江苏省南京市2014-2015学年度2015届高三第二学期期期初开学统考数学试题(扫描版含答案)
高三2014-2015学年度第二次联考(参考答案)(4月28日定稿)
江西省新八校2014-2015学年度第二次联考高三数学理科试题卷参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
ACADA BCDAD CA二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上.13.7114．023=+-y x 15.π10 16．),21[+∞-三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请把答案做在答题卡上.17.解：（1）()1cos(2)3cos 21sin 23cos 212sin(2).23f x x x x x x ππ⎡⎤=-+-=+-=+-⎢⎥⎣⎦----3分 又,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则32326πππ≤-≤x ，故当232x ππ-=， 即512x πα==时，max () 3.f x = -------------------------------------------------------------------------------6分（2）由（1）知123A ππα=-=，由2sin sin sin B C A =即2bc a =，又222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-， 则22b c bc bc +-=即2()0b c -=，故0.b c -= c b =∴ 又123A ππα=-=所以三角形为等边三角形. 12分18.解：（1）依题意可得，任意抽取一位市民会购买口罩的概率为41， 从而任意抽取一位市民不会购买口罩的概率为43． 设“至少有一位市民会购买口罩”为事件A ，则，()6437642714313==⎪⎭⎫⎝⎛=--A P ，故至少有一位市民会购买口罩的概率6437． --------------------- 5分 （2）X 的所有可能取值为：0,1，2，3，4．-------------------------------6分()25681430404=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，()642725610841431314==⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ()1282725654414322224==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ，()6432561241433334==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ，()25614144=⎪⎭⎫⎝⎛==X P 所以X 的分布列为：X0 1 234P256816427 12827 643 2561 ---------------------------------------------------------------- 10分 ()125614643312827264271256810=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 12分 或⎪⎭⎫ ⎝⎛414，B ~X ，1==∴np EX -----------------------------12分19．【解析】【方法一】（1）证明：由题意知23,D C = 则222B C D B D C B D D C+∴⊥=，， P D A B C D B D P D P D C D D ⊥∴⊥= 面而，，，..B D P DC P C PD C B D P C ∴⊥∴⊥ 面在面内，（6分） （2）过E 作EH CD ⊥交CD 于H ，再过H 作HN ⊥AB 交AB 于N ，连结EN ，则AB EN ⊥，故ENH ∠为所求角。
2014-2015学年江苏省南京市高一(下)期末数学试卷
整数 ，
3 若 cn=
从数列{cn}中取出若
奇数
偶数
均 少于两 ， 将取出的 按照某一 序排列后构成等差数列． 等差数列的 求所有满足条件的等差数列．
数最大时，
2014-2015 学
参考答案 试题解析
江
省南京市高一
小题 5 ，共 70
期
数学试卷
位置
一、填空题 ． 1． 等式
大题共 14 小题，
．请把答案填写在答题卡相
考点 点到直线的距离公式． 题 直线 圆． 析 把已知条件 入点到直线的距离公式，化简 得． 解答 解 由题意结合点到直线的距离公式 得 点 P 3，﹣2 到直线 l 3x+4y﹣26=0 的距离 d= 故答案 点评 = =5．
5 题考查点到直线的距离公式，属基础题．
5．函数 y=x+
x ﹣1 的最小值
0 的解集
﹣1，0
．
考点 题 析 解答 故答案 点评
其他 等式的解法． 等式的解法及 用． 等式 解 等式 0，即 x x+1 0，即 x x+1 0，由 求得它的解集． 0，求得﹣1 x 0，
﹣1，0 ． 题 要考查 式 等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题． 16 ．
2．数列{an}是等比数列，若 a3=1，a5=4，则 a7 的值
a，b，c．若 bcosC+ccosB=csinA，则
的最
12．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径 3 cm ．
13．已知 x 0，y 0，
n
xy=x+2y，则 x+y 的最小值
* *
．
14．已知 an=3 ，bn=3n，n∈N ，对于 一个 k∈N ，在 ak ak+1 之间插入 bk 个 3 得到一个 数列{cn}．设 Tn 是数列{cn}的前 n 和，则所有满足 Tm=3cm+1 的 整数 m 的值 ．
江苏省南京市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题(附答案)(2021年整理)
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南京市2014－2015学年度第一学期期末学情调研测试卷高一数学2015.01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题)、解答题（第15题～第20题)两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．2．答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答．题卡．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答．题卡．．相应位置．．．．上．1．已知集合A＝{0，2,4，6｝,B＝｛x｜3＜x＜7},则A∩B＝▲．2．函数y＝sin(ωx－错误!）(ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为▲．3．函数f(x)＝2－x的定义域为▲．4．设向量a＝(1,－2），b＝(4，x)，若a∥b，则实数x的值为▲．5．已知f(x）＝错误!则f（f（1))的值为▲．6．在平面直角坐标系中，已知角错误!的终边经过点P,且OP＝2（O为坐标原点），则点P的坐标为▲．7．已知f(x）是定义域为R的偶函数,且x≥0时，f(x)＝3x－1，则f（－1）的值为▲．8．求值:2log212－log29＝▲．9．函数f（x)＝A sin(ωx＋φ）(A＞0,ω＞0，0分图象如图所示，则φ的值为▲．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，＋∞）上是单调减函数．若f（2x＋1）＋f(1）＜0，则x11．已知函数y＝log a(错误!x＋b）（a，b为常数，其中a＞0如图所示,则a＋b的值为▲．（第11题图）12．化简：错误!＝ ▲ ．13．已知在△ABC 中,∠A ＝错误!，AB ＝2，AC ＝4,错误!＝错误!错误!,错误!＝错误!错误!,错误!＝错误!错误!，则错误!·错误!的值为_______．14．若f (x )＝x (|x ｜－2）在区间[－2，m ］上的最大值为1，则实数m的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分8分）已知cos ＝－错误! ,0＜＜．（1)求tan 的值；（）求sin （α＋错误!)的值．16．（本小题满分8分）已知向量a ,b 满足|a ｜＝2，|b ｜＝1，a ，b 的夹角为120°． (1)求a ·b 的值；（2）求向量a －2b 的模．17．（本小题满分10分）ABCDE（第13题图）F已知向量a＝（cosα,sinα),b＝(cosβ，－sinβ)．（1)若α＝错误!，β＝－错误!，求向量a与b的夹角；（2)若a·b＝错误!，tanα＝错误!，且α，β为锐角，求tanβ的值．18．（本小题满分10分）如图所示，某住宅小区有一个矩形休闲广场ABCD，其中AB＝40 米，BC＝30 米，根据小区业主建议，需将其扩大成矩形区域EFGH，要求A、B、C、D四个点分别在矩形EFGH的四条边(不含顶点)上．设∠BAE＝θ,EF长为y米．（1）将y表示成θ的函数；（2）求矩形区域EFGH的面积的最大值．19．（本小题满分10分）已知函数f(x）＝错误!sin x＋cos x．(第18题图)A BC DEGHθ（1)求f（x)的单调递增区间；（2）设g(x）＝f（x)cos x,x∈［0，错误!］,求g(x)的值域．20．(本小题满分12分)若函数f（x)和g(x)满足：①在区间[a,b]上均有定义;②函数y＝f(x）－g（x)在区间［a，b］上至少有一个零点，则称f（x）和g(x）在[a，b］上具有关系G．（1)若f（x)＝lg x，g（x）＝3－x,试判断f（x）和g（x)在[1，4］上是否具有关系G,并说明理由；（2）若f（x)＝2|x－2｜＋1和g(x)＝mx2在[1，4]上具有关系G，求实数m的取值范围．。
江苏省南京市高三数学下学期期初试卷(含解析)
江苏省南京市2015届高三下学期期初数学试卷二、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=．2．（5分）由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a的值是．3．（5分）底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．4．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值为．5．（5分）已知△ABC中，∠B=45°，AC=4，则△ABC面积的最大值为．（5分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．6．7．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．8．（5分）已知平面上四个互异的点A、B、C、D满足：（﹣）•（2﹣﹣）=0，则△ABC的形状是．9．（5分）设x，y均为正实数，且=1，则xy的最小值为．10．（5分）在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α+cos2β=1．类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=．11．（5分）已知点P（m，4）是椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为．12．（5分）若函数f（x）=﹣ln（x+1）不存在零点，则实数k的取值范围是．13．（5分）函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，则实数a的取值范围为．14．（5分）设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；并判定函数f（x）单调性（不必证明）．（2）若对于任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）=2cos（x）（0≤x≤5），点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．（1）求点A、B的坐标以及•的值（2）设点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，求sin（﹣2β）的值．17．（14分）如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B﹣DEG的体积．18．（16分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获得，国家将给予补偿．（Ⅰ）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？19．（16分）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M，证明：△MBP为钝角三角形．20．（16分）已知函数f（x）=x2+alnx．（1）若a=﹣1，求函数f（x）的极值，并指出极大值还是极小值；（2）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的最值；（3）若a=1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=x3的图象下方．（理科选做）加试题（每题10分，共20分）选修4-2【矩阵与变换】21．设矩阵A=，矩阵A属于特征值λ1=﹣1的一个特征向量为α1=，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=，求ad﹣bc的值．23．如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD﹣A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB=t（0＜t＜2），连接A1B，A1C，A1D1（1）当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B﹣A1C﹣D的值；（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．24．设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n+1=S n+λ（n∈N*，λ为常数），a1=2，a2=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求所有满足等式=成立的正整数m，n．选修4-4：【坐标系与参数方程】22．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．江苏省南京市2015届高三下学期期初数学试卷参考答案与试题解析二、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=4．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：先化简集合A，然后根据子集的定义求出集合B的取值范围，总而求出所求．解答：解：A={x|log2x≤2}={x|0＜x≤4}而B=（﹣∞，a），∵A⊆B∴a＞4即实数a的取值范围是（4，+∞），故答案为：4点评：本题属于以对数不等式为依托，考查集合子集的基础题，也是2015届高考常会考的题型．2．（5分）由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a的值是1．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由题意知“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，由二次函数的性质得△＜0，求出m的范围，结合题意求出a的值．解答：解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，∴“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1，故a的值是1．故答案为：1．点评：本题考查了二次函数恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围．3．（5分）底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：由已知中正三棱锥的底面边长为2m，高为1m，我们易出求棱锥的侧高，进而求出棱侧面积和底面面积即可求出棱锥的全面积．解答：解：如图所示，正三棱锥S﹣ABC，O为顶点S在底面BCD内的射影，则O为正△BCD的垂心，过C作CH⊥AB于H，连接SH．则SO⊥HC，且，在Rt△SHO中，．于是，，．所以．故答案为点评：本题主要考查基本运算，应强调考生回归课本、注重运算、留心单位、认真审题．4．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值为﹣4．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．解答：解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d=．再由弦长公式可得 2﹣a=2+4，∴a=﹣4；故答案为：﹣4．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．5．（5分）已知△ABC中，∠B=45°，AC=4，则△ABC面积的最大值为4+4．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：利用余弦定理表示出cosB，将B的度数，以及AC，即b的值代入，整理后再利用基本不等式求出ac的最大值，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值及sinB的值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值．解答：解：∵∠B=45°，AC=b=4，∴由余弦定理cosB=得：=，∴ac=a2+c2﹣16≥2ac﹣16，即（2﹣）ac≤16（当且仅当a=c时取等号），∴ac≤=8（2+）=16+8，∴△ABC面积S=acsinB≤（16+8）×=4+4，则△ABC面积的最大值为4+4．故答案为：4+4点评：此题考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．6．（5分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．考点：正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．解答：解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0，x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=．故答案为：点评：本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．7．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0，1）．考点：函数的零点．专题：作图题．分析：由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案．解答：解：由题意作出函数的图象，关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根等价于函数，与y=k有两个不同的公共点，由图象可知当k∈（0，1）时，满足题意，故答案为：（0，1）点评：本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题．8．（5分）已知平面上四个互异的点A、B、C、D满足：（﹣）•（2﹣﹣）=0，则△ABC的形状是等腰直角三角形．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则可得=0，因此以AB，AC为邻边的平行四边形是正方形，即可得出△ABC的形状．解答：解：∵=+=+，又（﹣）•（2﹣﹣）=0，∴=0，∴以AB，AC为邻边的平行四边形是正方形，因此△ABC是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．点评：本题考查了向量的三角形法则、平行四边形与正方形的性质、△ABC的形状、数量积运算，考查了推理能力，属于基础题．9．（5分）设x，y均为正实数，且=1，则xy的最小值为16．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由=1，化为xy=x+y+8，使用基本不等式和利用一元二次不等式的解法即可得出．解答：解：由=1，化为3（2+y）+3（2+x）=（2+x）（2+y），整理为xy=x+y+8，∵x，y均为正实数，∴xy=x+y+8，∴，解得，即xy≥16，当且仅当x=y=4时取等号．∴xy的最小值为16．故答案为：16．点评：本题考查了基本不等式和一元二次不等式的解法，属于基础题．10．（5分）在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α+cos2β=1．类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=2．考点：类比推理；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由类比规则，点类比线，线类比面，可得出在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=2，解直角三角形证明其为真命题即可．解答：解：我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1，我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ，∴cosα=，cosβ=，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ=，令同一顶点出发的三个棱的长分别为a，b，c，则有cos2α+cos2β+cos2γ===2故答案为：cos2α+cos2β+cos2γ=2．点评：本题考查类比推理及棱柱的结构特征，线面角的定义，综合性强是一个常考的题型．11．（5分）已知点P（m，4）是椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a，再由三角形的面积公式以及内切圆的圆心与三个顶点将三角形△PF1F2分成三个小三角形，分别求面积再求和，得到a，c的方程，由离心率公式计算即可得到．