基本不等式习题课
基本不等式(习题课)讲义-高一上学期数学人教A版(1)
基本不等式（习题课）【例题练习】题型一：基本不等式的实际应用例1.如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左、右两个矩形栏目(图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm²,四周空白的宽度为10 cm，两栏之间空白的宽度为5cm .怎样设计广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小?总结：利用基本不等式解决实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.(2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案.练习：1.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，若将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层?C.11a b+有最小值4 D.22a b +有最小值22 ()40,0a y x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a = . 9.建造一个容积为8m ³，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为 元.10.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大?(2)若使每间虎笼面积为24 m ²，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?11.某工厂第一年的年产量为A ，第二年的年产量的增长率为a(a>0)，第三年的年产量的增长率为b(b>0)，这两年的年产量的平均增长率为x ，则( )A.2a b x +=B.2a b x +≤C.2a b x +>D.2a b x +≥a b c >>，则()()a b b c --与2a c -的大小关系是 . 13.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为 m.14.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书的售价定为x 元时,销售量为(150.1x)万套.现出版社为配合该书商的活动，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为 30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为 10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=每套丛书的售价每套丛书的供货价格.求：(1)每套丛书的售价定为 100元时，书商能获得的总利润是多少万元?(2)每套丛书的售价定为多少元时，单套丛书的利润最大?15.【多选题】一个矩形的周长为l ，面积为S ，则如下四组数对中，可作为数对(),S l 的是( )A.(1,4)B.(6,8)C.(7,12)D.132⎛⎫ ⎪⎝⎭， 16.2020年新冠病毒疫情期间，一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达武汉灾区，已知两地公路线长400km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2800v km (车长忽略不计)，那么这批物资全部到达灾区最少需要 h.。
基本不等式习题课
a b 2 ( a b) 解：因 a b 3 ab ( ) ， 2 4 2
2
故4(a b)+12 （a b) ,
2
∴ (a b) 4(a b) 12 0,
即[(a b) 2][(a b) 6] 0。
∵ （a b) 2 0, 故(a b) 6 0, ∴ a b 6。
2
2
1 2 当x , 即x 1, x 1 0时取等号。 x
2x 3、若 x >0，则 y = 2 的最大值为 1 。 x 1
2x 2x 2x 法二) y x 2 12 2 x 1 2 x 1。
当x 1 0时取等号。
【典例探究】
x 3x 4 例 1、若 x >0，则函数 f x = ( A )： x
1 当且仅当 4x 5 ，即(4x 5) 2 1, 4 x 5 1, 4x 5 3 5 4 x 5 1, 4 x 6或1，即x （舍去1< )时，ymin 7。 2 4
9 1 解：原式= x y 1 x y ( ) x y
x 3y x 9y 2 2 当 即x 9 y , 故 9 1 , y x x y 1 y 4 即 时“等号成立”。 x 12
x 9y x 9y 10 10 2 16。 y x y x
变式训练
当点( x, y)在直线x 3 y 2 0上移动时，求 y 3x 27 y 1的最小值.
解：y 3x 27 y 1 3x 33 y 1 2 3 3
x 3y
1 2 3
基本不等式习题课
练习1：已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,
求 xy的最大值.
练习2、已知a, b R ，且a 2b 1， 1 1 求 的最小值. a b
(3)已知a、b是实数，且a+b=4, 求2a+2b的最小值
b >0，若 3是 1.设 a >0，
得最小值为（
3a 与 3b
1 1 的等比中项，则 a b
( 2)设0 x 1,则函数y x(1 x )的最大值是____;
2.凑系数 ：使和成为定值
1 变式( 2).设0 x , y x(1 2 x )最大值是 ____ . 2
练习2：已知
1 0 x ，求 y x(1 3x) 的最大值。 3
2 5 练习： 已知 x 0, y 0 ， 1 , x y 求x+y的最小值。
B）
B. 4
（2009年天津理6）
A. 8
C. 1
D.
1 4
变式1： x>0,y>0 且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值。 解：由题意得2x+8y=xy
2 8 x 0, y 0 1 y x 2 8 则x y ( x y )( ) y x
2x 8 y 10 y x 10 2 16 18
2 2 2
(a，b∈R)；
(a，b∈R).
以上各式当且仅当 a ＝ b 时取等号，并注意各式 中字母的取值要求.
2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，
则
ab a b 2ab ab 2 2 ab
2
2
其中当且仅当a＝b时取等号.
基本不等式 2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
分析：利用函数 y t 1 (t>0)的单调性.
t
t (0,1] 单调递减， t [1, ) 单调递增
解: y x2 5 x2 4 1 x2 4
x2 4
x2 4
令t x2 4 则y t 1 (t 2) t
当t
2,即:
x
0时,
ymin
5 2
1 x2 4
练习
等号成立.
ab a b 2
因此，基本不等式
ab a b 2
的几何意义是“半径不小于半弦”
基本不等式 ab a b 代数意义
2
如果把 a b看作是正数a、b的等差中项，把 ab
2
看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙 述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
a b 为a、b的算术平均数， ab 为几何平均数， 那么 2
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时， 正方形EFGH缩为一个点，这时有
a2 b2 2ab
结论1：
若a, b R,则a2 b2 2ab(当且仅当 a b时“”成立).
证明： 作差比较 a2+b2-2ab=(a-b)2
当ab时，(a-b)2>0 得 a2+b2>2ab
当a=b时，(a-b)2=0 得 a2+b2=2ab
x y x bx x b(x a) ab (x a) ab a b
xa
xa
xa
2 ab a b ( a b)2
解2 : x y (x y)( a b ) xy
a b a y b x a b 2 ab ( a b)2 xy
例5.求函数 y x 2 5 的最小值.
解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则 xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.由
高中数学人教A版必修第一册 学案与练习 基本不等式的应用(习题课)
第2课时 基本不等式的应用(习题课)利用基本不等式求解实际问题中的最值[例1] 某公司建造一间背面靠墙的房屋(长方体型)，地面面积为48 m 2，房屋正面每平方米的造价为1 200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5 800元.如果墙高为3 m ，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少?解:设房屋地面相邻两边的边长分别为x m ，y m ，靠墙的边长为x m ，则xy=48.房屋正面面积为3x m 2;房屋侧面(两个)面积为2×3y=6y(m 2). 房屋总造价z=5 800+3x ×1 200+6y ×800 =5 800+1 200(3x+4y) ≥5 800+1 200×2√3x ·4y =5 800+4 800√3xy =5 800+4 800×12 =63 400，当且仅当{3x =4y ,xy =48,即{x =8,y =6时，取等号.综上，房屋地面相邻两边的边长分别为8 m ，6 m ，靠墙的边长为8 m ，此时房屋总造价最低.最低总造价是63 400元.建模基本不等式解决实际问题的解题思维流程(1)找到解题切入点;(2)字母表示相关量;(3)找出已知隐含的“和定值”或“积定值”;(4)根据目标量表达式的结构特点，观察目标量是否由对应的“积”或“和”决定，进而决定是否应用基本不等式(或变式)解决问题.针对训练1:某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m.(1)若设休闲区的长A1B1=x m，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计? 解:(1)由休闲区的长A1B1=x，知休闲区的宽B1C1=4000x，故ABCD的长与宽分别是x+20，4000x+8，故公园ABCD所占面积S=(x+20)(4000x +8)=4 160+8x+80000x(x>0).(2)整理(1)中解析式得，S=4 160+8x+80000x ≥4 160+2√8x·80000x=5760，当且仅当8x=80 000x，即x=100时取等号，此时宽B 1C 1=4 000x=40，答:要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100 m 、宽为40 m.利用基本不等式求条件最值类型一 “1”代换型[例2] 已知x>0，y>0且8x +1y =1，求x+2y 的最小值.解:因为x>0，y>0且8x +1y=1.所以x+2y=(8x +1y)(x+2y)=10+x y+16yx≥10+2√x y·16y x=18，当且仅当{8x+1y=1,xy=16y x,即{x =12,y =3时，等号成立， 故当x=12，y=3时，x+2y 取得最小值18.变式探究:(1)本例中，若把“8x +1y =1”改成“x+2y=1”，其他条件不变，求8x +1y的最小值;(2)将本例中的“8x +1y =1”改为“8x+1+1y=1”，求x+2y 的最小值;(3)将本例中的“8x +1y=1”改为“8y+x=2xy ”，求x+2y 的最小值. 解:(1)因为x>0，y>0，x+2y=1， 所以8x +1y=(x+2y)(8x +1y)=8+16y x+x y+2=10+16y x+x y≥10+2√16=18.当且仅当16y x=x y时取等号，结合x+2y=1，得x=23，y=16，所以当x=23，y=16时，8x +1y取到最小值18.(2)x+2y=(x+1)+2y-1=[(x+1)+2y](8x+1+1y)-1=(8+x+1y+16yx+1+2)-1≥(10+2√x+1y ×16yx+1)-1=18-1=17，当且仅当x+1y=16yx+1，即x+1=4y且8x+1+1y=1，也就是y=3，x=11时取等号.(3)因为8y+x=2xy，所以8yxy +xxy=2，所以8x +1y=2，所以82x +12y=1，所以x+2y=(x+2y)(82x +12y)=4+8yx+x2y+1≥5+2√8yx·x2y=9，当且仅当x=4y且8y+x=2xy，即x=6，y=32时取等号.常数代换法适用于求解条件最值问题，应用此种方法求解最值的基本步骤为(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式.(4)利用基本不等式求解最值.类型二整体代换型[例3] 已知正实数x，y满足2x+y+6=xy，求xy的最小值和2x+y的最小值.解:xy=2x+y+6≥2√2x·y+6=2√2·√xy+6，令t=√xy>0，可得t2≥2√2t+6，解得t≤-√2(舍去)或t≥3√2，所以xy≥18，当且仅当y=2x，即x=3，y=6时，取“=”，所以xy的最小值是18.又2x+y=xy-6，所以2x+y最小值为12.形如:已知axy+bx+cy+d=0，求xy或bx+cy的最值问题，当d=0时，可以通过同时除以xy化为“1”代换型，当d≠0时，可以利用整体代换，即先构建bx+cy的不等式，然后联立axy+bx+cy+d=0，可得关于bx+cy或√xy的一元二次不等式.提醒:若题目要求同时求出xy和bx+cy的最值，可以先求出一个最值，然后直接利用axy+bx+cy+d=0求出另一个的最值.针对训练2:已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值.