1.2 子集、全集、补集
1.2-子集、全集、补集讲义教学
1.2 子集、全集、补集要点一子集、真子集[重点]在上一节中，我们用约定的字母标记了一些特殊的集合，在这些特殊的集合中，我们会发现这样一个现象：正整数集中的所有元素都在自然数集中；自然数集中的所有元素都在整数集中；整数集中的所有元素都在有理数集中；有利数集中的所有元素都在实数集中.其实，上述各集合之间是一种集合见得包含关系；可以用子集的概念来表示这种关系.1．子集(1)定义：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A成为集合B的子集，记作A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含于集合A”.(2)举例：例如，{4，5} Z，{4，5} Q，Z Q，1-2-1来表示.(3)理解子集的定义要注意以下四点：①“A是B的子集”的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，既由x∈A，能推出x∈B，例如{-1，1} {-1，0，1，2}.②任何一个集合是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个元素都是属于集合A本身，记作A A.③我们规定，空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，有 A.④在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A= ，则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A 是集合B的子集.以上②③点告诉我们，在邱某一个集合时，不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况.(4)例题：例1设集合A={1，3，a }，B={1，a 2-a +1}，且A B，求a的值.解：∵A B，∴a 2-a +1=3或a 2-a +1=a，由a 2-a +1=3，得a =2或a =-1；由a 2-a +1=a，得a =1.经检验，当a =1时，集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a 的值为-1，2.2．真子集 (1)定义：如果A B ，并且A≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作 “A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(2)举例：{1，2} {1，2，3}.(3)理解子集的定义要注意以下四点： ①空集是任何非空集合的真子集.②对于集合A 、B 、C ，如果A B ，B C ，那么A C . ③若A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧A=B A B 且B AA ≠B A B.④元素与集合的关系是属于于不属于的关系，分别用符号“∈”和“ ”表示；集合 与集合之间的关系是包含于、不包含于、真包含于、相等的关系，分别用符号“ ”“ ”“ ”和“=”.(4)例题：例2 写出集合{a ,b ,c }的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集. 解：{a ,b ,c }的所有子集是： ，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }.其中除了{a ，b ，c }外，其余7个集合都是它的真子集.除了 ，{a ，b ，c }外，其余6个都是它的非空真子集.练习：1．判断下列命题的正误：(1){2，4，6} {2，3，4，5，6}； (2){菱形} {矩形}； (3){x |x 2+1=0} {0}； (4){(0，1)} {0，1}.根据子集的定义，判断所给的两集合中前一个集合的任何一个元素是否都是后一个集合的元素.解：根据子集的定义，(1)显然正确；(2)中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他 的菱形不是矩形；(3)中集合{ x | x 2+1= 0 }是 ，而 是任何集合的子集；(4)中{(0，1)} 是点集，而{0，1}是数集，元素不同，因此正确的是(1)(3)，错误的是(2)(4). 判断两集合之间的子集关系时，主要是看其中一个集合的元素是不是都在另一个集合评点中.2．写出集合A ={p ，q ，r ，s }的所有子集.根据集合A 的子集中所含有元素的个数进行分类，分别写出，不要漏掉.解：集合A 的子集分为5类，即 (1) ；(2)含有一个元素的子集：{p }，{q }，{r }，{s }；(3)含有两个元素的子集：{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }； (4)含有三个元素的子集有：{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }； (5)含有四个元素的子集有：{p ，q ，r ，s }．综上所述：集合A 的子集有 ，{p }，{q }，{r }，{s }，{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }，{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }，{p ，q ，r ，s }，共16个．给定一个含有具体元素的集合，写其子集时，应根据子集所含元素的个数进行分类.以下结论可以帮助检验所写子集数的正确性：若一个集合含有m 个元素，则其子集有2m 个，真子集有(2m -1)个，非空真子集有(2m -2)个.3．给出下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 A ，则A≠ ．其中正确的序号有____④______．从子集、真子集的概念以及空集的特点入手，逐一进行判断.解析：①错误，空集是任何集合的子集， ；②错误，如空集的子集只有1个；③错误， 不是 的真子集；④正确，∵ 是任何非空集合的真子集. 求解与子集、真子集概念有关的题目时，应记住以下结论：(1)空集是任何集合的子 集，即对于任意一个集合A ，有 A .(2)任何一个集合是它本身的子集，即对任何一个集合A ，有A A .4．满足集合{1，2，3} M {1，2，3，4，5}的集合M 的个数是 __2____ ．评点 评点根据所给关系式，利用{1，2，3}是M 的真子集，且M 真包含于{1，2，3，4，5}的关系判断集合M 中的元素个数.解析：依题意，集合M 中除含有1，2，3外至少含有4，5中的一个元素，又M {1，2，3，4，5}，∴M={1，2，3，4}或{1，2，3，5}．(1)解答此题应首先根据子集与真子集的概念判断出集合M 中含有元素的可能情况，然后根据集合M 中含有元素的多少进行分类讨论，防止遗漏.(2)若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n } ，则A 的个数为2n －m .若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A 的个数为2n －m -1. 若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A 的个数为2n －m -2. 要点二 补集、全集[重点] 1．补集设A S ，由S 中不属于A 的所有 元素组成的集合称为S 的子集A 的补集， 记作 S A(读作“A 在S 中的补集”)，即S A={ x | x ∈S ，且x A}.C S A 可用图1-2-2.2．全集. (1)定义：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U .(2)举例：例如，在实数范围内讨论集合时，R 便可看做一个全集U ，在自然数范围内讨论集合时，N 便可看做一个全集U .3．理解补集、全集要注意以下两点：(1)对全集概念的理解：全集是相对于所研究的问题而言的一个相对概念，它含有与所研究的问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究问题而异.例如在研究数集时，常常把实数集R 看做全集；在立体几何中，三维空间是全集，这是平面是全集的一个评点子集；而在平面几何中，整个平面可以看做一个全集.(2)求子集A 在全集U 中的补集的方法：从全集U 中去掉所有属于A 的元素，剩下的元素组成的集合即为A 在U 中的补集.如已知U= a ，b ，c ，d ，e ，f ，A= b ，f ，求C U A .该题中显然A U ，从U 中除去子集A 的元素b 、f ，乘下的a 、c 、d 、e 组成的集合即为 U A= a ，c ，d ，e .求补集，我们则可以充分利用数轴的直观性来求解.如已知U=R ，A= x x > 3 ，求 U A .用数轴表示如图1-2-3，可知 U A= x x > 3 .4．