解答：解：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a，由三角形的面积公式可得=×2c×4=4c，由△PF1F2的内切圆的半径为，则=×（m+n+2c）=（2a+2c）=（a+c），即有4c=（a+c），即为5c=3a，则离心率e==．故答案为：．点评：本题考查椭圆的定义和性质，考查三角形的面积公式和面积的分割法，考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）若函数f（x）=﹣ln（x+1）不存在零点，则实数k的取值范围是（0，4）．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可知可得x＞﹣1且x≠0，k=x++2，（x＞﹣1且x≠0），由“对号函数”的性质和集合的运算可得．解答：解：由题意可知，解得x＞﹣1且x≠0，由对数的性质可得lnkx=2ln（x+1）=ln（x+1）2，可得kx=（x+1）2，变形可得k==x++2，（x＞﹣1且x≠0）由“对号函数”的性质可知x+＜﹣2，或x+≥2，∴x++2＜0，或x++2≥4，要使函数f（x）=﹣ln（x+1）不存在零点，只需k取x++2取值集合的补集，即{k|0≤k＜4}，当k=0时，函数无意义，故k的取值范围应为：（0，4）故答案为：（0，4）点评：本题考查函数的零点，涉及“对号函数”的性质和集合的运算，属基础题．13．（5分）函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，则实数a的取值范围为（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求导函数，求出函数的极值点，利用函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，建立不等式，即可求实数a的取值范围．解答：解：函数f（x）=x2e x的导数为y′=2xe x+x2e x =xe x（x+2），令y′=0，则x=0或﹣2，﹣2＜x＜0上单调递减，（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增，∴0或﹣2是函数的极值点，∵函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，∴a＜﹣2＜a+1或a＜0＜a+1，∴﹣3＜a＜﹣2或﹣1＜a＜0．故答案为：（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（5分）设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=1．考点：导数的运算；对数函数图象与性质的综合应用．专题：导数的概念及应用．分析：由题意可得f（x）﹣log2x为定值，设为t，代入可得t=4，进而可得函数的解析式，化方程有解为函数F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4=log2x﹣有零点，易得F（1）＜0，F（2）＞0，由零点的判定可得答案．解答：解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=t+log2x，又由f（t）=6，可得t+log2t=6，可解得t=4，故f（x）=4+log2x，f′（x）=，又x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，所以x0是函数F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4=log2x﹣的零点，分析易得F（1）=﹣＜0，F（2）=1﹣=1﹣＞0，故函数F（x）的零点介于（1，2）之间，故a=1，故答案为：1点评：本题考查函数的零点的判断，涉及导数的运算和性质，属中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；并判定函数f（x）单调性（不必证明）．（2）若对于任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意知f（0）=0求出b，再由奇函数的定义求出b；（2）利用奇函数的性质转化为一元二次不等式，借助与一元二次函数的关系进行判断．解答：解：∵定义域为R的函数f（x）=是奇函数，∴，即化简，得解得，∴a的值是2，b的值是1．∴f（x）是R上的减函数；（3）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），∵f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），由（2）知，f（x）是减函数，∴原问题转化为t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，∴△=4+12k＜0，解得k＜﹣，所以实数k的取值范围是：k＜﹣，点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及不等式恒成立问题，定义是解决单调性问题的基本方法，而恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．16．（14分）已知函数f（x）=2cos（x）（0≤x≤5），点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．（1）求点A、B的坐标以及•的值（2）设点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，求sin（﹣2β）的值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由x的范围求出x的范围，得到f（x）的最大值和最小值，从而求出A，B的坐标，则•的值可求；（2）由点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上求出角α的值和角β的正余弦值，由倍角公式求得2β的正余弦值，展开两角差的正弦公式求得sin（﹣2β）的值．解答：解：（1）∵0≤x≤5，∴，∴﹣1≤cos（）≤．当，即x=0时，f（x）取得最大值1，当，即x=4时，f（x）取得最小值﹣2．因此，所求的坐标为A（0，1），B（4，﹣2）．则．∴•=0﹣2=﹣2；（2）∵点A（0，1）、B（4，﹣2）分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，则，，则sin2β=2sinβcosβ=2×=，cos2β=2cos2β﹣1=2×=．∴sin（﹣2β）=sin（）===．点评：本题考查了三角函数最值的求法，考查了平面向量的数量积运算，训练了三角函数的倍角公式及和差化积公式，考查了任意角的三角函数的定义，是中档题．17．（14分）如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B﹣DEG的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；转化思想．分析：（1）取AC的中点P，连接DP，证明DP⊥AC，∠EDC=90°，ED⊥DC；利用平面与平面垂直的性质证明DE⊥平面BCD；（2）说明G为EC的中点，求出B到DC的距离h，说明到DC的距离h就是三棱锥B﹣DEG的高．利用，即可求三棱锥B﹣DEG的体积．解答：解：（1）取AC的中点P，连接DP，因为在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，所以∠A=30°，△ADC是等腰三角形，所以DP⊥AC，DP=，∠DCP=30°，∠PDC=60°，又点E在线段AC上，CE=4．所以AE=2，EP=1，所以∠EDP=30°，∴∠EDC=90°，∴ED⊥DC；∵将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC∴DE⊥平面BCD；（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，G为EC的中点，此时AE=EG=GC=2，因为在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，所以BD=，DC=，所以B到DC的距离h===，因为平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，所以B到DC的距离h就是三棱锥B﹣DEG的高．三棱锥B﹣DEG的体积：V====．点评：本题考查直线与平面垂直的判定，棱锥的体积的求法，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，计算能力．18．（16分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获得，国家将给予补偿．（Ⅰ）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？考点：函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义．分析：（I）当x∈[200，300]时，该项目获利S=200x﹣＜0，说明不获利；当x=300时，S取得最大值﹣5000，说明国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损；（II）二氧化碳的每吨平均处理成本为：=；分段讨论，①当x∈[120，144）时，求出的最小值；②当x∈[144，500]时，求出的最小值；比较得每月处理量为多少吨时，能使每吨的平均处理成本最低．解答：解：（I）当x∈[200，300]时，设该项目获利为S，则S=200x﹣=﹣x2+400x﹣80000=﹣（x﹣400）2；当x∈[200，300]时，S＜0，此时该项目不会获利；当x=300时，S取得最大值﹣5000，所以，国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．（II）由题意知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：=，则：①当x∈[120，144）时，=x2﹣80x+5040=（x﹣120）2+240，∴当x=120时，取得最小值240；②当x∈[144，500]时，=x+﹣200≥2﹣200=200，当且仅当x=，即x=400时，取得最小值200；∵200＜240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．点评：本题考查了分段函数模型的应用题目，并且考查了求二次函数的最值，利用基本不等式求函数的最值等问题，是中档题．19．（16分）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M，证明：△MBP为钝角三角形．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由椭圆的长轴长为4，得2a=4，即得a=2；又点在椭圆上，代入椭圆标准方程，可得b；从而得出方程．（Ⅱ）设P（4，t）其中t≠0，直线AP与椭圆交于点M（异于A），由直线方程与椭圆方程组成方程组，得出点M的坐标；由B，P，M三点坐标，得向量，，，由•＜0，知∠MBP是钝角；从而得出证明．解答：解：（Ⅰ）由题意：2a=4，所以a=2，所求椭圆方程为；又点在椭圆上，∴=1，∴b2=1；故所求椭圆方程为：．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，A（﹣2，0），B（2，0），设P（4，t），M（x M，y M），则直线PA的方程为：，（t≠0）；由得（9+t2）x2+4t2x+4t2﹣36=0；因为直线PA与椭圆相交于异于A的点M，所以，所以；由，得，所以；从而，；所以=．又M，B，P三点不共线，所以∠MBP为钝角；所以△MBP为钝角三角形．点评：本题（Ⅰ）考查了椭圆的基础知识，（Ⅱ）借助于求直线与椭圆相交时的交点，利用向量的数量积，来判断三角形的形状；要求有较高的计算能力，是中档题．20．（16分）已知函数f（x）=x2+alnx．（1）若a=﹣1，求函数f（x）的极值，并指出极大值还是极小值；（2）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的最值；（3）若a=1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=x3的图象下方．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）代入a=﹣1，从而化简f（x）并求其定义域，再求导判断函数的单调性及极值即可；（2）代入a=1，从而化简f（x）并求其定义域，再求导判断函数的单调性及求函数的最值；（3）代入a=1，令F（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣x2﹣lnx，从而化在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=x3的图象下方为F（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，再化为函数的最值问题即可．解答：解：（1）当a=﹣1时，f（x）=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），f′（x）=x﹣=；故f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故f（x）在x=1处取得极小值f（1）=；（2）当a=1时，f（x）=x2+lnx的定义域为（0，+∞），f′（x）=x+＞0；故f（x）在[1，e]上是增函数，故f min（x）=f（1）=，f max（x）=f（e）=e2+1；（3）证明：令F（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣x2﹣lnx；则F′（x）=2x2﹣x﹣=，∵x∈[1，+∞），∴F′（x）=≥0，∴F（x）在[1，+∞）上是增函数，故F（x）≥F（1）=﹣=＞0；故在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=x3的图象下方．点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了函数的图象与函数的性质的关系及恒成立问题，属于中档题．（理科选做）加试题（每题10分，共20分）选修4-2【矩阵与变换】21．设矩阵A=，矩阵A属于特征值λ1=﹣1的一个特征向量为α1=，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=，求ad﹣bc的值．考点：特征值、特征向量的应用．专题：矩阵和变换．分析：根据特征值、特征向量的定义可知Aα=λα，利用待定系数法列出四个等式关系，解二元一次方程组即可求出a、b、c、d的值，进而求出ad﹣bc的值．解答：解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1=λ1α1，即=，可得…①；同理可得，即…②；由①②，解得a=2，b=3，c=2，d=1，因此ad﹣bc=2﹣6=﹣4，即ad﹣bc的值为﹣4．点评：本题主要考查了二阶矩阵、矩阵的特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．23．如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD﹣A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB=t（0＜t＜2），连接A1B，A1C，A1D1（1）当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B﹣A1C﹣D的值；（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）首先根据最大值确定正方体，进一步根据法向量，及向量的数量积求出二面角．（2）与（1）一样建立空间直角坐标系，利用向量的数量积，向量共享的充要条件，进一步利用线面垂直的性质，求出分点坐标，进一步求出点P的位置．解答：解：将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD﹣A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB=t（0＜t＜2），则求得：AD=2﹣t则：V=t（2﹣t）=﹣（t﹣1）2+1当t=1时，V max=1即：长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，长方体恰好是正方体．所以：建立空间直角坐标系A﹣xyz．正方体的棱长为1．由于AB1⊥A1B，BC⊥AB1所以：AB1⊥平面BA1C所以：可以看做是平面BA1C的法向量．所以：同理：利用线面垂直得到所以：进一步求得：=，所以根据图形知：二面角B﹣A1C﹣D的值为．（2）建立空间直角坐标系A﹣xyz，则：C（t，2﹣t，0），A1（0，0，1），B（t，0，0），D（0，2﹣t，0）所以：，假设在线段A1C上存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，则设（λ＞0）根据分点坐标公式：P（求得：，由于所以：﹣t2+λ（2﹣t）2﹣1=0①同理利用：解得：﹣t2+（2﹣t）2=0②所以：解得：（负值舍去）所以点P在的位置．点评：本题考查的知识要点：空间直角坐标系，法向量，向量的数量积，分点坐标公式，向量的共线问题，属于中等题型．24．设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n+1=S n+λ（n∈N*，λ为常数），a1=2，a2=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求所有满足等式=成立的正整数m，n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用条件a1=2，a2=1建立方程组，即可求数列{a n}的通项公式；（2）求出S n，利用等式=成立，解方程即可得到结论．解答：解：（1）由题意，得2S2=S1+λ，求得λ=4．所以，2S n+1=S n+4①当n≥2时，2S n=S n﹣1+4②①﹣②，得（n≥2），又，所以数列{a n}是首项为2，公比为的等比数列．所以{a n}的通项公式为（n∈N*）．（2）由（1），得，由，得，化简得，即（4﹣m）2n﹣4=2m﹣1，即（4﹣m）2n=4+2m﹣1．（*）因为2m﹣1+4＞0，所以（4﹣m）•2n＞0，所以m＜4，因为m∈N*，所以m=1或2或3．当m=1时，由（*）得3×2n=5，所以无正整数解；当m=2时，由（*）得2×2n=6，所以无正整数解；当m=3时，由（*）得2n=8，所以n=3．综上可知，存在符合条件的正整数m=n=3．点评：本题主要考查数列通项公式的求解，考查学生的计算能力．选修4-4：【坐标系与参数方程】22．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．专题：计算题．分析：（1）将直线化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，由此不难得到直线l的极坐标方程；（2）将直线l的极坐标方程代入曲线C极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，然后可以用根与系数的关系结合配方法，可以得到AB的长度．解答：解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程得：y=x∴在平面直角坐标系中，直线l经过坐标原点，倾斜角是，因此，直线l的极坐标方程是θ=，（ρ∈R）；…（5分）（2）把θ=代入曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0，得ρ2﹣ρ﹣3=0∴由一元二次方程根与系数的关系，得ρ1+ρ2=，ρ1ρ2=﹣3，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|==．…（10分）点评：本题以参数方程和极坐标方程为例，考查了两种方程的互化和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于基础题．。
2014-2015年江苏省南京十三中、九中联考高一(下)期中数学试卷和答案
