2017年春季新版湘教版八年级数学下学期2.5.1、矩形的性质课件9
合集下载
湘教版八年级数学课件-矩形的性质
圖2-42
如圖，四邊形ABCD是矩形，
於是有 AB=DC， ∠CBA=∠BCD=90° ，
BC=CB.
因此 △CBA≌△BCD. (SAS)
從而
AC=BD.
即矩形的對角線相等.
圖2-42
結論
由此得到矩形的性質： 矩形的對角線相等.
例1 如圖2-43，矩形ABCD的兩條對角線AC ，BD相 交於點O，AC = 4 cm， ∠AOB = 60°. 求BC的長.
本節內容 2.5
矩形
——2.5.1 矩形的性質
觀察
在小學，我們初步認識了長方形，觀察圖2-41 中的長方形，它是什麼平行四邊形嗎？它有什麼特 點呢？
圖2-41
我發現這些長
方形的對邊平行且 相等，因此，它們 是平行四邊形.
這些四邊形的四 個角都是直角.
在一個平行四邊形中， 只要有一個角是直角，那 麼其他三個角都是直角.
斜邊的一半.
證明 ∵ 四邊形ABCD是矩形，
從而OA=OC
=
1 2
AC
，
OB=OD
=
1 2
BD
.
（矩形的對角線互相平分.）
又 AC=BD，(矩形的對角線相等.)
∴
OB=OA=OC
=
1 2
AC.
中考 試題
例
如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相 交於點O，若∠AOB=60°，AB=4cm，則AC的長 為 8 cm.
F
A
D
M
O
N
B
C
E
結論
由此得到： 矩形是軸對稱圖形，過每一組對邊中點
的直線都是矩形的對稱軸.
練習
1. 已知矩形的一條對角線的長度為2cm，兩條對角線的 一個夾角為60°，求矩形的各邊長.
如圖，四邊形ABCD是矩形，
於是有 AB=DC， ∠CBA=∠BCD=90° ，
BC=CB.
因此 △CBA≌△BCD. (SAS)
從而
AC=BD.
即矩形的對角線相等.
圖2-42
結論
由此得到矩形的性質： 矩形的對角線相等.
例1 如圖2-43，矩形ABCD的兩條對角線AC ，BD相 交於點O，AC = 4 cm， ∠AOB = 60°. 求BC的長.
本節內容 2.5
矩形
——2.5.1 矩形的性質
觀察
在小學，我們初步認識了長方形，觀察圖2-41 中的長方形，它是什麼平行四邊形嗎？它有什麼特 點呢？
圖2-41
我發現這些長
方形的對邊平行且 相等，因此，它們 是平行四邊形.
這些四邊形的四 個角都是直角.
在一個平行四邊形中， 只要有一個角是直角，那 麼其他三個角都是直角.
斜邊的一半.
證明 ∵ 四邊形ABCD是矩形，
從而OA=OC
=
1 2
AC
，
OB=OD
=
1 2
BD
.
（矩形的對角線互相平分.）
又 AC=BD，(矩形的對角線相等.)
∴
OB=OA=OC
=
1 2
AC.
中考 試題
例
如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相 交於點O，若∠AOB=60°，AB=4cm，則AC的長 為 8 cm.
F
A
D
M
O
N
B
C
E
結論
由此得到： 矩形是軸對稱圖形，過每一組對邊中點
的直線都是矩形的對稱軸.
練習
1. 已知矩形的一條對角線的長度為2cm，兩條對角線的 一個夾角為60°，求矩形的各邊長.
【最新】湘教版八年级数学下册第二章《矩形的性质》公开课课件.ppt
图2-42
如图，四边形ABCD是矩形，
于是有 AB=DC， ∠CBA=∠BCD=90° ，
BC=CB.
因此 △CBA≌△BCD. (SAS)
从而
AC=BD.
即矩形的对角线相等.
图2-42
结论
由此得到矩形的性质： 矩形的对角线相等.
例1 如图2-43，矩形ABCD的两条对角线AC ，BD相 交于点O，AC = 4 cm， ∠AOB = 60°. 求BC的长.
本节内容 2.5
矩形
——2.5.1 矩形的性质
观察
在小学，我们初步认识了长方形，观察图2-41 中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特 点呢？
图2-41
我发现这些长
方形的对边平行且 相等，因此，它们 是平行四边形.
这些四边形的四 个角都是直角.
在一个平行四边形中， 只要有一个角是直角，那 么其他三个角都是直角.
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/16
谢谢观看
∴
OB=OA=OC
=
1 2
A
C
.
中考 试题
例
如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相 交于点O，若∠AOB=60°，AB=4cm，则AC的长 为 8 cm.
解析 由矩形性质及∠AOB=60°， 可得∠ ACB=30°. 在Rt△ABC中， ∵AB=4， ∴AC=2AB=8cm.
