定积分的元素法

y=ƒ(x)
D H
B
表达式 ƒ(x)dx, 正好是区间[a , b]上
的任意小区间[ x, x + ∆ x] 上的窄曲边 梯形 DEFH 面积ΔA 的近似值, 而
o a
E
x x+Δx
F
b x
2
y
当∆x = dx→0时, ∆A=ƒ(x)dx + o(dx). 根据微分的定义有ƒ(x)dx = dA. 即
A dA f ( x )dx
a a
3
b
b
即可．
用定积分来计算的量U具有以下特点： 量U与函数 f(x)及x的变化区间 [a, b]有 关．
若 f(x)≡常数，则 U= f(x)(b－a)．
量U对区间具有可加性。即：把[a,b]分成若干部
分区间， 则 U相应地被分成了许多部分量之和．
第六章 定积分的应用
基本要求
1 掌握用定积分来求一些几何量和物理量的方法(元素法) 2 会建立一些简单的几何量与物理量的积分表达式 (如面积，体积，弧长、功、水压力等)
1
§6.1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定积分的元素法
一 元素法(微元法)的基本思想
如图:曲边梯形 AabB 的面积为
定积分

b
y
A
a
f ( x )dx , 而这个积分的被积
在区间 [a, b]的任一个子区间[x, x+Δx] 上， 部分量ΔU≈f (x)Δx．
4
二
定积分的元素法
设 U 是可用定积分表达的量，则计算量 U 的步骤为： • 选择函数 f(x)，并确定自变量 x 的变化区间[a, b]; • 在[a, b]内考虑小区间[x, x+dx]，求出相应于这个小 区间的部分量ΔU的近似值 f(x)dx。称f(x)dx为量U的 元素，记为dU= f(x)dx． • 计算 U=a f ( x )dx 应用方向：
b
平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长，功，
水压力等．
5
A
y=ƒ(x)
D H
B
o a
E
F x x+Δx
b x
求曲边梯形 AabB 的面积 A 的方法为:
(1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],并求出总量 A 的
微分dA = ƒ(x)dx ; (面积元素(微元))
(2) 以微分表达式 ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 (面积元素(微元)进行求和累加)