2012年龙文区六一竞赛八年级数学试卷

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2012年全国初中数学竞赛试题及答案(正题、副题)2012年全国初中数学竞赛试题及答案(正题、副题)

2012年全国初中数学竞赛试题（正题）题号一二三总分1～56～101112 1314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）．（第1（甲）题）（A）2c-a（B）2a-2b（C）-a（D）a1（乙）．如果，那么的值为（）．（A）（B）（C）2 （D）2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）2（乙）．在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A）1 （B）（C）（D）3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（）．（第3（乙）题）（A）（B）4 （C）（D）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44（乙）．如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．（A）5 （B）6 （C）7 （D）85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（）．（A）（B）（C）（D）5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是.（第6（甲）题）6（乙）. 如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为．7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .（第7（甲）题）（第7（乙）题）7（乙）．如图，的半径为20，是上一点.以为对角线作矩形，且.延长，与分别交于两点，则的值等于．8（甲）．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的两个实数根分别为，，那么的值为．8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为 .9（甲）．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为.风味试卷试题根据语境9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是.D10（甲）．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的长为.的小伙子化学教案他离开公司后化学教案会去哪（第10（甲）题）10（乙．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11（甲）．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．11（乙）．如图，在平面直角坐标系xOy中，AO = 8，AB = AC，sin∠ABC=．CD与y轴交于点E，且S△COE = S△ADE. 已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.（第11（乙）题）12（甲）．如图，的直径为，过点，且与内切于点．为上的点，与交于点，且．点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：△BOC∽△．（第12（甲）题）12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB+AD = 2BD.（第12（乙）题）13（甲）．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.13（乙）．凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由14（甲）．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.14（乙）．将（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案一、选择题1（甲）．C解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知，且，所以．1（乙）．B解：．2（甲）．D解：由题设知，，，所以.解方程组得所以另一个交点的坐标为（3，2）.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.2（乙）．B解：由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤≤2.因为均为整数，所以有解得以上共计9对.3（甲）．D解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为，中位数为，于是.3（乙）．B解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.（第3（乙）题）由于AC = BC，CD = CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，所以△BCD≌△ACE，BD = AE.又因为，所以.在Rt△中，于是DE=，所以CD = DE = 4.4（甲）．D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得消去x得(2y－7)n = y+4，2n =.因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．4（乙）．C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时，，所以，即. 由于都是正整数，所以，1≤q≤5；或，1≤q≤2，此时都有. 于是共有7组符合题意．5（甲）．D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大．5（乙）．C解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则，解得，．二、填空题6（甲）．7＜x≤19解：前四次操作的结果分别为3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.由已知得27x－26≤487，81x－80＞487.解得7＜x≤19.容易验证，当7＜x≤19时，≤487 ≤487，故x的取值范围是7＜x≤19．6（乙）．7解：由已知可得．7（甲）．8解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△，所以，由此得所以.（第7（甲）题）在Rt△ABF中，因为，所以，于是.由题设可知△ADE≌△BAF，所以，.于是，，.又，所以.因为，所以.7（乙）．解：如图，设的中点为，连接，则．因为，所以，．（第7（乙）题）所以.8（甲）．解：根据题意，关于x的方程有=k2－4≥0，由此得 (k－3)2≤0．又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=.故==．8（乙）．1610解：因为==.当被5除余数是1或4时，或能被5整除，则能被5整除；当被5除余数是2或3时，能被5整除，则能被5整除；当被5除余数是0时，不能被5整除.所以符合题设要求的所有的个数为．9（甲）．8解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知，由此得0≤b≤43.又，所以. 于是0≤≤43，87≤≤130，由此得，或.当时，；当时，，，不合题设.故．9（乙）．≤1解：由题设得所以，即.整理得，由二次函数的图象及其性质，得.又因为≤1，所以≤1.10（甲）．解：如图，连接AC，BD，OD.（第10（甲）题）由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，所以∠BCF =∠BAD,所以Rt△BCF∽Rt△BAD，因此.因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，于是. 因此.由△∽△，知．因为，所以，BA=AD，故.10（乙）. 12解：由已知有，且为偶数，所以同为偶数，于是是4的倍数．设，则1≤≤25．（Ⅰ）若，可得，与b是正整数矛盾．（Ⅱ）若至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对满足；若恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对满足．（Ⅲ）若是素数，或恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足．因为有唯一正整数对，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个．三、解答题11（甲）．解：因为当时，恒有，所以，即，所以．…………（5分）当时，≤；当时，≤，即≤，且≤，解得≤．…………（10分）设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得．因为，所以，解得，或．因此．…………（20分）11（乙）．解：因为sin∠ABC=，，所以AB = 10．由勾股定理，得BO=.（第11（乙）题）易知△ABO≌△ACO，因此CO = BO = 6.于是A（0，－8），B（6，0），C（－6，0）.设点D的坐标为（m，n），由S△COE = S△ADE，得S△CDB = S△AOB. 所以，，解得n=－4.因此D为AB的中点，点D的坐标为（3，－4）.…………（10分）因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△A BC的重心，所以点E的坐标为.设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a（x－6）（x+6）. 将点E的坐标代入，解得a =.故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为.…………（20分）12（甲）．证明：连接BD，因为为的直径，所以．又因为，所以△CBE是等腰三角形．（第12（甲）题）…………（5分）设与交于点，连接OM，则．又因为，所以．…………（15分）又因为分别是等腰△，等腰△的顶角，所以△BOC∽△．…………（20分）12（乙）．证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知（第12（乙）题）所以CI = CD．同理，CI = CB.故点C是△IBD的外心.连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC，所以OI⊥AC，即OI⊥CI.故OI是△IBD外接圆的切线.…………（10分）（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F.由，知OC⊥BD.因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以Rt△BCF≌Rt△AIE，所以BF = AE.又因为I是△ABD的内心，所以AB+AD－BD = 2AE = BD.故AB+AD = 2BD．…………（20分）13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是正整数）.因为(a+b)2－4ab = (a－b)2，所以 (2a－m)2－4n2 = m2，(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2.…………（5分）因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n(m为素数)，所以2a－m+2n m 2，2a－m－2n1.解得a，.于是= a－m.…………（10分）又a≥2012，即≥2012.又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025.当时，，，.因此，a的最小值为2025.…………（20分）13（乙）．解：假设凸边形中有个内角等于，则不等于的内角有个．（1）若，由，得，正十二边形的12个内角都等于；…………（5分）（2）若，且≥13，由，可得，即≤11．当时，存在凸边形，其中的11个内角等于，其余个内角都等于，．…………（10分）（3）若，且≤≤．当时，设另一个角等于．存在凸边形，其中的个内角等于，另一个内角．由≤可得；由≥8可得，且．…………（15分）（4）若，且3≤≤7，由（3）可知≤．当时，存在凸边形，其中个内角等于，另两个内角都等于．综上，当时，的最大值为12；当≥13时，的最大值为11；当≤≤时，的最大值为；当3≤≤7时，的最大值为．…………（20分）14（甲）．解：由于都是正整数，且，所以≥1，≥2，…，≥2012．于是≤．…………（10分）当时，令，则.…………（15分）当时，其中≤≤，令，则．综上，满足条件的所有正整数n为．…………（20分）14（乙）．解：当时，把分成如下两个数组：和．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．所以，≥．…………（10分）下面证明当时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组. 同理可设在第一组，在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时．综上，满足题设条件．所以，的最小值为．…………（20分）2012年全国初中数学竞赛试题（副题）题号一二三总分1～56～101112 1314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1. 小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：由上，我们可知第100行的最后一个数是（）．（A）10000 （B）10020 （C）10120 （D）102002. 如图，在3×4表格中，左上角的1×1小方格被染成黑色，则在这个表格中包含黑色小方格的矩形个数是（）．（A）11 （B）12 （C）13 （D）14（第2题）3．如果关于的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44. 若函数y=（k2－1）x2－（k+1）x+1（k为参数）的图象与x轴没有公共点，则k的取值范围是（）．（A）k＞，或k＜－1 （B）－1＜k＜，且k≠1（C）k＞，或k≤－1 （D）k≥，或k≤－15. △ABC中，，分别为上的点，平分，BM=CM，为上一点，且，则与的大小关系为（）．（A）（B）（C）（D）无法确定二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6. 如图，正方形ABCD的面积为90．点P在AB上，；X，Y，Z三点在BD上，且，则△PZX的面积为．（第6题）7．甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地．乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后分钟追上乙车．8. 设a n=（n为正整数），则a1+a2+…+a2012的值 1.（填“＞”，“＝”或“＜”）9．红、黑、白三种颜色的球各10个．把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等，那么共有种放法．10. △ABC中，已知，且b=4，则a+c= .②将醚层依次用饱和亚硫酸三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. 已知c≤b≤a，且，求的最小值．12. 求关于a，b，c，d的方程组的所有正整数解.13. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC，BD相交于点O．P，Q分别是AD，BC上的点，且，．求证：OP＝OQ．（第13题）14.（1）已知三个数中必有两个数的积等于第三个数的平方，求的值.（2）设为非零实数，为正整数，是否存在一列数满足首尾两项的积等于中间项的平方？（3）设为非零实数，若将一列数中的某一项删去后得到又一列数（按原来的顺序），满足首尾两项的积等于中间项的平方. 试求的所有可能的值.2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案一、选择题1．D解：第k行的最后一个数是，故第100行的最后一个数是．2. B解：这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定，由于包含黑色小方格，于是，对角线的一个端点确定，另一个端点有3×4=12种选择.3．B解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数．≥0，又2≥，所以，当时，解得；当时，解得．4. C解：当函数为二次函数时，有k2－1≠0，=(k+1)2－4(k2－1)＜0.解得k＞，或k＜－1．当函数为一次函数时，k=1，此时y=－2x+1与x轴有公共点，不符合题意．当函数为常数函数时，k=－1，此时y=1与x轴没有公共点.所以，k的取值范围是k＞，或k≤－1.5. B（第5题）解：如图，设，作BKCE，则，于是A，B，E，C四点共圆. 因为是的中点，所以，从而有，即平分.二、填空题6. 30（第6题）解：如图，连接PD，则．7．180解：设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x，y，z米，由题意知，．消去z，得．设甲车出发后t分钟追上乙车，则，即，解得．8．＜解：由a n==，得a1+a2+…+a2012==＜1.9．25解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有1≤≤9，且，（1）即，（2）于是．因此中必有一个取5．不妨设，代入（1）式，得到．此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y=5，或者z=5时，也各有9种放法．但时，两种放法重复．因此共有9×3－2 = 25种放法．10. 6（第10题）解：如图，设△ABC内切圆为⊙I，半径为r，⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，连接IA，IB，IC，ID，IE，IF.由切线长定理得AF=p－a，BD=p－b，CE=p－c，其中p=(a+b+c).在Rt△AIF中，tan∠IAF=，即tan.同理，tan，tan.代入已知等式，得.因此a+c=.三、解答题11. 解：已知，又，且，所以b，c是关于x的一元二次方程的两个根.故≥0，≥0，即≥0，所以≥20．于是≤-10，≥10，从而≥≥10，故≥30，当时，等号成立．12. 解：将abc=d代入10ab+10bc+10ca=9d得10ab+10bc+10ca=9abc.因为abc≠0，所以，.不妨设a≤b≤c，则≥≥＞0.于是，＜≤，即＜≤，＜a≤.从而，a=2，或3.若a=2，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤5.从而，b=3，4，5. 相应地，可得c=15，(舍去)，5.当a=2，b=3，c=15时，d=90；当a=2，b=5，c=5时，d=50.若a=3，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤.从而，b=2（舍去），3.当b=3时，c=(舍去).因此，所有正整数解为(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).13. 证明：延长DA至，使得，则，于是△DPC∽△，故，所以PO∥．（第13题）又因为△DPO ∽△，所以．同理可得，而AB∥CD，所以，故OP＝OQ．14.解：（1）由题设可得，或，或.由，解得；由，解得；由，解得.所以满足题设要求的实数.（2）不存在.由题设（整数≥1）满足首项与末项的积是中间项的平方，则有，解得，这与矛盾.故不存在这样的数列.（3）如果删去的是1，或者是，则由（2）知，或数列均为1，1，1，即，这与题设矛盾.如果删去的是，得到的一列数为，那么，可得.如果删去的是，得到的一列数为，那么，开得.所以符合题设要求的的值为1，或.41。

