高数 CH10_7.2二型曲面积分

D
一样；
二型积分的计算：
1、化为二重积分；
2、化为一型积分；
3、化为三重积分；
四、对坐标的曲面积分的计算
设积分曲面Σ 是由 方程 z z ( x , y ) 所给 出的曲面上侧,Σ 在 xoy面上的投影区域 为 D xy ,函数 z z ( x , y ) 在 D xy 上具 有一阶连续偏导数, 被积函数 R( x , y , z ) 在 Σ 上连续.
Dzx cos 0
注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.
计算时应注意以下两点
曲面的侧 “一投,二代,三定号”
R( x, y, z )dxdy R[ x, y, z( x, y )]dxdy
D xy
三定号
二代
一投
例 1 计算 xyzdxdy

z

2
元, An 为向量 A 在n 上的投影.
注(2):
cosdsdxdy 是ds在xy面上的有向投影， 其可正可负，由 cos决定；
d cos 0 即dxdy cos ds d cos 0
不要与二重积分中 dxdy d 0混为一谈；
类似dxdz cos ds, dydz cos ds 均可正可负，视cos , cos 而定， 即： Rdxdy与 Rdxdy中dxdy含义不

积分曲面
被积函数
n
R( i , i , i )( Si ) xy R( x, y, z )dxdy lim 0 i 1

P ( i , i , i )( Si ) yz P ( x, y, z )dydz lim 0 i 1

n
Q ( i , i , i )( Si ) zx Q( x, y, z )dzdx lim 0 i 1
基本概念
概念的引入
对坐标的曲面积分的定义 对坐标的曲面积分的计算 两类曲面之间的联系
一、基本概念 ( 曲面的分类)
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
定义：
设 为 一 光 滑 曲 面 ， M , 取 定M处 的一个法向量 n, 若 动 点 从 M点 出 发 ， 在 上 不 越 过 边 界 而 任 意 连 的续变动，最 后又回到 M点 法 向 量 方 向 不 变 ， 称 则 为 双 侧 曲 面 ， 否 则 称 单 为侧曲面。
Z
vi
ni
∑ O X
Si
( i ,i , i )
Y
3. 求和 通过Σ 流向指定侧的流量 vi ni Si
n
[ P ( i , i , i ) cos i Q ( i , i , i ) cos i
i 1
n
i 1
R( i , i , i ) cos i ]Si
其中( ) xy 表示投影区域的面积 .
同理可定义 S在yoz, xoz面上的投影 (S ) yz , (S )zx
思考题
设为 球 面 x 2 y 2 z 2 1， 取 外 侧 则z 1 x 2 y 2的 法 向 量 与 oz轴 成 什么角？取什么侧？么 那y 1 x 2 z 2 呢？

n
存在条件:
当 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) 在有向光滑曲 面Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在.
物理意义:
P ( x , y , z )dydz Q( x , y , z )dzdx R( x , y , z )dxdy
典 型 双 侧 曲 面
n
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
(Mobius)
2 曲面侧的规定:
曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面.
对不封闭 i ) z z( x , y ) 上 侧: 取n朝 上 的 一 侧 , cos 0 z轴 正 向 夾 角 为 锐 角 即 法 线 与 , cos 0 下 侧: 取 n朝 下 的 一 侧 z轴 正 向 夾 角 为 钝 角 即 法 线 与
1. 分割 把曲面Σ 分成 n 小块si (si 同时也代表 第 i 小块曲面的面积), vi 在 si 上任取一点( i , i , i ) , Z
则该点的流速为 vi 法向量为 ni
ni
∑
O X
Si
( i ,i , i )
Y
2.近似代替
i v i ni S i ni cos i i cos i j cos i k
思考题解答 此时 z 1 x 2 y 2 与oz轴成钝角，取下侧； 而 y 1 x 2 z 2 与oy轴成锐角，取右侧;
二、概念的引入
实例: 流向曲面∑一侧的流量.
设稳定流动的不可压缩流体( 假定密度为 1) 的速度场由
v ( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k

在单位时间内流向Σ 指定侧的流体的质量.
性质:
1.
1 2
Pdydz Qdzdx Rdxdy
2
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
1
2.
P ( x , y, z )dydz P ( x , y, z )dydz
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
2 1
xy 1 x y dxdy xy( 1 x y )dxdy
2 2 2 2 D xy D xy
2 xy 1 x 2 y 2 dxdy
D xy
2 2 r sin cos 1 r rdrd . 15 D

Q( x , y, z )dzdx Q( x , y, z )dzdx

R( x , y, z )dxdy R( x , y, z )dxdy

注一：
0 ds n ds (cosds, cosds, cosds)
大小为ds 有向曲面元 0 方向为n
(1)若v( x, y, z ) c且流过平面 S (面积为q), 求
解 以S为底 ,以v为母线方向的斜柱体体 积
投影正柱体体积 S vn S v n n为S的单位法向量
v c
vn
n

S
S vn S v n
( 2)现在的问题: v v ( x , y , z )各点不同, 曲面, 不能直接用 (1). 用可分割, 近似代替, 求和, 取极限来解决 .
对封闭 : 外侧 : n指向外的一侧 内侧 : n指向内的一侧
3 曲面的投影问题: 在有向曲面Σ 上取一小块
曲面 S , S在xoy面 上的投影 ( S ) xy 为
( S ) xy ( ) xy 当 cos 0 时 ( ) xy 当 cos 0 时. 当 cos 0 时 0
0 i 1
lim F ( i , i , i ) n( i , i , i )s i
n
F ( x , y , z ) n( x , y , z )ds

F nds Fds

P ( x , y , z )dydz Q( x , y , z )dzdx R( x , y , z )dxdy
z 给出, Σ 是速度场中的一片有向曲面, 函数
P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R( x , y , z )
都在Σ 上连续, 求在单位 时间内流向Σ 指定侧的流 体的质量 .
x o
y

稳定流体的速度与点有 关，与时间 t无关, 不可压缩：密度 不变。
"流 量 ": 指 单 位 时 间 内 ,流体通过某个 截面的质量 ( 1体 积 流 量 )
向量形式
其 中 A { P , Q , R }, n {cos , cos , cos } 为
A dS A ndS 或

A ds AndS
有向 曲 面 Σ 上 点 ( x , y , z ) 处 的 单 位 法 向量 , dS ndS { dydz , dzdx , dxdy } 称 为 有 向 曲 面
P[ x( y , z ), y , z ]dydz P ( x, y, z )dydz cos 0
D yz cos 0
如果由 y y( z , x )给出, 则有
Q[ x , y( z , x ), z ]dzdx Q( x , y, z )dzdx cos 0
z
z z( x , y )

o
Dxy
y
x
( s ) xy
则 R( x , y , z )dxdy R( x , y , z( x , y ))dxdy
D xy
其中若取上侧，则右式取“＋ ”号，若 取下侧，则右式取“－ ”号，
如果由 x x( y, z )给出, 则有
ii ) x x ( y , z ) 前 侧: 取 n朝 前 的 一 侧 , cos 0 x轴 正 向 夾 角 为 锐 角 即 法 线 与 , cos 0 后 侧: 取 n朝 后 的 一 侧 x轴 正 向 夾 角 为 钝 角 即 x ) 右 侧 : 取 n朝 右 的 一 侧 , cos 0 即法线与 y轴 正 向 夾 角 为 锐 角 , 左 侧 : 取 n朝 左 的 一 侧 cos 0 即法线与 y轴 正 向 夾 角 为 钝 角