4角动量
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4-3角动量 角动量守恒定律
A
B
1 v∝ r
r r
近 日
v v 彗星
点
A
rA
r F
r v B远
rB
B点
日
vA > vB
r vA
彗星
13
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
比较
t2
r r ∫ Fdt =ΔP
t1
r r dP F= dt
动量
r r dL M= dt t
2
角动量
r r ∫ M
7
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
讨论 子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
系统的动量、角动量和机械能是否守恒？ 系统的动量、角动量和机械能是否守恒？
o
v v
子 弹 击 入 杆
o
圆 锥 摆
o
v θ T
'
m
v v
v p
o
v v
R
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 圆锥摆系统 守恒； 不守恒； 动量: 不守恒； 守恒； 不守恒； 动量 不守恒； 角动量: 守恒； 守恒； 守恒； 角动量 守恒； 守恒； 守恒； 不守恒 . 机械能: 守恒 . 8 机械能 不守恒 .
考虑到
θ =ωt
7lg 12v0 dr g = cosωt = cos( t) dt 2ω 24v0 7l
21
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
r L
本节小结： 本节小结：
角动量： 一.角动量：
L = Jω
质点的角动量： ⑴质点的角动量：
第四章 刚体转动
vM = 2gh
6mvM ω= (m′ + 6m)l
B
1 v∝ r
r r
近 日
v v 彗星
点
A
rA
r F
r v B远
rB
B点
日
vA > vB
r vA
彗星
13
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
比较
t2
r r ∫ Fdt =ΔP
t1
r r dP F= dt
动量
r r dL M= dt t
2
角动量
r r ∫ M
7
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
讨论 子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
系统的动量、角动量和机械能是否守恒？ 系统的动量、角动量和机械能是否守恒？
o
v v
子 弹 击 入 杆
o
圆 锥 摆
o
v θ T
'
m
v v
v p
o
v v
R
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 圆锥摆系统 守恒； 不守恒； 动量: 不守恒； 守恒； 不守恒； 动量 不守恒； 角动量: 守恒； 守恒； 守恒； 角动量 守恒； 守恒； 守恒； 不守恒 . 机械能: 守恒 . 8 机械能 不守恒 .
考虑到
θ =ωt
7lg 12v0 dr g = cosωt = cos( t) dt 2ω 24v0 7l
21
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
r L
本节小结： 本节小结：
角动量： 一.角动量：
L = Jω
质点的角动量： ⑴质点的角动量：
第四章 刚体转动
vM = 2gh
6mvM ω= (m′ + 6m)l
第四章：角动量守恒定律§4-1 力矩§4-2 质点角动量守恒定律§...
r=xi+yj+zk，
F = Fx i + Fy j + Fz k .
4 – 1 力矩
第四章 角动量守恒定理
图 4-2
4 – 1 力矩
M=r×F = i x Fx j y k z
第四章 角动量守恒定理
将以上两式代入式（4-1）， 即可得到
Fy Fz
= （ y F z–zF y ） i + （ z Fx –xF z ） j + （ xF y – yFx ） k
4 – 1 力矩
第四章 角动量守恒定理
4 – 1 力矩
三、质点角动量守恒定律
第四章 角动量守恒定理
根据式（4-10）， 如果作用于质点的合力对参考点的力矩等 于零， 即M = 0， 那么 dl/dt=0， 即
l= 恒矢量.
（4-13）
这表示， 若作用于质点的合力对参考点的力矩始终为零， 则质点对同一参考点的角动量将保持恒定。这就是质点角动 量守恒定律（law of conservation of moment of momentum ）。
4 – 1 力矩
第四章 角动量守恒定理
对质点系中每个质点，根据对参考点O的角动量定理，列 出下面的方程式
M1=dl1/dt，
M2=dl2/dt， … Mn=dln/dt.
