曲线与方程学案1

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双曲线及其方程学案

2.3.1 双曲线及其标准方程（一）学案预习案学习目标：1.理解双曲线的定义，并能运用定义解决相关问题．2．了解双曲线标准方程的建立过程，熟记双曲线的标准方程。

学习重点：双曲线定义解题和求双曲线标准方程.学习难点：双曲线标准方程的建立过程以及解方程（组）。

❖ 任务一：椭圆的定义（牢记）我们把平面内与两个 21,F F 的距离之等于（）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做，两个焦点间的距离叫做。

思考：1.下列命题是真命题的有：①已知12(4,0),(4,0)F F -，到12,F F 两点的距离之差的绝对值等于10的点的轨迹是双曲线； ②已知12(4,0),(4,0)F F -，到12,F F 两点的距离之差等于8的点的轨迹是双曲线；③已知12(4,0),(4,0)F F -，到12,F F 两点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是双曲线；④已知12(4,0),(4,0)F F -，到12,F F 两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆；❖ 任务二：椭圆的标准方程（填表并牢记）思考：1.____________,1201622轴，焦点坐标为则焦点在若双曲线方程为z y x =- 2.已知_______,10,5方程为轴上，则双曲线的标准焦点在y c a ==预习检测1.设P 是双曲线13422=-y x 上的动点，则P 到该双曲线的两个焦点的距离之差为_________ 2.已知双曲线14222=-my x （m ＞0）的左焦点为F1（-4，0），则m=___________ 3.双曲线方程为,1222=-y x 则它的焦点坐标为______________________巩固练习1. 已知,2||||)0,5(),0,5(211a PF PF P F F =--满足为定点，动点时，或53==a a 则P 点轨迹方程分别为（）A.双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲线和一条射线 D 双曲线的一支和一条射线2. 已知点),y x P （的坐标满足4)3()3()1()12222=+++--+-y x y x （，则动点P 的轨迹是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 两条射线D. 双曲线一支 3.已知双曲线m x y -=-225的焦距等于12，则实数m 的值为（）A.30B. -30C.30±D. 120±4.已知双曲线的焦点在x 轴，且经过点）），（（3,40,2两点，则双曲线的标准方程为_____________ 5.与椭圆1422=+y x 共焦点，且经过点）（1,2Q 的双曲线的标准方程为____________ 6.若曲线1122=-+k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围____________ 7.求适合下列条件的双曲线的标准方程（1）经过点)7,26)72,3---（和（Q P ，且焦点在坐标轴（2）与双曲线141622=-y x 有相同的焦点，且经过点)2,23(8. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 满足如下条件（1）3=ab（2）过右焦点F 的直线l 的斜率为221，交y 轴于点P ，线段PF 交双曲线与点Q ，且1:2||:||=QF PQ 求双曲线的方程。

双曲线及其标准方程(教学设计)高中数学新教材选择性必修第一册

第二单元双曲线一、内容和内容解析（一）内容双曲线的概念、双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质本单元内容结构图如下：（二）内容解析1.内容本质：本单元的内容本质是在双曲线的几何情境中，类比椭圆，抽象出第二个圆锥曲线即双曲线的概念，并研究其几何特征，在直角坐标系中，推导双曲线的标准方程，再利用标准方程研究其几何性质，并利用它们解决一些简单的实际问题.2.蕴含的思想方法：本单元的思想方法主要是坐标法和数形结合的思想.类比椭圆的定义、标准方程和几何性质的研究方法，得出双曲线的定义、标准方程和几何性质，蕴含了数学研究的重要思想方法：类比.3.知识的上下位关系：本单元是在研究椭圆方程和几何性质的基础上，对解析法研究圆锥曲线内容的进一步深化和提高，是研究圆锥曲线的一个组成部分，为下一单元抛物线的学习做准备。

所以说本单元的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用.4.育人价值：通过对双曲线的定义的理解，标准方程的推导和几何性质的研究，发展学生的数学抽象、数学运算等数学核心素养，使学生在掌握知识与技能的同时，体悟知识所蕴含的数学思想和方法，积累数学地思考问题和解决问题的经验，发展理性思维.5.教学重点：解析法研究双曲线的几何特征与性质二、目标及其解析（一）单元目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．3．了解双曲线的简单应用．4．理解数形结合思想．（二）目标解析达成上述目标的标志是:1.能够利用双曲线的定义辨识什么样的轨迹是双曲线，由所给条件会求双曲线的标准方程．2．能用集合的眼光观察出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，并能结合方程的特点理解这些几何性质．3．能解决与双曲线有关的简单应用问题．三、教学问题诊断分析1.从课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。

2021_2022学年高中数学第3章圆锥曲线与方程章末复习课学案北师大版选修2_1

第3章圆锥曲线与方程1．三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹标准方程(以焦点在x轴为例) x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2＝2px(p >0) 关系式 a 2－b 2＝c 2a 2＋b 2＝c 2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，无渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率 0<e <1 e >1 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2决定形状的因素 e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小统一定义圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e2.椭圆的焦点三角形设P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点(不在x 轴上)，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝α，那么△PF 1F 2为焦点三角形(如图)．(1)焦点三角形的面积S ＝b 2tan α2；(2)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c ． 3．待定系数法求圆锥曲线标准方程 (1)椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位〞和“定量〞两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．①可将椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，其中当1A >1B 时，焦点在x 轴上，当1A <1B时，焦点在y 轴上．②双曲线方程可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，当1A <0时，焦点在y 轴上，当1B<0时，焦点在x轴上．(2)抛物线的标准方程对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝ay (a ≠0)． 4．双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．(2)如果双曲线的渐近线为x a ±y b ＝0时，它的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．5．抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F 的弦长|AB |的一个重要结论． (1)y 2＝2px (p >0)中，|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (2)y 2＝－2px (p >0)中，|AB |＝－x 1－x 2＋p ； (3)x 2＝2py (p >0)中，|AB |＝y 1＋y 2＋p ； (4)x 2＝－2py (p >0)中，|AB |＝－y 1－y 2＋p . 6．直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，那么有：①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点； ③Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．提醒：直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝〔1＋k 2〕〔x 1－x 2〕2或⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2〔y 1－y 2〕2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．圆锥曲线的定义及应用【例1】 (1)F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，那么点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．[思路探究] (1)借助角平分线的性质及相关曲线的定义求解；(2)要求|PF 1||PF 2|的值，可考虑利用椭圆的定义和△PF 1F 2为直角三角形的条件，求出|PF 1|和|PF 2|的值，但Rt △PF 1F 2的直角顶点不确定，故需要分类讨论．(1)A [延长垂线F 2Q 交F 1P 的延长线于点A ，如图．那么△APF 2是等腰三角形，∴|PF 2|＝|AP |，从而|AF 1|＝|AP |＋|PF 1|＝|PF 2|＋|PF 1|＝2a . ∵O 是F 1F 2的中点，Q 是AF 2的中点， ∴|OQ |＝12|AF 1|＝a .∴Q 点的轨迹是以原点O 为圆心，半径为a 的圆．] (2)解：由题意知，a ＝3，b ＝2，那么c 2＝a 2－b 2＝5，即c ＝5，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5.①假设∠PF 2F 1为直角，那么|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2，|PF 1|2－|PF 2|2＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝103，|PF 1|＋|PF 2|＝6，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43.所以|PF 1||PF 2|＝72.②假设∠F 1PF 2为直角，那么|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2.即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2或|PF 1|＝2，|PF 2|＝4(舍去．)所以|PF 1||PF 2|＝2.运用定义解题主要表达在以下几个方面：(1)在求动点的轨迹方程时，如果动点所满足的几何条件符合某种圆锥曲线的定义，那么可直接根据圆锥曲线的方程写出所求的动点的轨迹方程；(2)涉及椭圆或双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常常运用圆锥曲线的定义并结合三角形中的正、余弦定理来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义，把抛物线上某一点到焦点的距离转化为到准线的距离，并结合图形的几何意义去解决．1．(1)点M (－3，0)，N (3，0)，B (1，0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过点M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，那么P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x ＞1)B ．x 2－y 28＝1(x ＜－1)C ．x 2＋y 28＝1(x ＞0)D ．x 2－y 210＝1(x ＞1)(2)点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点，F 是抛物线的焦点，点M 的坐标是(2，3)，求|PM |＋|PF |的最小值，并求出此时点P 的坐标．(1)A [设PM ，PN 与⊙C 分别切于点E ，F ，如图，那么|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB | ＝4－2＝2＜|MN |，∴P 点的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去右顶点)．∴所求轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ＞1)．](2)解：抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离，过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2，垂足为D ，那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如下图，根据平面几何知识，当M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小，且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4，所以|PM |＋|PFP 的纵坐标为3，所以其横坐标为98，即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3.圆锥曲线简单性质的应用【例2】 (1)椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )A ．x ＝±152yB ．y ＝±152xC ．x ＝±34y D ．y ＝±34x (2)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e .[思路探究] (1)由椭圆和双曲线有公共的焦点可得m ，n 的等量关系，从而求出双曲线的渐近线方程；(2)写出AB 的直线方程，由F 1到直线AB 的距离为b7得出a ，c 的关系，求椭圆的离心率e .(1)D [由题意，3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2，令x 22m 2－y 23n 2＝0，y 2＝3n 22m 2x 2＝316x 2，∴y ＝±34x ，即双曲线的渐近线方程是y ＝±34x .] (2)由A (－a ，0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝ba，故AB 所在的直线方程为y －b＝b ax ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c ，0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b 7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2.又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，即8×⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－14×c a ＋5＝0，∴8e 2－14e ＋5＝0.∴e ＝12或e＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.1.(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求该椭圆的离心率． [解] 题意可知，该椭圆的焦点在x 轴上，故椭圆的离心率e ＝1－5n 23m2＝1－5n 224n 2＝11412.2.(变条件)在本例(2)条件换为“F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，〞求椭圆离心率的取值范围．[解] ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴点M 的轨迹是以F 1F 2为直径的圆，其方程为x 2＋y 2＝c 2. 由题意知椭圆上的点在该圆的外部，设椭圆上任意一点P (x ，y )，到|OP |min ＝b ， ∴c ＜b ，即c 2＜a 2－c 2.解得e ＝c a ＜22. ∵0＜e ＜1，∴0＜e ＜22.1．本类问题主要有两种考察类型：(1)圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考察重点； (2)圆锥曲线的性质求其方程．2．对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法： (1)代入法就是代入公式e ＝c a求离心率；(2)列方程法就是根据条件列出关于a ，b ，c 的关系式，然后把这个关系式整体转化为关于e 的方程，解方程即可求出e 的值．直线与圆锥曲线的位置关系2程是________．(2)向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1，0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )． ①求点Q (x ，y )的轨迹C 的方程；②设曲线C 与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当|AM |＝|AN |时，求实数m 的取值范围．8x －y －15＝0 [(1)设所求直线与y 2＝16x 相交于点A 、B ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝16(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝16y 1＋y 2，得k AB ＝8. 设直线方程为y ＝8x ＋b ，代入点(2，1)得b ＝－15；故所求直线方程为y ＝8x －15.](2)①由题意得，a ＋3b ＝(x ＋3，3y )，a －3b ＝(x －3，3y )，∵(a ＋3b )⊥(a －3b )，∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0，即(x ＋3)(x －3)＋3y ·3y ＝0，化简得x 23＋y 2＝1，∴点Q 的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.②由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1.得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1.①(ⅰ)当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，那么x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .那么－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1， ②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.(ⅱ)当k ＝0时，|AM |＝|AN |， ∴AP ⊥MN ，m 2<3k 2＋1. 即为m 2<1，解得－1<m <1.综上，当k ≠0时，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，当k ＝0时，m 的取值范围是(－1，1)．解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．2．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？假设存在，求λ的值；假设不存在，请说明理由．[解] (1)由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，得1a 2＋94b 2＝1.① 依题设知a ＝2c ，那么b 2＝3c 2.②将②代入①，解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可设AB 的斜率为k ，那么直线AB 的方程为y ＝k (x －1)． ③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12，并整理，得 (4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么有 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4〔k 2－3〕4k 2＋3. ④在方程③中令x ＝4，得M 的坐标为(4，3k )．从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12.注意到A ，F ，B 三点共线，那么有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－〔x 1＋x 2〕＋1.⑤将④代入⑤，得k 1＋k 2＝2k －32·8k24k 2＋3－24〔k 2－3〕4k 2＋3－8k24k 2＋3＋1＝2k －1. 又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意.函数与方程的思想【例4】椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m ，0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值． [解] (1)由得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32.此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |>1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 〔x －m 〕，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，那么 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1.所以|AB |＝〔x 2－x 1〕2＋〔y 2－y 1〕2＝〔1＋k 2〕[〔x 1＋x 2〕2－4x 1x 2]＝〔1＋k 2〕⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 2〔1＋4k 2〕2－4〔4k 2m 2－4〕1＋4k 2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，当且仅当m ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.1．函数思想是解决最值问题最有利的武器．通常用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题．2．方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决．3．如下图，过抛物线y 2＝2px 的顶点O 作两条互相垂直的弦交抛物线于A 、B 两点．(1)证明直线AB 过定点； (2)求△AOB 面积的最小值．[解] (1)证明：当直线AB 的斜率不存在时，AB ⊥x 轴，又OA ⊥OB ，∴△AOB 为等腰直角三角形，设A (x 0，y 0)，那么y 20＝2px 0，∴x 0＝2p ，直线AB 过点(2p ，0)．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －a )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k 〔x －a 〕，消去x 得ky 2－2py －2pak ＝0，那么y 1y 2＝－2pa .又OA ⊥OB .∴y 1y 2＝－x 1x 2.由方程组消去y ，得k 2x 2－(2k 2a ＋2p )x ＋k 2a 2＝0，那么x 1·x 2＝a 2.因此，a 2＝2pa .∴a ＝2p ..下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

