考前复习理科2015.6.1

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2015届高考理科数学第一轮总复习教案66

学案24 正弦定理和余弦定理应用举例导学目标：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．自主梳理1．仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)2．方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．4．坡角坡面与水平面的夹角．(如图所示)5．坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝h l ＝tan α(i 为坡比，α为坡角)．6．解题的基本思路运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学知识在生活中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把握一个抽象、概括的问题，即建立数学模型．自我检测1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β之间的关系是 ( )A ．α>βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°2．(2011·承德模拟)如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的 )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°3．如图所示，为了测量某障碍物两侧A 、B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定A 、B 间距离的是( )A ．α，a ，bB ．α，β，aC ．a ，b ，γD ．α，β，b4．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为________m.5．(2010·全国Ⅱ)△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sinB ＝513，cos ∠ADC ＝35，求AD .探究点一与距离有关的问题例1(2010·陕西)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？变式迁移1某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD 为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？探究点二测量高度问题例2如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.变式迁移2某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．探究点三三角形中最值问题例3(2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？变式迁移3(2011·宜昌模拟)如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．1．解三角形的一般步骤(1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等．(2)根据题意画出示意图．(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答．(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．2．应用举例中常见几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( )A.518B.34C.32D.782．(2011·揭阳模拟)如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522 m 3．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为 ( )A.922B.924C.928 D ．9 24．(2011·沧州模拟)某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为( )A. 3 B．2 3C.3或2 3 D．35．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时()A．5海里B．53海里6．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________．7．(2011·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________米/秒的速度匀速升旗．8．(2011·宜昌模拟)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．三、解答题(共38分)9．(12分)(2009·辽宁)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．10．(12分)如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？11．(14分)(2009·福建)如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝A sin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？答案自我检测1．B 2.B 3.A4.40035．解由cos ∠ADC ＝35＞0知B ＜π2，由已知得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝45，从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝45×1213－35×513＝3365.由正弦定理得，AD sin B ＝BD sin ∠BAD，所以AD ＝BD ·sin B sin ∠BAD＝33×5133365＝25. 课堂活动区例1 解题导引这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．解由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB， ∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin 45°sin 105° ＝5(3＋3)·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝103(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，∴需要的时间t ＝3030＝1(小时)．故救援船到达D 点需要1小时．变式迁移1解如图所示，易知∠CAD ＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中，cos B ＝312＋202－2122×31×20＝2331，所以sin B ＝12331.在△ABC 中，AC ＝BC ·sin B sin A ＝24，由BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，得AB 2－24AB －385＝0，解得AB ＝35，AB ＝－11(舍)，所以AD ＝AB －BD ＝15.故此人在D 处距A 还有15千米．例2 解题导引在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．解在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β.由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD，所以BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βsin (α＋β)，在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s ·tan θsin βsin (α＋β). 变式迁移2解由题意可知，在△BCD 中，CD ＝40，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°，由正弦定理得，CD sin ∠DBC＝BD sin ∠BCD， ∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.过B 作BE ⊥CD 于E ，显然当人在E 处时，测得塔的仰角最大，有∠BEA ＝30°.在Rt △BED 中，又∵∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°.∴BE ＝DB ·sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt △ABE 中，AB ＝BE ·tan 30°＝103(3－3)(米)．故所求的塔高为103(3－3)米．例3 解题导引平面几何图形中研究或求有关长度、角度、面积的最值、优化设计等问题．而这些几何问题通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．若研究最值，常使用函数思想．解(1)由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝H tan β，解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124(m)．因此，算出的电视塔的高度H 是124 m.(2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝H d .由AB ＝AD －BD ＝H tan β－h tan β，得tan β＝H －h d .所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝h d ＋H (H －h )d ≤h 2H (H －h )，当且仅当d ＝H (H －h )d，即d ＝H (H －h )＝125×(125－4)＝555时，上式取等号，所以当d ＝555时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<π2，则0<α－β<π2，所以当d ＝555时，α－β最大．变式迁移3 解设∠POB ＝θ，四边形面积为y ，则在△POC 中，由余弦定理得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos θ＝5－4cos θ.∴y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12×1×2sin θ＋34(5－4cos θ)＝2sin(θ－π3)＋534.∴当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.所以四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.课后练习区1．D 2.A 3.C 4.C 5.C6．30 2 km 7.0.68.7043解析如图所示：设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理得，DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE cos 60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.∴当t＝7043时，DE最小．9．解在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.………………………………………………………………………(2分)又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，所以△ABC≌△CBD，所以BA＝BD.……………………………………………………………………………(6分)在△ABC中，ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，即AB＝AC·sin 60°sin 15°＝32＋620，…………………………………………………………(10分)所以BD＝32＋620≈0.33(km)．故B、D的距离约为0.33 km.……………………………………………………………(12分) 10．解如图，连接A 1B 2，由题意知，A 1B 1＝20，A 2B 2＝102，A 1A 2＝2060×302＝102(海里)．…………………………………………………………(2分)又∵∠B 2A 2A 1＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.……………………………………………………………(6分)在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，∴B 1B 2＝102(海里)．…………………………………………………………………(10分)因此乙船的速度大小为10220×60＝302(海里/小时)．…………………………………………………………(12分)11．解方法一 (1)依题意，有A ＝23，T 4＝3，又T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x .(3分)当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3，∴M (4,3)．又P (8,0)，∴MP ＝42＋32＝5.…………………………………………………………(5分)(2)如图，连接MP ，在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5. 设∠PMN ＝θ，则0°<θ<60°.由正弦定理得MP sin 120°＝NP sin θ＝MN sin (60°－θ)， ∴NP ＝1033sin θ，MN ＝1033sin(60°－θ)，…………………………………………(8分)∴NP ＋MN ＝1033sin θ＋1033sin(60°－θ) ＝1033⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ＝1033sin(θ＋60°)．…………………………………………(12分)∵0°<θ<60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP 最长．即将∠PMN 设计为30°时，折线段赛道MNP 最长．…………………………………………………………………(14分)方法二 (1)同方法一．(2)连结MP .在△MNP 中，∠MNP ＝120°.MP ＝5，由余弦定理得，MN 2＋NP 2－2MN ·NP ·cos ∠MNP ＝MP 2.………………………………(8分)即MN 2＋NP 2＋MN ·NP ＝25.故(MN ＋NP )2－25＝MN ·NP ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫MN ＋NP 22， ……………………………………………………………………………………………(10分)从而34(MN ＋NP )2≤25，即MN ＋NP ≤1033.当且仅当MN ＝NP 时等号成立．即设计为MN ＝NP 时，折线段赛道MNP 最长．…………………………………………………………………(14分)。

2015高考物理一轮复习课件打包6.1

人教版物理
第六章
静电场
[思维流程] 第一步：抓信息关键点 (1)B 到达悬点 O 的正下方并与 A 在同一水平线上； (2)A 处于受力平衡时第二步：建立物理模型对 A 受力分析第三步：找解题突破口 A 处于平衡状态第四步：形成解题思路 (1)对两种情况分别受力分析； (2)对两种情况分别列平衡方程
对应学生用书第112页电荷和电荷守恒定律、库仑定律
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第六章
静电场
(3)带电实质:物体带电的实质是得失电子. (4)电荷的分配原则:两个形状、大小相同的导体,接触后再分开, 中和二者带______ 相同电荷;若两导体原来带异种电荷,则电荷先______, 余下的电荷再_______. 平分 3.库仑定律真空中两个静止点电荷之间的相互作用力,与它们的 (1)内容:______ 距离的二次方成反比,作用 _______________ 电荷量的乘积成正比,与它们的______________ 它们的连线上力的方向在_______________.
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第六章
静电场
[例 2] (2013 年新课标Ⅰ卷)如图，一半径为 R 的圆盘上均匀分布着电荷量为 Q 的电荷，在垂直于圆盘且过圆心 c 的轴线上有 a、 b、d 三个点，a 和 b、b 和 c、c 和 d 间的距离均为 R，在 a 点处有一电荷量为 q(q>0)的固定点电荷．已知 b 点处的场强为零，则 d 点处场强的大小为(k 为静电力常量)( ) 3q 10q A．k 2 B．k 2 R 9R Q＋q 9Q＋q C．k 2 D．k R 9R2
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第六章
静电场人教版物理源自第六章静电场人教版物理
第六章
静电场

2015届高考理科数学第一轮知识点专项题库62

第2讲古典概型一、填空题1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．解析分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b>a的有3种取法，故所求事件的概率P＝315＝1 5.答案1 52．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5下方的概率为________．解析试验是连续掷两次骰子，故共包含6×6＝36(个)基本事件．事件点P 在x＋y＝5下方，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6个基本事件，故P＝636＝1 6.答案1 63．在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为________．解析要及格必须答对2道或3道题，共C23C12＋C33＝7(种)情形，故P＝7C35＝7 10.答案7 104．从三名男同学和n名女同学中任选三人参加一场辩论赛，已知三人中至少有一人是女生的概率是3435，则n＝________．解析三人中没有女生的概率为C33C3n＋3，∴三人中至少有一人是女生的概率为1－C 33C 3n ＋3. 由题意得1－C 33C 3n ＋3＝3435，解得n ＝4.答案 n ＝45．下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，如果没有2位同学一块走，则第二位走的是男同学的概率是________．解析每个同学均可能在第二位走，故共有4种情况，而男同学有2个，故所求概率为P ＝24＝12. 答案 126．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是________．解析：从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 答案 357．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是________．解析正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个等可能的基本事件．两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)，包括10个基本事件，所以概率等于518. 答案 5188．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为________．解析基本事件为(1，1)，(1，2)，…，(1，8)，(2，1)，(2，2)…，(8，8)，共64种．两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7，8)，(8，7)，(8，8)，∴所求概率为364. 答案 3649．连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，向量a ＝(m ，n )，若b ＝(－1,1)，△ABC 中AB→与a 同向，CB →与b 反向，则∠ABC 是钝角的概率是________．解析 ∵∠ABC 是钝角，向量a ＝(m ，n )，b ＝(－1,1)夹角为锐角，∴n －m >0，m <n ，∴包含15个基本事件，又共有36个基本事件，∴∠ABC 是钝角的概率是512. 答案 51210．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．解析 6节课共有A 66种排法，按要求共有三类排法，一类是三门文化课排列，有两个空，插入2节艺术课，有A 33A 23×2种排法；第二类，三门文化课排列有两个空，插入1节艺术课，有A 33·A 13·2A 33种排法；第三类，三门文化课相邻排列，有A 33A 44种排法．则满足条件的概率为 2A 33A 23＋A 33A 13·2A 33＋A 33A 44A 66＝35.答案 35 二、解答题11．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部的概率．解将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件．(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，所以P(B)＝1－936＝3 4；即两数中至少有一个奇数的概率为34.(2)基本事件总数为36，点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，则C包含8个事件，所以P(C)＝836＝2 9.即点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部的概率为29.12．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．解(1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝3570＝0.5.故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率P＝0.5.(3)样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.从上述6人中任选2人的树状图为：故从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率P2＝915＝3 5.13．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第66s；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．解(1)∵这6位同学的平均成绩为75分，∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90，这6位同学成绩的方差s2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为410＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4. 14．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．解(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝1 6，P(ξ＝1)＝26＝13，P(ξ＝4)＝26＝13，P(ξ＝9)＝1 6.故ξ的分布列为：所以E(ξ)＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196.。

