选修1-1,生活中的优化问题举例学案

合集下载

最新人教版高中数学选修1-1《生活中的优化问题举例》示范教案

1．4生活中的优化问题举例教材分析本节内容是导数知识的应用，是利用前面所学的导数知识来解决生产生活中的实际问题．要使问题解决达到最优化，首先要建立合适的函数关系，并确定函数的定义域，然后通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决．在这个过程中，可以利用导数分析函数单调性、极值和最值，从而得出像利润最大、用料最省、效率最高等优化问题的结论．因此，导数是解决生活中优化问题的一个有力工具．课时分配1课时．教学目标1．知识与技能目标会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力．2．过程与方法目标在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中，进一步巩固导数的相关知识，学生通过自主探究，体验数学发现与创造的历程，提高学生的数学素养．3．情感、态度与价值观在学习应用数学知识解决问题的过程中，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，以及科学认真的生活态度，并以此激发他们学习知识的积极性．重点难点重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．难点：将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题．教学过程引入新课提出问题1：将一根长为1米的铁丝弯成一个矩形，怎么弯才能使矩形的面积最大？活动设计：学生讨论，主动发言，教师评论，提醒学生说明理由．学情预测：由于该问题可操作性强，学生积极性应该很高，可以猜想，也可以计算．活动成果：弯成正方形时，面积最大．可以用二次函数或平均值不等式来证明．提出问题2：一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别为多少？活动设计：继续讨论，像问题1一样需要学生说明理由．学情预测：除了猜想、证明外，不少学生尝试计算．活动成果：两个小正方形边长都是l8时，其面积和最小．教师提问：对于以上两个问题，都是对实际问题中的最优化设计，你对实际生活中的最优化设计有什么办法？能联系导数知识进行说明吗？学情预测：学生会用导数知识重新审视问题1、2，思考之后，部分学生可以答出一些理由．设计意图通过几个比较简单的问题，一是激发学生的学习兴趣，二是引出用代数(函数)的方法解决问题．两个问题都可以用二次函数、不等式等知识解决，同样应用导数也能解决，为应用导数知识解决实际问题做铺垫．探究新知提出问题：如图，在边长为60 cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？活动设计：以小组为单位，研究实施方案，教师巡视、指导．学情预测：由于问题相对复杂，学生在猜想无果时，会尝试用函数知识解决．活动成果：解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高h ＝60－x 2(cm)，得箱子容积V(x)＝x 2h ＝60x 2－x 32(0<x<60)．V ′(x)＝60x －3x 22(0<x<60)．令V ′(x)＝60x －3x 22＝0，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝40，并求得V(40)＝16 000.由题意可知，当x 过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积都很小．经检验可知，16 000是最大值．答：当箱底边长为40 cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm 3.解法二：设箱高为x cm ，则箱底边长为(60－2x) cm ，则箱子容积V(x)＝(60－2x)2·x(0<x<30)．(后面同解法一，略)由题意可知，当x 过小或过大时，箱子容积都很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数V(x)＝x 2h ＝60x 2－x 32、V(x)＝(60－2x)2·x 在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值．设计意图对于比较复杂的实际问题，单靠猜想——证明的方法显然不行，这样就更提高了学生用导数知识解决问题的主动性，从而引出本节课的课题，并初步形成解题思路和解题步骤．求实际应用题的最大(最小)值的一般方法是：(1)分析问题中各量之间的关系，把实际问题转化为数学问题，建立函数关系式；(2)确定函数的定义域，并求出极值点；(3)比较各极值与定义域端点函数值的大小，结合实际，确定最值或最值点．理解新知例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？活动设计：学生自行设计图形，分组讨论、交流协作．学情预测：对于圆柱体的体积公式，学生可能会遗忘，需要教师提示．解：设圆柱的高为h ，底面半径为R ，容积为V ，则表面积S ＝2πRh ＋2πR 2.由V ＝πR 2h ，得h ＝V πR 2. 则S(R)＝2πR V 2＋2πR 2＝2V R＋2πR 2. 令S ′(R)＝－2V R 2＋4πR ＝0，解得R ＝3V 2π，从而h ＝V πR 2＝V π(3V 2π)2＝34V π＝23V 2π，即h ＝2R. 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．答：当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省．点评：实际应用问题的最优化，可以转化为函数在指定范围内的最大值问题．因此，恰当设变量，准确构建函数关系式(明确定义域)，并用导数法(其他方法也可)求出函数最值是这类问题的基本解题步骤．例2学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm 2，上、下两边各空2 dm ，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？活动设计：两名学生板演，其他学生独立完成，最后教师讲评．学情预测：如何设变量，准确列出函数表达式，明确函数定义域，多数学生还不够规范．解：设版心的高为x dm ，则版心的宽为128xdm ，此时四周空白面积为 S(x)＝(x ＋4)(128x ＋2)－128＝2x ＋512x＋8，x>0. 求导数，得S ′(x)＝2－512x 2. 令S ′(x)＝2－512x 2＝0，解得x ＝16(x ＝－16舍去)．所以版心的宽为128x ＝12816＝8(dm)．当x ∈(0,16)时，S ′(x)<0；当x ∈(16，＋∞)时，S ′(x)>0.因此，x ＝16是函数S(x)的极小值，也是最小值点．所以，当版心高为16 dm ，宽为8 dm 时，能使海报四周空白面积最小．