高等数学 第四册 四川大学版 答案 第七到十三章
高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)
22
22
解： ， ，它表示两相切 x2 + (y − 1)2 > 1 22
x2 + (y − 3)2 > 1 22
1
圆半径为 2 的外部区域。
(9).Im z > 1且 z < 2;
解：此图形表示半径为 2 的圆的内部，
4
且Im z >1的部分，它是区域。 ） (10). z < 2且0 < arg z < π ;
， 得 ，即 。 x2 + y2 =1
arg ( x + iy) = π
2
x = 0, y = 1
z=i
7
20.试求 及 。 (1+ i)i,3i,ii,e2+i
Ln(1+ i)
解： ii
= eiLni
i(π +2kπ )i
=e 2
−π −2kπ
=e 2 ,k
= 0, ±1, ±2,⋅⋅⋅
， (1+ i)i
03
2.计算积分路径是（1）直线段，（2）右
半单位圆，（3）左半单位圆。
8
解： ， （1）令z = it(−1 ≤ t ≤ 1)，dz = idt， z = t
i
1
1
1
∫ ∫ ∫ ∫ 所以 z dz = t idt = i (−t)dt + i tdt = i
−i
−1
−1
0
(2).令：z = cosθ + i sinθ (− π ≤ θ ≤ π )，dz = (− sinθ + cosθ )dθ，
k = 0, ±1, ±2,⋅⋅⋅
3i = eiLn3 = ei(ln3+2kπ ) = cos ln 3 + i sin ln 3
高等数学答案_第四册_四川大学编
第一章 复数与复变函数（1）1.计算)(1)2;i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122())]a bi =+=112224sin )]()(cossin );22i a b i θθθθ=+=++3.设1z=2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。
解：121cossin;(cos sin );44266z i z i ππππ=+=+121155[cos()sin()](cos sin );2464621212z z i i ππππππ=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。
证明：1230;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。
1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。
即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
.17.证明：三角形内角和等于。
证明：有复数的性质得：3213 213arg;arg;arg;z z z zz zz z z z z zαβγ---===---21z zz z-•-arg(1)2;kαβγπ∴++=-+0;k∴=;αβγπ∴++=第一章复数与复变函数（2）7.试解方程()4400z a a+=>。
四川大学材料答案
馆藏书目上各种书都有并且可在线阅读其网站地址是: 该书的详细地址在: 该书的相关信息是: 高等数学(工本)习题详解／陈兆斗,邢永丽编著,清华大学出版社,7-302-13912-1,详细信息高等数学全程导学及习题全解：同济大学第五版·上册／周珑主编,中国时代经济出版社,7-80221-122-0,O13/Z750.1/1高等数学全程导学及习题全解：同济大学第五版·下册／周珑主编,中国时代经济出版社,7-80221-123-9,O13/Z750.1/2高等数学全程导学及习题全解：合订本：同济大学第五版／周珑主编,中国时代经济出版社,7-80221-121-2,O13/Z750.1a高等数学习题集：同济·五版／苏志平主编；九章系列课题组编写,中国工商出版社,7-80012-688-9,O13-44/S915高等数学习题解答与自我测试／邱忠文主编,国防工业出版社,7-118-04025-8,O13-44/Q817c高等数学学习指导与习题解答／翟秀娜主编,中国水利水电出版社,7-5084-3156-1,O13-44/Z254高等数学习题与精解／上海交通大学数学系编,上海交通大学出版社,7-313-03855-0,详细信息高等数学习题课28讲／苏德矿, 吴明华, 卢兴江主编,浙江大学出版社,7-308-04373-8,O13-44/S913高等数学例题与习题／龚成通, 李红英, 王刚主编,华东理工大学出版社,7-5628-1795-2,O13-44/G536(2)高等数学辅导及习题精解·上册／彭辉, 徐峰, 张永凤主编,新华出版社,7-5011-7166-1,O13/P430.1/1高等数学(同济五版)习题详解与考研训练／王瑞林, 黄璞生主编,陕西科学技术出版社,7-5369-3962-0,O13-44/W354高等数学例题与习题集·四，常微分方程／(俄)A.K.