4 – 1 力矩
将这n个方程式相加， 可以得到
第四章 角动量守恒定理
M1 + M2 +… + Mn=d （l1 + l2 + … +ln） /dt，
用位置矢量r同时叉乘上式等号两边，得 r ×F =r×d （mv） /dt （4-9）
4 – 1 力矩
4 角动量 转动定律
•议一议
2.4 角动量守恒定律
• 系统动量守恒，角动量守恒吗？
• 系统角动量守恒，动量守恒吗？
F F
F1 O
F2 F3
F合 0, M 合 0
F合 0, M 合 0
M 外 0与F外 0 是独立的，故质点系角动量守恒和动
量守恒也是相互独立的。
• 试一试：证明力偶矩与参考点选取无关
•
质点对某点的角动量守恒，对另一点也守恒吗？
v
B
r
A
r
O
v
v r
r
P
LPB
r mv
mvr
s in k
v
LPA
r
mv
mvr
s in k
LO
r mv
mvrk
2.4 角动量守恒定律
2.4 角动量守恒定律
例 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内。一质量为 m 的小球 穿在圆环上，并可在圆环上滑动。小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上)，然后从 A 点开始下滑。设小球与 圆环间的摩擦略去不计。求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和 角速度。
2.4 角动量守恒定律
角动量守恒在有心力场中的应用（角动量守恒）
• 有心力场：运动质点所受的力总是通过
一个固定点。
r
//
F
M 0
v
m
r
F
r
L m r v const
F
•质点对力心的角动量永远守恒！
第4章动量和角动量
用多大的牵引力拉车厢？ （摩擦忽略不计)
解 选取车厢和车厢里的煤 m 和即将 落入车厢的煤 d m 为研究的系统。取水平
v
dm
向右为正。
m
F
t 时刻系统的水平总动量：
m v dm 0mv
t + dt 时刻系统的水平总动量: m d v m (v m d m )v
dt 时间内水平总动量的增量： d p (m d m )v m v d v m
④ 动量和力是矢量，可沿坐标轴分解，当沿某坐标方向所受合 外力为零时，总动量沿该方向的分量守恒。
N
当Fx 0时，
mivix px 常量
i＝1
当Fy 0时，
N
miviy py 常 量
i＝1
当Fz 0时，
N
miviz pz 常 量
i＝1
⑤ 动量守恒定律只适用于惯性系。
例题4-3 质量为M，仰角为α的炮车发射了一枚质量为m的炮
dt
F dtdp — 动量定理的微分式
2）积分形式： 对上式积分，
t2
v Fdt
t1
pv2 pv1
dpv
即：
t2
v Fdt
pv
— 动量定理的积分式
t1
在一个过程中，质点所受合力的冲量等于质点动量的增量。
说明
1、反映了过程量与状态量的关系。 2、I 与p 同向3、。 只适用于惯性系。
从动量定理可以知道,在相等的冲量作用下,不同质量的物体, 其速度变化是不相同的,但它们的动量的变化却是一样的,所以从 过程角度来看,动量比速度能更能恰当地反映了物体的运动状态。 因此,一般描述物体作机械运动时的状态参量,用动量比用速度更 确切些。动量是描述物体机械状态的状态参量。
3-4 角动量守恒定律
即
d 1 dr 2 2 mgr cos ( ml mr ) 2mr dt 12 dt
考虑到
7lg 12v0 dr g cost cos( t) dt 2 24v0 7l
t
3 – 4 角动量守恒定律
第三章 刚体的定轴转动
例 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷 板的一端A,并把跷板另一端的演员N 弹了起来.设跷板是 匀质的,长度为l,质量为 m',跷板可绕中部支撑点C 在竖直 平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上,与 跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多高?
解 碰撞前 M 落在 A点 的速度
vM (2gh)
l u 2
12
M
碰撞后的瞬间, M、N 具有相同的线速度
B
h
N C A l/2
l
3 – 4 角动量守恒定律
第三章 刚体的定轴转动
vM (2gh)
l u 2
12
M
h N
C A
把M、N和跷板作为 B l/2 一个系统, 角动量守恒 l l l 1 1 2 2 mvM J 2mu ml ml 2 2 12 2 解得
第三章 刚体的定轴转动
Lrp
dL d dp dr (r p) r p dt dt dt dt dL dp dr v, v p 0 r r F dt dt dt
dL M dt
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L
恒矢量
质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该 参考点 O 的角动量为一恒矢量.