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2012年下学期八年级数学竞赛试题姓名____________ 班级__________一、选择题（每小题3分，共30分）1、函数y=121--x ，自变量x 的取值范围是（）A.x ＞1B.x ≠1C.x ≥1且x ≠5D.x ＞1且x ≠52、关于函数y= －x －5的图像，有如下说法：①.图像过点(0，－5) ， ②图像与x 轴的交点是（－5，0）， ③ 由图象可知y 随x 的增大而增大， ④图像不经过第一象限， ⑤图像是与y= -x+2平行的直线，其中正确说法有（）A ．5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个3、已知x1＋y 1=3，则y xy x y xy x +-++33的值等于（） A 、5 B 、10 C 、15 D 、204、已知整数a 、b 满足ab=12,则a ＋b 结果的可能值的个数是（）A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个5、一次函数y=kx-b 和正比例函数y=kbx 在同一坐标系内的大致图像不可能．．．的是（）6、形如d c b a 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为d cb a ＝ad －bc ，依此法则计算4132-的结果为（）A ．11B ．－11C ．5D ．－27、由4个2组成的数中，最大的一个数是（）A 、2222B 、2222C 、2222D 、22228、的值( )（A ）在1到2之间（B ）在2到3之间（C ）在3到4之间（D ）在4到5之间9、已知⊿ABC 中AB=10,BC=15,CA=20,O 是⊿ABC 内角平分线的交点,则⊿ABO,⊿BCO,⊿CAO 的面积比是 ( )A 、1:1:1;B 、1：2:3;C.2:3:4; D.3:4:5 10、对于任意x 的允许取值范围，p=∣1-2x ∣＋∣1-3x ∣＋∣1-4x ∣＋∣1-5x ∣＋∣1-6x ∣＋∣1-7x ∣＋∣1-8x ∣＋∣1-9x ∣＋∣1-10x ∣是一个定值，则这个定值是（）A 、2B 、3C 、4D 、5二、填空题（每小题3分，共30分）11、等腰三角形一腰的高等于腰的一半，则顶角是______________度。