湘教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件第3章圆锥曲线与方程 3.4 曲线与方程

∵=2 ,∴(x0-x,y0-y)=2(2-x0,-y0),
4+
0 =
,
0 - = 4-20 ,
3
∴
∴

0 - = -20 ,
0 = 3 .
又点 Q 在双曲线上,∴02 − 02 =2,
4+ 2 2
∴( 3 ) -(3 ) =2,整理得点
P 的轨迹方程为(x+4)2-y2=18.
去掉三点共线的条件;涉及斜率时,分母不能为0等).
变式训练2 已知平面上两定点M(0,-2),N(0,2),P为一动点,满足
·=||·|| ,求动点P的轨迹方程.
解设点 P 的坐标为(x,y).
由已知=(x,y+2),=(0,4),=(-x,2-y),得 ·
=4y+8,||·||=4
重难探究•能力素养全提升
探究点一点与曲线位置关系的理解
【例 1】判断点 A(-4,3),B(-3√2,-4),C(√5,2√5)是否在方程 x2+y2=25(x≤0)所表
示的曲线上.
分析由曲线与方程的关系知,只要点M的坐标适合曲线的方程,则点M就在
方程所表示的曲线上;而若点M为曲线上的点,则点M的坐标一定适合曲线
(不包含长轴的两个端点),焦距为4,短半轴长为2√3 ,所以点E的轨迹
2
方程为
16
+
2
12
=1(y≠0).
规律方法
定义法求轨迹方程
分析题设几何条件,根据圆锥曲线的定义或特征,判断轨迹是何种类型的曲
线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等),再求出该曲线的相关参量,从而得到
轨迹方程.
[提醒]求轨迹方程时不要忘记建立坐标系

高中数学《双曲线及其标准方程》学案新人教版选修2-1

2.3.1双曲线及其标准方程【课标要求】了解双曲线的定义和标准方程。

【学习目标】1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程。

2、掌握双曲线的标准方程。

3、会例一双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题。

【自主学习】1、双曲线是怎样作出来的（作图）？双曲线的定义是什么？几何画板【百度】/ShowSoftDown.asp?UrlID=1&SoftID=101652、若将定义中的2a<21F F 改为等于或大于，点的轨迹分别是什么？3、双曲线的标准方程是什么？怎样判断焦点的位置？4、求双曲线常用方法有哪些？【典型例题】例1．（1）已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，双曲线上一点P 到点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. （2））的双曲线。

，有公共焦点，且过点（求与双曲线12214522=-yx例2 已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．【百度文库】/view/52f58125af45b307e87197a7.html方程。

的轨迹求顶点，且满足边长为中，在例C C B A AB ABC ,sin sin 2sin 28.3=-∆【拓展提高】：设双曲线在双曲线上。

是其两个焦点，点M F F yx2122,,194=-的面积。

时，求）当（的面积。

时，求）当（212121*********MF F MF F MF F MF F ∆=∠∆=∠【课堂练习】表示双曲线”的是方程“则若133"3",.122=+-->∈k yk xk R k （）A 充分不必要条件Ｂ必要不充分条件Ｃ充要条件 D 既不充分又不必要条件的焦距为双曲线1210.222=-yx（）A 23B 24 Ｃ 33 D 34到坐标原点的距离是点时，的纵坐标是，当点满足动点已知点P P PF PF P F F 212),0,2(),0,2(.32121=--A26 B23 C 3 D 2===-212221121625,.4PF PF yxF F P ，则上一点，且为焦点的双曲线是以点A 2B 22C 4或22D 2或22__________60,13.521212122的面积等于，则是双曲线上的一点，且，点的两个焦点分别是已知双曲线PF F PF F P F F yx ∆=∠=-6.已知双曲线，A 、B 为过左焦点F1的直线与双曲线左支的两个交点，|AB|=9，F2为右焦点，则△AF2B 的周长为＿＿＿.22194xy-=。

《双曲线的参数方程》教学案1

《双曲线的参数方程》教学案1【使用课时】：1课时【教学目标】：1. 知识与技能：了解双曲线的参数方程及参数的的意义2. 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程3. 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识【教学重点】：双曲线数方程的定义和方法【教学过程】：一、课前准备复习1：圆x 2+y 2=r 2(r>0)的参数方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的参数方程: 复习2：椭圆的参数方程为。

二、新课导学学习探究探究任务一：1.双曲线的参数方程的推导：双曲线12222=-b y a x 参数方程)0(12222>>=+b a b ya x12222=-b y a x ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x双曲线的参数方程为注：（1）ϕ的范围__________________________（2）ϕ的几何意义___________________________【例1】：双曲线23tan 6sec ({x y ααα==为参数）的两焦点坐标是。

• bao xy) MBA'B 'A ϕ过关检测例2、 2222100(,)x y M a b O a bM A B MAOB -=>> 如图，设为双曲线任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于，两点。

探求平行四边形的面积，由此可以发现什么结论？O BMA xy3．方程{t tt tx y e ee e--=+=-（t 为参数）的图形是。

4．已知某条曲线的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1(21)1(21a a y a a x 其中a 是参数。

则该曲线是（）A 线段B 圆C 双曲线的一部分D 圆的一部分5．求过P （0，1）到双曲线122=-y x 最小距离的直线方程。

6．设P 为等轴双曲线122=-y x 上的一点，1F ，2F 为两个焦点，证明221OP P F P F =⋅___________tan 34sec 32{1的两个焦点坐标、求双曲线αα==y x A ______________)(tan sec 3{2的渐近线方程为为参数、双曲线ϕϕϕ==y x B课外作业1．已知参数方程 (t 是参数, t >0)化为普通方程,画出方程的曲线.2．参数方程表示什么曲线?,画出方程的曲线11x t ty t t =+=-sec tan x a y b αα==(,)22ππαα-<<是参数22223.1(0),.x y b a A B a b-=>>+22若双曲线上有两点与它的中心的连线互相垂直.11求证:为定值|OA||OB|教后反思。

