济南大学14-15高数A期末考试试题(只答案)

y
dx x
，得： ln
| ln
y
|
ln
|
x
| C1 ，
化简得： ln y Cx 或 y eCx .
五、综合题（每小题 10 分，共 20 分）
(1) 解：微分方程 y 2xy ex2 sin x 的通解为
y e2xdx [ e x2 sin xe2xdxdx C] e x2 (C cos x)
济南大学 2014~2015 学年第一学期
课程考试试卷评分标准（含参考答案）
课程名称：高等数学（一） 任课教师：
一、选择题（每小题 2 分，共 10 分）
(1) C ．(2) A . (3) D . (4) A ．(5) B ．
二、填空题（每小题 2 分，共 10 分）
(1) x y 2 0 ．(2) [sin(1 x2 ) 2x2 cos(1 x2 )]dx .
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(Ⅱ) 设 G(x) ex2 f (x) ，则 G(x) 在闭区间[ ,1] 上连续，在开区间 ( ,1)
内可导，且 G( x) ex2 f ( x) 2xex2 f ( x) ，又 G( ) e1 G(1) ；
所以：存在一点 (0,1) ，使得 G() 0 ，即 f () 2 f ()
x 1
1
由于 f (x) 在 x 1点连续，所以 a lim f (x) x 1
(3) 解： dy dx
dy
dt dx
1
1
1 t
2
2t
t 2
dt 1 t 2
d2 y
d dt
(dy ) dx
1 2
t1
dx 2
dx
2t 4 4t
dt
1 t2
四、计算下列积分与微分方程（每小题 8 分，共 32 分）
有 y(0) 0 得： C 1，满足初始条件 y(0) 0 的特解为
y ex2 (1 cos x) .
lim
x0
y(x) x2
lim
x0
ex2
(1 cos x2
x)
1 2
(2) 解： f ( x) ( x2 x2 et2dt x2 tet2dt) 2x x2 et2dt
1
1ห้องสมุดไป่ตู้
1
令 f ( x) 0 得： x1 1 ， x2 0 ， x3 1
1
2 2e
六、证明题（10 分）
证：(Ⅰ) 设 F( x) f ( x) ex2 1 ，则 F( x) 在闭区间[0,1] 上连续，且
F(0)
f
(0) e1
e 1
0， F(1)
f
(
1
)
e
3 4
0 ,有介值定理，存
2
2
在一点 (0, 1 ) ，使得 F( ) 0 ,即 f ( ) e 2 1 。 2
(1) 解： cos x x dx 2 cos xd( x ) 2sin (2) 解： x2exdx x2dex x2ex 2 xe xdx
x C
x2e x 2 xde x x2e x 2xe x 2 e xdx x2e x 2xe x 2e x C
1
(3) 解：令 x sin t ，则： 2
x2
dx
6
sin2
t
cos t
dt
6 sin2 tdt
0 1 x2
0 cost
0
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1
2
6 (1 cos2t)dt
0
[
t 2
1 4
sin
2t
]
6 0
12
3 8
(4) 解：由 xy y ln y 分离变量得： dy dx ， y ln y x
积分：
dy y ln
(3)
(1, 2) .
(4)
．(5)
4
y C1e x
C2 xe x ．
三、计算题（每小题 6 分，共 18 分）
(1)
解： lim x4
x2 x2
6x 5x
8 4
lim
x4
x x
2 1
2 3
(2) 解： lim f (x) lim sin( x) lim cos( x)
x 1
x1 x 1
当 x 1 时， f (x) 0 ；当 1 x 0 时， f (x) 0 ；当 0 x 1
时， f (x) 0 ；当 x 1时， f (x) 0 ；所以： f (x) 的单调增区间为
(1, 0) 和 (1, ) ，单调减区间为 (, 1) 和 (0,1) .
f (1) f (1) 0 为极小值， f (0) 0 (t)et2dt 1 1 为极大值.