为什么信号处理理论中要引入虚数的概念

为什么信号处理理论中要引入虚数的概念

问题来源：物理世界中的信号都是实信号，为什么信号处理理论要引入复信号？

探讨：

1、在信号处理中采用复信号表示法主要是为了数学处理的方便，因为若采用实信号表示法，当对信号进行处理时，将会产生大量的“交叉项”，这会给系统的分析带来一定的复杂性，而这个问题通过采用复信号表示法可以得到减轻，而且由于复信号的实部和虚部正好与接收机中的同相支路（I）和正交支路（Q）相对应，所以在系统中采用复信号表示法就是很自然的事。实信号的频谱是双边对称的，也就是说存在着负的频率，但是实际上负频率也是不存在的，而解析的复信号的频谱恰恰就是只有正频率的。

为了得到与某个实信号相对应的复信号，可以通过将实信号的正频率谱加倍，并令负频率谱等于零而得到，而这个过程的实际工程实现是通过希尔伯特变换进行的，这

样的复信号是解析的。

有关这个问题的进一步的详细解释可以参考:

Richard L. Mitchell所著的Radar Signal Simulation. Artech House,INC.

1976 或者其中译本：陈训达译. 雷达系统模拟. 北京：国防工业出版社，1982

参考张贤达，保铮的《通信信号处理》

2、从信号与系统的角度，我认为这样理解也不错：

•求系统的响应必须要要输入信号与系统进行卷积;

•为了简化和便于数值处理，人们就需要寻找一类特殊的基本单元信号，这类特殊的信号有两大特点:（1）,可表达普遍的信号，（2）,此类信号的响应较为简单;

•经过寻找，发现指数形式的信号很适合做这类基本单元信号;它的响应是常值与指数

的积;并且，此类信号可表示大量的信号;

•关键是要把普通的实信号表示成为指数形式，也需要引入虚数的概念（Euler公式）。

3、将实信号通过希尔伯特变换变换成复信号，一方面去掉了原实信号的负频率项，但并不会损失信息，因为正负频率项是对称的。另一方面，这种只保留正频率项的做法有利于消

除信号运算中产生的大量“交叉项”。

4、我的理解:

•去掉了负频率,使的带宽减倍,因而能够降低采样频率

•正如上叙,减少了交叉项

•使得时域里有了相位,从而易于定义瞬时频率

5、对于一个实信号，频频是共轭对称的，即负频可以完全有正频确定，是冗余的。对于最高频率为fm的基带信号，如果调制到载波上，则正频率部分的带宽为2fm；而如果对于基带信号构造其解析新后再调制到载波上，则带宽仅为fm，从这个意义上解析信号可以使带

宽减半，可以降低带通信号的采样频率。

当然，从另外一个角度讲，实信号变为复信号后，实际上变为了两路信号，比如解析信号（实部为原信号，虚部为正交信号）。所以，对于采样来说，由一路采样变为

了两路采样，实际采样率并未减少。

复信号的实现就是通过两个信号通道。复信号相乘，就不止是两个通道各自的运算，而还有交叉耦合相乘。复谐波x=xr+j*xi=cos(wit)+j*sin(wit)=exp(jwit)与复数a+jb的乘法

如图所示：

6、一般情况下是两个实系数的数字滤波器，对实部和虚部分别处理。

不过，现在也有复系数滤波器，可以直接对复信号进行滤波处理。现在做的雷达仿真系统脉冲压缩中的匹配滤波采样的就是复系数滤波器，即卷积滤波的输入和系数以及输入都是复数。有时候从复信号流图的角度去考虑问题和处理问题，也能带来很多方便之处，比如在中频直接采样数字混频正交变换中。

推广一下，二元有复信号（两通道，用1,i表示单位），四元有超复信号（四通道，用1,i,j,k表示单位），相应的都有（超）复系数滤波器。感兴趣的可以去查

看一些相关的文献。

7、以上论述，讲得很好，仍过于浮浅。事实上，我们引入解析信号，我个人认为，出于以

下原因：

•可以提高增益3dB，这在通信、雷达等应用中是很大的贡献。

•可以利用相位信息。实信号存在相位模糊，而解析信号由于两通道正交，包含有冗

余信息，不存在相位模糊现象。

•很多先进的接收机采用了正交双通道，实现了相参积累，提高了信噪比。

•事实上，利用的信号表示形式越复杂（抽象），包含的冗余信息越多，由此可以得到一些意想不到的结果。我们已经用到了解析信号，可以表示为a＋bi，三维空间a ＋bi＋cj，四维空间a＋bi＋cj＋dk（四元数）。

8、本质以下几点:

•信号处理的很大一部分内容和空间的基有关,至少在有限维空间内,实数基和复数基之间是一个可逆线性变换,基本属于同构的范畴.

•复数简化了一些常见运算,比如,cosx+cos2x...+_cosnx,而这些是证明傅立叶级数的处处收敛等中的常见操作.可以说只要和正弦有关的运算,借助复数这个工具都能

更快的得到结果.

•复数进入之后,可以使用复变函数中共形,保角等映射知识,使分析系统稳定性和定

性等方面的内容可以说是有了本质升华.