解:因为x+2y+2xy=8，2xy=x·2y≤(x+2y)24，由上面两式得2xy=8-(x+2y)≤(x+2y)24，令x+2y=t>0，得8-t≤t 24，解得t≥4，当且仅当x=2y，即x=2，y=1时，取“=”，即x+2y的最小值为4.利用不等式求解含参数的不等式恒成立问题[例4] 若x>0时，x2-(k+1)x+2>0恒成立，求k的取值范围.解:因为x2-(k+1)x+2>0恒成立，所以(k+1)x<x2+2在x>0时恒成立，所以k+1<x+2x在x>0时恒成立，又x+2x≥2√2，当x=√2时等号成立，所以k+1<2√2，所以k<2√2-1，所以k的取值范围是{k|k<2√2-1}.含参数的不等式恒成立问题，若能分离参数，常分离参数后再求解.一般地，若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)的最大值(其中f(x)是关于变量x的关系式)，a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)的最小值.若a≥f(x)有解，则a≥f(x)的最小值，a≤f(x)有解，则a≤f(x)的最大值.针对训练3:若x>0时，不等式x2+mx+4≥0恒成立，求实数m的取值范围.解:因为x2+mx+4≥0恒成立，所以mx≥-x2-4，所以-m≤x+4x.又x+4x ≥2√x·4x=4，当且仅当x=4x即x=2时取等号.所以-m≤4，所以m≥-4，所以实数m的取值范围是{m|m≥-4}.1.已知正实数x，y满足1x +9y=1，则x+y的最小值为( B )A.14B.16C.18D.20解析:因为x>0，y>0，1x +9y=1，所以x+y=(x+y)(1x+9y)=10+yx+9xy≥10+2√yx ·9xy=16，当且仅当y=3x，即x=4，y=12时，等号成立，故x+y的最小值为16.故选B.2.若a>0，b>0，且ab=9，则1a +1b的最小值是.解析:因为a>0，b>0，所以1a +1b≥2√1ab=23，当a=b时取等号.答案:233.某公司一年购买某种货物600 t，每次购买x t，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是.解析:由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和为3600x+4x≥4×2×√900x·x=240(万元).当且仅当x=30时，取等号.答案:304.若x<0且不等式x2-ax+1≥0恒成立，则a的最小值是. 解析:因为x<0且x2-ax+1≥0恒成立，所以ax≤x2+1，所以a≥x+1x，又x<0时，(-x)+(-1x)≥2，所以x+1x≤-2，所以a≥-2.答案:-2[例1] 已知a 2+b 2=2，那么a+b 的最大值为( ) A.1 B.√2 C.2 D.2√2 解析:因为a 2+b 2=2， 所以(a+b)2=2+2ab ，2ab ≤2， 所以(a+b)2≤4， 所以-2≤a+b ≤2，所以a+b 的最大值为2.故选C.[例2] (多选题)已知正数a ，b 满足a 2+b 2=2a+2b ，若a+b ∈Z ，则a+b 的值可以是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:因为a+b 2≤√a 2+b 22，所以a 2+b 2≥(a+b )22，故a 2+b 2=2a+2b ≥(a+b )22，则(a+b)2-4(a+b)≤0，又a>0，b>0， 所以0<a+b ≤4，当a+b=1时，a 2+b 2=2，ab=-12，不符合题意;当a+b=2时，a 2+b 2=4，此时ab=0，不符合题意; 若a+b ∈Z ，则a+b 的值可以是3，4.故选BC. [例3] (多选题)设正实数a ，b 满足a+b=1，则( ) A.a 2b+b 2a ≥14 B.1a+2b +12a+b≥43C.a 2+b 2≥12D .a 3+b 3≥14解析:因为a+b=1， 所以a 2b+ab 2=ab(a+b)=ab ， 又ab ≤(a+b 2)2=14，当且仅当a=b=12时，取“=”，所以A 错误. 因为a+b=1，所以1a+2b +12a+b =1(a+b )+b +1a+(a+b )=11+b +11+a，(1+a)+(1+b)=3， 所以13[(1+a)+(1+b)]=1，所以11+a +11+b=13(11+a +11+b)[(1+a)+(1+b)] =13(2+1+b 1+a +1+a1+b) ≥13(2+2√1+a 1+b·1+b 1+a)=43，当且仅当a=b=12时，取“=”，故B 正确. 因为a+b=1，所以a 2+b 22≥(a+b 2)2=14，所以a 2+b 2≥12，当且仅当a=b=12时，取“=”，故C 正确. 因为a+b=1，所以a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 2-ab+b 2=(a+b)2-3ab=1-3ab ≥1-3(a+b 2)2=14，当且仅当a=b=12时，取“=”，故D 正确.故选BCD. [例4] (多选题)若x>0，y>0，且x+y=xy ，则( ) A.x+y ≥4 B.xy ≥2C.x+2y+xy ≥5+2√6D.2x x -1+4yy -1≥6+4√2解析:由x>0，y>0，且满足x+y=xy ，得1x +1y=1，对于A ，x+y=(x+y)(1x +1y)≥2+2√xy·yx=4，当且仅当x=y=2时，等号成立，故A 正确.对于B ，由x+y=xy ，故xy ≥4，故B 错误. 对于C ，因为x+y=xy ，所以x=y y -1，又x>0，y>0，所以y>1， 则x+2y+xy=yy -1+2y+y 2y -1=3(y-1)+2y -1+5≥2√3(y -1)·2y -1+5=5+2√6，当且仅当2y -1=3(y-1)，即y=1+√63时，取等号，所以x+2y+xy 的最小值为5+2√6，故C 正确. 对于D ，2x x -1+4y y -1=2x (y -1)+4y (x -1)(x -1)(y -1)=4x+2y=(4x+2y)(1x +1y)=6+2y x+4xy≥6+2√2yx ·4x y=6+4√2，当且仅当y=√2x 时，等号成立，故D 正确.故选ACD.[例5] 若x>0，y>0，且2x +1y=1，当且仅当x= ，y= 时，x+2y 取得最小值.解析:因为x>0，y>0，且2x +1y =1，所以x+2y=(x+2y)(2x +1y)=4+4y x+x y≥4+2√4y x·xy=8，当且仅当4y x=xy时，x+2y 取得最小值，由2x +1y=1，2y=x ，得x=4，y=2.答案:4 2选题明细表基础巩固1.已知x>0，y>0，xy=9，则x+3y的最小值为( D )A.8B.6C.8√3D.6√3解析:x+3y≥2√3xy=6√3，当且仅当x=3y=3√3时，等号成立.故选D.2.已知实数m，n满足2m+n=2，其中m>0，n>0，则1m +2n的最小值为( A )A.4B.6C.8D.12解析:由题意，实数m，n满足2m+n=2，其中m>0，n>0，则1m +2n=12×(1m+2n)(2m+n)=12×(4+nm+4mn)≥12×(4+2√nm×4mn)=4，当且仅当nm =4mn时，即m=12，n=1时，等号成立，所以1m +2n的最小值为4.故选A.3.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值为( D )A.2B.3C.4D.5解析:因为x+3y=5xy，x>0，y>0，所以15y +35x=1，所以3x+4y=(3x+4y)(1 5y +35x)=3x5y+95+45+12y5x≥135+2√3x5y·12y5x=5，当且仅当3x5y =12y5x，即x=2y=1时，取等号.故选D.4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x 的函数关系为y=-(x-6)2+11(x ∈N *)，则营运的年平均利润最大时，每辆客车的营运年数为( C ) A.3 B.4 C.5 D.6解析:由题意可知，yx=-(x+25x)+12≤-2√x ×25x+12=2，当且仅当x=25x时，等号成立，即x=5时，营运的年平均利润最大.故选C. 5.周长为√2+1的直角三角形面积的最大值为 . 解析:设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ，则√2+1=a+b+√a 2+b 2≥2√ab +√2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a=b=√22时取“=”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14.答案:146.对任意x>0，x x 2+3x+1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是 .解析:因为x>0，对于任意x 有x x 2+3x+1≤a 恒成立⇔a ≥(xx 2+3x+1)max ，因为x>0， 所以xx 2+3x+1=1x+1x+3≤2√x ·1x+3=15.当且仅当x=1时，取等号. 所以a ≥15.答案:a ≥15能力提升7.已知不等式(x+y)(1x +ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a的最小值为( B ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:因为a>0，所以(x+y)(1x +ay)=1+a+y x+xay≥1+a+2√a ，由条件知a+2√a +1≥9，所以a ≥4.故选B.8.(多选题)(2021·山东济宁期末)若a ，b 均为正数，且a+2b=1，则下列结论正确的是( ABD ) A.ab 的最大值为18B.1a +2b的最小值为9C.a 2-b 2的最小值为-13D.a 2+b 2的最小值为15解析:因为a ，b 均为正数，且a+2b=1，所以由基本不等式可得，1=a+2b ≥2√2ab ，解得ab ≤18，当且仅当a=2b=12，即a=12，b=14时，等号成立，故A 选项正确.(1a +2b)=(1a +2b)(a+2b)=1+2b a+2a b+4≥5+2√2b a·2a b=9，当且仅当2b a=2ab，即a=b=13时，等号成立，故B 选项正确. 因为{a =1-2b >0,b >0,所以0<b <12，结合二次函数的性质可知，a 2+b 2=(1-2b)2+b 2=5b 2-4b+1≥15，故D 选项正确.结合二次函数的性质，a 2-b 2=(1-2b)2-b 2=3b 2-4b+1>-14，故C 选项错误.故选ABD.9.(2022·天津高三期中)已知a ，b 均为正实数，且a+b=1，则8a 2+1ab的最小值为 ，此时a 的值为 . 解析:因为a ，b 均为正实数，且a+b=1，所以(a+b)2=1， 所以8a 2+1ab=8a 2+(a+b )2ab=8a 2+a 2+2ab+b 2ab =9a 2+b 2ab+2=9a b+b a+2≥2√9a b·ba+2=8，当且仅当9a b=ba，即a=14，b=34时取等号，所以8a 2+1ab的最小值为8.答案:8 1410.已知a ，b>0，且ab=a+b+3. (1)求ab 的取值范围;(2)求4a+b 的最小值，并求取得最小值时a ，b 的值.解:(1)ab=a+b+3≥2√ab +3，当且仅当a=b 时，取等号，解得√ab ≥3或√ab ≤-1(舍去)， 故ab ≥9.(2)因为a ，b>0，且ab=a+b+3， 所以b=a+3a -1>0，所以a>1，所以4a+b=4a+a+3a -1=4a+a -1+4a -1=1+4a+4a -1=5+4(a-1)+4a -1≥5+2√4(a -1)·4a -1=13，当且仅当4(a-1)=4a -1，即a=2，b=5时，取等号，此时4a+b 取得最小值13.11.设矩形ABCD(AB>CB)的周长为24 cm ，把△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P.设AB=x cm ，求△ADP 的最大面积及相应x 的值. 解:AB=x ，AD=12-x.设DP=y ，PC=x-y ，因为AP=PC ，所以AP=x-y. 对于Rt △ADP ，根据勾股定理，y 2+(12-x)2=(x-y)2， 整理，得y=12-72x .S △ADP =12(12-x)(12-72x)=6(12-x)(1-6x)=6[18-(x+72x)]≤6(18-2√x ·72x)=108-72√2，当且仅当x=72x ，即x=6√2时，取等号.综上，△ADP 的最大面积为108-72√2，相应x 的值为6√2.应用创新12.当0<x<12时，关于x 的不等式2x +11-2x≥m 2恒成立，求实数m 的取值范围.解:因为0<x<12，所以0<1-2x<1，所以2x +11-2x=(2x+1-2x)(42x +11-2x)=5+4(1-2x )2x+2x1-2x≥5+2√4(1-2x )2x·2x 1-2x=5+4=9. 当且仅当4(1-2x )2x=2x1-2x，即x=13时，等号成立，所以2x +11-2x的最小值为9.又关于x的不等式2x +11-2x≥m2恒成立，所以9≥m2，解得-3≤m≤3.。
课时作业8：习题课 基本不等式