答：当版心高为16 dm ，宽为8 dm 时，海报四周空白面积最小．运用新知例3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响．(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr 2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.问题：(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是y ＝f(r)＝0.2×43πr 3－0.8πr 2＝0.8π(r 33－r 2)，0<r ≤6. 令f ′(r)＝0.8π(r 2－2r)＝0，解得r ＝2(r ＝0舍去)．当r ∈(0,2)时，f ′(r)<0；当r ∈(2,6)时，f ′(r)>0.因此，当半径r>2时，f ′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r<2时，f ′(r)<0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．(1)半径为2 cm 时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．(2)半径为6 cm 时，利润最大．点评：通过对解答过程的分析，我们可以发现：当r ＝3时，f(3)＝0，即瓶子的半径为3 cm 时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r>3时，利润才为正值．当r ∈(0,2)时，f ′(r)<0，f(r)为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2 cm 时，瓶子的半径越大，利润越小，当半径为2 cm 时，利润最小．巩固练习一条水渠的断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得四周l ＝AB ＋BC ＋CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b.解：由梯形的面积公式，得S ＝12(AD ＋BC)h ，其中AD ＝2DE ＋BC ，DE ＝33h ，BC ＝b ， ∴AD ＝233h ＋b.∴S ＝12(233h ＋2b)h ＝(33h ＋b)h. ① ∵CD ＝h cos30°＝23h ，AB ＝CD ，∴l ＝23h ×2＋b. ② 由①，得b ＝S h －33h ，代入②， ∴l ＝433h ＋S h －33h ＝3h ＋S h ， l ′＝3－S h 2＝0.∴h ＝S 43.当h<S 43时，l ′<0；h>S 43时，l ′>0. ∴h ＝S43时，l 取最小值，此时b ＝243·S.点评：1.解决优化问题的方法是：首先要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，创造在闭区间内求函数最值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决．在这个过程中，导数是一个有力的工具．2．利用导数解决优化问题的基本思路：变练演编变式1：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使圆柱形饮料罐的容积最大？变式2：某厂生产某种产品x 件的总成本c(x)＝1 200＋275x 3(万元)，又知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，问产量定为多少时总利润最大？变式3：已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q.求产量q 为何值时，利润L 最大？解：变式1：S ＝2πRh ＋2πR 2⇒h ＝S －2πR 22πR ⇒V(R)＝S －2πR 22πR πR 2＝12(S －2πR 2)R ＝12SR －πR 3.V ′(R)＝0⇒S ＝6πR 2⇒6πR 2＝2πRh ＋2πR 2⇒h ＝2R.答：圆柱形金属饮料罐的高为底面半径的2倍时，才能使其容积最大．变式2：设单价为q>0，由题意q 2·x ＝k.∵当x ＝100时，q ＝50，∴502·100＝k ，k ＝250 000.∴q 2·x ＝250 000，即q ＝500x. ∴总利润y ＝xq －c(x)＝x·500x －1 200－275x 3＝500x －275x 3－1 200. 令y ′＝500·12x －275·3x 2＝6 250－2x 5225x＝0.∴6 250－2x 52＝0，解得x ＝25. 当x<25时，y ′>0；当x>25时，y ′<0.经检验x ＝25时，y 有最大值．答：产量定为25件时，总利润最大．变式3：收入R ＝q·p ＝q(25－18q)＝25q －18q 2，利润L ＝R －C ＝(25q －18q 2)－(100＋4q)＝－18q 2＋21q －100(0<q<100)， L ′＝－14q ＋21. 令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，从而求得唯一的极值点q ＝84，也是最大值点．答：产量为84时，利润L 最大．达标检测1．江轮逆水行驶300 km ，水速为v(km/h)，船相对于水的速度为x(km/h)．已知行船时每小时的耗油量为cx 2(L)，即与船相对于水的速度的平方成正比．问x 多大时，全程的耗油量最少？2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数关系式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？答案：1.耗油量关于x 的函数为H(x)＝300cx 2x －v(c>0，v>0，x>v)，通过求导运算，可得当x ＝2v 时，全程的耗油量最少．(本题除了用导数求最小值外，还可以运用均值不等式求解：H(x)＝300cx 2x －v ＝300c x 2－v 2＋v 2x －v ＝300c[x －v ＋v 2x －v ＋2v]≥1 200cv.当且仅当x －v ＝v 2x －v ，即x ＝2v 时等号成立．)2．(1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(小时)，要耗油(1128 000×403－380×40＋8)×2.5＝17.5(升)．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．(2)当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升，依题意，得h(x)＝(1128 000x 3－380x ＋8)·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)． h ′(x)＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x)＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x)<0，h(x)是减函数；当x ∈(80,120)时，h ′(x)>0，h(x)是增函数． ∴当x ＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25，也是h(x)的最小值．