工程数学第一章A
工程数学线性代数第一章同济第五版
Байду номын сангаас 例4
解线性方程组 x1 2x2 x3 2, 2x1 x2 3x3 1, x x x 0. 1 2 3
由于方程组的系数行列式 1 2 1 2 3 1 1 1 1 D 2 1 3 1 1 1
b1 D1 b2 b3
b1 b2 b 1
若记
a12 a13 a22 a23 , a32 a33
a11
a12
a13
或
D a21 a22 a23 a31 a32 a33
x x x a 11 1 a 12 2 a 13 3 b 1, a x x x 21 1 a 22 2 a 23 3 b 2, a x x x 31 1 a 32 2 a 33 3 b 3;
a11
a12
a13
D a21 a22 a23 a31 a32 a33
x x x a 11 1 a 12 2 a 13 3 b 1, a x x x 21 1 a 22 2 a 23 3 b 2, a x x x 31 1 a 32 2 a 33 3 b 3;
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 x x x a 11 1 a 12 2 a 13 3 b 1, 如果三元线性方程组 a x x x 21 1 a 22 2 a 23 3 b 2, a x x x 31 1 a 32 2 a 33 3 b 3;
工程数学线性代数第六版 第一章
第1章 行 列 式行列式是线性代数中常用的工具.本章主要介绍n阶行列式的定义、性质及其计算方法.§1 二阶与三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式用消元法解二元线性方程组为消去未知数x2，以a22与a12分别乘上列两方程的两端，然后两个方程相减，得（a11a22-a12a21）x1=b1a22-a12b2；类似地，消去x1，得（a11a22-a12a21）x2=a11b2-b1a21.当a11a22-a12a21≠0时，求得方程组（1）的解为（2）式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得，其中分母a11a22-a12a21是由方程组（1）的四个系数确定的，把这四个数按它们在方程组（1） 中的位置，排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表a a（3）a a，表达式a11a22-a12a21称为数表（3）所确定的二阶行列式，并记作数a i j（i=1，2；j=1，2）称为行列式（4）的元 素或元.元素a i j的第一个下标i 称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标j称为列标表明该元素位于第j列.位于第i行第j列的元素称为行列式（4）的（i，j）元.上述二阶行列式的定义，可用对角线法则来记忆.参看图1. 1，把a11到a22的实连线称为主对角线，a12到a21的虚连线称为副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差.利用二阶行列式的概念， （2）式中x1，x2的分子也可写成图1. 1二阶行列式，即若记那么（2）式可写成注意这里的分母D是由方程组（1）的系数所确定的二阶行列式（称系数行列式），x1的分子D1是用常数项b1，b2替换D中第1列的元素a11，a21所得的二阶行列式，x2的分子D2是用常数项b1，b2替换D中第2列的元素a12，a22所得的二阶行列式.例1求解二元线性方程组解 由于因此二、三阶行列式定义1设有9个数排成3行3列的数表a a aa21a22a23（5）a a a，记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.上述定义表明三阶行列式含6项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号，其规律遵循图1.2所示的对角线法则：图中有三条实线看做是平行于主对角线的连线，三条虚线看做是平行于副对角线的连线，实线上三元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号.图1.2例2计算三阶行列式解 按对角线法则，有D=1×2×（-2）+2×1×（-3）+（-4）×（-2）×4-1×1×4-2×（-2）×（-2）-（-4）×2×（-3）=-4-6+32-4-8-24=-14.例3求解方程解 方程左端的三阶行列式D = 3x +4x+18-9x-2x-12 =x-5x+6，由x2-5x+6=0解得x=2或x=3.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，为研究四阶及更高阶行列式，下而先介绍有关全排列的知识，然后引出n阶行列式的概念.§2全排列和对换一、排列及其逆序数把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（也简称排列）.n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示，可计算如下：从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；从剩下的n-1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n-1种取法；这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上，只有1种取法.于是P n=n·（n-1）·…·3·2·1=n！.例如用1，2，3三个数字作排列，排列总数P3=3·2·1=6，它们是123，231，312，132，213，321.对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某一对元素的先后次序与标准次序不同时，就说它构成1个逆序.一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列.下面来讨论计算排列的逆序数的方法.不失一般性，不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序.设p1p2…p n为这n个自然数的一个排列，考虑元素p i（i=1，2，…，n），如果比p i大的且排在p i前面的元素有t i个，就说p i这个元素的逆序数是t i.全体元素的逆序数之总和即是这个排列的逆序数.例4求排列32514的逆序数.解 在排列32514中：3排在首位，逆序数t1 =0；2的前面比2大的数有一个（3），故逆序数t2=1；5是最大数，逆序数t3=0；1的前面比1大的数有三个（3、2、5），故逆序数t4=3；4的前面比4大的数有一个（5），故逆序数t5=1，于是这个排列的逆序数为二、对换在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换.将相邻两个元素对换，叫做相邻对换.定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.证 仍不妨设元素为从1开始的自然数（从小到大为标准次序）.先证相邻对换的情形.设排列为a1…a l abb1…b m；对换a与b，变为a1…a l bab1…b m.