习题课 基本不等式课时对点练1．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则t 与s 的大小关系是( ) A ．s ≥t B ．s >t C ．s ≤t D ．s <t 答案 A解析 ∵b 2＋1≥2b ，∴a ＋2b ≤a ＋b 2＋1，即t ≤s . 2．若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab | D ．a 2＋b 2>2|ab |答案 A解析 ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)．3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <ab B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2答案 A解析 设甲、乙两地的距离为s ， 则v ＝2ss a ＋s b ＝21a ＋1b . 由于a <b ，∴1a ＋1b <2a ，∴v >a ，又1a ＋1b>21ab，∴v <ab . 故a <v <ab .4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为( ) A ．1 B ．2 2 C ．2 D ．4 答案 A解析 由基本不等式得，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．5．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba ≥2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是任意非零实数，而a b ＋ba ≥2成立的条件是a ，b 同号，由集合的关系可知选B.6．(多选)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，对于代数式⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ，下列说法正确的是( ) A ．最小值为9 B ．最大值是9C ．当a ＝b ＝12时取得最小值D ．当a ＝b ＝12时取得最大值答案 AC解析 原式＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，因为ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，所以1ab≥4.所以原式＝1＋2ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．7．已知a >b >c ，则(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是________________． 答案(a －b )(b －c )≤a －c 2解析 因为a >b >c ，所以a －b >0，b －c >0， 所以a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )，当且仅当a －b ＝b －c 时，等号成立．8．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________．答案 －2解析 y ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2.当且仅当t ＝1时，等号成立．9．已知a >b >c ，你能比较出4与⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )的大小吗？解 ⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )≥4，理由如下：因为a －c ＝(a －b )＋(b －c )， 所以⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c [(a －b )＋(b －c )]＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c，又a >b >c ，所以a －b >0，b －c >0， 所以b －c a －b ＋a －b b －c ≥2，故⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )≥4， 当且仅当b －c a －b ＝a －b b －c 时，取“＝”．10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解 (1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64， 当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64. (2)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y＝1， 则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.11．已知a >0，b >0，ab ＝1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 m ＋n ＝b ＋1a ＋a ＋1b ＝2a ＋2b ≥24ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．12．已知a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥2abD.2ab a ＋b>ab 答案 D 解析 a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥22， 当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立，A 成立； (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4， 当且仅当a ＝b 时，等号成立，B 成立； ∵a 2＋b 2≥2ab >0，∴a 2＋b 2ab≥2ab ， 当且仅当a ＝b 时，等号成立，C 成立； ∵a ＋b ≥2ab ，a >0，b >0， ∴2ab a ＋b ≤1，2aba ＋b≤ab ， 当且仅当a ＝b 时，等号成立，D 不成立．13．设自变量x 对应的因变量为y ，在满足对任意的x ，不等式y ≤M 都成立的所有常数M 中，将M 的最小值叫做y 的上确界．若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则－12a －2b 的上确界为( )A ．－92 B.92 C.14 D ．－4答案 A解析 因为a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1， 所以12a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ×(a ＋b )＝52＋⎝⎛⎭⎫b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ×2a b ＝92， 当且仅当b ＝2a ，即a ＝13，b ＝23时，等号成立，因此有－12a －2b ≤－92，即－12a －2b 的上确界为－92.14．设x ∈(0,1)，则当11－x ＋4x 取得最小值时，x 的值是________．答案 23解析 ∵x ∈(0,1)，则1－x >0，由基本不等式可得11－x ＋4x＝[(1－x )＋x ]·⎝⎛⎭⎫11－x ＋4x ＝x 1－x ＋4(1－x )x＋5≥2x 1－x ·4(1－x )x ＋5＝9，当且仅当x 1－x＝4(1－x )x ，即x ＝23时，等号成立．15．若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 答案 8解析 ∵实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0<x <12， ∴x ＝3y ＋3，∴0<3y ＋3<12，解得y >3.则3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6 ≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y ＝4，x ＝37时，等号成立．16．已知a ，b 都是正数，求证：21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22. 证明 ∵1a ＋1b ≥21ab， ∴11a ＋1b ≤ab 2， 即21a ＋1b≤ab . 又∵⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝a 2＋2ab ＋b 24≤a 2＋a 2＋b 2＋b 24＝a 2＋b 22，∴a ＋b 2≤a 2＋b 22. 又由基本不等式得a ＋b2≥ab ，故21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．。
第2节 基本不等式--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第二节基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2.(1)基本不等式成立的条件：01a >0，b >0．(2)等号成立的条件：当且仅当02a ＝b 时，等号成立．(3)其中03a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，04ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 205≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab 06≥2(a ，b同号)．(3)(a ，b ∈R )．(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为09a ＝b ．3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当10x ＝y 时，和x ＋y 有最小值112P ．(简记：积定和最小)(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当12x ＝y 时，积xy 有最大值1314S 2．(简记：和定积最大)注意：(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．(2)形如y ＝x ＋ax (a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．1．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件要一致．2．若a >0，b >0，则21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．常见求最值的模型模型一：mx ＋nx≥2mn (m >0，n >0，x >0)，当且仅当x ＝nm时，等号成立；模型二：mx ＋n x －a ＝m (x －a )＋nx －a ＋ma ≥2mn ＋ma (m >0，n >0，x >a )，当且仅当x －a ＝n m时，等号成立；模型三：xax 2＋bx ＋c ＝1ax ＋b ＋c x ≤12ac ＋b(a >0，c >0，x >0)，当且仅当x ＝ca时，等号成立；模型四：x (n －mx )＝mx (n －mx )m ≤1m ·>0，n >0，0<x 当且仅当x ＝n 2m时，等号成立．4．三个正数的均值不等式：若a ，b ，c >0，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝x ＋1x 的最小值是2.()(2)|b a ＋a b |≥2.()(3)已知0<x <12，则x (1－2x )的最大值为18.()(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)设a ＞0，则9a ＋1a 的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7答案C 解析9a ＋1a≥29a ·1a ＝6，当且仅当9a ＝1a ，即a ＝13时，等号成立．(2)矩形两边长分别为a ，b ，且a ＋2b ＝6，则矩形面积的最大值是()A ．4 B.92C.322D ．2答案B解析依题意，可得a ＞0，b ＞0，则6＝a ＋2b ≥2a ·2b ＝22·ab ，当且仅当a ＝2b 时取等号，所以ab ≤628＝92，即矩形面积的最大值为92.故选B.(3)(2024·河南郑州高三模拟)已知实数a >0，b >0，a ＋b ＝2，则1a ＋ab 的最小值为________．答案12＋2解析1a ＋a b ＝12×a ＋b a ＋a b ＝12＋b 2a ＋a b ≥12＋2b 2a ·a b ＝12＋2，当且仅当b 2a ＝ab，即a ＝22－2，b ＝4－22时，等号成立．(4)(人教A 必修第一册习题2.2T1(2)改编)函数y ＝x (3－2x )(0≤x ≤1)的最大值是________．答案98解析因为0≤x ≤1，所以3－2x ＞0，所以y ＝12·2x ·(3－2x )≤122x ＋(3－2x )22＝98，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号．(5)(人教A 必修第一册复习参考题2T5改编)已知a ，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．答案[9，＋∞)解析因为a，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2ab，于是ab－2ab－3≥0，解得ab≤－1(舍去)或ab≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)．考点探究——提素养考点一利用基本不等式求最值(多考向探究)考向1配凑法求最值例1(1)(2024·福建福州四校高三期中联考)已知0<x<2，则y＝x4－x2的最大值为() A．2B．4C．5D．6答案A解析因为0<x<2，所以y＝x4－x2＝x2(4－x2)≤x2＋(4－x2)2＝2，当且仅当x2＝4－x2，即x＝2时，等号成立，即y＝x4－x2的最大值为2.故选A.(2)函数y＝x2＋3x＋3x＋1(x<－1)的最大值为()A．3B．2C．1D．－1答案D解析y＝x2＋3x＋3x＋1＝(x＋1)2＋(x＋1)＋1x＋1＝－－(x＋1)＋1－(x＋1)＋1≤－1＝－1，当且仅当x＋1＝1x＋1＝－1，即x＝－2时，等号成立．故选D.【通性通法】配凑法求最值的关键点【巩固迁移】1．函数y ＝3x ()A ．8B ．7C ．6D ．5答案D解析因为x >13，所以3x －1>0，所以y ＝3x ＋43x －1＝(3x －1)＋43x －1＋1≥2(3x －1)·43x －1＋1＝5，当且仅当3x －1＝43x －1，即x ＝1时，等号成立，故函数y ＝3x 值为5.故选D.2．