2014-2015学年江苏省南京十三中、九中联考高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．（5分）已知一个等差数列的前三项分别为﹣1，x，5，则它的第五项为．2．（5分）函数f（x）=log2（x2﹣1）的定义域为．3．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+2n，则数列{a n}的通项公式a n=．4．（5分）若正实数x，y满足x+2y=1，则x•y的最大值为．5．（5分）等比数列{a n}中，a1=3，a4=81，则{a n}的通项公式为．6．（5分）在△ABC中，三边长分别为7，，，则三角形最小角的大小为．7．（5分）数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a1，a4，a5恰为某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值为．8．（5分）在ABC中，角A，B，C所对边为a，b，c，若==，则△ABC是三角形．9．（5分）等比数列{a n}中，S n是其前n项和，S4=1，S8=3，则a17+a18+a19+a20=．10．（5分）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是．11．（5分）将正整数排成一个三角形数阵：按照如图排列的规律，则第20行从左到右的第4个数为．12．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+16y=xy，则x+y的最小值为．13．（5分）已知数列{a n}通项公式，则数列{a n}的前9项和为．14．（5分）已知数列{a n}是单调递减的等差数列，S6=S11，有以下四个结论：（1）a9=0（2）当n=8或n=9时，S n取最大值（3）存在正整数k使得S k=0（4）存在正整数m使得S m=S2m其中正确的是．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知A={x|x2﹣2mx+m2﹣1＜0}．（1）若m=2，求A；（2）已知1∈A，且3∉A，求实数m的取值范围．16．（14分）在△ABC中，B=45°，，．（1）求sinA及BC边的长；（2）求△ABC的面积．17．（14分）已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinA ﹣csinC=（a﹣b）sinB．（1）求角C的大小；（2）若边长，求△ABC的周长最大值．18．（16分）地铁三号线开通后，某地铁站人流量增大，小A瞄准商机在地铁口投资72万元购得某商铺使用权，且商铺最高使用年限为40年，现小A将该商铺出租，第一年租金为5.4万元，以后每年租金比上一年增加0.4万元，设商铺租出的时间为x（0＜x≤40）年．（1）求商铺租出x年后的租金总和y；（2）若只考虑租金所得收益，则出租多长时间能收回成本；（3）小A考虑在商铺出租x年后，将商铺的使用权转让，若商铺转让的价格F 与出租的时间x满足关系式：F（x）=﹣0.3x2+10.56x+57.6，则何时转让商铺，能使小A投资此商铺所得年平均收益P（x）最大？19．（16分）已知数列{a n}的首项a1=2，a n=2a n﹣1﹣1，n≥2，n∈N*．（1）求证：数列{a n﹣1}为等比数列；（2）记S n=a1+a2+…+a n，求满足S n＜1000最大的正整数n；（3）若数列{c n}满足：c n=（n+1）（a n﹣1），求数列{c n}前n项和M n．20．（16分）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，其前n项和为S n，且满足，n∈N*，数列{b n}满足，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式a n及数列{b n}的前n项和T n；（2）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+18恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n，1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n值；若不存在，给出理由．2014-2015学年江苏省南京十三中、九中联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．（5分）已知一个等差数列的前三项分别为﹣1，x，5，则它的第五项为11．【解答】解：由题意可得，x+1=5﹣x即2x=5﹣1=4，∴x=2．则等差数列的公差d=5﹣2=3．∴a5=a1+4d=﹣1+4×3=11．故答案为：11．2．（5分）函数f（x）=log2（x2﹣1）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【解答】解：要是原式有意义，则x2﹣1＞0，则x＞1或x＜﹣1，即函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+2n，则数列{a n}的通项公式a n= 2n+1．【解答】解：∵S n=n2+2n，∴S n=（n+1）2+2（n+1），+1=S n+1﹣S n∴a n+1=[（n+1）2+2（n+1）]﹣（n2+2n）=2n+3，∴a n=2n+1，又a1=S1=1+2=3满足上式，∴数列{a n}的通项公式a n=2n+1，故答案为：2n+1．4．（5分）若正实数x，y满足x+2y=1，则x•y的最大值为．【解答】解：根据题意，若正实数x，y满足x+2y=1，则有1=，则，即，故答案为：．5．（5分）等比数列{a n}中，a1=3，a4=81，则{a n}的通项公式为a n=3n．【解答】解：∵a1=3，a4=81∴公比∴q=3∴该等比数列的通项公式a n=3•3n﹣1=3n故答案为：a n=3n．6．（5分）在△ABC中，三边长分别为7，，，则三角形最小角的大小为．【解答】解：最小的边长度为，所对的角为θ，θ∈（0，π）．，．故答案为：．7．（5分）数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a1，a4，a5恰为某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值为．【解答】解：设数列{a n}是公差d不为0的等差数列，等比数列的公比为q，由a1，a4，a5恰为某等比数列的前三项，即a1，a1+3d，a1+4d成等比数列，可得，解得，即有q===．故答案为：．8．（5分）在ABC中，角A，B，C所对边为a，b，c，若==，则△ABC是等边三角形．【解答】解：∵=，可得：a=，又∵由正弦定理可得：a=，∴=，整理可得：bcosAsinB﹣bsinAcosB=bsin（B﹣A）=0，∵0＜A＜π，0＜B＜π，解得﹣π＜B﹣A＜π，∴解得B﹣A=0，即B=A，同理解得：B=C，故三角形为等边三角形．故答案为：等边．9．（5分）等比数列{a n}中，S n是其前n项和，S4=1，S8=3，则a17+a18+a19+a20= 16．【解答】解：∵{a n}为等比数列∴数列的前四项的和，第二个4项的和，第3个4项的和…构成等比数列，a17+a18+a19+a20是第5个4项的和第二个4项的和为S8﹣S4=2∴公比为=2∴a17+a18+a19+a20=1×25﹣1=16故答案为：1610．（5分）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是[0，4] ．【解答】解：a=0时，符合；若a≠0，只需，解得：0＜a≤4，综上a∈[0，4]，故答案为：[0，4]．11．（5分）将正整数排成一个三角形数阵：按照如图排列的规律，则第20行从左到右的第4个数为194．【解答】解：根据题意，分析可得，在三角形数阵中，第n行有n个数，则前19行一共排了1+2+3+…+19==190个数，则20行从左到右的第4个数为194；故答案为：194．12．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+16y=xy，则x+y的最小值为25．【解答】解：已知x＞0，y＞0，且x+16y=xy．即：+=1．利用基本不等式：则x+y=（x+y）（+）=16+1++≥17+2=25，当且仅当x=4y时成立．则x+y的最小值为25．故答案为25．13．（5分）已知数列{a n}通项公式，则数列{a n}的前9项和为720．【解答】解：∵，∴数列{a n}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列．a2n﹣1=2（2n﹣1）﹣3=4n﹣5，a2n=22n﹣1=．则数列{a n}的前9项和=（a1+a3+…+a9）+（a2+a4+…+a8）=+=40+680=720．故答案为：720．14．（5分）已知数列{a n}是单调递减的等差数列，S6=S11，有以下四个结论：（1）a9=0（2）当n=8或n=9时，S n取最大值（3）存在正整数k使得S k=0（4）存在正整数m使得S m=S2m其中正确的是（1），（2），（3）．【解答】解：由数列{a n}是单调递减的等差数列，设公差为d，S6=S11，可得6a1+d=11a1+d，化简可得a1=﹣8d，（1）a9=a1+8d=0，故正确；（2）由a n=a1+（n﹣1）d=（n﹣9）d，由d＜0，a1＞0，…，a8=﹣d＞0，a9=0，a10＜0，可得当n=8或n=9时，S n取最大值，故正确；（3）S n=na1+d=d•，由S n=0，可得n2﹣17n=0，解得n=17∈N，故存在正整数17使得S17=0；（4）由S m=d•，S2m=d•，由S m=S2m，可得m2﹣17m=4m2﹣34m，解得m=0或m=．则不存在存在正整数m使得S m=S2m．其中正确的是：（1），（2），（3）．故答案为：（1），（2），（3）．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知A={x|x2﹣2mx+m2﹣1＜0}．（1）若m=2，求A；（2）已知1∈A，且3∉A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）若m=2，A={x|x2﹣2mx+m2﹣1＜0}={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3）；（2）已知1∈A，且3∉A，则1﹣2m+m2﹣1＜0且9﹣6m+m2﹣1≥0∴0＜m＜2．16．（14分）在△ABC中，B=45°，，．（1）求sinA及BC边的长；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）根据题意，，则sinC==，则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=，又由正弦定理：=，则有a=BC==3；（2）由（1）可得：a=3，b=，sinC=，=absinC==3；则S△ABC即△ABC的面积为3．17．（14分）已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinA ﹣csinC=（a﹣b）sinB．（1）求角C的大小；（2）若边长，求△ABC的周长最大值．【解答】解：（1）由已知，根据正弦定理，asinA﹣csinC=（a﹣b）sinB得，a2﹣c2=（a﹣b）b，即a2+b2﹣c2=ab．由余弦定理得cosC==．又C∈（0，π）．所以C=．（2）∵C=，，A+B=，∴，可得：a=2sinA，b=2sinB=2sin（﹣A），∴a+b+c=+2sinA+2sin（﹣A）=+2sinA+2（cosA+sinA）=2sin（A+）+∵由0＜A＜可知，＜A+＜，可得：＜sin（A+）≤1．∴a+b+c的取值范围（2，3]．18．（16分）地铁三号线开通后，某地铁站人流量增大，小A瞄准商机在地铁口投资72万元购得某商铺使用权，且商铺最高使用年限为40年，现小A将该商铺出租，第一年租金为5.4万元，以后每年租金比上一年增加0.4万元，设商铺租出的时间为x（0＜x≤40）年．（1）求商铺租出x年后的租金总和y；（2）若只考虑租金所得收益，则出租多长时间能收回成本；（3）小A考虑在商铺出租x年后，将商铺的使用权转让，若商铺转让的价格F 与出租的时间x满足关系式：F（x）=﹣0.3x2+10.56x+57.6，则何时转让商铺，能使小A投资此商铺所得年平均收益P（x）最大？【解答】解：（1）第一年租金为5.4万元，以后每年租金比上一年增加0.4万元，∴商铺租出x年后的租金总和y=5.4x+=0.2x2+5.2x（0＜x≤40）；（2）由0.2x2+5.2x≥72，可得x≥10，即出租10年能收回成本；（3）P（x）=（﹣0.3x2+10.56x+57.6+0.2x2+5.2x﹣72）÷x=﹣（0.1x+）+15.76≤﹣2.4+15.76=13.36，当且仅当0.1x=，即x=12年，转让商铺，能使小A投资此商铺所得年平均收益P（x）最大．19．（16分）已知数列{a n}的首项a1=2，a n=2a n﹣1﹣1，n≥2，n∈N*．（1）求证：数列{a n﹣1}为等比数列；（2）记S n=a1+a2+…+a n，求满足S n＜1000最大的正整数n；（3）若数列{c n}满足：c n=（n+1）（a n﹣1），求数列{c n}前n项和M n．【解答】（1）证明：∵a n=2a n﹣1﹣1，∴a n﹣1=2（a n﹣1），﹣1∵a1=2，∴a1﹣1=1，∴数列{a n﹣1}是以为1首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）可得a n﹣1=2n﹣1，∴a n=2n﹣1+1∴S n=a1+a2+…+a n=n+1+21+22+…+2n﹣1=n+=2n+n﹣1，∵S n＜1000，∴2n+n﹣1＜1000，∵210+10﹣1=1033，29+10﹣1=521，∴S n＜1000最大的正整数n=9，（3）c n=（n+1）（a n﹣1）=（n+1）2n﹣1，∴M n=2×20+3×21+4×22+…+（n+1）2n﹣1，∴2M n=2×21+3×22+4×23+…+n•2n﹣1+（n+1）•2n，∴﹣M n=2+21+22+23+…+2n﹣1﹣（n+1）•2n=2+﹣（n+1）•2n=﹣n•2n，∴M n=n•2n．20．（16分）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，其前n项和为S n，且满足，n∈N*，数列{b n}满足，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式a n及数列{b n}的前n项和T n；（2）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+18恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n，1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n值；若不存在，给出理由．=（2n﹣1）a n，【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，∴=a n．∴S2n﹣1又a n2=S2n﹣1，得a n2=（2n﹣1）a n，又a n≠0，∴a n=2n﹣1．∵==，数列{b n}的前n项和T n=+…+==．（2）对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+18恒成立，∴λ•＜n+18，∴λ＜2n++37，∵2n+≥2×=12，∴λ＜49．（3）∵T1=，T m=，T n=．若T1，T m，T n，成等比数列，则=，即=，可得=＞0，即﹣2m2+4m+1＞0∴＜m＜．∵m∈N且m＞1，∴m=2，此时n=12．∴当且仅当m=2，n=12时，T1，T m，T n成等比数列．。
2014-2015学年度高中数学学业水平测试模拟试卷(二)
第1页 共12页 ◎ 第2页 共12页2014-2015学年度高中数学学业水平测试模拟试卷（二）考试范围：必修1-5；考试时间：100分钟第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共17个小题，每小题3分，共51分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡相应的位置上填涂）。
1．已知集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则M N =（ ）A.{}1,0,1-B.{}1,0,1,2-C.{}1,0,2-D.{}0,12．某流程如下图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是（ ）A ．2)(x x f = B ．xx f 1)(=C ．62ln )(-+=x x x fD ．x x f sin )(=3．在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则A ，C 两点之间的距离是（ ）千米.A.1B.3 4．在ABC ∆中, 2,2,450===b a A , 则B 等于 （ ）A. 030 B. 045 C. 030或0150 D. 045或01355．1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是（ ） A ．12l l ⊥,23l l ⊥13//l l ⇒ B ．12l l ⊥,23//l l ⇒13l l ⊥ C ．233////l l l ⇒ 1l ,2l ,3l 共面 D ．1l ,2l ,3l 共点⇒1l ,2l ,3l 共面6．已知x 与y 之间的几组数据如下表:假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=．若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=,则以下结论正确的是（ ）。
A ．ˆˆ,bb a a ''>> B ．ˆˆ,b b a a ''>< C ．ˆˆ,b b a a ''<> D ．ˆˆ,b b a a ''<< 7．实数x ，y 满足2094x y y x y x ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪≥⎩－，，－＋则z ＝2x ＋y 的最小值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．4 8．cos300︒= （ ）A ．23-B ．21-C ．21D ．239．4.关于斜二侧画法，下列说法正确的是（ ） A ．三角形的直观图可能是一条线段B ．平行四边形的直观图一定是平行四边形C ．正方形的直观图是正方形D ．菱形的直观图是菱形10．已知函数84)(2--=kx x x h 在[5，20]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ）A ．]40,(-∞B ．),160[+∞第3页 共12页 ◎ 第4页 共12页C ．),160[]40,(+∞-∞D ．φ11．设全集是实数集R ，M x x =-≤≤{|}22，N x x =<{|}1，则=N M C R )(（ ） A. {|}x x <-2 B. {|}x x -<<21 C. {|}x x <1 D. {|}x x -≤<21 12．下列各角中与0600角终边相同的角为（ ）A ．3π B ．32π C ．3π- D ．32π-13．设函数f （x ）=4sin （2x+1）﹣x ，则在下列区间中函数f （x ）不存在零点的是（ ）A ．[﹣4，﹣2]B ．[﹣2，0]C ．[0，2]D ．[2，4]14．设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是 [ ]A AB B A BC A BD A B ．＝．．．≠≠⊇⊂⊃15．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()U C A B 为( )A. {}1,2,4B. {}2,34，C. {}0,2,4 D. {}0,2,34， 16．函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的对称轴方程可能是A.6x π=-B.12x π=-C.6x π=D.12x π=17．函数1()lg(1)1f x x x =++-的定义域是A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．(,)-∞+∞第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分。
江苏省(南师附中、淮阴、海门、天一)四校2015届高三开学联考数学试题(含详细解答)
江苏省（南师附中、淮阴、海门、天一）四校2015届高三开学联考数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1、设集合{}1,1k A =-，{}2,3B =，且{}2A B =I ，则实数k 的值为 ．2、设i 为虚数单位，则复数2ii+的模为 ． 3、下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为 ． 次数 1 2 3 4 5 得分3330272931出的S 的值为 ．5、已知1sin 23α=，则11tan tan 2αα-的值为 ． 6、以双曲线221412x y -=的中心为顶点，右准线为准线的抛物线方程为 ．7、右图是函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>）图象的一部分，则ω的值为 ．8、若一个正四棱锥的底面边长为2cm ，侧棱长为3cm ，则它的体积为 3cm ．9、将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次得到的点数m 、n 分别作为点P 的横、纵坐标，则点P 不在直线5x y +=下方的概率为 ．10、已知圆C 的圆心C 在直线210x y --=上，且圆C 经过两点()0,4A ，()2,2B ，则圆C 的方程为 ．11、已知函数()f x （R x ∈）是奇函数，当0x >时，()()12log 21f x x =+，则满足不等式()()3log 220f x f ++>⎡⎤⎣⎦的x 的取值范围是 ．12、已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为2n n a =，3n n b =，若121321n n n n n c a b a b a b a b --=+++⋅⋅⋅+，则数列{}n c 的通项公式为 ．13、已知函数()22f x x x =+图象上有两点()11,x y A 、()22,x y B ，120x x <<，若曲线()y f x =分别在点A 、B 处的切线互相垂直，则122x x -的最大值是 ． 14、设函数()2231f x ax bx a =+-+，当[]4,4x ∈-时，()0f x ≥恒成立，则5a b +的最小值是 ．三、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15、（本小题满分14分）如图，在C ∆AB 中，CD 2D =B u u u r u u u r．()1若D C x y A =AB +B u u u r u u u r u u u r（x 、y 为实数），求x 、y 的值； ()2若3AB =，C 4A =，C 60∠BA =o，求D C A ⋅B u u u r u u u r 的值． 16、（本小题满分14分）如图，在五面体CD F AB E 中，四边形CD AB 是平行四边形． ()1若CF ⊥AE ，AB ⊥AE ，求证：平面F AB E ⊥平面CD F E ；()2求证：F//E 平面CD AB ．17、（本小题满分14分）如图()1，有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰C A 的长为a 米（a 为常数），现在斜边AB 上选一点D ，将CD ∆A 沿CD 折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图()2．设CD ∆B 的面积为S ，点A 到直线CD 的距离为d ．实践证明，遮阳效果y 与S 、d 的乘积Sd 成正比，比例系数为k （k 为常数，且0k >）．()1设CD θ∠A =，试将S 表示为θ的函数；()2当点D 在何处时，遮阳效果最佳（即y 取得最大值）?18、（本小题满分16分）在平面直角坐标系x y O 中，椭圆C:22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，右焦点()F 1,0，点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线Q P 与圆:O 222x y b +=相切于点M ． ()1求椭圆C 的方程；()2求F PM⋅P 的取值范围；()3若Q OP ⊥O ，求点Q 的纵坐标t 的值．19、（本小题满分16分）已知a 是实数，函数()ln f x ax x =+，()x g x e =，其中e 是自然对数的底数．()1设0a ≤时，求()f x 的单调区间；()2设0a =时，试比较()g x 与()2f x +的大小，并给出证明； ()3若关于x 的不等式()g x <m 的取值范围．20、（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()111112n n n n S S n a a +++=+--，n *∈N ．()1若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式；()2设26a =，求证：数列{}n a 是等差数列．附加题21、【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中两小题，若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21、A 、选修4-1【几何证明选讲】（10分）如图，已知AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作D CD A ⊥于点D ．求证：C A 平分D ∠BA ．21、B 、【矩阵与变换】（10分）二阶矩阵A 有特征值6λ=，其对应的一个特征向量为11e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ，并且矩阵A 对应的变换将点()1,2变换成点()8,4，求矩阵A ．21、C 、【坐标系与参数方程】（10分）已知直线l 的参数方程为4x ty t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24sin 20ρρθ--=，直线l 与圆C 相交于点A 、B ．()1将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； ()2求线段AB 的长度．21、D 、【不等式选讲】（10分）设a 、b 、0c >，求证：263a b c a b c +++++≥ ⎪⎝⎭．22、（本小题满分10分）已知抛物线22y x =上有四点()11,x y A 、()22,x y B 、()33C ,x y 、()44D ,x y ，点()3,0M ，直线AB 、CD 都过点M ，且都不垂直于x 轴，直线Q P 过点M 且垂直于x 轴，交C A 于点P ，交D B 于点Q ．()1求12y y 的值； ()2求证：Q MP =M ．23、（本小题满分10分）设()211n n x -P =-，()()()2Q 121121n n x n n x =--+--，R x ∈，n *∈N ．()1当2n ≤时，试指出n P 与Q n 的大小关系；()2当3n ≥时，试比较n P 与Q n 的大小，并证明你的结论．。
