最新-2018届高考数学一轮复习 第5章第五节 数列的综合应用课件 文 精品

当 a＝1 时，aan＋n 2＝1，即 an＋2＝an，同时 a1＝a2＝ 1，所以此时{an}能构成等比数列．
数列与函数、不等式的综合应用
涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试 题，在解题过程中通常用递推思想、函数与 方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等 数学思想方法，属于中、高档难度的题目．
的知识来加以解决．
课前热身
1.数列{an}是公差不为0的等差数列且a7、a10、 a15 是 等 比 数 列 {bn} 的 连 续 三 项 ， 若 等 比 数 列 {bn}的首项b1＝3，则b2＝________. 答案：5
2．(2011 年盐城质检)设 Sn 是公差不为 0 的等差 数列{an}的前 n 项和，且 S1，S2，S4 成等比数列， 则aa21等于________．
(2)∵数列{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a(a>0)， ∴an＝an－1.∴bn＝anan＋1＝a2n－1. ∵bbn＋n 1＝a2，∴数列{bn}是首项为 a，公比为 a2 的等比数列． 当 a＝1 时，Sn＝n； 当 a≠1 时，Sn＝aaa22－n－11＝a2an2＋－1－1 a.
(3)数列{an}不能为等比数列． ∵bn＝anan＋1，∴bbn＋n 1＝aan＋na1an＋n＋1 2＝aan＋n 2， 则aan＋n 2＝a－1.∴a3＝a－1. 假设数列{an}能为等比数列． 由 a1＝1，a2＝a，得 a3＝a2. ∵a2＝a－1，∴此方程无解．∴数列{an}一定 不能为等比数列．
【解】 (1)证明：由an＋1＝a＋6an＋6得， an＋1＋3＝(an＋3)2， ∴log5(an＋1＋3)＝2log5(an＋3)， 即cn＋1＝2cn. 又c1＝log5(a1＋3)＝1， ∴{cn}是首项为c1＝1，公比q＝2的等比数列． (2)由(1)得cn＝2n－1， 即log5(an＋3)＝2n－1，
例2 数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝a2n＋6an＋6(n ∈N*)． (1)设 cn＝log5(an＋3)，求证{cn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式；
(3)设 bn＝an－1 6－a2n＋16an，数列{bn}的前 n 项和 为 Tn，求证：－156≤Tn＜－14.
【思路分析】 ①由 cn 得出启发，运算 an＋1＋3； ②整合 bn 得 bn＝an－1 6－an＋11－6，应用裂项求和 法得 Tn.
0<
1 52n
9
≤52－1 9＝116，∴－156≤Tn<－14.
【名师点评】 数列与函数、不等式容易结 合构成综合性较强的题目，函数的类型、性 质及结构是解决问题的突破口，其次联系数 列知识，化简整理代数式也是解题的关键．
数列中的探索问题
本问题中，题目的设置多含有参数，又多与 存在、不存在等问题相关联，综合性较强， 一般可利用特殊值法或者从特殊到一般的处 理思想分析、归纳、猜想等，从此过程中找 到解题的入口或线索．
规范解答
例 (本题满分16分)(2010年高考四川卷)已知 数 列 {an} 满 足 a1 ＝ 0 ， a2 ＝ 2 ， 且 对 任 意 m 、 n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2. (1)求a3，a5； (2)设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：数列{bn} 是等差数列； (3)设cn＝(an＋1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数 列{cn}的前n项和Sn.
【名师点评】 本题中对字母a分类讨论， 这也是等比数列不同于等差数列的情形．等 比数列含参数往往需要讨论．
互动探究1 本例(3)中“公比a－1”改为“a”,则第(3)问结 果如何？
解：由例(3)知 a3＝a，∴a2＝a，∴a＝0 或 a＝1. 当 a＝0 时，aan＋n 2＝0 不能成等比数列；
考点探究·挑战高考
考点突破
等差、等比数列的综合问题
等差数列与等比数列相结合的综合问题是高 考考查的重点，特别是等差、等比数列的通 项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中 项问题是历年命题的热点．
例1 (2011年苏州高三调研)已知数列{an}满足: a1 ＝ 1 ， a2 ＝ a(a>0) ． 数 列 {bn} 满 足 bn ＝ anan ＋ 1(n∈N*)． (1)若{an}是等差数列，且b3＝12，求a的值及 {an}的通项公式； (2)若{an}是等比数列，求{bn}的前n项和Sn； (3)当{bn}是公比为a－1的等比数列时，{an}能 否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，
∴an＋3＝ 5 ， 2 n1 ∴an＝ 52 n1 －3.
(3)证明：∵bn＝an－1 6－a2n＋16an
＝an－1 6－an＋11－6.