2.1 曲线与方程-王后雄学案

2.1 曲线与方程教材知识检索考点知识清单1．在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数建立了如下的关系：(1) ① ；(2) ② ，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．若曲线C 的方程是,0),(=y x f 则点),(00y x P 在曲线C 上的充要条件是 ③ ．3．求曲线的方程，有下面几个步骤：(1) ④ ；(2) ⑤ ;(3) ⑥ ;(4) ⑦ ;(5)⑧ ．一般地，步骤(5)可以省略，如有特殊情况，可以适当说明，另外也可以省略(2)直接列出曲线方程，要点核心解读一、曲线与方程概念的理解1．联系平面几何中的轨迹的概念，理解曲线和方程的概念由于曲线和方程的对应关系比较抽象，比较难以理解，因此我们可以先借助于平面几何中有关轨迹的概念，再把曲线和方程的概念与平面几何中的轨迹的概念相比较，从而弄清这两个概念之间的联系和区别，这对掌握曲线和方程的概念是十分必要的，平面几何中的轨迹就是平面内适合某种条件的点的集合，而解析几何中曲线和方程的概念，就是把平面上的曲线放在，平面直角坐标系中后再建立起来的，由于平面内的点与作为它的坐标的有序实数对建立了一一对应的关系，曲线上的点所满足的关系反映在点的横坐标x 与纵坐标y 之间有一定关系，这个关系通常用关于x 、y 的方程0),(=y x f 表示出来．也就是说，平面轨迹中的几何条件在曲线和方程的概念中被转化成方程了，因此，曲线和力曜的概念与轨迹的概念一样，有它的纯粹性和完备性． “曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，这阐明了曲线上的点的坐标没有不满足方程的（纯粹性）；“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，这阐明了适合条件的所有点都在曲线上（完备性）．只有同时具备了上述两个条件才能称方程0),(=y x f 为曲线C 的方程，同时称曲线C 为方程．0),(=y x f 的曲线，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．2．从集合的意义上来理解曲线和方程的概念如果把直角坐标平面上的点所组成的集合记作A ，方程，（x ，y ）=0的解所对应的点的集合记作B ，那么曲线和方程之间的两个关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，反映在集合A 和B 之间的关系上，就是.,B A A B B A =⊆⊆即且从集合相等的意义上来理解上述两条规定的必要性，有助于掌握曲线和方程的概念．[注意] ①理解曲线和方程的概念，必须注意“两性”：定义中的条件(1)阐明曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外；定义中的条件(2)阐明适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏，这个概念的实质是一一对应，即作为曲线C 的点集|{M )}(M p 和方程0),(=y x f 的解集}0),(|),{(=y x f y x 之间的一一对应关系．由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程来研究曲线的性质，又可以深刻认识方程的几何背景．②解决“曲线”与“方程”有关命题的真假的判定问题，只要一一检验定义中的“雨性”是否满足，并作出相应的回答即可，二、坐标法与解析几何解析几何是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门数学学科．解析几何的两个基本问题：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质，根据曲线与方程的关系可知，曲线与方程是一关系下的两种不同的表现形式，曲线的性质完全反映在它的方程上，而方程的性质也完全反映在它的曲线上，这正好说明了几何问题与代数问题可以互相转化，这就是解析死何的基本思想方法，也就是数形结合，形与数达到了完美的统一．我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，又称为解析法．三、用直接法求曲线方程的步骤求曲线方程一般有下列五个步骤：(1)建立适当的直角坐标系，并用（x ，y ）表示曲线上任意一点M 的坐标，在建立坐标系时，应充分考虑平行、垂直、对称等几何因素，使解题更加简化；(2)写出适合条件p 的点M 的集合)};(|{M p M P =(3)用坐标表示条件p(M)，写出方程;0),(=y x f(4)化简方程0),(=y x f （必须是等价变形）；(5)证明以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上．[注意] (1)上面五步可简记为：建系设点→写几何点集→翻译列式→化简方程→查漏除杂．(2)这五步构成一个有机的整体，每一步都有其特点和重要性，第一步在具体问题中有两种情况：①所研究问题中已给定了坐标系，此时就在给定的坐标系中求方程即可；②原题中没有确定坐标系，此时必须首先建立适当的坐．标系，通常选取特殊位置的点为原点，相互垂直的直线为坐标轴等，第二步是求方程的重要一环，应仔细分析曲线特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意点M 有关的等量关系，列出几何等式．第三步将几何条件转化为代数方程的过程中，常用到一些基本公式，如两点间距离公式、点到直线距离公式、直线斜率公式等．第四步在化简过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“失解”和“增解”，对于第五步“证明”，从理论上讲是必要的，但在实际处理时常被省略掉，这在多数情况下是没有问题的，如遇特殊情况，可适当予以说明，例如，据审查，某些点虽然其坐标适合方程，但不在曲线上，那么可通过限制方程中x 、y 的取值予以剔除．(3)第五步在峡际中一般省掉了，但由于在化简过程中不一定能保证化简过程是等价的，因而有可能扩大了取值范围或缩小了取值范围．因此必须进行“查漏除杂”的工作，也就是检查所求轨迹中是否有遗漏的点，是否有多余的点要除掉.四、求轨迹方程常用方法求动点的轨迹方程既是平面解析几何中的主要问题之一，又是高考中的一个热点问题．求动点轨迹方程的方法主要有以下几种：(1)直接法（五步法）：建系设点→写几何点集→翻译列式→化简方程→查漏除杂．(2)待定系数法：已知曲线类型，设相应的曲线方程，再由题设条件确定其系数即可．(3)定义法：曲几何知识及圆锥曲线的定义推断所求曲线的类型，再由待定系数法求之． (4)转代法（代入法或相关点法）：若动点,P(x ，y)随着已知曲线0),(=y x f 上的动点),(//y x Q 而动，则用P 点坐标x 、y 来表示Q 点的坐标,//y x 、将它代入已知曲线方程,0),(=y x f 便可得到所求曲线方程．(5)参数法：若动点P(x ，，，)中的坐标x 、y 之间的关系难以找出，可引进参数t ，用t 分别表示x 、y ，再由两式消去参数t ，便得到所求曲线的普通方程，常见的参数有角参数、斜率参数、长度参数等．(6)几何法：挖掘图形中的几何属性，建立适当的变量关系，然后利用定义，从而简化运算过程．五、建立适当的直角坐标系建立适当的坐标系的原则是？避繁就简”，按如下方法建立坐标系能达到这个目的：(1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系．(2)若已知两定点，常以两定点的中点（或一个定点）为原点，两定点所在的直线为x 轴建立直角坐标系．(3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系．(4)若已知一定点和一定直线．，常以定点到定直线的垂线段的中点为原点，以定点到定直线的反向延长线为x 轴建立直角坐标系．(5)若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线为x 轴建立直角坐标系．[注意] 由于建立的坐标系不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲线，典例分类剖析考点1 曲线与方程的概念命题规律1．涉及曲线与方程概念的命题真假判定．2．判定某方程是否为某曲线盼方程．3．判定某曲线是否为某方程的曲线．4．检验某些点是否在某曲线上．5．画出某方程所表示的曲线．[例1] 已知坐标满足方程0),(=y x f 的点都在曲线C 上，那么( )．A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程0),(=y x fB ．凡坐标不适合0),(=y x f 的点都不在曲线C 上C ．不在曲线C 上的点的坐标必不适合0),(=y x fD ．不在曲线C 上的点的坐标有些适合,0),(=y x f 有些不适合0),(=y x f[解析] 检验条件是否满足曲线和方程关系中的“两性”，然后再作出判断，对照曲线与方程的概念，不能得出0),(=y x f 是曲线c 的方程，如设方程,40),(x ky y x f -==满足该方程的点都在以原点为圆心，2为半径的圆上，而圆上的点)3,1(--的坐标却不适合方程．又原命题的逆否命题是C ，根据原命题与逆否命题的等价性，可知答案应选C ．[答案] C[感悟] 纯粹性的作用是：若点),(00y x M 在方程0),(=y x f 表示的曲线C 上，则;0),(00=y x f 或若,0),(00=/y x f 则),(00y x M 不在方程0),(=y x f 表示的曲线C 上，完备性的作用是：若,0),(00=y x r 则),(00y x M 在方程0),(=y x f 表示的曲线C 上；或若),(00y x M 不在方程0),(=y x f 表示的曲线C 上，则.0),(00=/y x f在判定曲线的方程和方程的曲线时，两个条件缺一不可，是不可分割的整体，解答本题时，应注意不要被问题的表面现象所迷惑，应根据“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念逐一辨别其选项的真假．母题迁移 1．说明过点A(2，o)平行于y 轴的直线L （图2 -1-2所示）与方程2||=x 之间的关系．[例2] (1)判断点,23(),3,4(---B A )4,32(),2C 是否在方程2522=+y x 的曲线上；(2)方程1||||=+y x 表示的曲线是图2 -1-3中的( )．[解析] (1)将点A 、B 、C 的坐标分别代入方程2522=+yx 中可知，只有A 点坐标符合方程故只有点A 在曲线2522=+y x 上．点B 在曲线内，点C 在曲线外．(2)原方程可化为⎩⎨⎧=+≥≥,1,0,0y x y x 或⎩⎨⎧=-≤≥,1,0,0y x y x 或⎩⎨⎧-=+≤≤,1,0,0y x y x 或⎩⎨⎧=+-≥≤.1,0,0y x y x 作出其图象为D ． [点拨] 一方面，由曲线和方程的定义可知，要判断点是否在曲线上，只需要看点的坐标是否满足方程；而已知点在曲线上，则点的坐标一定满足方程．另一方面，利用曲线与方程的关系，可以判断曲线是否为方程的曲线或方程是不是曲线的方程，母题迁移 2．画出方程y= ｜｜x ｜-1｜表示的曲线．考点2求曲线方程命题规律1．用直接法求轨迹方程．2．建立恰当的直角坐标系，求曲线方程．3．用其他方法（如转代法、参数法）求曲线方程．[例3] 已知线段AB 与CD 互相垂直平分于,8||,=AB O ,4||=CD 动点M 满足.||||||||MD MC MB MA ⋅=⋅求动点M 的轨迹方程．[答案] 以点0为原点，分别以直线AB ，CD 为x 轴，y 轴建立直角坐标系，则),0,4(-A ).2,0(),2,0(),0,4(-D C B 设M(x ，y)为轨迹上任意一点，则.||||||||MD MC MB MA ⋅=⋅因为 =+-=++=||,)4(||,)4(||22MC y x MB y x MA h .)2(||,)2(2222++=-+y x MD y x 所以])4][()4[(2222y x y x +-++ ⋅++-+=)]2()][2([y y化简，得.0622=+-x y 所以所求轨迹方程为.0622=+-x y[感悟] (1)解决本题的关键是建立恰当的坐标系，若建系不恰当，计算量会大大增加，有时很可能得不出正确的结果．(2)-般地，当直角坐标系未建立时，求曲线方程的第一步是建立恰当的直角坐标系；若直角坐标系已经建立，则“建系”这一步必须省掉，直接“设点”（即设曲线上任意一点的坐标为（x ，y ））．如何判定问题中是否已经建立直角坐标系呢？依据是看题目中是否有与坐标系相关的内容，也就是看题目中是否涉及坐标系的概念（如坐标轴、原点等），以及点的坐标、方程等．(3)求曲线方程实质上是求曲线上动点的纵坐标、横坐标所满足的等量关系，因此用直接法求曲线方程的关键是寻求几何的等量关系．有时题目中已经给出了明显的几何等量关系（如本例中”）“MD MC MB MA ⋅=⋅此时只要把它“翻译”成方程即可，但更多的问题是题目中并没有给出明显的几何等量关系，此时，应该充分挖掘隐藏在其中的几何等量关系，如有两条互相垂直的直线，则其几何等量关系可以由斜率之积为-1得到，也可以利用勾股定理得到，还可利用直角三角形的斜边中线长定理得到．(4)注意求“轨迹”与“轨迹方程”的区别，轨迹是指几何图形，轨迹方程是指方程．母题迁移 3．经过点A(3，4)的一条动直线与x 轴和y 轴分别交于Q 、R 点，过Q 、R 点分别作两坐标轴的平行线交于P(x ，y ）点，求点P 的轨迹方程．