第三章 刚体的定轴转动 3 – 4 角动量守恒定律 应用质点的角动量守恒定律可以证明
4-4 角动量与角动量定理
设固定轴为 z 轴
z
F F⊥
r⊥sinα Mz
r ˆ Mz = M ⋅ z r r ˆ = (r × F ) ⋅ z r r = r⊥ × F⊥
r⊥
d Lz Mz = dt
α
平面 ⊥ z 轴
M
O
·
r
——质点对轴的转动定律 质点对轴的转动定律 若绕固定轴的力矩为 0，即 ，
力对轴的力矩:力对 力对轴的力矩 力对 某点的力矩在过此点 的某轴上的投影
r F = 0 , r r M = 0 F 过 O点 ： 有 心 力 （ 如 行 星 受 中心恒星的万有引力）
r r r L = r × (m v ) = 常 矢 量
第4章 动量和角动量
开普勒第 二定律
α （1） mv r sin =const ） （2）轨道在同一平面内 ）
4-4 角动量与角动量定理来自m2R o m 1
第4章 动量和角动量
4-4 角动量与角动量定理
解： 有心力场中， 有心力场中 ， 运 用角动量守恒和(m 用角动量守恒和 1 ，m2 m2 )系统机械能守恒 系统机械能守恒 定律： 定律：
R o m 1
3Gm1 1 2 1 ⇒ sin θ = (1 + ) 2 4 2 Rv0
3Gm1 1 2 ) v = v0 (1 + 2 2 Rv0
r L r L0
r v v dL = L − L0
质点的角动量定理：对同一参考点O，质点所受的 质点的角动量定理：对同一参考点 ， 冲量矩等于质点角动量的增量. 冲量矩等于质点角动量的增量
第4章 动量和角动量
4-4 角动量与角动量定理
四 角动量守恒定律 由角动量定理
r 当M =0
第四章角动量守恒定律
的子弹， 例6、质量为 、质量为20g的子弹，以400m/s的速度沿 的子弹 的速度沿 图示方向射入一原来静止的质量为980g的摆球 图示方向射入一原来静止的质量为 的摆球 设摆线长度不可伸缩， 中，设摆线长度不可伸缩，则子弹入射后与摆 球一起运动的速度为多少？ 球一起运动的速度为多少？ 碰撞的瞬间， 碰撞的瞬间，对子弹和摆球组成的系统 所收的外力矩为零，角动量守恒。 所收的外力矩为零，角动量守恒。
2、合力矩： 、合力矩：
单位： 单位：N·m
v v v 矢量和 F = F1 + F2 + L v v v v v v v v M = r × F = r × ( F1 + F2 + L) = M 1 + M 2 + L
注意：所有力矩相对于同一参考点。 同一参考点 注意：所有力矩相对于同一参考点。 3、力矩的计算： 、力矩的计算：
初
初
则
p =c
r r r 则 r×p=L=c
例:跳水运动
跳水运动员为了使身体快速旋转双手抱 膝尽量蜷缩，当入水时必须把手脚舒展 膝尽量蜷缩， 开使转速变慢入水。 开使转速变慢入水。
例:花样滑冰
花样滑冰运动员把手脚伸展开时旋 转速度较小， 转速度较小，当把手脚收回时转速 变快。 变快。
t 用下运动， 质点位于坐标原点，且静止； 用下运动， = 0 时，质点位于坐标原点，且静止； 求：此质点在2秒时相对于坐标原点的角动量。 此质点在 秒时相对于坐标原点的角动量。 秒时相对于坐标原点的角动量
点由静止释放， 例2、一质量为 的小球在 ( x1 ,0,0) 点由静止释放， 、一质量为m的小球在 设重力加速度沿Z轴负向 轴负向； 设重力加速度沿 轴负向；求：小球所受重力相对 于坐标原点O的角动量 的角动量。 于坐标原点 的角动量。 例3、求做匀速圆周运动的物体对圆心的角动量。 、求做匀速圆周运动的物体对圆心的角动量。
4角动量守恒
脉冲星自转周期不变，绕固定轴角动量守恒， 转速太快，应为中子星（密度太小则被离心力撕裂）。
引力使星团 压缩，
mvr c
v 1 r
v
2
惯性离心力
m
r
1 r
3
离心力与引力达到平衡 r就一定了
z 轴方向无限制，最终 压缩成铁饼状。
涡旋星系
§4.3 质点在有心力场中的运动
一.有心力
f f (r )
物理世界 大统一； 新的发现。
万有引力 天上的 地上的 声学 热学 光学 放射性 核动力 电学 磁学 弱 强
20世纪
向大统一
力学
超弦
的行进
是最后吗？
根据对称性，
物理学的各个分支逐渐走向统一
万有引力
天上的 19世纪末，爱因斯坦想 力学 把万有引力和电磁学统
夭折了 一起来的尝试，由于当
质点在有心力场中运动，角动量守恒， 机械能也守恒。采用自然坐标系，即有
dr d v er r e dt dt 2 d L mr const . dt
E
E
1 2
1 2
m[(
m(
dr dt
) (r
2
2
d dt
2 2
）] U(r ) const .
2
dr dt
非保守系统 不具有时间
武打片
动作的真实性
反演不变性 联合操作
紧身衣
真实
大袍
不真实
阴阳图
四、对称性原理
原因中的对称性必然反映在结果中，结果中的对 称性至少和原因中的对称性一样多； 结果中的不对称性必然出自原因中的不对称性， 原因中的不对称性至少和结果中的不对称性一样多。
第4章 动量与角动量
p mv1 mv2
I ( 3mvo )2 ( mvo )2 2mvo
与水平方向的夹角
tan
Iy Ix
1 3
30
o
例2、质量为2.5g的乒乓球以10 m/s 的速率飞来，被 板推挡后，又以 20 m/s 的速率飞出。设两速度在垂 直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角 分别为 45o 和30o， 求：乒乓球得到的冲量；
y
v2
30o
45o x
v1
解: (1)取球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡 板对球的冲力为 F 则有： I F dt mv 2 mv 1 取坐标系，将上式投影，有：
I x Fx dt mv 2 cos 30 ( mv 1 cos 45 ) 0.061(Ns)
注意: 1. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系，各速度应是相 对同一惯性参考系。动量和力是矢量，可沿坐标轴分解用分 量计算。
2.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量守恒，尽管总 动量可能并不守恒。 3.实际问题中,当外力<<内力且作用时间极短时（如碰撞）可 认为动量近似守恒。 4.动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本 ，在宏观和微观 领域均适用。 5. 用守恒定律做题，应注意选择系统，分析过程和条件。
t 0.01s
Fx 6.1( N) Fy 0.7( N) F F F 6.14( N)
2 x 2 y
例3：一辆煤车以 v=3m/s的速率从煤 斗下面通过,每秒钟落入车厢的煤 为 Q=500 kg。如果车厢的速率保持不变,应用多大的牵引力拉车厢?