例题 例2不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x -1>0，3x -6≤0 的解集为A ，U=R .试求A 及C U A ，并把它们分别表示在数轴上.解：A= x 2 x -1 > 0且3 x –6 ≤ 0 =122<x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，在数轴上表示如图1-2-4(1).C U A=1,22x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或，在数轴上表示如图1-2-4(2).练习5．已知全集U=R ，集合A={ x |1< x ≤6}，求C U A . 在数轴上标出集合A ，结合补集的定义求解.解：根据补集的定义，在实数集R 中，由所有不属于A 的实数组成的集合，就是C U A ，如图1-2-5，结合数轴可知，C U A={ x |1< x ≤6}.涉足与数集有关的补集，求解时一般要利用数轴只管求解，求解时要注意端点值的取舍.6．已知全集U={不大于5的自然数}，A={0，1}，B={x |x ∈A ，且x <1}，C={x |x -1 A ，且x ∈U}.(1)判断A 、B 的关系；(2)求C U B 、C U C ，并判断其关系.1212评 点根据题意，先写出全集U ，按所给集合B 、C 的含义，写出B 、C ，并求其补集后求解第(2)题.解：由题意知U={0，1，2，3，4，5}，B={0}，又集合C 中的元素必须满足以下两 个条件：x ∈U ，x -1 A .若x =0，此时0-1=-1 A ，∴0是C 中的元素； 若x =1，此时1-1=0∈A ，∴1不是C 中的元素； 若x =2，此时2-1=1∈A ，∴2不是C 中的元素；同理可知3，4，5是集合C 中的元素，∴C={0，3，4，5}. (1)∵A={0，1}，B={0}，∴B A ；(2)C U B={1，2，3，4，5}，C U C={1，2}，∴C U C C U B . 若给定具体的数的集合，判断其两个子集的补集之间的关系时，应先求集合的补集. 7．设全集U={1，2，x 2-2}，A={1，x }，求C U A .要求C U A ，必须先确定集合A ，实际上就是确定x 的值，从而需要分类讨论.解：由条件知A U ，∴x ∈U={1，2，x 2-2}，又x ≠1，∴x =2或x = x 2-2. 若x =2，则x 2-2=2，此时U={1，2，2}，这是与互异性矛盾，舍去. 由x =x 2-2得x 2-x -2=0，解得x =-1或x =2(舍去). 此时U={-1，1，2}，A={1，-1}，∴C U A={2}.求解此题首先确定参数x 的值，然后确定出U 和A 的具体结果.在求解集合问题时必须密切关注集合元素的特征，并且特别注意互异性，以免产生增根.8．已知A={x |x <5}，B={x |x <a }，分别求满足下列条件的a 的取值范围：(1)B A ；(2)A B .紧扣子集、全集、补集的定义，利用数轴，数形结合求出a 范围. 解：(1)因为B A ，B 是A 的子集，如图1-2-6(1)，故a ≤5.评点 评点 (2)(1)(2)因为A B，B是A的子集，如图1-2-6(2)，故a≥5．9．已知M={x|x=a2+1，a∈N*}，P={y|y=b2-6b+10，b∈N}，判断集合M与P之间的关系.解法一：集合P中，y=b2-6b+10=(b-3)2+1当b=4，5，6，…时，与集合M中a=1，2，3，…时的值相同，而当b=3时，y=1∈P，1 M，∴M P.解法二：对任意的x0∈M，有x0=a2 0+1=(a0+3)2-6(a0+3)+10∈P(∵a0∈N*，∴a0+3∈N)，∴M P，又b=3时，y=1，∴1∈P.而1<1+ a2+1=(a0∈N*)，∴1 M，从而M P.10．已知全集U，集合A={1，3，5，7，9}，C U A={2，4，6，8}，C U B={1，4，6，8，9}，求集合B.求集合B，需根据题意先求全集U，由于集合A及C用Venn图来表示所给集合，将A及C U A填入即可得U解：借助Veen图，如图1-2-7.由题意知U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}.∵C U B={1，4，6，8，9}∴B={2，3，5，7}.求本题中的全集，用Veen较直观，本题的求解实际上应用了补集的性质C U (C U B)=B.E 教材问题探究1.教材第8页“思考”对于集合A、B，如果A B，同时B A，那么A=B.这是因为由A B可知，集合A的元素都是集合B的元素，又由B A知，集合B的元素也都是集合A的元素，这就是说，集合A和集合B的元素是完全相同的，因而说集合A与集合B是相等的.当A=B时，集合A中的每一个元素都在集合B中，集合B中的元素也都在集合A 中，即A B与B A同时成立.综上所述，A B与B A同时成立的等价条件是A=B.例判断下列两个集合的关系：(1)A={x |(x-1)(x+1)= 0}，B={x | x2=1}；(2)C={x |x=2n，n∈Z }，D={x | x=2(n-1)，n∈Z }.解：∵(1)A={-1，1}，B={-1，1}，∴A=B.评点(2)易知集合C 为偶数，∵n ∈Z ，n -1∈Z ，∴集合D 也为偶数集，∴C=D .2.教材第9页“思考”在(1)(2)(3)中除有A S ，B S 外，不难看出在S 中属于A 的所有元素均不属于B ，即x i∈S ，x i∈A ，但x iB ，在S 中属于B 的所有元素均不属于A ，即x i∈S ，xi ∈A ，但x iA ，也就是说，A 、B 两个集合没有公共元素，且它们的元素合在一起，恰好是集合S 的全部元素.探究学习1．教材第8页“?”集合{a 1，a 2，a 3，a 4}的子集有： ，{a 1}，{a 2}，{a 3}，{a 4}，{a 1，a 2}，{a 2，a 3}，{a 3，a 4}，{a 1，a 4}，{a 1，a 3}，{a 2，a 4}，{a 1，a 2，a 3}，{a 1，a 2，a 4}，{a 2，a 3，a 4}，{a 1，a 3，a 4}，{a1，a 2，a 3，a 4}.拓展：集合{a 1，a 2，a 3，a 4}有多少个真子集？有多少个非空真子集？由上可知，集合{a 1，a 2，a 3，a 4}有15个真子集，有14个非空真子集.一个集合含有n 个元素，则它的所有自己有2n 个，真子集有(2n -1)个(去掉集合本身)，非空真子集有(2n -2)个(去掉集合本身及空集).典型例题解析例1 设A={x | ( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0}，写出集合A 的子集，并指出其中哪些是它的真子集？要确定集合A 的子集、真子集，首先必须清楚集合A 中的元素，由于集合A 中的元素是方程( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0的根，所以要先解该方程.解：将方程( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0变形，得( x -4)( x +1)( x +4)2=0，则可得方程的根为x =-4 或x =-1或x =4.故集合A={-4，-1，4}，真子集有 ，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4， 4}，{-1，4}，{-4，-1，4}，真子集有 ，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4，4}，{-1，4} 写出一个集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集— 和自身；其次，依次按含评点有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集等一一写处，就可避免重复和遗漏现象的发生.例2 设全集U={1，4，a 2+4a -2}，A={| 3a -2 |，4}，C U A={3}，求实数a 的值.∵C U A={3}，∴3∈U ，且3 A ，由补集的定义知A={1,4}. 解：∵C U A={3}，说明3∈U ，且3 A ，∴a 2+4a -2=3，∴a =-5或a =1. ①当a =1时，| 3a -2 |=1≠3，此时A={1，4}，满足题意. ②当a =-5时，| 3a -2 |=17，此时A={17，4} U ，不满足题意. ∴a 的值为1.例3 已知{1，2} M {1，2，3，4，5}，则这样的集合M 有 8 .根据题目给出的条件可知，集合M 中至少含有元素1、2，至多含有元素1、2、3、4、5，故可按M 中所含元素的个数分类写出集合M ，解析：(1)当M 中含有两个元素时，M 为{1，2}；(2)当M 中含有三个元素时，M 可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； (3)当M 中含有两个元素时，M 可能为{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； (4)当M 中含有两个元素时，M 为{1，2，3，4，5}；所有满足条件的M 为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个.