同济大学《高等数学》第五版上册答案(详解)

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高数第五版答案（同济）总习题十

高数第五版答案（同济）总习题十总习题十 1. 填空: (1)第二类曲线积分Γ++Rdz Qdy Pdx 化成第一类曲线积分是____________, 其中α、β、γ为有向曲线弧Γ上点(x , y , z )处的_____________的方向角.解Γ++ds R Q P )cos cos cos (γβα, 切向量.(2)第二类曲面积分Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑化成第一类曲面积分是_______, 其中α、β、γ为有向曲面∑上点(x , y , z )处的________的方向角.解dS R Q P )cos cos cos (γβα++∑, 法向量.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设曲面∑是上半球面: x 2+y 2+z 2=R 2(z ≥0), 曲面∑1是曲面∑在第一卦限中的部分, 则有________. (A )xdS xdS 14∑∑=; (B )xdS ydS 14∑∑=;(C )xdS zdS 14∑∑=; (D )xyzdS xyzdS 14∑∑=.解 (C ).3. 计算下列曲线积分: (1)+Lds y x 22, 其中L 为圆周x 2+y 2=ax ;解 L 的参数方程为θcos 22a a x +=, θsin 2a y =(0≤θ≤2π), 故θθθθπd y x ax ds ax ds y x LL )()()(222022'+'?==+?θθθθππd ad a=?+=204204|2cos 2|4)cos 1(2422202022)cos cos (|cos |4a tdt tdt a dt t a =-==ππππ(2θ=t 这里令).(2)?Γzds , 其中Γ为曲线x =t cos t , y =t sin t , z =t (0≤t ≤t 0); 解+++-?=Γ00221)cos (sin )sin (cos t dt t t t t t t t zds322)2(232002-+=+=?t dt t t . (3)?+-L xdy dx y a )2(, 其中L 为摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )上对应t 从0到2π的一段弧; 解-+-?+-=+-π20]sin )sin ()cos 1()cos 2[()2(dt t a t t a t a t a a a xdy dx y a L22022sin a tdt t a ππ-==?.(4)?Γ-+-dz x yzdy dx z y 2222)(, 其中Γ是曲线x =t , y =t 2, z =t 3上由听t 1=0到t 2=1的一段弧; 解-??+?-=-+-Γ1223264222]3221)[(2)(dt t t t t t t t dz x yzdy dx z y351)32(164=+-=?dt t t . (5)-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (, 其中L 为上半圆周(x -a )2 +y 2=a 2, y ≥0, 沿逆时针方向;解这里P =e x sin y -2y , Q =e x cos y -2,22cos cos =+-=??-??y e y e yP x Q x x. 令L 1为x 轴上由原点到(2a , 0)点的有向直线段, D 为L 和L 1所围成的区域, 则由格林公式+-+-1)2cos ()2sin (LL x x dy y e dx y y e dxdy yPx Q D)(-??=?? 22a dxdy Dπ==??,-+--=-+-1)2cos ()2sin ()2cos ()2sin (2L x x L x x dy y e dx y y e a dy y e dx y y e π22020a dx a aππ=-=?.(6)Γxyzdz , 其中Γ是用平面y =z 截球面x 2+y 2+z 2=1所得的截痕, 从z 轴的正向看去,沿逆时针方向.解曲线Γ的一般方程为?==++z y z y x 1222, 其参数方程为tz t y t x sin 22 ,sin 22 ,cos ===, t 从0变到2π.于是tdt t t t xyzdz cos 22cos 22cos 22cos 20=??Γπππ162cos sin 422022==tdt t .4. 计算下列曲面积分: (1)222z y x dS ++∑, 其中∑是界于平面z =0及z =H 之间的圆柱面x 2+y 2=R 2; 解∑=∑1+∑2, 其中221:y R x -=∑, D xy : -R ≤y ≤R , 0≤z ≤H , dydz yR R dS 22-=; 221:y R x --=∑, D xy : -R ≤y ≤R , 0≤z ≤H , dydz yR R dS 22-=, 于是22222222221z y x dS z y x dS z y x dS +++++=++∑∑∑?????? ????