博亚尔丘克,Г.П.戈洛瓦奇编著；郑元禄译,清华大学出版社,7-302-09628-7,O13-44/L376/4高等数学习题课指导／阎章杭,李朝霞,刘好增主编,化学工业出版社,7-5025-6807-7,O13-44/Y173b高等数学习题与精解／上海交通大学数学系编,上海交通大学出版社,7-313-03855-0,O13-44/S316.1高等数学自学辅导与习题选解·上册／刘浩荣, 郭景德编著,同济大学出版社,7-5608-2623-7,O13-44/G941/1高等数学习题全解·下册：同济高等数学(三版、四版、五版)／陈小柱, 陈敬佳编著,大连工学院出版社,7-5611-1990-9,O13/C489b/2高等数学习题课教程：配同济《高等数学》第四、五版／蒋福民,徐建平编,同济大学出版社,7-5608-2888-4,O13/J614高等数学学习指导与习题全解：配同济高等数学·少学时／赵振海编著,大连理工大学出版社,7-5611-2771-5,O13-44/Z483高等数学习题课教程·下册／龚漫奇主编,科学出版社,7-03-008720-8,O13-44/G535/2高等数学习题全解／陈小柱,陈敬佳编著,大连理工大学出版社,7-5611-1520-2,详细信息概率统计习题集／章昕主编；双博士高等数学课题组编写,机械工业出版社,7-111-09821-8,O21-44/Z290高等数学习题解析：同济四版《高等数学》配套习题解析／田勇主编；双博士数学课题组编写,机械工业出版社,7-111-09819-6,O13-44/T580高等数学习题解答：同济五版《高等数学》配套习题解答·下册／汪国柄主编,当代世界出版社,7-80115-687-0,O13-44/W271/2高等数学习题课教程／李伟主编,天津大学出版社,7-5618-2043-7,O13-44/L350高等数学(下册)习题解答与测试／邱忠文, 蔡高厅主编,天津大学出版社,7-5618-2029-1,O13-44/Q817a高等数学(同济四版)习题全解·上册／刘国志,张彩华,王学理主编,东北大学出版社,7-81054-948-0,O13/L719.1/1高等数学(上册)习题解答与测试／邱忠文, 蔡高厅主编,天津大学出版社,7-5618-2008-9,O13-44/Q817b高等数学简明教程习题指导／秦昌明, 张文忠主编,西南。
bessel函数
新疆大学《数学物理方法》课程教学大纲英文名称：Methods of Mathematical Physics课程编号：C0631002 课程类型：专业核心课总学时：64＋64 学分：8适用对象：物理系各专业民、汉本科生先修课程：《高等数学》、《线性代数》使用教材：《高等数学》第四册，四川大学数学系编，高等教育出版社，1985年6月第二版；参考书：《数学物理方法》黄大奎、舒慕曾编，高等教育出版社，Springer 出版社，2001年8月。
《数学物理方程》，谷超豪，李大潜，高等教育出版社，2002年7月第二版。
一、课程性质、目的和任务《数学物理方法》是为物理专业篇写的。
它包含三个部分：复变函数论、数学物理方程和特殊函数。
对于物理专业来说，我们认为，“数学物理方法”不宜单纯作为数学课程来进行讲授与学习。
它是数学课程，又是物理课程。
在这样一门课程中，固然不应该将数学的严谨性弃置不顾，另一方面也不宜在数学严谨上作过多的要求。
虽然在复变函数、数学物理方程和特殊函数方面有不少著名的优秀专门著作，我们仍然感到，在数学理论上不花过多的力量，以鲜明的思路引导学生掌握这些数学工具并应用与物理问题。
本大纲要求学生通过学习，掌握经典数学物理方程的基本知识，以便为今后解决较复杂的数学物理问题打下良好基础，为进一步学好后继科程作一定的准备。
二、教学基本要求本课程教学中要求学生了解数学物理方程的物理来源与有关概念的物理解释；掌握大纲中出现的概念、方法与主要结果；通过习题对课本的基本内容、基本思想、基本方法进行必要的训练，要求学生较熟练地掌握复变函数的极限、连续、解析函数、柯西定理、柯西积分、留数定理和二阶偏微分方程几种主要的定解问题求解方法。
本大纲教学总学时为128学时，其中讲授92－108学时，习题20－36学时。
三、教学内容与要求第一章：复数与复变函数教学内容：复数的各种形式及代数运算，复变函数及其极限与连续性。
教学要求：重点掌握复数的各种形式及代数运算和复变函数及其极限与连续性。
《高等数学》第四册(数学物理方法)课后答案
z1
x
z2
z3
.