显然，a1，…，a1；b1，…，b m这些元素的逆序数经过对换并不改变，而a，b两元素的逆序数改变为：当a＜b时，经对换后a的逆序数增加1而b的逆序数不变；当a＞b时，经对换后a的逆序数不变而b的逆序数减少1.所以排列a1…a l abb1…b m与排列a1…a l bab1…b m的奇偶性不同.再证一般对换的情形.设排列为a1…a l ab1…b m b c1…c n，把它作m次相邻对换，变成a1…a l ab b1…b m c1…c n，再作m+1次相邻对换，变成a1…a l bb1…b m ac1…c n.总之，经2m+1次相邻对换，排列a1…a l ab1…b m bc1…c n变成排列a1…a l bb1…b m ac1…c n，所以这两个排列的奇偶性相反.推论 奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数.证 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列（逆序数为0），因此知推论成立. 证毕§3n阶行列式的定义为了给出n阶行列式的定义，先来研究三阶行列式的结构.三阶行列式定义为容易看出：（i）（6）式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列.因此， （6）式右端的任一项除正负号外可以写成a1p1a2p2a3p3.这里第一个下标（行标）排成标准次序123，而第二个下标（列标）排成p1p2p3，它是1，2，3三个数的某个排列.这样的排列共有6种，对应（6）式右端共含6项.（i i）各项的正负号与列标的排列对照.带正号的三项列标排列是123，231，312；带负号的三项列标排列是132，213，321.经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列.因此各项所带的正负号可以表示为（-1）t，其中t为列标排列的逆序数.总之，三阶行列式可以写成其中t为排列p1p2p3的逆序数，∑表示对1，2，3三个数的所有排列p1p2p3取和：仿此，可以把行列式推广到一般情形.定义2设有n2个数，排成n行n列的数表a a…aa a…aa a…a，作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号（-1）t，得到形如（-1）t a1p1a2p2…a npn的项，其中p1p2…p n为自然数1，2，…，n的一个排列，t为这个排列的逆序数.由于这样的排列共有n！个，因而形如（7）式的项共有n！项.所有这n！项的代数和∑（-1）t a1p1a2p2…a np n称为n阶行列式，记作简记作de t（a i j），其中数a i j为行列式D的（i，j）元.按此定义的二阶、三阶行列式，与§1中用对角线法则定义的二阶、三阶行列式显然是一致的.当n = 1时，一阶行列式︳a︳=a，注意不要与绝对值记号相混淆.主对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角形行列式；特别，主对角线以下和以上的元素都为0的行列式叫做对角行列式.例5证明（1）下三角形行列式（2）对角行列式证（1）由于当j＞i时，a i j=0，故D中可能不为0的元素a i pi，其下标应有p i≤ i，即p1≤1，…，p n≤n，而p1+…+p n=1+…+n，因此p1=1，…，p n=n，所以D中可能不为0的项只有一项（-1t a11a22…a nn.此项的符号（-1）t=（-1）0=1，所以D=a1a…a.（2）由（1）即得.§4行列式的性质记行列式D T称为行列式D的转置行列式.性质1行列式与它的转置行列式相等.证 记D=de t（a i j）的转置行列式D T=de t（b i j），即D T的（i，j）元为b i j，则b ij=a j i（i，j=1，2，…，n），按定义下证D=D.对于行列式D的任一项其中1…i…j…n为标准排列，t为排列p1…p i…p j…p n的逆序数，对换元素与成这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换.设新的行标排列1…j…i…n的逆序数为r，则r为奇数；设新的列标排列p1…p j…p i…p n的逆序数为t1，则（-1）t1=-（-1）t.故（-1）=-（-1）1=（-1）（-1）1=（-1）1，于是这就表明，对换乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列同时作了相应的对换，则行标排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性.经一次对换是如此，经多次对换当然还是如此。
工程数学1
工程数学1
工程数学1是一门基础课程，主要介绍工程领域中常用的数学方法和技巧。
该课程包括以下内容：
1. 微积分：研究函数的变化率和积分的概念和方法，包括导数、积分、常微分方程等。
2. 线性代数：研究向量空间、线性方程组以及线性变换的性质和运算规律，包括矩阵运算、特征值和特征向量等。
3. 微分方程：研究描述自然和工程现象的微分方程，包括一阶线性微分方程、高阶线性微分方程等。
4. 概率论与统计：研究随机现象的数学模型和统计分析方法，包括概率、随机变量、概率分布、统计参数估计与假设检验等。
5. 多元函数与偏微分方程：研究多元函数的导数和积分，以及描述物理和工程问题的偏微分方程。
6. 数值方法：研究利用计算机进行数值计算和近似计算的方法和技巧，包括数值积分、数值微分、差分方程、插值和拟合等。
工程数学1在工程专业中具有重要的应用价值，它为工程师提供了解决实际问题的数学工具和技能，可以应用于电子、机械、土木、化工、材料等各个工程领域。
工程数学 线性代数 第一章
阶矩阵或 阶方阵, 当m=n 时,称A 为n 阶矩阵或n 阶方阵,即
a11 a12 L a1 n a 21 a22 L a2 n A= M M M an1 an 2 L ann 从左上角到右下角的对角线称为主对角线 为主对角线; 从左上角到右下角的对角线称为主对角线
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上三角矩阵 (2) 特殊矩阵 下三角矩阵 对角矩阵 数量矩阵 单位矩阵
零矩阵 所有元素全为零的矩阵 各个元素取相反数得到的矩阵 负矩阵
a11 a12 L a1n L a11 a 0 L a 0 0 a a1122 0 L 2n0 0 L a22 M M 21 M 0a1 22 0 L 0 0 M Ma 0 L L 0 M 0 L ann 0 M M a an10 n2 aLL 0 0 1 annM 0 0 0 LL ann
3阶零 方阵
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ≠ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 × 4阶
零矩阵
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2. 单位矩阵
主对角线的元素都是1 而其他元素全为零的 主对角线的元素都是1，而其他元素全为零的n 阶方阵称为n阶单位矩阵 记为E或 ， 阶单位矩阵， 阶方阵称为 阶单位矩阵，记为 或I，有时为了 明确其阶数，也把它记为E 明确其阶数，也把它记为 n或In .