2012年全国初中数学联赛试题(含答案)

2012年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知1a =，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是（ C ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为（ B ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为（ D ）A ．3 B ．3C ．3D ．34．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为（ B ） A ．18-. B ．0. C ．1. D ．98.5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p 的所有可能的值之和为（ B ）A ．0.B ．34-. C ．1-. D ．54-. 6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有（ C ）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=，则t =1±．2．使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 1 ．3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BCAP＝． 4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝332．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 解设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <. 又因为c 为整数，所以1114c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩ 所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为1694π. 二．（本题满分25分）如图，P A 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.证明：连接OA ，OB ，OC .∵OA ⊥AP ，AD ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B P C PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ，∴PD BD CD OD=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，P A 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM //BC ，求抛物线的解析式.解易求得点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .显然，12,x x 是一元二次方程2106x b x c -++=的两根，所以13x b c =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE.因为P A 为⊙D 的切线，所以P A ⊥AD ，又AE ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-. 又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.又因为AM //BC ，所以OA OMOB OC =3||2|6|-=-. 把6c =-代入解得52b =（另一解52b =-舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y x x =-+-.第二试（B ）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积. 解设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则60a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c ≤<及60a b c ++=得603a b c c =++<，所以20c >. 由a b c +>及60a b c ++=得602a b c c =++>，所以30c <. 又因为c 为整数，所以2129c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=，把60c a b =--代入，化简得60()18000ab a b -++=，所以322(60)(60)1800235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是326025,6035,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或2226025,6023,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩ 解得20,15,a b =⎧⎨=⎩或10,24.a b =⎧⎨=⎩当20,15a b ==时，25c =，三角形的外接圆的面积为6254π；当10,24a b ==时，26c =，三角形的外接圆的面积为169π.二．（本题满分25分）如图，P A 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E .证明：∠BAE ＝∠ACB .证明：连接OA ，OB ，OC ，BD . ∵OA ⊥AP ，AD ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B P C PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ， ∴PD BDCD OD =， ∴2BD CD PD OD AD ⋅=⋅=，∴BD AD AD CD=. 又∠BDA ＝∠BDP ＋90°＝∠ODC ＋90°＝∠ADC ，∴△BDA ∽△ADC ， ∴∠BAD ＝∠ACD ，∴AB 是△ADC 的外接圆的切线，∴∠BAE ＝∠ACB . 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，P A 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移1)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC .求抛物线的解析式.解抛物线的方程即2213(3)62b y x bc =--++，所以点P 23(3,)2b b c +，点C (0,)c . 设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .显然，12,x x 是一元二次方程2106x b x c -++=的两根，所以13x b =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE .因为P A 为⊙D 的切线，所以P A ⊥AD ，又AE ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-.又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.将抛物线2213(3)662b y x b =--+-向左平移1)个单位后，得到的新抛物线为2213(324)662by x b=--++-.易求得两抛物线的交点为Q23(312102)2bb+-+.由∠QBO＝∠OBC可得tan∠QBO＝tan∠OBC.作QN⊥AB，垂足为N，则N(312b+-，又233(x b b=+=，所以tan∠QBO＝QNBN2310212b+=12=22111)]22==⋅.又tan∠OBC＝OCOB1(2b==⋅，所以111)](22b⋅=⋅-.解得4b=（另一解45)03b=<，舍去）.因此，抛物线的解析式为21466y x x=-+-.。

学科竞赛题

2012—2013学年下期学科竞赛试卷八年级数学一、填空题（每小题2分，共20分）1、在式子2111331,,,;,22x xyax x y mπ+++中，分式的个数是 ;2、2005年新版人民币中一角硬币的直径约为0.022m，用科学记数法表示为 m.3、梯形ABCD中，BCAD//，1===ADCDAB，︒=∠60B,直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PDPC+的最小值。

4、如图，菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的周长L＝___ _____．5、如图，点P在双曲线(0)ky kx=≠上，点(12)P'，与点P关于y轴对称，则此双曲线的解析式为．6、如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指钝角）是度．7、已知：24111A Bx x x=+--+是一个恒等式，则A＝______,B=________。

8、如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2,BC＝3，则图中阴影部分的面积为．ABMNCD9、如图，直线L 1、L 2、L 3分别过正方形ABCD 的三个顶点A 、D 、C ，且相互平行，若L 1、L 2的距离为2，L 2、L 3的距离为4，则正方形的边长为．10、如图，已知∠AOB,OA ＝OB ，点E 在OB 边上，四边形AEBF 是矩形．请你只用无．刻度．．的直尺在图中画出∠AOB 的平分线（请保留画图痕迹）．二、选择题（每小题2分，共12分）11、15、如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点A 1处，已知OA=8，OC=4则点A 1的坐标为；A （4.8 ，6.4）B （4 ，6）C （5.4 ，5.8）D （5 ，6）12、如图，函数y ＝k （x ＋1）与(0)ky k x=<在同一坐标系中，图象只能是下图中的；13、下列语句中，不是命题的是（）。

