2017届湖南省高三高考仿真试卷理科数学试题及答案
湖南省娄底市2017届高考仿真模拟(二模)数学试题(理)含答案
动前大约提升了多少？
19．如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，侧面 PAD 是边长为 2 的正三
角形， AB BD
7 , PB 3.
（Ⅰ）求证：平面 PAD 平面 ABCD ； （Ⅱ）设 Q 是棱 PC 上的点，当 PA ∥ 平面 BDQ 时，求二面角 A BD Q 的余弦值 .
f x L an x an 1 x an 2 x L a1 x a0 ，首先计算最内层一次多项式的值，
然后由内向外逐层计算一次多项式的值 . 这种算法至今仍是比较先进的算法
用程序框图表示如下图，则在空白的执行框内应填入（
）
. 将秦九韶算法
A． v vx ai
B ．v v x aiC ． v ai x v20．已知椭圆E
：
x2 a2
y2 b2
1（ a b
2 0 ）的离心率为 3 ， F1 、 F2 分别是它的左、右焦
点，且存在直线 l ，使 F1 、 F2 关于 l 的对称点恰好是圆 C ：
x2 y 2 4mx 2my 5m2 4 0（ m R ， m 0 ）的一条直径的四个端点 .
3k
，k Z
2
2
11．过正方体 ABCD A1B1C 1D1 的顶点 A 作平面 a ，使棱 AB 、 AD 、 AA 所在直线与平
面 a 所成角都相等，则这样的平面 a可以作（
）
A． 1 个
B ．2 个 C ．3个
D ．4个
12．已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f x
x 1 ex ，则对任意
m R ，函数 F x f f x m f x 的零点个数至多有（
）
A． 3 个
2017湖南高考真题数学理(含解析)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科）本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的．1．已知（为虚数单位），则复数（）．A．B．C．D．2．设是两个集合，则“”是“”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．冲要条件D．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的( )．A．B．C．D．4．若变量满足约束条件，则的最小值为（）．A．B．C．D．5．设函数，则是（）．A．奇函数，且在上是增函数B．奇函数，且在上是减函数C．偶函数，且在上是增函数D．偶函数，且在上是减函数6．已知的展开式中含的项的系数为，则（）．A．B．C．D．7．在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（）．A．B．C．D．8．已知点在圆上运动，且．若点的坐标为，则的最大值为（）．A．B．C．D．9．将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（）A．B．C．D．10．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率）（）．A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．．12．在一次马拉松比赛中，名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取人，则其中成绩在区间上的运动员人数是．13．设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为．14．设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则．15．已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是．三、解答题16．(Ⅰ)如图，在圆中，相交于点的两弦的中点分别是，直线与直线相交于点，证明：（1）；（2）（Ⅱ）已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值．（Ⅲ）设，且．（1）；（2）与不可能同时成立．17．设的内角的对边分别为，，且为钝角（1）证明：（2）求的取值范围18．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有个红球、个白球的甲箱和装有个红球、个白球的乙箱中，各随机摸出个球，在摸出的个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖次能获奖的概率；（2）若某顾客有次抽奖机会，记该顾客在次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望．19．如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为和的正方形，，且底面，点分别在棱、上．（1）若是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积．20．已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）过点的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向（ⅰ）若，求直线的斜率（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形．21．已知，函数．记为的从小到大的第个极值点,证明：（1）数列是等比数列（2）若，则对一切，恒成立．2017年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科）参考答案一、选择题（满分40分）二、填空题（满分30分）11．12．．13．．14．．15．．三、解答题（满分80分）16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：（ⅰ）如图所示，因为分别是弦的中点，所以, ,即,因此．又四边形的内角和等于，故．（ⅱ）由（ⅰ）知，, , ,四点共圆，故由割线定理即得．（Ⅱ）解：（ⅰ）．①将，代入①即得曲线C的直角坐标方程为．②（ⅱ）将代入②，得．设这个方程的两个实根分别为，则由参数的几何意义即知，．（Ⅲ）证明：（ⅰ），，得．由基本不等式及，有，即．（ⅱ）假设与同时成立，则由及得，同理，从而，这与矛盾．故与不可能同时成立17．（本小题满分13分）（Ⅰ）由及正弦定理，得，所以,即．又为钝角，因此，故，即。
2017年湖南省长沙市四县联考高考数学模拟试卷(理科)(3月份)
2017年湖南省长沙市四县联考高考数学模拟试卷（理科）（3月份）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集U为实数集，集合A={x|x2-2x-3＜0}，B={x|y=ln（1-x）}，则A∩（∁U B）为（）A.{x|1≤x＜3}B.{x|x＜3}C.{x|x≤-1}D.{x|-1＜x＜1}【答案】A【解析】解：全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，B={x|y=ln（1-x）}={x|1-x＞0}={x|x＜1}，则∁U B={x|x≥1}，所以A∩（∁U B）={x|1≤x＜3}．故选：A．解不等式求出集合A，求函数定义域得出集合B，再根据交集与补集的定义写出A∩（∁U B）．本题考查了集合的基本运算与不等式和函数定义域的应用问题，是基础题目．2.i是虚数单位，若复数z满足zi=-1+i，则复数z的实部与虚部的和是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】解：复数z满足zi=-1+i，可得z===1+i．复数z的实部与虚部的和是：1+1=2．故选：C．利用复数的乘法求出复数z，然后求解结果即可．本题考查复数的基本运算以及基本概念，考查计算能力．3.已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A.②③B.①②③C.②④D.①②④【答案】A【解析】解：或nα，故①错误；由线面垂直的性质定理可得，故②正确；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可得，故③正确；由面面平行的性质及几何特征可得或m，n异面，故④错误；故选A由线面垂直及线线垂直的几何特征可判断①的真假；由线面垂直的性质定理可判断②的真假；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可判断③的真假；由面面平行的性质及几何特征可判断④的真假，进而得到答案．本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线线关系，线面关系及面面关系的判定，性质，及几何特征是解答本题的关键．4.如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）A.1-B.C.D.1-【答案】A【解析】解：由题意，正方形的面积为22=4．圆的面积为π．所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1-，故选：A．由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为4，圆为π，即可求出“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率．本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5.已知点A（3，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B，若|PB|=|PA|，则点P的横坐标为（）A.1B.C.2D.【答案】C【解析】解：由题意，可知F（1，0），∵过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B，∴|PB|=|PF|∵|PB|=|PA|，∴|PF|=|PA|，∴P的横坐标为2，故选：C．利用抛物线的定义，结合|PB|=|PA|，即可求出点P的横坐标．本题考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力，比较基础．6.某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A.4πB.πC.πD.20π【答案】B【解析】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=4π×=π．故选：B．由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．本题考查了由三视图求三棱柱的外接球的表面积，利用棱柱的几何特征求外接球的半径是解题的关键．7.函数f（x）=的图象可能是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】解：若使函数的解析式有意义＞，即＞则即函数的定义域为（-2，-1）∪（-1，+∞）可排除B，D答案当x∈（-2，-1）时，sinx＜0，ln（x+2）＜0则＞0可排除C答案故选A由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D答案；分析x∈（-2，-1）时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C答案．本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键．8.执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（）A.2B.-1C.-1D.2-1【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得N=10，S=0，k=1S=，满足条件k＜10，k=2，S=+，满足条件k＜10，k=3，S=++，…满足条件k＜10，k=10，S=+++…++=+…+=-1，不满足条件k＜10，退出循环，输出S的值为-1．故选：C．模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，S=+++…++的值，用裂项法即可得解．本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了数列的求和，属于基本知识的考查．9.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分（1寸=10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（）A.72.4寸B.81.4寸C.82.0寸D.91.6寸【答案】C【解析】解：设晷影长为等差数列{a n}，公差为d，a1=130.0，a13=14.8，则130.0+12d=14.8，解得d=-9.6．∴a6=130.0-9.6×5=82.0．∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．故选：C．设晷影长为等差数列{a n}，公差为d，a1=130.0，a13=14.8，利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了函数的性质、等差数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.设F1、F2是双曲线＞，＞的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵=∴，得-=0，所以==c∴△PF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得⊥∵，∴设，，（λ＞0）得（3λ）2+（2λ）2=4c2，解得λ=c∴c，c由双曲线的定义，得2a=||=c∴双曲线的离心率为e==故选A由向量减法法则和数量积的运算性质，可得==c，从而得到△PF1F2是以为F1F2斜边的直角三角形．由此结合，运用勾股定理算出c，c，再根据双曲线的定义得到2a的值，即可得到该双曲线的离心率．本题给出双曲线上一点P满足∠F1PF2为直角，且两直角边之比为，求双曲线的离心率，着重考查了向量的运算和双曲线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．11.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③={（x，y）|y=2x-2}；④M={（x，y）|y=log2x}其中是“垂直对点集”的序号是（）A.②③④B.①②④C.①③④D.①②③【答案】D【解析】解：由题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}满足：对于任意A（x1，y1）∈M，存在B（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，因此．所以，若M是“垂直对点集”，那么在M图象上任取一点A，过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图象相交于点B．对于①：M={（x，y）|y=}，其图象是过一、二象限，且关于y轴对称，所以对于图象上的点A，在图象上存在点B，使得OB⊥OA，所以①符合题意；对于②：M={（x，y）|y=sinx+1}，画出函数图象，在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交．所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故②符合题意；对于③：M={（x，y）|y=2x-2}，其图象过点（0，-1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，所以，据图可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=2x-2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=2x-2}是“垂直对点集”．故③符合题意；对于④：M={x，y）|y=log2x}，对于函数y=log2x，过原点做出其图象的切线OT（切点T在第一象限），则过切点T做OT的垂线，则垂线必不过原点，所以对切点T，不存在点M，使得OM⊥OT，所以M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直对点集”；故④不符合题意．故选：D．利用数形结合的方法解决，根据题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}是“垂直对点集”，就是在函数图象上任取一点A，得直线OA，过原点与OA垂直的直线OB，若OB总与函数图象相交即可．本题考查“垂直对点集”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．12.定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2-x；记函数g（x）=f （x）-k（x-1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A.[1，2）B.，C.，D.，【答案】C【解析】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f （x）=2-x所以f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]．由题意得f（x）=k（x-1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）所以可得k的范围为＜故选C．根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）=k （x-1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，是解决数学问题的必备的解题工具．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若两个非零向量 ， 满足 ，则向量 与 的夹角是 ______ ． 【答案】 120° 【解析】解：∵==∴ ，∴（ + ）•（ - ）=-2| |2， 设 与 的夹角为θ cos θ=∵θ∈[0°，180°]∴θ=120° 故答案为120° 将已知等式 平方得到 ， 的模的关系及 ，然后利用向量的数量积公式求出 与 的夹角． 求两个向量的夹角，一般利用向量的数量积公式来求出夹角的余弦，进一步求出夹角，但一定注意向量夹角的范围为[0°，180°]14.已知（ - ）5的展开式中含x的项的系数为30，则实数a = ______ ． 【答案】 -6【解析】解：（ - ）5展开式的通项公式为：T r +1= • • =（-a ）r• •，令=，解得r =1；所以展开式中含x项的系数为：（-a ）•=30， 解得a =-6． 故答案为：-6．根据二项式展开式的通项公式，列出方程即可求出r 与a 的值． 本题考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题目．15.我们可以利用数列{a n }的递推公式a n =为偶数时为奇数时（n ∈N +），求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a 64+a 65= ______ ． 【答案】 66【解析】解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3… ∴a 64+a 65=a 32+65=a 16+65=a 8+65=a 4+65=1+65=66．故答案为：66．借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，写出数列前几项，即可得到所求值．本题是对数列递推公式应用的考查，解题时要认真审题，仔细观察，注意寻找规律，避免不必要的错误．16.实数x、y满足，若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a-3，则a的取值范围是______ ．【答案】[-1，1]【解析】解：由z=ax+y得y=-ax+z，直线y=-ax+z是斜率为-a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，9），B（-3，3），C（3，-3），∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a-3，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=-a＜0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足-a≥k BC=-1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，则目标函数斜率k=-a＞0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得-a≤k BA=1∴-1≤a＜0，综上a∈[-1，1]故答案为：[-1，1]．