式法则推导得出的，用于求解无法直接表达的函数的导数。
理解隐函数求导公式，需要掌握隐函数定理和链式法则的基本概念，并且通过实例来加深理解。
隐函数的求导范文
隐函数的求导范文隐函数是指在一个方程中，将一些变量表示为其他变量的函数。
在数学中，我们经常需要对隐函数进行求导。
隐函数求导的过程涉及到隐函数定理、导数的定义以及链式法则等概念。
接下来，我将详细介绍隐函数的求导过程。
首先，我们需要了解隐函数定理。
隐函数定理是数学分析中的一个重要定理，它提供了在一些条件下可以将隐函数表示为显式函数的方法。
设有方程F(x,y)=0，其中y是x的函数。
如果在一些点(x0,y0)附近，函数F(x,y)满足以下条件：1.F(x0,y0)=0；2.F在点(x0,y0)的一些邻域内部具有连续的偏导数；3. 存在一些具有非零斜率的线性方程y = mx + n，斜率为m，并且在x = x0的点上通过(x0, y0)；那么，在该点附近，方程F(x,y)=0可以被表示为y=f(x)的形式。
其中f(x)是定义在x的一些邻域上的函数，并且在这个邻域内是可导的。
基于隐函数定理，我们可以利用隐函数的类似分离变量的方法求解隐函数导数。
具体步骤如下：Step 1: 找到给定隐函数F(x, y) = 0的一个表达式，确保每个变量都已表示依赖于相应的因变量。
通常情况下，我们会将y表示为x的函数，并得到一个形如F(x, f(x)) = 0的方程。
Step 2: 对于上述方程，使用对x求导的法则对它两边同时求导。
这一步骤得到的结果需要使用链式法则。
对于F(x,f(x))=0，我们可以对其两边同时对x求导，得到F_x(x,f(x))+F_y(x,f(x))f'(x)=0。
其中，F_x表示对变量x求偏导数，F_y表示对变量y求偏导数，f'(x)表示函数f(x)对x的导数。
Step 3: 将上一步得到的方程关于f'(x)进行求解，即可得到f'(x)的表达式。
这个表达式就是我们所求的隐函数的导数。
需要注意的是，有时候在求解隐函数的导数时，我们会遇到隐式微分，即对y关于x的微分。
对于隐式微分，我们可以利用全微分的方式来求解。
9-5 隐函数的求导公式-PPT精选文档
解
x x z ,y y求 把 看 成 的 函 数 对 偏 导 数 得， y y y x , z z 把 看 成 的 函 数 对 求 偏 导 数 得 . z 令 u x y z ,v xyz ,
则 z f ( u , v ),
x z x , y 把 看 成 的 函 数 对 求 偏 导 数 得
z z z yz xy ), fu (1 ) f v ( x x x z fu yzf v , 整理得 1 fu xyf x v
x z , y y 把 看 成 的 函 数 对 求 偏 导 数 得
x x yz ), 0 fu ( 1 ) fv (xz y y
fu xzf x v , 整理得 fu yzf y v x , z z 把 看 成 的 函 数 对 求 偏 导 数 得 y
y y 1 fu ( 1 ) f xy xz ), v ( z z
整理得
y 1 fu xyf v . z fu xzf v
z Fx ， x Fz
Fy z . y Fz
z x y z 4 z 0 例 3设 ， 求 . 2 x
2 2 2
2
2 2 2 F ( x , y , z ) x y z 4 z , 解 令 z F x x , 则 F 2 x , F 2 z 4 , x z x F 2z z
二、方程组的情形
(x , y,u ,v) 0 F G (x , y,u ,v) 0
隐函数存在定理 3 设F ( x , y , u, v ) 、G ( x , y , u, v ) 在 点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻域内有对各个变量的连续 偏导数，且 F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ,G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比 式）
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z Fy y y y Fz z 2 2 z
dz x dx y dy 2z 2z
(2) 解法1 利用公式
设 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z
则
Fx 2x , Fz 2z 4,
当 z 2 时，z Fx
x Fz
x x z2 2z
两边对 x 求偏导
2z x2
u x u y v 0 x x
x u y v u x x
y u x v v 0 x x
y u x v v x x
x D
y x2 y2 0
yx
u y
D1 v
xu yv
x
x D2 y
u xv yu
v
u x
D1 D
xu x2
