数学归纳法2

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数学归纳法(二)

一、用数学归纳法证明等式问题练习1. 求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立. ② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), 当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
1、三个步骤缺一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为归纳基础；第二步是归纳关键，是推理的依据，是判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步，第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没有可靠性； 2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。注意：完成一,二步后,最后第三步对命题做 6 一个总的结论一定不要忘了。
上述证明方法叫做数学归纳法。
2
例1.试判断下列两例的证明过程是否正确，若不正确请说明理由. （1）用数学归纳法证明
1 3 5 ... (2n 1) n 1(n N )
2 *
证明： 2 假设n=k时命题成立，即1 3 5 ... (2k 1) k 1 ，

13
五、小结
（1）理解数学归纳法原理。（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推的依据，也是证明中的难点和关键。（3）数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题。

2.3数学归纳法2

例5．用数学归纳法证明不等式：
三、限时训练
1．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋<n(n∈N*，n>1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是()
A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋1
2．对于不等式<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．
2.3数学归纳法（二）
一、概念回顾
1、数学归纳法：对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：
①归奠基：；
②归纳递推：。
二、例题讲解
例1．用数学归纳法证明：能被7整除。
例2．用数学归纳法证明： )
例3．用数学归纳法证明不等式：＋＋…＋<，(n≥2，n∈N*)
例4．用数学归纳法证明不等式：，（）
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即<k＋1，则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()
A．过程全部正确B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
3．观察不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)．

最新数学归纳法原理：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】

数学归纳法原理(六种)：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】一行骨牌，如果都充分地靠近在一起（即留有适当间隔），那么只要推倒第一个，这一行骨牌都会倒塌；竖立的梯子，已知第一级属于可到达的范围，并且任何一级都能到达次一级，那么我们就可以确信能到达梯子的任何一级；一串鞭炮一经点燃，就会炸个不停，直到炸完为止；……，日常生活中这样的事例还多着呢！数学归纳法原理设P(n)是与自然数n有关的命题．若(I)命题P(1)成立；(Ⅱ)对所有的自然数k，若P(k)成立，推得P(k+1)也成立.由（I）、(Ⅱ)可知命题P(n)对一切自然数n成立．我们将在“最小数原理”一章中介绍它的证明，运用数学归纳法原理证题的方法，是中学数学中的一个重要的方法，它是一种递推的方法，它与归纳法有着本质的不同．由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，用归纳法可以帮助我们从具体事例中发现一般规律，但是，仅根据一系列有限的特殊事例得出的一般结论的真假性还不能肯定，这就需要采用数学归纳法证明它的正确性．一个与自然数n有关的命题P(n)，常常可以用数学归纳法予以证明，证明的步骤为：(I)验证当n取第1个值no时，命题P(no)成立，这一步称为初始验证步．(Ⅱ)假设当n=k(k∈N，后≥no)时命题P(k)成立，由此推得命题P(k+1)成立．这一步称为归纳论证步．(Ⅲ)下结论，根据(I)、(Ⅱ)或由数学归纳法原理断定，对任何自然数(n≥no)命题 P(n)成立．这一步称为归纳断言步，为了运用好数学归纳法原理，下面从有关注意事项与技巧及运用递推思想解题等几个方面作点介绍．运用数学归纳法证题时应注意的事项与技巧三个步骤缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第三步是递推的过程与结论．三步缺一不可．数学归纳法的其他几种形式还有：第二数学归纳法；跳跃数学归纳法；倒推数学归纳法（反向归纳法）；分段数学归纳法二元有限数学归纳法；双向数学归纳法；跷跷板数学归纳法；同步数学归纳法等。

数学归纳法二

第7节数学归纳法（二）学习目标：1.了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。

2.掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

3.能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。

重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。

一、预习案：“我学习，我主动，我参与，我收获！”1.数学归纳法的定义：______________________________________________ __________。