答：汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少，最少为11.25升．课堂小结解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再化归为常规问题，选择合适的数学方法求解．“生活中的优化问题举例”实际上是求实际问题的最大(小)值，其主要步骤如下：(1)列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f(x)；(2)求函数的导函数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．布置作业课本习题1.4A5，B1.补充练习1．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另外两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的长和宽．2．一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？解：1.设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x ，y)，且x ＞0，y ＞0，则在抛物线上的另一个顶点为(－x ，y)，在x 轴上的两个顶点为(－x,0)、(x,0)，其中0＜x ＜2.则矩形的面积为S(x)＝2x(4－x 2)，0＜x ＜2.由S ′(x)＝8－6x 2＝0，得x ＝23 3.易知x ＝233是S(x)在(0,2)上的极值点，即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的长、宽分别为83和433. 2．假设每次进书x 千册，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x 2，故有 y ＝150x ×30＋x 2×40(x>0)，y ′＝－4 500x2＋20.令y ′＝0，得x ＝15；令y ′>0可得x>15；令y ′<0可得x<15.所以当x ＝15时，y 取得极小值，且极小值唯一，故当x ＝15时，y 取得最小值，此时进货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15 000册书，所付手续费与库存费之和最少．点评：应用题求解，要正确写出目标函数，并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有极小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．设计说明生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具．所以，本节课一开始就从同学们比较熟悉的二次函数、平均值不等式等应用问题入手，让学生初步了解用函数的方法解决实际应用问题的思想．由于导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1．与几何有关的最值问题；2．与物理学有关的最值问题；3．与利润及其成本有关的最值问题；4．效率最值问题．教学中选取了其中一部分内容，一方面扩大学生视野，一方面解决了由于对问题背景陌生造成的审题障碍，从而使题目解答难度过大的问题．教学过程的设计，侧重了师生双边活动，既让学生积极参与问题分析，又让学生独立完成部分题目的解答，最大限度地提升课堂容量，降低问题难度，提高课堂效率．备课资料补充例题1．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上．磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区．磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域．磁道上的定长的弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特(bit)．为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m ，每比特所占用的磁道长度不得小于n.为了数据检索的方便，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数．问题：现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r 与R 之间的环形区域．(1)是不是r 越小，磁盘的存储量越大？(2)r 为多少时，磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?解：由题意知，存储量＝磁道数×每磁道的比特数．设存储区的半径介于r 与R 之间，由于磁道之间的宽度必须大于m ，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达R －r m.由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达2πr n .所以，磁盘总存储量f(r)＝R －r m ·2πr n ＝2πmnr(R －r)． (1)它是一个关于r 的二次函数，从函数的解析式上可以判断不是r 越小，磁盘的存储量越大．(2)为求f(r)的最大值，计算f ′(r)＝0，f ′(r)＝2πmn(R －2r)，令f ′(r)＝0，解得r ＝R 2. 当r<R 2时，f ′(r)>0；当r>R 2时，f ′(r)<0. 因此，当r ＝R 2时，磁盘具有最大存储量，此时最大存储量为2πmn ·R 24＝πR 22mn. 2．工程建设中的选址最优问题有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合建一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？解：设水厂D 点与乙城到岸的垂足B 点之间的距离为x 千米，所需水管总费用为y 元，则y ＝500(50－x)＋700x 2＋402＝25 000－500x ＋700x 2＋1 600，y ′＝－500＋700×12(x 2＋1 600)－12·2x ＝－500＋700x x 2＋1 600. 令y ′＝0，解得x ＝5063. 当x ∈[0，5063)时，y ′<0；当x ∈[5063，50)时，y ′>0.所以当x ＝5063时，y ′取得极小值，也是最小值．答：水厂建在距甲距离为(50－5063)千米时，所需水管总费用最省． (设计者：张春生)。