首先根据子集的概念判断出集合M 中含有元素的可能情况，然后根据集合M 中含有例4 已知集合A={x |- 2 ≤ x ≤ 5}，B={x | m +1≤ x ≤ 2m -1}，若B A ，求实数m 的取 值范围.对B 要进行讨论，分B 为空集和非空集合两种情况.解：(1)若B ≠ ，则由B A (如图1-2-5)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤ 2m -1，m +1≥ -2，2m -1≤ 5，解的2 ≤ m ≤ 3. (2)若B= ，则m +1>2m -1，m <2，此时B A 也成立. 由(1)和(2)，得m ≤ 3，所以实数m 的取值范围是{ m | m ≤ 3}.在处理含有参数的子集问题市场借助数轴，数形结合，理清条件，使关系明朗，易于求解.例5 已知集合A={x | 1 ≤ a x ≤ 2}，B={x | | x | < 1}，求满足A B 的实数a 的取 值范围.对参数进行讨论，写出集合A 、B ，使其满足，求a 的值. 解：(1)当a = 0时，A= ，满足A B .(2)当a > 0时，{}21A=.B=11,A B xx x x a a ⎧⎫⊂<<-<<=⎨⎬⎩⎭又.∴11 2.21a a a⎧≥-⎪⎪∴∴≥⎨⎪≤⎪⎩ (3)当a < 0时，{}2121A= B=11 2.1 1.axx x x a a a a⎧≥-⎪⎧⎫⎪<<-<<⊆∴∴≤-⎨⎬⎨⎭⎩⎪≤⎪⎩，，又，A B.综上所述，a = 0，或a ≥2，或a ≤-2.根据子集的定义，把形如A B 的问题转化为不等式组问题，使问题得以解决.在解决 问题的过程中，应首先考虑A= 的情况.在建立不等式的过程中，借助数轴，是解决本题 重要一环，若不等式中含有参数，一般需对参数进行讨论，进而正确解出不等式.例6 已知全集S = { 1，3，x 3 + 3 x2 + 2 x }，集合A = {1，| 2 x - 1 | }，如果C S A ={0}，那么这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由.由C S A ={0}可知0∈S ，但0 A ，所以x 3 + 3 x2 + 2 x = 0，且| 2 x - 1 | =3，从中求出x 即可.评点 评点解法一：∵S = { 1，3，x 3 + 3 x2 + 2 x }，A = {1，| 2 x - 1 | }，C S A ={0}，∴0∈S ，但0 A ，∴32320 1.213x x x x x ++=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，解的 ， 综上知，实数x 存在，且x =-1.由C S A ={0}可知0∈S ，但0 A ，由0∈S 可求x ，然后结合0 A 来验证是否有A S 及是否符合集合中元素的互异性，从而得出结论.解法二：∵C S A ={0}，∴0∈S ，但0 A ，∴ x 3 + 3 x2 + 2 x = 0，即x (x +1)(x +3)=0，∴x =0或x =-1或x =-2.当x =0时，| 2 x - 1 | =1，A 中已有元素1，故不符合互异性，舍去； 当x =-1时，| 2 x - 1 | =3，而3∈S ，符合题意； 当x =-2时，| 2 x - 1 | =5，而5 S ，舍去.例7 已知A={ x | x <-1或x > 5 }，B={ x ∈R | a<x <a + 4 }，若AB ，求实数a 的取值范围.注意到B≠ ，将A 在数轴上保释出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可得a 的取值范围.解：如图-2-6，∵A B ，∴a + 4 ≤-1或a ≥5，∴a ≤-5或a ≥5.本题利用数轴处理一些实数集之间的关系，以形助数直观、形象，体现了数形结合的思想，这在以后的学习中会经常用到，但一定要检验端点值是否能取到，此题的易错点是各端点的取值情况,方法一 数形结合思想 评点例8 设{}{}2A=8150B=10,x x x x ax -+=-=，若B A ，求实数a 的值.集合B 是方程ax -1=0的解集，该方程不一定是一次方程，当a =0时，B= ，此时符合B A .解：集合A={3，5}，当a =0时，B= ，满足B A .∴a =0符合题意. 当a ≠0时，B≠ ，1.x a = ∵B A ，∴综上，a 的值为0或13或15 . 当B A 时，B 中含有参数，而A 是一个确定的非空集合，要特别注意B= 的情况， 考点点击：高考中对子集、真子集、补集以及集合相等的概念考察较多，但难度不大，命题多为填空题.例1 (2010·重庆高考)设，若，则实数.{}{}{}2 U U=0123.A=U 0A=12x x mx ∈+=，，，，若，，ð }{} U 0A=12 mx =，若，，ð则实数m = -3 .解析：{}{}2 U A=12A=030 30 3.x mx m ∴∴+-∴=-，，，，，是方程的根，ð例2 (2010·天津高考)设集合{}{}A=1R B=2R A Bx x a x x x b x -<∈->∈⊆，，，，若， }2R A B x >∈⊆，，若，则实数a ，b 满足 3 a b -≥ .解析：{}{}A=11B=22x a x a x x b x b -<<+>+<-，或，由A B ⊆得12a b +-≤或12a b +-≥，即3a b -≥或3a b --≤，即 3.a b -≥ 例3 (2007·北京高考)记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q .(1)若a =3，求P ；(2)若Q P ，求整数a 的取值范围.方法二 分类讨论思想评点解：{}3(1)0P=13.1x x x x -<-<<+由得 {}{}(2)Q=11,02x x x x -≤=≤≤{}0P=1.Q P 2a x x a a >-<<⊆>由，得又，所以，即a 的取值范围是( 2，+ ∞). 学考相联判断两个集合之间的关系是集合中的重要题型，且是高考热点之一.下面举两例介绍几种常用的方法，帮助你开拓思想.1.对比集合的元素例1 {}{}*A =N8B =2N05,x x x x k k k ∈≤=∈<<已知，，，且那么集合A 与B 的关系为( B A ).解析：因为A={1，2，3，4，5，6，7，8}，B={2，4，6，8}，集合B 中的元素2，4， 6，8都是集合A 中的元素，而集合A 中的元素1，3，5，7不是集合B 中的元素，所以 B A .2.数形结合比较范围例2 已知{}{}2A=y y=26R B=475x x x x x --∈->，，，那么集合A 与B 的关系为( B A ) .解析：对于二次函数{}{}2A=y y=26R B=475x x x x x --∈->，，，，{}4(6)47A=y y 7.4y ⨯---==-∴≥最小，又{}B=3x x >，由图1-2-7知，B A . 3.利用传递性判断例3 已知集合11A B B=Z C=Z 4284k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫⊆=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，，那么集合A 与C 的关系为( A C ).解析：将B 、C 变形得242B=Z C=Z 88k k x x k x x k ⎧+⎫⎧+⎫=∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，可知B C .又A B C ，即A C .例4 已知集合(){}{}22A=4640B=0 6x x m x m -++=，，，若A B ，求实数m 的取值范围.解：{}{}{}{}A B B=0 6 A=A=0A=6A=0 6.⊆∴∅，，，或或或， (1)当A= 时，Δ=(4m +6)2-4×4m 2<0，解得m <－ 34 .(2)当A={0}时，由根与系数的关系得20+0=46004m m +⎧⎨⎩⨯=，，此方程组无解.(3)当A={6}时，由根与系数的关系得26+6=46664m m +⎧⎨⎩⨯=，，此方程组无解.(4)当A={0，6}时，由根与系数的关系得20+6=4606=4m m +⎧⎨⎩⨯，，解得m =0.综上知实数m 的取值范围为m <－34或m =0解决子集问题时，往往易溢漏“ ”和它“本身” ，所以杂解决有关子集的问题时，一定要考虑到两个特殊的子集：“ ”和它“本身” ，并注意单独验证它们是否符合题意.。
1.2子集、全集、补集
4、子集、真子集的一些简单性质： 、子集、真子集的一些简单性质： （1） A⊆A ） ⊆ ⊆ （2） A⊆B， B⊆C ⇒ A⊆C ） ⊆ ， ⊆ （3） A ） B， B ， C⇒A C
例1
(1)写出集合{a,b}的所有子集; (2)写出集合{a,b,c}的所有子集; (3)写出集合{a}的所有子集; (4)写出∅的所有子集. 请归纳出规律来!