2.数学归纳法的基本步骤：(1) ______________________________________________(2) ______________________________________________3.证明中应注意的几个问题：①在用数学归纳法证明中，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可；②数学归纳法第一步中的“第一个数”不一定就是“1”，也可能是“2”或其它数，要根据题意准确选择；③注意n与k的不同，理解和书写时不要弄混；④数学归纳法的关键在第二步，要能真正地证明结论正确才行，切记证不出而直接说结论成立，并在证明n=k+1命题成立时，必须使用归纳假设，否则就不是数学归纳法。

4.预习自测：1.用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n n x y +能被x+y 整除”，第二步归纳假设应写成（）A. 假设n=2k+1(k ∈N *)正确，再推n=2k+3正确B. 假设n=2k-1(k ∈N *)正确，再推n=2k+1正确C. 假设n=k(k ∈N *)正确，再推n=k+1正确D. 假设n=k(k ∈N *)正确，再推n=k+2正确2. 用数学归纳法证明：()11n na α+≥+(其中1α>-，n 是正整数).我的疑惑___________________________________________________二、探究案：“我探究，我分析，我思考，我提高！”探究一：用数学归纳法证明：2212++ (2)(1)(21)6n n nn +++=（n 是正整数）.探究二：用数学归纳法证明：21()n n n n N*+<+∈.合作探究后谈谈你的解题思路：规律方法总结：_________________________________________三、训练案：“我实践，我练习，我开窍，我聪慧！”1.观察下列不等式：112>，111123++>，11123+++…1372+>，11123+++…1215+>，11123+++…15312+>，…，由此猜测第n 个不等式为___________________________2.用数学归纳法证明不等式11124+++…11127()264n n N *-+>∈成立，其初始值至少应取（）A. 7B. 8C. 9D. 103. 利用数学归纳法证明不等式11123+++…1()(2,)21n f n n n N *+<≥∈-的过程，由n=k 到n=k+1时，左边增加了( )A.1项B.k 项C. 12k -项 D . 2k 项 4. 用数学归纳法证明不等式1112n n ++++…11324n n +>+的过程中，由n=k 推导n=k+1时，不等式左边增加的式子是___________________________.我的收获-----反思静悟体验成功-----请写出本堂课学习中，你认为感悟最深的一至两条收获。

第四讲：数学归纳法(2)

所以当n=k+1时，命题成立. 由（1）和（2）知命题对任何n≥3 , n∈N＊都成立.
（教材50页习题4.1）6. 平面上有n条直线，其中任意两条都相交，任意三条不共点，这些直线把平面分成多少个区域？证明你的结论. 解：设这n条直线把平面分成的区域数目为 f (n),
则 f (1) 2 1 1 ;
f (2) 4 1 1 2 ; f (3) 7 1 1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3 ;
f (4) 11 1 1 2 3 4 ;
n f ( n ) 1 1 2 3 n 1 ( n 1) 猜想： 2 1 2 下面用数学归纳法证明：f ( n) ( n n 2). 2
n0 1或2等）时结论正确；（1）证明当 n 取第一个值 n （如 0
（2）假设时 n k ( k N且k n0 ) 结论正确，证明 n k 1 时结论也正确．递推依据（ 3）根据（1）和（2），当 n≥n0，且 n∈N＊时，在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从 n0 开始命题正确 . 的所有正整数n都正确.
1 凸n边形有对角线条数 f ( n) n( n 3) ( n 3). 2 证明：三角形没有对角线，（1）当n=3时， 1 （2）假设当n=k(k≥3)时，命题成立, 即 f ( k ) k ( k 3). 2 则当n=k+1时，
f (3) 0 , 命题成立.
f ( k 1) f ( k ) ( k 2) 1 1 k ( k 3) ( k 2) 1 2 1 1 1 2 ( k k 2) ( k 1)( k 2) ( k 1)[( k 1) 3]. 2 2 2