1.竞赛试题

2012年秋季期八年级数学竞赛试题（考试时间：90分钟考试赋分：100分）班别姓名学号成绩一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把正确答案的标号填在答题卡内相应的位置上） 1．第1题图案是我国几家银行的标志，其中不是．．轴对称图形的是（）．（第1题）2．当实数x 的取值使得x －2有意义时，函数y =4x +1中y 的取值范围是（）．A ．y ≥－7B ．y ≤9C ．y ＞9D ． y ≥93．如第3题图，D E ，分别为A B C △的A C ，B C 边的中点，将此三角形沿D E 折叠，使点C 落在A B 边上的点P 处．若48C D E ∠=°，则A P D ∠等于（）A ．42°B ．58°C ．52°D ． 48°4．如第4题图，已知A B C △中，45ABC ∠=， F 是高A D 和B E 的交点，4C D =，线段D F 的长度（）A． B． C ．4 D．A ．B ．C ．D ．P第3题第5题第4题5．如第5题图，已知∠1＝∠2，则不一定．．．能使△ABD ≌△ACD 的条件是（） A ．AB ＝AC B ．BD ＝CD C ．∠B ＝∠C D ．∠ BDA ＝∠CDA6．如第6题图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P 点经过的路线为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y ．则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（）7．如第7题图，△ABC 中,∠A=36°，AB=AC ，BD 平分∠ABC,DE ∥BC,则图中等腰三角形的个数（）A.1个Ｂ． 3个 C. 5个 D. 4个第7题第8题第9题8．如第8题图，是一个等边三角形木框，甲虫P 在边框A C 上爬行（A ，C 端点除外），设甲虫P 到另外两边的距离之和为d ，等边三角形ABC 的高为h ，则d 与h 的大小关系是（）Ａ．d h >Ｂ．d h <Ｃ．d h = Ｄ．无法确定9．如第9题图所示，函数x y =1和34312+=x y 的图象相交于（－1，1），（2，2）两点．当21y y > 时，x 的取值范围是（）A ．x ＜－1B ．—1＜x ＜2C ．x ＞2D ． x ＜－1或x ＞2AEBCD第6题10．如第10题图，是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是（）第10题二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在答题卡中的横线上）11．如第11题图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为第11题12．如第12题图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为(-1，4). 将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C′的坐标是13．如第13题图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE 沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为cm．第17题第14题14．如第14题图所示，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所∙∙A B C Dx（第10题）第12题A′第13题示，那么△ABC 的面积是．三、解答题（本大题共8小题，满分共66分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15．计算：（6分）3+21196 －∣1 －3∣－32716．（7分）如第16题图,AB BD ⊥于点B ,ED BD ⊥于点D ,AE 交BD 于点C ,且BC D C=.求证AB ED =第16题第17题17．（7分）如第17题图，在平面直角坐标系中，A B C ∆的三个顶点的坐标分别为AB CDE（－2，5），（－4，3），（－1，1）．（1）作出A B C ∆向右平移5个单位的11A B C ∆；（2）作出A B C ∆关于x 轴对称的222A B C ∆，并写出点2C 的坐标．18．（8分）如第18题图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内．．．添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．第18题19．（9分）如第19题图，在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，其行走路线如下图所示：（1）填写下列各点的坐标：4A （，），8A （，），12A （，）；（2）写出点n A 4的坐标（n 是正整数）；（3）指出蚂蚁从点100A 到点101A 的移动方向.方法一方法二1A 2A 5A 6A 9A 10AO 3A 4A 7A 8A 11A 12A xy 第19题20．（9分）如第20题图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90o ,AC=CB ，F 是AB 边上的中点,点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD=CE ．连接DE 、DF 、EF ．（1）求证：△ADF ≌△CEF（2）证明：△DFE 是等腰直角三角形.21. （12分）如第21题图所示，某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x （分钟）与收费y （元）之的函数关系。

2012年四川(初二决赛)试题参考解答及评分细则

2012年四川初中数学竞赛初二决赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、Ｂ2、Ｂ3、Ｄ4、Ｃ5、A6、Ｃ二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1、24o2、７3、2-4、35三、（本大题满分20分）已知2(351)|31|0a b a b +-+++=，求关于x 的不等式63x ax b ->+的解集．解：由条件知3510310a b a b +-=⎧⎨++=⎩， ………5分解得2,1a b ==-． ………10分于是2163x x +>+，即553x >， ………15分解得3x >．故所求的解集为3x >． ………20分四、（本大题满分25分）设函数2y x =与4y x=的两个交点为11(,)A x y 、22(,)B x y ，其中12()x x >，点C -．求A B C ∆的面积ABC S ∆．解：联立24y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去y 得，42x x =， ………5分即22x =，解得x = ………10分所以，A,(B -. ………15分因为C -．所以，A B C ∆为直角三角形，且90ACB ∠=.显然AC BC ==………20分故11822A CB S AC B C ∆=⋅⋅=⨯=． ………25分五、（本大题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，H 为AEF ∆的垂心．求证：222EF AH AC +=．证明：连接EH 、HF ．因EH ⊥AF ，AF ⊥CD ，故EH ∥CD ，同理HF ∥BC ，故ECFH 是平行四边形． ………5分作AEH ∆沿HF 平移得CF A '∆，则'A 在AD 上． ………10分则F A AH '=，FE A '∆为直角三角形，且222''EF F A E A +=．………15分又因为AE ⊥BC ，故'A E C A 为矩形， ………20分故'A C E A =．所以,222EF AH AC +=． ………25分。

2012年初中数学竞赛试卷(八年级)