(2023·浙江杭州高三教学质量检测)已知a >1，b >1，且log 2a ＝log b 4，则ab 的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．32答案C解析∵log 2a ＝log b 4，∴12log 2a ＝log b 4，即log 2a ＝2log 24log 2b ，∴log 2a ·log 2b ＝4.∵a >1，b >1，∴log 2a >0，log 2b >0，∴log 2(ab )＝log 2a ＋log 2b ≥2log 2a ·log 2b ＝4，当且仅当log 2a ＝log 2b ＝2，即a ＝b ＝4时取等号，所以ab ≥24＝16，当且仅当a ＝b ＝4时取等号，故ab 的最小值为16.故选C.考向2常数代换法求最值例2(1)已知0<x <1，则9x ＋161－x 的最小值为()A ．50B ．49C ．25D ．7答案B解析因为0<x <1，所以9x ＋161－x ＝(x ＋1－x )25＋9(1－x )x＋16x 1－x ≥25＋29(1－x )x ·16x 1－x ＝49，当且仅当9(1－x )x＝16x 1－x ，即x ＝37时，等号成立，所以9x ＋161－x 的最小值为49.故选B.(2)已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则1a ＋1b 的最小值为()A.223B.233C ．1＋223D ．1＋233答案C解析因为a ＋2b ＝3，所以13a ＋23b ＝1，＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a≥1＋2a 3b ·2b3a＝1＋223，当且仅当a 3b ＝2b3a ，即a ＝3(2－1)，b ＝3(2－2)2时，等号成立．故选C.【通性通法】常数代换法求最值的基本步骤【巩固迁移】3．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＝9，则－1x －4y 的最大值是()A.6＋429B ．－6＋429C ．6＋42D ．－6－42答案B解析因为1x ＋4y ＝19x ＋y )＋y x ＋8x y＋6＋429，当且仅当y x ＝8xy ，即x ＝9(2－1)2，y ＝9(2－2)时，等号成立，所以－1x －4y ≤－6＋429.故选B.4．(2024·湖北荆门三校高三联考)已知实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，则2a ＋b 的最小值是()A ．5B ．9C ．13D ．18答案B解析由lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，可得lg (ab )＝lg (a ＋2b )，所以ab ＝a ＋2b ，即2a ＋1b ＝1，且a >0，b >0，则2a ＋b ＝(2a ＋b 5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2a b ＝9，当且仅当2b a ＝2ab，即a ＝b ＝3时，等号成立，所以2a ＋b 的最小值为9.故选B.考向3消元法、换元法求最值例3(1)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是()A.14B.45C.255D ．2答案B解析因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以x 2＝1－y 45y 2，又x 2≥0，所以y 2∈(0，1]，所以x 2＋y 2＝y 2＋1－y 45y2＝4y 4＋15y 2＝y 2≥15×24y 2·1y 2＝45，当且仅当4y 2＝1y 2，即y 2＝12，x 2＝310时取等号，所以x 2＋y 2的最小值是45.故选B.(2)(2024·浙江嘉兴第一中学高三期中)若x >0，y >0，且1x ＋1＋1x ＋2y＝1，则2x ＋y 的最小值为()A ．2B ．23C.12＋3D ．4＋23答案C解析设x ＋1＝a ，x ＋2y ＝b ，则x ＝a －1，y ＝b －a ＋12，且a >0，b >0，则1a ＋1b ＝1，2x ＋y＝2(a －1)＋b －a ＋12＝3a ＋b 2－32，而3a ＋b ＝(3a ＋b 4＋3a b ＋ba ≥4＋23a b ·ba＝4＋23，当且仅当3a b ＝ba ，即a ＝3＋33，b ＝3＋1时，等号成立，则2x ＋y ≥4＋232－32＝12＋ 3.故选C.【通性通法】当所求最值的代数式中变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．【巩固迁移】5．(2023·江苏南京高三调研)设a ≥0，b ≥0，且2a ＋b ＝1，则ab 的最小值为__________．答案解析因为2a ＋b ＝1，所以a ＝(b －1)24，所以a b ＝(b －1)24b＝b 4＋14b －12≥2b 4·14b－12＝0，当且仅当a ＝0，b ＝1时取等号．6．(2024·湖北襄阳五中高三质量检测)若正数a ，b 满足2a ＋b ＝1，则a 2－2a ＋b2－b的最小值是________．答案223－12解析设u ＝2－2a ，v ＝2－b ，则a ＝2－u 2，b ＝2－v ，则u ＋v ＝3(u >0，v >0)，所以a 2－2a ＋b2－b＝1－12u u＋2－v v ＝1u ＋2v －32＝13(u ＋v 32＋v u ＋－32＋321＋223－32＝223－12，当且仅当v ＝6－32，u ＝32－3时，等号成立，所以a 2－2a ＋b 2－b 的最小值为223－12.考向4“和”“积”互化求最值例4(多选)设a >1，b >1，且ab －(a ＋b )＝1，那么()A ．a ＋b 有最小值22＋2B ．a ＋b 有最大值22－2C ．ab 有最大值3－22D ．ab 有最小值3＋22答案AD解析∵a >1，b >1，∴ab －1＝a ＋b ≥2ab ，当a ＝b 时取等号，即ab －2ab －1≥0，解得ab ≥2＋1，∴ab ≥(2＋1)2＝3＋22，∴ab 有最小值3＋2 2.又ab ，当a ＝b 时取等号，∴1＝ab －(a ＋b )－(a ＋b )，即(a ＋b )2－4(a ＋b )≥4，则[(a ＋b )－2]2≥8，解得a ＋b －2≥22，即a ＋b ≥22＋2，∴a ＋b 有最小值22＋2.故选AD.【通性通法】“和”“积”互化求最值的方法(1)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值．(2)如果条件中含有两个变量的和与积的形式，可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题．【巩固迁移】7．正实数x ，y 满足4x 2＋y 2＋xy ＝1，则xy 的最大值为________，2x ＋y 的最大值为________．答案152105解析∵1－xy ＝4x 2＋y 2≥4xy ，∴5xy ≤1，∴xy ≤15，当且仅当y ＝2x ，即x ＝1010，y ＝105时取等号．∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，∴(2x ＋y )2－1＝3xy ＝32·2x ·y，即(2x ＋y )2－1≤38(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2≤85，∴2x ＋y ≤2105，当且仅当2x ＝y ，即x ＝1010，y＝105时取等号．考点二基本不等式的综合应用例5(2024·河南濮阳外国语学校模拟)若对任意正数x ，不等式2x 2＋4≤2a ＋1x恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．[0，＋∞) B.－14，＋∞C.14，＋∞ D.12，＋∞答案B解析依题意得，当x >0时，2a ＋1≥2x x 2＋4＝2x ＋4x恒成立，又x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号，所以2x ＋4x 的最大值为12，所以2a ＋1≥12，解得实数a 的取值范围为－14，＋故选B.【通性通法】1．利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最后通过解不等式(组)得到参数的值或范围．2．当基本不等式与其他知识相结合时，往往是为其他知识提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．【巩固迁移】8．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则△ABC 面积的最大值是()A ．6B ．12C ．18D ．24答案A解析设AB ＝AC ＝2m ，BC ＝2n ，因为∠ADB ＝π－∠CDB ，所以m 2＋9－4m 26m ＝－m 2＋9－4n 26m，整理得m 2＝9－2n 2.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12BC ＝12×2n ×4m 2－n 2＝3n 4－n 2＝3n 2(4－n 2)≤3×n 2＋4－n 22＝6，当且仅当n ＝2时，等号成立．故选A.考点三基本不等式的实际应用例6网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x (万件)与投入实体店体验安装的费用t (万元)之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．答案37.5解析由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－16(3－x )＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．【通性通法】利用基本不等式解决实际应用问题的技巧【巩固迁移】9．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为m g ，则()A ．m >10B ．m ＝10C ．m <10D ．以上都有可能答案A解析由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a ，右臂长为b ，则a ≠b ，设先称得黄金为xg ，后称得黄金为y g ，则bx ＝5a ，ay ＝5b ，∴x ＝5a b ，y ＝5b a ，∴x ＋y ＝5a b ＋5ba＝5×2a b ·b a ＝10，当且仅当a b ＝ba，即a ＝b 时，等号成立，但a ≠b ，等号不成立，即x ＋y >10.因此顾客实际购得的黄金克数m >10.故选A.课时作业一、单项选择题1．当x ＜0时，函数y ＝x ＋4x ()A ．有最大值－4B ．有最小值－4C ．有最大值4D ．有最小值4答案A解析y ＝x ＋4x＝－(－x )－4，当且仅当x ＝－2时，等号成立．故选A.2．(2023·陕西咸阳高三模拟)已知x >0，y >0，若2x ＋y ＝8xy ，则xy 的最小值是()A.18B.14C.24D.22答案A解析因为2x ＋y ≥22xy ，所以8xy ≥22xy ，解得xy ≥18，当且仅当2x ＝y ，即x ＝14，y ＝12时，等号成立．故选A.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为()A ．13B ．12C ．9D ．6答案C解析由椭圆的定义可知，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝6.由基本不等式可得|MF 1|·|MF 2|＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时，等号成立．故选C.4．(2024·浙江绍兴第一中学高三期中)已知直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆(x －1)2＋(y －2)2＝2024的圆心，则1a ＋1b 的最小值为()A ．3＋22B ．3－22C ．6D ．9答案A解析由圆的方程知，圆心为(1，2)．∵直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆的圆心，∴a ＋2b ＝1(ab >0)，∴1a ＋1b ＝(a ＋2b )＝3＋a b ＋2ba≥3＋2a b ·2b a＝3＋当且仅当a b ＝2ba，即a ＝2b ，∴1a ＋1b的最小值为3＋2 2.故选A.5．(2023·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是()A ．第一种方案更划算B ．第二种方案更划算C ．两种方案一样D ．无法确定答案B解析设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升(x ≠y )，则第一种方案：两次加油的平均价格为40x ＋40y 80＝x ＋y 2>xy ，第二种方案：两次加油的平均价格为400200x ＋200y ＝2xyx ＋y <xy ，故无论油价如何起伏，第二种方案都比第一种方案更划算．故选B.6．(2023·浙江杭州调研)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为()A ．4 B.92C.2D ．22答案D 解析由m 2－amn ＋2n 2≥0得m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn＝m n ＋2n m 恒成立，因为m n ＋2nm≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2nm，即m ＝2n 时取等号，所以a ≤22，故实数a 的最大值为2 2.故选D.7．(2024·浙江名校协作体高三模拟)设x ，y 为正实数，若2x ＋y ＋2xy ＝54，则2x ＋y 的最小值是()A ．4B ．3C ．2D ．1答案D解析因为x ，y 为正实数，且54＝2x ＋y ＋2xy ＝(2x ＋1)(y ＋1)－1，令m ＝2x ＋1，n ＝y ＋1，则mn ＝94，所以2x ＋y ＝m ＋n －2≥2mn －2＝1，当且仅当m ＝n ，即y ＝12，x ＝14时取等号．故选D.8．