+-=-?+=-H R R D dz z R dy y R R dydz y R R z R xt02222222211212RH arctan 2π=. (2)dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(222-+-+-∑, 其中∑为锥面22y x z +=(0≤z ≤h ) 的外侧;解这里P =y 2-z , Q =z 2-x , R =x 2-y ,0=??+??+??zR y Q x P . 设∑1为z =h (x 2+y 2≤h 2)的上侧, Ω为由∑与∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式0)()()()(2221=??+??+??=-+-+-Ω∑+∑dv zR y Q x P dxdy y x dzdx x z dydz z y ,而dxdy y x dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()()(222211-=-+-+-∑∑40222024)sin cos ()(1h d r r d dxdy y x hπθθθθπ=-=-∑, 所以42224)()()(h dxdy y x dzdx x z dydz z y π-=-+-+-∑. (3)zdxdy ydzdx xdydz ++∑, 其中∑为半球面222y x R z --=的上侧;解设∑1为xOy 面上圆域x 2+y 2≤R 2的下侧, Ω为由∑与∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式得dv zR y Q x P zdxdy ydzdx xdydz )(1+??+??=++Ω∑+∑332)32(33R R dv ππ===Ω,而00011====++∑∑dxdy zdxdy zdxdy ydzdx xdydz xyD ,所以33202R R zdxdy ydzdx xdydz ππ=-=++∑.(4)3222)(z y x zdxdy ydzdx xdydz ++++∑??, 其中∑为曲面9)1(16)2(5122-+-=-y x z (z ≥0)的上侧;解这里3r x P =, 3r y Q =, 3r z R =, 其中222z y x r ++=. 52331r x r x P -=??, 5 2331r y r x Q -=??, 52331r z r x R -=??,033)(3352352223=-=++-=??+??+??rr r r z y x r z R y Q x P . 设∑1为z =0)19)1(16)2((22≤-+-y x 的下侧, Ω是由∑和∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式0)()(32221=??+??+??=++++Ω∑+∑dv zR y Q x P z y x zdxdy ydzdx xdydz ,32223222)()(1z y x zdxdyydzdx xdydz z y x zdxdy ydzdx xdydz ++++-=++++∑∑0)(0322=+=dxdy y x xyD .(5)xyzdxdy ∑, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=1(x ≥0, y ≥0)的外侧. 解∑=∑1+∑2, 其中∑1是221y x z --=(x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0)的上侧; ∑2是221y x z ---=(x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0)的下侧,xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy 21∑∑∑+=dxdy y x xy dxdy y x xy xyxyD D )1(12222------=-??=--=13220221sin cos 212ρρρθθθπd d dxdy y x xy xyD15212sin 103220=-=?ρρρθθπd d .5. 证明22y x ydyxdx ++在整个xOy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分, 并求出一个这样的二元函数. 解这里22y x x P +=, 22y x y Q +=. 显然, 区域G 是单连通的, P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数, 并且xQ y x xy y P ??