17.证明：三角形内角和等于
证明：有复数的性质得：
π。
Q α ∈ (0, π ); β ∈ (0, π ); γ ∈ (0, π ); ∴α + β + β ∈ (0,3π );
7.试解方程
w.
i
θ + 2 kπ i ⎛z⎞ z iπ = cos π + sin π = i e = e 4 (k = 0,1, 2,3) ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ;所以 a ;
(5). a + bi = (a + bi ) 2 = [ a 2 + b 2 (
1
= [ a 2 + b 2 (cos θ + i sin θ )]2 = (a 2 + b 2 ) 4 (cos z1 =
3.设
解：
1 π π π π 1 5π 5π z1 z2 = [cos( + ) + i sin( + )] = (cos + i sin ); 2 4 6 4 6 2 12 12 z1 π π π π π π = 2[cos( − ) + i sin( − )] = 2(cos + i sin ); z2 4 6 4 6 12 12
4
4
π
i
3π 4
; z3 = ae
; z4 = ae
i
7π 4
.
解：
z −1 < z + 1 ； ( x − 1)2 + y 2 < ( x + 1) 2 + y 2 ; −2 x < 2 x; x > 0; 此图形为 x>0 的区域。
数学必修4课后习题答案
数学必修4课后习题答案数学必修4课后习题答案数学是一门理性而又美妙的学科，它贯穿于我们生活的方方面面。
而对于学习数学的学生来说，习题是巩固知识、培养思维能力的重要途径。
本文将为大家提供数学必修4课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门学科。
1. 选择题1.1. A1.2. B1.3. C1.4. D1.5. B2. 填空题2.1. 162.2. 52.3. 22.4. 72.5. 13. 解答题3.1. 解：设正方形的边长为x，则正方形的面积为x^2。
根据题意，正方形的面积是边长的平方，所以x^2 = 64。
解得x = 8，所以正方形的边长为8。
3.2. 解：设圆的半径为r，则圆的周长为2πr。
根据题意，圆的周长是半径的2倍，所以2πr = 2r。
解得r = 0，所以圆的半径为0。
3.3. 解：设直角三角形的直角边分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，有a^2 + b^2 = c^2。
根据题意，直角边的平方和等于斜边的平方，所以a^2 +b^2 = 25。
解得a = 3，b = 4，所以直角三角形的直角边分别为3和4。
通过以上题目的解答，我们可以看到数学必修4课后习题的答案。
但是，仅仅知道答案是不够的，更重要的是理解其中的思路和方法。
因此，在解答习题的同时，我们也要注重思考和探索，培养自己的数学思维能力。
数学必修4课后习题的答案只是一个参考，每个人的解答方法可能会有所不同。
因此，在学习数学的过程中，我们要多思考、多交流，不断提高自己的解题能力。
另外，数学的学习需要坚持和积累，不能仅仅停留在课堂上，更要注重自主学习和实践应用。
总之，数学必修4课后习题的答案只是一个开始，更重要的是我们能够通过解题的过程，理解数学的本质和思维方式。
希望大家在学习数学的过程中，能够保持好奇心和求知欲，不断挑战自己，取得更好的成绩。
数学的世界充满了无限可能，让我们一起探索和享受这个美妙的学科吧！。
高等数学教材四答案完整版
高等数学教材四答案完整版第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 数列极限的定义与性质对于数列$a_n$，当$n$趋向于无穷时，如果存在实数$a$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$|a_n-a|<\varepsilon$成立，那么我们称$a$为数列$a_n$的极限，记作$\lim_{n\to\infty} a_n=a$。
1.1.2 函数极限的定义与性质对于函数$f(x)$，当$x$趋向于$c$时，如果存在实数$L$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0<|x-c|<\delta$时，$|f(x)-L|<\varepsilon$成立，那么我们称$L$为函数$f(x)$的极限，记作$\lim_{x\to c}f(x)=L$。
1.2 基本极限公式与极限计算1.2.1 三角函数极限1) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$2) $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$3) $\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$4) $\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$，其中$a>0$1.2.2 自然对数的底$\lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$1.2.3 无穷小与无穷大1) 当$x$趋向于$0$时，$x^n$与$x$同阶无穷小。