结束
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/162020/12/16Wednesday, December 16, 2020
如图，四边形ABCD是矩形，
于是有 AB=DC， ∠CBA=∠BCD=90° ，
BC=CB.
因此 △CBA≌△BCD. (SAS)
从而
AC=BD.
即矩形的对角线相等.
图2-42
结论
由此得到矩形的性质： 矩形的对角线相等.
例1 如图2-43，矩形ABCD的两条对角线AC ，BD相 交于点O，AC = 4 cm， ∠AOB = 60°. 求BC的长.
本节内容 2.5
矩形
——2.5.1 矩形的性质
观察
在小学，我们初步认识了长方形，观察图2-41 中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特 点呢？
图2-41
我发现这些长
方形的对边平行且 相等，因此，它们 是平行四边形.
这些四边形的四 个角都是直角.
在一个平行四边形中， 只要有一个角是直角，那 么其他三个角都是直角.
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/16
谢谢观看
∴
OB=OA=OC
=
1 2
A
C
.
中考 试题
例
如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相 交于点O，若∠AOB=60°，AB=4cm，则AC的长 为 8 cm.
解析 由矩形性质及∠AOB=60°， 可得∠ ACB=30°. 在Rt△ABC中， ∵AB=4， ∴AC=2AB=8cm.
结束
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/162020/12/16Wednesday, December 16, 2020
湘教版数学八年级下册(新)课件：.1矩形的性质
直角三角形斜边上的中线性质
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形的定义：
矩形的 两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别相等
矩形的两组对边分别平行
矩形的四个角都是直角
矩形 的两条对角线相等
边
对角线
角
数学语言
∵四边形ABCD是矩形
∴AD ∥ BC ，CD ∥ AB
AD =BC ，CD =AB
AC= BD
AO= CO ，OD = OB
边
角
对角线
对称性
平行四边形
对角线互相平分的四边形；
一组对边平行且相等的四边形；
平行四边形的判定定理：
情景创设
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质.同样对于平行四边形来说也有特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——
矩形
有一个角是直角的平行四边形是矩形
(1)若BD=3㎝ 则AC＝ ㎝(2) 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ ㎝， BD＝ ㎝.
6
5
10
营中寻宝
三、学以致用
1、矩形具有而平行四边行不具有的的性质是（ ）（A）对角相等 （B）对角线相等（C）对角线互相平分 （D）对边平行且相等2、矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条对角线相交所成的锐角是（ ）（A）20° （B）40° （C）60° （D）80°3、两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线（ ）（A）26 （B）13 （C）8。5 （D）6。54、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB=60°，AB=4cm，则矩形对角线的长为 cm
解：∵ 四边形ABCD是矩形
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由矩形定义讨论： 有一个角是直角的平行四边形叫矩形 矩形是平行四边形吗？它具有平行四边形的性质吗？
四边形、平行四边形、 矩形的关系如图：
矩形是特殊的平行四边形
四边形
ห้องสมุดไป่ตู้平行四边形 矩形
我们发现矩形对边平行且相等，因此，它是平行四 边形.具有平行四边形的性质：
对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分； 是中心对称图形。
D
O
C
变式：若BD=8cm，∠AOD=120°，求边AB的长。
A D 10.如图，矩形ABCD中，AE平分 ∠BAD交BC于点E，ED=5cm， EC=3cm，求矩形的周长。 B C E CD=4=AB 又AE平分∠BAD ∴BE=AB BC=7 矩形的周长=2(4+7)=22 E 11.矩形ABCD中，AB=2BC， C D AE=AB，求∠EBC的度数。 ∵AE=AB， AB=2BC， AD=BC B ∴AE=2AD， △ADE是直角三角形A ∴∠AED=30°=∠EAB ， ∵AE=AB，∴∠AEB=75°=∠ABE ，∴∠EBC=15°
它还有特殊性质： 平行四边形变成矩形时，图形的内角有何特征？
矩形的四个角都是直角. 你能证明吗？
综合起来：由于矩形是平行四边形， 因此，可得矩形的边、角性质：
矩形的四个角都是直角，对边相等， 对角线互相平分；矩形是中心对称图形， 对角线的交点是它的对称中心.