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵，所以（2c-b）•cos A=a•cos B由正弦定理，得（2sin C-sin B）•cos A=sin A•cos B．整理得2sin C•cos A-sin B•cos A=sin A•cos B．∴2sin C•cos A=sin（A+B）=sin C．在△ABC中，sin C≠0．∴，∠．（Ⅱ）由余弦定理，．∴b2+c2-20=bc≥2bc-20∴bc≤20，当且仅当b=c时取“=”．∴三角形的面积．∴三角形面积的最大值为．【解析】（I）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果．（II）利用余弦定理写成关于角A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值．本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的关键是角和边的灵活互化，两个定理的灵活应用和两角和的公式的正用和逆用．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上且满足PC=3PM，求二面角M-BQ-C的大小．【答案】证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．PA=PD，∴BD=AD=AB，PQ⊥AD，∴BQ⊥AD，∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ，∵AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（2）∵平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，解：点M在线段PC上且满足PC=3PM，∴以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，Q（0，0，0），B（0，，0），P（0，0，），C（-2，，0），M（-，，），=（0，，0），=（-，，），设平面BQM的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（，，），平面BQC的法向量=（0，0，1），设二面角M-BQ-C的平面角为θ，则cosθ==，θ=60°，∴二面角M-BQ-C的大小为60°．【解析】（1）推导出PQ⊥AD，∴BQ⊥AD，从而AD⊥平面PBQ，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列；②求X的数学期望和方差．附临界值表：K2的观测值：k=（其中n=a+b+c+d）【答案】40；120；70；80；150；50【解析】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：…2分K2=≈11.111＞10.828…4分故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．…5分（2）①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3．其中P（X=0）=0.63=；P（X=1）=C31•0.4•0.62=；…7分P（X=2）=C32•0.42•0.6=；P（X=3）=C33•0.43=．…9分X的分布列为：…10分②由于X～B（3，0.4），则E（X）=3×0.4=1.2，D（X）=3×0.4×0.6=0.72…12分．（Ⅰ）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，X～B（3，0.4）．求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②利用二项分布的数学期望和方差求X的数学期望和方差．本小题主要考查统计与概率的相关知识，对考生的对数据处理的能力有很高要求，是中档题．20.已知椭圆的长轴长为6，离心率为，F2为椭圆的右焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=8上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=8的切线交椭圆于P，Q两点，判断△PF2Q的周长是否为定值并说明理由．【答案】解：（I）根据已知，设椭圆的标准方程为＞＞，∴2a=6，a=3，，c=1；b2=a2-c2=8，（4分）（II）△PF2Q的周长是定值，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∵0＜x1＜3，∴，（7分）在圆中，M是切点，∴，（11分）∴，同理|QF2|+|QM|=3，（13分）∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，因此△PF2Q的周长是定值6．…（14分）【解析】（Ⅰ）由题意可知：2a=6，，求得a和c的值，由b2=a2-c2，求得b，写出椭圆方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2-|OM|2，可得，同理|QF2|+|QM|=3，即可证明；本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、直线与圆相切性质、勾股定理、三角形的周长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=的图象为曲线C，函数g（x）=ax+b的图象为直线l．（1）当a=2，b=-3时，求F（x）=f（x）-g（x）的最大值；（2）设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x1，x2，且x1≠x2，求证：（x1+x2）g（x1+x2）＞2．【答案】解：（1）∵，，，x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，∴F（x）max=F（1）=2（2）不妨设x1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，只需证＞，＞＞，＞，∵，，∴＞，即＞，∴＞，令，x∈（x1，+∞）．只需证＞，，令，则＞，G（x）在x∈（x1，+∞）单调递增．G（x）＞G（x1）=0，∴H （x）＞0，∴H（x）在x∈（x1，+∞）单调递增．H（x）＞H（x1）=0，H（x）=（x+x1）ln-2（x-x1）＞0，∴（x1+x2）g（x1+x2）＞2．【解析】（1）由a=2，b=-3，知，x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，由此能求出F（x）=f（x）-g（x）的最大值．（2）设x1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，只需证＞，由此入手，能够证明（x1+x2）g（x1+x2）＞2．本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．22.在直角坐标系x O y中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，【答案】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴t=，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（-6，0），半径r=5，∴圆心C（-6，0）到直线距离d==，解得tan2α=，∴tanα=±=±．∴l的斜率k=±．【解析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．23.设函数f（x）=|x-a|-2|x-1|．（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）若f（x）-|2x-5|≤0对任意的x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）f（x）≥1，即|x-3|-|2x-2|≥1x时，3-x+2x-2≥1，∴x≥0，∴0≤x≤1；1＜x＜3时，3-x-2x+2≥1，∴x≤，∴1＜x≤；x≥3时，x-3-2x+2≥1，∴x≤-2∴1＜x≤，无解，…（4分）所以f（x）≥1解集为[0，]．…（5分）∴，…（8分）∴-1≤a≤4．…（10分）【解析】（Ⅰ）通过对x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）利用等价转化思想，可得|x-a|≤3，从而可得，即可求出实数a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想、分类讨论思想与综合运算能力，属于中档题．。
2017届高考数学仿真卷：理科数学试卷4含答案解析
2017高考仿真卷·理科数学(四)(考试时刻:120分钟试卷总分值:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的)1.设P={x|2x<16},Q={x|x2<4},那么()⊆Q⊆P⊆∁R Q⊆∁R P2.以下命题中,真命题的个数是()①通过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;②通过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直;③通过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行;④通过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直..23.执行如下图的程序框图,假设输入x=9,那么输出的y的值为()B.1C.4.已知f(x)=2sin,假设将它的图象向右平移个单位,取得函数g(x)的图象,那么函数g(x)的图象的一个对称中心为()A.(0,0)B.C.D.5.从5名男教师和3名女教师当选出3名教师,派往郊区3所学校支教,每校1人.要求这3名教师中男、女教师都要有,那么不同的选派方案共有()种种种种6.已知直线x+y=a与圆O:x2+y2=8交于A,B两点,且=0,那么实数a的值为().2 或-2 或-47.已知数列{a n}是公差为的等差数列,S n为{a n}的前n项和,假设S8=4S4,那么a8=()B. D.8.已知实数x,y知足的最大值为()A. B. C. D.9.(x+1)2的展开式中常数项为().1910.已知抛物线y2=8x上的点P到双曲线y2-4x2=4b2的上核心的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,那么该双曲线的方程为()A.=1 =1 =1 D.=111.三棱锥S-ABC及其三视图的正视图和侧视图如下图,那么该三棱锥的外接球的表面积是()A.πB.πππ12.设函数f(x)=x ln x-(k-3)x+k-2,当x>1时,f(x)>0,那么整数k的最大值是().4第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13.复数等于.14.已知向量a,b,|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,那么(a+2b)·(a-3b)=.15.已知函数f(x)=假设方程f(x)=kx+1有三个不同的实数根,那么实数k的取值范围是.16.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线别离交于A,B两点,O为坐标原点,假设双曲线C的离心率为2,且△AOB的面积为,那么△AOB的内切圆的半径为.三、解答题(本大题共6小题,总分值70分,解答须写出文字说明、证明进程或演算步骤)17.(本小题总分值12分)在△ABC中,角A,B,C的对边别离为a,b,c,知足b2-(a-c)2=(2-)ac.(1)求角B的大小;(2)假设BC边上的中线AD的长为3,cos∠ADC=-,求a的值.18.(本小题总分值12分)如图,在三棱锥P-ABC中,平面P AC⊥平面ABC,△P AC是等边三角形,已知BC=2AC=4,AB=2.(1)求证:平面P AC⊥平面CBP;(2)求二面角A-PB-C的余弦值.19.(本小题总分值12分)某公司生产一种产品,有一项质量指标为“长度”(单位:cm),该质量指标X服从正态散布N,.该公司已生产了10万件产品,为查验这批产品的质量,先从中随机抽取50件,:(1)估量该公司已生产的10万件产品中在[182,187]的件数;(2)从检测的产品在[177,187]中任意取2件,这2件产品在所有已生产的10万件产品“长度”排列中(从长到短),排列在前135的件数记为ξ.求ξ的散布列和均值.参考数据:假设X~N(μ,σ2),那么P(μ-σ<X≤μ+σ)= 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= 5,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)= 3.20.(本小题总分值12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆上的点到右核心F的最大距离为3.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点F的直线l交椭圆C于A,B两点,定点G(4,0),求△ABG面积的最大值.21.(本小题总分值12分)函数f(x)=(x2-a)e1-x,a∈R,(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2)时,总有x2f(x1)≤λ[f'(x1)-a(+1)](其中f'(x)为f(x)的导函数),求实数λ的值.请考生在第22、23两题中任选一题做答,若是多做,那么按所做的第一题评分.22.(本小题总分值10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),以原点为极点,以x轴的非负半轴为极轴,成立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=,(1)求曲线C1的一般方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)设点M(0,2),曲线C1与曲线C2交于A,B两点,求|MA|·|MB|的值.23.(本小题总分值10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-3|+|x+4|,(1)求f(x)≥11的解集;(2)设函数g(x)=k(x-3),假设f(x)>g(x)对任意的x∈R都成立,求实数k的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·理科数学(四)解析∵P={x|2x<16}={x|x<4},Q={x|x2<4}={x|-2<x<2},∴Q⊆P.应选B.解析在①中,由平行公理,得通过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故①是真命题;在②中,通过直线外一点有无数条直线与已知直线垂直,故②是假命题;在③中,由面面平行的判定定理得通过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行,故③是真命题;在④中,通过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直,故④是假命题.应选B.解析第一次执行循环体后,y=1,不知足退出循环的条件,x=1;第二次执行循环体后,y=-,不知足退出循环的条件,x=-;第三次执行循环体后,y=-,知足退出循环的条件,故输出的y值为-,应选A.解析将函数f(x)=2sin的图象向右平移个单位,取得函数y=2sin=2sin的图象,即g(x)=2sin,令2x-=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,当k=0时,函数g(x)的图象的对称中心坐标为,应选C.解析(方式一)“这3名教师中男、女教师都要有”,分为两类,有1名女教师,有2名女教师.有1名女教师的选法种数为=30,有2名女教师的选法种数为=15,共有30+15=45种不同的选法,再分派到三个学校,故有45=270种.(方式二)从5名男教师和3名女教师当选出3名教师的不同选法有=56,3名教师满是男教师的选法有=10种,3名教师满是女教师的选法有=1种,因此“这3名教师中男、女教师都要有”,不同的选派方案有56-10-1=45种,再分派到三个学校,故有45=270种,应选C.解析由=0,得,则△OAB为等腰直角三角形,因此圆心到直线的距离d=2.因此由点到直线距离公式,得=2,即a=±2应选C.解析∵数列{a n}是公差为的等差数列,S n为{a n}的前n项和,S8=4S4,∴8a1+d=4又d=,∴a1=∴a8=a1+7d=+7应选D.解析由题意作出其平面区域如图中阴影部份所示,由题意可得,A,B(1,3),则3,则2,由f(t)=t+的单调性可得,故的最大值为,应选A.解析∵(x+1)2=(x2+2x+1),依照二项式定理可知,展开式的通项为(-1)r·x r-5,∴(x+1)2的展开式中常数项由三部份组成,别离是(x2+2x+1)与展开式中各项相乘取得,令r=3,则(-1)3·x-2·x2=1×(-)=-10;令r=4,则(-1)4·x-1·2x=2=10;令r=5,则(-1)5·x0·1=1×(-1)=-1;因此原式展开式中常数项为-10+10-1=-1.应选D.解析抛物线y2=8x的核心F(2,0),∵点P到双曲线=1的上核心F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3, ∴FF1=3,∴c2+4=9,c=∵4b2+b2=c2,∴b2=1.∴双曲线的方程为-x2=1.应选C.解析由题意,可得SC⊥平面ABC,且底面△ABC为等腰三角形.如图,取AC中点F,连接BF,则在Rt△BCF中,BF=2,CF=2,BC=4.在Rt△BCS中,CS=4,因此BS=4设球心到平面ABC的距离为d,则因为△ABC的外接圆的半径为,设三棱锥S-ABC的外接球半径为R,因此由勾股定理可得R2=d2+=(4-d)2+,因此d=2,该三棱锥外接球的半径R=,因此三棱锥外接球的表面积是4πR2=,应选A.解析由已知得,x ln x>(k-3)x-k+2在x>1时恒成立,即k<,令F(x)=,则F'(x)=,令m(x)=x-ln x-2,则m'(x)=1->0在x>1时恒成立.因此m(x)在(1,+∞)上单调递增,且m(3)=1-ln 3<0,m(4)=2-ln 4>0,因此在(1,+∞)上存在唯一实数x0∈(3,4)使m(x)=0,因此F(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.故F(x)min=F(x0)==x0+2∈(5,6).故k<x0+2(k∈Z),因此k的最大值为5.应选C.+i解析=i(1-i)=1+i.解析由题意,得a2=36,b2=16,a·b=12;∴(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=36-12-96=-72.15解析作出f(x)与y=kx+1的图象如下,由题意,可知点A(7,0),点B(4,3),点C(0,1);故k AC==-,k BC=,结合图象可知,方程f(x)=kx+1有三个不同的实数根时,实数k的取值范围是解析由e==2,得,即双曲线渐近线为y=±x.联立x=-,解得不妨令点A,点B,因此S△AOB=p,解得p=2,因此A(-1,),B(-1,-),因此△AOB三边长为2, 2,2,设△AOB内切圆半径为r,由(2+2+2)r=,解得r=2-3.17.解(1)在△ABC中,∵b2-(a-c)2=(2-)ac,∴a2+c2-b2=ac,由余弦定理得cos B=,又B为△ABC的内角,∴B=(2)∵cos∠ADC=-,∴sin∠ADC=∴sin∠BAD=sin△ABD中,由正弦定理,得,即,解得BD=,故a=18.(1)证明在△ABC中,由于BC=4,AC=2,AB=2,∴AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC.又平面P AC⊥平面ABC,平面P AC∩平面ABC=AC,BC⊂平面PBC,∴BC⊥平面P AC.∵BC⊂平面PBC,∴平面P AC⊥平面CBP.