《生活中的优化问题举例》教案2(新人教版选修1-1)

1.4生活中的优化问题举例教学目标：掌握导数在生活中的优化问题问题中的应用教学重点：掌握导数生活中的优化问题问题中的应用．教学过程一、复习：利用导数求函数极值和最值的方法二、引入新课例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -=cm ，得箱子容积 260)(322x x h x x V -== )600(<<x ．令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积 x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2V h Rπ=，则S(R)= 2πR2V R π+ 2πR 2=2V R+2πR 2 令 22()V s R R '=-+4πR=0 解得，，从而h=2V R π即 h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =R R S ππ222- ⇒V (R )=R R S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭，利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0100)q << 令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q = 答：产量为84时，利润L 最大小结：本节课学习了导数在解决实际问题中的应用.课堂练习：第37页练习A 、B课后作业：第38页B:5，6，7。

高中数学选修1,1《生活中的优化问题举例》教案

高中数学选修1,1《生活中的优化问题举例》教案教学目标：1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量与自变量，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式，根据实际问题确定函数的定义域;2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。

难点：在实际问题中，有常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值。

教学方法：尝试性教学教学过程：前置测评：(1)求曲线y=x2+2在点P(1,3)处的切线方程.(2)若曲线y=x3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。

【情景引入】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题例1.汽油的使用效率何时最高材料：随着我国经济高速发展，能源短缺的矛盾突现，建设节约性社会是众望所归。

现实生活中，汽车作为代步工具，与我们的生活密切相关。

众所周知，汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。

如何使汽车的汽油使用效率最高(汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少)呢?通过大量统计分析，得到汽油每小时的消耗量g(L/h)与汽车行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系g=f(v) 如图3.4-1，根据图象中的信息，试说出汽车的速度v 为多少时，汽油的使用效率最高?解：因为G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v这样，问题就转化为求g/v的最小值，从图象上看，g/v表示经过原点与曲线上点(v,g)的直线的斜率。

继续观察图像，我们发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小，在此点处速度约为90km/h，从树枝上看，每千米的耗油量就是途中切线的斜率，即f (90),约为0.67L.例2.磁盘的最大存储量问题【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上。

人教A版选修1-1教案：生活中的优化问题举例(1)(含答案)

§1．4．1生活中的優化問題舉例(1)
【學情分析】：
導數在實際生活中的應用主要是解決有關函數最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：
1、與幾何有關的最值問題；
2、與物理學有關的最值問題；
3、與利潤及其成本有關的最值問題；
4、效率最值問題。

【教學目標】：
1.掌握利用導數求函數最值的基本方法。

2.提高將實際問題轉化為數學問題的能力.提高學生綜合、靈活運用導數的知識解決生活中問題的能力
3．體會導數在解決實際問題中的作用.
【教學重點】：
利用導數解決生活中的一些優化問題．
【教學難點】：
將生活中的問題轉化為用函數表示的數學問題，再用導數解決數學問題，從而得出問題的最優化選擇。

【教學突破點】：
利用導數解決優化問題的基本思路：
【教法、學法設計】：
482x
-
∴<<
x
024求导数得
()
V x。

《生活中的优化问题举例》参考教案

生活中的优化问题举例教学目标：1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2．提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学过程：一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。

现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。

如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为128x dm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x xx x xx=++-=++>。

求导数，得'2512()2S x x =-。

令'2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去）。

于是宽为128128816x ==。

当(0,16)x ∈时，'()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'()S x >0.因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点。

生活中的优化问题举例学案(公开课)

生活中的优化问题举例学习目标：1．进一步理解导数的概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型；2．掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值. 学习重点：用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值学习难点：实现应用问题向数学问题转化学习过程：一、引入课题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的强有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。

