八年级数学下册第2章四边形2.6菱形2.6.1菱形的性质课件新版湘教版
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八年级数学下册 2.6.1 菱形的性质课件2 (新版)湘教版
§2.6.1
菱形的性质
菱形
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
1
情 景 创 设
前面我们学习了平行四边形和矩 形，知道了如果平行四边形有一个角 是直角时,成为什么图形?
矩形的定义：有一个角是直角 有一个角是直角的平行四边形 的平行四边形叫做矩形。
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
2
在平行四边形中，如果内角大小保持不变， 仅改变边的长度，使两邻边相等，那么这个 平行四边形成为怎样的四边形？
最新中小学教案、试题、试卷、课 件 16
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______. 2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______. A 3.菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm， 那么菱形的面积是_____.
B O C D
4.菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度 数比为1：2． ⑴求菱形ABCD的对角线的 长；⑵求菱形ABCD的面积．
CD组完成1-3题， AB组完成第4题。
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决 最新中小学教案、试题、试卷、课
件
17
最新中小学教案、试题、试卷、课 件 8
“下面请同学们拿出学案，给你们2分钟时 间，快速浏览导学案一遍。对不会做，做 错题或有疑问的题重新回顾，为一会儿 的讨论作好准备。”
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
9
内容： 1.学习中遇到的疑问； 2.导学案中不会做，有疑问，做错题部分的 问题。
要求： （1）人人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想。 （2）组长控制好讨论节奏，先一对一分层讨论，再小 组内集中讨论。 （3）没解决的问题组长记录好，准备质疑。
平行四边形
邻边相等
菱形的性质
菱形
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
1
情 景 创 设
前面我们学习了平行四边形和矩 形，知道了如果平行四边形有一个角 是直角时,成为什么图形?
矩形的定义：有一个角是直角 有一个角是直角的平行四边形 的平行四边形叫做矩形。
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
2
在平行四边形中，如果内角大小保持不变， 仅改变边的长度，使两邻边相等，那么这个 平行四边形成为怎样的四边形？
最新中小学教案、试题、试卷、课 件 16
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______. 2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______. A 3.菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm， 那么菱形的面积是_____.
B O C D
4.菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度 数比为1：2． ⑴求菱形ABCD的对角线的 长；⑵求菱形ABCD的面积．
CD组完成1-3题， AB组完成第4题。
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决 最新中小学教案、试题、试卷、课
件
17
最新中小学教案、试题、试卷、课 件 8
“下面请同学们拿出学案，给你们2分钟时 间，快速浏览导学案一遍。对不会做，做 错题或有疑问的题重新回顾，为一会儿 的讨论作好准备。”
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
9
内容： 1.学习中遇到的疑问； 2.导学案中不会做，有疑问，做错题部分的 问题。
要求： （1）人人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想。 （2）组长控制好讨论节奏，先一对一分层讨论，再小 组内集中讨论。 （3）没解决的问题组长记录好，准备质疑。
平行四边形
邻边相等
2.6.1 菱形的性质 湘教版八年级数学下册课件
由勾股定理，得：AO=3√ 3
AC=2AO=6 √ 3
例3：如图，四边形ABCD是周长为42cm的菱形，对 角线长BD=10cm，求 （1）对角线AC的长 （2）菱形ABCD的面积
解：∵菱形的周长=42cm，
∴AD=13，
D
又BD=10，∴ OD=5，
A
O
C
由勾股定理，得：AO=12
∴AC=24，
AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中B
D
点，那么∠EAF的度数是 60° 。
E
F
C
5.如图，在菱形ABCD中，E、F分别
是AB、AC的中点，如果EF=2，那么
菱形ABCD的周长是 16 。
6.菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足
为E，AB=4cm.那么，菱形ABCD的面积
是 8√3 cm2，对角线BD的长是 4√3 cm .
【思想方法】有关菱形的计算、证明，要抓住菱形中 等腰三角形、直角三角形和全等三角形来解决问题。
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是_3_cm__.