(2)解(方式一)由(1)知BC⊥平面P AC,因此平面PBC⊥平面P AC,过点A作AE⊥PC交PC于点E,则AE⊥平面PBC,再过点E作EF⊥PB交PB于点F,连接AF,则∠AFE确实是二面角A-PB-C的平面角.由题设得AE=,EF=,由勾股定理得AF=,∴cos∠AFE=∴二面角A-PB-C的余弦值为(方式二)以AC的中点O为原点,以OA所在直线为x轴,以过点O与BC平行的直线为y 轴,以OP所在直线为z轴,成立空间直角坐标系O-xyz,如下图.由题意可得P(0,0,),B(-1,4,0),A(1,0,0),C(-1,0,0),则=(1,0,-),=(-1,4,-),=(-1,0,-).设平面P AB的法向量n1=(x1,y1,z1),那么令x1=3,可得y1=,z1=,因此n1=同理可得平面PBC的法向量n2=(-,0,1).因此cos<n1,n2>==-因此二面角A-PB-C的余弦值为19.解(1)由题意100 000=10 000.因此估量该公司已生产的10万件产品中在[182,187]的有1万件.(2)由题意可知P(X≥182)== 35,而35×100 000=135,因此,已生产的前135件的产品长度在182 cm以上,这50件中182 cm以上的有5件.随机变量ξ可取0,1,2,于是P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=因此ξ的散布列如下:ξ 0 1 2P因此E(ξ)=0+1+220.解(1)∵椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆上的点到右核心F的最大距离为3,∴由题意得解得c=1,a=2,b=∴椭圆的方程为=1.(2)设直线l的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(3m2+4)y2+6my-9=0,∴y1+y2=,y1y2=S△ABG=3|y2-y1|==18令μ=m2+1(μ≥1),则∵9μ+在[1,+∞)上是增函数,∴9μ+的最小值为10.∴S△ABG∴△ABG面积的最大值为21.解(1)f'(x)=(-x2+2x+a)e1-x,令h(x)=-x2+2x+a,则Δ=4+4a,当Δ=4+4a≤0,即a≤-1时,-x2+2x+a≤0恒成立,即函数f(x)是R上的减函数.当Δ=4+4a>0,即a>-1时,那么方程-x2+2x+a=0的两根为x1=1-,x2=1+, 可得函数f(x)是(-∞,1-),(1+,+∞)上的减函数,是(1-,1+)上的增函数.(2)依照题意,方程-x2+2x+a=0有两个不同的实根x1,x2(x1<x2),∴Δ=4+4a>0,即a>-1,且x1+x2=2,∵x1<x2,∴x1<1,由x2f(x1)≤λ[f'(x1)-a(+1)],得(2-x1)(-a)[(2x1--a],其中-+2x1+a=0,∴上式化为(2-x1)(2x1)[(2x1-+(2x1-)],整理得x1(2-x1)[2-λ(+1)]≤0,其中2-x1>1,即不等式x1[2-λ(+1)]≤0对任意的x1∈(-∞,1]恒成立.①当x1=0时,不等式x1[2-λ(+1)]≤0恒成立,λ∈R;②当x1∈(0,1)时,2-λ(+1)≤0恒成立,即,令函数g(x)==2-,显然,函数g(x)是R上的减函数,∴当x∈(0,1)时,g(x)<g(0)=,即;③当x1∈(-∞,0)时,2-λ(+1)≥0恒成立,即,由②可知,当x∈(-∞,0)时,g(x)>g(0)=,即综上所述,λ=22.解(1)曲线C1的参数方程为(t为参数),由代入法消去参数t,可得曲线C1的一般方程为y=-x+2;曲线C2的极坐标方程为ρ=,得ρ2=,即为ρ2+3ρ2sin2θ=4,整理可得曲线C2的直角坐标方程为+y2=1;(2)将(t为参数),代入曲线C2的直角坐标方程+y2=1,得13t2+32t+48=0,利用根与系数的关系,可得t1·t2=,因此|MA|·|MB|=23.解(1)∵f(x)=|x-3|+|x+4|=∴f(x)≥11可化为解得{x|x≤-6}或⌀或{x|x≥5}.∴f(x)≥11的解集为{x|x≤-6或x≥5}.(2)作出f(x)=的图象,而g(x)=k(x-3)图象为恒过定点P(3,0)的一条直线.如图,由题意,可得点A(-4,7),k P A==-1,k PB=2.∴实数k的取值范围应该为(-1,2].。
2017届湖南省益阳市高三下学期模拟考试理科数学试题及答案 精品
绝密 ★ 启用前本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若,a b ∈R ，i 为虚数单位，且12i a bi i-+=，则A ．12a =- ，12b =B ．12a =- ，12b =-C ．12a = ，12b =-D ．12a = ，12b =2．已知01a <<，则2a 、2a 、2log a 的大小关系是A ．2a >2a >2log aB ．2a >2a >2log aC ．2log a >2a >2aD ．2a >2log a >2a 3 A ．6 B ．8 C ．10D ．152017届益阳市高三模拟考试数学（理工农医类）4．设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 A ．24πB ．32πC ．52πD ．96π5．为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数）A ．该校九年级学生1位数为26.25次B ．该校九年级学生1为27.5次C ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人D ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人6．设变量x ，y 满足约束条件0024236x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则43z x y =+的最大值是A ．7B ．8C ．9D ．10 7．下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件.正视图侧视图俯视图C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.D ．命题“x ∃∈R 使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R 均有210x x ++<”． 8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．若sin sin sin sin a A b B c C B +-．则角C 等于 A ．6πB ．4πC ．3πD ．65π 9．设n a 是n x )1(-的展开式中x 项的系数（ ,4,3,2=n ），若12(7)n n n a b n a ++=+，则n b 的最大值是 ABC ．350D ．23310．函数()y f x =的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞ ，且其图象上任一点(,)P x y 满足方程221x y -=，给出以下四个命题：①函数()y f x =是偶函数；②函数()y f x =不可能是奇函数；③(,1)(1,)x ∃∈-∞-+∞ ，()x f x <；④(,1)(1,)x ∀∈-∞-+∞ ，()x f x >.其中真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第11、12、 13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 11．在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2,2x t y t=-⎧⎨=⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=,则1C 与2C 的两个交点之间的距离等于 .12．不等式|1||2|5x x -++≥的解集是 .13．如图，在Rt △ADE 中，B 是斜边AE 的中点，以AB 为直径的圆O 与边DE 相切于点C ，若 AB ＝3，则线段CD 的长为 ．（二）必做题（14～16题）14．已知向量a =(12-x ,x +2), b =(x ,1)，若a ∥b ，则x = .15．直线x y 31=与抛物线2y x x =-所围图形的面积等于 . 16．设集合P ={1，2，3，4，5},对任意P k ∈和正整数m ，记∑=++=51]11[),(i i k mk m f ，其中，][a 表示不大于a 的最大整数，则)2,2(f = ，若19),(=k m f ，则=k m .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数()cos sin(2)2f x x x x π=--，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小值，并求出相应的x 值的集合； （Ⅱ）求()f x 的单调递减区间． 18．（本小题满分12分）甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为231,,342，他们海选合格与不合格是相互独立的．（Ⅰ）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；（Ⅱ）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥C ABD -中，AC CB ⊥,AC CB =,E 为AB 的中点，2AD DE EC ===,CD=（Ⅰ）求证：平面ABC ⊥平面ABD ；（Ⅱ）求直线BD 与平面CAD 所成角的正弦值．C20．（本小题满分13分）科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放（简称碳排放）对全球气候和生态环境产生了负面影响.环境部门对A 市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施.已知A 市2013年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%．同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m 万吨（m >0）.（Ⅰ）求A 市2015年的碳排放总量(用含m 的式子表示)；（Ⅱ）若A 市永远不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围.21．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b >>)的短轴长为2，离心率为2．过点M （2,0）的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求OA OB ⋅的取值范围；（Ⅲ）若B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点.22．（本小题满分13分）已知函数x a x x f ln 21)(2+=，x a x g )1()(+=．（Ⅰ）若直线)(x g y =恰好为曲线)(x f y =的切线时，求实数a 的值； （Ⅱ）当ex 1[∈，]e 时（其中无理数 71828.2=e ），)()(x g x f ≤恒成立，试确定实数a 的取值范围．2017届益阳市高三模拟考试参考答案数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页．时量120分钟，满分150分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．B 2．B 3．C 4．A 5．D 6．C 7．C 8．A 9．D 10．B二、填空题： 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第11、12、 13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．4 12．{|32x x x ≤-≥或} 13（二）必做题（14～16题）14. 21-=x 15．81416．7，64（提示：利用(,)f m k 的单调性进行估算验证确定）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）解:（Ⅰ）()cos sin(2)2cos 22f x x x x x x π=--=-2sin(2)6x π=-.（6分）所以函数()f x 的最小值为2-, 此时x 满足22,()62x k k Z πππ-=-∈,即相应的x 的取值的集合为{|,}6x x k k Z ππ=-∈. （9分）（Ⅱ）由3222()262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈得 5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递减区间为5[,],36k k k Z ππππ++∈． （12分）18.（本小题满分12分）解:（Ⅰ）记“甲海选合格”为事件Ａ，“乙海选合格”为事件Ｂ，“丙海选合格”为事件Ｃ，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件Ｅ．则11123()1()134224P E P ABC =-=-⨯⨯=．（4分）（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0, 1, 2, 3．1(0)()24P P ABC ξ===； 6(1)()()()24P P ABC P ABC P ABC ξ==++=； 11(2)()()()24P P ABC P ABC P ABC ξ==++=；6(3)()24P P ABC ξ===．所以ξ的分布列为101232424242412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． （12分）19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：在CDE ∆中，2CD DE EC ===，222222228,8DE EC CD ∴+=+===，222CD DE EC ∴=+，则CDE ∆为直角三角形， 所以，CE DE ⊥． 又由已知,AC BC AC BC ⊥=，且E 是AB 的中点，可得CE AB ⊥又AB DE E =I ，CE ∴⊥平面ABD 又CE ⊂面ABC∴平面ABC ⊥平面ABD ．（6分） （Ⅱ）以E 点为坐标原点，建立如图 所示直角坐标系，则(0,0,2),(0,2,0),C B (0,2,0),1,0)AD --，(3,0),(0,2,2),(,2)DB AC DC ===u u u r u u u r u u u r．设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =r，则有0,0,n DC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r ruuur 即20,220y z y z ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩ 解得：,z y z ==-，所以，平面ACD的一个法向量为(1,n =r，cos ||||DB n n DB DB n ⋅<⋅>===⋅uu u r rr uu u r uu u r r ，故直线DB 与平面ADE ． （12分）20.（本小题满分13分）解：设2017年的碳排放总量为1a ，2015年的碳排放总量为2a ，… （Ⅰ）由已知，14000.9a m =⨯+,220.9(4000.9)4000.90.9a m m m m =⨯⨯++=⨯++=324 1.9m +. （3分）（Ⅱ）230.9(4000.90.9)a m m m =⨯⨯+++324000.90.90.9m m m =⨯+++,…124000.90.90.90.9n n n n a m m m m --=⨯+++⋅⋅⋅+10.94000.94000.910(10.9)10.9nnn n m m -=⨯+=⋅+--(40010)0.910n m m =-⋅+.（7分）由已知有*,550n n N a ∀∈≤（1）当400100m -=即40m =时,显然满足题意； （2）当400100m ->即40m <时，由指数函数的性质可得:(40010)0.910550m m -⨯+≤，解得190m ≤. 综合得40m <；（3）当400100m -<即40m >时，由指数函数的性质可得:10550m ≤，解得55m ≤,综合得4055m <≤. 综上可得所求范围是(0,55]m ∈. （13分）21.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）易知1b =，2c ae ==得2222222a c a b ==-,故22a =.故方程为2212x y +=.（3分）（Ⅱ）证明：设l ：(2)y k x =-，与椭圆C 的方程联立,消去y 得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 由△＞0得2102k ≤<.设1122(,),(,)A x y B x y ,则222212122881212,kk kkx x x x -+++==.∴1212OA OB x x y y ⋅=+222212121212(2)(2)(1)2()4x x k x x k x x k x x k =+--=+-++=222102751212k k k-=-++ 2102k ≤< ，∴2777212k <≤+， 故所求范围是3[2,)2-.（8分）（Ⅲ）由对称性可知N 22(,)x y -，定点在x 轴上.直线AN ：121112()y y y y x x x x +-=--，令0y =得: 2222112122112121121212242416161212812()22()14k kk k kky x x x y x y x x x x x x y y y y x x ---+++-+-+=-====+++-, ∴直线l 过定点(1,0).（13分）22.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设切点为)0(),000>x y x P （，由题意得：⎩⎨⎧+=+='000)1()(1)(x a x f a x f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+)2()1(ln 21)1(1002000x a x a x a x a x ， 由（1）解得10=x 或a x =0.（4分） 将10=x 代入（2）得：21-=a .将a x =0代入（2）得：12ln +=aa （3），设x x x h ln )12()(-+=，则xx x h 22)(-='， 所以)(x h 在（0,2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，02ln 2)2()(>-==h x h 最小值，所以方程（3）无实数解。
2017年高考仿真试题(三)数学理科试题(含答案)word版