2015年普通高校招生全国统一考试冲刺信息全国卷(1)数学(理科)

2015年普通高校招生全国统一考试冲刺信息全国卷（1）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|20A x x x =+-<，{}|23B x x =-<<，则B C A 等于A ．{}|13x x ≤<B ．{}|23x x ≤<C ．{}|21x x -<<D ．{}|2123x x x -<≤≤<或 2．已知复数z 的共轭复数是31ii -+，则复数z 等于 A ．12i -B ．12i +C ．12i --D ．2i -3．抛物线22(0)y px p =->的准线经过，则p =ABC．D．4．函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像如图所示，为了得到函数π需要将()y f x =的图像A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3πC ．向右平移6π个单位D ．向右平移3π5．设,,l m n 表示不同的直线，,,αβγ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α；②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；正(主)视图2③若l αβ=，m βγ=，n γα=，则l ∥m ∥n ； ④若m αβ=，l βγ=，n γα=，且n ∥β，则l ∥m ．其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．46．当实数,x y 满足不等式0,0,22,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有3ax y +≤成立，则实数a 的取值范围是A ．0a ≤B ．0a ≥C ．02a ≤≤D ．a 7．运行右图所示的程序框图，若输入4x =，则输出y 的值为A ．49B ．25C ．13D ．78．如图，水平放置的几何体的三视图，形、侧（左）视图为长为3A ．30+B ．6+C ．D ．429．已知(1)f x +是偶函数，且()f x 在区间(1,)+∞上单调递减，(2)a f =，3(log 2)b f =，1()2c f =，则有A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．a c b <<10．有10本不同的书紧贴着依次立放在书架上，摆成上层3本下层7本，现要从下层7本中任取2本再随机调整到上层，若其它书本的相对顺序不变，则上层新增的2本书不相邻的概率为A ．35B ．310C ．12D ．2511．如图，已知双曲线的中心在坐标原点O ，左焦点为F ，C 是双曲线虚轴的下顶点，双曲线的一条渐近线OD 与直线FC 相交于点D ．若双曲线的离心率为2，则ODF ∠的余弦值是A ．7B ．7C D12．已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[]0,1x ∈时，()f x =(1,3)-内，关于x 的方程()()f x kx k k R =+∈有4个根，则k 的取值范围为A ．104k <≤或k = B ．104k <≤C ．104k <<或k =D ．104k <<第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知命题:,sin p x R x x ∀∈>，则p 的否定形式为．14．已知数列{}n a 满足11a =，*11()4nn n a a n N +⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，21123444n n n S a a a a -=+⋅+⋅++⋅，类比课本推导等数列前n 项和公式的方法，可求得54n n n S a -＝．15．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC AE AF λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+＝．16．已知函数22()1x f x x =+，函数()sin()22(0)6g x a x a a π=-+>，若存在[]10,1x ∈，对任意[]20,1x ∈，都有12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2cos()4sin sin 1B C B C -=-．（1）求A ；（2）若13,sin23B a ==，求b ． 18．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，2BC =，1BC1CC =△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，平面ABC ⊥平面11BCC B ，,E F 分别为棱1,AB CC 的中点．（1）求证：EF ∥平面1A BC ；（2）若三角形ABC 中，BC 边上的高为整数，且EF 与平面11ACC A所成的角的正弦值为3，求二面角1C AA B --的余弦值．19．（本小题满分12分）高三年级有3名男生和1名女生为了报某所大学，事先进行了多方详细咨询，并根据自己的高考成绩情况，最终估计这3名男生报此所大学的概率都是12，这1名女生报此所大学的概率是13．且这4人报此所大学互不影响．（1）求上述4名学生中报这所大学的人数中男生和女生人数相等的概率；（2）在报考某所大学的上述4名学生中，记ξ为报这所大学的男生和女生人数的和，试求ξ的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）已知椭圆C的焦点为1(F，2F ，且椭圆C 的下顶点到直线20x y +-=的距离为2（1）求椭圆C 的方程；（2）若一直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B （A 、B 不是椭圆C 的顶点）两点，以AB 为直径的圆过椭圆C 的上顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，2()(3)xg x x ax e =-+-（a 为实数）．（1）求()f x 在区间[],2(0)t t t +>上的最小值；（2）若存在两个不等实根121,,x x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使方程()2()xg x e f x =成立，求实数a 的取值范围．A BCA 1C 1B 1E F请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图，,,,A B C D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（1）若13EC EB =，12ED EA =，求DCAB的值；（2）若2EF FA FB =⋅，证明：EF ∥CD23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为4cos ρθ=，直线l的方程为2,21,2x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 的公共点为T ．（1）求点T 的极坐标；（2）过点T 作直线l '，l '被曲线C 截得的线段长为2，求直线l '的极坐标方程． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】设()||2||(0)f x x x a a =+->．（1）当1a =时，解不等式()4f x ≤；（2若()4f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．2015年普通高校招生全国统一考试冲刺信息全国卷（1）数学（理科）参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13． 14． 15． 16．三、解答题 17．。

2015年高考考前热身试卷理科数学(二)

【模拟二】2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{|||1}A x x =<，{|21}xB x =>，则A B =I（A ）(1,0)- （B ）(1,1)-（C ）)21,0(（D ）(0,1)（2（A ）1（B ）i（C ）12（D ）12i （3）设||1=a ，||2=b ，且a ，b 夹角3π，则|2|+=a b （A ）2（B ）4（C）（D）（4）在长为3的线段上任取一点，则该点到两端点的距离均不小于1的概率为（A ）13（B ）23（C ）49（D ）59（5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（A ）18（B ）36（C ）54（D ）72（6）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（A ）2 （B ）92（C ）32（D ）3正视图侧视图x（7）如图，程序输出的结果132S =，则判断框中应填（A ）10?i ≥（B ）11?i ≥ （C ）11?i ≤ （D ）12?i ≥（8）设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a α⊂，b β⊥，则α∥β是a b ⊥的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件（9）已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ，若直线3y kx =-与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为是（A ）[3,3]-（B ）11(,][,)33-∞-+∞ （C ）(,3][3,)-∞-+∞（D ）11[,]33-（10）在直角坐标系xOy 中，设P 是曲线C ：)0(1>=x xy 上任意一点，l 是曲线C 在点P处的切线，且l 交坐标轴于A ，B 两点，则以下结论正确的是（A ）△OAB 的面积为定值2 （B ）△OAB 的面积有最小值为3 （C ）△OAB 的面积有最大值为4（D ）△OAB 的面积的取值范围是[3,4]（11）已知抛物线1C ：y x 22=的焦点为F ，以F 为圆心的圆2C 交1C 于,A B 两点，交1C 的准线于,CD 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆2C 的标准方程为（A ）221()42x y +-= （B ）221()42x y -+= （C ）221()22x y +-=（D ）221()22x y -+=（12）已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（A ）1(,)2+∞ （B ）1(0,)2（C ）(1,)+∞ （D ）(0,1)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2015高三数学一轮复习第六章第一节

典例探究 . 提知能高考体验 . 明考情
策略指导. 备高考
取未知量的范围．
自主落实. 固基础菜单
课后限时自测
高三一轮总复习数学 ·BS（理科）
网络构建. 览全局
变式训练1
(2013·青岛模拟)一学生计划使用不超过20
元的钱为自己购买学习用具．根据需要，单价为 4元的圆珠笔至少需要购买 2 支，单价为 2 元的笔记本至少需要购买 3 本．写出满足上述所有不等关系的不等式．
典例探究 . 提知能高考体验 . 明考情
策略指导. 备高考
【解】
设圆珠笔买x支，笔记本买y本．
则购买圆珠笔的费用为 4x 元，购买笔记本的费用为 2y 元，
自主落实. 固基础
由题意，总费用不超过20元，即4x＋2y≤20.
又圆珠笔至少购买 2 支，笔记本至少买 3 本，即 x≥2 ， y≥3.
典例探究 . 提知能高考体验 . 明考情
策略指导. 备高考
自主落实. 固基础
课后限时自测
菜
单
高三一轮总复习数学 ·BS（理科）
网络构建. 览全局典例探究 . 提知能高考体验 . 明考情
a>b，c>0 ____ 乘法法则 a>b，c<0 ____ a>b>0， c>d>0 a>b，ab>0 _____ a>b>0 a>b>0
)
典例探究 . 提知能高考体验 . 明考情

2015届高三一轮复习理科综合试题

高三一科理科综合第Ⅰ卷（必做，共107分）一选择题（共13题，每小题5分共65分，每一个小题只有一个选项符合题意。

）1．下列关于生物的遗传物质的叙述中，不正确．．．的是（）A．RNA是细胞质中的遗传物质B．除少数病毒外，生物的遗传物质都是DNAC．RNA具有生物催化功能D．组成核酸的碱基有5种：A、T、G、C、U2．生物体体细胞增殖过程中肯定会出现的现象是（）A．染色体自由组合B．纺锤体的形成C．基因突变D．碱基互补配对3．读图判断下列有关基因与性状关系的叙述，错误的是()A．由基因产物呈现的性状①、②、③、④可知同一个基因会影响多种性状B．若⑧为表达出的异常血红蛋白呈现的性状“红细胞呈镰刀型”，可说明基因通过酶的合成来控制代谢，进而控制生物体的性状C．上述图示可表明基因与性状并非简单的线性关系D．生物的性状除了受基因控制外，还可能受环境条件的影响4．下列关于生物学实验和研究方法的叙述中，正确的是()A．调查的人类遗传病都是由正常基因发生突变而导致的B．观察低温诱导染色体数目的变化时，最好选择均处于分裂中期的正常细胞和变异细胞进行观察比较C．格里菲斯的肺炎双球菌转化实验中，对加热杀死后S型菌的DNA、蛋白质和多糖物质提纯，分别作用于R型菌落，得出实验结论D.“15N标记的T2噬菌体侵染未标记的细菌”的实验中，若经培养并搅拌离心，则只有沉淀物有放射性5．将全部DNA分子双链经32P标记的雄性动物细胞(染色体数为2N)置于不含32P的培养基中培养。

经过连续两次细胞分裂后产生4个子细胞，检测子细胞中的情况。

下列推断正确的是（）A．若进行有丝分裂，则含32P染色体的子细胞比例一定为1/2B．若进行减数分裂，则含32P染色体的子细胞比例一定为1C．若子细胞中的染色体都含32P，则一定进行有丝分裂D．若子细胞中的染色体不都含32P，则一定进行减数分裂6．果蝇有一种缺刻翅的变异类型，这种变异是由染色体上某个基因缺失引起的，并且有纯合致死效应。

2015浙江省高三理科综合物理考前辅导(非常好)