M M 0 0
M M M M 0 L a 0 L 1
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第二节 消元法与矩阵的初等变换
一、线性方程组与矩阵 二、消元法与矩阵的初等行变换 三、矩阵的初等变换 四、小结 思考题
[研究生入学考试]工程数学—第一章
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1
误差分析
例如：计算I n , 并估算误差 In e
1 1
x e dx, n 0,1,2...
n x 0
I n 1 nIn 1 I0 1 e
1
分部积分
误差分析
泰勒展开
2 k ( 1 ) ( 1 ) e 1 1 ( 1) ... 2! k! ( 1)k 1 Rk (k 1)!
0
1
误差分析
例如：计算I n , 并估算误差 In e
n 0 1 2 3 4
1
x e dx, n 0,1,2...
n x 0
In n 0.6321 0.3679 0.2644 0.2073 0.1708
1
n 5 6 7 8 9
IInn 0.1455 0.1268 0.1121 0.1035 0.0684
n
误差分析
~ E 0 I 0 I 0 ~ En I n I n nEn 1 n 1,2,3... En ( 1) n! E0
n
e 0.3679
1
误差分析
~ E 0 I 0 I 0 ~ En I n I n nEn 1 n 1,2,3... En ( 1) n! E0
f ( ) n 1 Rn ( x ) x ， 0 x (n 1)!
n 1
误差来源
舍入误差 ：计算机只能处理有限数位的小数 运算，初始参数或中间结果都必 须进行四舍五入运算，这种误差 称为舍入误差。
误差来源
舍入误差 ：计算机只能处理有限数位的小数 运算，初始参数或中间结果都必 须进行四舍五入运算，这种误差 称为舍入误差。
工程数学线性代数第六版第一章
法3： (i1 , i2 ,, in )
数 i 前面比 i 大的数的个数
n
n
数 in1 前面比 in1 大的数的个数
数 i 前面比 i 大的数的个数
2
2
例1： 求排列 3，2，5，1，4 的逆序数。
解：（法1） m1 3, m2 1, m3 0, m4 1, m5 0
(32514) 3 1 1 5
（法2） 前 后
(32514) 2 1 2 0 0 5
（法3） 后 前
(32514) 1 3 0 1 0 5
例2： 求排列 4，5，3，1，6，2 的逆序数。 9
考虑，在 1，2，3 的全排列中
有 3 个偶排列： 有 3 个奇排列：
123，231，312 132，213，321
“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国， 当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数 学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至 今。
线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的 一门学科。
主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法） 则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。
一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半
定义3： 把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码 不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换。
将相邻的两个数对换，称为相邻对换。
定理1： 对换改变排列的奇偶性。 证明思路： 先证相邻变换，再证一般对换。
定理2： n 2 时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占 一半，各为 n! 个。 2
a a a 其任一项可写成： 1 j1 2 j2 3 j3
工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案(全)
第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---; 解381141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8-0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1)=-24+8+16-4=-4.(2)ba c a cbc b a ; 解ba c a cbc b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc=3abc -a 3-b 3-c 3.(3)222111c b a c b a ; 解222111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2=(a -b )(b -c )(c -a ).(4)yx y x x y x y y x y x +++. 解 yx y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3=3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3=-2(x 3+y 3).2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3 4;解逆序数为0(2)4 1 3 2;解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.(4)2 4 1 3;解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.(5)1 3 ⋅⋅⋅ (2n-1) 2 4 ⋅⋅⋅ (2n);解逆序数为2)1(-nn:3 2 (1个)5 2, 5 4(2个)7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2)(n-1个) (6)1 3 ⋅⋅⋅(2n-1) (2n) (2n-2) ⋅⋅⋅ 2.解逆序数为n(n-1) :3 2(1个)5 2, 5 4 (2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2)(n-1个) 4 2(1个)6 2, 6 4(2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6,⋅⋅⋅, (2n )(2n -2)(n -1个)3.写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项.解 含因子a 11a 23的项的一般形式为(-1)t a 11a 23a 3r a 4s ,其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a 11a 23的项分别是(-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44,(-1)t a 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42.4.计算下列各行列式: (1)71100251020214214; 解71100251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---= 143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c . (2)2605232112131412-;解 2605232112131412-260503212213041224--=====c c 041203212213041224--=====r r 0000003212213041214=--=====r r . (3)efcf bf de cd bd ae ac ab ---; 解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---ec b e c b e c b adf ---= abcdef adfbce 4111111111=---=. (4)dc b a 100110011001---. 解d c b a 100110011001---dc b a ab ar r 10011001101021---++===== dc a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cd c ad a ab dc c cdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5.证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------===== a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3. (2)yx z x z y z y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++; 证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++ bzay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++= bzay y x by ax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22 zy x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+= yx z x z y z y x b y x z x z y z y x a 33+= yx z x z y z y x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a ; 证明2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3,c 3-c 2,c 2-c 1得) 5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3,c 3-c 2得) 022122212*********222=++++=d d c c b b a a . (4)444422221111d c b a d c b a d c b a =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明444422221111d c b a d c b a d c b a )()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---= ))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c b d b c a d a c a b ++-++------= )()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----==(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).(5)1221 1 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n +a 1x n -1+⋅⋅⋅+a n -1x +a n . 证明 用数学归纳法证明.当n =2时,2121221a x a x a x a x D ++=+-=,命题成立. 假设对于(n -1)阶行列式命题成立,即D n -1=x n -1+a 1x n -2+⋅⋅⋅+a n -2x +a n -1,则D n 按第一列展开, 有111 00 100 01)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-x x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+⋅⋅⋅+a n -1x +a n .因此,对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转,依次得n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,11113 a a a a D n n nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 证明D D D n n 2)1(21)1(--==,D 3=D .证明 因为D =det(a ij ),所以n nn n n n n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=- ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331122111121nnn n n n n n a a a a a a a a D D n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.同理可证nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112)1(2D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-=. D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7.计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式): (1)a aD n 1 1⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是0;解aa a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )1()1(10 000 00 0000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n a a a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a a n n n n n a a a +⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1). (2)xa a a x a a a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得 a x x a a x x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 , 再将各列都加到第一列上,得a x a x a x a a a a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.(3)111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ; 解 根据第6题结果, 有nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++此行列式为范德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++---=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅-⋅-=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112; 解nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开) nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 00)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+. 