2017年普通高考理科数学仿真试题(三)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页,满分150分,考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“Z x ∈∃使022≤++m x x ”的否定是A.Z x ∈∃使m x x ++22＞0B.不存在Z x ∈使m x x ++22＞0C.对Z x ∈∀使022≤++m x xD.对Z x ∈∀使m x x ++22＞02.已知集合(){}{x y y B x x y x A x ,2,2lg 2==-==＞}0，R 是实数集，则A.[]1,0B.(]1,0C.(]0,∞-D.以上都不对 3.设i 为虚数单位，则1+i+i 2+i 3+…+i 10=A.iB.—iC.2iD.—2i4.若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于A.7B.15C.31D.635.已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，给出下列命题：①;//m l ⊥⇒βα②;//m l ⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④.//βα⇒⊥m l其中正确命题的序号是A.①②③B.②③④C.①③D.②④6.ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1sin =B ，向量()().2,1,,==q b a p 若q p //，则C ∠的大小为 A.6π B.3π C.2π D.32π 7.将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大.当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法为A.6种B.12种C.18种D.24种8.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示：（单位：m ）则该几何体的体积为 A.337m B.329m C.327m D.349m 9.函数())(⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤≤-+=20cos ,011πx x x x x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 A.23 B.1 C.2 D.21 10.已知数列{}n a 各项均为正数.若对于任意的正整数p 、q 总有q p q p a a a ⋅=+且8a =16，则=10aA.16B.32C.48D.6411.已知双曲线12222=-by a x （a ＞b ＞0），直线t x y l +=:交双曲线于A 、B 两点，△OAB 的面积为S （O 为原点），则函数()t f S =的奇偶性为A.奇函数B.偶函数C.不是奇函数也不是偶函数D.奇偶性与a 、b 有关 12.定义一种运算：⎩⎨⎧≤=⊗ab b a a b a ,,,令()()45sin cos 2⊗+=x x x f ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，则函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πx f 的最大值是 A.45 B.1 C.—1 D.45-第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树林的底部周长（单位：cm ）.根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右图），那么在这100株树林中，底部周长小于110cm 的株数是___________.＜ ＞b.14.从抛物线x y 42=上一点P 引抛物线准备线的垂线，垂足为M ，且5=PM ，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为_______.15.若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤≤-≤-01,21,042y x y x x 表示的平面区域为()14,22≤+-y x M 表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一点，则该点落在平面区域N 内的概率是________.16.请阅读下列材料：若两个正实数21,a a 满足12221=+a a ，那么.221≤+a a证明：构造函数()()()()1222122221++-=-+-=x a a x a x a x x f ，因为对一切实数x ，恒有()0≥x f ，所以0≤∆，从而得()084221≤-+a a ，所以.221≤+a a 根据上述证明方法，若n 个正实数满足122221=+⋅⋅⋅++n a a a 时，你能得到的结论为_______________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.17.（本小题满分12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，()(),cos ,cos ,2,C B n c a b m =-=且m//n.（I ）求角B 的大小；（II ）设()(ωωωx B x x f sin 2cos +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=＞)0，且()x f 的最小正周期为π，求()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值和最小值.18.（本小题满分12分）在一次食品卫生大检查中，执法人员从抽样中得知，目前投放某市的甲、乙两种食品的合格率分别为90%和80%.（I ）今有三位同学聚会，若每人分别从两种食品中任意各取一件，求恰好有一人取到两件都是不合格品的概率.（II ）若某消费者从两种食品中任意各购一件，设ξ的分布列，并求其数学期望.19.（本小题满分12分）如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）（I ）求证：AE//平面DCF ；（II ）当AB 的长为29，。
【湖南省师大附中】2017年高考一模数学(理科)试卷-答案
湖南省师大附中2017年高考一模数学（理科）试卷答 案1~5．ABACB 6~10．BDBCB 11~12．CC 13．±161415．12139n + 16．201717．解：（Ⅰ）因为2cos cos cos ,a A c B b C =+则由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos A A C B B C •=+， 所以2sin cos sin()sin A A B C A •=+=， 又0πA <<，所以sin 0A ≠，从而2cos 1A =，1cos 2A =， 故π3A =；（Ⅱ）由π3A =知sin A =ABC △的外接圆半径为1，故由正弦定理可得2sin a A ==， 再由余弦定理2222cos a b c bc A -=+， 可得222734bc b c a -=+==﹣，∴1sin 2ABC S bc A ==△18．解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010=， 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3。
…（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C =种，… 来自同一所中学的取法共有222291263120C C C C +++=。
… 所以()120843529P A ==。
答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为829。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6。
依题意得，X 的可能取值为0，1，2，262151(X 0)7C P C ===，119621518(X 1)35C C P C ===，2921512(X 2)35C P C ===。
所以X 的分布列为：X 0 1 2P17 1835 123519．（解法1）（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =I ， 所以BC ⊥平面PCD 。
【数学】湖南省郴州市2017届高考三模试卷(理)(解析版)
湖南省郴州市2017届高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．（2，4] B．[2，4] C．{0，3，4} D．{3，4}2．（5分）设z=1﹣i（i是虚数单位），若复数在复平面内对应的向量为，则向量的模是（）A．1 B．C．D．23．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（）盏灯．A．14 B．12 C．8 D．104．（5分）运行如图所示的程序，若输入x的值为256，则输出的y值是（）A．B．﹣3 C．3 D．5．（5分）某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），已知p（80＜ξ≤100）=0.35，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A．5份B．10份C．15份D．20份6．（5分）已知函数f（x）=sin x+3cos x，当x∈[0，π]时，f（x）≥的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（）A．点Q到平面PEF的距离B．直线PE与平面QEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．二面角P﹣EF﹣Q的大小8．（5分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线x+y﹣1=0对称，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0），f'（x）是f（x）的导函数，若f（α）=0，f'（α）＞0，且f（x）在区间[α，+α）上没有最小值，则ω取值范围是（）A．（0，2）B．（0，3] C．（2，3] D．（2，+∞）10．（5分）如图，在边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC （含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量=m+n（m，n为实数），则m+n的取值范围是（）A．B．C．D．11．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．4πD．12．（5分）已知函数，若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．B．（0，1]C．[0，1] D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B 两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为．14．（5分）已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x的系数为．15．（5分）在直角三角形△ABC中，，，对平面内的任意一点M，平面内有一点D使得，则=．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N+，S n=（﹣1）n a n++n﹣3且（t﹣a n+1）（t﹣a n）＜0恒成立，则实数t的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（12分）如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=，D是边AB上一点．（1）求△ABC面积的最大值；（2）若CD=2，△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，求BC的长．18．（12分）2017年郴州市两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，民生问题时百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%，现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出频率分布直方图中的a值，并求出这200的平均年龄；（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率；（3）若要从所有参与调查的人（人数很多）中随机选出3人，记关注民生问题的人数为X，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面P AC⊥平面ABC，P A=PC=AC=2，BC=4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．（Ⅰ）求证：直线l⊥平面P AC；（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知抛物线E：y2=8x，圆M：（x﹣2）2+y2=4，点N为抛物线E上的动点，O 为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）点Q（x0，y0）（x0≥5）是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求△QAB面积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣ln x．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当a＜0时，求函数f（x）在上的最小值；（3）记函数y=f（x）的图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂直交曲线C于点N，判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB，并说明理由．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．（1）写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|•|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的“直角距离”为L（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知点A（x，1）、B（1，2）、C（5，2）三点．（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．参考答案一、选择题1．D【解析】由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B=（﹣∞，0）∪（2，+∞），∵A={0，1，2，3，4}，∴A∩B={3，4}，故选：D．2．B【解析】z=1﹣i（i是虚数单位），复数===1﹣i．向量的模：=．故选：B．3．B【解析】设第一层有a盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a1为首项，以为公比的等比数列，∴=381，解得a1=192，∴a5=a1×（）4=192×=12，故选：B．4．A【解析】输入x=256＞2，x=log2256=8，x=8＞2，x=log28=3，x=3＞2，x=log23＜2，此时y==，故选：A．5．C【解析】∵数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），P（80＜ξ≤100）=0.35，∴P（80＜ξ≤120）=2×0.35=0.70，∴P（ξ＞120）=（1﹣0.70）=0.15，∴100×0.15=15，故选：C．6．B【解析】∵sin x+3cos x=2sin（x+）≥，∴sin（x+）≥，∵x∈[0，π]，x+∈[，]，∴≤x+≤，∴0≤x≤，∴发生的概率为P=，故选：B．7．B【解析】A中，取B1C1的中点M，∵QEF平面也就是平面PDCM，Q和平面PDCM都是固定的，∴Q到平面PEF为定值；B中，∵P是动点，EF也是动点，推不出定值的结论，∴就不是定值．∴直线PE与平面QEF所成的角不是定值；C中，∵△QEF的面积是定值．（∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据A的结论P到QEF平面的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值；D中，∵A1B1∥CD，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上任意两点，∴二面角P﹣EF﹣Q 的大小为定值．故选：B．8．A【解析】由椭圆的离心率e==，则a=c，由b2=a2﹣c2=c2，则b=c，则设椭圆方程为x2+2y2=2b2，∴右焦点（b，0）关于l：y=﹣x+1的对称点设为（x′，y′），则，解得，由点（1，1﹣b）在椭圆上，得1+2（1﹣b）2=2b2，b2=，a2=，∴椭圆的标准方程为：，故选：A．9．C【解析】由题意，f（α）=0，f'（α）＞0，且f（x）在区间[α，+α）上没有最小值，∴＜≤T，∴＜≤•，∴2＜ω≤3，故选C．10．A【解析】如图所示，边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，向量=m+n（m，n为实数）；=（4，0），=（0，4）．可得=m+n=（4m，4n）．当动圆Q的圆心经过点C时，如图：P（，）．此时m+n取得最大值：4m+4n=8+，可得m+n=2+．当动圆Q的圆心为点B时，AP与⊙B相切且点P在x轴的下方时，P（4﹣，﹣）．此时，4m+4n=4﹣，m+n取得最小值为：1﹣；∴则m+n的取值范围为．故选：A．11．B【解析】由三视图知该几何体为四棱锥侧面为左视图，PE⊥平面ABC，E、F分别是对应边的中点，底面ABCD是边长是2的正方形，设外接球的球心到平面ABCD的距离为h，则h2+2=1+（2﹣h）2，∴h=，R2=，∴几何体的外接球的表面积S=4πR2=π，故选B．12．D【解析】∵函数，∴函数f（x）的图象如下图所示：∴函数f（x）在[﹣1，k）上为减函数，在[k，a]先减后增函数，当﹣1＜k≤，x=时，，由于当x=1时，﹣x3﹣3x+2=0，当x=a（a≥1）时，﹣a3﹣3a+2≤2，可得1≤a故若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则a∈[1，]，故选：D．二、填空题13．【解析】设双曲线方程：（a＞0，b＞0），由题意可知，将x=c代入，解得：y=±，则丨AB丨=，由丨AB丨=2×2a，则b2=2a2，∴双曲线离心率e===，故答案为：．14．﹣41【解析】∵已知的展开式中各项系数的和为m+1=2，∴m=1，∴=（x+）•（•（2x）5﹣•（2x）4+•（2x）3﹣•（2x）2+•2x ﹣），则该展开式中含x的系数为﹣﹣•4=﹣41，故答案为：﹣41．15．6【解析】根据题意，分别以CB，CA为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，3），设M（x，y），B（b，0），D（x′，y′）；∴由得：3（x′﹣x，y′﹣y）=（b﹣x，﹣y）+2（﹣x，3﹣y）；∴；∴；∴．故答案为：6．16．（﹣，）【解析】由S n=（﹣1）n a n++n﹣3，得a1=﹣；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣1）n a n++n﹣3﹣（﹣1）n﹣1a n﹣1﹣﹣（n﹣1）+3 =（﹣1）n a n+（﹣1）n a n﹣1﹣+1，若n为偶数，则a n﹣1=﹣1，∴a n=﹣1（n为正奇数）；若n为奇数，则a n﹣1=﹣2a n﹣+1=2（﹣1）﹣+1=3﹣，∴a n=3﹣（n为正偶数）．函数a n=﹣1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=﹣，函数a n=3﹣（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=，若（t﹣a n+1）（t﹣a n）＜0恒成立，则a1＜t＜a2，即﹣＜t＜．故答案为：（﹣，）．三、解答题17．解：（1）∵，∴由余弦定理可得：∴，∴，所以△ABC的面积的最大值为（2）设∠ACD=θ，在△ACD中，，∴，解得：，∴由余弦定理得：，∴，∵，∴，∴，此时，∴．18．解：（1）由频率分布直方图得：（0.01+0.015+0.03+a+0.01）×10=1，解得a=0.035．（2）分层抽样的方法在第3组中应抽取=7人，设事件“抽取3人中至少有1人年龄在第3组”为A，则为“抽取的3人中没有1人年龄有第3组”，则抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率：P（A）=1﹣P（）=1﹣=．（3）X的所有可能值为0，1，2，3，依题意得X～B（3，），且P（X=k）=，k=0，1，2，3，∴X的分布列为：X0 1 2 3PEX=np=3×=．19．（Ⅰ）证明：∵E，F分别是PB，PC的中点，∴BC∥EF，又EF⊂平面EF A，BC不包含于平面EF A，∴BC∥面EF A，又BC⊂面ABC，面EF A∩面ABC=l，∴BC∥l，又BC⊥AC，面P AC∩面ABC=AC，面P AC⊥面ABC，∴BC⊥面P AC，∴l⊥面P AC．（2）解：以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（0，4，0），P（1，0，），E（），F（），，，设Q（2，y，0），面AEF的法向量为，则，取z=，得，，|cos＜＞|==，|cos＜＞|==，依题意，得|cos＜＞|=|cos＜＞|，∴y=±1．∴直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．20．解：（1）设P（x，y），则点N（2x，2y）在抛物线E：y2=8x上，∴4y2=16x，∴曲线C的方程为y2=4x；（2）设切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0）．令y=0，可得x=，圆心（2，0）到切线的距离d==2，整理可得．设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=，k1k2=，∴△QAB面积S=|（x0﹣）﹣（x0﹣）|y0=2•设t=x0﹣1∈[4，+∞），则f（t）=2（t++2）在[4，+∞）上单调递增，∴f（t）≥，即△QAB面积的最小值为．21．解：（1）∵f（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣ln x，∴f′（x）=2ax+（1﹣2a）﹣=，∵a＞0，x＞0，∴2ax+1＞0，解f′（x）＞0，得x＞1，∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）；（2）当a＜0时，由f′（x）=0，得x1=﹣，x2=1，①当﹣＞1，即﹣＜a＜0时，f（x）在（0，1）上是减函数，∴f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1﹣a．②当≤﹣≤1，即﹣1≤a≤﹣时，f（x）在[，﹣]上是减函数，在[﹣，1]上是增函数，∴f（x）的最小值为f（﹣）=1﹣+ln（﹣2a）．③当﹣＜，即a＜﹣1时，f（x）在[，1]上是增函数，∴f（x）的最小值为f（）=﹣a+ln2．综上，函数f（x）在区间[，1]上的最小值为：f（x）min=；（3）设M（x0，y0），则点N的横坐标为x0=，直线AB的斜率k1==[a（x12﹣x22）+（1﹣2a）（x1﹣x2）+ln x2﹣ln x1]=a（x1+x2）+（1﹣2a）+，曲线C在点N处的切线斜率k2=f′（x0）=2ax0+（1﹣2a）﹣=a（x1+x2）+（1﹣2a）﹣，假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则k1=k2，即=﹣，∴ln ==，不妨设x1＜x2，=t＞1，则ln t=，令g（t）=ln t﹣（t＞1），则g′（t）=﹣=＞0，∴g（t）在（1，+∞）上是增函数，又g（1）=0，∴g（t）＞0，即ln t=不成立，∴曲线C在点N处的切线不平行于直线AB．22．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得：x+y﹣1=0．曲线C的参数方程为（θ为参数），利用平方关系可得：x2+（y﹣2）2=4．把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，可得C的极坐标方程为：ρ=4sinθ．（II）P（1，0）．把直线l的参数方程代入圆C的方程为：+1=0，t1+t2=3，t1•t2=1，∴|PM|•|PN|=|t1•t2|=1．23．解：（1）由定义得|x﹣1|+1＞|x﹣5|+1，即|x﹣1|＞|x﹣5|，两边平方得8x＞24，解得x＞3；（2）当x∈R时，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，也就是t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，因为|x﹣1|﹣|x﹣5|≤|（x﹣1）﹣（x﹣5）|=4，所以t≥4，t min=4．故t的最小值为：4．。