1．需要估读的仪器：在常用的测量仪器中，刻度尺、螺旋测微器、电流表、电压表、天平、弹簧秤等读数时都需要估读。 A、最小分度是2的，（包括0.2、0.02等）最小分度是5的，（包括0.5、0.05等）读到与最小刻度相同的刻度； B、最小分度是1的，（包括0.1、0.01等），如刻度尺、螺旋测微器、安培表0～3A档、电压表0～3V档等，估读到最小刻度下一位； C、当测量精度要求不高或仪器精度不够高时，不估读。 2．不需要估读的测量仪器：游标卡尺、电阻箱在读数时不需要估读；欧姆表刻度不均匀，可以不估读
如：带电粒子在不同磁场中运动时，有关表达式应为
v12 qvB , 1 m R1
2 v2 qvB2 m R2
v2 不能只写出 qvB m R
这个一般表达式.
高考如何规范答题?
3、写分式时一般不要写成斜杠式(如写斜杠式,分子、分母必须分别用括号括起来).
如 V1 V2 可写为 (V1 V2 ) 不能写为 V1 V2 R R 1 2 ( R1 R2 ) R1 R2
还有两个值得注意的地方: ①答题千万不能超出指定区域1、物理常识、物理学家的贡献（重新好好看一看课本） 2、受力分析（整体法隔离法，建立坐标系） 3、直线运动（运动图像） 4、平抛运动和类平抛运动 5、竖直平面内的圆周运动、轻绳和轻杆模型 6、恒力功和变力功（动能定理和机械能守恒推论） 7、等量同种（异种）点电荷连线和中垂线上电势和电场强度 8、电路动态分析和电路中的功率问题 9、安培力受力分析和做功问题 10、洛仑磁力作用下的圆周运动，圆规作图 11、霍尔效应、电磁流量计、回旋加速器等模型 12、各类读数 13、实验
如图所示，在竖直平面内有一水平向右的匀强电场，场强E＝1.0×104 N/C.电场内有一半径R＝2.0 m的光滑绝缘细圆环形轨道竖直放置且固定，有一质量为m＝0.4 kg、带电荷量为q＝＋3.0×10－4 C的带孔小球穿过细圆环形轨道静止在位置A，现对小球沿切线方向作用一瞬时速度vA，使小球恰好能在光滑绝缘细圆环形轨道上做圆周运动，取圆环的最低点为重力势能和电势能的零势能点．已知g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝ 0.8，求： (1)瞬时速度vA的大小；

2015届高考理科数学第一轮总复习教案2

第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示1．函数映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则． 2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．3．误把分段函数理解为几种函数组成． [试一试]1．(2013·江西高考)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1]D ．[0,1]解析：选B 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ≥0，解得0≤x <1，即所求定义域为[0,1)．2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0解析：选B f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2.求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．[练一练]1．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于( ) A ．－2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7答案：D2．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (x )＝________. 答案：x 2－4x ＋3函数与映射的概念1.下列四组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：D2．以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？ (1)f 1：y ＝xx ；f 2：y ＝1.(2)f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2；f 2：(3)f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．解：(1)不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R|x ≠0}，f 2(x )的定义域为R.(2)同一函数．x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式．(3)同一函数．理由同②. [类题通法]两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x 表示，但也可用其他字母表示，如：f (x )＝2x －1，g (t )＝2t －1，h (m )＝2m －1均表示同一函数．函数的定义域问题角度一求给定函数解析式的定义域 1．(1)(2013·山东高考)函数f (x )＝ 1－2x ＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)(2013·安徽高考)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分.归纳起来常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域； (2)已知f x的定义域，求f gx的定义域；(3)已知定义域确定参数问题.解析：(1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3，∴－3<x ≤0.(2)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1＋1x >0，1－x 2≥0，即⎩⎨⎧x ＋1x>0，x 2≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1，解得0<x ≤1，所以定义域为(0,1]．答案：(1)A (2)(0,1]角度二已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域2．已知函数f (x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域．解：∵函数f (x )的定义域是[－1,1]，∴－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.故f (log 2x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 角度三已知定义域确定参数问题 3．(2014·合肥模拟)若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0] [类题通法]简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．求函数的解析式[典例] (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )； (4)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．[解] (1)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)． (4)当x ∈(－1,1)时，有 2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代x ，得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )，得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)． [类题通法]求函数解析式常用的方法(1)待定系数法；(2)换元法(换元后要注意新元的取值范围)； (3)配凑法；(4)解方程组法． [针对训练]1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．解：法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)，即f (x )＝x 2－1(x ≥1)．2．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分段函数[典例] (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．(2)(2013·福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. [解析] (1)当a >0时，1－a <1,1＋a >1. 这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32. 不合题意，舍去．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34. 综上可知，a 的值为－34. (2)∵π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. [答案] (1)－34 (2)－2 [类题通法]分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． [针对训练]设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．解析：当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2，由于x≥1，所以x>2.综上可得x<－2或x>2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)第二节函数的单调性与最值1．增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1<x2，则有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)<f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)>f(x2)．2．单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．3．函数的最值1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f (x )等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[试一试]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max＝________.解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8.答案：[1,4] 81．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域． [练一练]1．(2013·北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C2．函数f (x )＝1x ＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．答案：15 110求函数的单调区间1.函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析：要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，则2x ＋1>0，即x >－12，而y ＝log 5u 为(0，＋∞)上的增函数，当x >－12时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________．解析：y ＝x －|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥1，2x －1， x <1.作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．答案：(－∞，1]3．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤k ，k ，f (x )＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C 由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1.故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．[类题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．函数单调性的判断[典例] 试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k >0)的单调性．[解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2. 因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)<f (x 2)，即函数在(k ，＋∞)上单调递增．当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)>f (x 2)，即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k >0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．法二：f ′(x )＝1－k x 2.令f ′(x )>0得x 2>k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )<0得x 2<k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．[类题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．[针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)，由于1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)．故g (x )在(1，＋∞)上是增函数．函数单调性的应用角度一求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， ∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵当x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 角度二比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 角度三解函数不等式3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．角度四求参数的取值范围或值4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎨⎧a －2<0，(a －2)×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 .[类题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．第三节函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性2.周期性 (1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，f (－x 0)＝f (x 0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．[试一试]1．(2013·广东高考)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 由奇函数的概念可知，y ＝x 3，y ＝2sin x 是奇函数． 2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－12解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )， ∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.1．判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法：(2)图像法：2．周期性常用的结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .(a >0)[练一练]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 014)＝________.解析：∵f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )．∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝2. 答案：2函数奇偶性的判断1.判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－x ； (4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1， ∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．[类题通法]判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学会利用性质，具体如下：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．函数奇偶性的应用[典例] (1)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.(2)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．[解析] (1)∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，∴当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. [答案] －1[解] (2)∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.① 又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴f (x )在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，即－2<m <1.② 综合①②可知，－1≤m <1.解：改变．∵f (x )为奇函数且在[－2,0]上递增， ∴f (x )在[－2,2]上递增． ∴m 2－1>1－m . 即m >1或m <－2. 由例(2)①知1<m ≤ 3. 故m 的取值范围为(1，3]．[类题通法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图像和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性．[针对训练]1．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析：选A 由题意知x ∈[0，＋∞)时，f (x )为减函数且当x ∈R 时，f (x )的图像关于直线x ＝0对称，所以f (1)>f (－2)>f (3)，故选A.2．(1)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________．(2)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)∵函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R)是偶函数，∴设g (x )＝e x ＋a e －x ，x ∈R ，由题意知，g (x )为奇函数，∴g (0)＝0，则1＋a ＝0，即a ＝－1.(2)∵y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数， ∴函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上是增函数． ∴当a >0时，由f (a )≥f (2)可得a ≥2，当a <0时，由f (a )≥f (2)＝f (－2)，可得a ≤－2. 所以实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(1)－1 (2)(－∞，－2]∪[2，＋∞)函数的周期性及其应用[典例] 已知函数f (x )对任意的实数满足：f (x ＋3)＝－1f (x )，且当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)＝________.[解析] ∵对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f (x )，∴f (x ＋6)＝f (x ＋3＋3) ＝－1f (x ＋3)＝－1－1f (x )＝f (x )，∴f (x )是以6为周期的周期函数，∵当－3≤x <－1时， f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1， f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335.而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋2－1＋0＝2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝335＋2＝337. [答案] 337 [类题通法]函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．[针对训练]设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. 又∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．第四节函数的图像1．利用描点法作函数图像其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．2．利用图像变换法作函数的图像 (1)平移变换：y ＝f (x )――――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )―――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b . (2)伸缩变换：y ＝f (x )10111ωωωω<<>−−−−−−−−→，伸原的倍，短原的长为来缩为来y ＝f (ωx )；y ＝f (x )――――――――――――→A >1，伸为原来的A 倍0<A <1，缩为原来的A 倍y ＝Af (x )．(3)对称变换：y ＝f (x )―――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )． (4)翻折变换：y ＝f (x )―――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图像翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )―――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|.1．在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图像对应的解析式，这样才能避免出错．2．明确一个函数的图像关于y 轴对称与两个函数的图像关于y 轴对称的不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系．[试一试](2014·安徽“江南十校”联考)函数y ＝log 2(|x |＋1)的图像大致是( )解析：选B 首先判断定义域为R.又f (－x )＝f (x )．所以函数y ＝log 2(|x |＋1)为偶函数，当x >0时，y ＝log 2(x ＋1)．故选B.1．数形结合思想借助函数图像，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图像，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数、求不等式的解集等．2．分类讨论思想画函数图像时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图像．[练一练]若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意a ＝|x |＋x令y ＝|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x ＜0，图像如图所示，故要使a＝|x |＋x 只有一解则a >0.答案：(0，＋∞)作函数的图像分别画出下列函数的图像： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1.解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.图像如图1.(2)将y ＝2x 的图像向左平移2个单位．图像如图2.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0.图像如图3.[类题通法]画函数图像的一般方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．识图与辨图[典例] (1)(2013·福建高考)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )(2)(2012·湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝－f (2－x )的图像为( )[解析] (1)f (x )＝ln(x 2＋1)，x ∈R ，当x ＝0时，f (0)＝ln 1＝0，即f (x )过点(0,0)，排除B ，D.∵f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，其图像关于y 轴对称，故选A. (2)法一：由y ＝f (x )的图像知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (0≤x ≤1)，1(1<x ≤2).当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(0≤x ≤1)，2－x (1<x ≤2)，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1(0≤x ≤1)，x －2(1<x ≤2).法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1. 观察各选项，可知应选B. [答案] (1)A (2)B [类题通法]识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．[针对训练]1．(2014·佛山一模)函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x ≤1，log 13x ，x >1，则y ＝f (x ＋1)的图像大致是( )解析：选B 作出f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x ≤1，log 13x ，x >1的图像，如图．再把f (x )的图像向左平移一个单位，可得到y ＝f (x ＋1)的图像．故选B.2.如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (3)的值等于________．解析：∵由图像知f (3)＝1，∴1f (3)＝1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (3)＝f (1)＝2. 答案：2函数图像的应用角度一确定方程根的个数1．(2014·日照一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．解析：方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图像，由图像知零点的个数为5.答案：5角度二求参数的取值范围2．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]解析：选B ∵a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1，∴函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2.结合图像可知，当c ∈(－2，－1]∪(1,2]时，函数f (x )与y ＝c 的图像有两个公共点，∴c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．角度三求不等式的解集3．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图像如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为________．解析：在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上y ＝cos x >0，在⎝⎛⎭⎪⎫π2，4上y ＝cos x <0.由f (x )的图像知在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2上f (x )cos x <0，因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数，所以y ＝f (x )cos x 为偶函数，所以f (x )cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 [类题通法]1．研究函数性质时一般要借助于函数图像，体现了数形结合思想；2．有些不等式问题常转化为两函数图像的上、下关系来解决； 3．方程解的问题常转化为两熟悉的函数图像的交点个数问题来解决．第五节二次函数与幂函数1．五种常见幂函数的图像与性质2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f (x)＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 3．二次函数的图像和性质1．研究函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的性质，易忽视a 的取值情况而盲目认为f (x )为二次函数．2．形如y ＝x α(α∈R)才是幂函数，如y ＝3x 12不是幂函数． [试一试]1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝5x 2 C ．f (x )＝－x 2 D ．f (x )＝x 2答案：D2．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图像在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0得a >120.1．函数y ＝f (x )对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )，如果定义域内有不同两点x 1，x 2且f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图像关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．2．与二次函数有关的不等式恒成立两个条件(1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.3．两种数学思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．[练一练]如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图像关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．解析：由题意知⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6. 则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5.答案：51.幂函数y ＝f (x )的图像过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图像是( )解析：选C 令f (x )＝x α，则4α＝2，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.2.图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的图像．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为________．答案：2，12，－12，－23．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵y ＝x 25(x >0)为增函数，∴a >c .∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R)为减函数，∴c >b ，∴a >c >b . 答案：a >c >b [类题通法]1．幂函数y ＝x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键．[典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解] 法一(利用一般式)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二(利用顶点式)：设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8. ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8. 解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. [类题通法]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：[针对训练]已知y ＝f (x )为二次函数，且f (0)＝－5，f (－1)＝－4，f (2)＝－5，求此二次函数的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，因为f (0)＝－5，f (－1)＝－4，f (2)＝－5，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－5，a －b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝－5，解得a ＝13，b ＝－23，c ＝－5，故f (x )＝13x 2－23x －5.二次函数的图像与性质角度一轴定区间定求最值1．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6] (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值； (2)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0].∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．角度二轴动区间定求最值2．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．解：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .(1)当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， ∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1， ∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0， ∴a ＝1±52(舍)．(3)当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2. 角度三轴定区间动求最值3．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，求g (a )．解：∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，∵x ＝1不一定在区间[－2，a ]内， ∴应进行讨论．当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a ≤1，－1，a >1.[类题通法]影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素和求法： (1)最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关．(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解，在区间的端点或二次函数图像的顶点处取得最值．当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论．第六节指数与指数函数1．根式的性质。