=+-=??222)(2, 所以22y x ydyxdx ++在开区域G 内是某个二元函数u (x , y )的全微分.C y x dy y x y dx x y x ydy xdx y x u y x y x ++=++=++=)ln(211),(220221),()0 ,1(22.6. 设在半平面x >0内有力)(3j i y x k F +-=ρ构成力场, 其中k 为常数,22y x +=ρ. 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关. 解场力沿路径L 所作的功为 dy kydx kx W L33ρρ?--=.令3ρkx P -=, 3ρky Q -=. 因为P 和Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续的偏导数, 并且xQ xy k y P ??==??53ρ, 所以上述曲线积分所路径无关, 即力场所作的功与路径无关. 7. 求均匀曲面222y x a z --=的质心的坐标. 解这里∑:222y x a z --=, (x , y )∈D xy ={(x , y )|x 2+y 2≤a 2}. 设曲面∑的面密度为ρ=1, 由曲面的对称性可知, 0==y x . 因为3222221a dxdy a dxdy z z y x a zdS xyxyD y x D π=='+'+?--=∑,222421a a dS ππ=?=∑, 所以 2223a a a z ==ππ.因此该曲面的质心为)2,0 ,0(a .8. 设u (x , y )、v (x , y )在闭区域D 上都具有二阶连续偏导数, 分段光滑的曲线L 为D 的正向边界曲线. 证明: (1)+?-=?L D D ds n u v dxdy v u udxdy v ) (grad grad ;(2)-??=?-?L D ds nu v n v u dxdy u v v u )()(, 其中n u ??、n v ??分别是u 、v 沿L 的外法线向量n 的方向导数, 符号2222yx ??+??=?称为二维拉普拉斯算子.证明设L 上的单位切向量为T =(cos α, sin α), 则n =(sin α, -cos α). (1)+??-=??-??=??L L L ds x uv y u v ds y u x u v ds n u v ]sin cos [)cos sin (ααααdxdy yu v y x u v x D )]()([??-??-=dxdy y u v y u y v x u v x u x v D)(2222??++??+=?? dxdy y u x u v dxdy y u y v x u x v DD )()(2222??+??++= udxdy v udxdy v D D ?+?=grad grad ,所以+?-=?L D D ds nu v dxdy v u udxdy v ) (grad grad . (2)dxdy yu x u v y v x v u ds n u v n v u L L )]cos sin ()cos sin ([)(αααα??-??-??-??=??- dxdy xuv x v u y u v y v u L ]sin )(cos )[(αα??-??+??+??-=?dxdy yu v y v u y x u v x v u x D )]()([??+??-??-??-=dxdy y u v y u y v y v u y v y u x u v x u x v x v u x v x u D)(22222222??--??++??--??+=?? dxdy u v v u dxdy y u x u v y v x v u D D )()]()([22222222?-?=??+??-??+??=. 9. 求向量A =x i +y j +z k 通过闭区域Ω={(x , y , z )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1}的边界曲面流向外侧的通量.解设∑为区域Ω的边界曲面的外侧, 则通量为 dv zR y Q x P zdxdy ydzdx xdydz )(??+??+??=++=ΦΩ∑ 33==Ωdv .10. 求力F =y i +z j +x k 沿有向闭曲线Γ所作的功, 其中Γ为平面x +y +z =1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界, 从z 轴正向看去, 沿顺时针方向.解设∑为平面x +y +z =1在第一卦部分的下侧, 则力场沿其边界L (顺时针方向)所作的功为++=L xdz zdy ydx W .曲面∑的的单位法向量为)cos cos ,(cos )1 ,1 ,1(31γβα=-=n , 由斯托克斯公式有dS xz y z y x W =∑γβαcos cos cos233sin )2(2133)111(312=?==----=∑∑πdS dS .。