2) 当$x$趋向于无穷时，$a^x$与$x^n$同阶无穷大（$a>1$，$n$为正整数）。
3) 当$x$趋向于无穷时，$a^x$与$b^x$同阶无穷大（$a>1,b>1$）。
第二章：一元函数微分学2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义导数是描述函数变化率的概念。
大学数学第四册详细答案汇总
第四章 样本及其分布练习4.1 简单随机样本一、填空题(略) 二、解：)1061051039492(51++++=x =100， 412=S [(92–100)2+(94–100)2+(103–100)2+(105–100)2+(106–100)2]=42.6三、解：利用y i =100(x i –80)，得变换后样本数据：–2, 4, 2, 4, 3, 3, 4, -3, 5, 3, 2, 0, 2这时，有131=x [(–2+4+2+4+3+3+4–3+5+3+2+2)1001+80×13]=80.02 1212=S [(42+4+0+4+1+1+4+25+9+1+0+4+0)/10000]=5.75×10-4四、解：∵ E (X i )=p ，D (X i )=p (1-p )，)(11)(11122212∑∑==--=--=ni i i n i X n X n X X n S , ∴p p n n X E n X n E X E i n i n i i =⋅===∑∑==1)(1)1()(11；)1(1)1(1)(1)1()(2121p p n p np n X D n X n D X D i n i n i i -=-⋅===∑∑==；)]()([1)(1)(11)(222212X E X E n n X E n n X E n S E in i --=---=∑= =)]()([1]}))(()([)]([)({122X D X D n n X E X D X E X D n n --=+-+- =)1()()(11)](1)([1p p X D X D nn n n X D n X D n n -==-⋅-=--。
五、解：∵ E (X i )=λ, D (X i )=λ, )(111222∑=--=ni i X n X n S ，∴ λλ=⋅==∑=n n X E n X E i n i 1)(1)(1；n n nX D n X D i n i λλ=⋅==∑=2121)(1)(；)]()([1)(1)(11)(222212X E X E n n X E n n X E n S E in i --=---=∑= =λλλ=-⋅-=--)(1)]()([1nn n X D X D n n 。
数值分析第四版习题及答案
第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2? 10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12.计算61)f =,1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj j j x l x xk n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆. 12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbba a a a f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx "-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x . 11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]22sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差. 25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+. 27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2ba f f x dxb a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x 第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)
e = iLn(1+i)
i ln
=e
2 −(π +2kπ ) 4
= (cos ln
2 + i sin ln
π
2)e 4 e2kπ
k = 0, ±1, ±2,⋅⋅⋅
Ln(1+ i) = ln(1+ i) + i2kπ = ln 2 + i π + i2kπ = ln 2 + i(π + 2kπ )
4
4
2
2
， z =1
则
i
π
π
∫ ∫ ∫ −i
则 ， u ( x, y) = ex (x cos y − y sin y) v ( x, y) = ex ( y cos y + x sin y)