2015年3月2015届高三第二次全国大联考(江苏版)数学卷(原卷版)
【学科网学易大联考】2015年第二次全国大联考【江苏版】一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1．已知复数z =201532i i-(i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第 象限． 2．已知全集U=N ，集合{}10A x x =->，则=A C U ．3．若样本321,,a a a 的方差是2，则样本12322015,22015,22015a a a +++的方差是 ．4．已知双曲线22221y x a b-=的一个焦点与圆x 2+y 2－10x =05，则该双曲线的准线方程为 ．5．已知实数x ∈[3，9]，执行如右图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为 ．6．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104，则a 5与a 7的等比中项为 ． 7．定义在R 上的奇函数()f x ，对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-，当(02)x ∈，时，()4x f x =， 则(2015)f = ．8. 一个三棱柱恰好可放入一个正四棱柱的容体中，底面如图所示，其中三棱柱的底面AEF 是一个直角三角形，∠AEF = 90︒，AE = 2，EF = 1，三棱柱的高与正四棱柱的高均为1，则此正四棱柱的体积为 ．开始 结束Yn ←1输入x 输出xn ←n +1 x ←2x +1n ≤3 N（第8题）FEDCBA9．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，2π]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为 ．.10．已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且P A =PB ,则0x的取值范围为 ． 11. 已知函数20151()sin 201521xf x x =++在[]2015,2015-上的最大值分别为,M m ，则M m += ．12．在ABC ∆中，2AC BC ⋅=且两中线AD 与BE 互相垂直，求ABC ∆面积的最大值 ． 13．设P (x ，y)为函数22y x =+(x >图象上一动点，记353712x y x y m x y +-+-=+--，则当m 最小时，点 P的坐标为 ．14．设椭圆和双曲线有公共焦点12F F ，，两曲线的一个公共点为P ，且123F PF π∠=，记12e e ，分别为椭圆和双曲线的离心率，则1211e e +的最大值为 ． 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分14分）如图，在xoy 平面上，点)0,1(A ，点B 在单位圆上，θ=∠AOB （πθ<<0） (I) 若点)54,53(-B ，求)42tan(πθ+的值；(II)若OC OB OA =+，四边形OACB 的面积用θS 表示，求OC OA S ⋅+θ的取值范围.16．（本小题满分14分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，底面1111A B C D 是正方形，E 是棱1AA 上任意一点，F 是CD 的中点． (I) 证明：BD 1EC ⊥； (II)若AF ∥平面C 1DE ，求1AEA A的值． D 1C 1B 1A 1FEDCBA17．（本小题满分14分）下图是一块平行四边形园地 ABCD ，经测量，AB = 20 m ，BC = 10 m ， ∠ABC = 120 °．拟过线段 AB 上一点 E 设计一条直路 EF （点 F 在四边形 ABCD 的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为 3:1 的左、右两部分分别种植不同花卉．设 EB = x ，EF = y （单位：m ）． （Ⅰ）当点 F 与点 C 重合时，试确定点 E 的位置；（Ⅱ）求 y 关于 x 的函数关系式；（Ⅲ）请确定点 E ，F 的位置，使直路 EF 长度最短．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A ，B 是圆 O ：221x y +=与 x 轴的两个交点（点 B 在点 A 右侧），点(2,0)Q -， x 轴上方的动点 P 使直线 PA ，PQ ，PB 的斜率存在且依次成等差数列． (I) 求证：动点 P 的横坐标为定值；（II ）设直线 PA ，PB 与圆 O 的另一个交点分别为 S ，T ，求证：点 Q ，S ，T 三点共线．19．（本小题满分16分）设二次函数2()f x ax bx c =++的导函数为().f x '（Ⅰ）若 a = 1，c = 2 ，且在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y =()f x '恰与抛物线 y = f (x ) 相切，求 b 的值；（II ）若 ,()()x R f x f x '∀∈≥恒成立，（ⅰ）求证： c ≥a > 0 ；（ⅱ）求222b ac +的最大值．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足5459342,S a a a a a =+=+.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值； (Ⅲ)是否存在正整数m ，使得221mm S S -恰好为数列{}n a 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由.数学Ⅱ 附加题部分【理】21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【选做题】（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题） A ．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在△ABC 中，CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆O 交BC 于点N . 若AB =2AC ， 求证：BN =2AM .B ．【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知曲线C ，在矩阵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2218C y x =：，求曲线C 的方程．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为22312sin ρθ=+，直线l的参数方程为,1x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大．D ．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）求函数：y =最大值．【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22.（本小题满分10分）学校足球队进行罚点球训练，队员在一轮训练中最多可罚4次，并规定，一旦命中该队员即停止此轮练习，否则一直罚到第4次为止. 已知一选手罚点球的命中率为0.8，求一轮练习中，该选手的实际罚球次数X 的分布列，并求X 的数学期望. 23. （本小题满分10分）已知多项式5431111()52330f n n n n n =++-.(Ⅰ)求(1)f -及(2)f 的值；(Ⅱ)试探求对一切整数n ，()f n 是否一定是整数？并证明你的结论．MC NBO ·A。
2江苏省南京市、盐城市2015届高三第二次模拟考试数学试题
因为PC平面ABCD，BC平面ABCD，所以BCPC．……………………5分
因为PC平面PAC，AC平面PAC，PC∩AC＝C，
所以BC平面PAC．……………………7分
（2）如图，因为AB∥DC，CD平面CDMN，AB平面CDMN，
所以AB∥平面CDMN．……………………9分
所以sin(B－A)＝sin(－A)＝sin(C－)
＝sinC－cosC＝×－×
＝．…………………14分
16．证明：（1）连结AC．不妨设AD＝1．
因为AD＝CD＝AB，所以CD＝1，AB＝2．
因为ADC＝90，所以AC＝，CAB＝45．
在△ABC中，由余弦定理得BC＝，所以AC2＋BC2＝AB2．
方法二：由（1）知，椭圆E的方程为＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)．
①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2．
显然k1≠k2．
直线AC的方程y－1＝k1(x－2)，即y＝k1x＋(1－2k1)．
由得(1＋2k12)x2＋4k1(1－2k1)x＋2(4k12－4k1－2)＝0．
（1）按下列要求建立函数关系式：
(i)设∠POF＝θ(rad)，将S表示成θ的函数；
(ii)设MN＝x(m)，将S表示成x的函数；
（2）试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l：y＝x与椭圆E相交于A，B两点，AB＝2．C，D是椭圆E上异于A，B的任意两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．
D．选修4－5：不等式选讲
2014-2015学年江苏省南京市高一(下)期末数学复习试卷(Word版含解析)
2014-2015学年江苏省南京市高一（下）期末数学复习试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知A={1，2}，B={2，3，4}则A∪B=．2．函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是．3．计算的值为．4．已知向量=（2，1），=（1，x），且（+）⊥，则实数x的值为．5．已知直线l：x+my+6=0，若点A（﹣5，1）到直线l的距离为，则实数m的值为．6．若A（1，2），B（﹣3，4），C（2，t）三点共线，则实数t的值为．7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4cm的半圆，则此圆锥的体积是．8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知C=120°，c=2，acosB=bcosA，则△ABC的面积为．9．对于不重合直线a，b，不重合平面α，β，γ，下列四个条件中，能推出α∥β的有．（填写所有正确的序号）．①γ⊥α，γ⊥β；②α∥γ，β∥γ；③a∥α，a∥β；④a∥b，a⊥α，b⊥β．10．（文科）已知函数f（x）=a+是奇函数，则实数a的值为．11．在平面直角坐标系xOy中，线段AB长为4，且其两个端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，则△AOB面积的最大值为．12．已知公差不为零的等差数列{a n}的前8项的和为8，且a12+a72=a32+a92，则{a n}的通项公式为a n=．13．某地一天6时至20时的温度y（°C）随时间x（小时）的变化近似满足函数y=10sin （x+）+20，x∈[6，20]．在上述时间范围内，温度不低于20°C的时间约有小时．14．已知函数，将集合A={x|f（x）=t，0＜t＜1}（t为常数）中的元素由小到大排列，则前六个元素的和为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（3，5），AB边所在直线的方程为x﹣3y+8=0，点N（0，6）在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求对角线AC所在直线的方程．16．在△ABC中，已知cosA=，tan（B﹣A）=，AC=5．求：（1）角B；（2）AB边的长．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知点D为棱BC中点．（1）如果AB=AC，求证：平面ADC1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1B∥平面AC1D．18．设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），已知它的前10项和为110，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．19．如图，某小区进行绿化改造．计划围出一块三角形绿地ABC．其中一边利用现成的围墙BC．长度为1（百米）．另外两边AB，AC使用某种新型材料．∠BAC=120°设AB=x（百米），AC=y（百米）（1）求x，y满足的关系式（指出x的取值范围）（2）若无论如何设计另两边的长，都能确保围成三角形绿地，则至少需要准备长度为多少（百米）的此种新型材料．20．已知函数f（x）=ax2﹣|x﹣a|（1）当a=3时，求不等式f（x）＞7的解集（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[3，+∞）上的值域．2014-2015学年江苏省南京市高一（下）期末数学复习试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知A={1，2}，B={2，3，4}则A∪B={1，2，3，4}．考点：并集及其运算．分析：直接根据并集的定义求出结果即可．解答：解：∵A={1，2}，B={2，3，4}A∪B就是把A和B中所有的元素放在一起，然后把重复的去掉．∴A∪B={1，2，3，4}故答案为：{1，2，3，4}点评：此题考查了并集的定义，属于基础题．2．函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是π．考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据二倍角的正弦公式，化简可得f（x）=sin2x，再由三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期．解答：解：∵sin2x=2sinxcosx∴f（x）=sinxcosx=sin2x，因此，函数f（x）的最小正周期T==π故答案为：π点评：本题给出三角函数式，求函数的周期，着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识，属于基础题．3．计算的值为﹣．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：所求式子中的角变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：cos=cos（π+）=﹣cos=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4．已知向量=（2，1），=（1，x），且（+）⊥，则实数x的值为﹣7．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量的坐标加法运算求得+，然后由向量垂直的坐标表示列式求得x的值．解答：解：∵=（2，1），=（1，x），∴+=（3，1+x），由（+）⊥，得2×3+1×（1+x）=0．解得：x=﹣7．故答案为：﹣7．点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直的坐标表示，是基础题．5．已知直线l：x+my+6=0，若点A（﹣5，1）到直线l的距离为，则实数m的值为1．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：根据点到直线的距离公式，代入计算即可．解答：解：根据点到直线的距离公式，d==，解得m=1，故答案为：1．点评：本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．6．若A（1，2），B（﹣3，4），C（2，t）三点共线，则实数t的值为．考点：直线的斜率．专题：平面向量及应用；直线与圆．分析：方法一：利用向量坐标的求法求出两个向量的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出t；方法二：利用斜率公式，三点共线，则斜率相等，即可求出t．解答：解：方法一（向量法）∵A（1，2），B（﹣3，4），C（2，t）．∴=（﹣4，2），=（1，t﹣2），∵A（1，2），B（﹣3，4），C（2，t）三点共线，∴﹣4（t﹣2））=2，∴t=，方法二（斜率法），∵A（1，2），B（﹣3，4），C（2，t）三点共线，∴k AB=k AC，∴=，解得t=，故答案为：．点评：本题考查三点共线的应用，斜率法和向量坐标的求法，属于基础题．7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4cm的半圆，则此圆锥的体积是π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．解答：解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为：4π，底面半径为：2，圆锥的高为：2；圆锥的体积为：π•22×2=π．故答案为：π．点评：本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知C=120°，c=2，acosB=bcosA，则△ABC的面积为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理把题设中关于边的等式转换成角的正弦，进而利用两角差公式化简整理求得A=B，进而求得a=b．根据余弦定理求得a，b，进而利用三角形面积公式即可得解．解答：解：∵acosB=bcosA，且C=120°，c=2，∴由题意及正弦定理可得：sinAcosB=sinBcosA，即sin（A﹣B）=0，故A=B，由正弦定理可得：a=b，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC可得：12=a2+a2﹣2×a×a×cos120°，解得a=b=2．∴△ABC的面积S=absinC==．故答案为：．点评：本题主要考查了余弦定理的应用，正弦定理的应用，两角和公式的化简求值，属于基本知识的考查．9．对于不重合直线a，b，不重合平面α，β，γ，下列四个条件中，能推出α∥β的有②④．（填写所有正确的序号）．①γ⊥α，γ⊥β；②α∥γ，β∥γ；③a∥α，a∥β；④a∥b，a⊥α，b⊥β．考点：平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：①γ⊥α，γ⊥β时，α与β不一定平行；②α∥γ，β∥γ时，α∥β；③a∥α，a∥β时，α∥β不一定成立；④a∥b，且a⊥α，b⊥β，能得出α∥β．解答：解：对于①，当γ⊥α，γ⊥β时，α与β相交，或α与β平行；对于②，当α∥γ，β∥γ时，根据平行平面的公理得α∥β；对于③，当a∥α，a∥β时，α与β相交，或α与β平行；对于④，当a∥b时，若a⊥α，则b⊥α，又b⊥β，∴α∥β；综上，能推出α∥β的是②④．故答案为：②④．点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了符号语言的应用问题，是基础题目．10．（文科）已知函数f（x）=a+是奇函数，则实数a的值为．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得f（﹣x）=﹣f（x），即a+=﹣a﹣，即2a=﹣=1，由此求得a的值．解答：解：函数f（x）=a+是奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），即a+=﹣a﹣，即2a=﹣=1，解得a=，故答案为．点评：本题主要考查奇函数的定义和性质，属于基础题．11．在平面直角坐标系xOy中，线段AB长为4，且其两个端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，则△AOB面积的最大值为4．考点：正弦定理．专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：设A（x，0），B（0，y），由两点间的距离公式可得：x2+y2=16，由基本不等式可得xy≤，（当且仅当x=y=2时），由三角形面积公式即可得解．解答：解：设A（x，0），B（0，y），由两点间的距离公式可得：x2+y2=16，故△AOB面积S=xy≤==4．（当且仅当x=y=2时）故答案为：4．点评：本题主要考查了两点间的距离公式，基本不等式的应用，属于基础题．12．已知公差不为零的等差数列{a n}的前8项的和为8，且a12+a72=a32+a92，则{a n}的通项公式为a n=﹣2n+10．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的通项公式与前n项和公式，求出公差d与首项a1即可．