二、学习探究例1：在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去边长都为x 的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？例2：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是20.8r 分，其中r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm .问（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？例3：某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高h 与底半径R ,使得所用材料最省?归纳：求实际问题中的最大(小)值，步骤如下：(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式)(x f y =；(2)求函数的导数)('x f ，解方程0)('=x f ；(3)比较函数在区间端点值和极值大小，最大者为最大值，最小者为最小值．三、动手试试练1班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为2128dm ，上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm .如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？练2某工厂生产某种产品，已知该产品月产量x （吨）与每吨产品的价格P （元/吨）之间的关系为：25124200x P -=，且生产x 吨的成本为x R 20050000+=元，问该产品每月生产多少吨才能使利润最大，最大利润是多少？（利润=收入-成本）四、课时小结：一般地，高考中的数学应用往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行：(1)阅读理解，认真审题(2)引入数学符号，建立数学模型(3)运用数学知识和方法解决上述问题(4)检验结果的实际意义并给出答案．课后作业：1. 某公司生产某种新产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益与年产量的关系是，则总利润最大时，每年生产的产品是（）A ．100B ．150C ．200D ．3002. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高应为（）A B C 3. 若一球的半径为r ，则内接球的圆柱的侧面积最大为（）A ． 22r πB ．2r πC ．24r πD ．212r π 4．以长为10的线段AB 为直径作半圆，求它的内接矩形面积的最大值5.求曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离。

新人教A版(选修1-1)3.4《生活中的优化问题举例》word教案

§3.4 生活中的优化问题举例（1）一、知识与方法：1、解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．2、根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．二、针对性训练：1．某物体的行走路程()s 单位米与运动时间(:)t 单位秒之间的关系满足3225s t t =-，则该物体在2t =秒时的加速度为（）A ．14B ．4C ．10D ．4-2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积为最大，则其高为多少厘米（）A B ．100cm C ．20cm D ．203cm 3．周长为定值l 的矩形中，其面积的最大值为。

4．一面靠墙，三面用栏杆围成一个矩形场地，如果杆长40m ，要使围成的场地面积最大，则靠墙的边应该多长。

5．已知矩形的两相顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线24y x =-在x 轴上方的部分，求面积最大时的矩形的边长。