解:
设Δ t 时间内 落入车厢的煤 的质量Δm
4-4角动量及角动量守恒定律
J A ( A 0 ) J B B RA RB 0
m A R A0 B ( m A m B ) RA
m A RA ( A 0 ) mB RB B 0
本章小结
一、基本物理量 d d L J dt dt 1 2 W Md Ek J J m r 2dm 2 二、基本定律 t2 M J t Mdt J2 J1
例3.两个均质园盘A、B,质量为 m1 , m2
B
A
解:设AB间摩擦力为F达到 稳定时为t
A： FA RA dt J A A J A0
0
t
t
稳定时：
RA A RB B
B: FB RB dt J BB 0 t ( FA FB ) dt
0
2.质点的角动量定理
d r F (r P) dt
d d ( mv ) ( r mv ) r dt dt
dr v, dt
v v 0
dL 即: M dt
——质点的角动量定理
质点的角动量定理: t2 Mdt dL 或 t1 Mdt L2 L1
§4-4 角动量 角动量守恒定律 一.质点的角动量定理及守恒定律
回顾质点的动量及动量定理: P mv F dt d (mv ) dP
( r F )dt d (r mv ) Z 即: Mdt d (r mv ) L
转动动能 E k J 2 力矩的功 A Md
2
E k mv 2 力的功 A F dr 动能定理 A E k 2 E k 1 p mv 动量 动量定理 F dt dp
2-4 角动量守恒定律
L Li mi ri mi ri
2 i i i
2
二 转动惯量
2.4.1 角动量
L mr
2
L mi ri
i
2
P m
z
O
单个质点的转动惯量：质 量m与该质点到转轴的垂 直距离平方之积
I mr
2
r
m
质点系对转轴的转动惯量：质点系内每个质点的质 量与该质点到转轴的垂直距离平方之积的总和
2
vB
R
B
vA
v0
v
O A
u
h
v v v
2 A 2 0
2
质量 m' 在 A 点和 B 点只受有心力作用 , 角动量守恒
mv0 ( R h) mvB R
得
vB (R h)v0 R 1709m s
1
2.4.1 角动量
vB 1709m s
v 0 l0 arcsin( ) 30 vl
2.4.1 角动量 4 例4 一质量 m 1.20 10 kg 的登月飞船, 在离月球表 面高度 h 100km 处绕月球作圆周运动。飞船采用如 下登月方式：当飞船位于点 A 时，它向外侧短时间喷 气，使飞船与月球相切到达点 B，且OA 与 OB 垂直。 4 1 飞船所喷气体相对月球的速度为 u 1.00 10 m s 。 已知月球半径R 1700km ； 在飞船登月过程中，月球 v B 0 v A 的重力加速度视为常量 vB g 1.62m s 2 。试问登月 R v u 飞船在登月过程中所需消耗 O A 燃料的质量 m 是多少? h
O
l 2
m l
第4章角动量守恒1
4
第4章 角动量守恒 章
4.1 角动量和角动量守恒 一、质点的角动量
r r r r r r r r m1v1 + m2 v2 = m1v10 + m2 v20 , m1 ( v1 − v10 ) = − mr ( v2 − v20 ) 2 r r dv1 m1∆v1 = − m2 ∆v2 α1 m1 r r H 写成微分形式： 写成微分形式： m1dv1 = − m2 dv2 m2 r r 两边同乘 oH ： m1 dv1 oH = m2 dv2 oH r1 rα2 r r dv 2 OH = r1 sin α1 = r2 sin α 2 r2
2
第4章 角动量守恒 章
一、质点的角动量和角动量定理 二、质点系的角动量和角动量定理 三、角动量守恒定律 四、质点在有心力场中的运动
本章习题( 本章习题(共9题)： 4-2，3，4，5, 6(1,2), 9(1)，11，12,14. ， ， ， ， ，
3
第4章 角动量守恒 章
基本要求
1. 理解角动量的定义以及角动量的计算。 理解角动量的定义以及角动量的计算。 2. 理解力矩的概念以及力矩的计算。 理解力矩的概念以及力矩的计算。 3. 理解角动量定理并掌握其应用。 理解角动量定理并掌握其应用。 4. 理解角动量守恒定律并掌握其应用。 理解角动量守恒定律并掌握其应用。 5. 掌握质点在有心力场中运动的处理方法。 掌握质点在有心力场中运动的处理方法。