[例4] △ABC 的顶点A 固定，点A 的对边BC 的长为2a ，边BC 上的高长为b ，边 BC 沿一条定直线移动，求△ABC 外心的轨迹方程．[解析] 首先建立直角坐标系，因BC 在一条定直线上移动，故可选定BC 所在直线为x 轴，过A 点且垂直于x 轴的直线为，，轴，另外，外心到三角形三个顶点的距离相等，利用这个等量关系就可以得出△ABC 外心的轨迹方程．[答案]如图2 -1-4所示，以BC 所在定直线为x 轴，过A 作x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则A 点的坐标为(0，b).设△ABC 的外心为M （x ，y ），作MN ⊥BC 于 N ，则MN 则是C 的垂直平分线.|,|||,||,2||y MN a BN a BC ==∴=又M 是△ABC 的外心， |}.||||{MB MA M M =∈∴ 而,)(||2b y x MA -+=,|||||22|22y a MN BN MB +=+=.)(2222y a b y x +=-+∴化简，得所求轨迹方程为.02222=-+-a b by x[点拨] (1)本倒是一道典型的用直接法求曲线方程的题目，难度中等，解本题的关键是建立适当的直角坐标系，充分利用三角形外心的性质．(2)本例的易错处是利用||||CM BM =列方程，而化简后会发现得到的是一个恒等式．原因是在求｜ BN ｜的长时已利用了||||CM BM =这个等量关系．(3)对于本例，在建立直角坐标系时，也可把BC 边所在定直线作为y 轴，过A 点与定直线垂直的直线作为x 轴，此时方程将有所变化．母题迁移 4．已知一条曲线，它上面的每一点到点A(O ，2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．[例5] 已知定点A(4，0)和曲线422=+y x 上的动点B ，点P 分之比为2:1，求点P 的轨迹方程．[答案] 设动点P(x ，y)及点,2),(00y x B =⋅ ⎪⎩⎪⎨⎧+=++=∴,212,212400y y x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=-=∴23,24300y y x x 将其代入曲线方程,422=+y x 得,449)243(22=+-y x 化简，得⋅=+-916)34(22y x ∴ 所求点p 的轨迹方程为⋅=+-916)34(22y x [解题规律] 如果动点户随着另一个在已知曲线上运动的点Q 而动,则用点P 坐标（x ，y ）表示点Q的坐标),,(//y x 即⎪⎩⎪⎨⎧==).,(),,(//y x g y y x g x 由于点p 在已知曲线上，因而它满足已知曲线方程，将⎪⎩⎪⎨⎧==),,(),,(//y x g y y x g x 代入已知曲线方程，得到关于x ，y 的方程，即为所求的曲线方程，其过程如下：P(x ，y) 表示Q ),(//y x 代入已知方程化简所求方程，用转代法求曲线方程实质上是方程思想的灵活运用，也就是在寻求动点的纵坐标、横坐标所满足的方程时，由点P 与点Q 之间的关系，用点Q 坐标表示点P ，而点Q 在已知曲线上，由曲线方程的概念可知它一定满足已知曲线方程，从而得到所求的曲线方程，母题迁移 5．已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ：MB =1：2，求动点M 的轨迹方程．[例6] 在正方形ABCD 中，AB 、BC 边上各有一个动点Q 、R 且︱BQ ︱=︱CR ︱，试求直线AR 与DQ 的交点P 的轨迹方程．[答案] 如图2 -1-5所示，取A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为.,,t BR t AQ a ==则直线DQ 、AR 的方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧==+②①..,1x a t y a y t x由②有,xay t =将其代入①得,1=+a y xay x 即⋅=+ay y x 22 由①②可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+=+=222222,t a at y t a t a x .0,0,0,0≥≥∴>≥y x a t∴ 所求点P 的轨迹方程为⋅≥≥=-+)0,0(022y x ay y x[点拨] 用参数法求轨迹方程的基本思路是：引入参数，用参数表示动点P 的横、纵坐标，再消去参数便得到所求的曲线方程而常用的消参法有代入消参、加减消参以及三角消参等．用参数法求曲线方程实质上是“迂回包抄”战略思想的具体体现，也就是当问题较为复杂，量与量之间存在较多的依赖关系，不易找到一个仅与所求动点有关（其他点为定点）的几何等量关系，用直接法求解难度较大，较为复杂时，引入参数（也就是变量），利用它就可以描述量与量之间的关系，从而寻求到多个方程，再消去这个参数，就得到所求的曲线方程. 母题迁移 6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2x y =上异于坐标原点0的两不同动点A 、B ，满足AO ⊥BO （如图2-1-6所示）．求△AOB 的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程．考点3两曲线的交点命题规律1．求两曲线的交点坐标．2．已知两曲线交点的个数，确定参数的取值范围．3．求两曲线交点的长度（弦长）．[例7] 已知抛物线,1:2-+-=mx x y C 点,0()0,3B A 、（),3求C 与线段AB 有两个不同交点时m 的取值范围．[答案] 线段).30(03:≤≤=-+x y x AB由⎩⎨⎧-+-==-+.1,032mx x y y x 消去y ，得.04)1(2=++-x m x 令,4)1()(2++-=x m x x f则方程0)(=x f 在[0，3]内有两个不同实数根的充要条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥++-=>=<+<>⨯⨯-+=∆,04)1(33)3(,04)0(,3210,0414)1(22m f f m m 解得 ⋅≤<3103m 故所求m 的取值范围为⋅≤<}3103|{m m [点拨] (1)由曲线方程的定义可知，两曲线的交点坐标即两曲线的方程所构成方程组的解．于是，求曲线交点坐标的问题，即转化为解二元方程组的问题；确定两曲线交点个数的问题，可转化为讨论方程组的解的组数问题．这类问题的解法，充分体现了几何中利用代数方法解决几何问题的思想．(2)既然曲线的交点问题需转化为二元方程组的求解问题，那么，解二元方程组的一切思路方法和相关知识（如一元二次方程的判别式、根与系数的关系等）都是求两曲线交点的基本依据和方法．关于曲线的交点问题，通常表现为两种类型：一是判定两曲线是否存在交点；二是求解交点及和交点有关的问题，在解决这些问题时，除要用到解方程（组）的方法及相关知识外，有时还需综合运用各种曲线自身所具有的莱些几何性质．(3)曲线交点的个数问题通常转化为方程根的个数问题，对于区间根的问题要利用方程根的分布理论求解．母题迁移 7．讨论直线1:+=kx y l 与曲线1:22=-y x C 的公共点的个数．[例8] 已知直线b x y +=2与曲线2=xy 相交于A 、B 两点，若｜AB ｜ =5，求实数b 的值．[答案] 设⋅),(),,(2211y x B y x A联立方程组⎩⎨⎧=+=.2,2xy b x y 消去y ，整理得①.0222=-+bx x 21x x ∴是关于x 的方程①的两根，.1,22121-=-=+∴x x b x x 又,4)(1|212212x x x x k AB -++=其中,2=k 代入则有.2,4,521621||222±==∴=+⋅+=b b b AB 即故所求b 的值为土2．[点拨] 若直线)0(=/+=k b kx y 和曲线0),(=y x f 交于),(),(2211y x B y x A 和两点，则 =-+=||1||212x x k AB .||11212y y k -+ 上述公式称为弦长公式，其证明如下：∵ A 、B 两点在直线b kx y +=上，),(,,21212211x x k y y b kx y b kx y -=-∴+=+=∴),(12121y y kx x -=-∴ 221221)()(||y y x x AB -+-=∴2212221)()(x x k x x -+-=|,|1212x x k -+= 或221221)()(||y y x x AB -+-=2212212)()(1y y y y k-+-= .||11212y y k -+= 利用弦长公式及公式||4||221a ac b x x -=-（其中21x x 、为02=++c bx ax 的两根）可回避解方程的复杂运算过程，而且还是解析几何中的“设而不求”（设出2211y x y x 、、、，但并不需要求出它们）思想的具体体现．母题迁移8．直线32+=x y 与抛物线x x y +=22相交于A ，B 两点，求｜ AB ｜.优化分层测训学业水平测试1．下面四组方程表示同一条曲线的一组是( )．x y x y A ==⋅与2 x y x y B lg 2lg 2==⋅与121.=-+x y C 与)2lg()1lg(-=+x y 1.22=+y x D 与21||x y -=2．到两定点)4,3(),0,0(B A 距离之和为5的点的轨迹是( )．A ．圆B ．AB 所在直线C ．线段ABD ．无轨迹3．曲线14)1(:221=++y x C 与曲线22)1(1:+-=x y C 的公共点的个数是( )． 0.A 1.B 2.C 3.D4．直角坐标平面xOy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足,4=⋅OA OP 则点P 的轨迹方程是5．求直线23+=x y 被曲线221x y =所截得的线段的长． 6．曲线4)1(22=-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围？若有一个交点，无交点呢？高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题(本大题共8小题．每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项）1．“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”是“方程0),(=y x f 是曲线C 的方程”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．方程1|1||1|=-+-y x 表示的图形是( )．A ．-个点B ．四条直线C ．正方形D ．四个点3．已知),0,1(),0,1(-B A 动点M 满足,2||||=-MB MA 则点M 的轨迹方程是( )．)11(0≤≤-=⋅x y A )1(0≥=⋅x y B )1(0-≤=⋅x y C )1|(|0≥=⋅x y D4．曲线21x y --=与曲线)(0||R a ax y ∈=+的交点个数一定是( )．A.2个B.4个C.O 个 D ．与a 的取值有关5．设动点P 是曲线122+=x y 上任意一点，定点A （0，-1），点M 分PA 所成的比为2:1，则点M 的轨迹方程是( )． 3162-=⋅x y A 3132+=⋅x y B 132--=⋅x y C 316.2-=y x D6．下列命题中：①设),2,0().0,2(B A 则线段AB 的方程是;02=-+y x②到原点的距离等于5的动点的轨迹方程是;252x y -=③到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是.022=-y x其中正确的命题有( )．A.l 个B.2个 C ．3个 D.O 个7．已知两点),0,2(),0,2(N M -点P 为坐标平面内的动点，满足,0.|||=+则动点P （x ，y ）的轨迹方程为( )．x y A 82=⋅ x y B 82-=⋅ x y C 42=⋅ x y D 42-=⋅8．设过点P(x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，0为坐标原点，若,1.,2=⋅=且则P 点的轨迹方程是( )．)0,0(1233.22>>=+y x y x A )0,0(1233.22>>=-y x y x B )0,0(1323.22>>=-y x y x C )0,0(1323.22>>=+y x y x D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案须填在题中横线上）9．若命题“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”是真命题，则下列命题中是真命题的有．（填上相应的序号）①满足方程0),(=y x f 的点都在曲线C 上；②方程．0),(=y x f 是曲线C 的方程；③方程0),(=y x f 所表示的曲线不一定是C ．10．已知曲线,023:=+++ky x xy C 则当k= 时，曲线C 经过点(2，-1)．11．已知两点ABC B A ∆-),0,6()0,2(、的面积为16，则C 点的轨迹方程为12．已知两定点),0,1()0,2(B A 、-如果动点P 满足=||PA |,|2PB 则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.判断下列说法是否正确，若错误，请改正，。