【名师伴你行】2015届高考理科数学二轮复习：第三部分考前基础教材再回顾

第三部分考前基础教材再回顾一、高考客观题常考的八个问题[基础快判]一、考前必记的数学概念、公式在下面10个小题中，有2个表述不正确，请在题后用“√”或“”判定，并改正过来．1. 真子集：若A ⊆B ，但∃x ∈B ，且x ∉A ，则A B ；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．( )2. 全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定是綈p ：∃x 0∈M ，綈p (x 0)；特称命题p ：∃x 0∈M ，p (x 0)的否定是綈p ：∀x ∈M ，綈p (x )．( )3. 设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( )4. 设非零向量a ，b ，且〈a ，b 〉＝θ，则a 与b 的数量积为|a|·|b|cos θ；规定0与任意向量的数量积为0.如果a·b <0，则角θ一定为钝角．( )5. 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数；若a ＝0，且b ≠0时，则a ＋b i 为纯虚数．( )6. 点P 1(x 1，y 1)和点P 2(x 2，y 2)位于直线Ax ＋By ＋C ＝0的两侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )·(Ax 2＋By 2＋C )<0.( )7. 若x ＋y ＝s (定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值s 24；若xy ＝P (定值)，那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .( )8. 归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．( )9. 否命题是对原命题的条件和结论同时否定，命题的否定仅仅否定原命题的结论(而条件不变)．( )10. 设θ是a 与b 的夹角，则|a|cos θ叫做a 在b 的方向上的投影，|b|cos θ叫做b 在a 的方向上的投影．b 在a 的方向上的投影是一个实数，而不是向量．( )[答案] 1.√ 2.√ 3.√ 4. 5.√ 6.√ 7. 8.√ 9.√ 10.√第4题，忽视向量a ，b 方向相反情形；第7题，用基本不等式求最值必须满足x ，y 均为正数，订正如下：订正4 设非零向量a ，b ，且〈a ，b 〉＝θ，则a 与b 的数量积为|a||b|cos θ；规定0与任意向量的数量积为0.若a·b <0，则θ是钝角或θ＝π(即向量a ，b 的方向相反)．订正7 若x ＋y ＝s (定值)，x >0，y >0，那么当x ＝y 时，xy 有最大值s 24；若xy ＝P (定值)，x >0，y >0，那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .二、考前必会的性质、定理在下面8个小题中，有2个表述不正确，请在题后用“√”或“”判定，并改正过来．1. 交集的补集等于补集的并集，即∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )；并集的补集等于补集的交集，即∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．( )2. 若p ⇒q ，且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件，綈q 是綈p 的充分不必要条件．( )3. 向量P A →，PB →，PC →中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得P A →＝αPB →＋βPC →且α＋β＝1.( )4. 若a ≠0，则a·b ＝0⇔b ＝0.( )5. 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面内的点Z (a ，b )与复平面向量OZ →＝(a ，b )一一对应．( )6. 若ac 2>bc 2，则a >b ；若1a <1b，则a >b .( ) 7. 当a ，b 大于0时，不等式2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22成立(当且仅当a ＝b 时，取等号)．( )8. 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.( ) [答案] 1.√ 2.√ 3.√ 4.5.√6.7.√ 8．√第4题，非零向量垂直，数量积为0；第6题，没注意字母的符号．订正4 若a ≠0，则a·b ＝0⇒b ＝0或a ⊥b.订正6 若ac 2>bc 2，则a >b ；若1a <1b，则b >0>a ，或a >b 且ab >0. [查缺补漏]易混、易错、易忘问题大盘点1. 考生不能正确理解集合中代表元素所表示的意义，数集与点集混淆、函数的定义域与值域混淆、图形集与点集混淆等．如{x |y ＝x 2－2x ＋3}与{y |y ＝x 2－2x ＋3}以及{(x ，y )|y ＝x 2－2x ＋3}分别表示函数y ＝x 2－2x ＋3的定义域、值域以及函数图象上的点集．2. 考生容易忽视两个集合基本运算中端点值的取舍导致增解或漏解，求解集合的补集时由于错误否定条件导致错解．如已知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1x >0，误把集合A 的补集写为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x ≤0导致漏解；集合运算时，切莫遗漏空集．3. 考生易混淆充要条件的判断中“甲是乙的什么条件”与“甲的一个什么条件是乙”．4. 考生易混淆向量共线(平行)与直线平行．向量共线(平行)是指两向量所在的直线平行或重合，但两直线平行时一定不会重合．5. 考生要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a＝0；但不说0与任意非零向量垂直．6. 考生易误认为向量数量积的运算律与实数相同，实际上在一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)；a·b＝0时未必有a＝0或b＝0.7. 复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要解题途径，往往易忽视题目中给出的条件，导致错误．两复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可比较大小．8. 解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论，导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0两种情况进行讨论．9. 考生应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f(x)g(x)≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.10. 容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝x2＋2＋1x2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y＝x＋3x(x<0)时应先转化为正数再求解．11. 求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y－2x＋2是指已知区域内的点(x，y)与点(－2,2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1,1)的距离的平方等．12. 类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比．用数学归纳法证明时，易盲目认为n0的起始取值n0＝1，另外注意证明传递性时，必须用n＝k成立的归纳假设．13. 在循环体结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果．二、函数与导数[基础快判]一、考前必记的数学概念、公式在下面9个小题中，有3个表述不正确，请在题后用“√”或“”判定，并改正过来．1. 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数．()2. 指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)；对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,0)．()3. 设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则函数f(x)在区间D上是增函数．如果对于任意的x∈I，都有f (x )≤M ，则称M 是函数y ＝f (x )的最大值．( )4. a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，a ≠1)是解决“指数、对数”运算问题的关键．( )5. 函数y ＝f (x )的零点是方程f (x )＝0的实数根，所以方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．( )6. 几个重要的求导公式：(x n )′＝nx n －1(n ∈N *)，(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝sin x ，(a x )′＝a x ln a ，(log a x )′＝ln a x(a >0，a ≠1)．( ) 7. 如果函数f (x )，g (x )是可导函数，则[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．( ) 8. 在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内单调递减．( )9. 函数f (x )在x 0处有f ′(x 0)＝0，且在点x ＝x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)叫函数y ＝f (x )的极大值；若在点x ＝x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)叫做函数y ＝f (x )的极小值，函数的极大值可能会小于函数的极小值．( )[答案] 1.√ 2.√ 3. 4.√ 5.√ 6. 7.√8．√ 9.第3题，第9题没有理解函数最值和极大(小)值的概念；第6题，记错y ＝cos x ，y ＝log a x 的求导公式．订正3 设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，则函数f (x )在区间D 上是增函数．如果对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ，且存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ，则M 是函数y ＝f (x )的最大值．订正6 几个重要的求导公式：(x n )＝nx n －1(n ∈N *)，(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x ，(a x )′＝a x ln a ，(log a x )′＝1x ln a(a >0，a ≠1)．订正9 函数f (x )在x 0处有f ′(x 0)＝0，且在点x ＝x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)叫函数y ＝f (x )的极小值；若在点x ＝x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)叫做函数y ＝f (x )的极大值．函数的极大值可能会小于函数的极小值．二、考前必会的性质、定理在下面10个小题中，有3个表述不正确，请在题后用“√”或“”判定，并改正过来．1. 函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a (a ∈R )的交点可能是0个、1个或2个．( )2. f (x )为奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称，f (x )为偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称．存在既是奇函数又是偶函数的函数：f (x )＝0.( )3. 奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．()4. 若满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，T＝2a；若满足f(x＋a)＝1f(x)，则f(x)是周期函数，T＝2a(a≠0，a为常数)．()5. 若f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于x＝a对称；如果f(x)满足f(x)＝－f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于点(a,0)对称．()6. 函数y＝a x与y＝log a x(a>0，a≠1)的图象关于直线y＝x对称，且两函数在各自定义域上具有相同的单调性．()7. 函数零点的存在性：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上，有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点．()8. f′(x0)是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线斜率，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x －x0)．()9. f′(x)≥0是可导函数f(x)在x∈(a，b)内是增函数的充要条件；f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要条件．()10. 判断极值时，需检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值．()[答案] 1. 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√7.8．√9.10.√第1题，不符合函数定义；第7题，不满足零点存在定理的条件；第9题，错误理解函数单调性与导数的关系．订正1函数y＝f(x)的图象与直线x＝a(a∈R)的交点可能是0个或1个，即最多有一个交点．订正7函数零点的存在性：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点．订正9可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数的充要条件是：对于任意x∈(a，b)，有f′(x)≥0, 且f′(x)在区间(a，b)的任意子区间上都不恒为零．[查缺补漏]易混、易错、易忘问题大盘点1. 函数的定义域与值域都是非空数集．求函数相关问题易忽略“定义域优先”原则或求错函数的定义域．如求f(x)＝ln(x2－3x＋2)的单调区间，只考虑t＝x2－3x＋2与函数y＝ln t的单调性，忽视t >0的限制条件；求函数f (x )＝1x ln x的定义域时，只考虑到x >0，x ≠0，而忽视ln x ≠0的限制．2. 考生应注意函数奇偶性的定义，易忽视函数定义域关于坐标原点对称的限制条件；求函数的单调区间，易盲目在多个单调区间之间添加符号“∪”．3. 不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的单调性忽视字母a 的取值讨论，忽视a x >0；对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)忽视真数与底数的限制条件．4. 考生易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．5. 不能准确记忆基本初等函数的图象，不能准确利用函数图象平移、伸缩变换得到所需函数的图象，如画出函数f (x )＝lg(1－x )的图象时，不能通过对y ＝lg x 的图象正确进行变换得到．6. 不能准确把握常见的函数模型，导致函数建模出错，易忽视函数实际应用中的定义域等；遗漏运算结果后面的单位与最后题目的结论(答案)．7. 不能准确理解导函数的几何意义，易忽视切点(x 0，f (x 0))既在切线上，又在函数图象上，导致某些求函数的问题不能正确解出．8. 考生易错记基本初等函数的导数以及错用函数求导法则，导致错求函数的导数．9. 考生易混淆函数的极值与最值的概念，错以为f ′(x 0)＝0是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件．10. 考生易混淆求函数的单调区间与已知函数的单调区间求参数的取值范围两类问题，求解函数的单调区间直接转化为f ′(x )>0或f ′(x )<0的解集；而已知函数在区间M 上单调递增(减)，则要转化为f ′(x )≥0或f ′(x )≤0的恒成立问题．三、三角函数、三角变换与解三角形[基础快判]一、考前必记的数学概念、公式在下面7个小题中，有2个表述不正确，请在题后用“√”或“”判定，并改正过来．1. 三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0)．( ) 2. 同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .( ) 3. 三角函数的诱导公式可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”．这里的“奇、偶”指的是π2的倍数的奇偶；“变与不变”指的是三角函数的名称变化；“符号看象限”的含义是：把α看作锐角时，n π2±α所在象限的相应三角函数值的符号．( )4. y ＝sin x 与y ＝cos x 是有界函数，它们的值域都是[－1,1]．正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形也是轴对称图形；正切曲线的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )，没有对称轴．( )5. 两角和(差)的正弦、余弦公式：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.两角差的正切变形公式：tan α－tan β＝tan(α－β)·(1＋tan αtan β)．( )6. 二倍角余弦变形公式：2cos 2α＝1－cos 2α，2sin 2α＝1＋cos 2α，cos 2α＝sin 2α－cos 2α.( )7. 在△ABC 中，A <B ⇔sin A <sin B ；A <B ⇔cos A >cos B ．( )[答案] 1.√ 2.√ 3.√ 4. 5.√ 6. 7.√第4题，盲目类比，记错正切曲线的对称中心；第6题，混淆二倍角余弦的变形公式．订正4 y ＝sin x 与y ＝cos x 是有界函数，它们的值域都是[－1,1]．正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形也是轴对称图形；正切曲线的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )，没有对称轴．订正6 二倍角余弦变形公式：2cos 2α＝1＋cos 2α，2sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α.二、考前必会的性质、定理在下面7个小题中，有2个表述不正确，请在题后用“√”或“”判定，并改正过来．1. 函数f (x )＝sin(x ＋φ)是偶函数，则φ＝k π＋π2，k ∈Z ；函数g (x )＝cos(x ＋φ)是偶函数，则φ＝k π，k ∈Z .( )2. 函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的最小正周期是T ＝2πω；y ＝|sin x |与y ＝sin|x |的最小正周期是T ＝π.( )3. 函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 内都是增函数，且函数的值域是R .( ) 4. 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π4，2k π＋34π，k ∈Z .( ) 5. 将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得到函数y ＝cos 2x 的图象，则函数f (x )的解析式是f (x )＝sin 2x .( )6. 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ．( )7. 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．( )[答案] 1.√ 2. 3.√ 4. 5.√ 6.√ 7.√第2题，误认为y ＝sin|x |是周期函数；第4题，错求为函数的单调减区间．订正2 函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的最小正周期是T ＝2πω；y ＝|sin x |的最小正周期T ＝π；但函数y ＝sin|x |不是周期函数．订正4 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－sin x －π4的单调增区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋34π，2k π＋74π(k ∈Z )． [查缺补漏]易混、易错、易忘问题大盘点1. 