2.菱形ABCD中∠ABC＝60°，则∠BAC＝_6_0_°___.
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，
则菱形的边长 5cm。
A
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，
B
C
菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的 对称中心。
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，DB 相 交于点O. 对角线AC、DB 的位置关系怎样？你的理 由是什么？ ∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ DA=DC.
∴ 点D在线段AC的垂直平分线上.
又点O为线段AC的中点， ∴ 直线DO（即直线DB）是线段AC的垂直平分线， ∴ AC⊥DB. ∠ADB=∠ CDB 即：BD平分∠ADC和∠ ABC 同理：AC平分∠DAB和∠ DCB
AC=2AO=6 √ 3
例3：如图，四边形ABCD是周长为42cm的菱形，对 角线长BD=10cm，求 （1）对角线AC的长 （2）菱形ABCD的面积
解：∵菱形的周长=42cm，
∴AD=13，
D
又BD=10，∴ OD=5，
A
O
C
由勾股定理，得：AO=12
∴AC=24，
AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中B
D
点，那么∠EAF的度数是 60° 。
E
F
C
5.如图，在菱形ABCD中，E、F分别
是AB、AC的中点，如果EF=2，那么
菱形ABCD的周长是 16 。
6.菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足
为E，AB=4cm.那么，菱形ABCD的面积
是 8√3 cm2，对角线BD的长是 4√3 cm .
【思想方法】有关菱形的计算、证明，要抓住菱形中 等腰三角形、直角三角形和全等三角形来解决问题。
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是_3_cm__.
2.菱形ABCD中∠ABC＝60°，则∠BAC＝_6_0_°___.
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，
则菱形的边长 5cm。
A
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，
B
C
菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的 对称中心。
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，DB 相 交于点O. 对角线AC、DB 的位置关系怎样？你的理 由是什么？ ∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ DA=DC.
∴ 点D在线段AC的垂直平分线上.
又点O为线段AC的中点， ∴ 直线DO（即直线DB）是线段AC的垂直平分线， ∴ AC⊥DB. ∠ADB=∠ CDB 即：BD平分∠ADC和∠ ABC 同理：AC平分∠DAB和∠ DCB
2024八年级数学下册第2章四边形2.6菱形课件新版湘教版
解题秘方： (1)按照垂直平分线的作法作 图即可； (2)证明△ DEO ≌△ BFO，得到 DE=BF， 根据垂直平分线的性质证四 边相等即可 .
感悟新知
技巧点拨 判定菱形的方法：
知2－练
(1)若用边进行判定： 先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相
等，或直接证明四边形的四条边都相等； (2)若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边
答案： 64
感悟新知
知识点 2 菱形的判定
1. 判定定理 1: 四边都相等的四边形是菱形 . 数学语言： 如图2.6 － 4， 在四边形 ABCD 中， ∵ AB=BC=CD=DA， ∴四边形 ABCD 是菱形 .
知2－讲
感悟新知
2. 判定定理 2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 数学语言： 如图 2.6 － 4，在▱ ABCD 中， ∵ AC ⊥ BD， ∴ ▱ABCD 是菱形 .
形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形
的对角线互相垂直平分.
感悟新知
知2－练
(1)作对角线 BD 的垂直平分线，分别交 AD， BC， BD于点 E， F， O(尺规作图，不写作法，保留作图 痕迹)；
解： 如图 2.6－6，直线 EF 即为所求 .
感悟新知
(2)连接 BE， DF．求证：四边形 BEDF 为菱形 . 知2－练 证明： ∵ EF 垂直平分 BD， ∴ DO=BO， BE=DE， BF=DF． ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥ BC， ∴∠ DEO= ∠ BFO，∠ EDO= ∠ FBO， ∴△ DEO ≌△ BFO(AAS)， ∴ DE=BF，∴ BE=DE=BF=DF， ∴四边形 BEDF 是菱形．
知1－练
解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ OA=OC. ∵点 E 是边 AB 的中点，∴ OE 是△ ABC 的中位线， ∴ BC=2OE=2×6=12. 答案： 12
感悟新知
技巧点拨 判定菱形的方法：
知2－练
(1)若用边进行判定： 先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相
等，或直接证明四边形的四条边都相等； (2)若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边
答案： 64
感悟新知
知识点 2 菱形的判定
1. 判定定理 1: 四边都相等的四边形是菱形 . 数学语言： 如图2.6 － 4， 在四边形 ABCD 中， ∵ AB=BC=CD=DA， ∴四边形 ABCD 是菱形 .