湖南省长沙市长郡中学2017届高考模拟试卷(一)数学(理)答案
# + 槡 由得'1 ' 代入中 可得* ( 1 & & 选择 , 项! 二 填空题 )+1! ' ,2 ' " & " ) " ' # ) " ( !" ! ! & 三 解答题 #槡 ( &槡 " $ 解析 5 6 7 # -1 % # -1 " % 0 5 6 7 % %$ ( " $ $ % 中 # - % # - 为锐角 8在$# %$ % ( " $ 分 槡 槡 8 7 9 : # -1 % # -1 7 9 : & %$ % ( " $ #槡 ( &槡 " $ 槡 ( 槡 " $ 槡 # # %1 5 6 7 # -2% % # - 1 ; ! ; 1 5 6 7 %$ %$ ( " $ ( " $ # 0 $ # %& &%$
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新课标高考理科数学模拟试题含答案
新课标高考理科数学模拟试题含答案The following text is amended on 12 November 2020.2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（一）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题:p x ∀∈R ，sin x ≤1，则（ ）A ．:p x ⌝∃∈R ，sin x ≥1B ．:p x ⌝∀∈R ，sin x ≥1C ．:p x ⌝∃∈R ，sin x >1 不能D ．:p x ⌝∀∈R ，sin x >12．已知平面向量a =（1，1），b （1，－1），则向量1322-=a b （ ）A ．（－2，－1）B ．（－2，1）C ．（－1，0）D ．（－1，2）3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）4．已知{a n }是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d =（ ）A ．23-B ．13-C ．13D ．235．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（ ）A ．2450B ．2500 y x11-2π-3π-O6ππyx11-2π-3π-O 6ππy x11-2π-3πO 6π-πy xπ2π-6π-1O1-3π A．B．C ．D ．6．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）在抛物线上，且2x 2=x 1+x 3， 则有（ ）A ．123FP FP FP +=B ．222123FP FP FP += C ．2132FP FP FP =+ D ．2213FPFP FP =· 7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．48．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．34000cm 3 B ．38000cm 3C ．2000cm 3D ．4000cm 3 9．若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ） A ．7．12- C ．12D 7 10．曲线12e x y =在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．29e 2年B ．4e 2, C ．2e 2 D ．e 2s 1，s 2，s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）甲的成绩 环数7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数7 8 9 1频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数7 8 9 1频数4 6 6 412．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。
湖南省娄底市2017届高考仿真模拟二模数学理试题 含答
娄底市2017届高考仿真模拟试卷数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}1,3M =，{}1,3,5N =，则满足M X N =∪的集合X 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．若复数z 满足()i 11i z -=+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．2i -B ．2i +C ．12i -D ．12i +3．“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知数列{}n a 是首项为1，公差为d （*N d ∈）的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d 不可能是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．给出关于双曲线的三个命题： ①双曲线22194y x -=的渐近线方程是23y x =±； ②若点()2,3在焦距为4的双曲线22221x y a b-=上，则此双曲线的离心率2e =； ③若点F 、B 分别是双曲线22221x y a b-=的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段FB 的中点一定不在此双曲线的渐近线上.其中正确的命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．记不等式组1033010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域为D ，若对任意()00,x y D ∈，不等式0020x y c -+≤恒成立，则c 的取值范围是（ ）A ．(],4-∞B ．(],2-∞C ．[]1,4-D ．(],1-∞-7．将函数()()ln 10y x x =+≥的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（(]0,θα∈），得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π8．在体积为V 腰直角三角形，则V 的最小值是（ ）A ．BC ．3πD ．12π 9．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式()11n n n n f x a x a x --=++ 10a x a ++L 的值的秦九韶算法，即将()f x 改写成如下形式：()()()(12n n n f x a x a x a x --=+++L L )10a x a ++，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如下图，则在空白的执行框内应填入（ ）A ．i v vx a =+B ．()i v v x a =+C ．i v a x v =+D ．()i v a x v =+10．已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=++（0ω>，2πϕ<），()1f α=-，()1f β=，若αβ-的最小值为34π，且()f x 的图象关于点,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则函数()f x 的单调递增区间是（ ） A ．2,22k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈ B ．3,32k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈ C ．52,22k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈ D ．53,32k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈ 11．过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 作平面a ，使棱AB 、AD 、AA 所在直线与平面a 所成角都相等，则这样的平面a 可以作（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()()1xf x x e =+，则对任意R m ∈，函数()()()F x f f x m =-()f x 的零点个数至多有（ ）A ．3个B ．4个C ．6个D ．9个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若()2sin 18a a x x dx -+=⎰，则a = ．14．若()()210501211x x a a x a x -=+-+-()10101a x ++-L ，则5a = ． 15．已知3a =r ，4b =r ，0a b ⋅=r r ，若向量c r 满足()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则c r 的取值范围是 ．16．已知各项都为整数的数列{}n a 中，12a =，且对任意的*N n ∈，满足1n n a a +-<122n +，2n n a a +- 321n >⨯-，则2017a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知ABC V 中，2AC =，120A =︒，cos B C .（Ⅰ）求边AB 的长；（Ⅱ）设D 是BC 边上一点，且ACD V ADC ∠的正弦值. 18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：（Ⅰ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？（Ⅱ）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（Ⅲ）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后在抽样检测，产品质量指标值X 近似满足()218,140X N :，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，侧面PAD 是边长为2的正三角形，AB BD ==3PB =.（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）设Q 是棱PC 上的点，当PA ∥平面BDQ 时，求二面角A BD Q --的余弦值.20．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为23，1F 、2F 分别是它的左、右焦点，且存在直线l ，使1F 、2F 关于l 的对称点恰好是圆C ：224x y mx +-22540my m -+-=（R m ∈，0m ≠）的一条直径的四个端点.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l 与抛物线22y px =（0p >）相交于A 、B 两点，射线1F A 、1F B 与椭圆E 分别相交于点M 、N .试探究：是否存在数集D ，当且仅当p D ∈时，总存在m ，使点1F 在以线段MN 为直径的圆内？若存在，求出数集D ；若不存在，请说明理由.21．已知函数()ln x f x x=，()()1g x k x =-. （Ⅰ）证明：R k ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）若2e,e x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f xg x ≤+成立，求实数k 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程是122x t y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 6πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）写出曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 、Q 分别在1C 、2C 上运动，若PQ 的最小值为1，求m 的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a =+1x a +--.（Ⅰ）证明：()34f x ≥； （Ⅱ）若()413f <，求a 的取值范围.娄底市2017届高考仿真模拟试卷数学（理科）参考答案一、选择题1-5:DAABC 6-10:DDBAB 11、12：DA二、填空题13．3 14．251 15．[]0,5 16．20172三、解答题17．解：（Ⅰ）因为120A =︒，所以60C B =︒-，由cos B C 得()cos 60B B =︒-1sin 22B B ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭3cos 22B B =-.即cos B B，从而tan B =， 又060B ︒<<︒，所以30B =︒，6030C B =︒-=︒，所以2AB AC ==. （Ⅱ）由已知得12AC CD ⋅⋅sin 30⋅︒=，所以CD =在ACD V 中， 由余弦定理得2222AD AC CD AC =+-⋅⋅7cos 4CD C =，2AD =， 再由正弦定理得sin sin AD AC C ADC =∠，故sin sin 7AC C ADC AD ⋅∠== 18．解：（Ⅰ）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.2000.3000.260++0.0900.025++0.875=，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.（Ⅱ）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件.再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件.故所求的概率21112134134148C C C C C C P C +=37=. （Ⅲ）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为1700.0251800.1⨯+⨯+1900.22000.3⨯+⨯+2100.262200.09⨯+⨯+2300.025200.4⨯=，“质量提升月”活动后，产品质量指标值X 近似满足()218,140X N :，则()218E X =. 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6.19．解：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连接OP ，OB ，因为PAD V 是边长为2的正三角形，所以OP =OP AD ⊥，①又AB BD =OB AD ⊥，且OB == 于是2229OB OP PB +==，从而OP OB ⊥，②由①②得OP ⊥平面ABCD ，而OP ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .（Ⅱ）连结AC ，设AC BD E =∩，则E 为AC 的中点，连结EQ ，当PA ∥平面BDQ 时，PA EQ ∥，所以Q 是PC 的中点.由（Ⅰ）知，OA 、OB 、OP 两两垂直，分别以OA 、OB 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系如图，则()B、()C -、()1,0,0D -、(P ， 由P 、C坐标得Q ⎛- ⎝⎭，从而()DB =uu u r，DQ ⎛= ⎝⎭uuu r ， 设(),,n x y z =r 是平面BDQ 的一个法向量，则由00n DB n DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r su u r r suu r得00x y z ⎧=+=， 取1y =，得(n =r ，易知平面ABD 的一个法向量是()10,0,1n =u r ， 所以111cos ,n n n n n n ⋅=r u r r u r r ur = 由图可知，二面角A BD Q --的平面角为钝角，故所求余弦值为20．解：（Ⅰ）将圆C 的方程配方得：()()2224x m y m -+-=，所以其圆心为()2,C m m ，半径为2.由题设知，椭圆的焦距2c 等于圆C 的直径，所以2c =，又23c e a ==，所以3a =，从而2225b a c =-=，故椭圆E 的方程为22195x y +=. （Ⅱ）因为1F 、2F 关于l 的对称点恰好是圆C 的一条直径的两个端点，所以直线l 是线段OC 的垂直平分线（O 是坐标原点），故l 方程为522m y x =-+，与22y px =联立得：22250y py pm +-=，由其判别式0∆>得100p m +>，①设()11,A x y ，()22,B x y ，则12y y p +=-，1252y y pm =-. 从而12122y y x x ++=-+515222m p m =+，()2121224y y x x p =22516m =. 因为1F 的坐标为()2,0-，所以()1112,F A x y =+uuu r ，()1222,F B x y =+uuu r . 