(2024·湖北襄阳第四中学高三适应性考试)若a ，b ，c 均为正数，且满足a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，则2a ＋2b ＋3c 的最小值是()A ．2B ．1C.2D ．22答案A解析因为a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，所以a (a ＋2b )＋3c (a ＋2b )＝(a ＋2b )(a ＋3c )＝1，又a ，b ，c 均为正数，(a ＋2b )(a ＋3c )＝(2a ＋2b ＋3c )24，当且仅当a ＋2b ＝a ＋3c ＝1时取等号，所以(2a＋2b＋3c)24≥1，即2a＋2b＋3c≥2.故选A.二、多项选择题9．下列四个函数中，最小值为2的是()A．y＝sin xxB．y＝ln x＋1ln x(x＞0，x≠1)C．y＝x2＋6 x2＋5D．y＝4x＋4－x 答案AD解析对于A，因为0＜x≤π2，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋1sin x≥2，当且仅当sin x＝1sin x，即sin x＝1时取等号，故y＝sin x x2，符合题意；对于B，当0＜x＜1时，ln x＜0，此时y＝ln x＋1ln x为负值，无最小值，不符合题意；对于C，y＝x2＋6x2＋5＝x2＋5＋1x2＋5，设t＝x2＋5，则t≥5，则y≥5＋15＝655，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋14x≥24x·14x＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意．故选AD.10．(2024·湖北部分名校高三适应性考试)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是()A．ab的最大值为2B．a＋b的最小值为4C．a＋2b的最小值为62－3D.1a(b＋1)＋1b的最小值为12答案BCD解析对于A，因为ab＋a＋b＝8≥ab＋2ab，即(ab)2＋2ab－8≤0，解得0<ab≤2，则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误；对于B，ab＋a＋b＝8≤(a＋b)24＋(a＋b)，即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍去)，a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确；对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a，所以b＝8－aa＋1>0，解得0<a<8，a＋2b＝a＋2·8－a a ＋1＝a ＋18a ＋1－2＝a ＋1＋18a ＋1－3≥2(a ＋1)·18a ＋1－3＝62－3，当且仅当a ＋1＝18a ＋1，即a ＝32－1时取等号，故C 正确；对于D ，因为1a (b ＋1)＋1b ＝181a (b ＋1)＋1b [a (b ＋1)＋b ]＝182＋b a (b ＋1)＋a (b ＋1)b ≥18＋2)＝12，当且仅当b a (b ＋1)＝a (b ＋1)b ，即b ＝4，a ＝45时取等号，故D 正确，故选BCD.11．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D.a ＋b ≤2答案ABD解析对于A ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a －b ＝2a －1>－1，所以2a －b >2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故D 正确．故选ABD.三、填空题12．(2023·山东滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________．答案3解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.13．(2024·河北衡水中学高三第三次综合素养评价)已知实数a >b >1，满足a ＋1a －1≥b ＋1b －1，则a ＋4b 的最小值是________．答案9解析由已知条件，得a －b ≥1b －1－1a －1＝(a －1)－(b －1)(b －1)(a －1)＝a －b (b －1)(a －1)，∵a －b >0，∴1≥1(b －1)(a －1)，又a －1>0，b －1>0，∴(b －1)(a －1)≥1，∴a ＋4b ＝(a －1)＋4(b －1)＋5≥2(a －1)·4(b －1)＋5＝9，－1＝4(b －1)，－1)(a －1)＝1，＝3，＝32时，等号成立．14．(2023·湖北荆宜三校高三模拟)已知正数a ，b 满足a ＋3b ＋3a ＋4b ＝18，则a ＋3b 的最大值是________．答案9＋36解析设t ＝a ＋3b ，则3a ＋4b ＝18－t ，所以t (18－t )＝(a ＋3b 15＋9b a ＋4ab≥15＋29b a ·4ab＝27，当且仅当2a ＝3b 时取等号．所以t 2－18t ＋27≤0，解得9－36≤t ≤9＋36，即a ＋3b 的最大值是9＋36，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝3＋6，b ＝2＋263时取等号．15．(2024·浙江名校联盟高三上学期第一次联考)已知正实数x ，y 满足1x ＋4y ＋4＝x ＋y ，则x＋y 的最小值为()A.13－2B ．2C ．2＋13D ．2＋14答案C解析因为正实数x ，y 满足1x ＋4y＋4＝x ＋y ，等式两边同乘以x ＋y ，可得(x ＋y )2＝4(x ＋y )＋5＋y x ＋4xy≥4(x ＋y )＋5＋2y x ·4xy ＝4(x ＋y )＋9，所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－9≥0，因为x ＋y >0，所以x ＋y ≥2＋13，当且仅当y ＝2x 时，等号成立．因此x ＋y 的最小值为2＋13.故选C.16．已知点E 是△ABC 的中线BD 上的一点(不包括端点)，若AE →＝xAB →＋yAC →，则2x ＋1y 的最小值为()A ．4B ．6C ．8D ．9答案C解析设BE →＝λBD →(0<λ<1)，∵AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBD →＝AB →＋λ(AD →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →，∴x ＝1－λ，y ＝λ2(x >0，y >0)，∴2x ＋1y ＝21－λ＋2λ＝－λ)＋λ]＝4＋2λ1－λ＋2(1－λ)λ≥4＋22λ1－λ·2(1－λ)λ＝8，当且仅当2λ1－λ＝2(1－λ)λ，即λ＝12时取等号，故2x ＋1y 的最小值为8.故选C.17．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1答案BC解析由x 2＋y 2－xy ＝1得(x ＋y )2－1＝3xy ≤，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1得x 2＋y 2－1＝xy ，又x 2＋y 2≥2x 2·y2＝2|xy |，所以|x 2＋y 2－1|≤x2＋y 22即－x 2＋y 22≤x 2＋y 2－1≤x 2＋y 22，所以23≤x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时，x 2＋y 2＝2，当x ＝33，y ＝－33或x ＝－33，y ＝33时，x 2＋y 2＝23，所以C 正确，D 错误．故选BC.18．(多选)(2024·湖北襄阳第五中学高三月考)若a >b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．2a ＋2b ≥22B ．2a ＋ab ≥2＋22C ．(a 2＋1)(b 2＋1)<32D ．a 2a ＋2＋b 2b ＋1≥14答案BD解析因为a >b >0，且a ＋b ＝1，所以0<b <12，12<a <1.对于A ，因为2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b＝22，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，但a >b >0，所以等号取不到，故A 错误；对于B ，因为b a >0，a b >0，由基本不等式，得2a ＋a b ＝2a ＋2b a ＋a b ＝2＋2b a ＋a b ≥2＋22b a ·ab＝2＋22，当且仅当2b a ＝a b ，即a ＝2－2，b ＝2－1时，等号成立，所以2a ＋ab≥2＋22，故B 正确；对于C ，因为a ＋b ＝1，所以(a 2＋1)(b 2＋1)＝a 2b 2＋a 2＋b 2＋1＝a 2b 2＋(a ＋b )2－2ab ＋1＝a 2b 2－2ab ＋2＝(ab －1)2＋1，其中ab ≤(a ＋b )24＝14，当且仅当a ＝b 时取等号，但a >b >0，所以等号取不到，所以0<ab <14，(a 2＋1)(b 2＋1)＝(ab －1)2＋1故C 错误；对于D ，a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝[(a ＋2)－2]2a ＋2＋[(b ＋1)－1]2b ＋1＝(a ＋2)＋4a ＋2－4＋(b ＋1)＋1b ＋1－2＝4a ＋2＋1b ＋1－2，因为a ＋b＝1，所以a ＋2＋b ＋1＝4，故a ＋24＋b ＋14＝1，所以4a ＋2＋1b ＋1＝＝1＋14＋b ＋1a ＋2＋a ＋24(b ＋1)≥54＋2b ＋1a ＋2·a ＋24(b ＋1)＝94，当且仅当b ＋1a ＋2＝a ＋24(b ＋1)，即a ＝23，b ＝13时，等号成立，所以a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝4a ＋2＋1b ＋1－2≥94－2＝14，故D 正确．故选BD.19．(2024·湖北百校高三联考)已知正数x ，y 满足3x ＋4y ＝4，则y是________．答案1解析因为x ，y 是正数，所以＝y xy ＋3＋y 2xy ＋1＝1x ＋3y ＋12x ＋1y，且x ＋3y ＋2x ＋1y ＝3x ＋4y ＝4，所以y＝14＋3y ＋2x·＝＋2x ＋1y x ＋3y ＋≥14×(2＋2)＝1，当且仅当2x ＋1y x ＋3y ＝x ＋3y 2x ＋1y，即x ＝45，y ＝52，等号成立，所以y 1.20．(2023·广东深圳高三二模)足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的底线宽AB ＝72码，球门宽EF ＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得∠EPF 最大，这时候点P 就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O 处(OA ＝AB ，OA ⊥AB )时，根据场上形势判断，有OA →，OB →两条进攻线路可供选择．若选择线路OA →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置．答案72－165722－165解析若选择线路OA →，设AP ＝t ，其中0<t ≤72，AE ＝32，AF ＝32＋8＝40，则tan ∠APE ＝AEAP＝32t ，tan ∠APF ＝AF AP ＝40t ，所以tan ∠EPF ＝tan(∠APF －∠APE )＝tan ∠APF －tan ∠APE 1＋tan ∠APF tan ∠APE＝40t －32t 1＋1280t 2＝8t 1＋1280t2＝8t ＋1280t ≤82t ·1280t ＝520，当且仅当t ＝1280t ，即t ＝165时，等号成立，此时OP ＝OA －AP ＝72－165，所以若选择线路OA →，则甲带球72－165码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，以线段EF 的中点N 为坐标原点，BA →，AO →的方向分别为x ，y 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B (－36，0)，O (36，72)，F (－4，0)，E (4，0)，k OB ＝7236＋36＝1，直线OB 的方程为y ＝x ＋36，设点P (x ，x ＋36)，其中－36<x ≤36，tan ∠AFP ＝k PF ＝x ＋36x ＋4，tan ∠AEP ＝k PE ＝x ＋36x －4，所以tan ∠EPF ＝tan(∠AEP －∠AFP )＝tan ∠AEP －tan ∠AFP1＋tan ∠AEP tan ∠AFP＝x ＋36x －4－x ＋36x ＋41＋x ＋36x －4·x ＋36x ＋4＝8(x ＋36)x 2－161＋(x ＋36)2x 2－16＝8(x ＋36)＋x 2－16x ＋36，令m ＝x ＋36∈(0，72]，则x ＝m －36，所以x ＋36＋x 2－16x ＋36＝m ＋(m －36)2－16m ＝2m ＋1280m －72≥22m ·1280m72＝3210－72，当且仅当2m ＝1280m，即m ＝810，即x ＝810－36时，等号成立，所以tan ∠EPF ＝82m＋1280m－72≤83210－72＝1410－9，当且仅当x＝810－36时，等号成立，此时|OP|＝2·|36－(810－36)|＝722－165，所以若选择线路OB→，则甲带球722－165码时，到达最佳射门位置．。
基本不等式习题课
教学目标：
（1）使学生明确常用的重要不等式、等号成立的 条件及常用的变形。
（2）使学生熟悉在不等式中，求最值最常用Βιβλιοθήκη 方 法（通法），并能运用它来求解。
（3）让学生体验探究数学解法的乐趣，体会通法 在数学学习（解题）的地位与重要性。
例1：下列各函数中，最小值为2的是 ( )
A.y x 1 x
小结：解决这一类不等式问题的常用方法有哪些？
4种方法，总有一款适合你！
说明：这4种方法，它的共同本质是：消 元
例3：设正实数 x, y, z满足x y z 4, xy yz zx 5
求y的最大值.