； ∂u = ex (x cos y − y sin y) + ex cos y
∂x
∂v = ex cos y − y sin yex + x cos yex ∂y
z1 + z2 + z3 = 0
试 证 明 是 一 个 内 接 于 单 位 z1 = z2 = z3 =1;
z1, z2 , z3
圆 z =1的正三角形的顶点。
1
证明： z1 + z2 + z3 = 0; ∴ z1 = − z2 − z3; z2 = − z3 − z1;z3 = − z1 − z2;
v = 1 +c =1
u =1
2
6
c=1 2
所以 。 f ( z) = x2 − y2 + xy + i(2xy + y2 − x2 + 1) 2 22
imath第四册答案
必修4参考答案数学
必修4参考答案数学必修4参考答案数学数学是一门抽象而又实用的学科，它在我们的日常生活中起着重要的作用。
而必修4是高中数学课程中的一门重要课程，它涵盖了许多基础的数学知识和技巧。
下面将为大家提供一些必修4的参考答案，希望对大家的学习有所帮助。
第一章：集合与函数1. 集合的概念与表示方法- 集合是由一些确定的对象所组成的整体。
- 用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
- 集合可以通过列举法、描述法和图形法表示。
2. 集合的运算- 并集：将两个或多个集合中的所有元素放在一起，形成一个新的集合。
- 交集：两个或多个集合中共有的元素构成的集合。
- 差集：从一个集合中减去另一个集合中的元素所得到的集合。
- 补集：对于给定的全集，除去一个集合中的元素所得到的集合。
3. 函数的概念与表示方法- 函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
- 函数可以用映射图、映射表和函数式表示。
第二章：三角函数1. 弧度制与角度制的转换- 弧度制：弧长等于半径的角度制。
- 角度制：以度为单位来度量角的大小。
2. 三角函数的定义与性质- 正弦函数：在直角三角形中，对于一个锐角，其对边与斜边的比值。
- 余弦函数：在直角三角形中，对于一个锐角，其邻边与斜边的比值。
- 正切函数：在直角三角形中，对于一个锐角，其对边与邻边的比值。
3. 三角函数的图像与性质- 正弦函数的图像是一个周期性的波形，其最大值为1，最小值为-1。
- 余弦函数的图像也是一个周期性的波形，其最大值为1，最小值为-1。
- 正切函数的图像是一个周期性的波形，其在某些点上无定义。
第三章：解析几何1. 平面坐标系与直线方程- 平面直角坐标系：由两条相互垂直的直线所确定的坐标系。
- 直线的方程：直线可以用一般式、点斜式和两点式表示。
2. 圆的方程与性质- 圆的方程：圆可以用标准方程和一般方程表示。
- 圆的性质：圆的半径、直径、弦、弧等都有一些特殊的性质。
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高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)
解：此图象表示半径为 2 的圆的内部且
辐角主值在
⎡⎢⎣0,π4
⎤ ⎥⎦
的部分，它是区域。
第二章 解析函数（1） 4.若函数 f (z)在区域 D 上解析，并满足下 列的条件，证明 f (z)必为常数.
f ′(z) = 0(z∈D)
证明：因为 f (z) 在区域上解析，所以
。 ∂u = ∂v , ∂u = − ∂v
v = 1 +c =1
u =1
2
6
c=1 2
所以 。 f ( z) = x2 − y2 + xy + i(2xy + y2 − x2 + 1) 2 22
第二章 解析函数（2）
12.设
ω
是
z
的解析函数，证明
∂x ∂u
=
∂y ∂v
，
∂x ∂v
=
−
∂y ∂u
。 (ω = u + iv, z = x + iy)
+ cos x
2
2i
= sin
ey x
+ e−y
ei(iy ) + i cos x
− e−y
2
2
= sin xchy + i cos xshy
18.解方程
ln
z
=
iπ 2
。
解： ， ln z = ln z + i arg z = 0 + iπ 2
即 ，设 z =1,arg z = π 2
z = x + iy
f (i) = −1+ i
解： ， 。 ux = 2x + y,uy = −2y + x
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第七章 一维波动方程的傅氏解1． 今有一弦，其两端被钉子钉紧，作自由，它的初位移为：，初速度为0，试求其付氏解，其中h 为已知常数。
解：所求问题是一维波动方程的混合问题：，根据前面分离变量解法得其傅氏解为：。
其中，，，于是所求傅氏解为：2.将前题之初始条件改为：，试求其傅氏解。
解：所求问题为一维波动方程的混合问题：。
3今有一弦，其两端和为钉所固定，作自由摇动，它的初位移为0。
初速度为，其中为常数，试求其傅氏解。
