复杂网络上的传播动力学

c

k (1 ) k 2
c c 1

目标免疫：选取少量度大的节点进行免疫，也就是对那些
与周围联系较为紧密的节点进行免疫。那么可以建立下列
模型：
d I k (t ) k (1 k )[1 I k (t )](t ) I k (t ) dt
1, k , c, k , 0, k ,
一、引言

近年来，复杂网络上的传染病动力学研究，已取得
了丰硕成果

当传染率大于流行病阈值时，随着时间的推移传染
病会在总人口中占有一定的比例；反之，传染病最
终会消失

阈值与全局稳定性……
主要工作
1.
本报告拟在我们近期研究结果的基础上，汇报： 复杂网络上带传播媒介的SIS模型的地方病和无病平
衡点的全局稳定性分析；
计算可得阈值为：
c
k k
2
几类免疫策略

随机免疫：随机免疫就是完全随机地选取网络中的 一部分节点机型免疫，那么可建立下列模型：
d I k (t ) k (1 )[1 I k (t )](t ) I k (t ) dt
其中: 表示免疫率， 0 1
易知：
2.
一类修正后的带传播媒介的SIS模型的地方病和无病 平衡点的全局稳定性问题。
二、标准SIS模型及免疫策略
传染概率
易感者（S） 恢复概率 感染者（I）


那么可知：
S k(t)+ I k(t) 1
根据平均场理论，可得模型如下：
d I k (t ) k [1 I k (t )](t ) I k (t ) dt
其中，令：
k
kp(k ) p pN kp(k ) N k k
k p 3 2 k k p(k ) k
易得：

c


c


c

主动免疫：选择一定比例的感染节点，再对这些节点的度大于
指定值的邻居节点进行免疫，可建立下列模型：
d I k (t ) k[1 I k (t )](t ) (1 ) I k (t ) k dt

类似可知其自洽方程为：
1 (t ) k
k 1 2 k 2 2 k f () 2 1 2 k 1 2 k 2
易知其阈值为：
c
(1 1 2) k k
2
地方病平衡点的稳定性
定理：设0 I k (0) 1满足 kp(k ) I k (0) 0, 那么当 c时， 有 lim I k (t ) I k , 其中I 1, I 2, I 3,
k
2 2 k k k
其中：
k
那么可得：


c
易证得：

c

来自百度文库

c

熟人免疫：从网络中选取一定比例的节点，再从每个被选中
的节点中随机选择一个邻居节点进行免疫，可以建立下列模
型：
d I k (t ) k (1 k )[1 I k (t )](t ) I k (t ) dt
t , I n是模型的非零不动点。
引理
命题一
命题二
l k liminf I k (t )limsup I k (t )u k t t
复杂网络上的传播动力学
——阈值与全局稳定性分析
傅新楚
上海大学数学系，xcfu@shu.edu.cn
Based on collaborative works with: Guanrong Chen and Meng Yang
随机图与复杂网络研讨会
2012年5月25-28日，华东师范大学
目
一． 二． 三．
其中，令：

k

k k kp(k ) k k k
易得：

c

k k k k
2

c
c
k k k
2
三、复杂网络上带传播媒介的SIS模型的全 局稳定性分析
非齐次网络上带媒介的SIS模型包括三种状态：易 感者、感染者、传播媒介。

根据平均场理论可得模型如下：
d I k (t ) I k (t ) k[1 I k (t )](t ) 1[1 I k (t )] (t ) dt d (t ) (t ) [1 (t )](t ) 2 dt
录
引言 标准SIS模型及免疫策略 复杂网络上带媒介的SIS模型及其地方病平衡点和
无病平衡点的全局稳定性
四．
复杂网络上一类修正的带媒介的SIS模型及其地方 病平衡点和无病平衡点的全局稳定性
五．
注记
摘要：复杂网络是由具有一定特征和功能的、相互关联及相互影响的基本单 元所构成的复杂集合体。在现实生活中，许多复杂问题都可用复杂网络来刻 画和建模。例如，流行病的传播与控制、计算机病毒在网络中的扩散、谣言 的流传、交通疏导等，都可以看作复杂网络上服从某种规律的传播行为。 目前，关于复杂网络上流行病的传播与控制已有很多研究成果。在具有齐次 性质的复杂网络上，传染病的流行与否取决于流行病阈值。当传染率大于流 行病阈值时，随着时间的推移传染病会在总人口中占有一定的比例，反之， 传染病最终会消失。而对于具有非齐次性质的网络系统，人们一度认为，只 要在初始时刻存在感染者，传染病会始终存在；但随后的研究表明，在一定 更贴近现实的条件限制下，对于非齐次网络也存在正的流行病阈值（一般较 小）。 本报告首先简单介绍研究的背景、进展及我们的主要工作；接着介绍标准 SIS模型的动力学行为及免疫策略；然后讨论非齐次复杂网络上带传播媒介 的SIS模型及其地方病平衡点和无病平衡点的全局稳定性；最后谈谈非齐次 复杂网络上一类修正的带传播媒介的SIS模型，求出该模型的流行病阈值， 并证明当感染率大于该阈值时，只要模型存在初始感染节点，模型就总存在 唯一的正不动点，从而证明了该模型的传染过程的地方病平衡点和无病平衡 点的全局稳定性。
其中：
(t )
1 kp(k ) I k (t ) k

根据动力学稳定性理论，考虑如下平衡：
d I k (t ) 0 dt
那么可得： 于是可得自洽方程：
I k (t )
k 1 k
2 p(k ) k f () k 1 k

那么当且仅当：
df ( ) 1 | d 0