平行四边形变成矩形时，两条对角线的长度有什 么关系？ A O 已知：矩形ABCD中，对角线AC和 BD相交于点O.求证：AC=BD B 证明一： ∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD, ∠ABC=∠DCB，∴△ABC≌△DCB ，∴AC=BD
6.矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB=6， BC=8，则△ABO的周长为_____ 16 7.在Rt△ABC中，斜边AC上的中线和高分别是6cm和 5cm，则Rt△ABC的面积是 30cm2。 8.已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线 的一个夹角为60°，则矩形的各边长是 1cm和 . √ 3 cm 9.已知: 如图，矩形ABCD的两条对角 A 线交于点O, AB= 4cm ，∠AOB=60°。 求矩形对角线的长。 B AC=8cm
湘教版 SHUXUE 八年级下
本节内容 本课内容
2.5.1
平行四边形有哪些性质？
边 角 对角线 对称性 平行四 对边平行 对角相等 对角线互 中心对 称图形 边形 且相等 邻角互补 相平分
A O B D
如图： □ABCD中，对角线AC、 BD交于O点。 AD ∥ BC，AB ∥DC
C
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC OA=OC，OB=OD ∠ABC+∠BCD=1800 ... ...
四边形具有不稳定性。
观察
在小学，我们初步认识了长方形，观察图中的长方 形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？
细心观察平行四边形内角的变化
把平行四边形的角变成直角。
有一个角是直角
900 平行四边形
矩形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， 也称为长方形. 注意：矩形定义在平行四边形的基础上。
探究
证明二： ∵四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC=∠DCB=90°， AB=CD ∴ AC2=BC2+AB2 BD2=BC2+CD2 ∴AC=BD 由此得到矩形对角线的性质： 矩形的对角线相等.
D
C
举例 例1.如图，矩形ABCD的两条对角线AC ，BD相交 于点O，AC = 4 cm， ∠AOB = 60°. 求BC的长. 解：∵ □ABCD是矩形， 从而 OA=OB= 1 AC=2cm 2 又∠AOB = 60°， ∴ △AOB是等边三角形. ∴ AB=OA=2cm.
注:解决矩形的有关问题时,常根据性质转化为直角三 角形的有关问题进行解答.
1.如图，矩形AEFG和矩形ADCB的大 小、形状完全相同，把它们拼成如图所示的L型图案， 已知∠FAE=30°,分别求∠1、∠2的度数。
∵ ∠ABC = 90°， ∴ 在Rt△ABC中，
BC AC 2 AB 2 42 22 2 3(cm) .
做一做
在纸上画一个矩形ABCD(如图)，把它剪下来， 怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？ 满足这个要求的折叠方法有几种？ 由此猜测：矩形是轴对称图形吗？ 如果是，它有几条对称轴？你的猜 测正确吗？
练习 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质 是（ A ） A、对角线相等 B、对边相等 C、对角相等 D、对角线互相平分 2.下面性质中，矩形不一定具有的是（ D ） A.对角线相等 B.四个角相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直 3.矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm则它的 对角线长是 5cm 。 4.矩形ABCD的对角线的长为2，∠BDC=300, √3 则矩形ABCD的面积为______. 5.矩形两条对角线所夹的锐角为60°，较短的边长 为3.6cm，则对角线的长为_____cm. 7.2
类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边AB，
DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，DC的中 点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.
A
M
F
D
N
O
由此得到矩形的轴对称性：
B
E
C
矩形是轴对称图形，过每一组对边 中点的直线都是矩形的对称轴.
例2.如图，四边形ABCD 为矩形，试利用矩形的性质， 说明：直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于斜边的 一半. 证明 ∵ 四边形ABCD是矩形， 从而OA=OC= 1 AC ， 2 OB=OD= 1 BD. （矩形的对角线互相平分.） 2 又 AC=BD，(矩形的对角线相等.) ∴ OB=OA=OC= 1AC 2
O
过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC ， AD相交于点E，F.
由于 OB = 1 BD = 1 AC = OC， 2 2 因此△OBC是等腰三角形，从而 直线EF是线段BC的垂直平分线.
O
由于AD∥BC，因此EF⊥AD. 同理，直线EF是线段 AD的垂直平分线. 因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于直线 EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形 ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称 图形，点E、F分别是AD、BC的中点，直线EF是矩 形ABCD的一条对称轴.
四边形、平行四边形、 矩形的关系如图：
矩形是特殊的平行四边形
四边形
ห้องสมุดไป่ตู้平行四边形 矩形
我们发现矩形对边平行且相等，因此，它是平行四 边形.具有平行四边形的性质：
对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分； 是中心对称图形。
D
O
C
变式：若BD=8cm，∠AOD=120°，求边AB的长。
A D 10.如图，矩形ABCD中，AE平分 ∠BAD交BC于点E，ED=5cm， EC=3cm，求矩形的周长。 B C E CD=4=AB 又AE平分∠BAD ∴BE=AB BC=7 矩形的周长=2(4+7)=22 E 11.矩形ABCD中，AB=2BC， C D AE=AB，求∠EBC的度数。 ∵AE=AB， AB=2BC， AD=BC B ∴AE=2AD， △ADE是直角三角形A ∴∠AED=30°=∠EAB ， ∵AE=AB，∴∠AEB=75°=∠ABE ，∴∠EBC=15°
它还有特殊性质： 平行四边形变成矩形时，图形的内角有何特征？
矩形的四个角都是直角. 你能证明吗？
综合起来：由于矩形是平行四边形， 因此，可得矩形的边、角性质：
矩形的四个角都是直角，对边相等， 对角线互相平分；矩形是中心对称图形， 对角线的交点是它的对称中心.