再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而111111112c b d a d c b a D -==, 所以 ∏=-=n i i i i i n c b d a D 12)(. (5) D =det(a ij ),其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |,4321 4 01233 10122 21011 3210)det(⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 0 4321 1 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r 152423210 22210 02210 00210 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2. (6)nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2⋅⋅⋅a n≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121 nn n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--100001 000 100 0100 0100 00113322121321111312112111000011 000 00 11000 01100 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nn n a a a a a a a a∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1111131******** 00010 000 00 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni in a a a a .8.用克莱姆法则解下列方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 因为14211213513241211111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D ,284112035122412111512-=-----=D ,426110135232422115113-=----=D ,14202132132212151114=-----=D , 所以 111==D D x ,222==D D x ,333==D D x ,144-==DDx . (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解 因为 665510006510006510065100065==D , 150751001651000651000650000611==D ,114551010651000650000601000152-==D , 703511650000601000051001653==D ,39551601000051000651010654-==D , 2121100005100065100651100655==D , 所以66515071=x ,66511452-=x ,6657033=x ,6653954-=x ,6652124=x .9.问λ,μ取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 系数行列式为μλμμμλ-==1211111D .令D =0,得μ=0或λ=1.于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10.问λ取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解 系数行列式为λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得λ=0,λ=2或λ=3.于是, 当λ=0,λ=2或λ=3时,该齐次线性方程组有非零解.第二章 矩阵及其运算1.已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1,x 2,x 3到变量y 1,y 2,y 3的线性变换. 解由已知: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y . 2.已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1,z 2,z 3到x 1,x 2,x 3的线性变换. 解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T. 4.计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5.设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA . (2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2. 6.举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A ,则A =0或A =E ; 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A ,但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY ,且A ≠0,则X =Y .解 取 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY ,且A ≠0,但X ≠Y .7.设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA ,求A 2,A 3,⋅⋅⋅,A k . 解⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k .8.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A ,求A k . 解首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫. 用数学归纳法证明:当k =2时,显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9.设A ,B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10.设A ,B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .证明充分性:因为A T =A ,B T =B , 且AB =BA , 所以(AB )T =(BA )T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A ,B T =B , 且(AB )T =AB , 所以AB =(AB )T =B T A T =BA .11.求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221;解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1,故A -1存在.因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A |=1≠0,故A -1存在.因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0,故A -1存在.因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅⋅⋅a n ≠0) . 解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021,由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12.解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122.(3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13.利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ; 解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x . (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x . 解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x . 14.设A k =O (k 为正整数),证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1),所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1)=E ,由定理2推论知(E -A )可逆, 且(E -A )-1=E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1.证明一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅⋅⋅-A k -1+(A k -1-A k )=(E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1)(E -A ),故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1)(E -A ),两端同时右乘(E -A )-1,就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1.15.设方阵A 满足A 2-A -2E =O ,证明A 及A +2E 都可逆,并求A -1及(A +2E )-1.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E ,或 E E A A =-⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E ,或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E ,两端同时取行列式得|A 2-A |=2,即 |A ||A -E |=2,故 |A |≠0,所以A 可逆,而A +2E =A 2,|A +2E |=|A 2|=|A |2≠0,故A +2E 也可逆. 由A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-, 又由A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1,)3(41)2(1A E E A -=+-. 16.设A 为3阶矩阵,21||=A ,求|(2A )-1-5A *|. 解因为*||11A A A =-,所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16.17.设矩阵A 可逆,证明其伴随阵A *也可逆,且(A *)-1=(A -1)*. 证明由*||11A A A =-,得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有 |A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0,从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1,所以(A *)-1=|A |-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以 (A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*.18.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:(1)若|A |=0,则|A *|=0;(2)|A *|=|A |n -1.证明(1)用反证法证明.假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E ,由此得 A =AA *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到 |A ||A *|=|A |n .若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立.因此|A *|=|A |n -1.19.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ,AB =A +2B , 求B . 解由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330. 20. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B . 解 由AB +E =A 2+B 得(A -E )B =A 2-E ,即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E )可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1,-2,1),A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E , B =-8(A *-2E )-1A -1 =-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2,-1,2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1,-2,1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2.由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23.设P -1AP =Λ,其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001,求A 11. 解由P -1AP =Λ,得A =P ΛP -1, 所以A 11=A =P Λ11P -1.|P |=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1 *)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111114. 25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27.取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A ,验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解 4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故 |||||||| D C B A D C B A ≠.28.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A ,求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则 ⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29.