知2－讲
感悟新知
2. 判定定理 2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 数学语言： 如图 2.6 － 4，在▱ ABCD 中， ∵ AC ⊥ BD， ∴ ▱ABCD 是菱形 .
形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形
的对角线互相垂直平分.
感悟新知
知2－练
(1)作对角线 BD 的垂直平分线，分别交 AD， BC， BD于点 E， F， O(尺规作图，不写作法，保留作图 痕迹)；
解： 如图 2.6－6，直线 EF 即为所求 .
感悟新知
(2)连接 BE， DF．求证：四边形 BEDF 为菱形 . 知2－练 证明： ∵ EF 垂直平分 BD， ∴ DO=BO， BE=DE， BF=DF． ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥ BC， ∴∠ DEO= ∠ BFO，∠ EDO= ∠ FBO， ∴△ DEO ≌△ BFO(AAS)， ∴ DE=BF，∴ BE=DE=BF=DF， ∴四边形 BEDF 是菱形．
知1－练
解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ OA=OC. ∵点 E 是边 AB 的中点，∴ OE 是△ ABC 的中位线， ∴ BC=2OE=2×6=12. 答案： 12
八年级数学下册 第2章 四边形 2.6.1 菱形的性质课件 (新版)湘教版
2
2
练习 2.如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一 点，PE⊥AD 于点E，PE=4cm，求点P到AB的距离.
解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC是∠DAB的角平分线. ∴点P到AD的距离等于点P到AB的距离. ∵PE=4cm，
如图，四边形ABCD是菱形，是什么？
D
∵四边形ABCD是菱形，
O
A
C
∴DA=DC.
∴点D在线段AC的垂直平分线上.
B
又点O为线段AC的中点，
∴直线DO（即直线DB）是线段AC的垂直平分线，
∴AC⊥DB.
由此得到菱形的性质：
菱形的对角线互相平分.
1
AC·2BD.
1 2
菱形的面积等于两条 对角线长度乘积的一半.
例题
如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长度分别为4cm，3cm，
求菱形ABCD的面积和周长．
解 菱形ABCD的面积S为
D
s 1 4 3 6(cm2 ).
A
O
C
2
在Rt△OAB中，
OA
1
AC
1
4
2(cm),
解 ∵菱形ABCD的两条对角线互相垂直平分，
D
∴ BD=2OB=2×3=6(cm).
A
O
C
在Rt△AOB中，有 AO2 AB2 OB2，
B
AO AB2 OB2 52 32 4.
AC 2AO 8.
∴ 菱形ABCD的面积 1 AC BD 1 8 6 24 cm2 .
2.6.1 菱形的性质
下列图案中包含的平行四边形有什么特点？
湘教版八年级数学下册第二章《 菱形的性质》公开课课件
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O.
对角线AC⊥DB吗？你的理由是什么？
D
∵四边形ABCD是菱形，
A
O
C
∴DA=DC.
∴点D在线段AC的垂直平分线上.
B
又点O为线段AC的中点，
∴直线DO（即直线DB）是线段AC的垂直平分线，
∴AC⊥DB.
由此得到菱形的性质：
菱形的对角线互相平分.
AO AB2 OB2 52 32 4.
AC 2AO 8.
∴ 菱形ABCD的面积
1 AC
1 BD 8 6 24
cm2
.
2
2
练习
2.如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AD 于点E，PE=4cm，求点P到AB的距离.