若对任意x∊ ， 若对任意 ∊A，有x ∊B，则 A⊆B ， ⊆
若A不是B的子集，则记作：A⊈B（或B ⊉A）
注:图示法表示集合间的包含关系 图示法表示集合间的包含关系
A⊆B的图形语言： ⊆ 的图形语言 的图形语言：
用平面上封闭的 曲线的内部表示 集合这个图形叫 文氏图(韦恩图)
A B
2：集合相等 ：
一、子集
1、子集的概念 、 一般地，对于两个集合A 一般地，对于两个集合A和B，如果集合A中任意一 如果集合A 个元素都是B中的元素，就说集合A包含于集合B 个元素都是B中的元素，就说集合A包含于集合B， 或集合B包含集合A 或集合B包含集合A， 记作：A⊆B（或B⊇A）。 记作： 读作： 包含于B 读作：A包含于B（或B包含A） 包含A 数学语言表示形式：
个元素， 中增加一个元素， 例 2、集合 A 中有 m 个元素，若 A 中增加一个元素， 则它子集的个数将增加 个
同时满足：（ ） 2 3 4 5 ；（2 a ∈ M, 则 例 3、同时满足：（ 1 M ⊆ {1，，，，} ） 6 - a ∈ M 的非空集合 M 有（ A.16 个 B.15 个 ） D.6 个 C.7 个
总结：元素个数与集合子集个数的关系: 总结：元素个数与集合子集个数的关系
集合 集合元素的个数 集合子集个数 0 1 1 2 3 4 … n个元素 个元素 2 4 8 16 … 2n
1.1.2子集、全集、补集
1.1.2子集、全集、补集教学目标：1.了解集合之间包含关系的意义.2.理解子集、真子集的概念3.了解全集的意义,理解补集的概念.教学重点：子集,真子集,全集的概念教学难点:补集的概念教学过程：一、问题情境观察下列各组集合,A 与B 之间具有怎样的关系?如何用语言来表述这种关系?（1）{1,1}A =-,{1,0,1,2}A =-;（2）,A N B R ==;（3）{}A x x =是北京人,{}A x x =是中国人（4）本班所有姓王的同学组成的集合A 与本班所有同学组成的集合B 间的关系.三、建构数学1.上述每组中的集合A,B 具有的关系可以用子集的概念来表述.如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素（若a A ∈,则a B ∈），那么称集合A 为集合B 的子集（subset ），记作B A ⊆或A B ⊇,读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”.B A ⊆还可以用Venn 图表示.2.由定义易知A A ⊆,即:任何一个集合是它本身的子集.不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅对于∅,我们规定:A ∅⊆.即空集是任何集合的子集.3.如果B A ⊆与B A ⊆同时成立,那么,A B 中的元素是一样的,即A B =.4.如果B A ⊆且A B ≠,这时集合A 称为集合B 的真子集（proper subset ）.记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.规定:空集是任何非空集合的真子集.四、数学应用1.例题例题1写出集合{,}a b 的所有子集.例题2下列合组的三个集合中,哪两个集合之间具有包含关系?（1）{2,1,1,2}S =--,{1,1}A =-,{2,2}B =-;（2）,{|0,}S R A x x x R ==≤∈,{|0,}B x x x R =>∈;（3）{|}S x x =为地球人,{|}A x x =中国人,{|}A x x =外国人;问题思考:例题2中每一组的三个集合,它们之间还有一种什么关系?设A S ⊆,由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集（complementary set ）, 记作：S A ð（读作A 在S 中的补集）,即{,}.S A x x S x A =∈∉且ð 补集的Venn 图表示:如果集合S， 全集通常记作U.例题3不等式组210360x x ->⎧⎨-≤⎩的解集为A,U=R,试求A 及U A ð,并把它们分别表示在数轴上. 2.练习第9页1—2--3--4五、回顾小结这节课我们学习了集合之间包含关系及补集的概念,重点理解子集、真子集,补集的概念,注意空集与全集的相关知识,学会数轴表示数集. 六、课外作业第10页2.3.4.提高作业：（1）已知集合}5|{<<=x a x A ，x x B |{=≥}2，且满足B A ⊆，求实数a 的取值范围.（2）设集合{},{},{}A B C ===四边形平行四边形矩形，}{正方形=D ，试用Venn 图表示它们之间的关系.七、教学反思注意学生的自主探索,多让学生犯错误,不要怕学生犯错.。
1.2 子集、全集、补集ppt课件
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分析：主要考查两集合之间的关系的判断能力． 解析：A＝{(x，y)|y＝x－1(x≠－1)}． 即集合A的元素是直线y＝x－1上去掉了点(－1，－2)后剩余的 所有点，而集合B的元素是直线y＝x－1(x∈R)图象上所有的点，显 然有A⊆B，而集合A≠B，故有A B，即A是B的真子集．
栏 目 链 (3)补集的几个特殊性质：A∪∁SA＝S，∁SS＝∅，∁S∅＝S，∁S(∁SA) 接
90° 的菱形}；当S＝{矩形}时，∁SA＝{邻边不相等的矩形}．
＝A.
三、重要结论 (1)空集是任何集合的子集． (2)空集是任何非空集合的真子集． (3)任何一个集合都是它自身的子集．
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5．若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集 合 ， 叫 做 A 在 U 中 的 补 集 ， 记作 ∁ UA ，即 ∁ UA ＝ {x|x∈U ， 且 x∉A}． {1,3} 例1：若U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4,5}，则∁UA＝_________.
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(1)当a＝0时，若A⊆B，此种情况不存在．
2>－1， a 2 当a<0时，若A⊆B，则 1 －a≤2
⇒a<－4.
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－1≥－1， a 2 当a>0时，若A⊆B，则 2 a≤2
⇒a≥2.
综上可知：此时a的取值范围是{a|a＜－4或a≥2}．
(2)当a＝0时，显然B⊆A.
1．如果集合 A中的每一个元素都是集合 B中的元素，那
么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.
例 如 ： A ＝ {0,1,2} ， B ＝ {0,1,2,3} ， 则 A 、 B 的 关 系 是
子集、全集、补集
三、讲解范例
例1 （1）若S={1，2，3，4，5，6}， A={1，3，5}，求CSA （2）若A={0}，求证：CNA=N*
例2 S={三角形}， B={锐角三角形}， 求CSB
例3已知A={0，2，4}， CUA＝ {－1， 1}， CUB＝ {－1，0，2}，求B
例3 已知全集U＝R，集合A＝｛x｜ 1≤2x＋1＜9｝，求CUA。
例4 已知S＝｛x｜－1≤x＋2＜8｝，A ＝｛x｜－2＜1－x≤1｝，
B＝｛x｜5＜2x－1＜11｝，讨论A与 CSB的关系。
例5、设全集U（U Φ），已知集合M，
N，P，且M=CUN，N=CUP，则M与P 的关系是（ ）
M（A）P，M=（CDUP），M（B）P.M=P，（C）
四、练习
1、已知全集U＝｛x｜－1＜x＜9｝，A＝｛x｜1
＜x＜a｝，若A≠ ，则a的取值范围是
（） （A）a＜9 （B）a≤9 （C）a≥9 （D）1＜
a≤9 2、已知全集U＝｛2，4，1－a｝，A＝｛2，a2
－a＋2｝。如果CUA＝ ｛－1｝，那么a的值为 。
3B、＝已C知UA全，集求UCU，B，A是CUU的，子CU集U，。 是空集，
集A的补集（或余集），记作 CS A ，即
CS A ＝ {x | x S,且x A}
二、全集的定义
如果集合S含有我们所要研究的各个 集合的全部元素，这个集合就可以
看作一个全集，全集通常用U表示。
性质：CS（CSA）=A ，CSS=
CS =S
，
蟹一样的屁股更让人猜想。这巨仙有着活像鼓锤似的腿和亮黑色金钵模样的爪子……轻飘的暗白色蛤蟆般的五条尾巴极为怪异，深红色娃娃模样的铅笔水云肚子有种 野蛮的霸气。紫宝石色球杆一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨仙喘息时有种浓黑色舢板般的气味，乱叫时会发出浅灰色木偶样的声音。这个巨仙头上亮黄色水牛一样的 犄角真的十分罕见，脖子上犹如长笛一样的铃铛结实的脑袋感觉空前耀眼和疯狂。月光妹妹笑道：“就这点本事也想混过去！我让你们见识一下什么是雪峰！什么是 女孩！什么是雪峰女孩！”月光妹妹一边说着一边和壮扭公主组成了一个巨大的镊子驴脚鬼！这个巨大的镊子驴脚鬼，身长四百多米，体重二百多万吨。最奇的是这 个怪物长着十分痴呆的驴脚！这巨鬼有着紫红色玉兔样的身躯和水红色细小螺栓造型的皮毛，头上是亮橙色面具般的鬃毛，长着水蓝色馄饨样的舷窗碎花额头，前半 身是粉红色廊柱样的怪鳞，后半身是五光十色的羽毛。这巨鬼长着土黄色馄饨形 态的脑袋和水绿 色面条样的脖子，有着纯黄色蘑菇一样的脸和深黄色水波形态的眉毛 ，配着深绿色琵琶般的鼻子。有着金橙色软盘一样的眼睛，和纯蓝色猎犬样的耳朵，一张金橙色钢管样的嘴唇，怪叫时露出暗绿色树皮形态的牙齿，变态的粉红色门 柱造型的舌头很是恐怖，水红色葫芦一般的下巴非常离奇。这巨鬼有着活像油条形态的肩胛和活似虎尾般的翅膀，这巨鬼长长的金红色篦子造型的胸脯闪着冷光，很 像磨盘般的屁股更让人猜想。这巨鬼有着美如龙虾样的腿和淡绿色龟壳形态的爪子……肥大的亮橙色包子造型的二条尾巴极为怪异，深蓝色土豆形态的弯刀雪川肚子 有种野蛮的霸气。金红色木头般的脚趾甲更为绝奇。这个巨鬼喘息时有种深绿色弹头造型的气味，乱叫时会发出淡黄色蒜头一样的声音。这个巨鬼头上淡橙色娃娃般 的犄角真的十分罕见，脖子上特像春蚕般的铃铛淡紫色猪肺般的脑袋感觉空前正点和新奇！这时那伙校精组成的巨大卵石刀肝仙忽然怪吼一声！只见卵石刀肝仙转动 跳动的犹如长笛一样的铃铛，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突然，整个怪物像巨大的浓黑色种子一样裂开……七条紫红色面条模样的残暴巨 根急速从里面伸出然后很快钻进泥土中……接着，一棵深红色白菜模样的炽热巨大怪芽疯速膨胀起来……一簇簇淡橙色糖块模样的残缺巨大枝叶疯速向外扩张……突 然！一朵碳黑色海带模样的邪恶巨蕾恐怖地钻了出来……随着深黑色花生模样的残疾巨花狂速盛开，无数锅底色果盘模样的受伤花瓣和纯蓝色花蕊飞一样伸向远方… …突然，无数白杏仁色刀峰模样的炽热果实从巨
1.2 子集、全集、补集
1.2 子集、全集、补集▲双基梳理＋自主探究一、双基梳理1．子集的概念（1）子集：如果集合A中的__________元素都是集合B中的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A_____B（或B_____A）；读作“集合A包含于B”或“集合B包含A”。