设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求 (1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ; 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n EBC OBC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A . 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nEBD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A B C O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步:r 2+(-2)r 1,r 3+(-3)r 1.)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步:r 2÷(-1),r 3÷(-2).)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步:r 3-r 2.)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步:r 3÷3.)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步:r 2+3r 3.)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步:r 1+(-2)r 2,r 1+r 3.)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步:r 2⨯2+(-3)r 1,r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步:r 3+r 2,r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步:r 1÷2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010.(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311;解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311(下一步:r 2-3r 1,r 3-2r 1,r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步:r 2÷(-4),r 3÷(-3) ,r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步:r 1-3r 2,r 3-r 2,r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132(下一步:r 1-2r 2,r 3-3r 2,r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步:r 2+2r 1,r 3-8r 1,r 4-7r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41000410002020111110(下一步:r 1↔r 2,r 2⨯(-1),r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000410001111020201(下一步:r 2+r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000410*******20201. 2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1,2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是 E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100010101. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654. 3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513123; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20104301100001001200110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010000100001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------10612631110104211. 4.(1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ; 解因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--412315210 100010001 ~r , 所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-4123152101B A X . (2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411007101042001 ~r , 所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X , 从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X . 5. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101110011A ,AX =2X +A , 求X . 解 原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011100101010110001~, 所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X . 6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.例如,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ,R (A )=3. 0000是等于0的2阶子式,010001000是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A ,B 的秩的关系怎样? 解R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1,0,1,0,0),(1,-1,0,0,0).解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013(下一步:r 1↔r 2. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211(下一步:r 2-3r 1,r 3-r 1. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----564056401211(下一步:r 3-r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的2秩为,41113-=-是一个最高阶非零子式. (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********(下一步:r 1-r 2,r 2-2r 1,r 3-7r 1. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步:r 3-3r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431, 矩阵的秩是2,71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812(下一步:r 1-2r 4,r 2-2r 4,r 3-3r 4. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210(下一步:r 2+3r 1,r 3+2r 1. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0230114000016000071210(下一步:r 2÷16r 4,r 3-16r 2. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02301000001000071210~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301, 矩阵的秩为3,070023085570≠=-是一个最高阶非零子式. 10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D ,D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使 (1)R (A )=1;(2)R (A )=2;(3)R (A )=3.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时,R (A )=1;(2)当k =-2且k ≠1时,R (A )=2;(3)当k ≠1且k ≠-2时,R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101, 于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x , 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数). (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解 对系数矩阵A 进行初等行变换,有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021, 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x (k 1,k 2为任意常数). (3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ; 解 对系数矩阵A 进行初等行变换,有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x , 故方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵A 进行初等行变换,有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000001720171910171317301,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x , 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x (k 1,k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+83111021322421321321x x x x x x x x ; 解 对增广矩阵B 进行初等行变换,有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--80311102132124~⎪⎭⎫ ⎝⎛----600034111008331, 于是R (A )=2, 而R (B )=3, 故方程组无解.。
工程应用数学A
《工程应用数学A》课程总结姓名：学号：专业班级：成绩：工程应用数学A时间过得好快，大学的第一学期就这样的结束了。
工程应用数学A这门课也就结束了，使我对这门课程有了自己的认识，下面是我对这门课的课程总结。
一、知识点和框架体系：本课程主要分为四个章节。
第一章：函数与极限。
本章主要介绍了初等函数、复合函数和数列的求极限的问题，还有函数无穷小的性质及应用。
讨论了函数的连续性、性质及其应用。
第二章：一元函数微分学。
介绍了函数的求导法则，主要涉及求隐函数、参数方程所确定的函数的导数和求高阶函数求导的方法。
还介绍了函数的微分及几个重要的中值定理：微分中值定理包括：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。
还有泰勒中值定理。
还介绍了求极限时要用到的洛必达法则。
接着又对函数的极值最值、曲线的凹凸性拐点，曲率进行了介绍。
第三章：一元函数微分学。
我个人认为这一章是本书的重点，主要介绍了一些定积分不定积分的解法，还有微积分的基本公式以及有理函数的积分、反常积分。
最后讲到了定积分在几何和物理上的应用。
第四章：常微分方程。
介绍了微分方程的基本概念和一阶微分方程、二阶微分方程、高阶微分方程的概念和解法。
二、个人学习心得及体会：刚进入大学学习时觉得大学学习很简单，认为高考都考过来了，大学学习还怕什么，自从上了第一节高数课后觉得大学学习并不是我想象的那么简单。
大学是半个社会，在这里我们需要学好、玩好还有很多活动。
想学好真的很难。
尤其高数这门课，是我们的必修课。
刚开始学习时我只是上课认真听讲，下课就把书放一边，不像高中时那么认真大量的做题了。
后来我认识到这样学习高数肯定不行，因为老师上的内容过一段时间我就没印象了，对书中的内容感到很陌生，好像没见过一样。
经过了一个学期的学习，本人对高数的学习有了新的体会和心得。
学习高数这门课和其它课程不一样，它不需要你去背去记。
关键在于理解，在理解的基础上加强练习。
最基本的一点在老师上课之前必须把老师要上的内容预习一遍，把不懂的地方标记一下，在老师上课时带着自己的疑问有目的的去听课，这样听课的效率会更高。
工程数学1
__
__
__
_______ __
__
z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2 Re ( z1 z2 )
__
__
_______ __
__
__
§2 复数的几何表示
任意给定一个复数z=x+yi，它可由一个有序实 数对（x,y）唯一确定．因此可借用直角坐标系 来表示复数．这个建立了直角坐标系来表示复 数的平面叫做复平面．X轴叫做实轴，y轴除去 原点部分叫做虚轴
z1 z2 Re( z1 ) Re( z2 ) Im( z1 ) Im( z2 )
z 0 Re(z) Im( z) 0
一般来说，任意两个复数不能比较大小。
2．复数的代数运算
设z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2为两个复数
定义： 加、减法：
( x1 iy1 ) ( x2 iy 2 ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i
__________
证 (1) z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) z1 z2 z1 z2 z1 z1 z2 z2
2
z1 z2 z1 z2
2 2
2 2
(2) z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 ) z1 z1 z2 z2 z1 z2 z2 z1 z1 z2 2 Re ( z1 z2 )
定义 : z n z z z z n r n (cos n i sin n )
方程 n z 当z 0时, 有n个不同的值与它对应, 每一个称为z为n次根.记为n z
z n (cos
工程数学线性代数目录
A11
A
A 21
A12
A 22
A1s A2s
Ar1 Ar2 Ars
B11
B
B 21
B12
B 22
1
3 1 3 0
1 5
5 4
0
1
1 2 -1
4.