解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC是∠DAB的角平分线. ∴点P到AD的距离等于点P到AB的距离. ∵PE=4cm， ∴点P到AB的距离为4cm.
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/302021/7/302021/7/307/30/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/302021/7/30July 30, 2021
2.6.1 菱形的性质
下列图案中包含的平行四边形有什么特点？
它们的邻边
也相等．
A
一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．
平行四边形
一组邻边相等
D
A
O
B
D C
B
菱形 C
湘教版八年级数学下册第2章四边形2.6菱形2.6.1-菱形的性质PPT课件
图2-50
.
7
从上述结果看出，在关于直线DB的轴反射下， 菱形ABCD的像与它自身重合.同理，在关于直线AC 的轴反射下，菱形ABCD的像与它自身重合.
.
8
探索新知
结论
由此得到：
菱形是轴对称图形，两条对角线 所在直线都是它的对称轴.
.
9
如图2-50，你能利用菱形的性质说明菱形ABCD的 面积 S=1AC·BD吗？
第2章 四边形
2.6 菱形
2.6.1 菱形的性质
湘教版 八年级数学下册
.
1
新课导入
下列图案(或物体)中包含的平行四边形 有什么特点？
图2-49
它们的邻边相等.
.
2
一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
平行四边形 一组邻边相等
菱形
.
3
推进新课
如图2-50，四边形ABCD是菱形，对角线AC，DB 相交于点O. 对角线AC⊥DB 吗？你的理由是什么？
答：4cm.
.
15
课后小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？
.
16
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
.
17
图形， ∴ DA=DC. ∴ 点D在线段AC的垂直平分线上. 又点O为线段AC的中点，
∴ 直线DO（即直线DB）是线段AC的垂直平分线， ∴ AC⊥DB.
.
5
结论
由此得到菱形的性质： 菱形的对角线互相垂直.
.
6
把图2-50中的菱形ABCD沿直线DB对折
（即作关于直线DB的轴反射），点A的像是点C ， 点C的像是点A ， 点D的像是 点D ，点B的像 是 点B ，边AD的像是 边DC ，边CD的像是边DA ， 边AB的像是边BC，边CB的像是边AB .
湘教版八年级下册数学：2.6.1菱形的性质 (共17张PPT)
D
24
A
O
C
13 B
活动四：数学英才诚聘测试，年薪500万，你敢战吗？
反应能力测试，看看谁的反应快
已知一块菱形地砖的周长是12cm，那么 它的边长是 3cm 。
表达能力测试，看看谁的表达好
菱形ABCD中AO=3，BO=4,则菱形ABCD 的面 积为 24 。
应变能力测试，看看谁的应变能力最强
如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,∠DAB=60° 求∠ABD的度数?
D
C
O
A
B
【变式提升一】如图,菱形ABCD的对角线相交于点O, ∠DAB=60°，AB=4cm,求菱形的面积。
D
C
O
A
B
【变式提升二】如图,菱形ABCD的对角线相交于点O, ∠DAB=60°,AB=4cm,E为AB中点, P为AC上任意一 点,求PB+PE的最小值
D
C
O P
A
B
E
【变式提升三】如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,∠DAB=60° AB=4cm,DE⊥AB,DQ⊥BC,连接EQ,求△DEQ的面积。
D
C
O Q
A
B
E
颗粒归仓
1个定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
2个公式 ：S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半
3个特性 ：特在“边、对角线、对称性”
作业：
1 必做题：课时掌控18.2.2第1.2.5.7题 2 选做题：课时掌控18.2.2第15题 3 课后思考题：矩形、菱形的不同之处
这是一封通往成功的聘用书 请被聘用者翱翔在知识的海洋 你人生的价值将会无法用金钱衡量
一组邻边相等
平行四边形
24
A
O
C
13 B
活动四：数学英才诚聘测试，年薪500万，你敢战吗？
反应能力测试，看看谁的反应快
已知一块菱形地砖的周长是12cm，那么 它的边长是 3cm 。
表达能力测试，看看谁的表达好
菱形ABCD中AO=3，BO=4,则菱形ABCD 的面 积为 24 。
应变能力测试，看看谁的应变能力最强
如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,∠DAB=60° 求∠ABD的度数?