2012年初中数学竞赛试卷（八年级）一．选择题（每小题5分，共30分）1．一次数学测试后随机抽取八（2）班5名同学的成绩如下：98, 91, 78, 85, 98．关于这组数据的错误说法是----------------------------------------------------------------------------------------------（） A ．极差是20 B ．众数是98 C ．中位数91 D ．平均数是912．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是------------------------------------------------------------------（）A ．B ．C ．D ．3．如图，D 是Rt △ABC 斜边AB 的中点，E ,F 分别在AC,BC 上，且DE ⊥DF ，设△ADE 的面积,△BDF 的面积,四边形CEDF 的面积分别为S 1,S 2,S 3，则S 1,S 2,S 3之间的关系是-------------------------------（） A ．S 1+S 2>S 3 B ．S 1+S 2<S 3 C ．S 1+S 2＝S 3 D ．不能确定4．已知一次函数y =(a -2)x +1的图像不经过第三象限，化简446922+-++-a a a a 的结果是-------------------------------------------------------------------------------------------------------（） A ．1 B ．2a -5 C ．5-2a D ．-1 5．已知a ,b 为常数，若0>+b ax 的解集是31<x ,则0<-a bx 的解集是--------------（） A ．3-<xB ．3->xC ．3<xD ．3>x6．已知a 是方程x 2-5x +1=0的一个根，则a 4+a -4的个位数字是-----------------------------（）A ．3B ．5C ．7D ．9S 3S 2S 1D F E C BA二．填空题（每小题5分，共30分）7．无论x 取何实数，点P(1-x ,1+x )都不可能在第象限．8．已知直角坐标平面内四个点A (-1,0), B (3,0), C (0,3), D 是平行四边形的四个顶点，则点D 的坐标为．9．假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座位，租金400元；乙种客车每辆有50个座位，租金480元。

2012年下期八年级数学竞赛试题

2012年下期八年级数学竞赛试题（总分：100分时量：90分钟）一、精心选一选，慧眼视金：（每小题3分，共24分）1、．下列说法：① ()10102-=-；② 数轴上的点与实数成一一对应关系；③ －2是16 的平方根；④ 任何实数不是有理数就是无理数；⑤ 两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个、实数0a a +=，则a 是（） A. 非正数 B. 非零实数 C. 非负数 D. 负数、已知,m n 为实数且满足220m n +=, 则点P （,m n ）必在（） A. 原点 B. x 轴的正半轴 C. x 轴的负半轴 D. y 轴的正半轴、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（） A.75°或30° B.75° C.15° D.75°或15° 、直线y=5x －2经过第（）象限. A ．一、二、三 B ．一、二、四 C ．一、三、四 D ．二、三、、你一定听说过乌鸦喝水的故事吧！一个窄口瓶中盛了一些水，乌鸦想喝，但是够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水的高度随着石子的增多而升高，乌鸦喝到了水。

但还没解渴，瓶中的水就又下降到够不着的高度，乌鸦只好又去衔些小石子放入瓶中，水面又升高了，乌鸦终于喝足了水飞走了。

如果设衔入瓶中的石子的体积为x ，瓶中水面的高度为y ，下面能大致表示这个故事情节的图象是（） A. B. C. D. 、若直角三角形斜边上的高和中线分别是5cm ，6cm ，则它的面积是（）A 、60cm 2B 、 45 cm 2C 、30 cm 2D 、 15 cm 28、函数()322-+=m x m y 是正比例函数，则m 等于（）A ．2±B ．2C ．-2D ．4二．耐心填一填，一锤定音：（每小题3分，共24分）9、 64的平方根的立方根是。

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初二数学竞赛试题及答案一〔说明：本卷可使用计算器，考试时间120 分钟，总分值120 分〕一、选择题〔每题 5 分，共 30 分〕1、使a b a b 成立的条件是〔〕A 、 ab＞ 0B、 ab＞ 1C、 ab≤ 0 D 、 ab≤ 12、某商品的标价比本钱价高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损本钱，售价的折扣〔即降价的百分数〕不得超过 d%，那么 d 可用 p 表示为〔〕A 、pp B 、 p C、 100 p D、 100 p100100 p100 p3、有一种足球由32 块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，那么白皮的块数是〔〕A 、 22B 、 20C、 18 D 、 164、某个班的全体学生进行短跑、跳高、铅球三个工程的测试，有5 名学生在这三个工程的测试中都没有到达优秀，其余学生到达优秀的工程、人数如下表：短跳铅短跑、跳高、跑高球跳高铅球铅球、短跑短跑、跳高、铅球1718156652那么这个班的学生总数是〔〕A 、 35B 、 37C、 40 D 、 485、甲、乙、丙三个学生分别在 A 、B 、C 三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业，假设：①甲不在 A 校学习；②乙不在 B 校学习；③在 B 校学习的学数学；④在 A 校学习的不学化学；⑤乙不学物理，那么〔〕A 、甲在B 校学习，丙在 A 校学习B、甲在 B 校学习，丙在C 校学习C、甲在 C 校学习，丙在 B 校学习 D 、甲在 C 校学习，丙在 A 校学习6、： a、b 是正数，且 a+b=2，那么a21b2 4 的最小值是〔〕A 、13B 、5C、25 D 、7二、填空题〔每题 5 分，共30 分〕7、2x=a, 3x=t,那么24x=(用含 a,t 的代数式表示 )8、△ ABC 中， AB=AC=5 ， BC=6 ，点 F 在 BC 上，那么点 F 到另外两边的距离和是21999( x 2) 3( x 1) 211 的值为9、x5x0 ，那么代数式x2C 10、如图，正方形ABCD 的面积为 256，D点 F 在 AD 上，点 E 在 AB 的延长线上，F 直角△ CEF 的面积为200，那么 BE ＝.11、把 7 本不同的书分给甲、乙两人，A BE 甲至少要分到 2 本，乙至少要分到 1 本，两人的本数不能只相差1，那么不同的分法共有种 .12、如果用两个 1，两个2，两个3，两个 4，要求排成具有以下特征的数列：一对 1 之间正好有一个数字，一对2之间正好有两个数字，一对3之间正好有三个数字，一对 4 之间正好有四个数字，请写出一个正确答案.三、解答〔每小15 分，共 60 分〕13、某商店有 A 种本出售，每本零售0.30 元，一打〔 12 本〕售价 3.00 元， 10 打以上的，每打可以按2.70 元付款 .（1〕初二〔 1〕班共 57 人，每人需要 1 本 A 种本，班集体去，最少需要付多少元？（2〕初三年共 227 人，每人需要 1 本 A 种本，年集体去，最少需付多少元？14、察式子1×2× 3× 4＋ 1=5 22× 3×4× 5＋ 1＝112B3× 4×5× 6＋ 1＝192⋯⋯〔1〕猜测 20000× 20001× 20002× 20003+1＝〔〕2〔2〕写出一个具有普遍性的，并出明. 15、如：四形ABCD 中， AD ＝ DC，∠ ABC ＝ 30°，∠ADC ＝ 60° .探索以 AB 、 BC、 BD ，能否成直角三角形，并明理由 .AC16、四位数abcd是一个完全平方数，且D ab 2cd 1，求个四位数.[参答 ]1、C2、C3、 B4、C5、 A6、A7、a3 t8、9、 200410、 1211、 4912、 41312432 或 2342131413、〔1〕可买 5 打或 4 打 9 本，前者需付款× 5＝，后者只需付款× 4＋× 9＝ 14.7 元 .故该班集体去买时，最少需付14.7 元.〔2〕227＝ 12×18＋11，可买 19 打或 18 打加 11 本，前者需付款×19＝；后者需付款 2.70 ×18＋×11＝51.9 元，比前者还要多付 0.6 元.故该年级集体去买，最少需付 51.3 元.14、〔1〕 400060001〔2〕对于一切自然数n，有 n〔n+1〕 (n+2)(n+3)+1＝(n2+3n+1)2.证略故20000×20001×20002× 20003＋1＝〔 200002＋3×20000＋1〕2.＝400060001215、明：以BC 作等△ BCE ， AE 、 AC.因∠ ABC ＝ 30°，∠ CBE ＝ 60°，所以∠ ABE ＝90°，所以 AB 2＋ BE2＝AE 2①， AD ＝ DC ，∠ ADC ＝ 60°，所以△ ADC 是等三角形.因在△ DCB 和△ ACE 中， DC＝ AC ，∠DCB ＝∠ DCA ＋∠ ACB ＝∠ ECB ＋∠ ACB ＝∠ ACE ，而BC ＝CE，所以△ DCB ≌△ ACE ，所以 BD ＝ AE，而 BC ＝BE ，由①式，得BD 2＝AB 2＋ BC 2BA ECD16、设abcd m 2，那么32≤m≤99.又设 cd x ，那么 ab 2x 1.于是100〔2x＋1〕＋x＝m2，201x= m2－100即67×3x＝〔 m+10〕 (m－10).由于 67 是质数，故 m＋10 与 m－ 10 中至少有一个是67 的倍数 .〔1〕假设 m＋10＝67k〔k 是正整数〕，因为 32≤m≤99，则m+10=67,即 m＝57.检验知 572＝3249，不合题意，舍去 .〔2〕假设 m－10＝67k〔k 是正整数〕，那么 m－10＝67， m＝77.所以， abcd 77 25929.。