t2
∫
t2 t1
t1
v M ⋅ dt =
∫
L2 L1
v v v dL = L2 − L1
v 其中 M ⋅ dt 或
∫
v M ⋅ dt
称为冲量矩。 称为冲量矩。 冲量矩
刚体定轴转动角动量守恒定律解析
MR2
2
d
dt
R0
t
t
d dt
0
0
01
ut
(
2m
)
1 2
arctan[ M ]
0
2mu2t 2
MR2
dt
第四u章( 2Mm
1
刚) 2体力学
R
8 22
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
角动量守恒定律在工程技术上的应用
陀螺仪与导航
陀螺仪：能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。
l 2
处)
解得
t
2 m2
v1 v2
m1g
O
关于摩擦力矩 在x处取dm，dm m1 dx
x l
l
dm
元摩擦力 df dmg
m1
元摩擦力矩 dMr df x dmg x
总摩擦力矩
M r
dMr
l m1 gxdx m1g l 2
0
l
l2
m1g
l 2
第四章 刚体力学
4
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
例 一长为l，质量为m0的杆可绕支点O自由转动。一质量为
m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为
30°。问子弹的初速度为多少。
解： 射入过程角动量守恒：
o
mva
1 3
m0l
2
ma2
30°
la
转动过程机械能守恒：
v
1 1 23
m0l 2
ma2
2
mga1 cos30
m0 g
l 2
1 cos30
v 1 ma
g 2 6
2
d
dt
R0
t
t
d dt
0
0
01
ut
(
2m
)
1 2
arctan[ M ]
0
2mu2t 2
MR2
dt
第四u章( 2Mm
1
刚) 2体力学
R
8 22
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
角动量守恒定律在工程技术上的应用
陀螺仪与导航
陀螺仪：能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。
l 2
处)
解得
t
2 m2
v1 v2
m1g
O
关于摩擦力矩 在x处取dm，dm m1 dx
x l
l
dm
元摩擦力 df dmg
m1
元摩擦力矩 dMr df x dmg x
总摩擦力矩
M r
dMr
l m1 gxdx m1g l 2
0
l
l2
m1g
l 2
第四章 刚体力学
4
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
例 一长为l，质量为m0的杆可绕支点O自由转动。一质量为
m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为
30°。问子弹的初速度为多少。
解： 射入过程角动量守恒：
o
mva
1 3
m0l
2
ma2
30°
la
转动过程机械能守恒：
v
1 1 23
m0l 2
ma2
2
mga1 cos30
m0 g
l 2
1 cos30
v 1 ma
g 2 6
角动量 角动量守恒(3-4,8节
v2 c2
dt
3 相对论动能 Ek mc 2 m0c2
v c
Ek
1 2
m0 v 2
4 相对论质能关系
E mc2
二 确定性与随机性
确定性： 牛顿力学具有内在随机性：
三 能量的连续性与能量的量子化
普朗克提出一维振子的能量
E nh (n 1,2,3)
爱因斯坦认为光子能量 h
FTd
1 2
mv2
1 2
mv02
物体由静止开始下落 v0 0, 0 0
FN
o P'
FT
FT
m
P
并考虑到圆盘的转动惯量 J 1 mR2 2
v R
解得
v 2 mgh
m 2gh
m 2m (m' 2) m
例2 一长为 l , 质量为 m 的竿可绕支点O自由
dt dL
dt r dp
r
F
dt
dt
dt
M
dL
dt
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角 动量随时间的变化率.