解答：解：等差数列{a n}中，s8=8a1+28d=8，即2a1+7d=2①；又a12+a72=a32+a92，∴+=+，化简，得a1d+4d2=0，又d≠0，∴a1=﹣4d；代入①得，﹣8d+7d=2，解得d=﹣2；∴a1=﹣4×（﹣2）=8，∴{a n}的通项公式为a n=8+（n﹣1）•（﹣2）=﹣2n+10．故答案为：﹣2n+10．点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的应用问题，是基础题目．13．某地一天6时至20时的温度y（°C）随时间x（小时）的变化近似满足函数y=10sin （x+）+20，x∈[6，20]．在上述时间范围内，温度不低于20°C的时间约有8小时．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用温度不低于20，则10sin（）+20≥20，结合x的范围，即可得到此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间．解答：解：由题意，10sin（）+20≥20∴sin（）≥0∴2kπ≤≤2kπ+π∴16k﹣6≤x≤16k+2，∵x∈[6，20]，∴10≤x≤18∴此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为18﹣10=8小时故答案为：8．点评：本题考查三角函数模型的运用，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．14．已知函数，将集合A={x|f（x）=t，0＜t＜1}（t为常数）中的元素由小到大排列，则前六个元素的和为52．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：通过分类讨论①当1≤x≤2时，f（x）=x﹣1，由x﹣1=t，解得x=1+t；②当2＜x≤3时，f（x）=3﹣x，由3﹣x=t，解得x=3﹣t；③当3＜x≤6时，1＜，则f（x）=3（）=x﹣3，由x﹣3=t，解得x=3+t；④当6＜x≤9时，，f（x）==9﹣x，由9﹣x=t，解得x=9﹣t；⑤当9＜x≤18时，，则f（x）=3=x﹣9，由x﹣9=t，解得x=9+t；⑥当18＜x≤27时，，则f（x）==27﹣x，由27﹣x=t，解得x=27﹣t．即可得到答案．解答：解：①当1≤x≤2时，f（x）=x﹣1，由x﹣1=t，解得x=1+t；②当2＜x≤3时，f（x）=3﹣x，由3﹣x=t，解得x=3﹣t；③当3＜x≤6时，1＜，则f（x）=3（）=x﹣3，由x﹣3=t，解得x=3+t；④当6＜x≤9时，，f（x）==9﹣x，由9﹣x=t，解得x=9﹣t；⑤当9＜x≤18时，，则f（x）=3=x﹣9，由x﹣9=t，解得x=9+t；⑥当18＜x≤27时，，则f（x）==27﹣x，由27﹣x=t，解得x=27﹣t．因此将集合A={x|f（x）=t，0＜t＜1}（t为常数）中的元素由小到大排列，则前六个元素的和=（1+t）+（3﹣t）+（3+t）+（9﹣t）+（9+t）+（27﹣t）=52．故答案为52．点评：熟练掌握含绝对值符号的函数如何去掉绝对值符号、分类讨论的思想方法、函数的交点等是解题的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（3，5），AB边所在直线的方程为x﹣3y+8=0，点N（0，6）在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求对角线AC所在直线的方程．考点：待定系数法求直线方程．专题：直线与圆．分析：（1）根据直线垂直的关系求出直线斜率即可求AD边所在直线的方程；（2）求出交点M的坐标即可求对角线AC所在直线的方程．解答：解：（1）解法一：因为AB边所在直线的方程为x﹣3y+8=0，所以k AB=．…（2分）又因为矩形ABCD中，AD⊥AB，所以k AD=﹣=﹣3．…（4分）所以由点斜式可得AD边所在直线的方程为：y﹣6=﹣3（x﹣0），即3x+y﹣6=0．…（6分）解法二：因为矩形ABCD中，AD⊥AB，所以设AD边所在直线的方程为：3x+y+m=0．…（4分）又因为直线AD过点N（0，6），所以将点N（0，6）代入上式得3×0+6+m=0，解得m=﹣6．所以AD边所在直线的方程为：3x+y﹣6=0．…（6分）（2）由，解得即A（1，3），…（10分）所以对角线AC所在直线的方程：=，即x﹣y+2=0．…（14分）点评：本题主要考查直线方程的求解，要求熟练掌握求直线方程的各种方法．16．在△ABC中，已知cosA=，tan（B﹣A）=，AC=5．求：（1）角B；（2）AB边的长．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）解法一：由cosA=，可求tanA，利用两角和的正切函数公式可求tanB=tan[（B ﹣A）+A]的值，结合范围B∈（0，π），即可求B．解法二：由cosA=，可求tanA，利用tan（B﹣A）==，解得tanB，结合范围B∈（0，π），即可求B．（2）解法一：可求sinA=，sinB=cosB=，从而利用两角和的正弦函数公式可求sinC=sin （A+B）的值，由正弦定理=，可求AB．解法二：作CD⊥AB，垂足为D，由AC，cosA，可求CD，AD，又B=，即可记得AB 的值．解答：解（1）解法一：在△ABC中，因为cosA=，所以tanA==，…（2分）所以tanB=tan[（B﹣A）+A]===1．…（4分）因为B∈（0，π），所以B=．…（6分）解法二：在△ABC中，因为cosA=，所以tanA=，…（2分）所以tan（B﹣A）===，解得tanB=1．…（4分）因为B∈（0，π），所以B=．…（6分）（2）解法一：在△ABC中，由cosA=，B=，可得sinA=，sinB=cosB=，…（9分）从而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（11分）由正弦定理=，代入得=，从而AB=7．…（14分）解法二：作CD⊥AB，垂足为D，由AC=5，cosA=，所以CD=3，AD=4，…（9分）又B=，所以BD=CD=3，…（12分）所以AB=3+4=7．…（14分）点评：本题考查了正弦定理，两角和的正切函数公式，正弦函数公式，同角三角函数关系式，勾股定理的应用，属于基本知识的考查．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知点D为棱BC中点．（1）如果AB=AC，求证：平面ADC1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1B∥平面AC1D．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由CC1⊥平面ABC．可证CC1⊥AD，由AB=AC，D为BC中点，可证AD⊥BC，即可证明AD⊥平面BB1C1C从而可证平面AC1D⊥平面BB1C1C．（2）连结A1C，设A1C∩AC1=E，连结DE．可得E为A1C中点，由D为BC中点，可证DE∥A1B，即可证明A1B∥平面AC1D．解答：证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD．…（2分）因为AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC．…（4分）因为BC⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，BC∩CC1=C，所以AD⊥平面BB1C1C．…（6分）因为AD⊂平面AC1D，所以平面AC1D⊥平面BB1C1C．…（8分）（2）连结A1C，设A1C∩AC1=E，连结DE．因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C为平行四边形，所以E为A1C中点．…（10分）因为D为BC中点，所以DE∥A1B．…（12分）因为DE⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D．…（14分）点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．18．设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），已知它的前10项和为110，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过2a1+9d=22与a22=a1a4，进而计算即得结论；（2）通过（1）、裂项可知=（﹣），进而并项相加即得结论．解答：解：（1）设{a n}的前n项和为S n，∵S10=110，∴2a1+9d=22．…①∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22=a1a4．…②由①、②，解得：a1=d=2，∴a n=2n；（2）由（1）可知：==（﹣），∴T n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=．点评：本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．19．如图，某小区进行绿化改造．计划围出一块三角形绿地ABC．其中一边利用现成的围墙BC．长度为1（百米）．另外两边AB，AC使用某种新型材料．∠BAC=120°设AB=x（百米），AC=y（百米）（1）求x，y满足的关系式（指出x的取值范围）（2）若无论如何设计另两边的长，都能确保围成三角形绿地，则至少需要准备长度为多少（百米）的此种新型材料．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：（1）利用余弦定理，可求x，y满足的关系式，及x的取值范围；（2）利用（1）的结论及基本不等式，即可求得结论．解答：解：（1）由余弦定理可得，1=x2+y2﹣2xycos120°，∴x2+y2+xy=1，其中0＜x＜1；（2）∵（x+y）2=x2+y2+2xy=1+xy≤1+∴（x+y）2≤∴x+y≤，当且仅当x=y=时，取等号∴至少需要准备长度为百米的此种新型材料．点评：本题考查余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=ax2﹣|x﹣a|（1）当a=3时，求不等式f（x）＞7的解集（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[3，+∞）上的值域．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）当a=3时，求不等式即3x2﹣|x﹣3|＞7，故有①，或②．分别求得解①和②的解集，再取并集，即得所求．（2）根据函数f（x）=ax2﹣|x﹣a|=．分①a≤3 和②a＞3，两种情况，分别根据函数f（x）的单调性求得函数的最小值，综合可得结论．解答：解：（1）当a=3时，求不等式f（x）＞7，即3x2﹣|x﹣3|＞7，∴①，或②．解①求得x≥3，解②求得x＜﹣2，或＜x＜3．综上，不等式的解集为{x|x＜﹣2，或x＞}．（2）∵a＞0时，函数f（x）=ax2﹣|x﹣a|=．①若0＜a≤3，则f（x）=ax2﹣x+a，当对称轴x=≤3，即≤a≤3 时，函数f（x）在[3，+∞）上是增函数，故最小值为f（3）=10a﹣3，函数没有最大值．当对称轴x=＞3，即0＜a＜时，函数f（x）在（3，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，故函数的最小值为f（）=a﹣，函数没有最大值．②若a＞3，当3≤x＜a时，则f（x）=ax2+x﹣a，由于对称轴x=﹣＜0，故函数f（x）在[3，a）上是增函数，函数的最小值为f（3）=8a+3，最大值趋于f（a）=a3．当x≥a时，f（x）=ax2﹣x+a，由于对称轴x=＜3，故函数f（x）在[a，+∞）上是增函数，函数的最小值为f（a）=8a+3，函数没有最大值．综上可得，当0＜a＜时，f（x）的值域为[a﹣，+∞）；当≤a≤3 时，f（x）的值域为[10a﹣3，+∞）；当3＜a时，f（x）的值域为[8a+3，+∞）．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2014-2015学年高中数学(人教版必修二)配套课件第三章 3.2 3.2.2 直线的两点式方程
题型二
求直线的截距式方程
例2 直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和
为12，求直线l的方程．
解析：由于直线在两坐标轴上的截距之和为 12，因此直线 l 在 两轴上的截距都存在且不过原点，故可设为截距式直线方程． x y 设直线 l 的方程为a＋b＝1，则 a＋b＝12.① 又直线 l 过点(－3,4)， －3 4 ∴ a ＋b＝1.②
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
1．△ABC 的顶点坐标分别是 A(－3,0)，B(9,5)，C(3，9)， 求△ABC 的中线 AD 所在直线的方程．
栏 目 链 接
解析： 线段 BC 的中点 D 的坐标是(6,7)，由两 y－0 x＋3 点式方程得直线 AD 的方程 ＝ ， 7－0 6＋3 即 7x－9y＋21＝0.
自 测 自 评
1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( A．可以写成两点式或截距式 B．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C．可以写成点斜式或截距式 D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
栏 目 链 接
)
答案：B
自 测 自 评
2．过两点(6,2)，(3,2)的直线方程是( A．x＝5 C．x＋y＝2 B．y＝2 D．x＝2
斜率存在 且不为 0 斜率存在 且不为 0， 不过原点
栏 目 链 接
基 础 梳 理
练习 1：两点式直线方程不能表示__________平行的直线．
答案：与x轴或与y轴
练习 2：(1)截距式中 a 表示在________的截距，b 表示在 ________的截距，它们均可正可负． x y (2)直线 ＋ ＝1 在 x 轴上截距为：______，y 轴上截距 －3 2 为：________.
2014-2015学年江苏省南京市高一下学期期末数学复习试卷 Word版含解析
2014-2015学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知A={1，2}，B={2，3，4}则A∪B=． 2．函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是 ． 3．计算的值为 ． 4．已知向量=（2，1），=（1，x），且（+）⊥，则实数x的值为 ． 5．已知直线l：x+my+6=0，若点A（﹣5，1）到直线l的距离为，则实数m的值为 ． 6．若A（1，2），B（﹣3，4），C（2，t）三点共线，则实数t的值为 ． 7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4cm的半圆，则此圆锥的体积是 ． 8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知C=120°，c=2，acosB=bcosA，则△ABC的面积为 ． 9．对于不重合直线a，b，不重合平面α，β，γ，下列四个条件中，能推出α∥β的有 ．（填写所有正确的序号）． ①γ⊥α，γ⊥β；②α∥γ，β∥γ；③a∥α，a∥β；④a∥b，a⊥α，b⊥β． 10．（文科）已知函数f（x）=a+是奇函数，则实数a的值为 ． 11．在平面直角坐标系xOy中，线段AB长为4，且其两个端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，则△AOB面积的最大值为 ． 12．已知公差不为零的等差数列{an}的前8项的和为8，且a12+a72=a32+a92，则{an}的通项公式为an=． 13．某地一天6时至20时的温度y（°C）随时间x（小时）的变化近似满足函数y=10sin（x+）+20，x∈[6，20]．在上述时间范围内，温度不低于20°C的时间约有 小时． 14．已知函数，将集合A={x|f（x）=t，0＜t＜1}（t为常数）中的元素由小到大排列，则前六个元素的和为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（3，5），AB边所在直线的方程为x﹣3y+8=0，点N（0，6）在AD边所在直线上． （1）求AD边所在直线的方程； （2）求对角线AC所在直线的方程． 16．在△ABC中，已知cosA=，tan（B﹣A）=，AC=5．求： （1）角B； （2）AB边的长． 17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知点D为棱BC中点． （1）如果AB=AC，求证：平面ADC1⊥平面BB1C1C； （2）求证：A1B∥平面AC1D． 18．设等差数列{an}的公差为d（d≠0），已知它的前10项和为110，且a1，a2，a4成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{}的前n项和Tn． 19．如图，某小区进行绿化改造．计划围出一块三角形绿地ABC．其中一边利用现成的围墙BC．长度为1（百米）．另外两边AB，AC使用某种新型材料．∠BAC=120°设AB=x（百米），AC=y（百米） （1）求x，y满足的关系式（指出x的取值范围） （2）若无论如何设计另两边的长，都能确保围成三角形绿地，则至少需要准备长度为多少（百米）的此种新型材料． 20．已知函数f（x）=ax2﹣|x﹣a| （1）当a=3时，求不等式f（x）＞7的解集 （2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[3，+∞）上的值域． 201-2015学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知A={1，2}，B={2，3，4}则A∪B={1，2，3，4} ． 考点：并集及其运算． 分析：直接根据并集的定义求出结果即可． 解答：解：∵A={1，2}，B={2，3，4} A∪B就是把A和B中所有的元素放在一起，然后把重复的去掉． ∴A∪B={1，2，3，4} 故答案为：{1，2，3，4} 点评：此题考查了并集的定义，属于基础题． 2．函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是 π ． 考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法． 专题：计算题；三角函数的图像与性质． 分析：根据二倍角的正弦公式，化简可得f（x）=sin2x，再由三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期． 解答：解：∵sin2x=2sinxcosx ∴f（x）=sinxcosx=sin2x， 因此，函数f（x）的最小正周期T==π 故答案为：π 点评：本题给出三角函数式，求函数的周期，着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识，属于基础题． 3．计算的值为 ﹣ ． 考点：运用诱导公式化简求值． 专题：三角函数的求值． 分析：所求式子中的角变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 解答：解：cos=cos（π+）=﹣cos=﹣． 故答案为：﹣ 点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 4．已知向量=（2，1），=（1，x），且（+）⊥，则实数x的值为 ﹣7 ． 考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用． 分析：由向量的坐标加法运算求得+，然后由向量垂直的坐标表示列式求得x的值． 解答：解：∵=（2，1），=（1，x）， ∴+=（3，1+x）， 由（+）⊥，得2×3+1×（1+x）=0． 解得：x=﹣7． 故答案为：﹣7． 点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直的坐标表示，是基础题． 5．已知直线l：x+my+6=0，若点A（﹣5，1）到直线l的距离为，则实数m的值为 1 ． 考点：点到直线的距离公式． 专题：直线与圆． 分析：根据点到直线的距离公式，代入计算即可． 解答：解：根据点到直线的距离公式，d==，解得m=1， 故答案为：1． 点评：本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题． 6．若A（1，2），B（﹣3，4），C（2，t）三点共线，则实数t的值为 ． 考点：直线的斜率． 专题：平面向量及应用；直线与圆． 分析：方法一：利用向量坐标的求法求出两个向量的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出t； 方法二：利用斜率公式，三点共线，则斜率相等，即可求出t． 解答：解：方法一（向量法） ∵A（1，2），B（﹣3，4），C（2，t）． ∴=（﹣4，2），=（1，t﹣2）， ∵A（1，2），B（﹣3，4），C（2，t）三点共线， ∴﹣4（t﹣2））=2， ∴t=， 方法二（斜率法）， ∵A（1，2），B（﹣3，4），C（2，t）三点共线， ∴kAB=kAC， ∴=， 解得t=， 故答案为：． 点评：本题考查三点共线的应用，斜率法和向量坐标的求法，属于基础题． 7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4cm的半圆，则此圆锥的体积是 π ． 考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 专题：空间位置关系与距离． 分析：利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积． 解答：解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆， 所以圆锥的底面周长为：4π， 底面半径为：2，圆锥的高为：2； 圆锥的体积为：π?22×2=π． 故答案为：π． 点评：本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型． 8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知C=120°，c=2，acosB=bcosA，则△ABC的面积为 ． 考点：正弦定理． 专题：解三角形． 分析：利用正弦定理把题设中关于边的等式转换成角的正弦，进而利用两角差公式化简整理求得A=B，进而求得a=b．根据余弦定理求得a，b，进而利用三角形面积公式即可得解． 解答：解：∵acosB=bcosA，且C=120°，c=2， ∴由题意及正弦定理可得：sinAcosB=sinBcosA， 即sin（A﹣B）=0，故A=B，由正弦定理可得：a=b， ∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC可得：12=a2+a2﹣2×a×a×cos120°，解得a=b=2． ∴△ABC的面积S=absinC==． 故答案为：． 