6．把边长为60cm 的铁丝分成两段，围成一个正三角形和一个正方形，则正方形的边长为多少时，它和正三角形的面积之和最小。

7．用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大体积。

8．如图，把边长为a 的正六边形纸板剪去相同的六个角，做成一个底面为正六边形的无盖六棱柱盒子，设高为h ，所做成的盒子体积为V （不计接缝）。

（1）写出体积V 与高h 的函数关系式；（2）当a h为多少时，体积V 最大，最大值是多少？。

高中数学选修1-1优质学案8：3.4 生活中的优化问题举例

3.4 生活中的优化问题举例学习目标:解决一些综合问题重点:实际问题的应用难点:实际问题的应用教材助读:导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．合作探究展示点评例1：工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x (万件)间的关系为p ＝⎩⎨⎧16－x，0＜x ≤c ，23，x ＞c ，(c 为常数，且0＜c ＜6)．已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元． (1)将日盈利额y (万元)表示为日产量x (万件)的函数；(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝次品数产品总数×100%)例2：经济学上规定，对于某经济函数y ＝f (x )，称xf ′(x )f (x )为该经济函数的弹性，它表示经济变量x 变动1%时，经济变量y 相应变动的百分比．现有一个企业生产一种商品，年产x 件的总成本为c ＋dx ，年需求量g (p )是价格p 的函数，即g (p )＝a －bp (a ，b ，c ，d ＞0)．求：(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价格的弹性的绝对值为1时的价格；(3)若企业将价格定为p ＝a4b ，求此时需求对价格的弹性，并说明它的实际意义．例3：张明准备购买一套住房，最初准备选择购房一年后一次性付清房款，且付款时需加付年利率为4.8%的利息．这时正好某商业银行推出一种年利率低于4.8%的一年定期贷款业务，贷款量与利率的平方成正比，比例系数为k (k ＞0)，因此，他打算申请这种贷款在购房时付清房款．(1)若贷款的利率为x ，x ∈(0,0.048)，写出贷款量g (x )及他应支付的利息h (x )； (2)贷款利息为多少时，张明获利最大？当堂检测1．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．3002．三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC ＝2x ，OA ＝x ，OB ＝y ，且x ＋y ＝3，则三棱锥O －ABC 体积的最大值为( )A ．4B ．8C ．43D ．833．某工厂需要建一个面积为512m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为( )A ．16m,16mB ．32m,16mC ．32m,8mD ．16m,8m4．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.0486)，若使银行获得最大效益，则x 的取值为( )A ．0.0162B ．0.0324C ．0.0243D ．0.04865．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．6．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，要使利润最大每件定价为________元．7．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋136x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？8．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？——★ 参考答案 ★——：合作探究展示点评例1：解：(1)当x ＞c 时，p ＝23，y ＝(1－23)·x ·3－23·x ·32＝0；当0＜x ≤c 时，p ＝16－x，∴y ＝(1－16－x )·x ·3－16－x ·x ·32＝3(9x －9x 2)2(6－x ).∴日盈利额y (万元)与日产量x (万件)的函数关系为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(9x －2x 2)2(6－x )，0＜x ≤c ，0，x ＞c ，(c 为常数，且0＜c ＜6).(2)由(1)知，当x ＞c 时，日盈利额为0. 当0＜x ≤c 时， ∵y ＝3(9x －2x 2)2(6－x )，∴y ′＝32·(9－4x )(6－x )＋9x －2x 2(6－x )2＝3(x －3)(x －9)(6－x )2，令y ′＝0，得x ＝3或x ＝9(舍去)． ∴①当0＜c ＜3时，y ′＞0， ∴y 在区间(0，c ]上单调递增， ∴y 最大值＝f (c )＝3(9c －2c 2)2(6－c ).②当3≤c ＜6时，在(0,3)上，y ′＞0，在(3，c )上，y ′＜0， ∴y 在(0,3)上单调递增，在(3，c )上单调递减． ∴y 最大值＝f (3)＝92.综上，若0＜c ＜3，则当日产量为c 万件时，日盈利额最大；若3≤c ＜6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大.例2：解：(1)由题意可知此时年利润l ＝f (x )＝px －(c ＋dx )＝a －xb x －(c ＋dx )．f ′(x )＝－2b x ＋ab －d ，令f ′(x )＝0，得x ＝12(a －bd )．当x ＜12(a －bd )时，f ′(x )＞0；当x ＞12(a －bd )时，f ′(x )＜0，所以x ＝12(a －bd )为极大值点，即最大值点．故x ＝12(a －bd )时，l 取得最大值14b (a －bd )2－c .(2)g (p )＝a －bp ，则需求对价格的弹性为： p ·g ′(p )g (p )＝p ·(a －bp )′a －bp ＝－bp a －bp . 令|－bp a －bp|＝1，得p ＝a2b .(3)若p ＝a 4b ，则－bp a －bp＝－13.它表示价格定为p ＝a4b 时，价格上升1%时，需求量相应会减少0.333%.例3：解：(1)由题意可知贷款量g (x )＝kx 2，应支付利息h (x )＝x ·g (x )＝kx 3. (2)张明的获利为两种付款方式之间应付的利息差，设张明获利为y ，则 y ＝0.048·kx 2－kx 3， y ′＝k ·0.096x －3kx 2，令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝0.032. 当x ∈(0,0.032)时，y ′＞0，当x ∈(0.032,0.048)时，y ′＜0.故当x ＝0.032时，y 在x ∈(0,0.048)内取得极大值，即最大值，故贷款利率为3.2%时，张明获利最大. 当堂检测1．[答案]D[解析]由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390.由P ′(x )＝0，得x ＝300.当0≤x ≤300时，p ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大，故选D ． 2．[答案]C[解析]V ＝13×2x 22·y ＝x 2y 3＝3x 2－x 33(0<x <3)，V ′＝6x －3x 23＝2x －x 2＝x (2－x )．令V ′＝0，得x ＝2或x ＝0(舍去)． ∴x ＝2时，V 最大为43.3．[答案]B[解析]如图所示，设场地一边长为x m ，则另一边长为512xm.因此新墙总长度L ＝2x ＋512x (x >0)，L ′＝2－512x 2.令L ′＝0，得x ＝16或x ＝－16(舍去)． ∵L 在(0，＋∞)上只有一个极值点， ∴x ＝16必是最小值点． ∵x ＝16，∴512x＝32.故当堆料场的宽为16m ，长为32m 时，可使砌墙所用的材料最省． 4．[答案]B[解析]依题意，存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.0486kx 2，其中x ∈(0,0.0486)．所以银行的收益是y ＝0.0486kx 2－kx 3(0<x <0.0486)，则y ′＝0.0972kx －3kx 2.令y ′＝0，得x ＝0.0324或x ＝0(舍去)．当0<x <0.0324时，y ′>0；当0.0324<x <0.0486时，y ′<0.所以当x ＝0.0324时，y 取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益． 5．[答案]4[解析]设底面边长为x ，则高为h ＝256x 2，其表面积为S ＝x 2＋4×256x 2×x ＝x 2＋256×4x，S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，则x ＝8，则当高h ＝25664＝4时S 取得最小值．6．[答案]85[解析]设每件商品定价x 元，依题意可得利润为L ＝x (200－x )－30x ＝－x 2＋170x (0＜x ＜200)． L ′＝－2x ＋170，令－2x ＋170＝0，解得x ＝1702＝85.因为在(0,200)内L 只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大． 7．解：设该厂生产x 件这种产品利润为L (x ) 则L (x )＝500x －2 500－C (x ) ＝500x －2 500－⎝⎛⎭⎫200x ＋136x 3 ＝300x －136x 3－2 500(x ∈N )令L ′(x )＝300－112x 2＝0，得x ＝60(件)又当0≤x <60时，L ′(x )>0 x >60时，L ′(x )<0所以x ＝60是L (x )的极大值点，也是最大值点．所以当x ＝60时，L (x )＝9 500元．答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．8．解：设水箱底边长为x cm ，则水箱高为h ＝60－x2(cm)．水箱容积V ＝V (x )＝60x 2－x 32(0<x <120)(cm 3)． V ′(x )＝120x －32x 2.令V ′(x )＝0得，x ＝0(舍)或x ＝80.当x 在(0,120)内变化时，导数V ′(x )的正负如下表：因此在x ＝80(x )的最大值．将x ＝80代入V (x )，得最大容积 V ＝802×60－8032＝128 000(cm 3)．答：水箱底边长取80cm 时，容积最大，最大容积为128 000cm 3.。