求矩阵
3
4
- 2 的逆阵
5 - 4 1
解： 1
3
5
2 4 4
11 4 2
2
1
1 2
13 32
6 14
0 1 2
2
13
2
16
1 3 7
0
1
2
1
５. 讨论对角矩阵 Λ a1 a2
an 的可逆性．
解 当 a1a2 an 0时，Λ 0．此时，矩阵 Λ可逆，
A B [aij bij ] 注 只有同型矩阵才可以相加．例如
16
3 0
85
2 5
4 1
3 8
131
7 1
02
对任一矩阵 A [aij ]，规定 A [aij ]，显然，称
A为A的负矩阵．
定义矩阵的减法运算为
A B A (B)
数与矩阵相乘 数 k 与矩阵 A [aij ] 的数量乘积记作k A或Ak
（1）分块矩阵的加法． 设分块矩阵 A [A kl ]st ，B [B kl ]st ，如果 A与 B
对应的子块 Ak与l Bkl都是同型矩阵，则
A B [A kl B kl ]st
工程数学1
工程数学1
工程数学1通常是指大学本科阶段工科专业学生学习的一门数学课程。
这门课程旨在为工科学生提供数学基础知识，使他们能够在工程和科学领域中应用数学工具解决实际问题。
具体内容可能包括但不限于以下主题：
微积分：包括极限、导数、积分等基本概念，以及应用到工程问题的技能，如曲线的切线和曲率等。
线性代数：矩阵、行列式、线性方程组等内容，为工程问题的建模和求解提供数学工具。
常微分方程：解微分方程的基本方法，以及工程和科学领域中常见的微分方程建模问题。
多元统计：多变量函数、偏导数、多元积分等内容，为处理多变量工程问题提供数学支持。
复变函数：复数、复变函数的基本概念，以及在工程和科学中的应用。
离散数学：集合论、图论、逻辑等内容，为计算机科学等领域的学生提供数学基础。
这门课程的目标是培养学生具备将数学知识应用到实际工程问题中的能力，同时提供一个坚实的数学基础，以便他们在后续的工程专业课程中更好地理解和应用相关数学知识。
工程数学 第一讲
第一章 矩阵和向量 §1.1 矩阵和向量定义定义1.1.1 由n m ⨯个数},,2,1;,,2,1{n j m i a j i ==排成的m 行n 列的数表称为 m 行n 列矩阵，通常加以方括号或圆括号，记作⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a aa a a a a a A 212222111211，或 ()nm ij a A ⨯=表中的每个数称为矩阵A 的元素，位于第i 行第j 列的元素是ij a ，即下标的表示方式是先行后列，当ii a j i ,=称为A 的对角元。
常用英文黑斜体大写字母（,A B ）表示矩阵。
矩阵元素可以是整数、实数、复数和多项式。
在本教材中，设矩阵元素取自实数，R 表示全体实数，在实数域R 上的m n ⨯矩阵的全体记作m nR⨯。
定义1.1.2 只有一行元素的矩阵()12,,,n a a a α=称为行矩阵，常称行向量。
只有一列元素的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n b b b 21β称为列矩阵，常称列向量。
下列一些常见矩阵n 阶方阵 行数和列数相等的矩阵；对角矩阵 除对角元外都为零的方阵，100n n nd d ⨯⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭, 也记作12{,,,}n diag d d d Λ=，称为n 阶对角矩阵。
单位矩阵 对角元素都为1的方阵。
1100n n⨯⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭称为n 阶单位矩阵，记作n I 或n E ； 数量矩阵 对角元是a 其它元素都是0的方阵，记作aI ；三角矩阵 对角线下方元素全为零，称为上三角阵；对角线上方元素全为零，称为下三角阵；上三角阵和下三角阵统称为三角阵；例：11121222n n nn a a a a a L a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，11212212n n nn a a a U a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对称矩阵和反对称矩阵 设()ijn nA a ⨯=为n 阶方阵，若ij ji a a =，称A 为对称矩阵；若ij ji a a =-，则称A 为反对称矩阵。
工程数学教材pdf
工程数学教材一、线性代数线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵等数学对象。
在工程领域，线性代数被广泛应用于解决各种实际问题，如物理、化学、计算机科学和工程学等。
二、微积分微积分是高等数学的基础，主要研究函数的微分和积分以及微分方程。
在工程领域，微积分被广泛应用于物理、化学、材料科学和工程学等领域。
三、微分方程微分方程是描述物理现象的一种数学工具，可以用来描述各种实际问题的动态变化过程。
在工程领域，微分方程被广泛应用于控制工程、航空航天、机械工程和电子工程等领域。
四、复变函数复变函数是实变函数的扩展，主要研究复数域上的可微函数。
在工程领域，复变函数被广泛应用于信号处理、图像处理、控制工程和量子力学等领域。
五、积分变换积分变换是函数的一种变换方法，通过将函数从一个形式转换为另一种形式，以便更好地分析函数的性质和解决问题。
在工程领域，积分变换被广泛应用于信号处理、图像处理、电磁学和量子力学等领域。
六、概率论与数理统计概率论与数理统计是研究随机现象的数学分支，主要研究概率论和数理统计的基本概念和方法。
在工程领域，概率论与数理统计被广泛应用于可靠性工程、质量控制和风险评估等领域。
七、数学物理方程数学物理方程是描述物理现象的一种数学工具，可以用来描述各种实际问题的物理过程。