D
C
O
A
B
【变式提升一】如图,菱形ABCD的对角线相交于点O, ∠DAB=60°，AB=4cm,求菱形的面积。
D
C
O
A
B
【变式提升二】如图,菱形ABCD的对角线相交于点O, ∠DAB=60°,AB=4cm,E为AB中点, P为AC上任意一 点,求PB+PE的最小值
D
C
O P
A
B
E
【变式提升三】如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,∠DAB=60° AB=4cm,DE⊥AB,DQ⊥BC,连接EQ,求△DEQ的面积。
D
C
O Q
A
B
E
颗粒归仓
1个定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
2个公式 ：S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半
3个特性 ：特在“边、对角线、对称性”
作业：
1 必做题：课时掌控18.2.2第1.2.5.7题 2 选做题：课时掌控18.2.2第15题 3 课后思考题：矩形、菱形的不同之处
这是一封通往成功的聘用书 请被聘用者翱翔在知识的海洋 你人生的价值将会无法用金钱衡量
一组邻边相等
平行四边形
2023年湘教版八年级数学下册第2章四边形2.6菱形2.6.1菱形的性质 教学课件
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长为 （ A） A.3.5 B.4 C.7 D.14
2 菱形的面积
想一想：比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我 们发现菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角 形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形.
探究： 菱形的两条对角线有何关系？
猜想：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角.
下面我们对上述猜想进行证明 如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相 交于点O. 求证 ：AC⊥BD， ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
B
A
4.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5 cm，OD＝3 cm；过
点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长； (2)求四边形OBEC的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. 在RT△OCD中，由勾股定理，得OC＝4 cm.
练一练：
解：（1）∵四边形ABCD是菱形且周长为
120 cm，∴AB=30 cm，AO=
1 2
AC=18 cm，
在Rt△ABO中，BO= AB2-AO2 =24 cm，
故BD=2BO=48 cm．
1
（2）这个菱形的面积= A2C×BD=864 cm2．
随堂练习
1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ C ）
已知菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
问题1：菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四 边形面积公式计算菱形ABCD的面积?
能.如图，过点A作AE⊥BC于点E，则S菱形ABCD=底×高
2 菱形的面积
想一想：比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我 们发现菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角 形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形.
探究： 菱形的两条对角线有何关系？
猜想：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角.
下面我们对上述猜想进行证明 如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相 交于点O. 求证 ：AC⊥BD， ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
B
A
4.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5 cm，OD＝3 cm；过
点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长； (2)求四边形OBEC的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. 在RT△OCD中，由勾股定理，得OC＝4 cm.
练一练：
解：（1）∵四边形ABCD是菱形且周长为
120 cm，∴AB=30 cm，AO=
1 2
AC=18 cm，
在Rt△ABO中，BO= AB2-AO2 =24 cm，
故BD=2BO=48 cm．
1
（2）这个菱形的面积= A2C×BD=864 cm2．
随堂练习
1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ C ）
已知菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
问题1：菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四 边形面积公式计算菱形ABCD的面积?
能.如图，过点A作AE⊥BC于点E，则S菱形ABCD=底×高
八年级数学下册 第2章 四边形 2.6 菱形 2.6.1 菱形的性质课件
∴∠CEF=∠BAE=18°.
第二十五页，共三十二页。
【一题多变】 如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于点E， CF⊥AD交AD延长线于点F，请猜想，CE和CF的大小有什么(shén me)关系？并证明你的猜想. 世纪金榜导学号
第二十六页，共三十二页。
略
第二十七页，共三十二页。
【母题(mǔ tí)变式】 【变式一】(变换条件、问法)如图，在菱形ABCD中，AC，BD 交于点O，BD=8，AC=4，DP∥AC，CP∥BD.