共 同
方法一：整体代换
本
质
y(x z) zx 5 y( y 4) zx 5
是 ：
C.y x2 3 x2 2
B.y sin x 1 sin x
D.y x 4 2 x
变式： 已知正数下 x, y满足 8 1 1,则x 2 y的最小值是 ()
xy
A.18
B.16
C.8
D.10
思考：若把条件改为8y+x=axy(a>0),则 x+2y的最小值是多少？
例2：设x, y为实数， 若4x2 y2 xy 1,求2x y的最大值 。
5
5
例2：设x, y为实数， 若4x2 y2 xy 1,求2x y的最大值 。
方法三：齐次化
(2x
y)2
(2x 4x2
y)2 y2 xy
4 4 y ( y)2 xx
4 y ( y)2
xx
令y t x
f
(t)
4 4t t 2 4t t2
1
3t 4t t2
2.4.3 基本不等式及其应用(含答案)
【课堂例题】例1.用长为4a 的篱笆围成一个矩形菜园，怎样才能使所围矩形菜园的面积最大？例2.用篱笆围一个面积为218m 的矩形菜园，如果一边借用已有的一堵墙，则篱笆至少要多少米？例3.某新建居民小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米，怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？(结果精确到0.1米)例4.某工厂建造一个无盖的长方体水池，其容积为34800m ，深度为3m ，如果池底每21m的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？43绿地【基础训练】1.(1)把36写成两个正数的积，要求这两个正数的和最小，那么36= .(2)把18写成两个正数的和，要求这两个正数的积最大，那么18= .2.用一根长为L 的铁丝制成一个矩形框架，框架的面积最大值为 .3.斜边长为10的直角三角形，面积最大值为 .4.某种产品的生产者准备对该产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价%p ，第二次提价%q ；方案乙：第一次提价%q ，第二次提价%p ； 方案丙：第一次提价%2p q +，第二次提价%2p q +. 其中0p q >>，则上述总提价从小到大排列正确的是（ ）(A)甲<乙<丙; (B)甲=乙<丙; (C)丙<甲=乙; (D)由,p q 的具体数值确定.5.某汽车公司购买了一批客车投入营运，每辆客车营运的总利润y (单位10万元)与营运年数x *()x N ∈为二次函数关系如图，则每辆客车营运( )年时，其营运的年平均利润最大. (A)3; (B)4; (C)5; (D)6.6.建造一个容积为8造价每平方米分别为7.如图，一份印刷品的排版面积(虚线矩形面积)为18，它的两边都留有宽为1的空白，顶部和底部都留有宽为2的空白.如何选择纸张的尺寸注，才能使纸的用量最少？注：纸张的尺寸一般用m n 表示.【巩固提高】8.如图，制作一个木质窗框，如果可供使用的材料是l 米，求该木质窗框的最大面积.(结果用l 表示，忽略木料本身宽度).12129.经过长期观察测得：在交通繁忙时期，某公段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间的关系为2920(0)31600v y v v v =>++ (1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ (精确到0.1千辆/时)(2)若要求该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？提示：分子分母同除以v 后再处理.(选做)10.(1)用实验的方法比较三个正数,,a b c 的算术平均数3a b c++和(也可以证明)(2)利用(1)，尝试解决《数学》高一年级第一学期46P 课题一所提出的问题.【温故知新】 11.4{|,,0}A y y x x R x x ==+∈≠，则与A 相等的集合是( ).(A) (,4][4,)-∞-+∞; (B) [4,)+∞； (C) (,2][2,)-∞-+∞； (D) [2,)+∞.【课堂例题答案】例1.围成正方形时面积最大.例2.至少需要篱笆12米.例3.绿地长与宽分别为30.6米与22.9米时，人行道所占没面积最小.例4.底面为边长40米的正方形时，总造价最低，总造价为297600元.【习题答案】1.(1)66⨯; (2)99+.2.216L . 3.50.4.B 提示：22(1%)(1%)%%(1%)(1%)(1%)(1%)[](1)22p q p q p q q p ++++++=++<=+ 5.C 提示：2525()1210122(,5)y x x x x x x=-++≤-+=== 6.1760元.7.大小为105⨯规格. 8.248l . 9.(1)当汽车的平均速度v 为40千米/时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时；(2)汽车的平均速度应在(25,64)内.10.(1),,,3a b c a b c R +++∈≥，当且仅当a b c ==时等号成立 (2)227提示：3(4)(12)(12)2(1233x x x x +-+--==322(12)(12))327V x x x ∴=--≤= 11.A。
新教材高中数学第二章习题课基本不等式的应用课后篇巩固提升含解析新人教A版必修第一册
新教材高中数学新人教B 版必修第一册：习题课 基本不等式的应用课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021江苏南京高一期末)设实数x 满足x>0,函数y=2+3x+4x+1的最小值为( )A.4√3-1B.4√3+2C.4√2+1D.6x>0,∴x+1>0,∴y=2+3x+4x+1=2+3(x+1)-3+4x+1=3(x+1)+4x+1-1≥2√3(x +1)·4x+1-1=4√3-1,当且仅当3(x+1)=4x+1,即x=2√33-1>0时,等号成立,∴函数y=2+3x+4x+1的最小值为4√3-1.故选A .2.(2020辽宁凤城高一期中)已知a<0,b<0,a+b=-2,则y=1a+1b的最大值为( ) A.-1 B .-32C .-4D .-2解析a<0,b<0,a+b=-2,∴1a +1b =-121a+1b (a+b )=-122+b a +a b ≤-122+2√b a ·ab =-2,当且仅当a=b=-1时,等号成立,故y=1a+1b的最大值为-2,故选D .3.(多选题)(2021广东番禺高一期末)已知a>0,b>0,且a 2+b 2=1,则( ) A.a+b ≤√2 B.a+b ≤12C.a+b>√2D.1a 2+1b 2≥4(a+b )2=a 2+b 2+2ab=1+2ab ≤1+(a 2+b 2)=2(当且仅当a=b 时,等号成立),又a>0,b>0,则a+b ≤√2,故A 正确;1a2+1b2=a 2+b 2a 2+a 2+b 2b 2=1+b 2a2+a 2b 2+1≥2+2√a 2b 2·b 2a 2=2+2=4, 当且仅当b 2a2=a 2b 2,即a=b 时,等号成立,故D 正确.故选AD .4.一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于v 2800 km,那么这批物资全部到达灾区最少需要 h .解析当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶50·v 2800v =v16h,最后一辆车驶完全程共需要400vh,所以一共需要400v+v 16h,由基本不等式,得400v+v 16≥2√400v·v16=10,故最少需要10h .5.已知a ,b 都是正数,满足2a+b=3,则a+2b ab的最小值为 .a ,b 都是正数,满足2a+b=3,则a+2b ab=1b+2a=13(2a+b )2a+1b=135+2ba +2a b≥13(5+4)=3,当且仅当2ba =2ab且2a+b=3,即a=b=1时,a+2b ab取得最小值3.6.已知正数a ,b ,x ,y 满足a+b=10,a x+by=1,x+y 的最小值为18,求a ,b 的值.(x+y )(a x +by )=a+bx y+ay x+b=10+bx y+ay x.因为x ,y>0,a ,b>0,所以x+y ≥10+2√ab =18,即√ab =4. 当且仅当bx y=ay x时,等号成立.又a+b=10,所以{a =2,b =8或{a =8,b =2.7.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x ≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油2+x 2360升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低?并求出最低费用的值.设所用时间为t=130x小时,则y=130x×6×(2+x 2360)+14×130x ,50≤x ≤100. 所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y=3380x+136x ,50≤x ≤100.(2)y=3380x+136x ≥263√390, 当且仅当3380x=136x ,即x=2√390时,等号成立.又2√390<50,所以当x=50时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为y=338050+136×50=263915(元).等级考提升练8.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式2a+1b≥m 恒成立,则m 的最大值等于( )A.10B.9C.8D.7解析2a +1b =2a+1b (2a+b )=5+2b a +2ab≥5+2√2b a ·2ab=9,当且仅当2b a =2ab,即a=b=13时,等号成立.所以2a+1b 的最小值为9,又因为2a +1b ≥m 恒成立,所以m ≤9,即m 的最大值为9. 9.(2021浙江温州高一期末)已知正数a ,b 满足a+b=1,则4a 1-a+b 1-b的最小值是( )A.1 B .2 C .4 D .8a ,b 满足a+b=1,则4a 1-a+b 1-b=4a b +b a≥2√4a b ·b a=4,当且仅当4ab =ba ,即b=2a=23时,等号成立. 故4a1-a +b1-b 的最小值是4, 故选C .10.(2021云南师大附中高三期末)如果两个正方形的边长之和为1,那么它们的面积之和的最小值是( ) A.1B .12C .1D .2x ,y ,则x>0,y>0,且x+y=1, 由基本不等式可得x 2+y 2≥2xy , 所以2(x 2+y 2)≥x 2+y 2+2xy=(x+y )2=1,所以x 2+y 2≥12,当且仅当x=y=12时,等号成立,因此,两个正方形的面积之和x 2+y 2的最小值为12.故选B .11.(多选题)(2021浙江湖州高一期末)已知a>0,b>0.若4a+b=1,则( ) A.14a+1b的最小值为9B .1a +1b 的最小值为9C .(4a+1)(b+1)的最大值为94 D .(a+1)(b+1)的最大值为94,14a +1b =(14a +1b )(4a+b )=2+b4a +4ab ≥2+2√b4a ·4ab=4,当b4a =4a b,即b=4a 且4a+b=1时,等号成立,故14a +1b 的最小值是4,故A 不正确;1a +1b =(1a +1b )(4a+b )=5+b a +4a b≥5+2√b a·4ab=9,当b a=4a b,即b=2a 且4a+b=1时,等号成立,1a+1b的最小值为9,故B 正确;(4a+1)(b+1)≤[(4a+1)+(b+1)2]2=94,当4a+1=b+1,即b=4a=12时,等号成立,故C 正确;(a+1)(b+1)=14[(4a+4)(b+1)]≤14[(4a+4)+(b+1)2]2=94,当且仅当4a+4=b+1时,等号成立,又因为4a+b=1,因此当a=-14,b=2时,等号成立,但a>0,所以等号不能成立,故D 不正确.故选BC . 12.设函数y=x+ax (a>0).(1)若a=1,求当x>0时,函数y 的最小值为 ;(2)当x>2时,该函数存在最小值,则满足条件的一个a 的值为 .(2)5(答案不唯一,只要a>4即可)当a=1时,由基本不等式得x+1x ≥2√x ·1x =2,当且仅当x=1x ,即x=1时等号成立,故最小值为2.(2)由基本不等式得x+ax ≥2√x ·ax =2√a ,当且仅当x=ax ,x=√a 时等号成立,故√a >2,即a>4.填a>4的任意一个a 都符合题意.13.对任意m ,n 为正实数,都有m 2-amn+2n 2≥0,则实数a 的最大值为 .√2m ,n 为正实数,都有m 2-amn+2n 2≥0,∴m 2+2n 2≥amn , 即a ≤m 2+2n 2mn =m n+2n m恒成立.∵mn +2nm≥2√m n ·2nm =2√2, ∴a ≤2√2,即最大值为2√2.14.经观测,某公路段在某时段内的车流量y (单位:千辆/时)与汽车的平均速度v (单位:千米/时)之间有如下关系:y=920v v 2+3v+1600(v>0).在该时段内,当汽车的平均速度v 为 时车流量y 最大,最大车流量为 千辆/时(精确到0.01).11.08 y=920v v 2+3v+1600=920v+1600v+3≤2√v ·1600v+3=92083≈11.08.当v=1600v,即v=40千米/时,车流量最大,最大值为11.08千辆/时.新情境创新练15.中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米(2≤x ≤6).(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为900a (1+x )x元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a 的取值范围.设甲工程队的总造价为y 元,则y=3150×2x+400×12x+7200=900x+16x+7200(2≤x ≤6),900x+16x+7200≥900×2×√x ·16x +7200=14400.当且仅当x=16x ,即x=4时,等号成立.即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14400元.(2)由题意可得,当2≤x ≤6时,900x+16x+7200>900a (1+x )x恒成立,即(x+4)2x>a (1+x )x,∴a<(x+4)2x+1=(x+1)+9x+1+6,又x+1+9x+1+6≥2√(x +1)·9x+1+6=12,当且仅当x+1=9x+1,即x=2时,等号成立.∴a 的取值范围为{a|0<a<12}.。
基本不等式的应用习题课
自我检测
1.若实数 a,b 满足 a+b=2,则 2a+2b 的最小值为( D )
(A) 2 (C)2
(B)2 2 (D)4
解析:因为 a+b=2,所以 2a+2b≥2 2a 2b =2 2ab =2 22 =4.故选 D.