学案1：2.5.1　椭圆的标准方程

2.5.1 椭圆的标准方程【情境导学】情景引入“嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星，其主要目的是释放月球车为“嫦娥三号”任务实现月球软着陆进行部分关键技术试验，并对“嫦娥三号”着陆区进行高精度成像．“嫦娥二号”进入太空轨道绕月球运转时，其轨道就是以月球为一个焦点的椭圆，本节我们将学习椭圆的定义及标准方程．新知初探 1．椭圆的定义(1)定义：如果F 1，F 2是平面内的两个定点，a 是一个常数，且2a ＞|F 1F 2|，则平面内满足 |的动点P 的轨迹称为椭圆．(2)相关概念：两个定点F 1，F 2称为椭圆的，两个焦点之间的距离|F 1F 2|称为椭圆的．思考1：椭圆定义中，将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“小于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？2．椭圆的标准方程图形焦点坐标 (±c,0) (0，±c )a ，b ，c 的关系a 2＝思考2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？思考3：根据椭圆方程，如何确定焦点位置？初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(2)椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是(±3,0)． ( )(3)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆． ( ) 2．以下方程表示椭圆的是( )A ．x 2＋y 2＝1B ．2x 2＋3y 2＝6C ．x 2－y 2＝1D ．2x 2－3y 2＝63．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是( ) A ．x 25＋y 24＝1B ．x 23＋y 24＝1C ．x 25＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1D ．x 29＋y 24＝1或x 23＋y 24＝14．椭圆x 29＋y 24＝1的左、右焦点F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝．【合作探究】【例1】根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26． (2)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，两焦点间的距离为2，焦点在x 轴上． (3)过(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同的焦点．[规律方法]利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a ，b ，c 的等量关系；(4)求a ，b 的值，代入所设方程．提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0)． [跟进训练]1．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x 轴上，且a ＝4，c ＝2； (2)经过点P ⎝⎛⎭⎫13，13，Q ⎝⎛⎭⎫0，－12．[探究问题]1．如何用集合语言描述椭圆的定义？2．如何判断椭圆的焦点位置？3．椭圆标准方程中，a，b，c三个量的关系是什么？【例2】设P是椭圆x225＋y2754＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．[母题探究]1．将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“∠F1PF2＝30°”其余条件不变，求△F1PF2的面积．2．将椭圆的方程改为“x2100＋y264＝1”其余条件不变，求△F1PF2的面积．[规律方法]椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a．(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．拓展延伸：椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．类型三与椭圆有关的轨迹问题【例3】如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．[规律方法]求解与椭圆相关的轨迹问题的方法[跟进训练]2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．【课堂小结】(1)平面内到两定点F 1、F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞|F 1F 2|，轨迹为椭圆2a ＝|F 1F 2|，线段F 1F 22a ＜|F 1F 2|，不存在．(2)求椭圆的方程，可以利用定义求出参数a ，b ，c 其中的两个量；也可以用待定系数法构造三者之间的关系，但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．(3)当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )或焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．【学以致用】1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．82．到两定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．圆D ．以上都不对3．椭圆x 216＋y 232＝1的焦距为．4．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长是．5．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程是．【参考答案】【情境导学】新知初探 1．椭圆的定义 (1) |PF 1|＋|PF 2|＝2a (2)焦点焦距思考1：[提示] 2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：2．椭圆的标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1y 2a 2＋x 2b 2＝1 b 2＋c 2思考2：[提示] a ，b 的值及焦点所在的位置．思考3：[提示] 把方程化为标准形式，x 2，y 2的分母哪个大，焦点就在相应的轴上．初试身手1．[答案] (1)× (2)× (3)× [提示] (1)× 需2a ＞|F 1F 2|． (2)× (0，±3)．(3)× a ＞b ＞0时表示焦点在y 轴上的椭圆． 2．B [只有B 符合椭圆的标准方程的形式⎝⎛ 可化为x 23＋⎭⎫y 22＝1．] 3．C [若椭圆的焦点在x 轴上，则c ＝1，b ＝2，得a 2＝5，此时椭圆方程是x 25＋y 24＝1；若焦点在y 轴上，则a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，此时椭圆方程是x 23＋y 24＝1．] 4．2 [由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6，所以|PF 2|＝6－|PF 1|＝6－4＝2．]【合作探究】【例1】[解] (1)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5．∴b 2＝a 2－c 2＝144． ∴所求椭圆的标准方程为：y 2169＋x 2144＝1．(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵焦点在x 轴上，2c ＝2，∴a 2＝b 2＋1，又椭圆经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，∴1b 2＋1＋94b 2＝1，解之得b 2＝3，∴a 2＝4．∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1． (3)由方程x 29＋y 24＝1可知，其焦点的坐标为(±5，0)，即c ＝5．设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则a 2＝b 2＋5，因为过点(－3,2)，代入方程为9a 2＋4a 2－5＝1(a ＞b ＞0)，解得a 2＝15(a 2＝3舍去)，b 2＝10，故椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1．[跟进训练]1．[解] (1)∵a 2＝16，c 2＝4，∴b 2＝16－4＝12，且焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1．(2)法一： ①当椭圆的焦点在x 轴上时，设标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫132a 2＋⎝⎛⎭⎫132b2＝1，0＋⎝⎛⎭⎫－122b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝15，b 2＝14，因为a ＞b ＞0，所以方程组无解．②当椭圆的焦点在y 轴上时，设标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫132a 2＋⎝⎛⎭⎫132b2＝1，⎝⎛⎭⎫－122a 2＋0＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝14，b 2＝15，所以所求方程为y 214＋x 215＝1．法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，依题意得⎩⎨⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4，故所求方程为5x 2＋4y 2＝1，即y 214＋x 215＝1．类型二椭圆的定义及其应用[探究问题]1．[提示] P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a ＞|F 1F 2|}．2．[提示] 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．3．[提示] 椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a ，b ，c (都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a >b ，a >c ，且a 2＝b 2＋c 2(如图所示)．【例2】[解] 由椭圆方程知，a 2＝25，b 2＝754，∴c 2＝254，∴c ＝52，2c ＝5．在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|． ① 由椭圆的定义，得10＝|PF 1|＋|PF 2|，即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|． ②②－①，得3|PF 1|·|PF 2|＝75，所以|PF 1|·|PF 2|＝25，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2534．[母题探究]1．[解] 由椭圆方程知，a 2＝25，b 2＝754，∴c 2＝254，∴c ＝52，2c ＝5．在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30°，即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－3|PF 1|·|PF 2|． ① 由椭圆的定义得10＝|PF 1|＋|PF 2|，即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|． ② ②－①，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝75，所以|PF 1|·|PF 2|＝75(2－3)，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝754(2－3)．2．[解] |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，又|F 1F 2|＝2c ＝12．由余弦定理知：(2c )2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°，即：144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|．所以|PF 1|·|PF 2|＝2563，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝6433．【例3】[解] 由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |， |CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |． ∴|CM |＋|MA |＝5．∴M 点的轨迹为椭圆，其中2a ＝5，焦点为C (－1,0)，A (1,0)，∴a ＝52，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214．∴所求轨迹方程为：x 2254＋y 2214＝1．[跟进训练]2．[解] 如图所示，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，由题意动圆M 内切于圆C 1，∴|MC 1|＝13－r ．圆M 外切于圆C 2，∴|MC 2|＝3＋r ．∴|MC 1|＋|MC 2|＝16＞|C 1C 2|＝8，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48，故所求轨迹方程为x 264＋y 248＝1．【学以致用】1．D [由椭圆定义知点P 到另一个焦点的距离是10－2＝8．]2．B [|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|＝4，∴点M 的轨迹为线段F 1F 2．]3．8 [由方程得a 2＝32，b 2＝16，∴c 2＝a 2－b 2＝16．∴c ＝4,2c ＝8．]4．16 [由椭圆定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝8，又△ABF 2的周长等于|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝16．]5．x 24＋y 23＝1 [|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2， ∴原方程化为x 24＋y 2b 2＝1，将A ⎝⎛⎭⎫1，32代入方程得b 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1．]。