在工程领域，数学物理方程被广泛应用于流体力学、热力学和电磁学等领域。
八、数值分析数值分析是研究数值计算方法的数学分支，主要研究各种数学问题的数值解法。
在工程领域，数值分析被广泛应用于科学计算、计算机图形学和数据挖掘等领域。
九、线性规划与优化方法线性规划与优化方法是研究最优化问题的数学分支，主要研究各种优化算法和线性规划方法。
在工程领域，线性规划与优化方法被广泛应用于生产调度、物流规划和金融投资等领域。
《工程数学》教学课件01线性代数
13
23 称为三阶行列式，它表示一
33
13
23 = 11 22 33 + 12 23 31 +
33
13 21 32 − 13 22 31 − 11 23 32 − 12 21 33
展开式有6项，每一项均为不同行不同列的三个元素之积再冠以正负号，
其运算规律性可用1 + 2 2 + ⋯ + = 0
在D≠0时，仅有一组零解；当有非零解时，系数行列式D=0.
= 2，3 =
= 1.
1.1.1 二阶、三阶行列式
1.n阶行列式的定义
定义3
由2 个元素排成的n行n列的记号
11 12 ⋯ 1
21 22 ⋯ 2
⋮
⋮
⋮
1 2 ⋯
称 为 n 阶 行 列 式 ， 这 里 (i,j=1,2,…,n) 称 为 行 的 元
素.n≥4的行列式称为高阶行列式.
应地换成常数项1 , 2 , ⋯ , 而其余各列保持不变所得到的
行列式（证明略）.
1.1.2 n阶行列式
1 − 2 + 3 + 24 = 1
+ 2 − 23 + 4 = 1
例7 解线性方程组 1 +
2 + 4 = 2
1
1 + 3 − 4 = 1
例题
1.1.2 n阶行列式
定理1
1.n阶行列式的定义
行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代
数余子式乘积之和，即
= 1 1 + 2 2 + ⋯ + = 1,2, ⋯ ,
或
= 1 1 + 2 2 + ⋯ + = 1,2, ⋯ ,
工程数学 第1章 行列式 习题答案
因此该行列式的值为0.
6. 利用行列式的定义计算 （4）
x 0 0 0 y
y x 0 0 0
0 y x 0 0
0 0 y x 0
0 0 0 y x ( 1) ( j1 j5 ) a1 j1 a 2 j2 a 3 j3 a4 j4 a5 j5
j1 j5
其中非0项为：
( 1) (12345 ) a11a22 a33 a44 a55 ( 1) ( 23451 ) a12 a23 a34 a45 a51 x y
( c1 c 2 c 3 ) 2
abc
ca
ab
2 a' b' c' c' a' a' b' a' ' b' ' c' ' c' ' a' ' a' ' b' '
abc b c abc b c 2 a' b' c' b' c' 2 a' b' c' b' c' 右 边 a' ' b' ' c' ' b' ' c' ' a' ' b' ' c' ' b' ' c' '
n 2n 2n n! n
（3） x1 a12 a13 a1n 1
x1 x1 x2 x2 a23 a2 n 1 x3 a3 n 1 xn 1 xn 1 x3 x3
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a1n a2 n a( n1) n
D 0 0 0 ann 解： 一般项 ( 1) ( j1 j2 jn ) a a a 1 j1 2 j2 njn
只有ann 0， jn n 一般项中第n个元素取自第n行， 一般项中第n-1个元素取自第n-1行，一般项中各元素 取自不同行不同列，所以 jn1 n 1,
归纳每项内容及符号的规律
（1）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积． 三阶行列式共有6项，即 3! 项． 每项行标都按1，2，3排列，每项都可写成 a1 j1 a2 j2 a3 j3 （2）符号： 每项符号决定于列标排列的逆序数，即 (1) 其中
j1 j 2 j 3
( j1 j2 j3 )
a11a23a32 a12 a21a33叫三阶行列式,记作
a11 a12 D3 a21 a22 a31 a32 a13 a23 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a33 a13a22 a31 a11a23a32 a12 a21a33 (1.2)
a11a 23 a 32 列标排列的逆序数为 t 132 1, 奇排列 负号,
综上， a 11
a12 a22 a32
D3 a21 a31
a23 ( 1) ( j1 j2 j3 ) a33
a13
( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
为对列标所有全排列求和.
4
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数, 记作 i1i2 it is in 或N i1i2 it is in .
例如
排列32514 中，
0 0
1
3 2 5 1 4
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
5
计算排列逆序数的方法 方法1 分别计算出排在1 ,2 , , n 1 , n 前面比它大的数 码之和即分别算出 1 ,2 , , n 1 , n 这 n个元素 的逆序数，这些元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数. 方法2 分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序个数， 它们的总和即为所求排列的逆序数. 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列;
为列标1，2，3的全排列.