2.设x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最大值为( A )
解析:选项 A,当 x,y 异号时,可得 x + y ≤-2,错误; yx
选项 B,可化为 x2 2 + 1 ≥2,当取等号时 x2 2 = 1 可得
x2 2
x2 2
x2=-1,即取不到最小值 2,错误;
选项 C,由基本不等式可得 5x+5-x≥2 5x 5x =2,当且仅当 5x=5-x 即 x=0 时取等号,正确;
方法技巧 在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法 (1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数. (2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内,利用基本不等式求出函数的最大值或最小值. (4)回到实际问题中,结合实际意义写出正确的答案.
恒成立,只需 k≤4 即可,
故 k 的最大值为 4. 答案:(2)4
选项 D,tan x 为负数时,可得最大值为-2,故错误.选 C.
4.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,
则平均仓储时间为 x 天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件
8
产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品
件.
解析:设每件产品的平均费用为 y 元,由题意得
xy
xy
基本不等式习题课
2x＝y， 当且仅当 即 x＝3，y＝6 时等号成立，故 xy 的 2x＋y＋6＝xy， 最小值为 18.
思考：还有其他方法求解吗？
解不等式求最值
练习2.若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大
a值
思考：若 x、y∈R ，且 x＋y－xy＝0.求 x+y 的最小值． x ( x 1) 1 1 x 则 x y x x x 1 2 y 解：由题有 x 1 x 1 x 1 x 1
2 ( x 1) 1 24 x 1
点评：利用基本不等式证明不等式是综合法证明 不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式 和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和 有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为 所求问题，其特征是以“已知”看“可知”， 逐步推向“未知”.
总结：
1．利用基本不等式求最值需注意的问题 (1)各数(或式)均为正； (2)和或积其中之一为定值； (3)等号能否成立，
x2－4x＋1 3．已知 x>0，则 y＝ 的最小值为________ ． －2 x x2－4x＋1 － 变式 1：已知 x≥2，则 y＝ 的最小值为 ________ x 2 ． x2－4x＋1 －6 变式 2：已知 x＜0，则 y＝ 的最大值为 ________ ． x
3
x2 4x 1 1 1 解： x 0 y x 4 2 x 4 2 x x x 1 当且仅当x 即x 1时ymin 2 x 1 3
2 3 3 值是________ ．
解： 由 x2＋y2＋xy＝1，得 1＝(x＋y)2－xy，
基本不等式(第一课时)
对于内积空间中的任意两个向量序列$mathbf{a}$和$mathbf{b}$，有$left(sum_{i=1}^n a_i^pright)^{frac{1}{p}} left(sum_{i=1}^n b_i^qright)^{frac{1}{q}} geq sum_{i=1}^n a_i b_i$，其中$frac{1}{p}+frac{1}{q}=1$。
几何证明方法
01
02
03
面积法
利用几何图形的面积关系， 将基本不等式转化为面积 问题，通过几何图形的性 质进行证明。
弦图法
利用几何图形的弦图性质， 将基本不等式转化为弦图 问题，通过弦图的性质进 行证明。
切线法
利用几何图形的切线性质， 将基本不等式转化为切线 问题，通过切线的性质进 行证明。
函数证明方法
02
举例：对于任意正实数$x$、$y$，
有算术平均数与几何平均数之间的
不等式：$frac{x+y}{2}
geq
sqrt{xy}$。
性质
非负性
基本不等式的每一项都是非负的。
传递性
如果$a leq b$和$b leq c$，则$a leq c$。
可加性
如果$a leq b$和$c leq d$，则 $a+c leq b+d$。
应用
柯西不等式在数学、物理和工程领域中有着广泛的应用，例如在解决偏微分方 程、优化问题、概率论和统计学等领域的问题时，柯西不等式是一个重要的工 具。
贝努利不等式
定义
贝努利不等式是指对于任意的非负实数$a_1, a_2, ..., a_n$，有 $(a_1 + a_2 + ... + a_n)^n geq (a_1^n + a_2^n + ... + a_n^n)$。
基本不等式 高中数学北师大版必修第一册
等号成立,此时取得最小值为 4.
答案(1)A
(2)4
延伸探究例题第(2)问,改为“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最大值.
解∵a>0,b>0,4=a+4b≥2 4=4 ,
1
解得 ab≤1,当且仅当 a=4b=2,即 a=2,b=2时,等号成立.此时 ab 取得最大值 1.
素养形成
因此基本不等式又称为均值不等式.
2.基本不等式可以表述为:两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的
几何平均值.
3.基本不等式的几何解释:同一个半圆中,半径大于或等于半弦.
名师点析 1.基本不等式的条件是 a,b 都是非负实数,当且仅当 a=b 时,等号成立,
a+b
即“a=b”是“
2
= ab”的充要条件.
高中数学北师大版必修第一册
第一章
预备知识/1
3 . 2 基本不等式
第1课时
基本不等式
课标阐释
1.理解基本不等式 a + b ≥ ab
2
(a≥0,b≥0).(数学抽象)
2. 结合具体实例,能用基本不等式
解决简单的求最大值或最小值的
问题.(数学运算)
3. 能运用基本不等式证明不等式
及解决简单的实际问题.
2 2
(3)( ) ≥ -1(b≠0)
微练习
已知 ab>0,求证 + ≥2,并推导出式中等号成立的条件
证明因为 ab>0,所以 >0, >0.
由均值不等式,
得 + ≥2
2.2 习题课 基本不等式
分离消元法求最值
1
3
已知实数x，y满足xy＋3x＝3，且0<x< ，求
2
x
解析：方法一
3
x
所以 +
+
1
的最小值．
y−3
1
2
3
x
因为实数x，y满足xy＋3x＝3(0<x< )，所以y＝ －3(y>3)，
1
1
1
＝y＋3＋ ＝y－3＋ ＋6≥2
y−3
y−3
y−3
1
3
3
＝ ，即y＝4时取等号，此时x＝ ，所以
(1)
a
+
1
≥4；
b
证明：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
1
a
1
b
1
a
1
b
4
5
b
a
a
b
则 + ＝(a＋b)( + )＝2＋ + ≥2＋2
b a
b a
1
· ＝4，当且仅当 ＝ ，即a＝b＝ 时
a b
a b
2
等号成立，
1
a
1
b
所以 + ≥4.
1
2
3
6
7
8
9
10
11
12
13
14
返回导航
3b
1
>0，即b> ，故D错误．
3b−1
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
返回导航
1.3.2基本不等式(第2课时习题课基本不等式的应用)课件高一上学期数学北师大版
360
9 800
y=
+2x≥2
19 600=280,
9 800
当且仅当 =2x,即
x=70 时取等号,所以这次租车的总费用最少是 280 元,
此时的车速为 70 km/h.
1 2 3 4 5 6 7 8
B级
关键能力提升练
6.(多选题)已知x,y是正数,且2x+y=1,则下列结论正确的是(ABC )
中 t>0,则
1
y=4t+
≥2
1
4· =4,当且仅当
t=-1 时,y=-2<4,故 D 错误.故选 C.
1 2 3 4 5 6 7 8
1
t=2时,等号成立,故
C 正确;D 中,当
2.[探究点一] (3-)( + 6)(-6≤a≤3)的最大值为( B )
A.9
9
B.
2
3 2
D.
2
C.3
解析 ∵-6≤a≤3,∴3-a≥0,a+6≥0,
由基本不等式,得 (3-)( + 6) ≤
1 2 3 4 5 6 7 8
(3-)+(+6)
2
=
9
,当且仅当
2
3
a=- 时取得等号.