yv y2
v x
D2 D
xv yu x2 y2
① Fx ex y, Fy cos y x 连续 , ② F(0,0) 0,
③ Fy (0,0) 1 0
由 定理1 可知, 在 点(0,0) 的某邻域内方程能唯一确定
有连续导数，当 x=0, y=0 时的函数
且
解: 令 F(x, y) sin y ex xy 1,则 ① Fx ex y, Fy cos y x 连续 , ② F(0,0) 0,
课堂练习1 设 ln x2 y2 arctan y , 求 dy . x dx
课堂练习1 设 ln x2 y2 arctan y , 求 dy . x dx
二、方程
所确定的隐函数及其导数
定理2 . 若函数 F(x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F(x0 , y0, z0 ) 0
y0 y 1
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x)
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x 0
ex cos
y yx
(0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2y dx2
x 0 3
③ Fy (0,0) 1 0
dy
Fx
dx x 0 Fy
x0
ex y cos y x
x 0, y 0
d2y
d ( ex y )
dx2 x 0 dx cos y x
( ex y)(cos y x) (ex y) (sin y y 1)
( cos y x )2
3
x0
x
2
x
z
x
u v
x
u v
v
u x
v2
u
v x
(2
z)2 (2 z)3
x
2
例3. 设
x2 y2 z2
4z
0
,
求
2 x
z
2
.
（2）解法2 利用隐函数求导
2x 2z z 4 z 0 x x
z x 当 z 2 时
x 2 z
再对 x 求导
2
4
2z x2
0
当 z 2 时
③ Fz (x0 , y0, z0 ) 0
则方程
在点
某一邻域内恒能
唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (xx Fz y Fz
求导公式推导如下:
F(x, y , f (x, y ) ) 0
两边对 x 求偏导
Fx Fz
1 (z)2 x
课堂练习2
设 x ln z , 求 z 、z 、dz 和 2z .
z y x y
xy
课堂练习3 设 z3 3xyz a3, 求 2z . xy
例4. 设 x u y v 0, y u x v 1, 求 u , u , v , v . x y x y
解: 方程组两边对 x 求偏导，移项得
当 y 0 时，
dy Fx x
dx Fy
y
上式中y是x的函数，再次对 x 求导，得
d2y dx2
y xy y2
y
x
y2
x y
y2
y3
x2
1 y3
例2. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy dx
x0
,
d2y dx2
x0
解: 令 F(x, y) sin y ex xy 1, 则
第五节
第九章
隐函数的求导方法
一、方程 二、方程
所确定的隐函数及其导数 所确定的隐函数及其导数
一、方程
所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
在点
的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数;
则方程
② F(x0 , y0 ) 0; ③ Fy (x0 , y0 ) 0
的某邻域内恒能唯一确定
一个连续且具有连续导数的函数 y = f (x) , 它满足条件 并有
例4. 设 x u y v 0, y u x v 1, 求 u , u , v , v . x y x y
解: 方程组两边对 y 求偏导，并移项得
练习:
求
u y
,
v y
答案:
u y
yu xv x2 y2
v y
xu x2
yv y2
内容小结
1. 隐函数存在定理 2. 隐函数求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 代公式
dy Fx (隐函数求导公式) dx Fy
求导公式推导如下： 则
两边对 x 求导
F
xy
在
dy Fx dx Fy
x 的某邻域内 Fy 0
例1. 求由方程 x2 y2 1 0 所确定的隐函数 y f (x)
的一阶和二阶导数.
解：设 F(x, y) x2 y2 1, 则 Fx 2x , Fy 2 y
作业 P91-------- 1，3 , 8
z x
0
同样可得
z Fx x Fz z Fy y Fz
则
F
x yz
xy
例3. 设 x2 y2 z2 4z 0, 求 dz,
2z .
解：（1）利用公式
x2
设 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z
则 Fx 2x , Fy 2 y, Fz 2z 4
当 z 2 时， z Fx x x x Fz z 2 2 z
dz x dx y dy 2z 2z
(2) 解法1 利用公式
设 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z
则
Fx 2x , Fz 2z 4,
当 z 2 时，z Fx
x Fz
x x z2 2z
两边对 x 求偏导
2z x2
u x u y v 0 x x
x u y v u x x
y u x v v 0 x x
y u x v v x x
x D
y x2 y2 0
yx
u y
D1 v
xu yv
x
x D2 y
u xv yu
v
u x
D1 D
xu x2
yv y2
v x
D2 D
xv yu x2 y2
① Fx ex y, Fy cos y x 连续 , ② F(0,0) 0,
③ Fy (0,0) 1 0
由 定理1 可知, 在 点(0,0) 的某邻域内方程能唯一确定
有连续导数，当 x=0, y=0 时的函数
且
解: 令 F(x, y) sin y ex xy 1,则 ① Fx ex y, Fy cos y x 连续 , ② F(0,0) 0,
课堂练习1 设 ln x2 y2 arctan y , 求 dy . x dx
课堂练习1 设 ln x2 y2 arctan y , 求 dy . x dx
二、方程
所确定的隐函数及其导数
定理2 . 若函数 F(x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F(x0 , y0, z0 ) 0
y0 y 1
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x)
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x 0
ex cos
y yx
(0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2y dx2
x 0 3
③ Fy (0,0) 1 0
dy
Fx
dx x 0 Fy
x0
ex y cos y x
x 0, y 0
d2y
d ( ex y )
dx2 x 0 dx cos y x
( ex y)(cos y x) (ex y) (sin y y 1)
( cos y x )2
3
x0
x
2
x
z
x
u v
x
u v
v
u x
v2
u
v x
(2
z)2 (2 z)3
x
2
例3. 设
x2 y2 z2
4z
0
,
求
2 x
z
2
.
（2）解法2 利用隐函数求导
2x 2z z 4 z 0 x x
z x 当 z 2 时
x 2 z
再对 x 求导
2
4
2z x2
0
当 z 2 时
③ Fz (x0 , y0, z0 ) 0
则方程
在点
某一邻域内恒能
唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (xx Fz y Fz
求导公式推导如下:
F(x, y , f (x, y ) ) 0
两边对 x 求偏导
Fx Fz
1 (z)2 x
课堂练习2
设 x ln z , 求 z 、z 、dz 和 2z .
z y x y
xy
课堂练习3 设 z3 3xyz a3, 求 2z . xy
例4. 设 x u y v 0, y u x v 1, 求 u , u , v , v . x y x y
解: 方程组两边对 x 求偏导，移项得
当 y 0 时，
dy Fx x
dx Fy
y
上式中y是x的函数，再次对 x 求导，得
d2y dx2
y xy y2
y
x
y2
x y
y2
y3
x2
1 y3
例2. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy dx
x0
,
d2y dx2
x0
解: 令 F(x, y) sin y ex xy 1, 则
第五节
第九章
隐函数的求导方法
一、方程 二、方程
所确定的隐函数及其导数 所确定的隐函数及其导数
一、方程
所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
在点
的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数;
则方程
② F(x0 , y0 ) 0; ③ Fy (x0 , y0 ) 0
的某邻域内恒能唯一确定
一个连续且具有连续导数的函数 y = f (x) , 它满足条件 并有
例4. 设 x u y v 0, y u x v 1, 求 u , u , v , v . x y x y
解: 方程组两边对 y 求偏导，并移项得
练习:
求
u y
,
v y
答案:
u y
yu xv x2 y2
v y
xu x2
yv y2
内容小结
1. 隐函数存在定理 2. 隐函数求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 代公式
dy Fx (隐函数求导公式) dx Fy
求导公式推导如下： 则
两边对 x 求导
F
xy
在
dy Fx dx Fy
x 的某邻域内 Fy 0
例1. 求由方程 x2 y2 1 0 所确定的隐函数 y f (x)
的一阶和二阶导数.
解：设 F(x, y) x2 y2 1, 则 Fx 2x , Fy 2 y
作业 P91-------- 1，3 , 8
z x
0
同样可得
z Fx x Fz z Fy y Fz
则
F
x yz
xy
例3. 设 x2 y2 z2 4z 0, 求 dz,
2z .
解：（1）利用公式
x2
设 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z
则 Fx 2x , Fy 2 y, Fz 2z 4
当 z 2 时， z Fx x x x Fz z 2 2 z