17
a11 D a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
6项中的每一项写成行标按自然数1，2，3顺序排列 a13a21a32列标排列的逆序数为 t 312 2, 偶排列 正号
24
例5
证明对角行列式
a22 ann
an1 a2( n1)
a11
a1n
a11a22 ann ;
a1n a2( n1) an1
a1 j1 a2 j2 anjn 的符号为 1 ( j j ... j ) . 4、 5、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
1 2 n
20
例3
计算上三角行列式
a11 0 0
解：分析
a12 a1( n1) a22 a2( n1) 0 0 a( n1)( n1) 0
逆序数为偶数的排列称为偶排列. 【注】 逆序数为0的排列称作偶排列, 如 123...n .
6
例1
求排列32514的逆序数.
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
解： 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0;
4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
于是排列32514的逆序数为 3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 （32514） 0 1 0 3 1 5. 此排列为奇排列.
7
3的后面比3小的数有2个,其逆序数为2; 2的后面比2小的数有1个,其逆序数为1; 5的后面比5小的数有2个,其逆序数为2; 1的后面比1小的数有0个,故逆序数为0; 4的后面比4小的数有0个,故逆序数为0;
2 12
a b
21 ba 1
ba22 b2 a12 x1 1 a11a22 a21 a 12 2 x a11b1 a21 b 2 a11a22 a21 a 12 上述结果不容易记住,也不便推广到n元线性方程组
中去,更难找出规律,于是我们引入行列式的概念. a11 a12 定义1 我们用记号D2 = 表示代数和a11a22 a12 a21 , a21 a22 a11 a12 称为二阶行列式,即 =a11a22 a12 a21 (1.1) 11 a21 a22
12
5 1 例1 5 3 3 (1) 13 3 2 例2 设 D
2
1
3
问 : (1) 当为何值时 D 0; (2) 当为何值时 D 0; 解: D
2
3 1
3
2
若 2 3 0 得 0 或 3 因此(1) 当 0或 =3时 D 0; (2) 当 0且 3时 D 0;
3
排列的逆序数
我们规定, 各数之间由小到大排列为标准次 序,若n个不同的自然数按照由小到大排列,称这样 的排列为n元自然序排列. 定义 在一个排列 i1 i2 it i s in 中，若数 it i s , 则称这两个数构成一个逆序.
例如
排列32514 中， 逆序
3 2 5 1 4 逆序 逆序
Hale Waihona Puke 1.13n行列式的基本性质
1
1.11 n级排列及其奇偶性
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 1 2 3 解
百位 十位
1
1 2
2
1 3
3
3种放法 2种放法 1种放法
个位
1 2 3
共有 3 2 1 6 种放法.
2
排列及其逆序数
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（或排列）. 特别地, 由n个自然数１、２、…、n组成的有序数组 称为一个n级（阶、元）排列. n级排列共有 n !种.
a1n a2 n a( n1) n ann
D 0
展开式中的一般项是 ( 1) ( j1 j2 jn ) a1 j a2 j anj 1 2 n
21
a11 0 0
a12 a1( n1) a22 a2( n1) 0 a( n1)( n1)
三阶行列式有3行3列,32个元素,其右端的算式由3!个项组成,其 中每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,所有乘积
3! 项前所带的符号为正负号各半.(即各为 项) 2
15
与二阶行列式相似,它可以由一个很简单的规则来说明,这 就是三阶行列式的对角线法则,即如下所示,实对角线上三个元 素之乘积前冠以正号,虚对角线上三个元素之乘积前冠以负号, 再把这些乘积加起来,就得到(1.2)式.
23
同理可得下三角行列式
例4
a11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a11a22 ann . a n1 an2 a n 3 a nn
1 2 3 4
0 4 2 1 D a11a 22a 33a44 1 4 5 8 160. 0 0 5 6 0 0 0 8
j1 j2 jn
19
是所有n级排列的求和
说明 1、行列式是一种特定的算式，实质上是由一些 数值排列成的数表按照规定的法则计算得到的一 个数，一般简记为 det(aij )或 aij ;
2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和; 3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积; 推论 ：若行列式中某一行或某一列的元素全 为零，则此行列式为零
二阶行列 式的运算 规则: （-）
a11
a12
a21 a22
（+） (2.1)式中横写的叫行,竖写的叫列,其中的数称为行列式的元素 如
则上述方程组的解可表示为 b1 a12 b2 a22 x1 , a11 a12 a21 a22
a12 为二阶行列式的第一行第二列的元素.
a11 b1
a21 b2 x2 a11 a12 a21 a22
a11 a21 a31
(-) (-)
a12 a22 a32
(-)
a13 a11 a23 a21 a33 a31
(+)
a12 a22 a32
(1.3)
(+) (+)
16
分析三阶行列式结果 a11 a12 a13
a21 a22 a31 a32
a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
3 2 5 1 4 2 1 2 0 0 于是排列32514的逆序数为
2 1 2 0 0 5.
8
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 10 0 1 3 4 4 5
5 4
18
4 31 0 01 0
第一章 行列式与矩阵
行列式是代数学中一个重要的工具，利用它可以用来 判断一个n阶矩阵是否可逆；可以导出一个矩阵的逆矩阵公 式以及著名的克拉姆法则。这一章我们先给出二、三阶行 列式的定义，在此基础上归纳出一般n阶行列式的定义，然 后讨论行列式的基本性质及其应用。