电工学 (4)

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i1 与 i3 反相
2.2 正弦量的相量表示法
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除用三角 正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素， 函数式和正弦波形表示外，还可以用相量来表示。 相量来表示 函数式和正弦波形表示外，还可以用相量来表示。 正弦量的相量表示法就是用复数来表示正弦量。 复数来表示正弦量 正弦量的相量表示法就是用复数来表示正弦量。 设平面有一复数Ａ 复数Ａ可有几种式子表示 +j A = a + jb 代数式 模 A b = r(cos ψ + jsin ψ) 三角式 r = rejΨ 指数式 ψ 极坐标式 =r/ψ a +1 幅角 O 复数在进行加减运算时应采用代数式 加减运算时应采用代数式， 复数在进行加减运算时应采用代数式， a = r cosψ 实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。 实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。 b = r sinψ 复数进行乘除运算时应采用指数式 乘除运算时应采用指数式或 复数进行乘除运算时应采用指数式或极 2 2 r = a +b 坐标式，模与模相乘除，幅角与幅角相加减。 坐标式，模与模相乘除，幅角与幅角相加减。 b
ψ = arctan
a
2.2
正弦量的相量表示法
由以上分析可知，一个复数由模和幅角两个特征量确定。 由以上分析可知，一个复数由模和幅角两个特征量确定。 而正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素。 而正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素。但在分析线性电 路时，电路中各部分电压和电流都是与电源同频率的正弦量， 路时，电路中各部分电压和电流都是与电源同频率的正弦量， 因此，频率是已知的，可不必考虑。 因此，频率是已知的，可不必考虑。故一个正弦量可用幅值和 初相角两个特征量来确定。 初相角两个特征量来确定。 比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。 比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即 为正弦量的幅值或有效值，复数的幅角即为正弦量的初相角。 为正弦量的幅值或有效值，复数的幅角即为正弦量的初相角。 为与复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。 为与复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并在大 •”。 写字母上打一 “•”。
& & & I m = I 1m + I 2m = 100e j45° + 60e − j30°
° = (70.7 + j70.7 ) + (52 − j30) = 129e j18.3° A
于是得
i = 129 sin(ω t + 18.3° ) A
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2.3
单一参数的交流电路
电路分析是确定电路中电压与电流关系及能量的转换问题。 电路分析是确定电路中电压与电流关系及能量的转换问题。 电压与电流关系及能量的转换问题 本节从电阻、电感、 本节从电阻、电感、电容两端电压与电流一般关系式入 介绍在正弦交流电路中这些单一参数的电压 电流关系 电压、 手，介绍在正弦交流电路中这些单一参数的电压、电流关系 能量转换问题 为学习交流电路打下基础。 问题。 及能量转换问题。为学习交流电路打下基础。
2.1.1 频率与周期
周期 T：正弦量变化一周所需要的时间； ：正弦量变化一周所需要的时间； 频率 f：正弦量每秒内变化的次数； ：正弦量每秒内变化的次数； i Im O –Im T 2π ω t π π T/2 Ｔ t
1 f = T
角频率 ω :
［例 1］我国和大多数国家的电力标准频率是 50 Hz，试 ］ ， 求 其周期和角频率。 其周期和角频率。 ［解］
第2章
用更为广泛。 用更为广泛。
Hale Waihona Puke 正弦交流电路在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别是三相电路应 在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别是三相电路应
正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分所 正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分所 产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。 产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。 本章将介绍交流电路的一些基本概念、基本理论和基本分 本章将介绍交流电路的一些基本概念、基本理论和基本分 析方法，为后面学习交流电机、电器及电子技术打下基础。 析方法，为后面学习交流电机、电器及电子技术打下基础。 本章还将讨论三相交流电路和非正弦周期电压和电流。 本章还将讨论三相交流电路和非正弦周期电压和电流。 交流电路具有用直流电路的概念无法理解和无法分析的物 理现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以免引起错误。 理现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以免引起错误。
u i u
2.1.3 初相位
i
在一个交流电路中， 在一个交流电路中，电压电流频 率相同，而相位常不相同， 率相同，而相位常不相同，如图示
i = I m sin(ω t + ψ 2 )
ωt
同频率正弦量的相位角之差或是 初相角之差，称为相位差， 表示。 初相角之差，称为相位差，用 ϕ 表示。 u 和 i 的相位差为
2.1
正弦电压与电流
I, U
直流电路在稳定状态下电流、 直流电路在稳定状态下电流、电压的大 小和方向是不随时间变化的，如图所示。 小和方向是不随时间变化的，如图所示。 正弦电压和电流是按正弦规律周期性 t O 变化的，其波形如图示。 变化的，其波形如图示。 u, i 电路图上所标的方向是指它们的参考 方向，即代表正半周的方向。 方向，即代表正半周的方向。 + 负半周时， 负半周时，由于的参考方向与实际方 向相反，所以为负值。 向相反，所以为负值。 O t − i i 实 际 + 表征正弦量的三要素有 ⊕ + R R 方 u u – ⊕ – 向 幅值 频率 初相位 正半周 负半周
ωt
2.3.2 电感元件的交流电路
设在电感元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。 设在电感元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。 i + u – XL L 由 1. 电压电流关系 设 i = I m sin ω t
u= L di ，有 dt
u = ωL I m cos ω t = U m sin(ω t + 90 ° )
i = I m sin(ω t + ψ i )
当电流为正弦量时： 当电流为正弦量时：
Im I= 2
同理可得
Um U= 2
∫
∫
T
0
Ri 2dt = RI 2T
1 T2 I= i dt T 0
Em E= 2
2.1.3 初相位
正弦量所取计时起点不同，其初始值( 正弦量所取计时起点不同，其初始值(t = 0)时的值及到 ) 达幅值或某一特定时刻的值就不同。 达幅值或某一特定时刻的值就不同。 例如： 例如：i = I m sin ω t t = 0 时 ， i0 = 0
u = U msin(ω t + ψ 1 )
O
ψ2 ϕ
i1 i2
ψ1
i
i1 与 i2 同相
ϕ = (ω t + ψ 1 ) − (ω t + ψ 2 ) = ψ 1 − ψ 2 图中 ψ 1 > ψ 2 u 超前 i ϕ 角
O i3
ωt
或称 i 滞后 u ϕ 角 当两个同频率的正弦量计时起 点改变时，它们的初相位角改变， 点改变时，它们的初相位角改变， 但初相角之差不变。 但初相角之差不变。
电压
电压
& & U = RI
2. 功率
i + u – R O
u
ωt
i
p
i = Im sinω t
u = U m sin ω t
瞬时功率 P =U I O
p = ui = UI (1 − cos 2ω t)
U2 1 T 平均功率 P = ∫ pdt = UI = = I 2R T 0 R 转换成的热能 W = Pt
[例 2] 若已知 i1 = I1 msin(ω t + ψ1) = 100sin(ωt + 45°) A， ] ° ， i2 = I2 msin(ω t + ψ2) = 60 sin(ωt − 30°) A ，求 i = i1 + i2。 ° 正弦电量的运算可按下列步骤进行， [解] 正弦电量的运算可按下列步骤进行，首先把 相量 正弦电量 变换 (复数) 复数) 时间函数) (时间函数) 相 所求 量 反变换 正弦量 结 果 相量 运算 (复数 运算) 运算)
i
i = I m sin(ω t + ψ ) i0 = I m sinψ 不等于零 i
ωt
O
ωt
O
ψ
ω t 和(ω t + ψ)称为正弦量的相位角或相位。它表明正弦 称为正弦量的相位角或相位 相位角或相位。
量的进程。 量的进程。 t = 0 时的相位角称为初相位角或初相位。 时的相位角称为初相位角或初相位 初相位角或初相位。 若所取计时时刻不同，则正弦量初相位不同 初相位不同。 若所取计时时刻不同，则正弦量初相位不同。
2.3.1 电阻元件
设在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图示。 设在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图示。 i 1. 电压电流关系 + u – 式中 R 根据欧姆定律 u = iR 设 i = I m sin ω t 则
U m = RI m
u = Ri = RI m sin ω t = U m sin ω t Um U = =R 或 Im I
2π = 2πf ω = T
1 T = = 0.02 s f ω = 2π f =2 × 3.14 × 50 = 314 rad/s π
2.1.2 幅值与有效值
i Im 2π ω t π π T/2 Ｔ t
瞬时值是交流电任一时刻的值。 瞬时值是交流电任一时刻的值。 是交流电任一时刻的值 用小写字母表示。 用小写字母表示。如 i、u、e 分别表 示电流、电压、电动势的瞬时值。 示电流、电压、电动势的瞬时值。 O 最大值是交流电的 幅值。 最大值是交流电的 幅值。用大 –I m 写字母加下标表示。 写字母加下标表示。如 Im、Um、Em。 、 、 。 有效值是从电流的热效应来规 有效值是从电流的热效应来规 定的。 定的。交流电流通过一个电阻时在一 个周期内消耗的电 能与某直流电 流在同一电阻相同时间内消耗的电 相等， 能 相等，这一直流电流的数值定义 为交流电的有效值。 为交流电的有效值。 根据上述定义， 根据上述定义，有 得