2012年龙文区六一竞赛八年级数学试卷

2012年龙文区六一竞赛八年级数学试卷（试卷满分：100分考试时间：120分钟）（沉着冷静，细心答题；挑战自我，相信自己！）一、精心选一选，相信你选得准！（每小题5分，共30分）1．三角形的三边长分别为6，1－3a ，10，则a 的取值范围是（） A ．－6＜a ＜－3 B ．5＜a ＜1 C ．－5＜a ＜－1D ．a ＞－1或a ＜－52．使分式xx y z x 5201020092010201020092008--+有意义的x 的取值范围是（）A ．x ≠0B ．x ≠0且x ≠±402C ．x ≠0且x ≠402D ．x ≠0且x ≠－4023．如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，且∠1＋∠2＝72°，则∠A ＝（） A ．72° B ．24° C ．36° D ．18° 4. 计算21-+32-+23-+52-+…+1099-结果为（）。

A ．10 B ．9C ．8D ．75．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（）。

A ．20kg B ．25kg C ．28kg D ．30kg 6．如果有四个不同的正整数m 、n 、p 、q 满足（7－m ）（7－n ）（7－p ）（7－q ）=4，那么m+n+p+q 等于（） A ．21 B ． 24 C ． 26 D ．28学校： __ 姓名：_____________ 考号：__________密封线二、细心填一填，相信你填得对！（每小题5分，共30分）7．已知实数x 、y 满足x 2—3x ＋4y ＝7，则3x ＋4y 的最大值为__________8、规定：=⊗=⊗+=⊕3212154则且ba kabb a ___________ 9．已知平面直角坐标系内A 、B 两点的坐标分别是(2 3B 4 1P , 0A x x --，），（，），（）是轴上的一个动点，则当x = _____________时，△PAB 的周长最短．10．已知22302010 672010 x y x y==+=，，则 .11．如图3所示的长方形中，甲、乙、丙、丁四块面积相等，甲的长是宽的2倍，设乙的长和宽分别是 :a b a b =和，则 .的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．．．.如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推，则2012a = 。

2012学年第二学期八年级数学竞赛试题卷

2012学年第二学期八年级数学竞赛试题卷分值：120分测试时间：120分钟一、选择题（6×4′=24′）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。

1、已知21+=m ，21-=n ，则代数式mn n m 322-+的值为（） A.9 B.±3 C.3 D. 52、已知关于x 的方程(a －1)x 2－2x+1=0有实数根,则a 的取值范围是( ) A.a ≤2 B,a>2 C.a ≤2且a ≠1 D.a<－2 3、足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成，如图所示黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．若一个球上共有黑白皮块32块，请你计算一下，黑色皮块和白色皮块的块数依次为（）A ．16块、16块B ．8块、24块C ．20块、12块D ．12块、20块 4、如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，在斜边AB 上取两点M 、N ，使 ∠MCN ＝45°．设MN ＝x ，BN ＝n ，AM ＝m ，则以x 、m 、n 为边的三角形的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.随x 、m 、n 的值而定5、某人才市场2012年下半年应聘和招聘人数排名前5个类别的情况如下图所示，若用同一类别中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该类别的就业情况，则根据图中信息，下列对就业形势的判断一定．．正确的是（） A ．医学类好于营销类 B ．建筑类好于法律类 C ．外语类最紧张 D ．金融类好于计算机类6、在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于直线CD 于点F ，若AB ＝5，BC ＝6，则CE ＋CF 的值为（） A ．11＋ 11 3 2 B ．11－ 11 32C ．11＋ 11 3 2或11－ 11 3 2D ．11+ 11 3 2或1＋ 32二、填空题（10×5′=50′）ABCMN类别（第8题）7、为了估计鱼塘中有多少条鱼，先从鱼塘捕捞100条鱼做上标记，然后放回鱼塘，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，又捕捞了两次，第一次捕捞了200条鱼，其中有24条有标记，第二次捕捞了220条，其中有18条有标记.估计鱼塘中鱼的数量为条. 8、有下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； ②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；③已知x 1、x 2中关于x 的方程2x 2＋px ＋P ＋1＝0的两根，则x 1＋x 2＋x 1x 2的值是负数； ④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂两个），则经过2小时它由1个分裂为16个； ⑤若方程210x mx +-=中0m >，则方程有一正根和一负根，且负根的绝对值较大. 其中正确的命题是 .9、在纸上画一个正六边形，在六边形外画一条直线a ，从六个顶点分别向直线a 引垂线可以得到k个不同的垂足，那么k 的值在3，4，5，6这四个数中不可能取得的是_________． 10、如图所示，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，点E 、F 、G 分别是AB 、BD 、AC 的中点，EG=32EF,EF+AD=12,则△ABC 的面积为__________. 11、商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．每件商品降价_________元时，商场日盈利可达到2100元。