考生应注意角的集合的表示形式不是唯一的，如终边在y 轴的负半轴上的角的集合可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝2k π－π2，k ∈Z ，也可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋3π2，k ∈Z . 2. 解三角形问题时，易忽视正切函数的定义域，正弦函数、余弦函数的有界性．3. 考生应注意所有周期函数不一定都有最小正周期，例如，常数函数就不存在最小正周期．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期时，如果没有ω>0的限制条件，则其最小正周期是2π|ω|；求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期时，如果没有ω>0的限制条件，则其最小正周期是π|ω|. 4. 考生易混淆y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换顺序，不清楚x 轴上的变换都是对自变量而言的，要看自变量的变化，而不是看ω，φ的变化．5. y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，对称中心为(k π，0)，(k ∈Z )；y ＝cos x 的对称轴为x ＝k π(k ∈Z )，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )；y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )(注：以上都要加条件k ∈Z )而不是(k π，0)(k ∈Z )．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)来说，对称中心对应于零点，对称轴与最值点对应．6. 三角变形中，常忽视常数“1”的代换，如1＝sin 2x ＋cos 2x ＝tan π4＝sin π2＝cos 0＝…. 7. 你还记得三角化简的通性通法吗？(从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧：切化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角．异角化同角，异名化同名，高次化低次)．8. 利用辅助角公式y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，将函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，注意，这个化简过程中，有一个易错点，就是其中的“φ”经常求错．9. 对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦较好． 10. 运用正弦定理，易忽视a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)的形式；解三角形时，易忽视隐含条件导致错误．四、数列[基础快判]一、考前必记的数学概念、公式在下面8个小题中，有2个表述不正确，请在题后用“√”或“”判定，并改正过来．1. 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列．( )2. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n ，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.( ) 3. 如果数列{a n }中，a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ≥2)，则数列{a n }是等比数列．( ) 4. 若等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d .( ) 5. 若等比数列{b n }的公比为q ，则b n ＝b 1q n －1，S n ＝b 1(1－q n )1－q.( ) 6. “数列{a n }为常数列”是“{a n }既成等差数列又成等比数列”的必要不充分条件．( )7. 若a n ＋1－a n ＝f (n )，则累加法求a n ＝f (n －1)＋f (n －2)＋…＋f (1)＋a 1(n ≥2)；若a n ＋1a n＝f (n )，则累乘法求a n ＝f (n －1)·f (n －2)·…·f (1)·a 1(n ≥2)．( )8. 如果数列{a n }的通项a n ＝1n (n ＋1)，由裂项相消法可求前n 项和S n ＝n n ＋1.( )[答案] 1.√ 2.√ 3. 4.√ 5. 6.√ 7.√8．√第3题，不能保证a 2a 1＝q ；第5题，当q ≠1时，S n ＝b 1(1－q n )1－q才成立．订正3 如果数列{a n }中，a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．订正5 若等比数列{b n }的公比为q ，则b n ＝b 1q n －1；当q ＝1时，S n ＝n ·b 1，当q ≠1时，S n ＝b 1(1－q n )1－q. 二、考前必会的性质、定理在下面7个小题中，有2个表述不正确，请在题后用“√”或“”判定，并改正过来．1. 数列{a n }是等差数列⇔2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)；数列{a n }是等比数列⇔a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)．( )2. 在等差数列{a n }中，a n ＝a m ＋(n －m )d ；若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .( )3. 在等比数列{b n }中，b n ＝b m ·q n －m ；若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q .( )4. 若{a n }是等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列；若{a n }是等比数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．( )5. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，则{a n }为等差数列的充要条件是S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．( )6. 如果数列{a n }成等比数列，且a n >0，那么数列{log a a n }(a >0，且a ≠1)必成等差数列．( )7. 若{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么数列{a n ·b n }的前n 项和，常用“错位相减法”，将其和转化为“一个新的等比数列的和”求解．( )[答案] 1. 2.√ 3.√ 4. 5.√ 6.√ 7.√第1题，当a n ·a n ＋2≠0时，数列{a n }是等比数列⇔a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2；第4题，若{a n }是等比数列，当S n ≠0时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 才成等比数列．订正1 数列{a n }是等差数列⇔2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)；数列{a n }是等比数列⇔a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2≠0(n ∈N *)．订正4 若{a n }是等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列；若{a n }是等比数列，且S n ≠0时，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．[查缺补漏]易混、易错、易忘问题大盘点1. 已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示，事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2. 易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3. 等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a n b n时，无法正确赋值求解． 4. 易忽视等比数列中公比q ≠0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5. 运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论；一定分q ＝1或q ≠1两种情况进行讨论．6. 对于通项公式中含有(－1)n 的一类数列，在求S n 时，切莫忘记讨论n 的奇偶性；遇到已知a n ＋1－a n －1＝d 或a n ＋1a n －1＝q (n ≥2)，求{a n }的通项公式，要注意分n 的奇偶性讨论． 7. 数列相关问题中，切忌忽视公式中n 的取值范围，混淆数列的单调性与函数的单调性．如数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋2n ，求最小值，既要考虑函数f (x )＝x ＋2x(x >0)的单调性，又要注意n 的取值限制条件．8. 求等差数列{a n }前n 项和S n 的最值，易混淆取得最大或最小值的条件．五、立体几何(学生用书对应页码P108)[基础快判]一、考前必记的数学概念、公式在下面7个小题中，有2个表述不正确，请在题后用“√”或“”判定，并改正过来．1. 正棱台的侧面积公式S 侧＝12(c ′＋c )h ′(其中c ′，c 分别为上、下底面周长，h ′为斜高)中，当c ′＝0时，表示正棱锥的侧面积公式；当c ′＝c 时，表示直棱柱的侧面积公式．( )2. 锥体的体积V 锥＝13Sh (S 为底面积，h 是锥体的高)，球的体积V 球＝43πR 3，球的表面积S 球＝4πR 2.( )3. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，直线和平面所成的角的范围0°≤α≤90°.( )4. 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高．( )5. 如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面一定平行．( )6. 一直线在两平行平面外，且与其中一平面平行，则这条直线与另一平面平行．( )7. 一直线垂直于平面α内的无数条直线，则该直线垂直于平面α.( )[答案] 1.√ 2.√ 3.√ 4.√ 5. 6.√ 7.第5题，两个平面平行或相交；第7题，平面α内的无数条直线可能为平行直线．订正5 如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则两平面相交或平行．(或如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则两平面平行)订正7 一直线垂直于平面α内的两条相交直线，则该直线垂直于平面α.二、考前必会的性质、定理在下面7个小题中，有2个表述不正确，请在题后用“√”或“”判定，并改正过来．1. 三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，是指“正视图与侧视图一样高，正视图与俯视图一样长，侧视图与俯视图一样宽”．( )2. 棱长为a 的正四面体的高h ＝63a ，体积V ＝212a 3.( ) 3. 如果两条直线a ，b 不同在平面α内，则a ，b 是异面直线．( )4. 直线与平面平行的性质定理：若a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ，则a ∥b .( )5. 如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．( )6. 若直线a 垂直于平面α内无数条直线，则a ⊥α.( )7. 若α∥β，α∥γ，则β∥γ；若直线a ⊥α，直线a ⊥β，则α∥β.( )[答案] 1.√ 2.√ 3. 4.√ 5.√ 6. 7.√第3题，直线a ，b 相交，平行或异面；第6题，a ∥α，a ⊂α或a 与α相交．订正3 如果两条直线a ，b 不同在任意一个平面内，则a ，b 是异面直线．订正6 若直线a 垂直于平面α内两条相交直线，则a ⊥α.[查缺补漏]易混、易错、易忘问题大盘点1. 弄错几何体的形状、数量特征与三视图的关系，尤其是分不清侧视图中的数据与几何体中的数据之间的对应．2. 混淆“点A 在直线a 上”与“直线a 在平面α内”的数学符号关系，应表示为A ∈a ，a ⊂α.3. 考生易混淆球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a 的正方体的外接球，内切球，棱切球的半径应分别为32a ，a 2，22a . 4. 考生易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数13. 5. 考生易把平面几何中的相关结论误当做空间中的结论直接利用，如平面内垂直于同一条直线的两条直线相互平行，这个结论在空间中是不成立的．6. 考生不清楚空间线面平行与垂直关系中的判断和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，易误得出m ⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m ⊂α的限制条件．7. 求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，若所求的角为90°时，不要忘了可证明垂直求空间角．六、解析几何[基础快判]一、考前必记的数学概念、公式在下面13个小题中，有3个表述不正确，请在题后用“√”或“”判定，并改正过来．1. 直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)；点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.( ) 2．直线的点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)，表示直线过点P (x 0，y 0)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行y 轴的直线．( )3. 直线在坐标轴上的“截距”不是“距离”，截距可正，可负，也可为0.( )4. 直线的截距式方程x a ＋y b＝1(ab ≠0)不包括坐标轴，平行于坐标轴和过原点的直线；若一条直线在两坐标轴上的截距相等，则方程可设为x a ＋y a＝1.( ) 5. 圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的圆心为(a ，b )，半径为r ；二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的一般方程的充要条件是D 2＋E 2－4F >0.( )6. 直线与圆相交时，圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，且直线被圆截得的弦长l ＝2r 2－d 2.( )7. 两圆相交时，公共弦所在直线方程可由两圆方程相减消去二次项得到；xx 0＋y 0y ＝r 2表示过圆x 2＋y 2＝r 2上一点(x 0，y 0)的切线．( )8. 平面内到两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．若焦点在x 轴上，其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)；若焦点在y 轴上，其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．( )9. 平面内满足||PF 1|－|PF 2||＝2a (0<2a ≤|F 1F 2|)的点P 的轨迹是双曲线．若焦点在x 轴上，其方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)；若焦点在y 轴上，其方程是y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 10. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b ax ，且焦点到渐近线的距离等于b .( )11. 在椭圆与双曲线的标准方程中，离心率e ＝c a，且a ，b ，c 满足c 2＝a 2＋b 2.( ) 12. 焦点在x 轴的正半轴上的抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，其焦点为F (p 2，0)，准线方程x ＝－p 2.( ) 13. 过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则(1)焦半径|CF |＝x 1＋p 2；(2)弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；(3)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.( )[答案] 1.√ 2.√ 3.√ 4. 5.√ 6.√ 7.√8．√ 9. 10.√ 11. 12.√ 13.√第4题，忽视截距a ＝0的情形，此时直线方程为y ＝kx ，直线在两条坐标轴上的截距都是0；第9题，若2a ＝|F 1F 2|时，方程表示的是一条射线；第11题，椭圆方程中a ，b ，c 的关系是a 2＝b 2＋c 2.订正4 直线的截距式方程x a ＋y b＝1(ab ≠0)不包括坐标轴，平行于坐标轴和过原点的直线；若一条直线在两坐标轴上的截距相等，则方程可设为x a ＋y a＝1(a ≠0)或y ＝kx .订正9 平面内满足||PF 1|－|PF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|)的点P 的轨迹是双曲线．若焦点在x轴上，其方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)；若焦点在y 轴上，其方程是y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．订正11 在椭圆的标准方程中，a 2＝b 2＋c 2；在双曲线的标准方程中c 2＝a 2＋b 2.但二者的离心率均是e ＝c a. 二、考前必会的性质、定理在下面10个小题中，有2个表述不正确，请在题后用“√”或“”判定，并改正过来．1. 设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，A 2，B 2全不为0)．则l 1与l 2相交⇔A 1A 2≠B 1B 2，l 1∥l 2⇔A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，l 1与l 2重合⇔A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2.( ) 2．设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 21＋B 21≠0，且A 22＋B 22≠0)，则l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )3．设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，则与l 平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )；与l 垂直的直线方程可设为Bx ＋Ay ＋n ＝0.( )4. 直线与圆的位置关系主要有两种判定方法：(1)代数法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)；(2)几何法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)．( )5. 经过已知两点的椭圆标准方程可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )的形式；经过已知两点的双曲线标准方程可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)的形式．( )6. 在椭圆中，椭圆的中心，焦点与短轴端点构成直角三角形．( )7. 直线与椭圆、双曲线、抛物线相交时，都有两个交点．( )8. 以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线的焦点弦为直径的圆，必与准线相切．( )9. 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是二次曲线C ：F (x ，y )＝0的弦的两个端点，则F (x 1，y 1)＝0且F (x 2，y 2)＝0.涉及弦的中点和斜率时，常用点差法(由F (x 1，y 1)－F (x 2，y 2)＝0)求得弦AB 的中点坐标与弦AB 的斜率的关系．( )10. 曲线F (x ，y )＝0关于点P (x 0，y 0)成中心对称的曲线是F (2x 0－x,2y 0－y )＝0；曲线F (x ，y )＝0关于直线Ax ＋By ＋C ＝0成轴对称的曲线是F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2A (Ax ＋By ＋C )A 2＋B 2，y －2B (Ax ＋By ＋C )A 2＋B 2＝0.( )[答案] 1.√ 2.√ 3. 4.√ 5.√ 6.√ 7.8．√ 9.√ 10.√第3题，与l 垂直的直线方程应设为Bx －Ay ＋n ＝0的形式；第7题，当直线与双曲线的渐近线平行时，有一个交点，当直线是抛物线的对称轴或与对称轴平行时，直线与抛物线有一个交点．。