高数第五版答案(同济)12-7

GAGGAGAGGAFFFFAFAF习题1271下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？(1)x x2解因为x xx =2不恒为常数所以xx 2是线性无关的(2)x2x解因为22=xx 所以x 2x 是线性相关的(3)e2x3e2x解因为332=xxee 所以e 2x3e 2x是线性相关的(4)exex解因为x x x e ee 2=-不恒为常数所以exe x是线性无关的(5)cos2x sin2x解因为x xx 2tan 2cos 2sin =不恒为常数所以cos2xsin2x是线性无关的GAGGAGAGGAFFFFAFAF(6) 2xe 22xxe解因为x exe x x 2222=不恒为常数所以2xe 22x xe 是线性无关的(7)sin2x cos x ×sin x解因为2sin cos 2sin =xx x 所以sin2xcos x ×sin x 是线性相关的(8)e xcos2x e xsin2x解因为x xe x e x x 2tan 2cos 2sin =不恒为常数所以e xcos2xe x sin2x 是线性无关的(9)ln xx ln x解因为x xx x =ln ln 不恒为常数所以ln xx ln x 是线性无关的(10)eaxe bx(ab )GAGGAGAGGAFFFFAFAF解因为x a b ax bx e ee )(-=不恒为常数所以eaxe bx是线性无关的2验证y 1cos x 及y 2sin x 都是方程y 2y 0的解并写GAGGAGAGGAFFFFAFAF出该方程的通解解因为 y 12y 12cos x 2cos x 0 y 22y 22sinx2sinx 0并且x y y ωcot 21=不恒为常数所以y 1cos x 与y 2sin x是方程的线性无关解从而方程的通解为y C 1cos x C 2sin x提示 y 1 sin x y 12cos xy 2cos x y 12sin x3验证21xe y =及22xxe y =都是方程y 4xy (4x22)y 0的解并写出该方程的通解GAGGAGAGGAFFFFAFAF解因为)24(2442)24(42222221211=⋅-+⋅-+=-+'-''x x x xe x xe x e x e y x y x y)24()2(446)24(4222222232222=⋅-++⋅-+=-+'-''x x x x x xe x e x e x e x xe y x y x y并且x y y =12不恒为常数所以21x e y =与222x xe y =是方程的线性无关解从而方程的通解为22221x x xe C e C y +=提示221xxe y =' 222142xxe x e y +=''22222xx e x e y +=' 223246xx e x xe y +=''4 验证(1)x x x e e C e C y 5221121++=(C 1、C 2是任意常数)是方程 y 3y2ye 5x的通解GAGGAGAGGAFFFFAFAF解令y 1e x y 2e 2x xe y 5121*= 因为y 13y 12y 1e x 3e x 2e x 0y 23y 22y 24e2x3(2e2x2e2x且xe y y =12不恒为常数所以y 1与y 2是齐次方程y 3y2y 0的线性无关解从而YC 1e x C 2e 2x 是齐次方程的通解又因为xx x x e e e e y y y 5555121212531225*2*3*=⋅+⋅-=+'-''所以y *是方程y3y 2y e 5x 的特解因此x x x e e C e C y 5221121++=是方程y 3y2ye 5x 的通解(2))sin cos 4(3213sin 3cos 21x x x x C x C y +++=(C 1、C 2是任意常数)是方程y 9y x cos x 的通解解令y 1cos3xy 2sin3x)sin cos 4(321*x x x y +=因GAGGAGAGGAFFFFAFAF为y 19y 19cos3x 9cos3x 0y 29y 29sin3x9sin3x且x y y 3tan 12=不恒为常数所以y 1与y 2是齐次方程y 9y0的线性无关解从而YC 1e x C 2e 2x 是齐次方程的通解又因为 x x x x x x x x y y cos )sin cos 4(3219)cos 4sin 9(321*9*=+⋅+--=+''所以y *是方程y 9y x cos x 的特解因此)sin cos 4(3213sin 3cos 21x x x x C x C y +++=是方程y9y x cos x的通解(3)y C 1x 2C 2x 2ln x (C 1、C 2是任意常数)是方程x2y3xy4y0GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF的通解解令y 