2
3.[探究点二]某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成
反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10
千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费
规律方法
含有多个变量的条件最值问题,一般方法是采取减少变量的个
数,将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决;如果条件等
2022-2023新高一初高中衔接假期过关《 基本不等式》讲义实训题(附答案)
2022-2023新高一初高中衔接假期过关实训课程衔接知识点： 基本不等式知识点温习及典例1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 经典例题解析例1已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 例2 若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n的最小值为( )A ．3＋2 2B ．3＋ 2C ．2＋2 2D ．3例3 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 例4已知a >0，b >0，c >0，若点P (a ，b )在直线x ＋y ＋c ＝2上，则4a ＋b ＋a ＋b c的最小值为________．过关实训习题1．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＝y B ．x ＝2y C ．x ＝2且y ＝1D ．x ＝y 或y ＝12.若实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝⎛⎭⎪⎫0<x <23，则4x ＋1y 的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．323.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( ) A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)4．(多选)若x ≥y ，则下列不等式中正确的是( ) A ．2x≥2yB.x ＋y2≥xyC ．x 2≥y 2D ．x 2＋y 2≥2xy5．(多选)设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2B.2aba ＋b≥ab C.a 2＋b 2ab≥a ＋bD ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥46．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．7.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是______．8.某人准备在一块占地面积为1800m 2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1m 的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m 2，其中a ∶b ＝1∶2，则S 的最大值为________．9.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝2，求1a ＋1＋4b ＋1的最小值．《基本不等式》答案及解析知识点温习及典例1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积经典例题解析例1已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．例2 若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n的最小值为( )A ．3＋2 2B ．3＋ 2C ．2＋2 2D ．3答案 A解析 因为2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·(2m ＋n )＝3＋n m ＋2m n≥3＋2n m ·2mn＝3＋22， 当且仅当n ＝2m ，即m ＝2－22，n ＝2－1时等号成立，所以1m ＋1n的最小值为3＋22，故选A.例3 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．解析 方法一 (换元消元法) 由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号， 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0， 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 方法二 (代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y1＋y ，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y (1＋y )1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23(1＋y )·121＋y－6 ＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1，x ＝3时取等号，所以x ＋3y 的最小值为6.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．例4已知a >0，b >0，c >0，若点P (a ，b )在直线x ＋y ＋c ＝2上，则4a ＋b ＋a ＋bc 的最小值为________． 答案 2＋2 2解析 ∵P (a ，b )在x ＋y ＋c ＝2上， ∴a ＋b ＋c ＝2，a ＋b ＝2－c >0， 4a ＋b ＋a ＋b c ＝42－c ＋2－c c ＝42－c ＋2c－1， 设⎩⎪⎨⎪⎧2－c ＝m ，c ＝n ，则m ＋n ＝2，42－c ＋2c ＝4m ＋2n ＝m ＋n 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋2n ＝3＋2n m ＋mn≥3＋22n m ×mn＝3＋22，当且仅当m 2＝2n 2，即c ＝22－2时，等号成立， ∴42－c ＋2c－1≥3＋22－1＝2＋22， 即4a ＋b ＋a ＋b c的最小值为2＋2 2.过关实训习题1．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＝y B ．x ＝2y C ．x ＝2且y ＝1 D ．x ＝y 或y ＝1 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2且y ＝1 ”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件．故选C.2.若实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝⎛⎭⎪⎫0<x <23，则4x ＋1y 的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．32 答案 B解析 实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <23，∴x ＝4y ＋6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，y >0，则4x ＋1y ＝y ＋6＋1y≥2＋6＝8，当且仅当y ＝1，x ＝47时取等号．∴4x ＋1y的最小值为8.3.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.4．(多选)若x ≥y ，则下列不等式中正确的是( ) A ．2x≥2yB.x ＋y2≥xy C ．x 2≥y 2 D ．x 2＋y 2≥2xy答案 AD解析 由指数函数的单调性可知，当x ≥y 时，有2x ≥2y ，故A 正确； 当0>x ≥y 时，x ＋y2≥xy 不成立，故B 错误；当0≥x ≥y 时，x 2≥y 2不成立，故C 错误；x 2＋y 2－2xy ＝(x －y )2≥0成立，即x 2＋y 2≥2xy 成立，故D 正确．5．(多选)设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B.2aba ＋b≥ab C.a 2＋b 2ab≥a ＋bD ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4答案 ACD解析 ∵a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b ＋1ab≥2ab ＋1ab≥22，当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab ，即a ＝b ＝22时取等号，故A 成立； ∵a ＋b ≥2ab ＞0，∴2ab a ＋b ≤2ab2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， ∴2aba ＋b≥ab 不一定成立，故B 不成立； ∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， a 2＋b 2a ＋b ＝(a ＋b )2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2aba ＋b≥2ab －ab ＝ab ， 当且仅当a ＝b 时取等号，∴a 2＋b 2a ＋b ≥ab ，∴a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故C 一定成立； ∵(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，故D 一定成立．6．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． 7.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是______．答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元)． 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫3 600x ＋4x 万元． 因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x·4x ＝240， 当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号， 所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．8.某人准备在一块占地面积为1800m 2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1m 的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m 2，其中a ∶b ＝1∶2，则S 的最大值为________．答案 1 568解析 由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ，x >3，y >3，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a＝(3x －8)y －33＝1 808－3x －83y ＝1 808－3x －83×1 800x＝1 808－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x，即x ＝40，y ＝45时等号成立，S 取得最大值， 所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值为1 568.9.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝2，求1a ＋1＋4b ＋1的最小值． 解 1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·(a ＋1)＋(b ＋1)4＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4(a ＋1)b ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2b ＋1a ＋1·4(a ＋1)b ＋1 ＝94.当且仅当b ＋1a ＋1＝4(a ＋1)b ＋1，即a ＝13，b ＝53时取等号．所以1a ＋1＋4b ＋1的最小值为94.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 1 变式3.设x, y 0且 1, 若x 2 y m2 2m x y 恒成立, 则m的取值范围是 _____ .
1 1 1 变式4.已知0 x , 则 的最小值是 _____ . 2 x 1 2x
及时归纳：
常值代换这种方法常用于 ①“已知ax＋by＝m(a、b、x、y均为正数)，求 1 1 ＋ 的最小值． ” x y a b ②“已知 ＋ ＝1(a、b、x、y均为正数)，求 x y mx＋ny (m, n 0)的最小值?这配凑因式是常用的技巧，而拆 与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值， 必要时出现积为定值或和为定值．
2．当多次使用均值不等式时，一定要注意每次 是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条 件的一致性，否则就会出错，因此在利用均值 不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅 是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有 误的一种方法．
例5.已知正数a、b满足a+b＝1.
1 1 变式3： (3)求 a b 的最大值。 2 2
例 6 1. 例 已知x 0, y
0, 且3xy x y 1, 则
(1) x y的最小值是 _____; (2) x y的最小值是 _____ .
知识总结
利用均值不等式求最值时，要注意其必须 满足的三个条件：一正二定三相等．“一正” 就是各项必须为正数．“二定”就是要求和 的最小值，必须把构成和的二项之积转化成 定值；要求积的最大值，则必须把构成积的 因式的和转化成定值．“三相等”是利用基 本定理求最值时，必须验证等号成立这一条 件，若不能取等号则这个定值就不是所求的 最值，这是最容易发生错误的地方．
(2)
（3）
b a a b
2
(a, b同号且a, b不为0）
3．利用基本不等式求最值
设 x 0, y 0 ，则
(1)若 x 则当 (2)若 则当
即：和定 积最大
y p (和为定值)，
时，积xy 取得最大值
x＝ y
p2 4
.
xy p (积为定值)，
时，和
x＝ y
x y
取得最小值
拓展、训练、总结——数学学习之道，老师提醒你，要做学 习的智者！
基本不等式习题课(两课时）
一、要点回顾与整理
1．基本不等式 基本不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件
ab a>0，b>0 a＝ b ab 2 2．几个重要的不等式（积累好东西，提升解题水平） 2 2 (1)a b 2ab (a, b R)
（2）求
4 y x x
的值域.
（二）通过转化使用使用均值不等式求解最值
4 ，x 1 的最小值. 例2、求 y x x 1
x2 2 x 5 ，x 1 的最小值. 变式：（1）求 y x 1
x （2）求函数 y 2 的值域. x x4
例3、求函数 y x 2 的最小值. 2 x 1
2 p
.
即：积定和最小
均值不等式应用的注意事项：一正二定三等
1．下列函数中，最小值为4的是(
4 x x 4 (B) 0 x y sinx sinx (C) x -x y 4e e (D) y log 3 x log x 30 x 1
(A) y
1 1 0, 且2 x y 1，则 的最小值是 _____ x y 1 9 变式1：已知x 0, y 0, 且 2，则x y的最小值是 _____ x y
变式2：若正数x, y满足x 3 y 5 xy, 则3x 4 y的最小值是（ ） 24 A． 5 B． 28 5 C． 5 D． 6
备选与补充练习
已知a, b, c 1例3.(1)
0, 且b 2 ab bc ca 15, 则
2
5a 8b 3c的最小值是 _____ . (2)已知a, b, c 0, 且a 2ab 4bc 2ca 12, 则 a b c的最小值是 _____ . 1 3 2 9 (3).若正数a, b满足 1, 则 的 a b a 1 b 3 最小值为 _____ .
C )
5 2 2.已知lgx+lgy＝1， 的最小值是______. x y
，则函数y＝5x(3－4x)的最大值为 .
3.已知0＜x＜
用均值不等式求最值的常见类型
（一）直接利用均值不等式求解最值
4 例1、求 y x ， 的最小值. （x 0） x
4 变式（1）求 y x （0 x 1 的最小值. ） x
1 (1)求ab的取值范围；(2)求 ab 的最小值. ab 【解题回顾】函数 f(x)＝x+a/x(a ＞0)是一个重要的函数，应 了解它的变化.f(x)＝x+a/x(a＞0)在(0，√a]上是减函数，在[a，
+∞)上是增函数.在研究此函数的过程中，应先确定它的定义 域，若x＝a/x成立，则可由均值不等式求最值；若 x＝a/x不 成立，则应在定义域内研究f(x)的单调性.
2
y 变式：求函数
x 5
2
x 4
2
的值域
例4 例1、已知x 0, y
1 1 0, 且2 x y 1，则 的最小值是 _____ x y
你来找错：
1 x 2 y 2 2 xy，
1 2 2， xy 1 1 1 2 4 2 x y xy
例4 例1、已知x 0, y
1 1 例5.已知a b c 0, 则2a 10ac 25c 2 2 ab a(a b)
2
的最小值为 _____ . (09年四川第12题)