2015高考临考前精编模拟卷数学理试题_Word版含答案

2015广东高考数学考前精编卷（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B 铅笔将准考证号涂黑.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}40 <<∈=x N x A 的子集个数为（）A ． 3B ．4C ．7D ．82．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且7759,b a b b =则=（）A ．2B ．4C ．8D ．163．已知向量a ()32, 0-=，b ()3, 1=，则向量a 在b 上的投影为（）A ．3-B ．3-C ．3D ．34．设)2,0(πα∈,)2,0(πβ∈，且ββαcos sin 1tan +=，则A 23πβα=- B 23πβα=+ C 22πβα=-D 22πβα=+5．已知双曲线)0, 0( 12222>>=-b a by a x 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍倍，则其渐近线方程为（）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．034=±y xD ．043=±y x6．在△ABC 中,54sin =A ,6=∙AC AB ,则△ABC 的面积为（）.A ．3B ．125C ．6D ．47．函数)1,0(log 1)(≠>+=a a x x f a 的图像恒过定点A ，若点A 在直线02=-+ny mx 上，其中,0>mn 则13m n+的最小值为( )C.28．522)11)(2(-+xx 的展开式的常数项是 A ．2 B ．3 C ．-2 D ． -3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9．不等式112<-x 的解集为 .10．已知等差数列{}n a 满足1243=+a a ，523a a =，则=6a .11．将编号为1, 2, 3, 4, 5的五个球放入编号为1, 2, 3, 4, 5的一个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为 .12．在△ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，若C c b B A b a s i n )()s i n )(s i n (+=-+，则A ＝ .13．已知{}21 ),( ≤≤+=y x y x A ，{}02 ),( =-+=a y x y x B ，若ΦB A ≠ ，则实数a 的最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（极坐标与参数方程选讲）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==t y tx 4（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标为)4sin(24πθρ+=，则直线l和曲线C 的公共点有个. 15．（几何选讲）如图1，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，A B图1且AD＝2BD，E为AD的中点，连接CE并延长交圆O于F，若2=CD，则EF＝.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知向量m,1)4x=，n2(cos,cos)44x x=，函数()f x=m·n．（1）若()1f x=，求2cos()3xπ-的值；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是,,a b c，且满足1cos2a C c b+=，求(2)f B的取值范围．17. （本小题满分12分）从某企业的某种产品中随机抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这500件产品中质量指标值落在区间[)205,185内的产品件数；（2）以这500件产品的样本数据来估计总体数据，若从该企业的所有该产品中任取2件，记产品质量指标值落在区间[]235,215内的件数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列.18．（本小题满分14分）如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC，且使这两个三角形所在的平面互相垂直，︒=∠=∠90CBDBAC，AB AC=，︒=∠30BCD，BC=6.A19．（本小题满分14分）已知在数列{}n a 中，13a =，()111n n n a na ++-=，n N *∈.（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设数列1(1)n n a a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为nT ，证明：13n T <.20．（本小题满分14分）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右顶点为A ，右焦点为F ,右准线与x 轴交于点B ，且与一条渐近线交于点C ，点O 为坐标原点，又2,2=∙=OC OA OB OA . 过点F 的直线与双曲线右支交于点N M ,，点P 为点M 关于x 轴的对称点. （1）求双曲线的方程；（2）证明：N P B ,,三点共线；（3）求BMN ∆面积的最小值.21．（本小题满分14分）已知函数xkxx x f +-+=1)1ln()(，k R ∈. （1）讨论)(x f 的单调区间；（2）当1k =时，求)(x f 在[0,)+∞上的最小值，并证明()1111ln 12341n n ++++<++.2015广东高考数学考前精编卷（理科）参考答案选择题：D D AC C D A B一、填空题：9．（0, 1）； 10．11； 11．20； 12．32π； 13．5；14．1；15：332 三、解答题：16、解：212cos 212sin 234cos 4cos 4sin 3)(2++=+=x x x x x x f(1)若,1)(=x f 可得21)62sin(=+πx 则211621sin 21)231(cos 232cos 22-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=⎪⎭⎫⎝⎛-πππx x x ，（2）由b c C a =+21cos 可得：b c ab c b a a=+-+212222 即bc a c b =-+222所以212cos 222=-+=bc a c b A ππ32,3=+=∴C B AECBD AF又,B C 均为锐角 (,)62B ππ∴∈ sin()(62B π∴+∈∴1(2)sin()62f B B π=++的取值范围是：13(,]2217. 解：（1）产品质量指标值落在区间[)205,185内的频率为（0.022+0.033）×10=0.55 ∴质量指标值落在区间[)205,185内的产品件数为0.55×500=275 …………………4分（2）根据样本频率分布直方图，每件产品质量指标值落在区间[]235,215错误！未找到引用源。