解：所求问题为一维波动方程的混合问题：４．今有一弦，其两端固定在和两处，在开始一瞬间，它的形状是一条以过(01)()(2)(12)hx x x h x x ϕ≤<⎧=⎨-≤≤⎩2(12,0)(0,)(,)0(0)(01)(,0)(2)(12)(,0)0tt xx t u a u x t u t u l t t hx x u x h x x u x ⎧=<<>⎪==≥⎪⎪≤≤⎧⎨=⎨⎪-≤≤⎩⎪⎪=⎩1(,)(cossin )sin n n n n at n at n xu x t C D l l l πππ∞==+∑1222001228()sin [sin (2)sin ]222l n n n n hC d h d h d l l n πξπξπξϕξξξξξξπ==+-=⎰⎰⎰0n D =2218(,)cos sin n h n at n xu x t n l l πππ∞==∑(1)(10)()(1)(01)h x x x h x x ϕ+-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩0211((1)sin (1)sin n n l l l h d h d πξπξξξξξ--=++-⎰⎰n c 012222211(sinsinsin )n n n hd d d πξπξπξξξξξ--=++⎰⎰⎰2282sin h n n ππ=22821(,)sin cos sin h n n at n xl l n n u x t ππππ∞=∴=∑0x =x l =[](2()0(2,cx x x βϕβ≤≤⎧=⎨∉⎩c 0,l αβ<<<222222sin (cos cos )n n cl n n a l l l n a c d βπξπβπππξ==-⎰n D 22(,)(cos cos )sin sin n cl n n at n xn a u x t βπξππππαβ∴=-∑0x =x l =点的铅垂线为对称抛物线，其顶点的纵坐标为h,假定没有初速度，试用付氏方法求弦的振动情况：解：设其抛物线方程为，将点代入得：，故方程为，即， 所求问题为一维波动方程的混合问题，，５求解混合问题。
解：，。
6.求解混合问题。
解：所求问题为一维波动方程的混合问题：2lx =2()p y b =--2(x-a),)(,0)2lh l (0,0),(及2,,28l l a p b h h ===()2224l l x y h h ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭2)24(0)ll y h h x l =-≤≤2(x-cos sin )sin ;n at n at n xn l l l D πππ∞+∑n n=1u(x,t)=c 0n D =22233()161623304sin 1(1)(1,2,3...)d l n h h n l l n n C h h d n εππξ-⎡⎤⎡⎤=-=--=⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰332310((,)cos sin (hn at n xl ln n n u x t n πππ∞=⎧⎪=⎨⎪⎩∑为偶数)为奇数)2(0,)0,(,)0,(0)(,0)sin ,(,0)sin ,(0)tt xx x x t l l u a u u t u l t t u x u x x l ππ⎧=⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩(cos sin )sin n at n at n xn n l l lC D πππ∞+∑n=1u(x,t)=200,(1)sin sin 1,(1)l n n l l ln C d n πξπξξ≠⎧==⎨=⎩⎰200,(1)sin sin ,(1)l n n n a l ll n a n D d n πξπξππξ≠⎧==⎨=⎩⎰0,(1)(,)(cos sin n at l n atl n a l n u x t d πππξ≠⎧∴=⎨+⎩23(0,)0,(,)0,(0)(,0)sin ,(,0)(),(0)tt xxx t l u a u u t u l t t u x u x x l x x l π⎧=⎪==≥⎨⎪==-≤≤⎩(cos sin )sin n at n at n xn n l l lC D πππ∞+∑n=1u(x,t)=3200,(3)sin sin 1,(3)l n n l l ln C d n πξπξξ≠⎧==⎨=⎩⎰32800,(1)()sin ,()l n n n a ll n an D l d n πξππξξξ≠⎧⎪=-=⎨⎪⎩⎰为奇数第八章 热传导方程的付氏解1.一根长为的枢轴，它的初温为常数，其两端的温度保持为0，试求在枢轴上温度的分布情况。
解：所求问题为热传导方程混合问题，其付氏解为：，其中：故：5．有一两端无界的枢轴，其初始温度为，试求在枢轴上的温度分布为。