高二选修曲线方程教学案及课后巩固试题

§2.1.1 曲线与方程（1）学习目标1．理解曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程．P 34~ P 36，找出疑惑之处）复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象．复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程． ※ 学习探究探究任务一：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．问题：能否写成y x =，为什么？新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间，如果具有以下两个关系：1．曲线C 上的点的坐标，都是的解；2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是的点，那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线．注意：1︒ 如果……，那么……；2︒ “点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒ 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4︒ 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．试试：1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ． 2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ．新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程． ※ 典型例题例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±．变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？例2设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ．中线A O （O 为原点）所在直线的方程是0x =吗？为什么？反思：BC 边的中线的方程是0x =吗？小结：求曲线的方程的步骤：①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =； ③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =； ④将方程(,)0f x y =化为最简形式；⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．※ 动手试试练1．下列方程的曲线分别是什么？ (1) 2xy x=(2) 222x y x x-=- (3) log ax y a =练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？三、总结提升 ※ 学习小结1．曲线的方程、方程的曲线； 2．求曲线的方程的步骤：①建系，设点；②写出点的集合；③列出方程；④化简方程；⑤验证．求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等． ※ 当堂检测1. 与曲线y x =相同的曲线方程是（）．A ．2xy x=B ．y =C ．y =D ．2log2xy =2．直角坐标系中，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足O C=αO A +βOB，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为 ( ) ．A ．射线B ．直线C ．圆D ．线段 3．(1,0)A ，(0,1)B ，线段AB 的方程是（）． A ．10x y -+= B ．10x y -+=(01)x ≤≤ C ．10x y +-= D ．10x y -+=(01)x ≤≤4．已知方程222ax by +=的曲线经过点5(0,)3A 和点(1,1)B ，则a = ，b = ．5．已知两定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点p 满足12PA PB=，则点p 的轨迹方程是课后作业1．点(1,2)A -，(2,3)B -，(3,10)C 是否在方程2210x xy y -++=表示的曲线上？为什么？2 求和点(0,0)O ，(,0)A c 距离的平方差为常数c 的点的轨迹方程．§2.1.2 曲线与方程（2）学习目标1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．P 36~ P 37，找出疑惑之处）复习1：已知曲线C 的方程为 22y x = ，曲线C 上有点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x = 的解？点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ ．复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?二、新课导学 ※ 学习探究引入：圆心C 的坐标为(6,0)，半径为4r =，求此圆的方程问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．探究：若4AB =，如何建立坐标系求AB 的垂直平分线的方程．※ 典型例题例1 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到(0,3)A 的距离的2倍，试求曲线的方程．变式：现有一曲线在x 轴的下方，曲线上的每一点到x 轴的距离减去这点到点(0,2)A ，的距离的差是2，求曲线的方程．小结：点(,)P a b 到x 轴的距离是；点(,)P a b 到y 轴的距离是；点(1,)P b 到直线10x y +-=的距离是．例2已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2，一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．※ 动手试试练1．有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到直线10x y +-=的距离的2倍，试求曲线的方程．练2. 曲线上的任意一点到(3,0)A -,(3,0)B 两点距离的平方和为常数26,求曲线的方程．三、总结提升 ※ 学习小结1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．※ 当堂检测1．方程[]2(3412)log (2)30x y x y --+-=的曲线经过点(0,3)A -，(0,4)B ，(4,0)C ，57(,)34D -中的（）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．已知(1,0)A ，(1,0)B -，动点满足2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是（）.A ．0(11)y x =-≤≤B ．0(1)y x =≥C ．0(1)y x =≤-D ．0(1)y x =≥3．曲线y =与曲线0y x +=的交点个数一定是（）．A ．0个B ．2个C ．4个D ．3个4．若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA ∙=,则点P 的轨迹方程是． 5．由方程111x y -+-=确定的曲线所围成的图形的面积是．课后作业1．以O 为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？2．已知点C 的坐标是(2,2)，过点C 的直线C A 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线C A 垂直的直线C B 与y 轴交于点B ．设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程．曲线和方程（一）随堂巩固1．下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是（） A ．2x y x y ==与 B ．0)2)(1(0)2()1(22=+-=++-y x y x 与C ．11==xy xy 与 D ．x y x y lg 2lg 2==与2．方程x xy x =+2的曲线是（）A ．一个点B ．两条直线C ．一条直线D ．一个点和一条直线3．的值为上，则）在曲线，（a ay x P 13222=--4．若点到原点的距离为上，则在曲线（),(9),22 y x y x y x =+5．以（5，0）和（0，5）为端点的线段方程是强化训练1．方程0)4()42222=-+-y x （表示的图形是（）A ．两个点B ．四个点C ．四条直线D ．两条直线2．已知的值上，则在曲线点αααπα3)2()sin ,(cos ,2022=+-<≤y x P 3．曲线轴的交点坐标是与x y x y xy x 044322=-+---4．的值、，求轴上截距为，在轴上截距为在n m y x n my y xy x 210222-=-++-5．已知点上也在曲线上，在曲线（0),(0),(),==y x g P y x f y x P )(0),(),(R y x g y x f P ∈=+λλ上在曲线求证：曲线和方程（二）1．方程022=-y x 表示的图形是（）A ．一条直线B ．两条平行直线C ．两条相交直线D ．以上都不对 2．两曲线10102=++-=y x x y 与交于两点，此两点间的距离是 3．△30202的长度为），中线，）和（，的坐标分别是（、中，若AD C B ABC -则点A 的轨迹方程是（）A ．322=+y x B ．422=+y x C ．)0(922≠=+y y x D ．)0(922≠=+x y x4．到直线0534=-+y x 的距离为1的点的轨迹方程是（）A ．03401034=+=-+y x y x 和B ．013401034=-+=-+y x y x 和C ．03401034=+=++y x y x 和D ．013401034=++=++y x y x 和 5．方程036422=-+-y x y x 表示的图形是（）A ．直线032=++y xB ．直线02=-y xC ．直线032=++y x 或直线02=-y xD ．直线032=+-y x 或直线02=+y x 6．线段满足动点，互相垂直且平分于点与P b CD a AB O CD AB ,2,2==的轨迹方程，求动点P PD PC PB PA ⋅=⋅7．已知点的轨迹方程，求点，且的距离之和为、到两定点M AB B A M 812=曲线和方程（三）1．已知），，（）、，（4201B A -△的轨迹方程是，则动点的面积为C ABC 10（）A ．0163401634=+-=--y x y x 或B ．024*******=+-=--y x y x 或C ．024*******=+-=+-y x y x 或D ．024*******=--=+-y x y x 或 2．到两条平行线0948012=--=--y x y x 与的距离相等的点轨迹方程是 3．已知点点的轨迹方程是，则满足），动点，（）、，（P PO PA P A O 22100=（）A ．05423322=--++y x y xB ．05423322=---+y x y x C ．05423322=-+++y x y x D ．05423322=-+-+y x y x4．已知点P 是曲线2x y =上的动点，)0,4(Q ，则线段PQ 的中点的轨迹方程为 5．线段P AB y x AB 中点轴上滑动，则轴、，它的两个端点分别在的长度是10的轨迹方程是曲线和方程检测1．两曲线0102=++-=y x x y 与交于两点，此两点间的距离（） A ．小于2 B ．等于2 C ．等于2 D ．大于22．曲线m x y x x y +=+-=与22有两个交点，那么（）A ．R m ∈B ．)1,(--∞∈mC ．1=mD ．),1(+∞∈m3．曲线必定，那么曲线的交点为和（0),(),(0),(0),2121=-==y x F y x F P y x F y x F （） A ．经过P 点 B ．经过原点 C ．不一定经过P 点 D ．经过P 点和原点 4．直线05032=+=-+xy y x 被曲线截得的线段长为（）A ．25 B ．5 C ．255 D ．2575．已知一条曲线，它上面的每一个点到，轴的距离的差都是）的距离减去它到，（220x A则这个曲线的方程是6．一条线段的长等于10，两端点上且在线段轴上滑动，轴和分别在、AB M y x B A的轨迹方程是，则M MB AM 4=7．已知曲线对称的曲线方程求它关于直线02,2=--=y x x y8．动点P x P P 度，求动点轴的距离多一个单位长到）的距离比，到定点（41的轨迹9．若点9910023222026494),ba b a b a a y x y x b a M +⋅⋅⋅+++=+--+上，求在曲线（的值10．过定点点轴相交于与，且与线）任作互相垂直的两直（M x l l l b a A 121,的轨迹方程中点点，求线段轴相交于与P MN N y l 2。

高一下学期物理人教版(2019)高中物理必修第二册第五章第一节曲线运动学案

第一节曲线运动(学案)课前篇（学会自主学习——不看不清）一、课前目标1．学会建立直角坐标系描述平面内物体的运动．2．知道什么是曲线运动，了解曲线的切线。

3．知道曲线运动速度的方向4．知道确定运动性质的基本方法：通过参数方程求轨迹方程．5．理解曲线运动的条件二、知识储备牛顿第二定律内容平行四边形定则三、自主预习1 ．什么是曲线运动？并举出物体做曲线运动的实例．2 ．曲线运动的速度方向怎样？（1）实例①在砂轮上磨刀具时，刀具与砂轮接触处有火星沿砂轮的飞出；②撑开的带着水的伞绕伞柄旋转，伞面上的水滴沿伞边各点所划圆周的飞出．（2）结论质点在某一点（或某一时刻）的速度的方向是。