2015届高考理科数学第一轮知识点复习方案测试题58

课时作业(十二)[第12讲函数模型及其应用](时间：30分钟分值：80分)1．某种细胞每15分钟分裂一次(1→2)，这种细胞由1个分裂成4096个需经过()A．12小时B．4小时C．3小时D．2小时2．某沙漠地区的某时段气温与时间的函数关系是f(t)＝－t2＋24t －101(4≤t≤18)，则该沙漠地区在该时段的最大温差是() A．54℃B．58℃C．64℃D．68℃3．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为() A．800米B．900米C．1000米D．1200米4．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x(km)表示为时间t(h)的函数表达式是________．5．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y ＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0，240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为() A．100台B．120台C．150台D．180台6．将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．若此商品销售单价每个再涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为()A．12元B．13元C．14元D．15元7．某种电热水器的水箱的最大容积是200升，加热到一定温度可以浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现在假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供() A．3人洗澡B．4人洗澡C．5人洗澡D．6人洗澡8．将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a 8，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．109．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，则这个人的稿费为________元．10．一个工厂生产某种产品，每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)11．[2013·北京房山区一模] 某商品在最近100天内的销售单价f (t )与时间t 的函数关系是f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 4＋22（0≤t <40，t ∈N ），－t 2＋52（40≤t ≤100，t ∈N ），日销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t 3＋1093(0≤t ≤100，t ∈N )，则这种商品的日销售额的最大值为________．12．(13分)[2013·蚌埠一检] 经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2012年生产该产品的固定投入为8万元，每多生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2012年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2012年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？13．(12分)[2013·东莞一调] 某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一些次品，根据经验知道，次品数P (万件)与日产量x (万件)之间满足关系：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 26（1≤x <4），x ＋3x －2512（x ≥4）.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润T (万元)表示为日产量x (万件)的函数；(2)当工厂将这种仪器元件的日产量x 定为多少时，获得的利润最大，最大利润为多少？课时作业(十二)1．C 2.C 3.A4.x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5<t ≤3.5，150－50（t －3.5），3.5<t ≤6.5 5．C 6.C 7.B 8.D 9.380010．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，x ∈N *，160－x ，x >20，x ∈N* 16 11．808.5 12.(1)y ＝28－16m ＋1－m (m ≥0) (2)3万元 13．(1)T ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 22，1≤x <4，－x －9x ＋254，x ≥4.(2)当日产量定为2万件时，工厂可获得最大利润2万元．薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

2015届高考理科数学第一轮总复习教案61

学案19 三角函数的图象与性质导学目标： 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．自主梳理1．三角函数的图象和性质当x ＝____________________________________时，取最大值1；当x ＝____________________________________时，取最小值－1.3．余弦函数y ＝cos x当x ＝__________________________时，取最大值1；当x ＝__________________________时，取最小值－1. 4．y ＝sin x 、y ＝cos x 、y ＝tan x 的对称中心分别为____________、___________、______________.5．y ＝sin x 、y ＝cos x 的对称轴分别为______________和____________，y ＝tan x 没有对称轴．自我检测 1．(2010·十堰月考)函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．42．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是( )A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π123．(2010·湖北)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 4．(2010·北京海淀高三上学期期中考试)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x 的最小正周期为 ( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π5．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( )A.π6B.π4C.π3D.π2探究点一求三角函数的定义域例1 (2011·衡水月考)求函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域．变式迁移1 函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域为________________________．探究点二三角函数的单调性例2 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调区间．变式迁移2 (2011·南平月考)(1)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间；(2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的周期及单调区间．探究点三三角函数的值域与最值例3 已知函数f (x )＝2a sin(2x －π3)＋b 的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．变式迁移3 设函数f (x )＝a cos x ＋b 的最大值是1，最小值是－3，试确定g (x )＝b sin(ax ＋π3)的周期．转化与化归思想的应用例 (12分)求下列函数的值域： (1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2；(2)y ＝3cos x －3sin x ，x ∈[0，π2]； (3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x . 【答题模板】解 (1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2＝2cos 2x ＋2cos x＝2(cos x ＋12)2－12，cos x ∈[－1,1]．当cos x ＝1时，y max ＝4，当cos x ＝－12时，y min ＝－12，故函数值域为[－12，4]．[4分](2)y ＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π6)∵x ∈[0，π2]，∴π6≤x ＋π6≤2π3，∵y ＝cos x 在[π6，2π3]上单调递减，∴－12≤cos(x ＋π6)≤32∴－3≤y ≤3，故函数值域为[－3，3]．[8分](3)令t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12，且|t |≤ 2.∴y ＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，∴当t ＝－1时，y min ＝－1；当t ＝2时，y max ＝12＋ 2.∴函数值域为[－1，12＋2]．[12分] 【突破思维障碍】1．对于形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]的函数在求值域时，需先确定ωx ＋φ的范围，再求值域．同时，对于形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋c 的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，从而求得函数的最值．2．关于y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c (或y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c )型或可以为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．提醒：不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域．1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组)．2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间来求．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·黄山月考)已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是 ( )A.π3B.2π3 C ．π D.4π3 2．(2010·安徽6校高三联考)已知函数y ＝tan ωx (ω>0)与直线y ＝a 相交于A 、B 两点，且|AB |最小值为π，则函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx 的单调增区间是 ( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6 (k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3 (k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6 (k ∈Z ) 3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.π44．函数y ＝－x cos x 的部分图象是图中 ( )5．(2011·三明模拟)若函数y ＝sin x ＋f (x )在[－π4，3π4]上单调递增，则函数f (x )可以是( )A ．1B ．cos x6．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P到图象C 的对称轴的距离的最小值是π8，则f (x )的最小正周期是________．7．函数f (x )＝2sin x4对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．8．(2010·江苏)定义在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y＝5tan x 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·厦门月考)已知函数f (x )＝2cos 4x －3cos 2x ＋1cos 2x ，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性．10．(12分)(2010·福建改编)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)＋a (ω>0)与g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．11．(14分)(2010·安徽合肥高三二模)已知向量a ＝(sin x ，23sin x )，b ＝(2cos x ，sin x )，定义f (x )＝a·b － 3.(1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间；(2)若函数y ＝f (x ＋θ) (0<θ<π2)为偶函数，求θ的值．答案自主梳理1．R R {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z } [－1,1] [－1,1] R 2π 2ππ 奇函数偶函数奇函数 [2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z ) [2k π＋π2，2k π＋32π](k ∈Z ) [2k π－π，2k π](k ∈Z ) [2k π，2k π＋π](k ∈Z ) (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )2．2k π＋π2(k ∈Z ) 2k π－π2(k ∈Z ) 3.2k π(k ∈Z ) 2k π＋π(k ∈Z )4.(k π，0)(k ∈Z ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z ) 5.x ＝k π＋π2(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z )自我检测1．C 2.D 3.D 4.D 5.A 课堂活动区例1 解题导引求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式(组)求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．解要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2 (k ∈Z )，得⎩⎨⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z ).所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <π2或π≤x ≤4.变式迁移1 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥02sin x －1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12sin x >12，解得⎩⎪⎨⎪⎧π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Zπ6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z ，即x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z .例2 解题导引求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反)．解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 可看作是由y ＝2sin u 与u ＝π4－x 复合而成的．又∵u ＝π4－x 为减函数，∴由2k π－π2≤u ≤2k π＋π2(k ∈Z )，即2k π－π2≤π4－x ≤2k π＋π2 (k ∈Z )，得－2k π－π4≤x ≤－2k π＋3π4 (k ∈Z )，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4(k ∈Z )为 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递减区间．由2k π＋π2≤u ≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，即2k π＋π2≤π4－x ≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，得－2k π－5π4≤x ≤－2k π－π4 (k ∈Z )，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z )为 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间．综上可知，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z )；递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4 (k ∈Z )．变式迁移2 解 (1)由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，得y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，∴－π≤x ≤－712π，－π12≤x ≤512π，1112π≤x ≤π.∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－712π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，512π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112π，π.(2)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的周期T ＝π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14＝4π.由y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4得y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6，由－π2＋k π<x 4－π6<π2＋k π得－43π＋4k π<x <83π＋4k π，k ∈Z ，∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π＋4k π，83π＋4k π (k ∈Z )．例3 解题导引解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最值，再由方程的思想解决问题．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin(2x －π3)≤1，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12－63b ＝－23＋123；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－5－3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.综上可知，a ＝12－63，b ＝－23＋12 3 或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3. 变式迁移3 解 ∵x ∈R ， ∴cos x ∈[－1,1]，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1－a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－1；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－3－a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1.所以g (x )＝－sin(2x ＋π3)或g (x )＝－sin(－2x ＋π3)，周期为π. 课后练习区1．A [画出函数y ＝sin x 的草图(图略)，分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π3]，故选A.]2．B [由题意知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，故f (x )＝3sin ωx －cos ωx＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的单调增区间满足： 2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2 (k ∈Z )解得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3.]3．A4．D5．D [因为y ＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，－π2≤x －π4≤π2，即－π4≤x ≤3π4，满足题意，所以函数f (x )可以是－cos x ．]6.π2解析依题意得T 4＝π8，所以最小正周期T ＝π2.7．4π解析由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)、f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，而当x 4＝2k π－π2，即x ＝8k π－2π (k ∈Z )时，f (x )取最小值；而x 4＝2k π＋π2，即x ＝8k π＋2π (k ∈Z )时，f (x )取最大值，∴|x 1－x 2|的最小值为4π.8.23解析线段P 1P 2的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos x ＝5tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，解得sin x ＝23.所以线段P 1P 2的长为23. 9．解由题意知cos 2x ≠0，得2x ≠k π＋π2，解得x ≠k π2＋π4 (k ∈Z )．∴f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π2＋π4，k ∈Z }．……………………………………………………………………………………………(3分)又f (x )＝2cos 4x －3cos 2x ＋1cos 2x＝(2cos 2x －1)(cos 2x －1)2cos 2x －1＝cos 2x －1＝－sin 2x ，……………………………………………………………………(6分)又∵定义域关于原点对称，∴f (x )是偶函数．…………………………………………………………………………(8分)显然－sin 2x ∈[－1,0]，又∵x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴－sin 2x ≠－12.∴原函数的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |－1≤y <－12或－12<y ≤0.……………………………………………………………(12分)10．解 (1)∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a (3分)∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.…………………………………………………………(4分)(2)当2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )时，函数f (x )单调递减，故函数f (x )的单调递减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．…………………………………………………………………(8分)(3)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]，…………………………………………………(10分)∴2sin(2·π2＋π6)＋a ＝－2，∴a ＝－1.………………………………………………………………………………(12分)11．解 f (x )＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋23·1－cos 2x 2－ 3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.………………………………………………………(4分) (1)令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . ……………………………………………………………………………………………(8分)(2)f (x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π3. 根据三角函数图象性质可知，y ＝f (x ＋θ) ⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2在x ＝0处取最值， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝±1， ∴2θ－π3＝k π＋π2，θ＝k π2＋5π12，k ∈Z .……………………………………………………(12分)又0<θ<π2，解得θ＝5π12.…………………………………………………………………(14分)。