解：所求问题为热传导方程初值问题，其付氏解为：====0故：3443483833810,()(,)sin sin ((cos sin )sin (3)l n at n xl l n a at l at x l l l a n u x t n n πππππππ∞⎧⎪⎪∴=≠⎨⎪⎪+=⎩∑n=1为偶数为奇数且n 3)l 0u2222(,)sin1n a tl n n x u x t c eln ππ-∞∑==002sin l n n c u d l l πξξ=⎰02(cos )ll n l n l πξπ=-04u n π=2()420(,)sin1na tu n x l u x t e l n n πππ-∞∑==1(1)(,0)0(1)x u x x ⎧<=⎨≥⎩222sin (,)cos()a tu x t e x d μμμμπμ∞-=⎰{2(,0)(,0)()()t xx u a u x t u x x x ϕ=-∞≤<∞>=-∞<<∞2()(,)[()cos()()sin()]a t u x t e A x B x d μμμμμμ∞--∞=+⎰2()02[()cos()()sin()]a teA xB x d μμμμμμ∞-+⎰1()()cos()2A d μϕξμξξπ∞-∞=⎰011011cos()cos()22d d μξξμξξππ-+⎰⎰1sin μπμ1()()sin()2B d μϕξμξξπ∞-∞=⎰2202sin (,)cos()a tu x t ex d μμμμπμ∞-=⎰6．利用前题的结果，证下面重要的定积分：。
解：由上题结论：当时，，即：令，则有：即：得证。
第九章 拉普拉斯方程圆的狄利克雷问题付氏解（1）1、试证明拉普拉斯方程在极坐标下的形式为：。
证明：， ，同理：得到极坐标下二维拉普拉斯方程具有如下性质。
2、求解狄利克雷问题，其中A ，为已知常数。
解：其付氏解为：，其中：0sin 2x dx x π∞=⎰2202sin (,)cos()a t u x t e x d μμμμπμ∞-=⎰0,0x t ==02sin (,)(0,0)cos(0)1u x t u e d μμπμ===⎰2sin 1d μμπμ∞=⎰x μ=02sin 1xdx x π∞=⎰sin 2x dx x π∞=⎰=+u u yy xx 021=++u u u r r r rr θθ⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂r y u r x r u x u x r r u x u θθθr x r u r x u r r u x u 222222-∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂∂=θθr y u r xy u r x r r u r xy r u r x r u x u 222222223222222222θθθ∂∂+∂∂+-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂∂+∂∂=∂∂r x u r xy u r x r r u r xy r u r y r u r u 222222223222222222θθθ∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂++∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂021=++u u u r r r rr θθ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧+≥≤≤-<==+αθπθπαθθθθ,0,,,10211A u u r u r u r rr α()()∑∞=++=10sin cos 2,n nn n r n B n A A r u θθθ()ϕϕϕππd n lA f n n cos 201⎰=201cos A n d πϕϕπ=⎰3、求解狄利克雷问题，其中A 为已知常数。
解：其付氏解为：，其中：当n=1时，才有值=。
第九章 拉普拉斯方程圆的狄利克雷问题付氏解（2）12、试证明： 证明：由有 ==证得：ααϕπ-=sin n A απn n A sin 2=()ϕϕϕππd n lB f n n sin 201⎰=ϕϕππd n A ⎰=20sin 1()ααϕπ--=n n cos 10=()∑∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=∴1cos sin 22,0n nr n n n A A r u θαπθ()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==++πθπθθθθcos 0,1112A u u r u r u r rr ()()∑∞=++=1sin cos 2,n r n B n A A r u nn n θθθ()ϕϕππϕd n l A f n n ⎰=20cos 1⎰=πϕϕϕπ20cos cos 1d n A A n ϕϕππd A A COS ⎰=202102cos sin 221πϕϕϕπ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=A A ()ϕϕϕππd n l B f n n sin 201⎰=ϕϕϕππd n A ⎰=20sin cos 10=()0,cos 2A u r A rθθ∴=+()sin N Nx x x δπ→∞−−−→弱()()⎰∞∞-=x N x u ϕ,x Nx πsin dx ()()lim lim sin ,x x x Nx x N dx x u ϕπ→∞→∞∞-∞⎰=()0ϕ()⎰∞∞-x ϕ()x δdx ∴()sin N Nx x x δπ→∞−−−→弱13、试证明：证明：==故证得：第十章 波动方程的达氏解2.验证满足波动方程。