《生活中的优化问题举例》学案1(新人教A版选修1-1)

《生活中的优化问题举例》学案1(新人教A版选修1-1)§3.4生活中的优化问题举例【成功细节】本节主要研究导数在实际生活中的应用，在学习时，我认为应该注意以下几个方面的细节：（1）要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量某，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式yf(某)，根据实际问题确定函数yf(某)的定义域；（2要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答；（3）求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去；（4）在实际问题中，有f(某)0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在某的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。

如，（2007年重庆市文科20题）用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？本题主要考查长方体体积的计算以及用导数解决最值问题，可设长方体的宽为某（m），则长为2某(m)，高为h1812某4.53某(m)430＜某＜.2故长方体的体积为V(某)2某2(4.53某)9某26某3(m3)从而V(某)18某18某2(4.53某)18某(1某).令V′（某）＝0，解得某=0（舍去）或某=1，因此某=1.当0＜某＜1时，V′（某）＞0；当1＜某＜3(0＜某＜).22时，V′（某）＜0，3故在某=1处V（某）取得极大值，并且这个极大值就是V（某）的最大值。

从而最大体积V＝V′（某）＝9某12-6某13（m3），此时长方体的长为2m，高为1.5m.答：当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3。

【高效预习】（核心栏目）【关注.思考】1.了解优化问题的类型；2.实际问题中为什么极值点一般就是最值点.【粗读·概括】1.认真阅读教材中的例题,从中提炼解答优化问题的解题步骤.【学习细节】（核心栏目）A．基础知识一、利用导数解决生活中的优化问题【情景引入】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．【例题1】海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。

湖南省邵阳市选修1-1学案 3.4生活中的优化问题举例(二)

【学习目标】1. 运用导数解决目标函数为三次函数型.2. 用用导数解决优化问题举例.3. 理解题意与建立目标函数.【自主学习】阅读教材P102-104，完成下列问题：例1. 磁盘的最大存储量问题(1)你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？(2)你知道磁盘的结构吗？(3)如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？【背景知识】计算机把信息存储在磁盘上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分割成的扇形区域.磁道上的定长的弧可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常称为比特(bit).磁盘的构造如图所示.为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必须大于m ，每比特所占用的磁道长度不得小于n .为了数据检索的方便，磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的比特数.(1)是不是r 越小，磁盘的存储量越大？(2)r 为多少时，磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)？【合作探究】请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥(如图所示).试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1 的距离为多少时，帐篷的体积最大？O O 1R r【目标检测】1. 某集团为了获得更大利益，每年要投入一定的资金用于广告促销. 经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (百万元) (0≤t ≤5).(1)若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测，每投入技术改造费x (百万元).可增加销售额约为.33123x x x ++-请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？(注:收益=销售额－投入)2. 已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系为C ＝100＋4q ，单价p 与产量q 的函数式为.8125q p -=求产量q 为何值时，利润L 最大？3. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价每增加10元，就会多一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用.房间定价多少时，宾馆利润最大？【学习反思】：本节课我学到了什么？本节课我的学习效率如何？本节课还有哪些我没学懂？。