2(2)数学归纳法

把把
证明：证明：斐波那契数列中有
u0 = u1 = 1, (n = 0,1,2, L) un + 2 = un +1 + un
u 2 n = u n + u n −1
2
2
证明：证明：斐波那契数列中有
u0 = u1 = 1, (n = 0,1,2, L) un + 2 = un +1 + un
作业
• P63T6,T7
思考题
• 1.问对于怎样的正整数n，给定的正方形 1.问对于怎样的正整数，问对于怎样的正整数总可以分成n个互不重叠的小正方形个互不重叠的小正方形。总可以分成个互不重叠的小正方形。
设p1,p2,…,pn,…是由小到大排列的 2n 素数数列，试证： p n < 2
(11111),(2111),(1211),(1121),(1112), 8 11111),(2111),(1211),(1121),(1112), ),(2111),(1211),(1121),(1112 221),(212),(122) ),(212),(122 (221),(212),(122)
若an>0，且， i =1 成立吗？有an=n成立吗？成立吗
a i = (∑ a， )2 ∑ i
3 1
n
n
第二数学归纳法例举第二数学归纳法例举
• 有两堆棋子，数目相等。两人玩耍，每有两堆棋子，数目相等。两人玩耍，人可以在一堆里任意取几棵，人可以在一堆里任意取几棵，但不能同时在两堆里取，规定取得最后一棵者胜。时在两堆里取，规定取得最后一棵者胜。 • 问先取者得胜，还是后取者可以得胜？问先取者得胜，还是后取者可以得胜？ • 试加以证明。试加以证明。

第32讲_数学归纳法2

第13讲数学归纳法本节主要内容有数学归纳法的原理，第二数学归纳法；数学归纳法的应用.通常那些直接或间接与自然数n有关的命题，可考虑运用数学归纳法来证明．一.数学归纳法的基本形式第一数学归纳法：设P(n)是关于正整数n的命题，若1°P(1)成立(奠基)；2°假设P(k)成立，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切正整数n都成立．如果P(n)定义在集合N－{ 0,1,2,…,r－1}，则1°中“P(1)成立”应由“P(r)成立”取代.第一数学归纳法有如下“变着”；跳跃数学归纳法：设P(n)是关于正整数n的命题，若1°P(1)，P(2)，…，P(l)成立；2°假设P(k)成立，可以推出P(k+l)成立，则P(n)对一切正整数n都成立．第二数学归纳法：设P(n)是关于正整数一的命题，若l°P(1)成立；2°假设n≤k(k为任意正整数)时P(n)(1≤n≤k)成立，可以推出P(k+1))成立，则P(n)对一切自然数n都成立．以上每种形式的数学归纳法都由两步组成：“奠基”和“归纳”，两步缺一不可．在“归纳”的过程中必须用到“归纳假设”这一不可缺少的前提．二.数学归纳法证明技巧1.“起点前移”或“起点后移”：有些关于自然数n的命题P(n),验证P(1)比较困难，或者P(1)，P(2)，…，P(p－1)不能统一到“归纳”的过程中去，这时可考虑到将起点前移至P(0)(如果有意义)，或将起点后移至P(r)(这时P(1)，P(2)，…，P(r－1)应另行证明)．2.加大“跨度”：对于定义在M={n0，n0+r，n0+2r，…，n0+mr，…}( n0，r，m∈N*)上的命题P(n)，在采用数学归纳法时应考虑加大“跨度”的方法，即第一步验证P(n0)，第二步假设P(k)(k∈M)成立，推出P(k+r)成立．3.加强命题：有些不易直接用数学归纳法证明的命题，通过加强命题后反而可能用数学归纳法证明比较方便．加强命题通常有两种方法：一是将命题一般化，二是加强结论．一个命题的结论“加强”到何种程度为宜，只有抓住命题的特点，细心探索，大胆猜测，才可能找到适宜的解决方案．本节主要内容有数学归纳法的原理，第二数学归纳法；数学归纳法的应用A 类例题例1 n 个半圆的圆心在同一直线上，这n 个半圆每两个都相交，且都在l 的同侧,问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧?解设这些半圆最多互相分成f (n)=段圆弧，则f (1)=1，f (2)=4=22, f (3)=9=33, 猜想：f (n)=n 2, 用数学归纳法证明如下： 1°当n=1时，猜想显然成立2°假设n=k 时，猜想正确，即f (k)=k 2,则当n=k+1时，我们作出第k+l 圆，它与前k 个半圆均相交,最多新增k 个交点, 第k+1个半圆自身被分成了k+1段弧，同时前k 个半圆又各多分出l 段弧,故有 f (k+1)= f (k)+k+k+1 =k 2+2k+1=(k+1)2, 即n=k+1时，猜想也正确．所以对一切正整数n ，f (n)=n 2.例2已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a 0111,(4),.2n n n a a a a n N +==-∈ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+（2）求数列}{n a 的通项公式a n .情景再现1．求证对任何正整数n,方程x 2+y 2=z n 都有整数解.2. 已知{ a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1=0,a 2=3,a n+1· a n =(a n +2)(a n －2 +2) (1)求a 3；(2)证明a n =a n －2+2,n=3，4，5，…；(3)求{ a n }的通项公式及其前n 项和S n ．B 类例题例3.试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何n(n ＞7，n ∈N)分的邮资．证明 1°当n=8时，结论显然成立． 2°假设当n=k(k ＞7，k ∈N)时命题成立．若这k 分邮资全用3分票支付，则至少有3张，将3张3分票换成2张5分票就可支付k+1分邮资；若这k 分邮资中至少有一张5分票，只要将一张5分票换成2张3分票就仍可支付k+1分邮资．故当n=k+1时命题也成立．综上，对n ＞7的任何自然数命题都成立．说明上述证明的关键是如何从归纳假设过渡到P(k+1)，这里采用了分类讨论的方法．本例也可以运用跳跃数学归纳法来证明．另证1 °当n=8，9，10时，由8=3+5，9=3+3+3，10=5+5知命题成立．2° 假设当n=k(k ＞7，k ∈N)时命题成立．则当n=k+3时，由1。