任何一个集合都是他本身的__________.（2）真子集：如果集合A⊆B，并且_______，我们称集合A是集合B的真子集，记作_______或_________.读作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”。
A ⊆B包含两层含义：_______，_______；2．全集和补集(1) 全集:如果集合S包含我们所要研究的各个集合，那么S就可以看做为一个全集，全集通常记作U。
(2)补集:设A S⊆，由S中____________________元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作_________，其定义式为：_______________，用Venn图表示为：3．空集：对于空集，我们规定A∅⊆，即空集是任何集合的_________.二、自主探究1．能否把“A B⊆”理解成“A是B中部分元素组成的集合”？2．如何区分符号,,∈⊆？3．{}{}0,0,,∅∅的区别与联系．4．怎样用子集的定义理解集合相等的概念？▲师生互动+典例精析类型一：子集个数问题【例1】已知{,}a b A⊆{,,,,}a b c d e，写出所有满足条件的A.【变式训练】1．求满足条件｛ｘ｜ｘ２＋１＝０｝Ｍ⊆｛ｘ｜ｘ２－１＝０｝的集合Ｍ的个数。
类型二：集合的包含关系【例2】设集合2{|40}A x x x=+=，22{|2(1)10,}B x x a x a a R=+++-=∈，若B A⊆，求实数a的取值范围.12【变式训练】2．已知集合2{|230}A x x x =--=，{|10}B x ax =-=，若BA ，求实数a 的值为 .类型三：集合的相等【例3】已知集合A=｛2x,2,y 2｝，B=｛2,x,y ｝,且A=B ，求x,y 的值。
高中数学知识点精讲精析 子集.全集.补集
1.2 子集.全集.补集1.子集的定义：如果集合A 的任一个元素都在集合B 中 则称集合A 为集合B 的子集，记作：A B特别的： 2.真子集的定义：如果A B 并且，则称集合A 为集合B 的真子集.解读:(1)空集是任何集合的子集. 任何一个集合是它本身的子集.空集是任何非空集合的真子集.谈起子集，特别要注意的是空集，记住空集是任何集合的子集，而不是任何集合的真子集,如空集就不是空集的真子集，故空集是任何非空集合的真子集.(2)元素与集合的关系是属于与不属于的关系,用符号""""∉∈表示;集合与集合之间的关系是包含，真包含，相等的关系.3.补集的定义：设A 为S 的子集，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记作：＝{x ∣x ∈S 且x A}，如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，就把S 称为全集.[例1]．下列四个命题：①Φ＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析:空集合不含任何元素,与{0}不同,故(1)错;空集市本身的子集;(3)(4)是正确的.故选C.[例2] 已知集合且B A ，求a 的值. 解析：由已知，得：A ＝{－3，2}， 若BA ，则B ＝Φ，或{－3}，或{2}.若B ＝Φ，即方程ax ＋1＝0无解，得a ＝0. 若B ＝{－3}， 即方程ax ＋1＝0的解是x ＝ －3， 得a ＝ .若 B ＝{2}， 即方程ax ＋1＝0的解是x ＝ 2， 得a ＝ .综上所述，可知a 的值为a ＝0或a ＝，或a ＝ .⊆B A ⊇或A AA ⊆∅⊆⊆B A ≠AC S ∉},01|{},06|{2=+==-+=ax x B x x x A 3121-3121-。
苏教版数学必修一新素养同步讲义：1.2 子集、全集、补集
1．2子集、全集、补集1.了解集合间的包含关系及全集的含义．2.理解补集的概念及含义．3.掌握求子集、补集的方法．[学生用书P4]1．子集的概念及表示自然语言如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集符号语言A⊆B或B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”图形语言(Venn图)2.真子集如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A B或B A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．3．子集、真子集的性质(1)任何一个集合A是它本身的子集，即A⊆A．(2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．4．补集与全集(1)补集：设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作∁S A(读作“A在S中的补集”)，即：∁S A＝{x|x∈S，且x/∈A}．(2)全集：如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常用U表示．5．补集的有关性质(1)∁S(∁S A)＝A；(2)∁S S＝∅；(3)∁S∅＝S；(4)A与∁S A没有公共元素，并且A与∁S A的所有元素“合”在一起，恰好是集合S的全部元素．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)集合{0}是空集．()(2)若A＝B，则A⊆B.()(3)空集是任何集合的真子集．()(4)集合{1}有两个子集．()★★答案★★：(1)×(2)√(3)×(4)√2．已知集合M＝{1}，N＝{1，2，3}，则能够准确表示集合M与N之间关系的是() A．M<N B．M∈NC．N⊆M D．M N★★答案★★：D3．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁U A＝________．★★答案★★：{2，4，7}4．集合{0，1}的子集有________．★★答案★★：∅，{0}，{1}，{0，1}两集合的包含关系[学生用书P5]已知集合A＝{x|x＋1<4，x∈N}，且M A，求集合M.【解】因为集合A＝{x|x<3，x∈N}＝{0，1，2}，又因为M A，所以集合M为：∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．非空集合A的真子集中的元素都是A中的元素，空集一定是非空集合的真子集．1.已知{1，2}⊆A{1，2，3，4}，写出所有满足条件的集合A.解：因为{1，2}⊆A，所以1∈A，2∈A.又因为A{1，2，3，4}，所以集合A中还可以有3、4中的一个，即集合A可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}．补集的运算[学生用书P5](1)设全集U＝{n|n是小于10的正整数}，A＝{n|n是3的倍数，n∈U}，求∁U A；(2)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－3＜x≤2}，求∁U A，∁U B，并求∁U A与∁B的关系．U【解】(1)因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A＝{3，6，9}，所以∁U A＝{1，2，4，5，7，8}．(2)因为A＝{x|x≥－3}，所以∁U A＝{x|x＜－3}．又因为B＝{x|－3＜x≤2}，所以∁U B ＝{x |x ≤－3，或x ＞2}．画数轴如图： 所以，∁U A∁U B .(1)当集合中元素离散时，可借助Venn 图求解；当集合中元素连续时，可借助数轴求解． (2)解题时要注意使用补集的几个性质：∁U U ＝∅，∁U ∅＝U ，A ∪(∁U A )＝U .2.(1)已知全集为R ，集合A ＝{x |x ＜1，或x ≥5}，则∁R A ＝________．(2)已知全集U ，集合A ＝{1，3，5，7}，∁U A ＝{2，4，6}，∁U B ＝{1，4，6}，求集合B .解：(1)结合数轴可得∁R A ＝{x |1≤x ＜5}． 故填{x |1≤x ＜5}．(2)法一：A ＝{1，3，5，7}，∁U A ＝{2，4，6}， 所以U ＝{1，2，3，4，5，6，7}．又∁U B ＝{1，4，6}，所以B ＝{2，3，5，7}． 法二：借助Venn 图，如图所示，由图可知B ＝{2，3，5，7}．由集合间的关系求参数的值或范围[学生用书P6](1)已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a }(a ≥1)．若AB ，求a 的取值范围．(2)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x |mx －3＝0}，且B ⊆A ，求实数m 的集合. 【解】 (1)若AB ，由图可知，a ＞2.故所求的a 的取值范围是a ＞2. (2)由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. 所以集合A ＝{1，3}．①当B ＝∅时，此时m ＝0，满足B ⊆A .②当B ≠∅时，则m ≠0，B ＝{x |mx －3＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m .因为B ⊆A ，所以3m ＝1或3m ＝3，解之得m ＝3或m ＝1.综上可知，所求实数m的集合为{0，1，3}．由集合的包含关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．一般地，(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．3.已知集合A＝{1，3，－x3}，B＝{x＋2，1}，是否存在实数x，使得B 是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．解：因为B是A的子集，所以B中元素必是A中的元素，若x＋2＝3，则x＝1，符合题意．若x＋2＝－x3，则x3＋x＋2＝0，所以(x＋1)(x2－x＋2)＝0.因为x2－x＋2≠0，所以x＋1＝0，所以x＝－1，此时x＋2＝1，集合B中的元素不满足互异性．综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}．1．对子集概念的两点说明(1)“A⊆B”的含义：若x∈A，则能推出x∈B.(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.2．子集与真子集的区别(1)从定义上：集合A是集合B的子集包括A是B的真子集和相等两种情况，真子集是子集的特殊形式．(2)从性质上：空集是任何集合的子集，但不是任何集合的真子集；空集是任何非空集合的真子集．(3)从符号上：A⊆B指A B或A＝B.A＝A，A⊆A，∅⊆A都是正确的，A A，∅A 是不正确的．3．关于空集的两点说明(1)空集首先是集合，只不过空集中不含任何元素．注意∅和{∅}是有区别的，∅是不含任何元素的集合，而{∅}集合中含有一个元素∅.(2)规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．因此遇到诸如A ⊆B 或A B 的问题时，务必优先考虑A ＝∅是否满足题意． 4．