3 ．曲线运动是什么性质的运动？4 ．研究质点在做直线运动时需要建立什么坐标系？研究质点在平面内的运动需要建立什么坐标系？5 ．阅读课本“运动描述的实例”部分，回答下面问题：在一端封闭、长约lm 的玻璃管内注满清水，水中放一红蜡做的小圆柱体R ，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧（图甲）．将玻璃管倒置（图乙），蜡块R 沿玻璃管上升．将玻璃管上下颠倒，在蜡块上升的同时，将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀速移动，观察蜡块的运动（图丙）。

( l ）蜡块的位置① 坐标系的建立：以运动时蜡块的位置为原点，以的方向为 x 轴的正方向，以的方向为 y 轴的正方向。

② 位置坐标：将玻璃管向右匀速移动的速度设为x v ，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为y v , x v 、y v 都不随时间变化，是常量。

在时刻 t ，蜡块的位置可用它的两个坐标 x 、y 表示： x = ， y = 。

( 2 ）蜡块运动的轨迹① 轨迹方程： y = 。

② 几何性质：蜡块相对于黑板的运动轨迹是。

( 3 ）蜡块的速度①大小：②方向： v 跟 x v 方向间夹角为 θ，则 θtan =6 ．实验中蜡块同时参与了两个运动（分运动），一方面沿着玻璃管匀速上升（一个分运动）；一方面随着玻璃管向右匀速运动（另一个分运动）．蜡块实际的运动是合运动，合运动与分运动有什么关系？7．物体做曲线运动的条件( l ）实例分析一个在水平面上做直线运动的钢珠，从旁侧给它一个力，它的运动方向就会改变，不断给钢珠施加侧向力，或者在钢珠运动路线的旁边放一块磁铁，钢珠就原来的方向而做曲线运动．( 2 ）理论分析曲线运动既然是一种变速运动，就一定有加速度，由牛顿第二定律可知，也一定受到作用．① 当运动物体所受合外力的方向跟物体的速度方向在同一条直线上（同向或反向）时，合外力只改变速度，不改变速度的，这时物体做直线运动。

2.6.1曲线与方程预习案教学案

一、预习目标了解曲线方程的概念，并能根据曲线方程的概念解决一些简单问题。

二、要点扫描1．曲线的方程的概念是什么？三、质疑问难四、牛刀小试1．判断下列结论的正误，并说明理由：（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为3x=；（2）到x轴距离为2的点的直线方程为2y=-；（3）到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为1xy=；（4）△ABC的顶点A（0，-3），B（1，0），C（-1，0），D为BC的中点，中线AD的方程为0x=。

2. 如果曲线C上的任一点的坐标都满足方程(,)0F x y=，则以下说法正确的是（1）曲线C的方程为(,)0F x y=；（2）方程(,)0F x y=的曲线是C；（3）坐标满足方程(,)0F x y=的点在曲线C上；（4）坐标不满足方程(,)0F x y=的点不在曲线C上。

3．已知曲线2290++-=经过三点A（-1，，B（1，，C（3），ax by cx求曲线的方程。

x=吗？如果是，请说明理由；如果不是，请写出4．与y轴的距离为2的直线l的方程是2正确结论。

一、学习目标1．了解曲线方程的概念。

2. 能根据曲线方程的概念解决一些简单问题。

二、要点概述三、合作探究探究一：判断点-，(4,1)-是否是圆2216x y+=上．方法总结：探究二：已知一座圆拱桥的跨度是40m，圆拱高为8m.以圆拱所对的弦AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy如图。

（1）求圆拱的方程。

（2）若有一货船宽20m，高4m，问：能否通过此桥？方法总结：四、目标检测学习讲义P67 1,2,3,8五、迁移应用课本习题2.6（1）1～4x y。

学案8：2.1.1曲线与方程

2.1.1曲线与方程学习目标1．结合已知的曲线及其方程实例，了解曲线与方程的对应关系．2．了解数与形结合的基本思想．学习重点：理解曲线的方程和方程的曲线的概念．学习难点：曲线和方程通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系．学习过程自学导引曲线的方程与方程的曲线1．在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做______________；这条曲线叫做________________．2．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，点P的坐标是(x0，y0)，则①点P在曲线C上⇔____________；②点P不在曲线C上⇔____________.3．求曲线方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对________表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝__________；(3)用________表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．想一想：如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，能否认为f(x0，y0)＝0是点P0(x0，y0)在曲线上的充要条件？名师点睛曲线的方程与方程的曲线概念的理解(1)定义中两个条件是轨迹性质的体现．条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外(纯粹性)；而条件“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．(2)定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据，缺一不可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立．(3)定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以求曲线的方程.例题解析例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k .变式训练1、若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题为真命题的是()．A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点2、判断下列命题是否正确．(1)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y＝r2－x2；(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2.3、求方程(x＋y－1)x－1＝0所表示的曲线．4、方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是()．课堂作业一、选择题1．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是( )2．已知直线l 的方程是f (x ，y )＝0，点M (x 0，y 0)不在l 上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线是( )A ．直线lB ．与l 垂直的一条直线C ．与l 平行的一条直线D ．与l 平行的两条直线3．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )A ．y ＝x 与y 2＝xB ．y ＝x 与x y＝1 C ．y 2－x 2＝0与|y |＝|x |D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x4．已知点A (－2,0)，B (2,0)，C (0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是( )A ．x ＝0B ．x ＝0(0≤y ≤3)C ．y ＝0D ．y ＝0(0≤x ≤2)5．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝4 (x >0)C ．y ＝－4－x 2D ．y ＝－4－x 2 (0<x <2)6．如果曲线C 上的点的坐标满足方程F (x ，y )＝0，则下列说法正确的是( )A ．曲线C 的方程是F (x ，y )＝0B ．方程F (x ，y )＝0的曲线是CC ．坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上D ．坐标满足方程F (x ，y )＝0的点都在曲线C 上二、填空题7．若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A (0,2)和B ⎝⎛⎭⎫12，3，则a ＝________，b ＝________. 8．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为______________________________．9．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|P A |＝3|PO |，则点P 的轨迹方程是________________．三、解答题10．已知平面上两个定点A ，B 之间的距离为2a ，点M 到A ，B 两点的距离之比为2∶1，求动点M 的轨迹方程．11．动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．课堂小结1．曲线C 的方程是f (x ，y )＝0要具备两个条件：①曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解；②以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．2．求曲线的方程时，要将所求点的坐标设成(x ，y )，所得方程会随坐标系的不同而不同．3．方程化简过程中如果破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．参考答案学习过程知识梳理1．(2)曲线的方程方程的曲线2．①f (x 0，y 0)＝0 ②f (x 0，y 0)≠03．(1)(x ，y ) (2){M |p (M )} (3)坐标想一想：能．由曲线方程的定义可知，如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0，那么点P 0(x 0，y 0)在曲线C 上的充分必要条件是f (x 0，y 0)＝0.例题解析例1证明：（1）如图，设M (x 0，y 0)是轨迹上的任意一点.因为点M 与x 轴的距离为 0y ，与y 轴的距离为 0x ，所以00x y k =即(x 0，y 0)是方程xy =±k 的解.设点M 1的坐标（x 1,y 1）是方程xy =±k 的解，则x 1y 1=±k ，即 11x y k =变式训练1、D 【解析】∵题设命题只说明“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，并未指出“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”，∴A ，B ，C 都是假命题，如曲线C ：平面直角坐标系一、三象限角平分线上的点，与方程f (x ，y )＝x 2－y 2＝0，满足题设条件，但却不满足选项A ，B ，C 的结论，根据逆否命题是原命题的等价命题知，D 是正确的．2、解 (1)不正确．设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2－x 2的解，则y 0＝r 2－x 20，即x 20＋y 20＝r 2.两边开平方取算术平方根，得x 20＋y 20＝r 即点(x 0，y 0)到原点的距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r的圆上的一点如点(r 2，－32r )在圆上，却不是y ＝r 2－x 2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r 的圆的方程不是y ＝r 2－x 2，而应是y ＝±r 2－x 2.(2)不正确．直线l 上的点的坐标都是方程|x |＝2的解．然而，坐标满足|x |＝2的点不一定在直线l 上，因此|x |＝2不是l 的方程，直线l 的方程为x ＝2.3、解依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x －1≥0或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.综上可知，原方程所表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1.规律方法判断方程表示什么曲线，需对方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解法或化为我们所熟悉的形式，然后根据方程的特征进行判断．4、C【解析】方程x 2＋y 2＝1表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，而约束条件xy <0则表明单位圆上点的横、纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分．课堂作业一、选择题1．B 【解析】可以利用特殊值法来选出答案，如曲线过点(－1,0)，(－1,2)两点．2．C 【解析】方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示过点M (x 0，y 0)且和直线l 平行的一条直线．故选C.3．C 【解析】考虑x 、y 的范围．4．B 【解析】直接法求解，注意△ABC 底边AB 的中线是线段，而不是直线．5．D 【解析】注意所求轨迹在第四象限内．6．C 【解析】直接法：原说法写成命题形式即“若点M (x ，y )是曲线C 上的点，则M 点的坐标适合方程F (x ，y )＝0”，其逆否命题是“若M 点的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则M 点不在曲线C 上”，此即说法C.特值方法：作如图所示的曲线C ，考查C 与方程F (x ，y )＝x 2－1＝0的关系，显然A 、B 、D 中的说法都不正确．7．16－83 28．4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0【解析】设动点坐标为(x ，y )，则|4x ＋3y －5|5＝1，即|4x ＋3y －5|＝5.∴所求轨迹方程为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.9．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝010．解以两个定点A ，B 所在的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．由于|AB |＝2a ，则设A (－a,0)，B (a,0)，动点M (x ，y )．因为|MA |∶|MB |＝2∶1，所以x ＋a 2＋y 2∶x －a 2＋y 2＝2∶1，即x ＋a 2＋y 2＝2x －a 2＋y 2，化简得⎝⎛⎭⎫x －5a 32＋y 2＝169a 2. 所以所求动点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －5a 32＋y 2＝169a 2. 11．解设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵P 为MB 的中点，∴⎩⎨⎧ x ＝x 0＋32y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3y 0＝2y ，又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1.∴点P 的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.。