高三数学数学归纳法2

有时,由" 假设n k时命题成立"易于推出n k 2时命题成立, 这时, 只要在步骤(1)中证明归纳假设的基础存在时, 分别证明, n n1及n n2时, 命题都成立, 这里n1 , n2一个是奇数, 一个是偶数, 那么, 欲证命题则对于一切大于或等于n1 , n2中较大者的自然数都成立.
3.从" 假设n k时命题成立" 推导 " n k 1时命题成立"的一般方法
例1.用数学归纳法证明 : 1 4 2 7 3 10 n(3n 1) n(n 1)
2
例2.用数学归纳法证明 : 1 1 1 1 2 2 2 2 3 n 1 2 ( n N , 且 n 2) n
这也说明缺少步骤(1)这个基础,步骤(2)就没意义了.
2.弄清几个问题 : (1)n0宜取尽可能小的自然数, 这样可使命题成立的范围较大, 但不一定必须取1; (2)必须先证明n n0时结论正确, 不能因为在步骤(2)中得到了n k 1的命题成立的结论, 证明就完成了.
因为, 得到" n k 1时命题成立" 结论的前提是" n k时命题成立" , 它只是假定, 称为归纳假设, 它必须以" n n0时命题成立"为基础.
2 2
a1 1, a2 1, a3 1, a4 1 如果由此作出结论：对于任何 n N , a (n 5n 5) 1都成立，
* 2 2
那就是错,而不完成第二步,就作出判断可能得出不正确的结论.
在为单靠步骤(1),我们无法递推下去,即对于n取2,3,4,5,……时, 命题是否正确,我们无法判定.