平行四边形变成矩形时，两条对角线的长度有什 么关系？ A O 已知：矩形ABCD中，对角线AC和 BD相交于点O.求证：AC=BD B 证明一： ∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD, ∠ABC=∠DCB，∴△ABC≌△DCB ，∴AC=BD
6.矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB=6， BC=8，则△ABO的周长为_____ 16 7.在Rt△ABC中，斜边AC上的中线和高分别是6cm和 5cm，则Rt△ABC的面积是 30cm2。 8.已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线 的一个夹角为60°，则矩形的各边长是 1cm和 . √ 3 cm 9.已知: 如图，矩形ABCD的两条对角 A 线交于点O, AB= 4cm ，∠AOB=60°。 求矩形对角线的长。 B AC=8cm
湘教版 SHUXUE 八年级下
本节内容 本课内容
2.5.1
平行四边形有哪些性质？
边 角 对角线 对称性 平行四 对边平行 对角相等 对角线互 中心对 称图形 边形 且相等 邻角互补 相平分
A O B D
如图： □ABCD中，对角线AC、 BD交于O点。 AD ∥ BC，AB ∥DC
C
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC OA=OC，OB=OD ∠ABC+∠BCD=1800 ... ...
四边形具有不稳定性。
观察
在小学，我们初步认识了长方形，观察图中的长方 形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？
细心观察平行四边形内角的变化
把平行四边形的角变成直角。
有一个角是直角
900 平行四边形
矩形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， 也称为长方形. 注意：矩形定义在平行四边形的基础上。
探究
证明二： ∵四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC=∠DCB=90°， AB=CD ∴ AC2=BC2+AB2 BD2=BC2+CD2 ∴AC=BD 由此得到矩形对角线的性质： 矩形的对角线相等.
D
C
举例 例1.如图，矩形ABCD的两条对角线AC ，BD相交 于点O，AC = 4 cm， ∠AOB = 60°. 求BC的长. 解：∵ □ABCD是矩形， 从而 OA=OB= 1 AC=2cm 2 又∠AOB = 60°， ∴ △AOB是等边三角形. ∴ AB=OA=2cm.
注:解决矩形的有关问题时,常根据性质转化为直角三 角形的有关问题进行解答.
1.如图，矩形AEFG和矩形ADCB的大 小、形状完全相同，把它们拼成如图所示的L型图案， 已知∠FAE=30°,分别求∠1、∠2的度数。
∵ ∠ABC = 90°， ∴ 在Rt△ABC中，
BC AC 2 AB 2 42 22 2 3(cm) .
做一做
在纸上画一个矩形ABCD(如图)，把它剪下来， 怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？ 满足这个要求的折叠方法有几种？ 由此猜测：矩形是轴对称图形吗？ 如果是，它有几条对称轴？你的猜 测正确吗？
练习 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质 是（ A ） A、对角线相等 B、对边相等 C、对角相等 D、对角线互相平分 2.下面性质中，矩形不一定具有的是（ D ） A.对角线相等 B.四个角相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直 3.矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm则它的 对角线长是 5cm 。 4.矩形ABCD的对角线的长为2，∠BDC=300, √3 则矩形ABCD的面积为______. 5.矩形两条对角线所夹的锐角为60°，较短的边长 为3.6cm，则对角线的长为_____cm. 7.2
类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边AB，
DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，DC的中 点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.
A
M
F
D
N
O
由此得到矩形的轴对称性：
B
E
C
矩形是轴对称图形，过每一组对边 中点的直线都是矩形的对称轴.
例2.如图，四边形ABCD 为矩形，试利用矩形的性质， 说明：直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于斜边的 一半. 证明 ∵ 四边形ABCD是矩形， 从而OA=OC= 1 AC ， 2 OB=OD= 1 BD. （矩形的对角线互相平分.） 2 又 AC=BD，(矩形的对角线相等.) ∴ OB=OA=OC= 1AC 2
O
过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC ， AD相交于点E，F.
由于 OB = 1 BD = 1 AC = OC， 2 2 因此△OBC是等腰三角形，从而 直线EF是线段BC的垂直平分线.
O
由于AD∥BC，因此EF⊥AD. 同理，直线EF是线段 AD的垂直平分线. 因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于直线 EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形 ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称 图形，点E、F分别是AD、BC的中点，直线EF是矩 形ABCD的一条对称轴.