点评：本题主要考查了余弦定理的应用，正弦定理的应用，两角和公式的化简求值，属于基本知识的考查． 9．对于不重合直线a，b，不重合平面α，β，γ，下列四个条件中，能推出α∥β的有 ②④ ．（填写所有正确的序号）． ①γ⊥α，γ⊥β；②α∥γ，β∥γ；③a∥α，a∥β；④a∥b，a⊥α，b⊥β． 考点：平面与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离． 分析：①γ⊥α，γ⊥β时，α与β不一定平行； ②α∥γ，β∥γ时，α∥β； ③a∥α，a∥β时，α∥β不一定成立； ④a∥b，且a⊥α，b⊥β，能得出α∥β． 解答：解：对于①，当γ⊥α，γ⊥β时，α与β相交，或α与β平行； 对于②，当α∥γ，β∥γ时，根据平行平面的公理得α∥β； 对于③，当a∥α，a∥β时，α与β相交，或α与β平行； 对于④，当a∥b时，若a⊥α，则b⊥α，又b⊥β，∴α∥β； 综上，能推出α∥β的是②④． 故答案为：②④． 点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了符号语言的应用问题，是基础题目． 10．（文科）已知函数f（x）=a+是奇函数，则实数a的值为 ． 考点：函数奇偶性的性质． 专题：函数的性质及应用． 分析：由题意可得f（﹣x）=﹣f（x），即a+=﹣a﹣，即2a=﹣=1，由此求得a的值． 解答：解：函数f（x）=a+是奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x）， 即 a+=﹣a﹣，即2a=﹣=1， 解得 a=， 故答案为． 点评：本题主要考查奇函数的定义和性质，属于基础题． 11．在平面直角坐标系xOy中，线段AB长为4，且其两个端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，则△AOB面积的最大值为 4 ． 考点：正弦定理． 专题：解三角形；不等式的解法及应用． 分析：设A（x，0），B（0，y），由两点间的距离公式可得：x2+y2=16，由基本不等式可得xy≤，（当且仅当x=y=2时），由三角形面积公式即可得解． 解答：解：设A（x，0），B（0，y），由两点间的距离公式可得：x2+y2=16， 故△AOB面积S=xy≤==4．（当且仅当x=y=2时） 故答案为：4． 点评：本题主要考查了两点间的距离公式，基本不等式的应用，属于基础题． 12．已知公差不为零的等差数列{an}的前8项的和为8，且a12+a72=a32+a92，则{an}的通项公式为an=﹣2n+10 ． 考点：等差数列的前n项和． 专题：等差数列与等比数列． 分析：根据等差数列的通项公式与前n项和公式，求出公差d与首项a1即可． 解答：解：等差数列{an}中， s8=8a1+28d=8， 即2a1+7d=2①； 又a12+a72=a32+a92， ∴+=+， 化简，得a1d+4d2=0， 又d≠0， ∴a1=﹣4d； 代入①得，﹣8d+7d=2， 解得d=﹣2； ∴a1=﹣4×（﹣2）=8， ∴{an}的通项公式为 an=8+（n﹣1）?（﹣2）=﹣2n+10． 故答案为：﹣2n+10． 点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的应用问题，是基础题目． 13．某地一天6时至20时的温度y（°C）随时间x（小时）的变化近似满足函数y=10sin（x+）+20，x∈[6，20]．在上述时间范围内，温度不低于20°C的时间约有 8 小时． 考点：正弦函数的图象． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：利用温度不低于20，则10sin（）+20≥20，结合x的范围，即可得到此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间． 解答：解：由题意，10sin（）+20≥20 ∴sin（）≥0 ∴2kπ≤≤2kπ+π ∴16k﹣6≤x≤16k+2， ∵x∈[6，20]， ∴10≤x≤18 ∴此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为18﹣10=8小时 故答案为：8． 点评：本题考查三角函数模型的运用，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于中档题． 14．已知函数，将集合A={x|f（x）=t，0＜t＜1}（t为常数）中的元素由小到大排列，则前六个元素的和为 52 ． 考点：函数的零点与方程根的关系． 专题：函数的性质及应用． 分析：通过分类讨论①当1≤x≤2时，f（x）=x﹣1，由x﹣1=t，解得x=1+t；②当2＜x≤3时，f（x）=3﹣x，由3﹣x=t，解得x=3﹣t； ③当3＜x≤6时，1＜，则f（x）=3（）=x﹣3，由x﹣3=t，解得x=3+t；④当6＜x≤9时，，f（x）==9﹣x，由9﹣x=t，解得x=9﹣t； ⑤当9＜x≤18时，，则f（x）=3=x﹣9，由x﹣9=t，解得x=9+t；⑥当18＜x≤27时，，则f（x）==27﹣x，由27﹣x=t，解得x=27﹣t． 即可得到答案． 解答：解：①当1≤x≤2时，f（x）=x﹣1，由x﹣1=t，解得x=1+t； ②当2＜x≤3时，f（x）=3﹣x，由3﹣x=t，解得x=3﹣t； ③当3＜x≤6时，1＜，则f（x）=3（）=x﹣3，由x﹣3=t，解得x=3+t； ④当6＜x≤9时，，f（x）==9﹣x，由9﹣x=t，解得x=9﹣t； ⑤当9＜x≤18时，，则f（x）=3=x﹣9，由x﹣9=t，解得x=9+t； ⑥当18＜x≤27时，，则f（x）==27﹣x，由27﹣x=t，解得x=27﹣t． 因此将集合A={x|f（x）=t，0＜t＜1}（t为常数）中的元素由小到大排列， 则前六个元素的和=（1+t）+（3﹣t）+（3+t）+（9﹣t）+（9+t）+（27﹣t）=52． 故答案为52． 点评：熟练掌握含绝对值符号的函数如何去掉绝对值符号、分类讨论的思想方法、函数的交点等是解题的关键． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（3，5），AB边所在直线的方程为x﹣3y+8=0，点N（0，6）在AD边所在直线上． （1）求AD边所在直线的方程； （2）求对角线AC所在直线的方程． 考点：待定系数法求直线方程． 专题：直线与圆． 分析：（1）根据直线垂直的关系求出直线斜率即可求AD边所在直线的方程； （2）求出交点M的坐标即可求对角线AC所在直线的方程． 解答：解：（1）解法一：因为AB边所在直线的方程为x﹣3y+8=0，所以kAB=．…（2分） 又因为矩形ABCD中，AD⊥AB，所以kAD=﹣=﹣3．…（4分） 所以由点斜式可得AD边所在直线的方程为：y﹣6=﹣3（x﹣0）， 即3x+y﹣6=0．…（6分） 解法二：因为矩形ABCD中，AD⊥AB， 所以设AD边所在直线的方程为：3x+y+m=0．…（4分） 又因为直线AD过点N（0，6）， 所以将点N（0，6）代入上式得3×0+6+m=0，解得m=﹣6． 所以AD边所在直线的方程为：3x+y﹣6=0．…（6分） （2）由，解得即A（1，3），…（10分） 所以对角线AC所在直线的方程：=，即x﹣y+2=0．…（14分） 点评：本题主要考查直线方程的求解，要求熟练掌握求直线方程的各种方法． 16．在△ABC中，已知cosA=，tan（B﹣A）=，AC=5．求： （1）角B； （2）AB边的长． 考点：正弦定理；余弦定理． 专题：计算题；解三角形． 分析：（1）解法一：由cosA=，可求tanA，利用两角和的正切函数公式可求tanB=tan[（B﹣A）+A]的值，结合范围B∈（0，π），即可求B． 解法二：由cosA=，可求tanA，利用tan（B﹣A）==，解得tanB，结合范围B∈（0，π），即可求B． （2）解法一：可求sinA=，sinB=cosB=，从而利用两角和的正弦函数公式可求sinC=sin（A+B）的值，由正弦定理=，可求AB． 解法二：作CD⊥AB，垂足为D，由AC，cosA，可求CD，AD，又B=，即可记得AB的值． 解答：解（1）解法一：在△ABC中，因为 cosA=，所以tanA==，…（2分） 所以tanB=tan[（B﹣A）+A]===1．…（4分） 因为B∈（0，π），所以B=．…（6分） 解法二：在△ABC中，因为 cosA=，所以tanA=，…（2分） 所以tan（B﹣A）===，解得tanB=1．…（4分） 因为B∈（0，π），所以B=．…（6分） （2）解法一：在△ABC中，由cosA=，B=， 可得sinA=，sinB=cosB=，…（9分） 从而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（11分） 由正弦定理=，代入得=，从而AB=7．…（14分） 解法二：作CD⊥AB，垂足为D，由AC=5，cosA=， 所以CD=3，AD=4，…（9分） 又B=，所以BD=CD=3，…（12分） 所以AB=3+4=7．…（14分） 点评：本题考查了正弦定理，两角和的正切函数公式，正弦函数公式，同角三角函数关系式，勾股定理的应用，属于基本知识的考查． 17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知点D为棱BC中点． （1）如果AB=AC，求证：平面ADC1⊥平面BB1C1C； （2）求证：A1B∥平面AC1D． 考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 专题：证明题；空间位置关系与距离． 分析：（1）由CC1⊥平面ABC．可证CC1⊥AD，由AB=AC，D为BC中点，可证AD⊥BC，即可证明AD⊥平面BB1C1C从而可证平面AC1D⊥平面BB1C1C． （2）连结A1C，设A1C∩AC1=E，连结DE．可得E为A1C中点，由D为BC中点，可证DE∥A1B，即可证明A1B∥平面AC1D． 解答：证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC． 因为AD?平面ABC，所以CC1⊥AD．…（2分） 因为AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC．…（4分） 因为BC?平面BB1C1C，CC1?平面BB1C1C，BC∩CC1=C， 所以AD⊥平面BB1C1C．…（6分） 因为AD?平面AC1D， 所以平面AC1D⊥平面BB1C1C．…（8分） （2）连结A1C，设A1C∩AC1=E，连结DE． 因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C为平行四边形， 所以E为A1C中点．…（10分） 因为D为BC中点，所以DE∥A1B．…（12分） 因为DE?平面AC1D，A1B?平面AC1D， 所以A1B∥平面AC1D．…（14分） 点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题． 18．设等差数列{an}的公差为d（d≠0），已知它的前10项和为110，且a1，a2，a4成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{}的前n项和Tn． 考点：数列的求和；等差数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（1）通过2a1+9d=22与a22=a1a4，进而计算即得结论； （2）通过（1）、裂项可知=（﹣），进而并项相加即得结论． 解答：解：（1）设{an}的前n项和为Sn， ∵S10=110， ∴2a1+9d=22．…① ∵a1，a2，a4成等比数列， ∴a22=a1a4．…② 由①、②，解得：a1=d=2， ∴an=2n； （2）由（1）可知：==（﹣）， ∴Tn=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=． 点评：本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题． 19．如图，某小区进行绿化改造．计划围出一块三角形绿地ABC．其中一边利用现成的围墙BC．长度为1（百米）．另外两边AB，AC使用某种新型材料．∠BAC=120°设AB=x（百米），AC=y（百米） （1）求x，y满足的关系式（指出x的取值范围） （2）若无论如何设计另两边的长，都能确保围成三角形绿地，则至少需要准备长度为多少（百米）的此种新型材料． 考点：解三角形的实际应用． 专题：解三角形． 分析：（1）利用余弦定理，可求x，y满足的关系式，及x的取值范围； （2）利用（1）的结论及基本不等式，即可求得结论． 解答：解：（1）由余弦定理可得，1=x2+y2﹣2xycos120°，∴x2+y2+xy=1，其中0＜x＜1； （2）∵（x+y）2=x2+y2+2xy=1+xy≤1+ ∴（x+y）2≤ ∴x+y≤，当且仅当x=y=时，取等号 ∴至少需要准备长度为百米的此种新型材料． 点评：本题考查余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题． 20．已知函数f（x）=ax2﹣|x﹣a| （1）当a=3时，求不等式f（x）＞7的解集 （2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[3，+∞）上的值域． 考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数． 专题：不等式的解法及应用． 分析：（1）当a=3时，求不等式即 3x2﹣|x﹣3|＞7，故有①，或②．分别求得解①和②的解集，再取并集，即得所求． （2）根据函数f（x）=ax2﹣|x﹣a|=．分①a≤3 和②a＞3，两种情况，分别根据函数f （x）的单调性求得函数的最小值，综合可得结论． 解答：解：（1）当a=3时，求不等式f（x）＞7，即 3x2﹣|x﹣3|＞7，∴①，或②． 解①求得x≥3，解②求得 x＜﹣2，或＜x＜3． 综上，不等式的解集为{x|x＜﹣2，或x＞}． （2）∵a＞0时，函数f（x）=ax2﹣|x﹣a|=． ①若0＜a≤3，则f（x）=ax2﹣x+a，当对称轴x=≤3，即≤a≤3 时， 函数f（x）在[3，+∞）上是增函数，故最小值为f（3）=10a﹣3，函数没有最大值． 当对称轴x=＞3，即 0＜a＜时，函数f（x）在（3，）上是减函数， 在（，+∞）上是增函数，故函数的最小值为f（）=a﹣，函数没有最大值． ②若a＞3，当3≤x＜a时，则f（x）=ax2+x﹣a，由于对称轴x=﹣＜0， 故函数f（x）在[3，a）上是增函数，函数的最小值为f（3）=8a+3，最大值趋于f（a）=a3． 当x≥a时，f（x）=ax2﹣x+a，由于对称轴x=＜3，故函数f（x）在[a，+∞）上是增函数， 函数的最小值为f（a）=8a+3，函数没有最大值． 综上可得，当0＜a＜时，f（x）的值域为[a﹣，+∞）； 当≤a≤3 时，f（x）的值域为[10a﹣3，+∞）； 当3＜a时，f（x）的值域为[8a+3，+∞）． 点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。
江苏省南京市2014-2015学年高一第二学期期末数学试卷(含答案)
南京市2014～2015学年度第二学期期末学情调研测试卷高 一 数 学 2015.07参考公式：锥体的体积公式为：V 锥体＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．不等式x x ＋1＜0的解集为 ▲ ．2．数列{a n }是等比数列，若a 3＝1，a 5＝4，则a 7的值为 ▲ ．3．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a 2＋b 2－2ab ＝c 2，则角C 的大小为 ▲ ． 4．点P (3，－2)到直线l ：3x ＋4y －26＝0的距离为 ▲ ． 5．函数y ＝x ＋16x ＋1(x ＞－1)的最小值为 ▲ ．6．过点P (－3，1)，倾斜角为120°的直线方程为 ▲ ．7．公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 8＝2a 3，则S 15S 5的值为 ▲ ．8．若三条直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y －10＝0和2x －y ＝0相交于一点，则实数a 的值 为 ▲ ． 9．下列命题：①如果一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直； ④如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直． 其中正确．．的命题的序号为 ▲ ． 10．已知经过A (－1，a )，B (a ，8)两点的直线与直线2x －y ＋1＝0平行，则实数a 的值为 ▲ ． 11．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b cos C ＋c cos B ＝c sin A ，则a ＋b c 的最大值为 ▲ ．12．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm 的半圆，则这个圆锥的体积为 ▲ cm 3． 13．已知x ＞0，y ＞0，且xy ＝x ＋2y ，则x ＋y 的最小值为 ▲ ．14．已知a n ＝3n ，b n ＝3n ，n N *，对于每一个k ∈N *，在a k 与a k ＋1之间插入b k 个3得到一个数列{c n }．设T n 是数列{c n }的前n 项和，则所有满足T m ＝3c m ＋1的正整数m 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知直线l：x－2y＋2m－2＝0．(1)求过点(2，3)且与直线l垂直的直线的方程；(2)若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数m的取值范围．16．（本小题满分14分）一副直角三角板（如图1）拼接，将△BCD折起，得到三棱锥A－BCD（如图2）．(1)若E，F分别为AB，BC的中点，求证：EF∥平面ACD；(2)若平面ABC⊥平面BCD，求证：平面ABD⊥平面ACD．AB CD BADFE（第16题图1）（第16题图2）17．（本小题满分14分）如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝6，CD ＝2，∠ABD ＝60°，∠ADB ＝75°， ∠ADC ＝120°． （1）求BD 的长； （2）求△ABC 的面积．18．（本小题满分16分）如图，用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物．已知木板的长BC 紧贴地面且为4米，宽BE 为2米，墙角的两堵墙面所成二面角为120°，且均与地面垂直，如何放置木板才能使这个空间的体积最大，最大体积是多少？19．（本小题满分16分）DBCA（第17题图）已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 3＝a 4＋4，且a 2，a 6，a 18成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)设c n ＝S n ＋t ，若{c n }为等差数列，求实数t 的值．20．（本小题满分16分）设等比数列{a n }的首项为a 1＝2，公比为q (q 为正整数)，且满足3a 3是8a 1与a 5的等差中项．数列{b n }的前n 项和S n ＝n 2，n ∈N *． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若不等式λb n ≤S n ＋6对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围；(3)若c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12(b n ＋1)，n 为奇数，n ∈N *，a n ， n 为偶数，n ∈N *．从数列{c n }中取出若干项(奇数项与偶数项均不少于两项)，将取出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．南京市2014－2015学年第二学期高一教学调研测试数学参考答案及评分标准 2015.07说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．(－1，0) 2．16 3．π4 4．5 5．76．3x ＋y ＋2＝0 7．6 8．－12 9．②④ 10．2 11． 2 12．33π 13．3＋2 2 14．3 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：(1)与直线l 垂直的直线的斜率为－2， …………………… 2分因为点(2，3)在该直线上，所以所求直线方程为y －3＝－2(x －2)，故所求的直线方程为2x ＋y －7＝0． ……………………6分 (2) 直线l 与两坐标轴的交点分别为(－2m ＋2，0)，(0，m －1)， ……………8分 则所围成的三角形的面积为12×|－2m ＋2|×|m －1|． ……………………10分由题意可知12×|－2m ＋2|×|m －1|＞4，化简得(m －1)2＞4， …………………12分解得m ＞3或m ＜－1，所以实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)． ………14分 16．证明：(1)因为E ，F 分别为AB ，BC 的中点，所以EF ∥AC ． ………………2分 又EF ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，所以EF ∥平面ACD ． …………………6分(2) 因为平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，CD ⊂平面BCD ，CD ⊥BC ，所以CD ⊥平面ABC ． ……………………8分 因为AB ⊂平面ABC ，所以CD ⊥AB ． ……………………10分又因为AB ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，AC ⊂平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ． ……………………12分又AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD ． ……………………14分 17．解：（1）在△ABD 中，AD ＝6，∠ABD ＝60°，∠BAD ＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理得BD sin45°＝6sin60°，所以BD ＝2． ……………………4分（2）解法一：在△BCD 中，BD ＝2，因为∠BDC ＝∠ADC －∠ADB ＝120°－75°＝45°， CD ＝2，由余弦定理得BC 2＝22＋(2)2 －42cos45°＝2，所以BC ＝2， ……………8分所以△BCD 为等腰直角三角形，所以∠DBC ＝45°，∠ABC ＝60°＋45°＝105°． ……………………10分 在△ABD 中，AD ＝6，∠ABD ＝60°，∠ADB ＝75°，由正弦定理得AB sin75°＝6sin60°，所以AB ＝3＋1． ……………………12分 △ABC 的面积S ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×(3＋1)×2×sin105°＝2＋32．