理解补集应关注三点(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 是全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(2)∁U A 包含三层意思：①A ⊆U ；②∁U A 是一个集合，且(∁U A )⊆U ；③∁U A 是由U 中所有不属于A 的元素构成的集合．(3)若x ∈U ，则x ∈A 或x ∈(∁U A )．已知集合A ＝{x |x 2－1＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若B A ，求实数a 的取值集合．[解] 因为A ＝{－1，1}，B A ，所以当B ＝∅时，a ＝0；当B ≠∅时，由x ＝1a ∈A ，得1a ＝－1或1a ＝1，即a ＝－1或a ＝1.故a 的取值集合为{－1，0，1}．(1)错因：一是忽视B ＝∅，这一情况；二是未用集合表示a 的取值．(2)求解集合与集合之间的关系问题时，要明确空集是否是所讨论的集合的子集，否则容易出错．1．已知集合A ＝{－1，0，1}，则下列关系中正确的是( ) A ．A ∈A B ．0A C ．{0}∈AD ．∅A解析：选D.“∈”用来表示元素与集合之间的关系，故A ，C 错误，“”用来表示集合与集合之间的关系，故B 错误，∅是任一集合的子集，是任一非空集合的真子集，故D 正确．2．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．0，1或－1解析：选D.由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，知a ＝1或a ＝－1.3．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，则∁U A ＝________．解析：因为A ＝{1，2}，所以∁U A ＝{3，4，5}． ★★答案★★：{3，4，5}4．已知集合A ＝{x |x －3＞0}，B ＝{x |2x －5≥0}，则这两个集合的关系是________． 解析：A ＝{x |x －3＞0}＝{x |x ＞3}，B ＝{x |2x －5≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥52.结合数轴知A B .★★答案★★：AB[学生用书P79(单独成册)])[A 基础达标]1．已知集合A ＝{x |x 2－1＝0}，则下列式子表示正确的有( ) ①1∈A ；②{－1}∈A ；③∅⊆A ；④{1，－1}⊆A . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选C.A ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1，1}，故①③④正确，②不正确． 2．满足{a }⊆M {a ，b ，c ，d }的集合M 共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．15个解析：选B.依题意a ∈M ，且M{a ，b ，c ，d }，因此M 中必含有元素a ，且可含有元素b ，c ，d 中的0个、1个或2个，即M 的个数等于集合{b ，c ，d }的真子集的个数，有23－1＝7(个)．3．已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |x >1}，则集合A 的补集∁U A ＝( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x <1} C ．{x |－3≤x ≤1}D ．{x |－3≤x <1}解析：选C.因为U ＝{x |x ≥－3}，A ＝{x |x >1}， 如图所示：所以∁U A ＝{x |－3≤x ≤1}．4．设集合M ＝{1，2}，N ＝{a 2}，那么( ) A ．若a ＝1，则N ⊆M B ．若N ⊆M ，则a ＝1C ．若a ＝1，则N ⊆M ，反之也成立D ．a ＝1和N ⊆M 成立没有关系解析：选A.显然a ＝1时，集合N ＝{1}，此时N ⊆M ；若N ⊆M ，则a 2可以是集合M中的元素1或2，此时a 可以取值1，－1，2，－ 2.即若N ⊆M ，则a ＝1不成立．5．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧x |x ＝k 4＋12， }k ∈Z ，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．MND ．M 与N 没有相同元素解析：选C.因为k 2＋14＝14(2k ＋1)，k 4＋12＝14(k ＋2)，当k ∈Z 时，2k ＋1是奇数，k ＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以MN .选C.6．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |1＜x ＜m }(m ＞1)，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为B ⊆A ，由图可知m ≤4，又因为m ＞1，所以实数m 的取值范围是1＜m ≤4. ★★答案★★：1＜m ≤47．已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，所以方程x 2－x ＋a ＝0有实根， 所以Δ＝(－1)2－4a ≥0，a ≤14.★★答案★★：a ≤148．已知全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ＜b }，∁U A ＝{x |x ＜1，或x ≥2}，则实数b ＝________． 解析：因为∁U A ＝{x |x ＜1，或x ≥2}， 所以A ＝{x |1≤x ＜2}．所以b ＝2. ★★答案★★：2 9．写出满足条件∅M{0，1，2}的所有集合M .解：因为∅M{0，1，2}，所以M 为{0，1，2}的非空真子集，M 中的元素个数为1或2. 当M 中只有1个元素时，可以是{0}，{1}，{2}；当M 中含有2个元素时，可以是{0，1}，{0，2}，{1，2}． 所以所求集合M 为{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}.10.已知a ∈R ，x ∈R ，A ＝{2，4，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a }，C ＝{x 2＋(a ＋1)x －3，1}，求：(1)使A ＝{2，3，4}的x 的值； (2)使2∈B ，B ⊆A 的a ，x 的值；(3)使B ＝C 的a ，x 的值．解：(1)由题意，知x 2－5x ＋9＝3，解得x ＝2或x ＝3.(2)因为2∈B ，B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝x 2＋ax ＋a ，3＝x 2－5x ＋9. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，a ＝－23或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，a ＝－74.(3)因为B ＝C ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（a ＋1）x －3＝3，x 2＋ax ＋a ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，a ＝－6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，a ＝－2. [B 能力提升]1．设集合A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，B ＝{x |x <b －2，或x >b ＋2}．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥3解析：选D.根据题意知A ⊆B ，作出如图所示的数轴，所以有b ＋2≤a －1或b －2≥a ＋1，解得a －b ≥3或a －b ≤－3，即|a －b |≥3.2．若集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0}有且仅有2个子集，则实数a 的值为________． 解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．①当a ＝0时，方程化为2x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意． ②当a ≠0时，由Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1， 所以a ＝±1.此时A ＝{－1}或A ＝{1}，符合题意． 综上，a ＝0或a ＝±1. ★★答案★★：0或±13．已知全集U ＝{x |x ≤5，且x ∈N }，A ＝{x |x 2－5x ＋a ＝0，x ∈U }，求集合∁U A . 解：因为U ＝{0，1，2，3，4，5}， 在A 中，x ∈U ，故x＝0，1，2，3，4，5分别代入x2－5x＋a＝0.得a＝0或a＝4或a＝6，故有如下结果．当a＝0时，A＝{0，5}，∁U A＝{1，2，3，4}；当a＝4时，A＝{1，4}，∁U A＝{0，2，3，5}；当a＝6时，A＝{2，3}，∁U A＝{0，1，4，5}；当a≠0，4，6时，A＝∅，∁U A＝U.4．(选做题)设全集U＝{3，6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|，6}，∁U A＝{5}，求实数m. 解：因为∁U A＝{5}，所以5∈U但5∉A，所以m2－m－1＝5，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，此时U＝{3，5，6}，A＝{3，6}，满足∁U A＝{5}；当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，此时U＝{3，5，6}，A＝{6，7}，不满足A⊆U.综上可知实数m的值为3.。
子集、全集、补集
您一定愿意静静地听这个生命说：'我愿意静静地听您说话…… '我从不愿把您想像成一个思想家或散文家，您不会为此生气吧。 "也许再过好多年之后，我已经老了，那时候，我相信为了年轻时读过的您的那些话语，我 要用心说一声：谢谢您!" 信尾没有落款，只有这一行字："生
命本来没有名字吧，我是，你是。"我这才想到查看信 封，发现那上面也没有寄信人的地址，作为替代的是"时光村落"四个字。我注意了邮戳， 寄自河北怀来。
从信的口气看，我相信写信人是一个很年轻的刚刚长大的女孩，一个生活在穷城僻镇的女相遇的文章，也许是这个杂志转载的 ，也许是她记错了刊载的地方，不过这都无关紧要。令我感动的是她对我的文章的读法，不 是从中寻找思想，也不是作为散文欣赏，而是一个生命静静地倾听另一个生命。所以，我所 获得的不是一个作家的虚荣心的满足，而是一
4、 集合 Ｕ =｛ （x，y ） |x∈ ｛ 1,2｝ ,y∈ ｛1,2｝｝ ,
Ａ=｛（x，y）|x∈N*,y∈N*,x+y=3｝，求 CUA.