(精品)第二数学归纳法

(精品)第二数学归纳法数学归纳法在高中阶段就学过了，我在抽象代数系列课程安排这个主题是因为在证明数论定理时会经常用到数学归纳法。

数学归纳法的作用是能够证明一个命题序列，而不只是单独的命题。

数学归纳法有两个，叫第一数学归纳法和第二数学归纳法。

第一数学归纳法：给定一组关于自然数n>=1的命题S（n），假设(i)基础步骤：S(1)成立；(ii)归纳步骤：若S(k)成立，则S(k+1)也成立。

那么对一切整数n>=1,S(n)都成立。

第二数学归纳法：给定一组关于自然数n>=1的命题S（n），假设基础步骤：S(1)成立；(i)基础步骤：S(1)成立；(ii)归纳步骤：若对n的所有前导k有S(k)成立，则S(n)也成立。

那么对一切整数n>=1,S(n)都成立。

现在来证明第一数学归纳法和第二数学归纳法等价。

咋一看，好像第二归纳法有一个更强的归纳假设，也就是说如果一个命题能够被第一归纳法证明，那么它一定能被第二归纳法证明。

现在设集合A包含所有能被第一归纳法证明的命题，集合B包含所有能被第二归纳法证明的命题。

任意命题x属于A，那么显然它一定属于B，这样A就是B的子集，如果第二归纳法是正确的，说明B中的所有命题都是真命题，由于A是B的子集，则A中的所有命题也是真命题，所以第一归纳法也正确，这说明第二归纳法能推出第一归纳法。

实际上两种归纳法是等价的，要证明等价性，就还需要证明第一归纳法能推出第二归纳法，即证明B是A的子集。

现在任取B中的一个命题序列p，由第二归纳法可知，p(1)成立，p(1)且p(2)且...且p(k-1)可以推出p(k),现在构造新的命题q(n)=p(1)且p(2)且...且p(n)，则q(k-1)可以推出q(k)，并且q(1)=p(1)成立，这说明命题q能被第一归纳法证明，而命题q成立，p肯定成立，所以p能被第一归纳法证明，则p属于A，说明B是A的子集，则第一归纳法也能推出第二归纳法。

第二数学归纳法

证明
提示：用反证法证明。证明：假设命题不是对一切自然数都成立，假设C表示使命题不成立的自然数所组成的集合，显然C非空，由③可得，C中必然存在最小元素，记为q，④ 若q=0，与①矛盾，故q≥1； ∵q是C中的最小元素， ∴命题对于n<q即n≤q-1均成立，由②可得：故命题对n=q也成立，与④矛盾，故假设不成立，即命题N对于一切自然数n均成立。▉ （注:"▉"表明命题证毕。）
第二数学归纳法和第一数学归纳法一样，也是数学归纳法的一种表达形式，而且可以证明第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的，之所以采用不同的表达形式，旨在更便于我们应用。
感谢观看
第二数学归纳法
论证方法
01 简介
03 证明
目录
02 原理 04 说明
数学归纳法是一种重要的论证方法。本文从最小（自然）数原理出发，对它的第二种形式即第二数学归纳法（也称完整归纳法）进行粗略的探讨。
简介
数学归纳法是一种重要的论证方法。我们通常所说的“数学归纳法”大多是指它的第一种形式而言，本文从最小（自然）数原理出发，对它的第二种形式即第二数学归纳法进行粗略的探讨，旨在加深对数学归纳法的认识，并得到一种加强的证明方法。相对于第一数学归纳法，第二数学归纳法的假设更强，理论上可以使用第一数学归纳法证明的，必然可以使用第二数学归纳法证明；反之则不一定成立，我们有一个有关整数的整除理论的典型证明：“所有大于1的整数都可以分解成若干个素数的乘积”来看出这一点。
说明
在假如论证在n=k+1时的真伪时，必须以n取不大于k的两个或两个以上乃至全部的自然数时命题的真伪为其论证的依据，则一般选用第二数学归纳法进行论证。之所以这样，其根本原则在于第二数学归纳法的归纳假设的要求较之第一数学归纳法更强，不仅要求命题在n=k时成立，而且还要求命题对于一切小于k的自然数来说都成立，反过来，能用第一数学归纳法来论证的数学命题，一定也能用第二数学归纳进行证明，这一点是不难理解的。不过一般说来，没有必要这样做。