证明(zhèngmíng)：∵BP∥AC，CP∥BD，
∴四边形BPCO是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠BOC=90°，BC=AD，
∴四边形BPCO是矩形，∴OP=BC，
∴OP=AD.
第三十一页，共三十二页。
内容(nèiróng)总结
2.6 菱 形。∵AB=DA，∴△ABF≌△DAE(ASA).。筋连成一个四边形，转动木条，这个四边 形变成菱形。点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点，。★★4.如图，四边形ABCD是 菱形，∠ACD=30°，。如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于点E，CF⊥AD交AD延长 线于点F，请猜想，CE和CF的大小(dàxiǎo)有什么关系。证明：∵BP∥AC，CP∥BD，。∴OP=AD.
2.6 菱 形
2.6.1 菱Βιβλιοθήκη 的性质 (línɡ xínɡ)第一页，共三十二页。
【知识(zhī shi)再现】 平行四边形的两组对边分别平行且____相__等__(_xi，āngděng) 对角_相_等__(_xi_ān_gd_ěn_g)，对角线_____互__相__平__分__.
第二十五页，共三十二页。
【一题多变】 如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于点E， CF⊥AD交AD延长线于点F，请猜想，CE和CF的大小有什么(shén me)关系？并证明你的猜想. 世纪金榜导学号
第二十六页，共三十二页。
略
第二十七页，共三十二页。
【母题(mǔ tí)变式】 【变式一】(变换条件、问法)如图，在菱形ABCD中，AC，BD 交于点O，BD=8，AC=4，DP∥AC，CP∥BD.
证明(zhèngmíng)：∵BP∥AC，CP∥BD，
∴四边形BPCO是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠BOC=90°，BC=AD，
∴四边形BPCO是矩形，∴OP=BC，
∴OP=AD.
第三十一页，共三十二页。
内容(nèiróng)总结
2.6 菱 形。∵AB=DA，∴△ABF≌△DAE(ASA).。筋连成一个四边形，转动木条，这个四边 形变成菱形。点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点，。★★4.如图，四边形ABCD是 菱形，∠ACD=30°，。如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于点E，CF⊥AD交AD延长 线于点F，请猜想，CE和CF的大小(dàxiǎo)有什么关系。证明：∵BP∥AC，CP∥BD，。∴OP=AD.
2.6 菱 形
2.6.1 菱Βιβλιοθήκη 的性质 (línɡ xínɡ)第一页，共三十二页。
【知识(zhī shi)再现】 平行四边形的两组对边分别平行且____相__等__(_xi，āngděng) 对角_相_等__(_xi_ān_gd_ěn_g)，对角线_____互__相__平__分__.
八年级数学下册第2章四边形2.6菱形2.6.1菱形的性质教学课件新版湘教版
已知：菱形ABCD的对角
求证：AC⊥BD；AC平分∠BAD和∠BCD；
BD平分∠ABC和∠ADC. B
O C
证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD，AC平分∠BAD 所以AB=AD（菱形的四条边都相等），同理：AC平分∠BCD；BD平分
在△ABD中，又因为BO=DO，
第二十九页，编辑于星期六：八点 分。
【解析】
第三十页，编辑于星期六：八点 分。
9.（郴州·中考）一种千斤顶利用了四边形的不稳定 性.如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，
转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而
改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）.若AB=40 cm, 当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？ （ 2 ≈1.414, 3≈1.732，结果保留整数）
A 12
7 8
D
O
5
B
6
4 3
C
第六页，编辑于星期六：八点 分。
2.相等的角：
∠DAB=∠BCD， ∠ABC =∠CDA ，
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°，
B
∠1=∠2=∠3=∠4 ，∠5=∠6=∠7=∠8
A 12
7 8
D
O
5
4
6
3
C
第七页，编辑于星期六：八点 分。
3.等腰三角形有： △ABC，△DBC，△ACD，△ABD
形.由勾股定理得 AE所=以3△, AEF的周长为
3 3.