(教师用书)高中数学 3.4 生活中的优化问题举例教案新人教A版选修1-1

3.4生活中的优化问题举例(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能通过用料最省，利润最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，并且会利用导数解决简单的实际生活优化问题．2．过程与方法让学生参与问题的分析，探究解决过程，体会数学建模，从而掌握用导数法解决优化问题的方法．3．情感、态度与价值观形成数学建模思想，培养学生应用数学意识，进一步体会导数作为解决函数问题的工具性．激发学生学习热情，培养学生解决问题的能力和创新能力．●重点、难点重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．难点：优化问题的数学建模与求解方法的掌握．(教师用书独具)●教学建议教学中，先给出一些有背景的问题，让学生从生活经验角度思考问题，在此基础上，逐步引入的数学问题，按照学生的思维过程，逐步展开问题、解决问题，然后再给出一些有思维价值的题目，让学生在分析问题、解决问题的过程中，体会数学建模的过程，培养应用数学的意识和能力，同时化解了本节的重点，突破了难点．●教学流程创设问题情境，引出问题：优化问题与导数有何联系？⇒引导学生分析用导数求最值问题，发现其为解决优化问题提供了思路．⇒通过比较求最值与实际优化问题，得出数学建模的必要性.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握求面积、体积最值问题的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握求用料最省、费用最低问题的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握解决利润最大问题的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第64页)题．【问题导思】优化问题实际上就是寻求最佳方案或策略，而实际问题中的利润、用料、效率等问题常能用函数关系式表达，那么优化问题与函数的什么性质联系密切？【提示】函数的最大、最小值．优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．(对应学生用书第64页)掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．则该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【思路探究】设自变量(高)为x―→错误!―→错误!―→错误!【自主解答】设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24)．所以V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)．令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去)．当0＜x＜10时，V′(x)＞0，即V(x)是增加的；当10＜x＜24时，V′(x)＜0，即V(x)是减少的．因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝19 600(cm3)．因此当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.1．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．2．实际问题中函数定义域确定的方法：(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长宽、高都大于零．(2)根据问题的实际意义确定定义域．如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等．将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，则如何截可使正方形与圆的面积之和最小？【解】设弯成圆的一段铁丝长为x cm ，则另一段长为(100－x ) cm ，正方形的边长为a ＝100－x 4cm ，圆的半径r ＝x2π cm. 记正方形与圆的面积之和为S ，∴S ＝π(x 2π)2＋(100－x 4)2＝4＋π16πx 2－252x ＋625(0＜x ＜100)．又S ′＝4＋π8πx －252，令S ′＝0，则x ＝100π4＋π.∵S 是关于x 的二次函数，由其性质可知当x ＝100π4＋πcm 时，面积之和最小．图3－4－1某单位用木料制作如图3－4－1所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m 2，问x 、y 分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)【思路探究】 (1)根据题意，你能找出x 、y 之间的关系式吗？能把框架的周长表示成x 的函数吗？(2)你能确定上函数的定义域并用导数求出最小值吗？【自主解答】依题意，有 xy ＋12·x ·x2＝8，所以y ＝8－x 24x ＝8x －x4(0＜x ＜42)，于是框架用料长度为l ＝2x ＋2y ＋2(2x 2)＝(32＋2)x ＋16x. l ′＝32＋2－16x2.令l ′＝0，即32＋2－16x 2＝0，解得x 1＝8－42，x 2＝42－8(舍去)．当0＜x ＜8－42时，l ′＜0；当8－42＜x ＜42时，l ′＞0，所以当x ＝8－42时，l 取得最小值．此时，x ＝8－42≈2.343 m，y ≈2.828 m. 即当x 为2.343 m ，y 为2.828 m 时，用料最省．1．本题是用料最省问题，此种类型也可以用不等式解决，但有时运算量较大，用导数解决较为合理．2．用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x 的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)【解】设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N *)，f ′(x )＝48－10 800x2，令f ′(x )＝0得x ＝15，当x ＞15时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜15时，f ′(x )＜0，因此当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000.故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数．如果年广告费收入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？【思路探究】 (1)在本例中如何求企业的年利润？怎样判断企业是亏损还是盈利？(2)如何用导数法求最大利润？【自主解答】 (1)由题意，每年产销Q 万件，共计成本为(32Q ＋3)万元．销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x ·50%，∴年利润y ＝年收入－年成本－年广告费＝12(32Q ＋3－x )＝12(32×3x ