1112学年度下学期高一数学练习3(03)12214_2

11-12学年度下学期高一数学练习3（03）12-2-14直线与圆的方程的应用、空间直角坐标系一．选择题．共6题小题，每题5分.每题有且仅有一个选项正确，所选答案填写到后面指定的表中.1．如图所示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为 ()A ．1B ．2C ．3D ．42．点M (3，－3,1)关于xOy 平面的对称点是 （ ） A . (3，－3，－1) B . (－3， 3，1) C . (3，3，－1) D . (－3，－3， 1) 3．两圆x 2＋y 2－2x ＋10y ＋1＝0，x 2＋y 2－2x ＋2y －m ＝0相交，则m 的取值范围是( )A ．(－2,39)B ．(0,81)C ．(0,79)D ．(－1,79)4．已知半径为1的动圆与圆C ：(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝155．若集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤16}，B ＝{(x ，y )|x 2＋(y －2)2≤a －1}且A ∩B ＝B ，则a 的取值范围是 ( )A ．a ≤5B ．a ≥5C ．1≤a ≤5D ． 15a <≤ 6．函数()f t = （ ） A.[2,4]B. [-C.D.题号 1 2 3 4 5 6答案二．填空题．共4道小题每小题5分.将最简答案填在本大题后面指定的横线上.7．若A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 与点C 间的距离为___ _____．8．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于___ _____．9．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，且∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为____ ____．10．点P 在圆O: x 2＋y 2＝1上运动，点Q 在圆C ：(x －3)2＋y 2＝1上运动，则PQ 的最小值为____ ____．高一__ __班 学号_____ 姓名__________ 成绩__________三．解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．共50分.11．矩形ABCD 中，AB ∶BC ＝4∶3，点E 在边CD 上，且CE ∶ED ＝1∶7，试用坐标法确定以BC 为直径的圆与直线AE 的位置关系．12. 已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|＝|PA|成立，如图．(1)求点P的轨迹方程；(2)求|PQ|的最小值；(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．13．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)此方程表示圆，求m的取值范围；(2) 直线x＋2y－4＝0 与(1)中的圆交于M、N，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．14．某地即将受到台风的影响.台风中心位于该地气象台A正西方向300千米处，它以每小时40千米的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都要受其影响．问：从现在起，大约多长时间后，气象台A所在地将遭受台风影响?持续多长时间？15．在直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)斜率分别等于2-、12的直线1l 、2l 都通过点(,)M a b ，且1l 被圆C 1截得的弦长与2l 被圆C 2，求点(,)M a b 的坐标；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．高 一 数 学 周 练 答 案第3周练习：直线与圆的方程的应用、空间直角坐标系一．选择题． CAD BAC 提示：1．解析：图（3）不符合右手系的要求，图（4）中水平坐标平面上的,x y 轴按135︒的情况所作出，符合斜二侧画法.只有（3）不符合要求，选 C.2．解析：空间中的一点关于xOy 对称的点的坐标是x ，y 不变，z 变为原来的相反数，即所求的点是(3，－3，－1)． 答案：(3，－3，－1)3．解析：选D.两圆的方程分别可化为(x －1)2＋(y ＋5)2＝25，(x －1)2＋(y ＋1)2＝m ＋2. 由此，20m +>，2m >-，又两圆相交，得|5－m ＋2|<4<5＋m ＋2，解之得－1<m <79. 综合知，选D.4．解析：选B.设动圆圆心为M (x ，y )，因为动圆M 与定圆C 相切．所以|MC |＝1＋4＝5或|MC |＝4－1＝3，代入坐标整理，得(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9.5．解析：选A.由A ∩B ＝B 知B ⊆A ，故a －1≤4，即a ≤5. 注意，因为B =∅也可以，所以不需限定1a ≥. 6．解析：定义域为[1,-，设,()2t y f t x y c=-==+=，由于有 22134x y t t +=++-=，0,0x y ≥≥，于是由图中的四分之一圆周与直线2x y c +=有公2≤，所以，c -≤≤，又当直线2x y c +=过点(0,2)时，其在y 轴上的截距c 最小，最小截距等于2，于是2c ≤≤选C.二．填空题．7．532 8．23939．x 2＋y 2＝4 10．1 提示：7．解析：利用中点坐标公式得M ⎝⎛⎭⎫2，32，3，再利用空间两点间的距离公式求解．答案：5328．解析：∵AM ＝(3－0)2＋(－1－1)2＋(2－2)2＝13，∴正方体的体对角线长为213， ∵3a 2＝52(a 为正方体的棱长)，∴a ＝2393. 答案：2393．9．解析：由题意得满足条件的图形，如图所示．∵∠APB ＝60°，∠OPB ＝30°，即|OP |＝2|OB |＝2.∴点P 的轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，其方程为x 2＋y 2＝4. 答案：x 2＋y 2＝4 10．解析：如图．设连心线OC 与圆O 交于点P ′，与圆C 交于点Q ′，当点P 在P ′处，点Q 在Q ′处时PQ 最小，最小值为P ′Q ′＝OC －r 1－r 2＝1. 答案：1．三．解答题．11．解：如图，分别以AB 、AD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系．不妨设|AB |＝8，则|AD |＝6，则相应地有A (0,0)，B (8,0)，C (8,6)，E (7,6)，∴直线AE 的方程为y ＝67x ， 即6x －7y ＝0.BC 中点为M (8,3)，＝|6×8－7×3|62＋(－7)2＝2785<2781＝3＝r .∴以BC 为直径的圆的方程为(x －8)2＋(y －3)2＝9.M (8,3)到AE 的距离d∴直线AE 与圆相交．12. 解：(1)设点P 的坐标为(,)x y ，连接OQ 、OP ，则△OQP 为直角三角形， 又|PQ |＝|PA |， 所以|OP |2＝|OQ |2＋|PQ |2 ＝1＋|PA |2，所以x 2＋y 2＝1＋(x －2)2＋(y －1)2， 故2x ＋y －3＝0.即为点P 的轨迹方程.(2)由(1)知，P 在直线l ：2x ＋y －3＝0上， 所以|PQ |min ＝|PA |min ，为A 到直线l 的距离，所以|PQ |min ＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.(或由|PQ |2＝|OP |2－1＝x 2＋y 2－1＝x 2＋9－12x ＋4x 2－1＝5x 2－12x ＋8＝5(x －1.2)2＋0.8，得|PQ |min ＝255.)(3)以P 为圆心的圆与圆O 有公共点，半径最小时为与圆O 相切的情形，而这些半径的最小值为圆O 到直线l 的距离减去圆O 的半径，圆心P 为过原点与l 垂直的直线l ′与l 的交点P 0，所以r ＝322＋12－1＝355－1，又l ′：x －2y ＝0，联立l ：2x ＋y －3＝0得P 0(65，35)． 所以所求圆的方程为(x －65)2＋(y －35)2＝(355－1)2.13．解：(1)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，可化为 (x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，∵此方程表示圆， ∴5－m ＞0，即m ＜5.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y－4＝，消去x 得(4－2y )2＋y 2－2×(4－2y )－4y ＋m ＝0， 化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝165， ①y 1y 2＝m ＋85. ②由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0 , 即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2)＝0， ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0.将①②两式代入上式得 16－8×165＋5×m ＋85＝0， 解之得m ＝85.且满足0∆>，所以所求的值为m ＝85.(3)由m ＝85，代入5y 2－16y ＋m ＋8＝0，化简整理得25y 2－80y ＋48＝0，解得y 1＝125，y 2＝45.∴x 1＝4－2y 1＝－45，x 2＝4－2y 2＝125.∴M ⎝⎛⎭⎫－45，125，N ⎝⎛⎭⎫125，45， MN 的中点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，85. 又|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫125＋452＋⎝⎛⎭⎫45－1252＝855， ∴所求圆的半径为455. ∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165. 14．思路:遭受台风影响实际就是点在圆上或圆内的问题.利用“解析法”来解决.解法一 以现在时刻的台风中心为坐标原点，正东方向为x 轴正方向，建立直角坐标系，如图， 以A 为圆心，半径等于250千米圆方程为222(300)250x y -+=，直线BC 的方程为(0)y x x =≥. 当且仅当直线BC 与圆A 有公共点时，气象台A 所在地将遭受台风影响，由222(300)250x y y x⎧-+=⎨=⎩得，22600275000x x -+= 260042275001400000∆=-⨯⨯=>，所以直线BC 与圆A 相交，设两交点B 、C 的横坐标分别为12,x x ，则1212300,13750x xx x +==1007BC ===O 直线BC 中点M 的距离cos 45300OM OA =︒==， 于是，12OB OM BC =-==于是，从现在起大约401.99≈（小时）后气象台A 开始受台风影响 6.61=≈（小时）答：气象台大约在2小时后受到台风影响，持续时间大约6小时37分钟.解法二 以气象台为坐标原点，正东方向为x 轴正方向，建立直角坐标系如图，则现在台风中心B 的坐标为（-300，0）.根据题意，可知，t 小时后，台风中心B ′的坐标为（-300+40tcos45°，40tsin45°），即（-300+202t ，202t ）.因为以台风中心为圆心，以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响，所以B ′在圆上或圆内时，气象台将受台风影响.所以令|AB ′|≤250，即（-300+202t ）2+（202t ）2≤2502，理得16t 2-1202t+275≤0，解得475215475215+≤≤-t ，1.99≤t ≤8.61.故大约2小时后，气象台A 所在地将遭受台风影响，大约持续6小时37分. 15． 解：(1)设直线1l 的方程为2y x m =-+,直线2l 的方程为12y x n =+，两圆半径相等，它们圆心分别到两直线的距离相等，设为d ，则d ==. M由点到直线的距离公式得d==从而4m =-或6m =-，52n =或72n =所以直线1l 的方程为26y x =--或24y x =--.直线2l 的方程为1522y x =+或1722y x =+，由它们联立，可解得点M 的坐标为：198(,)55-、174(,)55-、136(,)55-或(3,2)- (2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和C 2的半径相等，且圆C 1被直线l 1截得的弦长与圆C 2被直线l 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即 |1－k (－3－a )－b |1＋k 2＝|5＋1k (4－a )－b |1＋1k2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0， 解得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝－12，或⎩⎨⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2⎝⎛⎭⎫－32，132. 经检验点P 1和P 2满足题目条件．。