注意到1F M uuu u r 与1F A uuu r 同向，1F N uuu r 与1F B uuu r 同向，所以点1F 在以线段MN 为直径的圆内110F M F N ⇔⋅<uuu u r uuu r 110F A F B ⇔⋅<uuu r uuu r ()()1212220x x y y ⇔+++<()12121224x x x x y y ⇔++++()22501024m p m <⇔+-()440p ++<，②当且仅当()21002p '∆=-()10040p -+>即5p >时，总存在m ，使②成立. 又当5p >时，由韦达定理知方程()2251024m p m +-+()440p +=的两根均为正数，故使②成立的0m >，从而满足①.故存在数集()5,D =+∞，当且仅当p D ∈时，总存在m ，使点1F 在以线段MN 为直径的圆内.21．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()()0,11,+∞∪，()()2ln 1ln x f x x -'=，直线()y g x =过定点()1,0，若直线()y g x =与曲线()y f x =相切于点000,ln x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭（00x >且01x ≠），则()020ln 1ln x k x -=000ln 1x x x =-，即 00ln 10x x +-=，①设()ln 1h x x x =+-，()0,x ∈+∞，则()110h x x'=+>，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，又()10h =，从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾.所以，R k ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）()()12f x g x ≤+即()11ln 2x k x x --≤，令()()1ln x x k x xϕ=--，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦， 则2e,e x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f x g x ≤+成立()min 12x ϕ⇔≤， ()()2ln 1ln x x k x ϕ-'=-=211ln ln k x x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭2111ln 24k x ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭， （1）当14k ≥时，()0x ϕ'≤，()x ϕ在2e,e ⎡⎤⎣⎦上为减函数，于是()()2min e x ϕϕ==()22e e 12k --， 由()22e 1e 122k --≤得12k ≥，满足14k ≥，所以12k ≥符合题意； （2）当14k <时，由21124y t k ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭及1ln t x =的单调性知()211ln 2x x ϕ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭14k +-在2e,e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，所以()()()2e e x ϕϕϕ'''≤≤，即()14k x k ϕ'-≤≤-， ①若0k -≥，即0k ≤，则()0x ϕ'≥，所以()x ϕ在2e,e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，于是()()min e x ϕϕ==()e e 1k --1e 2≥>，不合题意；②若0k -<，即104k <<则由()e 0k ϕ'=-<，()21e 04k ϕ'=->及()x ϕ'的单调性知存在唯一()20e,e x ∈，使()00x ϕ'=，且当()0e,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ为减函数；当()20,x x e ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ为增函数；所以()()0min x x ϕϕ==()0001ln x k x x --，由()00011ln 2x k x x --≤得000111ln 2x k x x ⎛⎫≥- ⎪-⎝⎭011x >- 01112224x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，这与104k <<矛盾，不合题意.综上可知，k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 22．解：（Ⅰ）4cos 6πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即2sin ρθθ=+，所以2cos ρθ=2sin ρθ+，将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+代入得2C 的直角坐标方程为22x y +-20y -=；（Ⅱ）将22x y +-20y -=化为(()2214x y +-=，所以2C是圆心为)，半径为2的圆，将1C0y m -+=，所以min 2PQ =-2212m +=-=，由此解得4m =或8m =-. 23．解：（Ⅰ）()21f x x a x a =++--()()21x a x a ≥+---21a a =++ 2133244a ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭ （Ⅱ）因为()2443f a a =++-221,37,3a a a a a a ⎧++≥⎪=⎨-+<⎪⎩， 所以()413f <⇔23113a a a ≥⎧⎨++<⎩，或23713a a a <⎧⎨-+<⎩， 解之得23a -<<，即a 的取值范围是()2,3-.。
湖南长沙一中2017届高三数学一模试题理科有解析
湖南长沙一中2017届高三数学一模试题（理科有解析）炎德英才大联考长沙市一中2017届高考模拟卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，集合，则为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，所以，选A.2.已知非空集合，则命题“”是假命题的充要条件是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】等价于，因为“”是假命题，故其否定为，它是真命题，故“”是假命题的充要条件是，选D.3.已知算法的程序框图如图所示，则输出的结果是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】根据流程图，有，故选C.4.已知实数满足，设，则的最小值为（）A.B.C.0D.2【答案】B【解析】可行域如图所示，当动直线过时，有最小值，又，故的最小值为，选B.5.传说战国时期，齐王与田忌各有上等，中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的马强，但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强。
有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜。
如果齐王将马按上，中，下等马的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，则田忌获胜的概率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如田忌获胜，则必须是田忌的上马胜齐王的中马，中马胜齐王的下马，下马输给齐王的上马，而田忌的马随机出阵比赛，共有种情形，故田忌获胜的概率为.选 C.6.已知函数，则函数的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】令，则，化简得，因此在上都是增函数.又，故选B.7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：根据三视图知几何体的下面是一个圆柱，上面是圆柱的一半，所以．故应选B．考点：空间几何体的三视图.8.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（）A.4B.6C.8D.12【答案】C【解析】过作准线的垂线，垂足为，则，则在，有，从.在中，，从而，又，从而，故，，选C.9.已知在中，是边上的点，且，，,则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设，则，则，，所以，整理得到，解得或者（舎），故，而，故.选A.10.设为两个非零向量的夹角，若对任意实数，，则下列说法正确的是（）A.若确定，则唯一确定B.若确定，则唯一确定C.若确定，则唯一确定D.若确定，则唯一确定【答案】A【解析】题设可以化为，如图，表示线段的长度，其中为定点，为动点，当时，最小，所以，故当确定时，是确定的，但当确定时，因，故可能会有两个不同的解，总是不确定的，故选A.点睛：向量问题，首先寻找向量关系式是否有隐含的几何性质，如果找不到合适的几何性质，就利用代数的方法（如转化为坐标等）去讨论.11.已知球与棱长为4的正方形的所有棱都相切，点是球上一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为球与正方体的每条棱都相切，故其直径为面对角线长，所以半径为，如图，球心为正方体的中心，球心与的外接圆上的点的距离为，其长为体对角线的一半，故，故，也就是，选C.点睛：这是组合体问题，关键是确定出球心的位置以及球心与三角形外接圆上的点的距离.12.已知函数，下列说法中错误的是（）A.的最大值为2B.在内所有零点之和为0C.的任何一个极大值都大于1D.在内所有极值点之和小于55【答案】D【解析】因为，故为偶函数.当时，，故，当时等号成立，故，故A对；又为偶函数，内非零的零点成对出现，且关于原点对称，故其和为，故B；当时，，如下图，考虑与的图像在上的交点，它们有两个交点，它们的横坐标为且满足，，当，，当，，当，，在处取极大值，又，令，故（由三角函数线可得），其他极大值同理可得，故C对；如下图，在内，有，类似地，，，，，故10个极值点的和大于，故D错误，选D.点睛：函数为偶函数，故只要考虑上的函数性质，但导函数的零点无法求得，只能通过两个熟悉的函数图像的交点来讨论函数的极值，讨论函数极值时需要利用极值点满足的条件去化简极值并讨论极值的范围.而诸极值点和的范围的讨论，也得利用两个熟悉函数图像的交点的性质去讨论.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每题5分13.若复数为纯虚数，且（为虚数单位），则__________________.【答案】【解析】设，所以，故，所以，所以，填.14.已知过点的双曲线的两条渐近线为，则该双曲线的方程为____________.【答案】【解析】不妨设，因为过，故，故，所以双曲线的方程为，填.15.若当时，函数取得最小值，则________________. 【答案】【解析】，所以，因为在，所以，所以，故或者（舎），故填.点睛：一般地，的最值，有两种处理方法：（1）（辅助角公式）；（2）如果在有最值，那么，从而求出对应的的值.16.设二次函数的导函数为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值___________________.【答案】【解析】试题分析：根据题意易得：，由得：在R上恒成立，等价于：，可解得：，则：，令，，故的最大值为．考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列中，，数列中，.（1）分别求数列的通项公式；（2）定义，是的整数部分，是的小数部分，且.记数列满足，求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）因为为等差数列，故可以把已知条件转化为基本量的方程组，求出其值即得通项公式，而满足递推关系，它可以变形为也就是是等比数列，从而求得的通项.（2）根据题设给出的定义得到，所以，它是等差数列和等比数列的乘积，利用错位相减法可以求出其前项和.解析：（1），，∴是首项为，公比为的等比数列，∴，∴.（2）依题意，当时，，∴，所以，令，两式相减，得故.18.2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.（1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人数()1020304050607080愿意整体搬迁人数()817253139475566请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归方程（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求的分布列及数学期望.参考公式及数据：.【答案】(1)线性回归方程为,当时，.(2).【解析】试题分析：（1）依据公式计算回归方程，在根据求出的结果得到相应的预测值.（2）是离散型随机变量，它服从超几何分布，故根据公式计算出相应的概率，得到分布列后再利用公式计算期望即可.解析：（1）由已知有，,故变量关于变量的线性回归方程为，所以当时，.（2）由题意可知的可能取值有1，2,3,4.，.所以的分布列为123419.如图所示，三棱柱中，已知侧面.（1）求证：平面；（2）是棱长上的一点，若二面角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥BC1，在△CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后证明BC⊥BC1，利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）通过AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面AB1E的一个法向量，平面的一个法向量通过向量的数量积，推出λ的方程，求解即可．试题解析：证明：因为平面，平面，所以，在中，，，，由余弦定理得：，故，所以，又，∴平面.由可以知道，，，两两垂直，以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，.令，∴，.设平面的一个法向量为，，令，则，，∴，平面，∴是平面的一个法向量，，两边平方并化简得，所以或.∴或.点睛：本题考查面面垂直，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题。
2017年湖南省长沙市高三理科二模数学试卷
2017年湖南省长沙市高三理科二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 若集合M=1,3，N=1,3,5，则满足M∪X=N的集合X的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 42. 若复数z满足i z−1=1+i（i虚数单位），则z= A. 2−iB. 2+iC. 1−2iD. 1+2i3. “a<−1”是“直线ax+y−3=0的倾斜角大于π4”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知数列a n的首项为1，公差为d d∈N∗的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是 A. 2B. 3C. 4D. 55. 给出关于双曲线的三个命题：①双曲线y29−x24=1的渐近线方程为y=±23x；②若点2,3在焦距为4的双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0上，则此双曲线的离心率为2；③若点F，B分别是双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上．其中正确的命题个数是 A. 0B. 1C. 2D. 36. 记不等式x−y+1≥0,3x−y−3≤0,x+y−1≥0所表示的平面区域为D，若对任意x0,y0∈D，不等式x0−2y0+c≤0恒成立，则c的取值范围是 A. −∞,4B. −∞,2C. −1,4D. −∞,−17. 将函数y=ln x+1x≥0的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θθ∈0,α，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为 A. πB. π2C. π3D. π48. 在体积为V的球内有一个多面体，该多面体的三视图是如图所示的三个斜边都是的等腰直角三角形，则V的最小值是 A. 43πB. 3π2C. 3πD. 12π9. 我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式f x=a n x n+a n−1x n−1+⋯+a1x+a0的值的秦九韶算法，即将f x改写成如下形式：f x= ⋯a n x+ a n−1x+a n−2 x+⋯+a1 x+a0，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，这种算法至今仍是比较先进的算法，将秦九韶算法用程序框图表示如图，则在空白的执行框内应填入 A. v=vx+a iB. v=v x+a iC. v=a i x+vD. v=a i x+v10. 已知函数f x=2sinωx+φ+1 ω>0,∣φ∣<π2，fα=−1，fβ=1，若∣α−β∣的最小值为3π4，且f x的图象关于点π4,1对称，则函数f x的单调递增区间是 A. −π2+2kπ,π+2kπ ，k∈Z B. −π2+3kπ,π+3kπ ，k∈ZC. π+2kπ,5π2+2kπ ，k∈Z D. π+3kπ,5π2+3kπ ，k∈Z11. 过正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A作平面α，使棱AB，AD，AA1所在直线与平面α所成角都相等，则这样的平面α可以作 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12. 已知函数f x是定义在R上的奇函数，当x<0时，f x=x+1e x则对任意的m∈R，函数F x=f f x−m的零点个数至多有 A. 3个B. 4个C. 6个D. 9个二、填空题（共4小题；共20分）13. 若∫−aa x2+sin x d x=18，则a=．14. 若x10−x5=a0+a1x−1+a2x−12+⋯+a10x−110，则a5=．15. 已知平面向量a，b，c满足∣a∣=∣∣b∣∣=a⋅b=2，c−a⋅ c−b=0，则c⋅a的最大值是．16. 已知各项均为整数的数列a n中，a1=2，且对任意的n∈N∗，满足a n+1−a n<2n+12，a n+2−a n>3×2n−1，则a2017=．三、解答题（共7小题；共91分）17. 已知△ABC中，AC=2，A=120∘，cos B=3sin C．（1）求边AB的长；（2）设D是BC边上的一点，且△ACD的面积为334，求∠ADC的正弦值．18. 某种产品的质量以其质量指标衡量，并依据质量指标值划分等级如表：质量指标值m m<185185≤m<205m≥205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查的数据，能否认为该企业生产这种产品符合“一、二等品至少要占到全部产品的92%的规定”?（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品的质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似满足X∼N218,140，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少?19. 如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，AB=BD=7，PB=3．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）设Q是棱PC上的点，当PA∥平面BDQ时，求二面角A−BD−Q的余弦值．20. 已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为23，F1，F2分别是它的左、右焦点，且存在直线l，使F1，F2关于l的对称点恰好为圆C:x2+y2−4mx−2my+5m2−4=0m∈R,m≠0的一条直径的两个端点．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线l与抛物线y2=2px p>0相交于A，B两点，射线F1A，F1B与椭圆E分别相交于点M，N，试探究：是否存在数集D，当且仅当p∈D时，总存在m，使点F1在以线段MN为直径的圆内?