1x 2 y 2x 2ln x 因为x 2y 13xy 14y 1x 2×23x ×2x 4×x 20x 2y 23xy 24y 2x 2×(2lnx 3)3x ×(2x ln x x )4×x 2ln x 0且x y y ln 12=不恒为常数所以y 1与y 2是方程x 2y3xy4y0的线性无关解从而yC 1x 2C 2x 2ln x 是方程的通解(4)x x x C x C y ln 92251-+=(C 1、C 2是任意常数)是方程x 2y 3xy 5y x 2ln x的通解解令y 1x5x y 12= x x y ln 9*2-= 因为GAGGAGAGGAFFFFAFAFx 2y 13xy 15y 1x 2×20x 33x ×5x 45×x 50015)1(32532322222=⋅--⋅-⋅=-'-''xxx xx y y x y x且621x y y =不恒为常数所以y 1与y 2是齐次方程x 2y3xy5y0的线性无关解从而xC x C Y 251+=是齐次方程的通解又因为*5*3*2y xy y x -'-''x x x x x x x x x x ln )ln 9(5)9ln 92(3)31ln 92(222=-⋅---⋅---⋅=所以y *是方程x 2y3xy 5y x 2ln x 的特解因此x x x C x C y ln 92251-+=是方程x 2y3xy5yx 2lnx 的通解(5)2)(121xx x e e C e C x y ++=-(C 1、C 2是任意常数)是方程xy2yxy e x的通解GAGGAGAGGAFFFFAFAF解令xe xy 11= xe xy -=12 2*x e y = 因为GAGGAGAGGAFFFFAFAF0)(2)22(2223111=⋅-+-⋅++-⋅=-'+''x e x x e xe x e x e x e x xy y y x x x x x x x)(2)22(2223222=⋅---⋅+++⋅=-'+''------x e x x e xe x e x e x e x xy y y x xx x x x x且xe y y 221=不恒为常数所以y 1与y 2是齐次方程xy 2yxy 0的线性无关解从而)(121x x e C e C xY -+=是齐次方程的通解又因为x x x x e e x e e x xy y xy =⋅-⋅+⋅=-'+''2222**2*所以y *是方程xy 2y xy e x 的特解因此2)(121xx x e e C e C x y ++=-是方程xy 2yxy e x 的通解(6)y C 1e x C 2exC 3cos x C 4sin x x 2(C 1、C 2、C 3、C 4是任意常数)是方程y(4)y x 2的通解解令y 1e x y 2exy 3cos x y 4sin xGAGGAGAGGAFFFFAFAFy *x 2 因为y 1(4)y 1e x e x 0 y 2(4)y 2exexy 3(4)y 3cos x cos x 0 y 4(4)y 4sin x sin x 0并且04cos sin sin cos cos sin sin cos ≠=---------xx e e x x e e x x e exx e e x x x x x xx x所以y 1e x y 2e xy 3cos x y 4sin x 是方程y (4)y 0的线性无关解从而YC 1e x C 2exC 3cos x C 4sin x 是方程的通解又因为y *(4)y *0(x 2)x 2所以y *x 2是方程y (4)y x 2的特解因此y C 1e x C 2exC 3cos x C 4sin x x 2是方程y (4)y x2的通解提示GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF令k 1e xk 2e xk 3cos x k 4sin x 0 则 k 1ex k 2exk 3sin x k 4cos x 0 k 1e x k 2e xk 3cos x k 4sin x 0k 1e x k 2exk 3sin x k 4cos x 0上术等式构成的齐次线性方程组的系数行列式为04cos sin sin cos cos sin sin cos ≠=---------xxe e x x e e x x e e xx e e xxx x x x x x所以方程组只有零解即y 1e x y 2exy 3cos xy 4sin x 线性无关如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！26829 68CD 棍40863 9F9F 龟39162 98FA 飺40501 9E35 鸵31656 7BA8 箨25851 64FB 擻30763 782B 砫O36482 8E82 躂a22364 575C 坜36929 9041 遁20408 4FB8 侸22279 5707 圇$。