……………………14分 解法二：在△ABD 中，AD ＝6，BD ＝2，∠ADB ＝75°，所以△ABD 的面积S 1＝12AD ·BD ·sin ∠ADB ＝3＋32． ……………………8分又△ACD 的面积S 2＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝32， ……………………10分△BCD 的面积S 3＝1． ……………………12分 所以△ABC 的面积S ＝S 1＋S 3－S 2＝2＋32． ……………………14分18．解法一：设AB ＝x 米，AC ＝y 米，所围成的直三棱柱空间的体积为V 立方米，所以V ＝12xy sin 2π3·2＝32xy ． ……………………4分由题意得42＝x 2＋y 2－2xy cos 2π3，即x 2＋y 2＋xy ＝16， ……………………8分因为x 2＋y 2≥2xy ，所以16≥2xy ＋xy ，即xy ≤163， ……………………12分当且仅当x ＝y ＝433时，不等式取等号．所以V ≤32·163＝833． ……………………15分 答：当AB ＝AC ＝433米时，所围成的直三棱柱空间最大，最大体积为833立方米．……………………16分解法二：设∠ABC ＝θ，所围成的直三棱柱空间的体积为V 立方米． 由正弦定理得4sin 2π3＝AC sin θ＝ABsin(π3－θ)，则AC ＝83sin θ，AB ＝83sin(π3－θ)， ……………………6分 所以V ＝12AB ·AC ·sin 2π3·BE ＝12×643sin θ·sin(π3－θ)×32×2＝3233sin θ·sin(π3－θ) ， ……………………9分 ＝3233sin θ×(32cos θ－12sin θ)＝833×[3sin2θ－(1－cos2θ)] ＝1633sin(2θ＋π6)－833． ……………………12分 因为0＜θ＜π3，即 π6＜2θ＋π6＜5π6，所以当且仅当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，V 取得最大值833． ……………………15分答：当∠ABC ＝π6时，所围成的直三棱柱空间最大，最大体积为833立方米．……………………16分19．解：(1)设等差数列{a n }的公差d (d ≠0)．因为S 3＝a 4＋4，所以3a 1＋3d ＝a 1＋3d ＋4，解得a 1＝2． …………………… 2分 因为a 2，a 6，a 18成等比数列，所以(a 1＋5d )2＝(a 1＋d )( a 1＋17d )，化简得a 1d ＝d 2． 因为d ≠0，所以a 1＝d ，故d ＝2，所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ．…………………4分 (2)因为b n ＝a n 2n ＝n2n －1，则T n ＝1＋22＋322＋…＋n2n －1，①所以12T n ＝ 12＋222＋323＋…n －12n －1＋n 2n ，② ……………………6分由①－②得12T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－(12)n1－12－n2n ＝2－2＋n 2n ，所以T n ＝4－2＋n2n －1． ……………………10分(3)解法一：设数列{c n }的公差为d 1，则c n ＝c 1＋(n －1)d 1，即S n ＋t ＝c 1＋(n －1)d 1，n ∈N *． ……………………12分 因为S n ＝n (n ＋1)，所以n (n ＋1)＋t ＝(d 1n ＋c 1－d 1)2，化简得(1－d 12)n 2+[1－2d 1(c 1－d 1)]n ＋t －(c 1－d 1)2＝0．(*) 因为（*）对所有n ∈N *恒成立，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧1－d 12＝0，1－2d 1(c 1－d 1)＝0，t －(c 1－d 1)2＝0．……………………14分因为c n ＝S n ＋t ，所以c n ＞0．若d 1＝－1时，c 1＝－32，则c n ＜0，所以d 1＝－1不满足条件．从而d 1＝1，c 1＝32，t ＝14．所以实数t 的值为14． ……………………16分解法二：因为S n ＝n (n ＋1)，则c n ＝n (n +1)＋t ， 所以c 1＝2＋t ，c 2＝6＋t ，c 3＝12＋t ．因为{c n }为等差数列，所以2 c 2＝c 1＋c 3， ……………………12分 即26＋t ＝2＋t ＋12＋t ，解得t ＝14． ……………………14分当t ＝14时，则c n ＝n (n +1)＋14＝n ＋12．因为c n －c n －1＝(n ＋12)－(n －1＋12)＝1，所以{c n }为等差数列．所以实数t 的值为14． ……………………16分20．解：(1)由题意得，2×3a 3＝8a 1＋a 5，则6q 2＝8＋q 4， ……………………2分 解得q 2＝4或q 2＝2．因为q 为正整数，则q ＝2． ……………………3分 又a 1＝2，则a n ＝2n ，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ． ……………………4分 (2)当n ＝1时，b 1＝S 1＝1；当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，n ＝1时也符合，故b n ＝2n －1． ……………………6分不等式λb n ≤S n ＋6对一切n ∈N *恒成立,转化为λ≤n 2＋62n －1对一切n ∈N *恒成立．记T ＝n 2＋62n －1,令2n －1＝t （t ＞0）,则n ＝t ＋12,T ＝(t ＋12)2＋6t ＝14(t ＋25t ＋2)≥14(2t ·25t ＋2)＝14(2×5＋2)＝3, ………………8分 当且仅当t ＝25t,即t ＝5,n ＝3时等号成立,故λ≤3,即实数λ的取值范围是(－∞, 3]． ………………10分(3)由(1),(2)可知c n ＝⎩⎨⎧n ，n 为奇数，2n 2，n 为偶数．设奇数项取了s 项，偶数项取了k 项，其中s ，k ∈N *，s ≥2，k ≥2．因为数列{c n }的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数．…………………12分假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数． 设抽出的三个偶数从小到大依次为2i ，2j ，2p (1≤i ＜j ＜p )，则2i ＋2j 2＝2i －1＋2j －1为奇数，而i ≥1，j ≥2，则2j －1为偶数，2i －1为奇数，所以i ＝1．又2j ＋2p 2＝2j －1＋2p －1为奇数，而j ≥2，p ≥3，则2j －1与2p －1均为偶数，矛盾．又因为k ≥2，所以k ＝2，即偶数只有两项，则奇数最多有3项，即s＋k的最大值为5．……………………14分设此等差数列为d1，d2，d3，d4，d5，则d1，d3，d5为奇数，d2，d4为偶数，且d2＝2．由d1＋d3＝2d2＝4，得d1＝1，d3＝3，此数列为1，2，3，4，5．同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5和5，4，3，2，1．……………………16分。
江苏省南京市中华中学2015届高三期初调研考试数学试题
江苏省南京市中华中学2015届高三期初调研考试第Ⅰ卷（必做题共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．复数11i+的模为．2．已知全集U =R ，函数11y x =+的定义域为集合A ，函数2log (2)y x =+的定义域为集合B ，则集合()UA B =ð．3．22log sinlog cos1212pp+的值为．4．已知命题p ：x $ÎR ，使5sin 2x =；命题q ：x "ÎR ，都有210x x ++>．给出下列命题：（1）命题“p q Ù”是真命题；（2）命题“p q ÙØ”是假命题；（3）命题“p q ØÚ”是真命题；（4）命题“p q ØÚØ”是假命题．其中正确的是（填序号）．5．右图的程序框图输出的结果S 等于．6．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组（每小组4人）人）在期末在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组四名同学数学成绩的方差2s =．7．在△ABC 中，60ABC Ð=°，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为．8．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p =．9．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与c 的夹角为60°，||3||=b a ，则a 与b 的夹角为．10．已知a ，b ，x 是实数，函数2()21f x x ax =-+与函数()2()g x b a x =-的图像不相交，记参数a ，b 所组成的点()a b ，的集合为A ，则集合为A 表示的平面图形的面积为．11．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +×=()n *ÎN ，则2012S =．12．圆心在曲线2(0)y x x =>上，且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为．13．定义在R 上的奇函数()f x 对任意x ÎR 都有()(4)f x f x =+，当(20)x Î-，时，()2x f x =，则(2012)(2011)f f -=．14．定义方程()()f x f x ¢=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()2g x x =，()ln h x x =，3()(0)x x x j =¹的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为的大小关系为 ．二、填空题：本大题共6小题，共计70分．15．（本小题满分14分）分）已知函数()tan 34f x x p æö=+ç÷èø．（1）求9f p æöç÷èø的值；的值；（2）设32p a p æöÎç÷èø，，若234f a p æö+=ç÷èø，求cos 4p a æö-ç÷èø的值．的值．16． （本题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，ABD D 为正三角形，,EB ED CB CD ==. （1）求证：EC BD ^；（2）若A B B C ^，,M N 分别为线段,AE AB 的中点，求证：平面//DMN 平面BEC . NMABDCE17．（本小题满分14分）分）给定椭圆C ：22221x ya b +=(0a b >>)．称圆心在原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为(20)F ，，其短轴上的一个端点到点F 的距离为3．（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过动点P 作直线1l ，2l ，使得1l ，2l 与椭圆C 都只有一个交点，试判断1l ，2l 是否垂直，并说明理由．是否垂直，并说明理由．18．（本小题满分16分）分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（1）若建立函数()y f x =模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数()f x 模型的基本要求，并分析函数2150xy =+是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明理由；理由；（2）若该公司采用函数模型1032x ay x -=+作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．值．19．（本小题满分16分）分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n a S -=，n *ÎN ．（1）求数列{}n a 的通项公式；的通项公式；（2）在数列{}n a 的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列{}n b ；n a 和1n a +两项之间插入n 个数，使这2n +个数构成等差数列，求2012b 的值；的值；（3）对于（2）中的数列{}n b ，若m n b a =，求123m b b b b ++++（用n 表示）．20．（本小题满分16分）分）已知函数325()2f x x x ax b =+++（,a b 为常数），其图象是曲线C ．（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调减区间；的单调减区间；（2）设函数()f x 的导函数为()f x ¢，若存在唯一的实数0x ，使得00()f x x =与0()0f x =¢同时成立，求实数b 的取值范围；的取值范围；（3）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线12,l l 的斜率分别为12,k k ．问：是否存在常数l ，使得21k k l =？若存在，求出l 的值；若不存在，请说明理由．的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．2． 2．(21]--，． 3．2-． 4．（2）（3）． 5．20． 6．9．7．12．8．4．9．33-． 10．p ．11．1006323´-．12．22(1)(2)5x y -+-=． 13．12-．14．c b a >>． 15．16.（1）取BD 的中点O ，连结EO ，CO ，∵△ABC 为正三角形，且CD=CB∴CO ⊥BD ，E O ⊥BD ………………………………44分 又0COEO =，∴BD ⊥平面EOC ，∵ÌEC 平面EOC∴BD ⊥EC . ………………………………77分 （2）∵N 是AB 中点，ABD D 为正三角形，∴DN ⊥AB ，ONMABDCE∵BC ⊥AB ，∴DN //BC ，∵BC Ì平面BCE DN Ë平面BCE ，∴BC //平面BCE ， ………………………………1010分 ∵M 为AE 中点，N 为AB 中点，∴MN //BE ，∵MN Ë平面BCE ，BE Ì平面BCE ，∴MN //平面BCE ， ………………………………1212分 ∵MN DN =N ，∴平面MND //平面BCE . ………………………………1414分17．18．19．20．(1)当2a =-时， 2()352(31)(2)f x x x x x ¢=+-=-+. ……………2分令f ¢(x )<0，解得123x -<<，所以f (x )的单调减区间为1(2,)3-． ……………4分(2) 2()35f x x x a ¢=++，由题意知20032000035052x x a x x ax b x ì++=ïí+++=ïî消去a ， 得320005202x x x b ++-=有唯一解．……………………………6分令325()22g x x x x =++，则2()651(21)(31)g x x x x x ¢=++=++，所以()g x 在区间1(,)2-¥-，1(,)3-+¥上是增函数，在11(,)23--上是减函数，……………8分 又11()28g -=-，17()354g -=-，故实数b 的取值范围是71(,)(,)548-¥--+¥． ………………………10分 (3)设0(,())A x f x ，则点A处切线方程为0()()()y f x f x x x ¢-=-，与曲线C ：()y f x =联立方程组，得000()()()()f x f x f x x x ¢-=-，即2005()[(2)]2x x x x -++，所以B 点的横坐标05(2)2B x x =-+． ………………………………………12分由题意知，21()35k f x x x a ¢==++，22000525(2)122024k f x x x a ¢=--=+++，若存在常数l ，使得21k k l =，则220000251220(35)4x x a x x a l +++=++，即存在常数l ，使得20025(4)(35)(1)4x x a l l -+=--，所以40,25(1)0.4a l l -=ìïí--=ïî解得4l =，2512a =． ……………………………15分 故2512a =时，存在常数4l =，使214k k =；2512a ¹时，不存在常数l ，使21k k l =．…16分。
2014-2015 学年江苏省南京市高一(下)期末数学试卷
2014-2015学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2015春•南京期末）不等式＜0的解集为．2．（5分）（2015春•南京期末）数列{a n}是等比数列，若a3=1，a5=4，则a7的值为．3．（5分）（2015春•南京期末）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a2+b2﹣ab=c2，则角C的大小为．4．（5分）（2015春•南京期末）点P（3，﹣2）到直线l：3x+4y﹣26=0的距离为．5．（5分）（2015春•南京期末）函数y=x+（x＞﹣1）的最小值为．6．（5分）（2015春•南京期末）过点P（﹣，1），倾斜角为120°的直线方程为．7．（5分）（2015春•南京期末）若等差数列{a n}的前n项和为S n，a8=2a3，则的值是．8．（5分）（2015春•南京期末）若三条直线ax+2y+8=0，4x+3y﹣10=0和2x﹣y=0相交于一点，则实数a的值为．9．（5分）（2015春•南京期末）下列命题：①如果一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直；④如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直．其中正确的命题的序号为．10．（5分）（2015春•南京期末）已知经过A（﹣1，a），B（a，8）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行，则实数a的值为．11．（5分）（2015春•南京期末）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．若bcosC+ccosB=csinA，则的最大值为．12．（5分）（2015春•南京期末）若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm的半圆，则这个圆锥的体积为cm3．13．（5分）（2015春•南京期末）已知x＞0，y＞0，且xy=x+2y，则x+y的最小值为．14．（5分）（2015春•南京期末）已知a n=3n，b n=3n，n∈N*，对于每一个k∈N*，在a k与a k+1之间插入b k个3得到一个数列{c n}．设T n是数列{c n}的前n项和，则所有满足T m=3c m+1的正整数m的值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2015春•南京期末）已知直线l：x﹣2y+2m﹣2=0．（1）求过点（2，3）且与直线l垂直的直线的方程；（2）若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数m的取值范围．16．（14分）（2015春•南京期末）一副直角三角板（如图1）拼接，将△BCD折起，得到三棱锥A﹣BCD（如图2）．（1）若E，F分别为AB，BC的中点，求证：EF∥平面ACD；（2）若平面ABC⊥平面BCD，求证：平面ABD⊥平面ACD．17．（14分）（2015春•南京期末）如图，在平面四边形ABCD中，AD=，CD=，∠ABD=60°，∠ADB=75°，∠ADC=120°．（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积．18．（16分）（2015春•南京期末）如图，用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物．已知木板的长BC紧贴地面且为4米，宽BE为2米，墙角的两堵墙面所成二面角为120°，且均与地面垂直，如何放置木板才能使这个空间的体积最大，最大体积是多少？19．（16分）（2015春•南京期末）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S3=a4+4，且a2，a6，a18成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）设c n=，若{c n}为等差数列，求实数t的值．20．（16分）（2015春•南京期末）设等比数列{a n}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项．数列{b n}的前n项和S n=n2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若不等式λb n≤S n+6对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若c n=从数列{c n}中取出若干项（奇数项与偶数项均不少于两项），将取出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．2014-2015学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2015春•南京期末）不等式＜0的解集为（﹣1，0）．【考点】其他不等式的解法．【分析】不等式＜0，即x（x+1）＜0，由此求得它的解集．【解答】解：不等式＜0，即x（x+1）＜0，求得﹣1＜x＜0，故答案为：（﹣1，0）．2．（5分）（2015春•南京期末）数列{a n}是等比数列，若a3=1，a5=4，则a7的值为16．【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【分析】根据等比数列的性质进行求解即可．【解答】解：在等比数列中，a3a7=（a5）2，即a7=16，故答案为：163．（5分）（2015春•南京期末）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a2+b2﹣ab=c2，则角C的大小为．【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：由余弦定理可得：cosC===，∵C∈（0，π），∴C=．故答案为：．4．（5分）（2015春•南京期末）点P（3，﹣2）到直线l：3x+4y﹣26=0的距离为5．【考点】点到直线的距离公式．【分析】把已知条件代入点到直线的距离公式，化简可得．【解答】解：由题意结合点到直线的距离公式可得：点P（3，﹣2）到直线l：3x+4y﹣26=0的距离d===5．