若存在，求出数集D；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f x=xln x，g x=k x−1．（1）证明：∀k∈R，直线y=g x都不是曲线y=f x的切线；（2）若∃x∈e,e2，使得f x≤g x+12成立，求实数k的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=12t,y=m+32t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cos θ−π6．（1）写出曲线C2的直角坐标方程；（2）设点P，Q分别在C1，C2上运动，若∣PQ∣∣的最小值为1，求m的值．23. 已知函数f x=∣x+a2∣+∣x−a−1∣．（1）证明：f x≥34；（2）若f4<13，求实数a的取值范围．答案第一部分1. D2. A3. A4. B5. C6. D7. D8. B9. A 【解析】秦九韶算法的过程是v0=a n,v k=v k−1x+a n−k k=1,2,⋯,n这个过程用循环结构来实现，应在题目的空白的执行框内填入v=vx+a i．10. B【解析】由题意，函数f x=2sinωx+φ+1 ω>0,∣φ∣<π2，fα=−1，fβ=1，∣α−β∣的最小值为3π4，所以周期T=4∣α−β∣=3π，ω=2πT ，即ω=23，所以f x=2sin23x+φ +1，又因为图象关于点π4,1对称，代入可得：sin23×π4+φ =0，即π6+φ=kπ，k∈Z．因为∣φ∣<π2，所以φ=−π6．所以f x=2sin23x−π6+1．由−π2+2kπ≤23x−π6≤π2+2kπ．得：−π2+3kπ≤x≤π+3kπ，k∈Z．11. D 【解析】在正方体ABCD−A1B1C1D1中，三棱锥A−A1BD是正三棱锥，直线AB，AD，AA1与平面A1BD所成角都相等，过顶点A作平面α∥平面A1BD，则直线AB，AD，AA1与平面α所成角都相等，同理，过顶点A分别作平面α与平面C1BD，平面B1AC，平面D1AC平行，直线AB，AD，AA1与平面α所成的角都相等，所以这样的平面α可以作4个．12. A 【解析】当x<0时，f x=x+1e x，可得fʹx=x+2e x，可知x∈−∞,−2，函数是减函数，x∈−2,0函数是增函数，f−2=−1e，f−1=0，且x→0时，f x→1，又f x是定义在R上的奇函数，f0=0，而x∈−∞,−1时，f x<0，所以函数的图象如图：令t=f x则f t=m，由图象可知：当t∈−1,1时，方程f x=t至多3个根，当t∉−1,1时，方程没有实数根，而对于任意m∈R，方程f t=m至多有一个根，t∈−1,1，从而函数F x=f f x−m的零点个数至多有3个．第二部分13. 314. 25115. 5【解析】假设a，b的夹角为θ，依题意得∣a∣∣∣b∣∣cosθ=2，所以cosθ=12，θ=π3．作OA=a，OB=b，OC=c，则由条件可得 OC−OA⋅ OC−OB=AC⋅BC=0．所以点C位于以线段AB为直径的圆上，且△AOB为等边三角形．如图所示：因为c⋅a=∣c∣∣a∣⋅cos<c,a>=2∣c∣⋅cos<c,a>，所以要使c⋅a取得最大值，即需要使向量OC在向量OA方向上的投影取最大值．设圆心为M，过点M作MD⊥OA，垂足为D，则当圆M在点C处的切线平行于MD时，向量OC在向量OA方向上的投影最大．设此时点C处的切线与OA的延长线交于点E，由△AOB为等边三角形可知，∠BAO=π3，所以∣AD∣=12，∣OD∣=2−12=32，所以投影的最大值为∣OE∣=32+1=52，所以c⋅a的最大值是52×2=5．16. 22017【解析】由满足a n+1−a n<2n+12，所以a n+2−a n+1<2n+1+12，所以a n+2−a n<3×2n+1．又a n+2−a n>3×2n−1．所以a n+2−a n=3×2n．所以a 2017= a 2017−a 2015 + a 2015−a 2013 +⋯+ a 3−a 1 +a 1=3×22015+3×22013+⋯+3×21+2=3×2 41008−1+2=22017.第三部分17. （1） 因为 A =120∘，cos B = 3sin C ， 所以 cos 60∘−C = 3sin C ， 所以 sin C =12，sin B =12， 由正弦定理可得 AB12=212，所以 AB =2；（2） 因为 △ACD 的面积为 3 34，所以 12×2×CD ×12=3 34，所以 CD =3 32，所以 AD =2743 3232=72， 所以2sin ∠ADC=7212，所以 sin ∠ADC =2 77．18. （1） 根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为 0.200+0.300+0.260+0.090+0.025=0.875，由于该估计值小于 0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占到全部产品的 92% 的规定”；（2） 由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为 0.375，0.5 和 0.125， 故在样本中，一等品 3 件，二等品 4 件，三等品 1 件；再从这 8 件产品中随机抽取 4 件，一、二、三等品都有的情形有 2 种， ① 一等品 2 件，二等品 1 件，三等品 1 件； ② 一等品 1 件，二等品 2 件，三等品 1 件， 故所求的概率为 P =C 32⋅C 41⋅C 11+C 31⋅C 42⋅C 11C 84=37；（3） “质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为170×0.025+180×0.1+190×0.2+200×0.3+210×0.26+220×0.09+230×0.025=200.4； “质量提升月”活动后，产品质量指标值 X 近似满足 X ∼N 218,140 ， 则数学期望 E X =218；所以“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了 218−200.4=17.6． 19. （1） 取 AD 中点 O ，连接 OP ，OB ，因为△PAD是边长为2的正三角形，所以OP=3，OP⊥AD，又AB=BD=7，所以OB⊥AD，且OB= AB2−OA2=6．于是OB2+OP2=9=PB2，从而OP⊥OB．所以OP⊥面ABCD，而OP⊂面PAD，所以面PAD⊥面ABCD．（2）连接AC交BD于E，则E为AC的中点，连接EQ，当PA∥面BDQ时，PA∥EQ，所以Q是BC中点．由（1）知OA，OB，OP两两垂直，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B 0,6,0，C −2,6,0，D−1,0,0，P 0,0,3，Q −1,62,32，DB=1,6,0，DQ=0,62,32．设面BDQ的法向量为n=x,y,z，由n⋅DB=x+6y=0,n⋅DQ=62y+32z=0,取n= −1,−．面ABD的法向量是m=0,0,1，所以cos⟨m,n ⟩=−23．因为二面角A−BD−Q是钝角，所以二面角A−BD−Q的余弦值为−23．20. （1）将圆C的方程配方的：x−2m2+y−m2=4，则圆心C2m,m，半径为2，由椭圆的焦距为2c=d=4，c=2，由e=ca =23，则a=3，b2=a2−c2=5，故椭圆的方程为x 29+y25=1；（2）由F1，F2关于l对称点恰好是圆C的一条直径的两个端点，则直线l是线段OC的垂直平分线，故l方程为y=−2x+5m2，y2=2px,y=−2x+5m2,整理得2y2+2py−5pm=0，则Δ=2p2+4×2×5pm>0，则p+10m>0, ⋯⋯①设A x1,y1，B x2,y2，则y1+y2=−p，y1y2=−52pm，由F1的坐标为−2,0，则F1A=x1+2,y1，F1B=x2+2,y2，由F1M与F1A同向，F1N与F1B同向，则点F1在线段MN为直径的圆内，则F1M⋅F1N<0，则F1A⋅F1B<0，则x1+2x2+2+y1y2<0，即x1x2+2x1+x2+4+y1y2<0，则25m24+102−p m+ 4p+4<0, ⋯⋯②当且仅当Δ=1002−p2−100p+4>0，即p>5，总存在m使得②成立，当p>5时，由韦达定理可知25m 24+102−p m+4p+4=0的两个根为正数，故使②成立的m>0，从而满足①，故存在整数集D=5,+∞，当且仅当p∈D时，总存在m，使点F1在线段MN为直径的圆内．21. （1）f x的定义域为0,1∪1,+∞，f x的导数为fʹx=ln x−1ln x2，直线y=g x过定点1,0，若直线y=g x与y=f x相切于点 m,mln m，则k=ln m−1ln m =mln mm−1，即为ln m+m−1=0, ⋯⋯①设 x=ln x+x−1， ʹx=1x+1>0，则 x在0,+∞递增， 1=0，当且仅当m=1①成立．与定义域矛盾，故∀k∈R，直线y=g x都不是曲线y=f x的切线；（2）f x≤g x+12⇔xln x−k x−1≤12，可令m x=xln x−k x−1，x∈e,e2，则∃x∈e,e2，使得f x≤g x+12成立⇔m x min≤12．mʹx=ln x−1ln x2−k=−1ln x−122+14−k，当k≥14时，mʹx≤0，m x在e,e2递减，于是m x min=m e2=e22−k e2−1≤12，解得k≥12，满足k≥14，故k≥12成立；当k<14时，由y=− t−122+14−k，及t=1ln x 得mʹx=−1ln x−122+14−k在e,e2递增，mʹe≤mʹx≤mʹe2，即−k≤mʹx≤14−k，①若−k≥0即k≤0，mʹx≥0，则m x在e,e2递增，m x min=m e=e−k e−1≥e>12，不成立；②若−k<0，即0<k<14时，由mʹe=−k<0，mʹe2=14−k>0，由mʹx单调性可得∃x0∈e,e2，由mʹx0=0，且当x∈e,x0，mʹx<0，m x递减；当x∈x0,e2时，mʹx>0，m x递增，可得m x的最小值为x0ln x0−k x0−1，由x0ln x0−k x0−1≤12，可得k≥1x0−1x0ln x0−12>1x0−1x0−12=12>14，与0<k<14矛盾，综上可得k的范围是k≥12．22. （1）曲线C2的极坐标方程为ρ=4cos θ−π6，即ρ=23cosθ+2sinθ，可得直角坐标方程x2+y2−23x−2y=0．（2）x2+y2−23x−2y=0化为 x−32+y−12=4，圆心坐标为3,1，半径为2，曲线C1的方程方程为x=12t,y=m+32t（t为参数），普通方程为3x−y+m=0，因为∣PQ∣∣的最小值为1，所以∣2+m∣2−2=1，所以m=4或−8．23. （1）f x=∣x+a2∣+∣x−a−1∣≥∣x+a2−x−a−1∣=∣a2+a+1∣= a+122+34≥34.（2）f4=a2+a+1,a≥3 a2−a+7,a<3，因为f4<13，所以a≥3,a2+a+1<13或a<3,a2−a+7<13.所以−2<a<3．第11页（共11页）。
湖南省长沙市长郡中学2017届高三第一次模拟数学理试卷 Word版含解析
2017年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．[﹣1，1]D．{1}2．已知复数（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，﹣2）D．3．设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣34．已知的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．5．设f（x）=，则f（x）dx的值为（）A．+B．+3 C．+D．+36．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为（）A．B．C．D．47．在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10] B．（2，+∞）C．（2，4]D．（4，+∞）8．若的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是（）A．﹣270 B．270 C．﹣90 D．909．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足，则的值为（）A．2 B．C．D．﹣210．已知抛物线C：y2=2px（0＜p＜4）的焦点为F，点P为C上一动点，A（4，0），B（p，p），且|PA|的最小值为，则|BF|等于（）A．4 B．C．5 D．11．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．412．已知函数满足条件：对于∀x1∈R，且x1≠0，∃唯一的x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（）A．B．C．+3 D．+3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数的最大值为．14．设，则a1+a2+a3+a4+a5=．15．已知平面向量的夹角为120°，且．若平面向量满足，则=．16．设数列{a n}（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且a n+2﹣2a n+1+a n=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则=．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=sin•cos+cos2，求f（B）的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）设PM=tMC，若二面角M﹣BQ﹣C的平面角的大小为30°，试确定t的值．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2016年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都作出好评的交易为80次．（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视作概率，某人在该购物平台上进行5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全为好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方程．（K 2=，其中n=a +b +c +d ）20．（12分）已知椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，P （﹣2，1）是C 1上一点．（1）求椭圆C 1的方程；（2）设A ，B ，Q 是P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 交C 1于异于P 、Q 的两点C ，D ，点C 关于原点的对称点为E ．证明：直线PD 、PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1•x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线（t为参数）与圆C交于A，B两点，且，求m的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥﹣2的解集M；（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．2017年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．[﹣1，1]D．{1}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】集合A与集合B的公共元素构成集合A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，∴A∩B={0，1}．故选A．【点评】本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．已知复数（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，﹣2）D．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数==+i的共轭复数﹣i的共在复平面内对应的点在第三象限，∴＜0，﹣＜0，解得a，且a＞﹣2，则实数a的取值范围是．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3【考点】基本不等式．【专题】直线与圆．【分析】如图所示，当a≥1时，由，解得．当直线z=x+ay 经过A点时取得最小值为7，同理对a＜1得出．【解答】解：如图所示，当a≥1时，由，解得，y=．∴．当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7，∴，化为a2+2a﹣15=0，解得a=3，a=﹣5舍去．当a＜1时，不符合条件．故选：B．【点评】本题考查了线性规划的有关知识、直线的斜率与交点，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．4．已知的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值．【分析】根据题意，利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，即可求出A|x1﹣x2|的最小值．【解答】解：=sin2017xcos+cos2017xsin+cos2017xcos+sin2017xsin=sin2017x+cos2017x+cos2017x+sin2017x=sin2017x+cos2017x=2sin（2017x+），∴f（x）的最大值为A=2；由题意得，|x1﹣x2|的最小值为=，∴A|x1﹣x2|的最小值为．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换以及正弦、余弦函数的周期性和最值问题，是基础题目．5．（设f（x）=，则f（x）dx的值为（）A．+B．+3 C．+D．+3【考点】定积分．【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】根据定积分性质可得f（x）dx=+，然后根据定积分可得．【解答】解：根据定积分性质可得f（x）dx=+，根据定积分的几何意义，是以原点为圆心，以1为半径圆面积的，=，∴f（x）dx=+（），=+，故答案选：A．【点评】本题求一个分段函数的定积分之值，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．6．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为（）A．B．C．D．4【考点】离散型随机变量的期望与方差；基本不等式．【专题】方程思想；转化思想；不等式的解法及应用；概率与统计．【分析】由题意可得：3a+2b+0•c=2，即3a+2b=2．a，b，c∈（0，1）），再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：3a+2b+0•c=2，即3a+2b=2．a，b，c∈（0，1）），∴===，当且仅当a=2b=时取等号．故选：C．【点评】本题考查了数学期望计算公式、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．）在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10] B．（2，+∞）C．（2，4]D．（4，+∞）【考点】程序框图．【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：设输入x=a，第一次执行循环体后，x=3a﹣2，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=9a﹣8，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=27a﹣26，i=3，满足退出循环的条件；故9a﹣8≤82，且27a﹣26＞82，解得：a∈（4，10]，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8．（若的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是（）A．﹣270 B．270 C．﹣90 D．90【考点】二项式系数的性质．【专题】方程思想；转化思想；二项式定理．【分析】的展开式中所有项系数的绝对值之和等于为展开式中所有项系数的绝对值之和，令x=1可得：4n=1024，解得n=5．利用的通项公式即可得出．【解答】解：的展开式中所有项系数的绝对值之和等于为展开式中所有项系数的绝对值之和，令x=1可得：4n=1024，解得n=5．