学案---抛物线方程

第12章圆锥曲线§12.7(1) 抛物线的标准方程（1）上海市崇明中学组卷人汤杰【学习目标】1、理解抛物线的定义，掌握抛物线方程的推导过程2、掌握抛物线标准方程的四种形式【教学重点与难点】抛物线的定义和抛物线的标准方程。

【学习导引】（一）复习回顾：问题1、我们已经学过了哪几种曲线？它们各自是如何定义的呢？标准方程又如何？问题2、同学们对抛物线有了哪些认识？（在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运动轨道；在数学的函数中，抛物线是二次函数的图像）问题3、已知抛物线2,(0)y ax a =>，思考抛物线上任意一点P 到定点1(0,)4F a 和定直线1:4l y a =-距离有什么关系？问题4、我们能不能说抛物线是到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹呢？（二）抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

其中定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线。

（三）抛物线的方程：1、推导抛物线的方程：如何建系，设点，列式，化简？2、椭圆与双曲线的定义与推导过程，与抛物线的推导过程有何相同点和不同点？3、完成下列表格：例1、写出抛物线2xy=的焦点坐标、准线方程，并画出大致图象。

巩固练习：如果将方程改为2=呢？写出它的焦点坐标与准线方程。

若该曲线上有y-2x一点到焦点的距离是4，试问它到y轴的距离是多少？你能求出它的坐标吗？x+=的距离小2，求点P的轨迹方程。

例2、若点P与点(2,0)F的距离比它到直线40【课后反思】§12.7 (1) 抛物线的标准方程（2）上海市崇明中学组卷人汤杰【学习目标】1、熟练掌握抛物线的定义，掌握抛物线标准方程的四种形式2、进一步理解解析几何的基本思想方法，提高学生分析、类比、归纳、与转化的能力【教学重点与难点】抛物线的定义和抛物线的标准方程【复习回顾】1、1）已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程；2）已知抛物线的焦点坐标是(0,2)F -，求它的标准方程。

高中2012高中数学《2.2.1双曲线及其标准方程》学案

§2.2.1双曲线及其标准方程(一)复习1．椭圆的定义是什么？2．椭圆的标准方程是什么？焦点在x 轴上，焦点y 在轴上,如果平面内与两定点的距离的差是常数，这时候动点轨迹是什么？二1、双曲线定义：把平面内与两个定点12,F F 的的等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做，两个焦点间的距离叫做。

定义中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ” 2、双曲线标准方程：222b a c += （1）焦点在x 轴:（2）焦点在y 轴:3、双曲线标准方程的推导：（1）建系(2 ) 设点（3）列式（4）化简方程例1求适合下列条件的双曲线的标准方程（1）a=4,b=3;（2）焦点在x 轴上，经过点（2-,3-),(315,2);（3）焦点为（0，-6），（0，6），且经过点（2，-5)。

例2已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到21F F ，的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程。

例3 已知双曲线（1）求左右焦点的坐标。

（2）如果此双曲线上一点P 与左焦点的距离是16，求它与右焦点的距离. 变式，若将(2)中16改为14，这时候求它与右焦点的距离，还是两解吗？为什么？1453622=-y x例4：已知A,B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程。

[当堂检测]1双曲线12322=-y x 的焦点坐标是（） A 、（0,5±） B 、（5,0±）C 、（0,1±） D 、（1,0±2．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0)，2b ＝4，则双曲线的标准方程是( )A.x 25－y 24＝1B.y 25－x 24＝1C.x 23－y 22＝1 D.x 29－y 216＝1 3、方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分4已知方程12522=---k y k x 的图形是双曲线，那么k 的取值范围是（） A 、k>5 B 、k>5，或-2<k<2 C 、k>2,，或k<-2 D 、-2<k<25、已知双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是________．6．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0)B ．(52，0)C ．(62，0) D (1,0)7．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．18、过点(1,1)且b a＝2的双曲线的标准方程为________．．9已知方程22121x y k k +=--表示双曲线,求k 的取值范围.10已知双曲线C 的方程1201622=-x y .（1）求双曲线的焦点21,F F 坐标（2）如果双曲线C 上的一点P 与焦点1F 的距离等于8，求点P 与焦点2F 的距离11、根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)过点P )415,3(，Q )5,316(-且焦点在坐标轴上； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上12、求与椭圆152522=+y x 有共同焦点且过点（2,23）的双曲线的标准方程；。

高考数学一轮复习 8.9 曲线与方程精品教学案(教师版) 新人教版

【考纲解读】了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.已知曲线形状,求方程:可以用待定系数法.2.未知曲线的形状,求方程:(1)直接法:直接由条件列式,化简整理即可;(2)代入法:明确主动点与被动点;(3)定义法:利用圆或圆锥曲线的定义求轨迹方程.【例题精析】考点一求曲线方程例1.(2012年高考湖北卷文科21)设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）.当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。

（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。

（2）过原点且斜率为K的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，请说明理由.因为P，H两点在椭圆C上，所以222211222222,,m x y mm x y m⎧+=⎪⎨+=⎪⎩两式相减可得222221212()()0m x x y y -+-=. ③【名师点睛】本小题主要考查直线与圆以及圆锥曲线等基础知识,考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等数学思想方法，考查同学们分析问题和解决问题的能力. 【变式训练】1.（2012年高考辽宁卷文科20）(本小题满分12分)如图，动圆2221:C x y t +=,1<t<3,与椭圆2C ：2219x y +=相交于A ，B ，C ，D 四点，点12,A A 分别为2C 的左，右顶点。

初中物理曲线问题教案

初中物理曲线问题教案一、教学目标1. 让学生了解曲线运动的概念，知道曲线运动的特点。

2. 让学生掌握物体做曲线运动的条件，理解速度、加速度与曲线运动的关系。

3. 培养学生的观察能力、分析能力及动手实践能力。

4. 激发学生对物理学习的兴趣，培养学生的创新思维。

二、教学内容1. 曲线运动的概念及特点2. 物体做曲线运动的条件3. 速度、加速度与曲线运动的关系4. 曲线运动的实际应用三、教学重点与难点1. 教学重点：曲线运动的概念、特点及物体做曲线运动的条件。

2. 教学难点：速度、加速度与曲线运动的关系。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究曲线运动的特点及条件。

2. 利用多媒体动画演示，直观地展示曲线运动的现象，增强学生的直观感受。

3. 结合实例分析，让学生深入理解曲线运动与速度、加速度的关系。

4. 开展小组讨论，培养学生的合作意识，提高学生的实践能力。

5. 采用分层教学法，关注学生的个体差异，使全体学生都能在原有基础上得到提高。

五、教学步骤1. 导入新课：通过展示多媒体动画，让学生观察物体做曲线运动的现象，引导学生思考曲线运动的特点。

2. 讲解曲线运动的概念及特点：总结曲线运动的特点，如轨迹为曲线、速度方向不断变化等。

3. 分析物体做曲线运动的条件：讲解合力与速度不在同一直线上的关系，让学生理解物体做曲线运动的条件。

4. 讲解速度、加速度与曲线运动的关系：通过实例分析，让学生知道在曲线运动中，速度方向时刻变化，加速度不一定为零。

5. 开展小组讨论：让学生结合实例，探讨曲线运动中速度、加速度的变化规律。

6. 总结曲线运动的实际应用：介绍曲线运动在生活中的应用，如圆周运动、平抛运动等。

7. 课堂练习：布置一些有关曲线运动的练习题，让学生巩固所学知识。

8. 课后作业：布置一些有关曲线运动的思考题，培养学生的创新思维。

六、教学反思在教学过程中，要注意关注学生的个体差异，针对不同程度的学生进行分层教学，使全体学生都能在原有基础上得到提高。

潍坊一中学案双曲线的标准方程及拓展案

潍坊一中学案双曲线的标准方程及拓展案高二数学百尺竿头，更进一步选修1-1编号23 双曲线及其标准方程命题：王光图审核：张光明学习目标：1、理解双曲线的定义及焦点、焦距的意义。

2、掌握双曲线的标准方程及特点；会求简单的双曲线的标准方程。

重点及难点：双曲线的定义的理解和标准方程的特点。

一、复习引入复习椭圆的定义，引出双曲线的定义。

1、让学生回答椭圆的定义（略,巩固椭圆的基础知识）2、引出双曲线的定义。

思考：若F1、F2是平面内的两个定点，动点P满足PF1?PF2=2a（常数）（2a＜F1F2），那么P点的轨迹是什么呢？二、课程新授双曲线定义：双曲线的焦点: 双曲线的焦距: 注意：双曲线的方程的推导过程：思考：焦点在y轴上时方程是什么？24P-5F1A1O-2A2F25 y2x2222??1 （＞b＞0，= 焦点在y轴上）， a?bca22ab思考：1）双曲线焦点不同，方程有何异同？2）双曲线与椭圆方程有何区别？1高二数学百尺竿头，更进一步选修1-1练习：1、下列方程表示什么图形？若是双曲线求出其焦点的坐标。

x2y2（1）??1 （2）y2?x2?1 （3）4y2?9x2?3642x2y22、若??1表示双曲线，则k的范围是。

k?1k?1三、典型例题：例1、1）已知F1（-5，0）、F2（5，0），动点P满足PF1?PF2=6，求P点的轨迹方程。

思考：若P满足(1)、PF1?PF2?6呢？(2)、PF2?PF1?6呢？(3)、PF1?PF2?10呢？分别说出P点的轨迹并写出其轨迹方程。

2）双曲线的一个焦点坐标是（0，―6），经过点A(-5,6)。

例2、已知双曲线的焦点在y轴上且双曲线上的两点P，P2（1（3，-42）双曲线的标准方程？29，5），求4高二数学百尺竿头，更进一步选修1-1例3、相距2000m的两个哨所A,B，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速是330m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所听到时迟4s，是判断爆炸在什么样的曲线上，并求出曲线的方程。