故答案为：55．（5分）（2015春•南京期末）函数y=x+（x＞﹣1）的最小值为7．【考点】基本不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0．∴函数y=x+=（x+1）+﹣1﹣1=7，当且仅当x=3时取等号．故答案为：7．6．（5分）（2015春•南京期末）过点P（﹣，1），倾斜角为120°的直线方程为x+y+2=0．【考点】直线的点斜式方程．【分析】由直线的倾斜角求出斜率，用点斜式写出直线方程即可．【解答】解：∵直线l的倾斜角为120°，∴直线的斜率为k=tan120°=﹣，又∵直线l过点（﹣3，1），∴直线l的方程为：y﹣1=﹣（x+3），即x+y+2=0，故答案为：x+y+2=07．（5分）（2015春•南京期末）若等差数列{a n}的前n项和为S n，a8=2a3，则的值是6．【考点】等差数列的性质．【分析】由a8=2a3，得出a1=3d，再利用等差数列的前n项和的公式，即可得出结论．【解答】解：由{a n}为等差数列，且a8=2a3，得到a1+7d=2（a1+2d），∴a1=3d，∴==6，故答案为：6．8．（5分）（2015春•南京期末）若三条直线ax+2y+8=0，4x+3y﹣10=0和2x﹣y=0相交于一点，则实数a的值为﹣12．【考点】两条直线的交点坐标．【分析】联立4x+3y﹣10=0，2x﹣y=0，解得（x，y），由于三条直线ax+2y+8=0，4x+3y﹣10=0，2x﹣y=0相交于一点，把点代入ax+2y+8=0，即可解得a．【解答】解：联立4x+3y﹣10=0，2x﹣y=0，得，解得，∵三条直线ax+2y+8=0，4x+3y﹣10=0，2x﹣y=0相交于一点，∴把点（1，2）代入ax+2y+8=0，可得a+4+8=0，解得a=﹣12．故答案为：﹣12．9．（5分）（2015春•南京期末）下列命题：①如果一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直；④如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直．其中正确的命题的序号为②④．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①如果平面外一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面平行，故不正确；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行，根据面面平行的判定定理可知正确；③平面内无数条直线均为平行线时，不能得出直线与这个平面垂直，故不正确；④如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直，利用平面与平面垂直度判定定理可知正确．故答案为：②④．10．（5分）（2015春•南京期末）已知经过A（﹣1，a），B（a，8）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行，则实数a的值为2．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由题设条件知，两直线平行故两直线的斜率相等，由此方程求a的值即可．【解答】解：直线2x﹣y+1=0的斜率为1，由平行直线斜率相等得：2=，∴a=2故答案为：211．（5分）（2015春•南京期末）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．若bcosC+ccosB=csinA，则的最大值为．【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinC的值进而求得C，利用正弦定理将所求转化为sin（A+）即可求其最大值．【解答】解：∵bcosC+ccosB=csinA，∴由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sinCsinA，∵sinA≠0，∴sinC=1，C=，∴利用正弦定理可得：==sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+），∴则=sin（A+）的最大值为．故答案为：．12．（5分）（2015春•南京期末）若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm的半圆，则这个圆锥的体积为πcm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2cm的半圆，所以圆锥的底面周长为：2πcm，底面半径为：1cm，圆锥的高为：cm；圆锥的体积：V=π•12×=π．故答案为：π．13．（5分）（2015春•南京期末）已知x＞0，y＞0，且xy=x+2y，则x+y的最小值为3+2．【考点】基本不等式．【分析】x＞0，y＞0，且xy=x+2y，可得y=＞0，解得x＞2．变形x+y=x+=（x ﹣2）++3，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且xy=x+2y，∴y=＞0，解得x＞2．则x+y=x+=（x﹣2）++3+3=3+2，当且仅当x=2+，y=+1时取等号．∴x+y的最小值为3+2．故答案为：3+2．14．（5分）（2015春•南京期末）已知a n=3n，b n=3n，n∈N*，对于每一个k∈N*，在a k与a k+1之间插入b k个3得到一个数列{c n}．设T n是数列{c n}的前n项和，则所有满足T m=3c m+1的正整数m的值为3．【考点】数列递推式．【分析】由题意确定数列{c n}的项，然后分类求解满足T m=3c m+1的正整数m的值．【解答】解：a n=3n，b n=3n，由题意知，c1=a1=3，c2=c3=c4=3，c5=a2=9，c6=c7=c8=c9=c10=c11=3，c12=a3=27，…，则当m=1时，T1=3≠3c2=9，不合题意；当m=2时，T2=6≠3c3=9，不合题意；当m=3时，T3=9=3c4=9，适合题意．当m≥4时，若c m+1=3，则T m≥12≠3c m+1，不适合题意，从而c m+1必是数列{a n}中的某一项a k+1，则T m=a1+3+3+3+a2+3+3+3+3+3+3+a3+3+…+3+a4+3+…+a5+3+…+a6+…+a k﹣1+3+…+a k，=（3+32+33+…+3k）+3[1+2+…+（k﹣1）]==，又3c m+1=3a k+1=3×3k+1，∴=3×3k+1，即5×3k=k2﹣k﹣1，上式显然无解．即当m≥4时，T m≠3c m+1，综上知，满足题意的正整数m的值为3．故答案为：3．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2015春•南京期末）已知直线l：x﹣2y+2m﹣2=0．（1）求过点（2，3）且与直线l垂直的直线的方程；（2）若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数m的取值范围．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的截距式方程．【分析】（1）由直线l：x﹣2y+2m﹣2=0的斜率为，可得所求直线的斜率为﹣2，代入点斜式方程，可得答案；（2）直线l与两坐标轴的交点分别为（﹣2m+2，0），（0，m﹣1），则所围成的三角形的面积为×|﹣2m+2|×|m﹣1|，根据直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，构造不等式，解得答案．【解答】解：（1）∵直线l：x﹣2y+2m﹣2=0的斜率为，∴与直线l垂直的直线的斜率为﹣2，…（2分）因为点（2，3）在该直线上，所以所求直线方程为y﹣3=﹣2（x﹣2），故所求的直线方程为2x+y﹣7=0．…（6分）（2）直线l与两坐标轴的交点分别为（﹣2m+2，0），（0，m﹣1），…（8分）则所围成的三角形的面积为×|﹣2m+2|×|m﹣1|．…（10分）由题意可知×|﹣2m+2|×|m﹣1|＞4，化简得（m﹣1）2＞4，…（12分）解得m＞3或m＜﹣1，所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．…（14分）16．（14分）（2015春•南京期末）一副直角三角板（如图1）拼接，将△BCD折起，得到三棱锥A﹣BCD（如图2）．（1）若E，F分别为AB，BC的中点，求证：EF∥平面ACD；（2）若平面ABC⊥平面BCD，求证：平面ABD⊥平面ACD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用三角形中位线的性质，可得EF∥AC，即可证明EF∥平面ACD；（2）若平面ABC⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABC，CD⊥AB，因为AB⊥AC，所以AB⊥平面ACD，即可证明：平面ABD⊥平面ACD．【解答】证明：（1）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC．…（2分）又EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，所以EF∥平面ACD．…（6分）（2）因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，CD⊂平面BCD，CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC．…（8分）因为AB⊂平面ABC，所以CD⊥AB．…（10分）又因为AB⊥AC，AC∩CD=C，AC⊂平面ACD，CD⊂平面ACD，所以AB⊥平面ACD．…（12分）又AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面ACD．…（14分）17．（14分）（2015春•南京期末）如图，在平面四边形ABCD中，AD=，CD=，∠ABD=60°，∠ADB=75°，∠ADC=120°．（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积．【考点】解三角形．【分析】（1）求出，∠ABD=60°，∠BAD=180°﹣60°﹣75°=45°，利用正弦定理，求BD的长；（2）利用△ABD的面积+△BCD的面积﹣△ACD的面积，即可求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABD中，AD=，∠ABD=60°，∠BAD=180°﹣60°﹣75°=45°，由正弦定理得=，所以BD=2．…（4分）（2）在△ABD中，AD=，BD=2，∠ADB=75°，所以△ABD的面积S1=AD•BD•sin∠ADB=．…（8分）又△ACD的面积S2=AD•DC•sin∠ADC=，…（10分）△BCD的面积S3=1．…（12分）所以△ABC的面积S=S1+S3﹣S2=．…（14分）18．（16分）（2015春•南京期末）如图，用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物．已知木板的长BC紧贴地面且为4米，宽BE为2米，墙角的两堵墙面所成二面角为120°，且均与地面垂直，如何放置木板才能使这个空间的体积最大，最大体积是多少？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】方法一、设AB=x米，AC=y米，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米，由体积公式可得V=xysin•2=xy．再由余弦定理，结合重要不等式，可得xy的最大值，进而得到体积的最大值；方法二、设∠ABC=θ，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米．运用正弦定理，以及体积公式，运用三角函数的化简，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解法一：设AB=x米，AC=y米，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米，所以V=xysin•2=xy．由题意得42=x2+y2﹣2xycos，即x2+y2+xy=16，因为x2+y2≥2xy，所以16≥2xy+xy，即xy≤，当且仅当x=y=时，不等式取等号．所以V≤•=．答：当AB=AC=米时，所围成的直三棱柱空间最大，最大体积为立方米．解法二：设∠ABC=θ，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米．由正弦定理得==，则AC=sinθ，AB=sin（﹣θ），所以V=AB•AC•sin•BE=×sinθ•sin（﹣θ）××2=sinθ•sin（﹣θ）=sinθ×（cosθ﹣sinθ）=×[sin2θ﹣（1﹣cos2θ）]=sin（2θ+）﹣．因为0＜θ＜，即＜2θ+＜，所以当且仅当2θ+=，即θ=时，V取得最大值．答：当∠ABC=时，所围成的直三棱柱空间最大，最大体积为立方米．19．（16分）（2015春•南京期末）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S3=a4+4，且a2，a6，a18成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）设c n=，若{c n}为等差数列，求实数t的值．【考点】等差关系的确定；数列的求和．【分析】（1）求出首项与公差，可求求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，利用错位相减法求数列{b n}的前n项和T n；（3）设c n=，若{c n}为等差数列，则2c2=c1+c3，即可求实数t的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由S3=a4+4，得3a1+3d=a1+3d+4，即a1=2．又a2，a6，a18成等比数列，∴（a1+5d）2=（a1+d）（a1+17d），整理得：d=2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n；（2）b n==，∴T n=1+++…+，∴T n=++…++两式相减，整理可得T n=4﹣；（3）S n=2n+=n2+n．cn=，若{c n}为等差数列，则2c2=c1+c3，即2=+，∴t=．20．（16分）（2015春•南京期末）设等比数列{a n}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项．数列{b n}的前n项和S n=n2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若不等式λb n≤S n+6对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若c n=从数列{c n}中取出若干项（奇数项与偶数项均不少于两项），将取出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．【考点】数列的应用．【分析】（1）通过2×3a3=8a1+a5，进而计算即得结论；（2）通过S n=n2可知b1=S1=1，b n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），进而已知条件转化为λ≤对一切n∈N*恒成立，利用基本不等式计算即得结论；（3）通过（1）、（2）可知c n=，易知取出的数列中相邻的项必定一个是奇数、一个是偶数，进而讨论即得结论．【解答】解：（1）由题意得，2×3a3=8a1+a5，则6q2=8+q4，…（2分）解得q2=4或q2=2．因为q为正整数，则q=2．…（3分）又a1=2，则a n=2n，即数列{a n}的通项公式为a n=2n．…（4分）（2）当n=1时，b1=S1=1；当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，当n=1时也符合，故b n=2n﹣1．…（6分）不等式λb n≤S n+6对一切n∈N*恒成立，转化为λ≤对一切n∈N*恒成立．记T=，令2n﹣1=t（t＞0），则n=，T==（t++2）≥（2+2）=（2×5+2）=3，…（8分）当且仅当t=，即t=5，n=3时等号成立，故λ≤3，即实数λ的取值范围是（﹣∞，3]．…（10分）（3）由（1），（2）可知c n=，设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，k∈N*，s≥2，k≥2．因为数列{c n}的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数．…（12分）假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数．设抽出的三个偶数从小到大依次为2i，2j，2p（1≤i＜j＜p），则=2i﹣1+2j﹣1为奇数，而i≥1，j≥2，则2j﹣1为偶数，2i﹣1为奇数，所以i=1．又=2j﹣1+2p﹣1为奇数，而j≥2，p≥3，则2j﹣1与2p﹣1均为偶数，矛盾．又因为k≥2，所以k=2，即偶数只有两项，则奇数最多有3项，即s+k的最大值为5．…（14分）设此等差数列为d1，d2，d3，d4，d5，则d1，d3，d5为奇数，d2，d4为偶数，且d2=2．由d1+d3=2d2=4，得d1=1，d3=3，此数列为1，2，3，4，5．同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5和5，4，3，2，1．…（16分）。
江苏省南京市2015届高三学情调研数学试题(含附加题)
江苏省南京市2015届高三年级学情调研卷 数 学 2014.09注意事项：1．本试卷共3页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分为160分,考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答．题卡．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．题卡．．相应位置．．．．上． 1．函数f （x ）＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期为 ▲ ． 2．已知复数z ＝错误!,其中i 是虚数单位，则｜z ｜＝ ▲ ．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取 ▲ 名学生． 4．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加 学校会议，则甲被选中的概率是 ▲ ． 5．已知向量a ＝（2，1），b ＝(0，－1)．若(a ＋λb ）⊥a , 则实数λ＝ ▲ ．6．右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ▲ ．7．已知双曲线错误!－错误!＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程 为y ＝±错误!x ,则该双曲线的离心率为 ▲ ．8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,则这个圆锥的高是 ▲ ．9．设f (x ）＝x 2－3x ＋a ．若函数f (x ）在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 10．在△ABC 中，角A ，B ,C 所对边的长分别为a ,b ，c ．已知a ＋错误!c ＝2b ，sin B ＝错误!sin C ，则cos A ＝ ▲ ．11．若f (x )＝错误!是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为 ▲ ．12．记数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S n ＝2（a 1＋a n ）（n ≥2，n ∈N *），则S n ＝ ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，点A ,B 在圆C 上，且AB ＝2，3,则｜（第6题图）错误!＋错误!｜的最大值是 ▲ ．14．已知函数f （x ）＝x －1－（e －1)ln x ，其中e 为自然对数的底，则满足f (e x ）＜0的x 的取值范围 为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数f (x ）＝2sin(2x ＋φ）（0＜φ＜2π）的图象过点(错误!，－2）． （1）求φ的值；（2）若f (错误!)＝错误!，－错误!＜α＜0，求sin(2α－错误!)的值．16．（本小题满分14分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 1的中点． (1）求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；（2）若CC 1＝CB 1，CA ＝CB ，平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，求证：AB 平面CMN ．17．(本小题满分14分）已知{a n ｝是等差数列，其前n 项的和为S n , {b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝21, S 4＋b 4＝30．A 1ABC B 1C 1MN（第16题图）(1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n b n,n∈N*，求数列{c n｝的前n项和．18．(本小题满分16分）给定椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0），称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为错误!，且经过点（0，1）．（1)求实数a，b的值;（2）若过点P(0,m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，2,求实数m的值．19．（本小题满分16分）如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，错误!km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B 点的位置,使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．20．（本小题满分16分）已知函数f (x ）＝ax 3＋｜x －a ｜，a 错误!R ．(1）若a ＝－1，求函数y ＝f （x ) （x 错误![0，＋∞）)的图象在x ＝1处的切线方程； （2)若g （x )＝x 4,试讨论方程f (x ）＝g (x )的实数解的个数；（3)当a ＞0时,若对于任意的x 1错误!［a ，a ＋2］，都存在x 2错误![a ＋2，＋∞），使得f （x 1）f (x 2)＝1024,求满足条件的正整数a 的取值的集合．南京市2015届高三年级学情调研卷数学附加题 2014。