数学归纳法2

b1＋1 b2＋1 bk＋1 3 5 7 2k＋1 即 · · „· ＝ ··· „· > k＋1成立． b1 b2 bk 246 2k b1＋1 b2＋1 bk＋1 bk＋1＋1 则当n＝k＋1时，左边＝ · · „· · ＝ b1 b2 bk bk＋1
2k＋3 3 5 7 2k＋1 2k＋3 „· 2k · > k＋1· ＝ 2· 4· 6· 2k＋2 2k＋2 2k＋32 ＝ 4k＋1 4k2＋12k＋9 4k＋1
§4（二）
题型一例1
用数学归纳法证明不等式
已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，求证：对任意的 b1＋1 b2＋1 bn＋1 * n∈N ，不等式 · · „· b > n＋1都成立． b1 b2 n bn＋1 2n＋1 证明由bn＝2n，得 b ＝ 2n ， n
b1＋1 b2＋1 bn＋1 3 5 7 2n＋1 所以 b · b · „· b ＝2· „· 2n . 4· 6·
1．用数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等． 2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0. 3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.
*
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 1 1 1 1 则当n＝k＋1时，22＋32＋42＋„＋k2＋ 2<1－＋ k k＋12 k＋1 k＋12－k k2＋k＋1 kk＋1 1 ＝1－＝1－ <1－＝1－， kk＋12 kk＋12 kk＋12 k＋1
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．
1 2 n
b1＋1 b2＋1 bn＋1 下面用数学归纳法证明不等式 b · b · „· b 1 2 n 3 5 7 2n＋1 ＝ ··· „· > n＋1成立． 246 2n

[数学]_数学归纳法2

故 n＝k＋1 时猜想也成立．由①②可知，对 n≥2，n∈N*，有 an＝5×2n 2.
－
所以数列{an}的通项公式为
5，n＝1， an＝ n －2 5 × 2 ，n≥2.
(2)证明：①当 n＝2 时，a2＝5×22 2＝5，猜想成立．
－
②假设 n＝k 时成立，即 ak＝5×2k 2(k≥2，k∈N*)，
－
当 n＝k＋1 时，由已知条件和假设有 ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak ＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2 5(1－2k－1) ＝5＋ 1－2 ＝5×2k－1.

所以(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1，所以n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1 ＝ak＋2＋(a＋1)2(a＋1)2k－1 ＝ak＋2＋(a＋1)2[(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1] ＝ ak ＋ 2 ＋ (a ＋ 1)2(a2 ＋ a ＋ 1)q(a) － (a ＋ 1)2ak
2.3
数学归纳法(2)
2013.04.07
复习回顾
一.数学归纳法的作用
数学归纳法是证明一些与无限多个正整数相关的命题的有力工具，它用有限的步骤，取代了难以实现的无限验证。
（1）奠基（2）递推
数学归纳法
对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立; 【命题成立的必要性】（2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立【命题成立的连证明当n=k+1时命题也成立. 续性】由（1）（2）得出结论全体自然数成立
＋1
＝(a＋1)2·(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1(a2＋a＋1)，显然能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时，命题亦成立．

第一数学归纳法证明第二数学归纳法

第一数学归纳法证明第二数学归纳法第一数学归纳法是用来证明关于自然数的命题的一种方法。

它的基本思想是：首先证明命题在 n = 1 时成立，然后假设命题在 n = k 时成立，再通过这个假设证明命题在 n = k + 1 时也成立。

这样一来，就可以推断命题对于所有的自然数都成立。

而第二数学归纳法是在第一数学归纳法的基础上进行推广，用来证明关于自然数的更复杂的命题。

它的步骤如下：
1. 首先证明命题在 n = 1 时成立；
2. 假设命题在 n = 1, 2, ..., k 时成立；
3. 通过上述假设证明命题在 n = k + 1 时也成立。