2012年12月八年级数学区域性竞赛试题(含答案)

2012学年第一学期区域性八年级数学竞赛（2012年12月17日下午时间：120分钟满分：120分）一、选择题（每小题4分，共32分．在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1．在甲组图形的4个图中,每个图是由4种简单图形A 、 B 、 C 、D （不同的线段或圆）中的某两个图形组成的，例如由A 、B 组成的图形记为A ·B ．在乙组图形的(a )、(b )、(c )、(d )4个图中,表示“A ·D ”和“A ·C ”的是( )A ．(a )，(b )B ．(b )，(c )C ．(c )，(d )D ．(b )，(d ) 2． △ABC 中，∠B ＝90º，两直角边AB ＝7，BC ＝24，在三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是（）A ．1B ．3C ．6D ．无法求出 3．如图，在RtΔABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（）A ．32B ．76C ．256D ．24．已知a ，b 为实数，则解可以为 – 2 < x < 2的不等式组是（） A ．⎩⎨⎧>>11bx ax B ．⎩⎨⎧<>11bx ax C ．⎩⎨⎧><11bx ax D ．⎩⎨⎧<<11bx ax5．若直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有（）.A ．2h ab = B ．h b a 111=+ C ．222111hb a =+ D ．2222h b a =+ 6．横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数1236-+=x x y 的图象上整点的个数是（） A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个7. 已知ABC △中，AB AC =，D 为BC 边上一点，若ACD △和ABD △都是等腰三角形，则C ∠的度数为（）A ．36°B ．45°C ．36°或45°D ．45°或60°8．已知由小到大的10个正整数a 1，a 2，a 3，……，a 10的和是2012（a 1，a 2，a 3，……，a 10中任何两个数都不相等），那么a 5的最大值是（）ADBE CA ．5B ．330C ．331D ．1006二、填空题 (每小题5分，共30分)9．已知227a b +=，3a b +=，（a b >），则a b -=10．如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为5的线段________条.11．通过学习勾股定理的逆定理，我们知道在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形．类似地，我们定义：对于任意的三角形，设其三个内角的度数分别为x °、y °和z °，若满足222x y z +=，则称这个三角形为勾股三角形．已知某一勾股三角形的三个内角度数从小到大依次为x °、y °和z °，且xy =2160，则x +y 的值为 12．设n 为小于2012的正整数，现由单位正方体组成的n 级阶梯的第一行有1个正方形，第二行有两个正方形，第三行有三个正方形，…，第n 行有n 个正方形，且每行的正方形都是左端对齐的方式排列，图1为5级阶梯的图形，设()f n 为覆盖n级阶梯所需的任意整数边长的正方形块数的最小值。

2012年八年级数学竞赛(预、决赛)试题5套

2012年八年级数学竞赛（决赛）试题一、选择题（每小题5分，共30分）1．已知2220082008,2ca b a b c k k +=-==++=，且则的值为（）。

A ．4 B ．14 C ．－4 D ．14-2．若方程组312433x y k x y k x y x y +=+⎧<<-⎨+=⎩的解为，，且，则的取值范围是（）。

A ．102x y <-<B ．01x y <-<C ．31x y -<-<-D ．11x y -<-< 3．计算：2399100155555++++++=（）。

A ．10151- B ．10051- C ．101514- D ．100514-4．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（）。

A ．100°B ．105°C ．110°D ．120°5．已知5544332222335566a b c d a b c d ====，，，，则、、、的大小关系是（A ．a b c d >>>B ．a b d c >>>C ．b a c d >>>D ．a d b >>>6．若把分数97的分子、分母分别加上正整数913a b 、，结果等于，则a b +的最小值是（）。

A ．26 B ．28 C ．30 D ．32二、填空题：（每小题5分，共30分）7．方程组200820092007200720062008x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是。

8．如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线， OH 为∠DOG 的平分线，若∠AOC ：∠COG=4：7，则∠GOH= 。

9．小张和小李分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，第一次在距A 地5千米处相遇，继续往前走到各地（B 、A ）后又立即返回，第二次在距B 地4千米处两人再次相遇，则A 、B 两地的距离是千米．10．在△ABC 中，∠A 是最小角，最小值为n °，∠B 是最大角，最大值为m °，且2∠B=5∠A ，则m °+n °= 。