∴
Tn
＝
1 a1－6
－
1 a2－6
＋
1 a2－6
－
1 a3－6
＋
…
＋
an－1 6－an＋11－6＝a1－1 6－an＋11－6＝－14－
1
52n 9 .
又
15 15＋ m
，
解得 m＝0(舍)或 m＝9，所以 m＝9.
(2)假设存在 m，使得 b1，b4，bt(t∈N*，t≥5) 成等差数列，
即
2b4＝b1＋bt，则
2
7 7＋m
＝1 1＋m
＋ 2t－1 2t－1＋m
，
化简得 t＝7＋m3－65 .
所以当 m－5＝1,2,3,4,6,9,12,18,36 时，分别存在
2．数列的探索性问题 探索性问题是高考的热点，常在数列解答题 中出现，探索性问题对分析问题、解决问题 的能力有较高的要求． 3．等差数列与等比数列的综合问题
4．数列的实际应用 现实生活中涉及_银__行__利__率__、_企__业__股__金__、 _产__品__利__润__、_人__口__增__长__、_工__作__效__率__、_图__形__面__ _积__、_曲__线__长__度__等实际问题，常常考虑用数列
【名师点评】 解决存在性问题时需寻找满 足的条件，算出结果，或在某种条件下进行 逻辑推理，对于所含的参数，多数题目可以 算出具体的数值．
变式训练 2 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝n2，数列 {bn}满足 bn＝an＋an m (m∈N*)． (1)若 b1，b2，b8 成等比数列，试求 m 的值； (2)是否存在 m，使得数列{bn}中存在某项 bt 满 足 b1，b4，bt(t∈N*，t≥5)成等差数列？若存在， 请指出符合题意的 m 的个数；若不存在，请说 明理由．
第五节 数列的综合应用
第 五
双基研习·面对高考
节
数
考点探究·挑战高考
列
的
综
合 应
考向瞭望·把脉高考
用
双基研习·面对高考
基础梳理
1．数列与其他章节的综合题 数列综合题，包括数列知识和指数函数、对 数函数、不等式的知识综合起来．另外，数 列知识在复数、三角函数、解析几何部分也 有广泛的应用．
(1)对于等差数列：_a_n_＝__a_1_＋__(_n_－__1_)d_＝__d_n_＋__(_a_1 _－__d_)_，当d≠0时，an是n的一次函数．对应的 点(n，an)是位于直线上的若干个点．当d>0时， 函数是增函数，对应的数列是递增数列；同 理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列 是常数列；d<0时，函数是减函数，对应的数 列是递减数列．
【思路分析】 (1)按基本量运算；(2)b1，b2， bm成等差数列，借助等差中项列式计算．
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为 d.
由已知得 a35a2a193, 34,
即
aa11
8d 17, d 3,
解得
a1 d
1. 2.
故 an＝2n－1，Sn＝n2.
(2)由(1)知 bn
2n 1 2n 1
t
.
要使 b1，b2，bm 成等差数列，必须 2b2＝b1＋bm，
即1 1
t
2m 1 2m 1
t
,
整理得
m
3
t
4
1
,
，
因为 m，t 为正整数，所以 t 只能取 2,3,5.
当 t＝2 时，m＝7；当 t＝3 时，m＝5；当 t＝5
时，m＝4.
故存在正整数 t，使得 b1，b2，bm 成等差数列．
若 等 差 数 列 的 前 n 项 和 为 Sn ， 则 Sn ＝ pn2 ＋ qn(p，q∈R)．当p＝0时，{an}为常数列，当 p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问 题．
(2)对于等比数列：__a_n＝__a_1_q_n_－_1_.可用指数函数 的性质来理解． 当 a1>0 ， q>1 或 a1<0,0<q<1 时 ， 等 比 数 列 是 递 增数列． 当 a1>0,0<q<1 或 a1<0 ， q>1 时 ， 等 比 数 列 是 递 减数列． 当q＝1时，是一个常数列． 当q<0，无法判断数列的单调性，它是一个摆 动数列．
2．数列作为特殊的函数，在实际问题中有着 广泛的应用，如增长率、减少率、银行信贷、 浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题． 3．解答数列综合题和应用题既要有坚实的基 础知识又要有良好的逻辑思维能力和分析、解 决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用 观察、归纳、猜想的手段建立有关等差(比)数 列、递推数列模型、再结合其他相关知识来解 决问题．
答案：3
3．随着计算机技术的迅猛发展，电脑的价格 不断降低，若每隔4年电脑的价格降低三分之 一，则现在价格为8100元的电脑12年后的价格 可降为________． 答案：2400元 4．已知等比数列{an}，a1＝3，且4a1、2a2、a3 成等差数列，则a3＋a4＋a5等于________． 答案：84