通过这样的推理，可以得出命题对于所有的自然数都成立的结论。

需要注意的是，第二数学归纳法并不是第一数学归纳法的推论或证明，而是在第一数学归纳法的基础上进行了推广和扩展。

所以第二数学归纳法的证明过程也是类似于第一数学归纳法的，只是需要更复杂的假设和推导。

第一数学归纳法与第二数学归纳法

第一数学归纳法与第二数学归纳法大家好，今天咱们聊聊数学里的两个重要工具——第一数学归纳法和第二数学归纳法。

别看这名字长得吓人，其实咱们可以用简单的语言和生动的例子来搞定它们。

1. 第一数学归纳法1.1 什么是第一数学归纳法？说白了，第一数学归纳法就是一种用来证明“从第一个到最后一个”这样的一系列数学命题都对的办法。

想象一下你站在一排砖块上，第一块砖块稳稳当当放着，你的任务是确保每一块砖都牢固。

如果第一块砖没问题，而且每块砖都能把自己稳住，那么你就能确定整排砖块都没问题了。

就是这么个意思！1.2 第一数学归纳法怎么用？咱们先得搞明白两件事。

第一是基例，就是证明第一个命题对。

第二是归纳步骤，证明假如某个命题对，那么下一个也对。

比如说我们要证明某个数学公式对所有自然数都成立，我们就先证明它对1成立，然后假设它对某个数n成立，接着证明它对n+1也成立。

这样一来，公式对所有自然数都成立了。

2. 第二数学归纳法2.1 第二数学归纳法的特点第二数学归纳法和第一数学归纳法有点像，但也有自己的小特点。

它特别适合用来处理那些需要对多个前项进行假设的问题。

想象你在玩一个接力赛，不只是要跑完自己的那一段，还得确保前面几位接力棒都传递得好。

这就是第二数学归纳法的精髓所在。

2.2 如何使用第二数学归纳法？用第二数学归纳法时，我们要做两件事。

首先，证明基例，通常是证明前几个情况都成立。

然后，进行归纳步骤，不仅假设一个情况对，还得假设前面几个情况都对，然后证明在这些情况下，后续的情况也成立。

这种方法特别适合处理那些涉及多个前提的数学问题，比如在处理某些数列或者复杂的结构时。

3. 归纳法的实际应用3.1 解决实际问题在实际应用中，归纳法可是大有用处的。

比如在编写程序时，我们经常会用归纳法来证明算法的正确性。

用归纳法可以确保一个算法对所有输入都能正确工作，这样咱们在开发程序时就能省心不少。

3.2 生活中的例子在生活中，归纳法也有它的身影。

数学归纳法原理：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】

数学归纳法(2)

12 22 ( k + 1) 2 k2 + +… + + 1⋅3 3 ⋅5 ( 2 k − 1)( 2 k + 1) ( 2 k + 1)( 2 k + 3 ) k2 + k ( k + 1) 2 k ( k + 1)( 2 k + 3 ) + 2 ( k + 1) 2 = + = 4 k + 2 ( 2 k + 1)( 2 k + 3 ) 2 ( 2 k + 1)( 2 k + 3 ) ( k + 1)( 2 k 2 + 3 k + 2 k + 2 ) ( k + 1)( 2 k + 1)( k + 2 ) = = 2 ( 2 k + 1)( 2 k + 3 ) 2 ( 2 k + 1)( 2 k + 3 ) k 2 + 3 k + 2 ( k + 1) 2 + ( k + 1) . = = 4k + 6 4 ( k + 1) + 2
故当n=k+1时,结论也成立时结论也成立结论也成立. 故当根据(1)、知对一切正整数结论都成立. 对一切正整数n,结论都成立根据、(2)知,对一切正整数结论都成立
数学归纳法的核心思想
1、数学归纳法是一种完全归纳法，它是在可数学归纳法是一种完全归纳法靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限” 运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题。它克服了完全归纳法的繁杂、 2、它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不使我们认识到事物由简到繁、足，使我们认识到事物由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷. 一般、由有限到无穷.