2012年下学期八年级数学竞赛试题答案

2012年下学期八年级数学竞赛试题答案时量：120分钟满分：120分一、选择题（每小题3分，共30分）1.27-的立方根与 C ）A.0B.6-C.0或6-D.62. 在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 和﹣1，则点C 所对应的实数是（ D ）A.1+B.2+C.1-D.13. 计算12210-+++-++…的结果为（ B ）A.10B.9C.8D.74. 若一次函数(12)54y m x m =-+-的图象经过()11A x y ，和()22B x y ，，当12x x <时，12y y <，则m 的取值范围是（ D ）A.0m <B.0m >C.12m >D.12m <5. 若直线24y x =--与直线4y x b =+的交点在第三象限，则b 的取值范围是（ A ）A ．48b -<<B ．40b -<<C ．4b <-或8b >D ．48b -≤≤6. 已知点()4 3M ，和()1 2N -，，点P 在y 轴上，且P M P N +最短，则点P 的坐标是（ C ） A.()0 0，B. ()0 1，C. ()0 1-，D. ()1 0-， 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A （a ，0），B （0，b ），如果将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°至CB ，那么点C 的坐标是（ B ）A ．（-b ，b+a ）B ．（-b ，b-a ）C ．（-a ，b-a ）D ．（b ，b-a ） 8. 下列说法中，正确的有（ B ）个.①有两角及第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等； ②两个三角形的6个边．角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等； ③有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； ⑤斜边和周长对应相等的两个直角三角形全等；A.1B.2C.3D.49. 已知，如图，△ABC 中，AB=AC ，D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，且BD=CF ，DC=BE ，若∠A=70°，∠EDF=（ C ）A ．40°B ．45°C ．55°D ．35°10. 有5条线段长度分别为1，2，3，5，7，从中任取三条为一组，它们一定能构成三角形的频率为（ B ） A ．0.05 B ．0.10 C ．0.15 D ．0.20 二、填空题（每小题4分，共32分）11. 一个自然数的算术平方根为m ，则和这个自然数相邻的上一个自然数是21m - . 12. 已知0x >，0y >，且24x xy +=，25y xy +=，则x y += 3 .13. 已知直线y kx b =+和直线3y x =-平行，且过点()02-，，则此直线与x 轴的交点坐标为203⎛⎫-⎪⎝⎭ ， 14. 小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是 37.2 分钟.15. A B C △中，4A C =，中线6A D =，则AB 边的取值范围是816AB << .16. 如图，在5×5的正方形网格中，以AB 为边画直角△ABC ，使点C 在格点上，满足这样条件的点C 共 __8__ _个．17. 如图A B C △中，AD 平分BAC ∠，且AB BD AC +=，若62B ∠=︒，则C ∠= 31°.18. 在30个数据中，最小值是31，最大值为98，若取组距为8，可将这些数据分成______9_______组. 三、解答题（共58分）19. （6分）若a m =2a +的算术平方根，2a n =24a +的立方根，求m n +的平方根.20.（8分）为迎接国庆63周年，某校举行以“祖国成长我成长”为主题的图片制作比赛，赛后整理参赛同学的成绩，并制作成图表如下：21. （8分）已知a ，b ，c 为实数，且14a b ++-=-，求23a b c +-的值.22. （8分）如图，直线m 与x 轴、y 轴分别交于点B ，A ，且A ，B 两点的坐标分别为A （0，3），B （4，0）．（1）请求出直线m 的函数解析式；（2）在x 轴上是否存在这样的点C ，使△ABC 为等腰三角形？请求出点C 的坐标（不需要具体过程），并在坐标系中标出点C 的大致位置．23. （8分）已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE=∠CDE ．求证：AB=CD ．24.（10分）一个容积为240升的水箱，安装有A、B两个注水管．注水过程中A水管始终打开，B水管可随时打开或关闭，两水管的注水速度均为定值．当水箱注满时，两水管自动停止注水．（1）如图是某次注水过程中水箱中水量y（升）与时间x（分）之间的函数图象．①在此次注满水箱的过程中，A水管注水_________分，B水管注水___________分．②分别求A、B两水管的注水速度．（2）若用13分钟将此空水箱注满，B水管应打开几分钟？（3）若同时打开A、B两注水管，且每隔1分钟B水管自动关闭2分钟，注满此空水箱需要几分钟？（10分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．。

2012-2013学年第一学期八年级学科竞赛数学试题(含答案)

2012学年第一学期八年级数学竞赛试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1. 如图，AB ∥CD ，直线l 分别与AB 、CD 相交，若∠1=130°，则∠2=（）A.40°B.50°C.130°D.140° 2. 下列调查中，适合用普查方式的是（）A ．了解一批灯泡的使用寿命B ．了解一批炮弹的杀伤半径C ．了解一批袋装食品是否含有防腐剂D ．了解某班学生“50米跑”的成绩 3. 等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（） A ．16 B ．20 C ．18 D ．16或204.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为0.56s =2甲，0.60s =2乙，20.50s =丙，20.45s =丁，则成绩最稳定的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁5、下列各图中，不可能．．．折成无盖的长方体的是（）6．在平面直角坐标系中，已知点A (－1，0)和B (1，2)，连接AB ，平移线段AB 得到线段A 1B 1．若点A 的对应点A 1的坐标为(3，－1)，则点B 的对应点B 1的坐标为（） A ．(5，3) B ．(5，1) C ．(－1，3) D ．(－1，1) 7. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 的长为（）A ．65 B ．95 C ．125 D ．1658.如图，点A 的坐标为(－2，0)，点B 在直线y =x 上运动，当线段AB 最短时点B 的坐为yxO BAAMNCBAB DC兰中学子加油（A ）（－22，－22）（B ）（－21，－21）（C ）（22，22-）（D ）（0，0） 9.关于x 的一次函数12++=k kx y 的图像可能是 ()10、一个正三角形的面积为27，若剪去它的三个角，使之成为正六边形，则此正六边形的面积等于（）A ． 33B ．24C ．21D ．18 11、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-<-1270x m x 的整数解共有3个，则m 的取值范围是（）A. 5＜m ≤6B. 5≤m ＜6C.5≤m ≤6D. 5＜m ＜612、直线1y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在坐标轴上，ABC ∆是等腰三角形，则满足条件的C 点最多有（）A 、4个B 、5个C 、7个D 、8个二、填空题(每小题3分,共18分)13. 点(32)A -，关于y 轴对称的点的坐标是 .14．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=35o ，则∠2= ．15. 如图是每个面上都标有一个汉字的立方体的表面展开图，在此立方体上与“子”字相对的面上的汉字是．16. 如图，△ABC 中，AB =AC =10，BC =8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为__________.17. 等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为.18、设一次函数32-+=k kx y （0≠k ），对于任意两个k 的值1k 、2k ，分别对应两个函数21,y y ，若021<k k ，当x =m 时，取相应21,y y 中的较小值p ，则p 的最大值是__________. 三、解答题19. 解不等式组．并把解集在数轴上表示出来．()x 3+3x+1213x 18x <-⎧≥⎪⎨⎪---⎩①②．20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （－3，5），B （－4，3），（－1，1）．（1）作出△ABC 向右平移5个单位的△A 1B 1C 1；（2）作出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2，并写出点C 2的坐标．21. 如图，生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离(BC )约为梯子长度(AB )的13，则梯子比较稳定．现有一长度为12米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到11米高的墙头吗?22. 在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如下：（1）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；（2）根据样本数据，估算该校1200名学生共参加了多少次活动．23．如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC ＝BE ，DG ⊥CE ，G 为垂足．求证：（1）G 是CE 的中点；（2）∠B ＝2∠BCE ．24. 为了响应节能减排的号召，某品牌汽车4S 店准备购进A 型（电动汽车）和B 型（太阳能汽车）两种不同型号的汽车共16辆，以满足广大支持环保的购车者的需求。

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