第二十六页，编辑于星期六：八点 分。
5.（嘉兴·中考）如图，已知菱 形ABCD的一个内角∠BAD=80°,对角 线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且 BE=BO，则∠AOE=____.
八年级数学下册 第2章 四边形 2.6 菱形教学课件下册数学课件
OB＝3cm，求菱形ABCD的两条对角线的长度以及(yǐjí)它 的面积．
答案(dáàn)：BD=6cm，AC=8cm；S菱形ABCD=24cm2.
12/12/2021
第十二页，共二十五页。
2.如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点(yī diǎn)，PE⊥AD 于点E，PE=4 cm，求点P到AB的距离.
12/12/2021
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
第二十页，共二十五页。
【例2】如图，在□ABCD中，AC=6，BD=8，AD=5.求AB
的长.
解 ： ∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=0.5AC=3，OD=0.5BD=4.
D
又∵AD=5，满足(mǎnzú)AD2=OA2+OD2，
∴△DAO是直角三角形. ∴∠DOA=90°，即DB⊥AC.
证明：∵线段(xiànduàn)BD垂直平分AC，∴BA=BC，
DA=DC，OA=OC.在△AOB和△COD中，
A
D
∵∠1=∠2，∠AOB=∠COD，OA=OC，
2
∴△AOB≌△COD.∴AB=CD.
1
B
O
∴AB=BC=CD=DA.
C
∴四边形ABCD是菱形（四条边都相等的四边形是菱
形）. 12/12/2021
No (túxíng)，两条对角线所在直线都是它的对称轴.。菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半.。因此，菱
形的周长为2.5×4=10( cm ).。答案：BD=6cm，AC=8cm。你还存在哪些疑问，和同伴交流.。 ∴△MOD≌△NOB（ASA）.
Image
12/12/2021
第二十五页，共二十五页。来自解：菱形ABCD的面积为
答案(dáàn)：BD=6cm，AC=8cm；S菱形ABCD=24cm2.
12/12/2021
第十二页，共二十五页。
2.如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点(yī diǎn)，PE⊥AD 于点E，PE=4 cm，求点P到AB的距离.
12/12/2021
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
第二十页，共二十五页。
【例2】如图，在□ABCD中，AC=6，BD=8，AD=5.求AB
的长.
解 ： ∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=0.5AC=3，OD=0.5BD=4.
D
又∵AD=5，满足(mǎnzú)AD2=OA2+OD2，
∴△DAO是直角三角形. ∴∠DOA=90°，即DB⊥AC.
证明：∵线段(xiànduàn)BD垂直平分AC，∴BA=BC，
DA=DC，OA=OC.在△AOB和△COD中，
A
D
∵∠1=∠2，∠AOB=∠COD，OA=OC，
2
∴△AOB≌△COD.∴AB=CD.
1
B
O
∴AB=BC=CD=DA.
C
∴四边形ABCD是菱形（四条边都相等的四边形是菱
形）. 12/12/2021
No (túxíng)，两条对角线所在直线都是它的对称轴.。菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半.。因此，菱
形的周长为2.5×4=10( cm ).。答案：BD=6cm，AC=8cm。你还存在哪些疑问，和同伴交流.。 ∴△MOD≌△NOB（ASA）.
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第二十五页，共二十五页。来自解：菱形ABCD的面积为
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解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BCA=∠DCA，∠DAB=∠BCD，∠ABC+∠BCD=180 ∵∠ACD=30°，∴∠BAD=∠DCB=60°，∠ABC=180° -∠BCD=120°. (2)略
【火眼金睛】 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点， ∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度数.
证明：∵BP∥AC，CP∥BD， ∴四边形BPCO是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠BOC=90°，BC=AD， ∴四边形BPCO是矩形，∴OP=BC， ∴OP=AD.