2015届高考理科数学第一轮总复习教案7

第九章计数原理与概率、随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m ＋n种不同方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．1．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．2．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．[试一试]1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有()A．30 B．20C．10 D．6解析：选D从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．2．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有()A．30个B．42个C．36个D．35个解析：选C∵a＋b i为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．1．应用两种原理解题(1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3)有无特殊条件的限制；(4)检验是否有重漏．2．混合问题一般是先分类再分步，分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．[练一练]1．(2013·郑州模拟)在2012年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排．∴安排方式有4×3×2＝24(种)．第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．∴安排这8人的方式有24×120＝2 880(种)．答案：2 8802．(2014·湖南长郡中学、衡阳八中等十二校一联)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1、2、…、9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1、5、9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．解析：把区域分为三部分，第一部分1、5、9，有3种涂法．第二部分4、7、8，当5、7同色时，4、8各有2种涂法，共4种涂法；当5、7异色时，7有2种涂法，4、8均只有1种涂法，故第二部分共4＋2＝6种涂法．第三部分与第二部分一样，共6种涂法．由分步乘法计数原理，可得共有3×6×6＝108种涂法．答案：108分类加法计数原理()A．50个B．45个C．36个D．35个解析：选C利用分类加法计数原理：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．2．五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服．由于灯光暗淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有()A．30种B．31种C．35种D．40种解析：选B分类：第一类，两人拿对：2×C2 5＝20种；第二类，三人拿对：C3 5＝10种；第三类，四人拿对与五人拿对一样，所以有1种．故共有20＋10＋1＝31种．3．(2013·三门峡模拟)有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有()A．8种B．9种C．10种D．11种解析：选B设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理共有3＋3＋3＝9(种)．[类题通法]利用分类加法计数原理解题时应注意(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；(2)分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．分步乘法计数原理[典例](2014·本溪模拟)如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．[解析]先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．[答案]12[类题通法]利用分步乘法计数原理解决问题时应注意(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定．[针对训练]在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有()A．24种B．48种C．96种D．144种解析：选C第一步安排A有2种方法；第二步在剩余的5个位置选取相邻的两个排B，C，有4种排法，而B，C位置互换有2种方法；第三步安排剩余的3个程序，有A33种排法，共有2×4×2×A33＝96种．[典例](2014·黄冈质检)设集合I＝{1,2,3,4,5}．选择集合I的两个非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有()A．50种B．49种C．48种D．47种[解析]从5个元素中选出2个元素，小的给集合A，大的给集合B，有C25＝10种选择方法；从5个元素中选出3个元素，有C35＝10种选择方法，再把这3个元素从小到大排列，中间有2个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A，一边给集合B，方法种数是2，故此时有10×2＝20种选择方法；从5个元素中选出4个元素，有C45＝5种选择方法，从小到大排列，中间有3个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A，一边给集合B，方法种数是3，故此时有5×3＝15种选择方法；从5个元素中选出5个元素，有C55＝1种选择方法，同理隔开方法有4种，故此时有1×4＝4种选择方法．根据分类加法计数原理，总计为10＋20＋15＋4＝49种选择方法．故选B.[答案] B本例中条件若变为“A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}现从中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合”，则可以组成多少个集合？解：(1)选集合A，B，有C14C13＝12；(2)选集合A，C，有C14C12＝8；(3)选集合B，C，有C13C12＝6；故可以组成12＋8＋6＝26个集合．[类题通法]在解决综合问题时，可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求．分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系．[针对训练]上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C12C24种情况，若3人中没有甲企业的，则共有C34种情况，由分类加法计数原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有C12C24＋C34＝16(种)．答案：16第二节排列与组合1．排列与排列数(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A m n.2．组合与组合数(1)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C m n.3．排列数、组合数的公式及性质1．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．2．计算A m n时易错算为n(n－1)(n－2)…(n－m)．3．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．[试一试]1．电视台在直播2012伦敦奥运会时要连续插播5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连播．则不同的播放方式有()A．120B．48C．36 D．18解析：选C有C12C13A33＝36(种)．2．2010年上海世博会某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有________种．(用数字作答)解析：将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有A22A22A23＝24(种)不同的展出方案．答案：241．排列问题与组合问题的识别方法：当m＞n2时，通常将计算Cmn转化为计算C n－mn.二是列等式，由C x n＝C y n可得x＝y或x＋y＝n.性质(3)主要用于恒等变形简化运算．[练一练]1．(2013·河北教学质量监测)有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为() A．6 B．18C．20 D．24解析：选B由题意知，名次排列的种数为C13A33＝18.2．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种．(用数字作答)解析：先排甲、乙之外的3人，有A33种排法，然后将甲、乙两人插入形成的4个空中，有A24种排法，故共有A33·A24＝72(种)排法．答案：72排列问题1．数列{a n足上述条件的数列{a n}共有()A．30个B．31个C．60个D．61个解析：选A在数列的六项中，只要考虑两个非1的项的位置，即得不同数列，共有A26＝30个不同的数列．2．(2013·东北三校联考)在数字1,2,3与符号“＋”，“－”这五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列方法共有()A．6种B．12种C．18种D．24种解析：选B本题主要考查某些元素不相邻的问题，先排符号“＋”，“－”，有A22种排列方法，此时两个符号中间与两端共有3个空位，把数字1,2,3“插空”，有A33种排列方法，因此满足题目要求的排列方法共有A22A33＝12种．3．(2013·西安检测)8名游泳运动员参加男子100米的决赛，已知游泳池有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的8条泳道，若指定的3名运动员所在的泳道编号必须是3个连续数字(如：5,6,7)，则参加游泳的这8名运动员被安排泳道的方式共有()A．360种B．4 320种C．720种D．2 160种解析：选B法一：先从8个数字中取出3个连续的数字共有6种方法，将指定的3名运动员安排在这3个编号的泳道上，剩下的5名运动员安排在其他编号的5条泳道上，共有6A33A55＝4 320种安排方式．法二：先将所在的泳道编号是3个连续数字的3名运动员全排列，有A33种排法，然后把他们捆绑在一起当作一名运动员，再与剩余5名运动员全排列，有A66种排法，故共有A33A66＝4 320种安排方式．[类题通法]求解排列应用题的主要方法组合问题[典例](2013·重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．[解析]直接法分类，3名骨科，内科、脑外科各1名；3名脑外科，骨科、内科各1名；3名内科，骨科、脑外科各1名；内科、脑外科各2名，骨科1名；骨科、内科各2名，脑外科1名；骨科、脑外科各2名，内科1名．所以选派种数为C33·C14·C15＋C34·C13·C15＋C35·C13·C14＋C24·C25·C13＋C23·C25·C14＋C23·C24·C15＝590.[答案]590[类题通法]组合两类问题的解法(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．[针对训练](2013·四平质检)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有()A．70种B．80种C．100种D．140种解析：选A法一(间接法)：当选择的3名医生都是男医生或都是女医生时，共有C35＋C34＝14种组队方案．当从9名医生中选择3名医生时，共有C39＝84种组队方案，所以男、女医生都有的组队方案共有84－14＝70种．法二(直接法)：当小分队中有1名女医生时，有C14C25＝40种组队方案；当小分队中有2名女医生时，有C24C15＝30种组队方案，故共有70种不同的组队方案．分组分配问题分组分配问题是排列、组合问题的综合应用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配。

山东省济南第一中学2015届高三6月模拟测试理科综合试题缺答案

普通高等学校招生全国统一考试（山东卷)理科综合模拟测试本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分,共22页.满分300分.考试用时150分钟。

答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在试卷和答题卡规定的位置。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H：1 C：12 N：14 O:16 Na：23 S:32 Cl：35。

5 Cu：64第I卷(必做，共107分)注意事项:1．第I卷共20小题。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净以后，再选涂其他答案标号。

不涂在答题卡上,只答在试卷上不得分。

一、选择题(本题包括13小题，每小题5分,每小题只有一个选项符合题意)1．破伤风杆菌侵入人体深处的组织细胞后大量繁殖，并分泌毒素，危害人体健康。

下列叙述正确的是A．包扎伤口时要注意透气，以保证组织细胞的有氧呼吸B．该毒素的分泌需要利用高尔基体、线粒体等细胞器C．该菌大量繁殖的主要方式是无丝分裂D．该毒素的清除需要利用体液免疫产生的抗体的作用2．将小鼠myoD基因导入体外培养的未分化肌肉前体细胞，细胞分化及肌纤维形成过程如图所示，下列叙述正确的是A．myoD基因与肌肉细胞中的核酸相比，所含的碱基种类不同B．图中所示3种细胞所含的核DNA数目一定相同C．在受到电离辐射时,肌肉细胞比肌肉前体细胞更易癌变D．肌肉前体细胞能分化成肌肉细胞体现了细胞全能性3．取生长状态一致的燕麦胚芽鞘,分为a、b、c、d四组,将a、b两组胚芽鞘尖端下方的一段切除，再从c、d 两组胚芽鞘相同位置分别切除等长的一段，并按图中所示分别接入a、b两组被切除的位置，得到a′、b′两组胚芽鞘,然后用单侧光照射，发现a′胚芽鞘向光弯曲生长,b′组胚芽鞘无弯曲生长，原因是A．c组尖端能产生生长素，d组尖端不能B．a′胚芽尖端能合成生长素，b′组尖端不能C．c组尖端的生长素能向胚芽鞘基部运输,d组尖端的生长素不能D．a′胚芽尖端的生长素能向胚芽鞘基部运输，b′组尖端的生长素不能4．以下实验操作过程正确的是A．苏丹Ⅲ染液浸染花生子叶切片后，用清水洗去浮色，显微镜下可看到橘黄色颗粒B．观察紫色洋葱鳞片叶表皮细胞中的染色体最佳时期是有丝分裂中期C．判断红绿色盲的遗传方式，通过随机发放调查问卷简便易行D．调查土壤中小动物的丰富度，可以通过肉眼观察进行统计5．为控制野兔种群数量，澳洲引入一种主要由蚊子传播的兔病毒.引入初期强毒性病毒比例最高,兔被强毒性病毒感染后很快死亡，致兔种群数量大幅下降。