==（﹣1）r35﹣r，∴的通项公式为：T r+1令=0，解得r=3．∴该展开式中的常数项是=﹣90．故选：C．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足，则的值为（）A．2 B．C．D．﹣2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算、数量积运算即可得出．【解答】解：如图所示，A（，0），B（0，），C（﹣，0），∴=（，），=（3，0），∴=（，）+（3，0）=（2，），∴=+=（，），∴=﹣=（﹣1，），=﹣=（﹣，），∴=﹣1×（﹣）+×=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的坐标运算和数乘运算、数量积运算、等边三角形的性质，属于中档题．10．已知抛物线C：y2=2px（0＜p＜4）的焦点为F，点P为C上一动点，A（4，0），B（p，p），且|PA|的最小值为，则|BF|等于（）A．4 B．C．5 D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用|PA|的最小值为，求出p，可得B的坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：设P（x，y），则|PA|==，∴x=4﹣p时，|PA|的最小值为=，∵0＜p＜4，∴p=3，∴B（3，3），∴|BF|=3+=，故选B．【点评】本题考查抛物线的定义与方程，考查配方法的运用，正确求出p是解题的关键．11．（2017•河北二模）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．4 【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P ﹣ABCD ． 【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P ﹣ABCD ． 连接BD ．其体积V=V B ﹣PAD +V B ﹣PCD==． 故选：B ．【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（2017•福建模拟）已知函数满足条件：对于∀x 1∈R ，且x 1≠0，∃唯一的x 2∈R 且x 1≠x 2，使得f （x 1）=f （x 2）．当f （2a ）=f （3b ）成立时，则实数a +b=（ ）A．B．C．+3 D．+3【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】根据条件得到f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，得到a，b 的关系进行求解即可．【解答】解：若对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f（x1）=f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，则b=3，且a＜0，由f（2a）=f（3b）得f（2a）=f（9），即2a2+3=+3=3+3，即a=﹣，则a+b=﹣+3，故选：D【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据条件得到a，b的关系是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2017•武昌区模拟）函数的最大值为4．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题；方程思想；演绎法；三角函数的图像与性质．【分析】先化简函数，再配方，即可得出结论．【解答】解：=cos2x﹣5sinx=1﹣2sin2x﹣5sinx=﹣2（sinx+）2﹣，∵﹣1≤sinx≤1，∴sinx=﹣1时，函数的最大值为4，故答案为4．【点评】本题考查函数的最大值，考查诱导公式，考查配方法的运用，属于中档题．14．设，则a1+a2+a3+a4+a5=﹣1．【考点】二项式系数的性质．【专题】方程思想；转化思想；二项式定理．【分析】令x=0，可得：1=a0．令x=，则=a0+a1+a2+a3+a4+a5，即可得出．【解答】解：令x=0，可得：1=a0．令x=，则=++…+=a0+a1+a2+a3+a4+a5，∴a1+a2+a3+a4+a5=﹣a0=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（2017•武昌区模拟）已知平面向量的夹角为120°，且．若平面向量满足，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；平面向量及应用．【分析】由已知画出图形，然后利用坐标法求解．【解答】解：如图，设，则A（1，0），B（﹣1，），再设，由，得，解得．∴||=．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标运算，建系起到事半功倍的效果，是中档题．16．设数列{a n}（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且a n+2﹣2a n+1+a n=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则=2016．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；构造法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】构造b n=a n+1﹣a n，则b1=a2﹣a1=4，由题意可得（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=b n+1﹣b n=2，利用等差数列的通项公式可得b n=a n+1﹣a n=2n+2，再利用“累加求和”方法可得a n=n（n+1），可得=，再利用取整数函数即可得出．【解答】解：构造b n=a n+1﹣a n，则b1=a2﹣a1=4，由题意可得（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=b n+1﹣b n=2，故数列{b n}是4为首项2为公差的等差数列，故b n=a n+1﹣a n=4+2（n﹣1）=2n+2，故a2﹣a1=4，a3﹣a2=6，a4﹣a3=8，…，a n﹣a n﹣1=2n，以上n﹣1个式子相加可得a n﹣a1=4+6+…+2n=，解得a n=n（n+1），∴=，∴+=+…+（）=1﹣，∴…+=2017﹣则==2016．故答案为：2016．【点评】本题考查了构造方法、等差数列的通项公式可、“累加求和”方法、“裂项求和”方法、取整数函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=sin•cos+cos2，求f（B）的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形．【分析】（I）由（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a ﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得：cosA．（II）f（x）=sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，可得＜B+＜，即可得出．【解答】解：（I）∵（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）f（x）==sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，∴＜B+＜，∴∈，∴f（B）的取值范围是．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）设PM=tMC，若二面角M﹣BQ﹣C的平面角的大小为30°，试确定t的值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；向量法；空间角．【分析】（1）由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，可得四边形BCDQ为平行四边形，得到CD∥BQ．结合∠ADC=90°，得QB⊥AD．然后利用面面垂直的性质得BQ⊥平面PAD．再由线面垂直的判定得平面PQB⊥平面PAD；（2）由PA=PD，Q为AD的中点，得PQ⊥AD．结合（1）可得PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系．然后求出平面BQC的一个法向量，再由PM=tMC 把平面MBQ的一个法向量用含有t的代数式表示，结合二面角M﹣BQ﹣C的平面角的大小为30°求得t的值．【解答】（1）求证：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD；（2）解：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则面BQC的法向量为；Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣1，）．设M（x，y，z），则，，∵PM=tMC，∴，则，即，在平面MBQ中，，，设平面MBQ的一个法向量，由，，取z=t，得x=．∴平面MBQ法向量为．∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，解得t=3．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2016年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都作出好评的交易为80次．（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视作概率，某人在该购物平台上进行5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全为好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方程．（K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】综合题；转化思想；演绎法；概率与统计．【分析】（1）由题意列出2×2列联表，计算观测值K 2，对照数表即可得出正确的结论；（2）根据题意，得出商品和服务都好评的概率，求出X 的可能取值，计算对应的概率值，写出期望与方差．【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表为：计算观测值K 2=，对照数表知，在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（6分）（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，5； 所以X 的分布列为： （由于X ～B （5，），则EX=5×=2，DX=5××（1﹣）=（12分）【点评】本题主要考查了统计与概率的相关知识，包括独立性检验、离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差的求法问题，也考查了对数据处理能力的应用问题．20．（12分）（2017•河北二模）已知椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，P （﹣2，1）是C 1上一点．（1）求椭圆C1的方程；（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和P满足椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1），设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆方程，设C（x1，y1），D（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1），运用韦达定理，设直线PD，PE的斜率为k1，k2，要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，化简整理，代入韦达定理，即可得证．【解答】解：（1）由题意可得e==，且a2﹣b2=c2，将P（﹣2，1）代入椭圆方程可得+=1，解得a=2，b=，c=，即有椭圆方程为+=1；（2）证明：A，B，Q是P（﹣2，1）分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，可设A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1），直线l的斜率为k=，设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆x2+4y2=8，可得x2+2tx+2t2﹣4=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1），即有△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，解得﹣2＜t＜2，x1+x2=﹣2t，x1x2=2t2﹣4，设直线PD，PE的斜率为k1，k2，则k1+k2=+=，要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，即（2﹣x1）（y2﹣1）﹣（2+x2）（y1+1）=0，由y1=x1+t，y2=x2+t，可得（2﹣x1）（y2﹣1）﹣（2+x2）（y1+1）=2（y2﹣y1）﹣（x1y2+x2y1）+x1﹣x2﹣4 =x2﹣x1﹣（x1x2+tx1+tx2）+x1﹣x2﹣4=﹣x1x2﹣t（x1+x2）﹣4=﹣（2t2﹣4）+2t2﹣4=0，则直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式和运用，化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1•x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；（2）原式等价于＞，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立．令h（t）=lnt﹣，t∈（0，1），根据函数的单调性求出即可．【解答】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如图示：，可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），故k=y′|x=x0=，又k=，故=，解得，x0=e，故k=，故0＜a＜；（2）因为e1+λ＜x1•x2λ等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（1）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于a＞，又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，ln =a（x1﹣x2），所以原式等价于＞，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即ln＜恒成立．令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立．令h（t）=lnt﹣，t∈（0，1），又h′（t）=，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论，转化思想，数形结合的思想方法的应用，是一道综合题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线（t为参数）与圆C交于A，B两点，且，求m的值．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】选作题；转化思想；演绎法；坐标系和参数方程．【分析】（1）求出圆C的普通方程，可得圆C的极坐标方程；（2）求出直线l的普通方程，利用勾股定理，建立方程，即可求出m的值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（φ为参数），普通方程为（x ﹣2）2+y2=4，极坐标方程为ρ=4cosθ；（2）直线（t为参数），消去参数可得y﹣x+m=0，圆心C到直线的距离d=，|AB|=2=，∴m=0或4．【点评】本题考查三种方程的转化，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥﹣2的解集M；（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【专题】函数思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）法一：求出f（x）的分段函数的形式，令y=x﹣a，通过讨论求出a的范围即可；法二：设g（x）=f（x）﹣x，问题转化为﹣a≥g（x）max，求出g（x）的最大值，得到a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，所以x∈∅；当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，所以﹣≤x＜1；当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，所以1≤x≤6；综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为M={x|﹣≤x≤6}；（Ⅱ）f（x）=，令y=x﹣a，当直线经过点（1，3）时，﹣a=2，所以当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；当﹣a＜2即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，所以a≥2+，即a≥4，综上，a≤﹣2或a≥4．解法二：（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣x=，因为对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，所以﹣a≥g（x）max，①当a＞1时，g（x）max=g（a）=﹣2a+4，所以﹣a≥﹣2a+4，所以a≥4，符合a＞1．②当a≤1时，g（x）max=g（1）=2，所以﹣a≥2，所以a≤﹣2，符合a≤1，综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．【点评】本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．。
湖南省永州市2017届高三高考第一次模拟考试理数试题解析(解析版)含解斩
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1。
已知集合()(){}210A x x x =-+<，{}11B x Z x =∈-≤≤，则A B =（ ）A ．{}10-，B ．{}01，C ．{}101-，，D ．{}12-， 【答案】B 【解析】试题分析:}21|{<<-=x x A ，}1,0,1{-=B ，则}1,0{=B A 。
考点:集合运算．2。
若复数满足()122z i +=，则的虚部为( )A ．45-B ．45C ．45i -D ．45i【答案】A考点：复数概念、四则运算． 3。
焦点是()02±，，且与双曲线22133x y -=有相同的渐近线的双曲线的方程是（ ） A ．2213y x -= B ．2213x y -=C ．222xy -= D ．222yx -=【答案】D 【解析】试题分析：由已知，双曲线焦点在y 轴上，且为等轴双曲线，故选D 。
考点：双曲线几何性质．4.若a =384b =，ln 2c =，则( ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】B 【解析】 试题分析：2122==a ,438324==b ，故b a <，又1>a ，而1<c ,故c a b <<.考点:基本函数．5.“0m =”是“直线0x y m +-=与圆()()22112x y -+-=相切”的（ )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B考点：直线与圆的位置关系、充分必要条件．6.运行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．37 B．33C．11 D．8【答案】C【解析】试题分析：2S,2=i；4=22==⨯S，++1=2==111<，2S，3+S，3==8=S。