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
M
dt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
讨论
子细 弹绳
o
击质
入量
沙不 袋计
v
子 弹
o
击
入
杆
v
圆
o'
3-4 角动量 角动量守恒定律2
▲ 前汉（公元前206 ▲晋朝（公元265
— 23） 刘歆发现岁差。
虞喜最先确定了岁差： — 316）
每50年差1度（约72/年） （精确值为 50.2/年）
▲祖冲之（公元429
— 500）编《大明历》最先
将岁差引入历法：391年有144个闰月。
21
自然界中存在多种守恒定律 动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
§3-4 刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律 质点的角动量(对O点)
LO
r
LO r P r mv
S
P
O
惯性参照系
LO rpsin rmv sin
质点系
其大小
圆周运动
L0 rmv
质点对轴的角动量等于质点对轴上某点的角动量沿轴向的分量
点击图片播放
4
茹可夫斯基转盘实验
一对 内力f1 f1两对， f 2 f 2两对， N 2 N 2 过轴线的力 mg , Mg , N 1 两个m1 g对轴力矩均为零（力臂 垂直于轴）
5
M
J mi ri
i 2
外力对轴
0
为常数
取人、盘、哑铃为系统，合外力矩为零，角动量守恒， J
对点： M 外
对轴：
t2 M 外z t1
dL t2 ，t M 外 d t L2 L1 1 dt
d t L2 z L1z
1
一、刚体的定轴转动的角动量 把刚体看作无限多质元构成的质点系。 z ω , F i vi ri m Δ i
刚体
M 外z
d Lz (对 z 轴) dt
— 23） 刘歆发现岁差。
虞喜最先确定了岁差： — 316）
每50年差1度（约72/年） （精确值为 50.2/年）
▲祖冲之（公元429
— 500）编《大明历》最先
将岁差引入历法：391年有144个闰月。
21
自然界中存在多种守恒定律 动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
§3-4 刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律 质点的角动量(对O点)
LO
r
LO r P r mv
S
P
O
惯性参照系
LO rpsin rmv sin
质点系
其大小
圆周运动
L0 rmv
质点对轴的角动量等于质点对轴上某点的角动量沿轴向的分量
点击图片播放
4
茹可夫斯基转盘实验
一对 内力f1 f1两对， f 2 f 2两对， N 2 N 2 过轴线的力 mg , Mg , N 1 两个m1 g对轴力矩均为零（力臂 垂直于轴）
5
M
J mi ri
i 2
外力对轴
0
为常数
取人、盘、哑铃为系统，合外力矩为零，角动量守恒， J
对点： M 外
对轴：
t2 M 外z t1
dL t2 ，t M 外 d t L2 L1 1 dt
d t L2 z L1z
1
一、刚体的定轴转动的角动量 把刚体看作无限多质元构成的质点系。 z ω , F i vi ri m Δ i
刚体
M 外z
d Lz (对 z 轴) dt
2-4 角动量 角动量守恒
质点的角动量守恒实例
实验中发现
v2
r2 v1
v2 r2 v1r1
r1
o
m
F
mv2 r2 mv1r1
表明小球对圆心的角动量保持不变（下面观看演示）
5.质点系的角动量定理和角动量守恒定理
对于由n个质点组成的质点系，系统对固定点 o的总角动量为各质点对o点角动量的矢量和， 即系统对点的总角动量为:
如果质点系受到的合外力矩等于零，即
M ex 0
质点系的角动量将守恒
dL 0 dt
例、一质量为m=1kg的质点在xy平面内沿x轴正方 向运动，某一时刻该质点的速度为1m/s，位于如图 所示的位置，则此时该质点相对于原点O的角动量 大小为多少？ y
4
r
O 3
mv
x
例、一力 矢径为 点的力矩为： （ A） （ C）
在直角坐标系中，角动量的分量表示
Lrp
(xi yj zk ) (pxi p y j pz k )
y
Lrp
(xi yj zk ) (pxi p y j pz k )
z
Lx yp z zp y
x
在各坐标轴的分量 Ly zp x xp z
dr dr v , p v (mv ) 0 dt dt dL d p r r F M dt dt
dL M dt
Mdt dL L2 L2
t1 L1 t2 L2
质点的角动量定理：作用在质点上的合外力对某给定点O的冲 量矩等于该质点对O点的角动量的增量。 质点的角动量守恒定律：如果该质点所受力对O点的力矩等于 零，则该质点对O点的角动量将守恒。
4角动量守恒定律
角动量守恒的两种情况： 角动量守恒的两种情况： ①
J 定轴转动的刚体， 不变， 定轴转动的刚体， 不变，
若
∑M
iz
= 0 则 L = Jω = 恒量
不变， 大小方向都不变。 ∴ ω不变， 大小方向都不变。
即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远 即刚体在受合外力矩为 时 保持静止，原来转动的将永远转动下去。 保持静止，原来转动的将永远转动下去。
v v v v v 质点对点的角动量： 质点对点的角动量： L = r × p = r × m v
作圆周运动的质点的角动量： 作圆周运动的质点的角动量： L = rm υ sin θ = mr 2 ω 1、刚体定轴转动的角动量
L = ∑ m i ri v i = ( ∑ m i ri ) ω
2 i
ω
J1
J2
J 1ω1 + J 2 ω2 = ( J 1 + J 2 )ω
J 1ω1 + J 2 ω2 共同角速度： 共同角速度： ω = J1 + J 2
ω1
ω2
例4：长为 、质量为 的匀质杆，可绕水平光滑固定轴 ：长为l 质量为M 的匀质杆， o转动，开始时杆竖直下垂。质量为 的子弹以水平速度 转动， 转动 开始时杆竖直下垂。质量为m的子弹以水平速度 υo射入杆上的 点，并嵌在杆中，OA=2l/3，求：1）子 射入杆上的A点 并嵌在杆中， ， ） 弹射入后瞬间杆的角速度； ） 弹射入后瞬间杆的角速度；2）杆能转过的最大角度θ。 子弹：竖直位置，外力（ 解：1）杆 + 子弹：竖直位置，外力（轴 O 处的 ） 力和重力）均不产生力矩， 力和重力）均不产生力矩，
O
故碰撞过程中角动量守恒： 故碰撞过程中角动量守恒： 角动量守恒
4角动量动能功
dL d M ( r p) dt dt
惯性系中，质点所受合力对某 一固定点的力矩等于质点相对 同一点的角动量的时间变化率 角动量守恒定律
如M=0，则角动量L为常矢量
例 分析行星运动
1/2 · sin · dt = dS r v L 方向不变说明轨道面是平面 L = r m v sin = 常量 r v sin = 常量 开普勒 矢径单位时间扫过的面积是常量 dS/dt= 常量 第二定律 开普勒第三定律：a3/T2=常数
1 1 万有引力的功 A GMm( ) r1 r2 1 2 1 2 弹性力的功 A kx1 kx2 2 2
质点沿任一闭合路径acbda运动一周，
y c d a b
A f dr 0
L
保守力——
L
f dr 0
x
0
非保守力——
L
f dr 0
§2.7 动能定理
一.质点的动能定理
dv F m dt
dv F v m v dt
d d dv dv dv 2 (v ) (v v ) v v 2 v dt dt dt dt dt
d 1 dE k 2 F v ( mv ) 或者 P dt dt 2
解：小球的重力做功 m M R
例1 y重力作的功来自A b r2
h2
dr
a
b mg a dr m g ab
r1
b F d r a mg dr
h1
0
mg
x
A mg ab cos mgh1 mgh2
b
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=
r
r
转动惯量的计算
将刚体转动定律 M
=I b
与质点运动定律 F
= m a 对比
转动惯量
I
是刚体转动惯性的量度
与刚体的质量、形状、大小 及质量对转轴的分布情况有关
I
∑
质量连续分布的刚体用积分求 I
I I
的单位为
为体积元
处的密度
分立质点的算例
可视为分立质点结构的刚体
转轴
若连接两小球（视为质点） 的轻细硬杆的质量可以忽略， 则
本章题头
内容提要
角动量与角动量守恒
Contents
chapter 4
angular momentum and law of conservation of angular momentum
刚体的定轴转动
rotation of rigid-body with a fixed axis
刚体作定轴转动时的功能关系
M = M1 + M 2
M = F1 d 1
r Ft F2 d 2 = Ft 叉乘右螺旋2 r2 1 r1
转动定律
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
某质元
Fi
t
qi
n
fi
∑ Fi ri sin j i + ∑ f i ri sin q i = ∑
合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0
得
O
ji
ri
等式两边乘以 i 并对所有质元及其所受力矩求和
角速度
角加速度 匀角速定轴转动 匀变角速定轴转动
刚体转动定律引言
质点
或
刚体平动 的运动定律
F = ma
合外力
惯性质量
合加速度
若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？
主要概念 使刚体产生转动效果的合外力矩 刚体的转动定律 刚体的转动惯量
合外力矩
M1
外力在转动平面上对转 轴的力矩使刚体发生转动
F2
Ft 2
定轴转动参量
1. 角位臵
刚体定轴转动 的运动方程
刚体
刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移
3. 角速度
静止 常量 变角速
转动平面（包含p并与转轴垂直）
匀角速
转轴 用矢量表 示 或 时，它们 与 刚体的 转动方向 采用右螺 旋定则
4. 角加速度
匀角速 常量 匀角加速 变角加速
单位：
则何时 恒定 则何时
定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为 ，瞬 时角加速度为 ， 刚体中一质点P至转轴的距离为r 瞬时线速度 的大小 质点P 瞬时切向加速度 瞬时法向加速度
线量与角量的关系
这是定轴转动中线量与角量的基本关系
质点直线运动或刚体平动
刚 公式对比体 角位移
的 定 轴 转 动
位移 速度
加速度 匀速直线运动 匀变速直线运动
的薄圆盘的转动惯量为
说明3
0
I r sin q r r sin q dq d dr
2 2
r sin q dq d r 4dr
0 0
2p
R
1 5 2pr R 1 cos 2 q d cos q 5 0
大小
方向
垂直于 所决定 的平面，由右螺旋法 则定指向。
的
得
质点
对给定参考点
角动量的时间变化率 称为质点的
所受的合外力矩
角动量定理
的微分形式
如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正 向，用代数法求合力矩。
质点的角动量定理也可用积分形式表达
积分形式
由
称为 冲量矩 这就是质点的
角动量的增量
时刻 m 对 O 的角动量大小为
定律证明
瞬间 位矢扫过的微面积
即
（称为掠面速率）
守恒。
因行星受的合外力总指向是太阳，角动量
则
常量
故，位矢在相同时间内扫过的面积相等
质点系角动量
惯性系中某给定参考点
质点系角动量定理
将 对时间求导
某给定 参考点
内
外 外 外 内
内
得
质点系的角动量 的时间变化率
内
外
质点受外力 矩的矢量和
relation of work with energy in rotation of rigid-body
刚体的角动量守恒
law of conservation of angular momentum of rigid-body
第一节
大量天文观测表明
r m v sin
定义：
4-1
速度
v
r
v
常量
位矢
Fi sin j i + f i sin q i = a it = ri b
受外力 Fi 受内力 fi ai Fi + f i = 其法向n 分量均通过转轴， 不产生转动力矩。 其切向 t 投影式为
r
ri
b
b
M
=
∑
ri
转动惯量
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
某质元 M
Fi
t
qi
n
fi
刚体所获得的角加速度i sin的大小与刚体受到的 ∑ Fi ri sin j i + ∑ f i r qi = ∑ ri b 合外力矩 合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0 的大小成正比， 得 与刚体的转动惯量 成反比。 M= ∑ ri b
（请点击你要选择的项目）
（4）以上结果都不对。
两人质量相等 小议链接1
既忽略 滑轮质量 终点线
又忽略 轮绳摩擦
终点线
两人同时到达； （1）
一 人 用 力 上 爬
一 人 握 绳 不 动
用力上爬者先到； （2）
握绳不动者先到； （3）
可能出现的情况是
（请点击你要选择的项目）
（4）以上结果都不对。
两人质量相等 小议链接2
一 人 用 力 上 爬
一 人 握 绳 不 动
用力上爬者先到； （2）
握绳不动者先到； （3）
可能出现的情况是
（请点击你要选择的项目）
（4）以上结果都不对。
两人质量相等 小议链接4
既忽略 滑轮质量 终点线
又忽略 轮绳摩擦
终点线
两人同时到达； （1）
一 人 用 力 上 爬
一 人 握 绳 不 动
用力上爬者先到； （2）
O
ji
ri
等式两边乘以 i 即 并对所有质元及其所受力矩求和
sin j i + f i sin q Fi刚体的转动定律i = a it = ri b
受外力 Fii 受内力 fi b ∑ ai Fi + f i = 与刚体性质及质量分布有 其法向n 分量均通过转轴， 关的物理量，用 I 表示 不产生转动力矩。 称为 转动惯量 其切向 t 投影式为
转动方程求导例题
rad rad s -1
rad s -2 rad
rad s -1 rad s -2
匀变角速定轴转动
rad
150p 100p 50p p 53p 52p 51p 50p
rad s
1
rad s
2
p
t
s
t
s
t
s
积分求转动方程
恒量
且t=0 时
得
得
任意时刻的 匀变角速定轴转动的角位移方程
或
匀变角速定轴转动的运动方程
∑
转轴
∑
0.75
质量连续分布的刚体 直棒算例
匀直细杆对中垂轴的 匀直细杆对端垂轴的
平行移轴定理
对质心轴的转动惯量 对新轴的转动惯量 新轴对心轴的平移量 质心 例如： 代入可得 端
时
新轴
质心轴
匀质薄圆盘对心垂轴的 圆盘算例
取半径为 微宽为 的窄环带的质量为质元
可看成是许多半径不同的共轴 匀质实心球对心轴的 球体算例 薄圆盘的转动惯量 的迭加 距 为 、半径为 、微厚为
既忽略 滑轮质量 终点线
又忽略 轮绳摩擦
终点线
两人同时到达； （1）
一 人 用 力 上 爬
一 人 握 绳 不 动
用力上爬者先到； （2）
握绳不动者先到； （3）
可能出现的情况是
（请点击你要选择的项目）
（4）以上结果都不对。
两人质量相等 小议链接3
既忽略 滑轮质量 终点线
又忽略 轮绳摩擦
终点线
两人同时到达； （1）
匀质细直棒
转轴通过端点与棒垂直
R
m
m
L
1 mR2 I= 2
1 mL2 I= 3
匀质矩形薄板
转轴通过中 心垂直板面
其它典型
匀质厚圆筒
转轴沿几何轴
m I= (a 2 + b 2 ) 12 匀质细圆环
转轴通过中 心垂直环面
m I = 2 (R12 + R22 ) 匀质圆柱体
转轴通过中心 垂直于几何轴
I=mR2 匀质细圆环
p
dm r r sin q dq d dr
2
1 5 1 3 2pr R cos q cos q 5 3 p m 1 54 2 2 2p R mR 4 35 3 5 pR 3
2
0
I r sin q dm
2
常用结果 匀质薄圆盘
转轴通过中心垂直盘面
外
角动量增量 质点受外力
外 外
质点系角动量守恒
由
外
若
则
或
恒矢量
当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。