卡尔的话：肉体是奇妙的，灵魂更奇妙，最奇妙的是肉体居然能和灵魂 结合在一起。
四 动与静
喧哗的白昼过去了，世界重归于宁静。我坐在灯下，感到一种独处的满足。 我承认，我需要到世界上去活动，我喜欢旅行、冒险、恋爱、奋斗、成功、失败。日子过得
平平淡淡，我会无聊，过得冷冷清清，我会寂寞。但是，我更需要宁静的独处，更喜欢过一 种沉思的生活。总是活得轰轰烈烈热热闹闹，没有时间和自己待一会儿，我就会非常不安， 好像丢了魂一样。 我身上必定有两个自我。一个好动，什么都要尝试，什么都想经历。另一个喜静，
对一切加 以审视和消化。这另一个自我，如同罗曼·罗兰所说，是"一颗清明宁静而非常关切的灵魂 "。仿佛是它把我派遣到人世间活动，鼓励我拼命感受生命的一切欢乐和苦难，同时又始终 关切地把我置于它的视野之内，随时准备把我召回它的身边。即使我在世上遭受最悲惨的灾 难和失
1.2 子集、全集、补集
1．2 子集、全集、补集第一课时一、教学目标1．理解子集、真子集的概念及其符号“”“⊂”的含义．2．了解空集、全集的意义，理解补集的概念。
3．了解集合间的包含、相等关系的意义。
4．会判断两集间的“包含”“相等”或“互补”的关系，并用符号及图形（韦恩图或数轴）准确地表示出来，培养数形结合的能力．5．能写出已知集合的所有子集或真子集．培养观察与逻辑划分能力．6．通过阐明子集、全集、补集分别现实生活中“部分”“全体”“剩余”概念在数学中反映，引导学生感悟任何抽象的数学概念都来源于真实的客观世界，为他们今后确立科学的世界观奠定基础．二、教学重点、难点1．重点：子集、补集的概念与性质．解决方法：具体集合关系与抽象概念和图形表示相结合．2．难点：弄清“元素”与“子集”“从属关系”与“包含关系”的区别并正确使用相关的表示符号．三、教与学过程设计（一）设置情境师：前两节课我们已经学习了许多关于集合的知识，如：集合与元素的定义，集合中元素的特点、集合的分类、集合的表示方法等，显然这些知识仅局限于某个集合自身，从这节课起，我们将跳出某个集合的“小圈子”，把讨论的重点转到两个或几个集合的关系上来。
（二）引入新课1．子集的定义与性质我们在讨论集合中元素的无序性时，已知道{}321，，与{}123，，是同一个集合，也就是说{}{}123321，，，，=，显然两个集合之间是存在着“相等”关系的。
同学们还能举出一些集合相等的实例吗？生：{}{}938,7,6,5,4<<∈=x N x 。
{}{}Z ,14Z ,12∈±==∈+=m m y y n n x x 。
……师：如果我们引申到一般情况，即有A 、B 两个集合是相等的，同学们能否从元素的角度描述出集合B A =的含义呢？生：（举手回答）如果集合A 与B 中的元素完全相同，那么这两个集合相等。
（由教师板书）师：完全正确。
显然，当集合B A =时，用图示法表示A 、B 两集的关系的话，示意A 、B 两集的“封闭曲线”是完全重合的。
1.2子集 全集 补集
例6 已知A= {1,－1 }, － 非空集合B={ x | x2－2ax+b=0}, 且B ⊆A. 非空集合 求实数a 的值 的值. 求实数 , b的值
小结 一元二次方程中根与系数的关一 定要熟练掌握
例7 A= {x | x<4 },B={ x | 1<x<3a－2 }, － B ⊆A,求实数 的取值范围 求实数a的取值范围 求实数 的取值范围.
小结
当B= ∅时, B⊆ A一定成立. ⊆ 一定成立
小结： 小结：本节我们主要研究了 集合的子集全集补集的含义, 集合的子集全集补集的含义 其中集合与集合之间的关系 是本节的重点也是本节的难 我们必须熟练掌握. 点,我们必须熟练掌握 我们必须熟练掌握
作业 P9 4 , P10 3,4 , P17 3
s ∅＝S
.
Байду номын сангаас
S A
B
写出{ 的所有子集； 例3 (1)写出 a1 }的所有子集； 写出 的所有子集 (2)写出 a1 , a2 }的所有子集 写出{ 的所有子集. 写出 的所有子集
小结
一个n元集合的子集个数有 一个 元集合的子集个数有2n个. 元集合的子集个数有
已知集合S＝ 例4 已知集合 ＝R , A＝{y| y=x2, x ∈R }, ＝ 试写出 s A .
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问题2 如何将上述文字语言转化为数学 问题 符号语言? 符号语言 对任意x∈ A,都有 ∈B , 则A⊆B. 对任意 ∈ 都有x ⊆ 都有 问题3 有什么区别? 问题 ∈和⊆有什么区别 元素与集合之间是属于关系;集合与 元素与集合之间是属于关系 集合与 集合之间是包含关系. 集合之间是包含关系
正确吗? 例1 ①A⊆A正确吗 ⊆ 正确吗 能否同时成立? ②A⊆B和B ⊆A能否同时成立 ⊆ 和 能否同时成立 同时成立,意味着什么 ③A⊆B和B ⊆A同时成立 意味着什么 ⊆ 和 同时成立 意味着什么?
1.2 子集、全集、补集
2.全集与补集 全集与补集
设S是一个集合, A是S的一个子集(即A ⊆ S ), 由S中所有不属于A的元素组成的集合, 叫做 S中子集A的补集(或余集), 记作Cs A, 即
CS A = {x x ∈ S , 且x ∉ A}.