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.(2019·河源紫金期中)边长为4 cm的菱形的周长
为 (A)
A.16 cm
B.12 cm
C.9 cm
D.6 cm
2.在菱形ABCD中，AC，BD为对角线，若AC=4，BD=8，
则菱形ABCD的面积是 ( B )
A.12
B.16
C.24
D.32
知识点 菱形性质的应用(P67例1拓展) 【典例】(2019·聊城中考)在菱形ABCD中，点P是BC边 上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF， 使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF. 世纪金榜导学号
2.6 菱 形 2.6.1 菱形的性质
【知识再现】 平行四边形的两组对边分别平行且___相__等____， 对角___相__等____，对角线___互__相__平__分____.
【新知预习】阅读教材P65-P67，完成下列探究： 1.菱形的定义： 有一组___邻__边____相等的平行四边形叫作菱形；菱形是 特殊的平行四边形.
对角线：菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等 腰三角形；菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的 直角三角形，因此由两条对角线的长可求菱形的面积， 结合勾股定理可求边长或对角线的长.
【题组训练】 1.用一长一短的两根木棒，在它们的中心处固定一个 小螺钉，做成一个可转动的叉形架，四个顶点用橡皮 筋连成一个四边形，转动木条，这个四边形变成菱形 时，两根木棒所成角的度数是 ( A )
B ACD 60,
∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF=60°， 由三角形的外角性质得：∠AEF+∠CEF=∠B+∠BAE， ∴∠CEF=∠BAE=18°.
【一题多变】 如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于点E， CF⊥AD交AD延长线于点F，请猜想，CE和CF的大小有什 么关系？并证明你的猜想. 世纪金榜导学号
略
【母题变式】 【变式一】(变换条件、问法)如图，在菱形ABCD中， AC，BD交于点O，BD=8，AC=4，DP∥AC，CP∥BD.
(1)求线段OP的长. (2)不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的 平行四边形. 略
【变式二】(变换条件、问法)如图，在菱形ABCD中， AC，BD交于点O，BP∥AC，CP∥BD.求证：OP=AD.
【正解】如图，连接AC， 在菱形ABCD中，AB=BC， ∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC=60°，
∴∠B=∠ACD=60°，
又∵∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，
BAE CAF,
在△ABE和△ACF中，AB AC,
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，
AD CD，
在△ADF和△CDE中，D D，
DF DE，
∴△ADF≌△CDE(SAS)，∴∠1=∠2.
★★4.如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°， BD=6 cm，求： 世纪金榜导学号 (1)∠BAD，∠ABC的度. (2)边AB及对角线AC的长 (精确到0.01 cm).
(2)∵△ABF≌△DAE，∴AE=BF，DE=AF， ∵AF=AE+EF=BF+EF，∴DE=BF+EF.
【学霸提醒】 菱形的“边”与“对角线”
边：菱形的一个突出特点是“四条边相等”，由此可 知菱形与一般平行四边形的不同之处：邻边相等；周 长是边长的4倍.在解决与菱形有关的线段长问题中， 常常用到这两个结论.
求证：(1)△ABF≌△DAE； (2)DE=BF+EF.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，AD∥BC，∴∠BPA=∠DAE， ∵∠ABC=∠AED，∴∠BAF=∠ADE， ∵∠ABF=∠BPF，∠BPA=∠DAE， ∴∠ABF=∠DAE， ∵AB=DA，∴△ABF≌△DAE(ASA).
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
★2.(2019·成都简阳模拟)在菱形ABCD中，AE⊥BC于 点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点， 则∠EAF等于 ( A ) A.60° B.55° C.45° D.30°
★★3.(2019·岳阳中考)如图，在菱形ABCD中，点E， F分别为AD，CD边上的点，DE=DF，求证：∠1=∠2.
2.菱形的性质： 与一般平行四边形相比，菱形具有哪些特有的性质？ (1)菱形的四条边都___相__等____. (2)菱形的对角线___互__相__垂__直____，并且每一条对角线 平分一组___对__角____.
(3)菱形是中心对称图形，___对__角__线__的__交__点____是它的 对称中心. (4)菱形是轴对称图形，___对__角__线____所在的直线是它 的对称轴.