同济大学《高等数学》[上册]的答案解析

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练习 2-5
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总习题四
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练习 4-4
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同济大学《高等数学》上册答案

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总习题四
练习 5-1
练习 5-2
练习 5-3
练习 5-4
总习题五
练习 6-2
练习 6-3
总习题六
练习 7-1
练习 7-2
练习 7-3
+
0
0
2 ↗
拐点
(1 ) + +
↗
极小值
拐点
x
0 (0 1) 1
y
+
+
0
-
-
-
y
0
-
-
-
0
+
0
yf(x)
↗
↘
↘
拐点
极大值
拐点
x
1
y
+
+
+
0
-
-
-
y
+
0
-
-
-
0
+
1
yf(x) ↗
↗
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拐点
极大值
拐点
x ( 1) -1 (1 0) 0
y
-
-
-
无
-
0
+
y
+
0
-
无
+
+
+
0
yf(x) ↘
↘ 无 ↘
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拐点
练习 2-5
总习题二
练习 3-1
练习 3-2
练习 3-3
练习 3-4
练习 3-5
练习 3-6
x
( 2)
y
y
+
yf(x) ↘

同济大学《高等数学》上册答案

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练习 3-5
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...ຫໍສະໝຸດ ..word...
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x (, 0) 0
f (x) + 不存在 -
0
+
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f(x)
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2
↗
↘
↗
极大值
极小值
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练习 4-2
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高等数学(同济第五版)课后答案第六章

=(3p 2
y−
1 2
y2
−
1 6p
y3)
p −3
p
= 16 3
p2
.
5. 求由下列各曲线所围成的图形的面积;
(1)ρ=2acosθ ; 解:
所求的面积为
A=
1 2
π
∫−2π 2
(2acosθ )2dθ
π
=
4a
2
∫2
0
cos2θdθ
=πa2.
(2)x=acos3t, y=asin3t; 解
a
a
z 20. 利用题 19 和结论, 计算曲线 y=sin x(0≤x≤π)和 x 轴所围
成的图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积.
∫ ∫ .3 解
V = 2π π xsin xdx = −2π π xd cosx = 2π (−xcosx +sin x)π = 2π 2 .
0
0
0
w 21. 计算曲线 y=ln x 上相应于 3 ≤ x≤ 8 的一段弧的长度.
o 解设弦的倾角为 α. 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为
.c A= A0+ A1.
e 显然当α
=π 2
时,
A1=0;
当α <π 2
时,
A1>0.
因此, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为
h a ∫ z A0 =2 0
2axdx = 8 3
a
x3 a = 8 a2 . 03
曲线 ρ = 2 sinθ 与 ρ 2 =cos 2θ 的交点 M 的极坐标为 M ( 2 , π ) . 所求的面积为 26
A

同济大学高数上习题答案

同济大学高数上习题答案同济大学高数上习题答案高等数学作为理工科学生必修的一门课程，对于大多数学生来说是一座难以逾越的高山。

而同济大学的高数上课程更是以其难度和复杂性而著称。

为了帮助同学们更好地理解和掌握高数上的知识，我整理了一些习题答案，希望能对同学们的学习有所帮助。

第一章：函数与极限1. 设函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求 f(-1) 的值。

答案：将 x = -1 代入函数 f(x) 中，得到 f(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 6。

2. 求函数 f(x) = x^3 - 2x + 1 的极限lim(x→2) f(x)。

答案：将 x = 2 代入函数 f(x) 中，得到 f(2) = 2^3 - 2(2) + 1 = 5。

3. 求函数f(x) = √(x + 1) 的定义域。

答案：由于函数中有根号，要使函数有意义，需要满足x + 1 ≥ 0，即x ≥ -1。

所以定义域为 [-1, +∞)。

第二章：导数与微分1. 求函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 的导数。

答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 2x - 3。

2. 求函数 f(x) = e^x 的导数。

答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = e^x。

3. 求函数 f(x) = ln(x^2 + 1) 的导数。

答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 2x / (x^2 + 1)。

第三章：微分中值定理与泰勒展开1. 利用微分中值定理证明函数 f(x) = x^3 - x 在区间 [0, 1] 上存在一个点 c，使得 f'(c) = 2c - 1。

答案：由微分中值定理可知，存在一个点 c 属于 (0, 1)，使得 f'(c) = (f(1) - f(0)) / (1 - 0) = 2c - 1。

2. 求函数 f(x) = sin(x) 在x = π/4 处的泰勒展开式。

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练习 11-7
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练习 6-3

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