用图形表示为: 用图形表示为 S CSA A
例如,如果 例如 如果S={1,2,3,4,5,6}, A={1,3,5}, 那么 如果 CSA= {2,4,6}
规定:空集是任何集合的子集 规定 空集是任何集合的子集. 空集是任何集合的子集 即对于任何一个集合A 有 即对于任何一个集合 ,有 对于两个集合A与 如果集合 如果集合A的任何一个元 对于两个集合 与B,如果集合 的任何一个元 素都是集合B的元素 同时集合B的任何一个 的元素,同时集合 素都是集合 的元素 同时集合 的任何一个 的元素,就说集合 等于集合 元素都是集合 A的元素 就说集合 等于集合 的元素 就说集合A等于 B,记作 = B. 记作A 记作 (1)对于任何一个集合 , A⊆ A 对于任何一个集合A 对于任何一个集合 . 任何一个集合是它本身的子集. 即任何一个集合是它本身的子集 (2)对于集合A, B, 如果A ⊆ B,同时B ⊆ A,
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的 如果集合 含有我们所要研究的各个集合的 全部元素,这个集合就可以看作一个全集,全集 这个集合就可以看作一个全集 全部元素 这个集合就可以看作一个全集 全集 通常用U表示 表示. 通常用 表示 例如,在实数范围内讨论问题时 可以把实数集 例如 在实数范围内讨论问题时,可以把实数集 在实数范围内讨论问题时 R看作全集 那么 有理数集 的补集 UQ是 看作全集U,那么 有理数集Q的补集 看作全集 那么,有理数集 的补集C 是 全体无理数的集合. 全体无理数的集合
1.2 子集、全集、补集重点
1.2 子集、全集、补集教学目标:(1理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念;(2了解全集、空集的意义,(3掌握有关子集、全集、补集的符号及表示方法,会用它们正确表示一些简单的集合,培养学生的符号表示的能力;(4会求已知集合的子集、真子集,会求全集中子集在全集中的补集;(5能判断两集合间的包含、相等关系,并会用符号及图形(文氏图准确地表示出来,培养学生的数学结合的数学思想;(6培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力.教学重点:子集、补集的概念教学难点:弄清元素与子集、属于与包含之间的区别教学用具:幻灯机教学过程设计(一导入新课上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识.【提出问题】(投影打出已知 , , ,问:1.哪些集合表示方法是列举法.2.哪些集合表示方法是描述法.3.将集 M 、集从集 P 用图示法表示.4.分别说出各集合中的元素.5.将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来.将集 N 中元素 3与集M 的关系用符号表示出来.6.集 M 中元素与集 N 有何关系.集 M 中元素与集 P 有何关系.【找学生回答】1.集合 M 和集合 N ;(口答2.集合 P ;(口答3.(笔练结合板演4.集 M 中元素有-1, 1;集 N 中元素有-1, 1, 3;集 P 中元素有-1, 1.(口答5. , , , , , , , (笔练结合板演6.集 M 中任何元素都是集 N 的元素.集 M 中任何元素都是集 P 的元素.(口答【引入】在上面见到的集 M 与集 N ; 集 M 与集 P 通过元素建立了某种关系, 而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现,本节将研究有关两个集合间关系的问题.(二新授知识1.子集(1 子集定义 :一般地,对于两个集合 A 与 B ,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们就说集合 A 包含于集合 B ,或集合 B 包含集合 A 。
1.2子集、全集、补集
(6) ≠
{-1,1}. (× )
例2、下列三组的集合中，哪两个集合之间 具有包含关系？ (1)S={-2,-1,1,2},A={-1,1}，B={-2,2}; (2)S=R,A={x|x≤0,x∈R},B={x|x>0,x∈R}; (3)S={x|x为地球人}，A={x|x为中国人}， B={x|x为外国人}。 解：在(1)、(2)、(3)中都有A S，B S 。 如图所示。 A B 思考:该例中每一组的三 个集合之间有何关系？ S
1 2
例3、不等式组 { ＝R，试求A及CUA，并把它们分别表示在 数轴上。 1
在实数范围内讨论集合时，R常可看成 一个全集U。
2x-1>0 3x-6 0 的解集为A，U
2
X
1 2
2
X
例4.(1).设全集S 2， 3，a 2a 3 ,
2
A | a 1 |,2, C S A 5, 求实数a的值.
如果AB，且A≠B，这时集合A称为集合B的 A。 真子集，记为A ≠ B，或B ≠
练习:判断下列表示是否正确:
(1)a {a}; (3){a,b} {b,a};
(× )
(2) {a} ∈{a,b};
(4){-1,1} ≠ {-1,0,1}
(× )
(√)
(× )
(5)0;
(× )
1.2 子集、全集、补集
一、先热热身
观察下面两个集合，指出其元素、集合的表 示方法、集合的分类，并考虑两个集合间有 什么关系。 (1) A={-1,1}, B={-1,0,1,2} (2) A={x|x为深圳人}，B={x|x为中国人} (3) A=N, B=R
§1_1_2子集、全集、补集
§1.1.2子集、全集、补集教学过程：（一）问题情景【问题1】：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？让学生自由发言，教师不要急于做出判断。
而是继续引导学生；欲知谁准确，让我们一起来观察.研探.【问题2】：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？如何用语言来表达这种关系？ ⑴}01|{2=+=x x A ,}0|{2<=x x B ⑵}2,1{=A ,}023|{2=+-=x x x B⑶{2,4,6},{6,4,2}E F ==（二）形成概念1、 两个集合相等定义---------如果两个集合所有的元素完全相同(即A 中元素都是B 的元素, B 中元素也都是A 的元素),则称这两个集合相等.记作A=B观察下面几个例子：⑴{}{}1,1,1,0,1,2A B =-=-⑵}|{},|{是三角形是正三角形x x B x x A == ⑶}3,2,1{=A ，}3,1,2{=B ⑷}2|{},3|{≥=>=x x B x x A【问题3】你能发现集合A 中的元素与集合B 中的元素有什么关系了吗？如何用语言来表达这种关系？2.子集⑴ 定义-----如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集, 记作：()A B B A ⊆⊇或读作：集合A 包含于集合B(或集合B 包含集合A).【问题4】：你能举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例，并用Venn 图表示吗？【问题5】：与实数中的结论“若,,a b b a a b ≥≥=且则”相类比，在集合中，你能得出什么结论? 教师引导学生通过类比，思考得出结论：⑵ 性质【问题6】一个集合能够是它自己的子集吗?【问题7】空集是任何集合的子集吗?空集是空集的子集吗?【问题8】对于集合 A ，B ，C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么A 与C 的关系如何呢?⑵性质：①若,,A B B A A B ⊆⊆=且则.②任何一个集合是它自身的子集即A ⊆A③空集是任何集合的子集.即对于任何一个集合A ，有Φ⊆A. ④对于集合 A ，B ，C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么A ⊆C 。
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1.2 子集、全集、补集
编写：黄爱华
审核：吴成
教学目标
1. 理解子集、真子集概念；
2. 会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系；
3. 了解全集的含义，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
4. 通过师与生、生与生之间的互相交流，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神.
重点难点
集合的含义及表示方法.
1. 子集的概念，全集、补集的概念；
2. 元素与子集，属于与包含间的区别；在全集中求补集. 课前自主学习 一、导入新知
问题一：观察下列两组集合，说出集合A 与集合B 的关系(共性)
⑴{}{}1,1,1,0,1,2A B =-=-； ⑵,A N B R ==；
⑶{}{}
,|A x x B x x ==｜为北京人为中国人
导出子集的概念. 1. 子集的概念
如果 ，那么集合A 称为集合B 的子集，记作 ，读作 .
2. 真子集的概念
如果 ，并且 ，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作 ，读作 .
问题二：每组的两个集合中还有那些关系？ 1. 全集的概念：
如果 ，这时S 可以看成一个全集，全集通常记作 . 2. 补集的概念
设 ，由 的集合称为S 的子集A 的补集，记作 ，读作 ，即 .
Venn 图：
课堂合作探究 二、合作探究
问题一： ⑴根据子集的定义，你能用图形来表示A 、B 之间的关系吗？ ⑵A B ⊆与B A ⊆能否同时成立？
问题二：通过对子集、补集概念的理解，回答： ⑴,A B B C ⊆⊆，则 ；
⑵,
U U
A B B ==痧 ；
⑶∅ A (A 为非空集合)
三、典例导析 例1：⑴写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示
⑵判断下列写法是否正确
①A Φ⊆ ②A ΦÜ ③A A ⊆ ④A A Ü
方法提炼：稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨.
例2：写出集合{},a b 的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集？
变式：写出集合{}1,2,3的所有子集.
延伸拓展：集合{}12,,,n a a a 的所有子集的个数是多少？
例3.：⑴已知{}{
}|,|U x x Q x x ==是实数是有理数，求U Q ð；
⑵已知{}{}|,|U x x A x x ==是三角形是直角三角形，求U
A ð.
例4. 若{}|5U x x =<，不等式组210
360
x x ->⎧⎨-⎩≤的解集为A ，试求A 及U A ð.
四、反馈练习 课本 P9 1～4
课后反思提高
课后作业
1. 若{}{}0,2,4,2,4,8,,A B C A C B ==⊆⊆，则满足条件的集合C 为 . (写出所有可能)
2. 设{}|5,A x x x N =∈≤，{}|16,B x x x N =<<∈，则A B ð= .
3. {}
2
|40,A x x x x R =+=∈，则A 的所有子集是 .
4. 已知全集,U A B Ü，则U A ð与U B ð的关系是 .
5. 设{}{}
2
1,4,,1,M m N m ==，且N M ⊆，求集合M 与N .
6. 已知{}{}|0,,|,M x x x R N x x a x R =>∈=>∈. ⑴若M N ⊆，求a 的取值范围； ⑵若M N ⊇，求a 的取值范围； ⑶若R R
M N Ü痧，求a 的取值范围.
7. 设{}
{},|13,|1U R P x x x B x m x m ===<+或≤≥≤.记所有满足U B P ⊆ð的m 组成的集合为M ，求U M ð.
8. 已知集合{}
{}2
|60,,|10,P x x x x R S x ax x R
=+-=∈=+=∈，若S P ⊆，求实数a 的取值集合.。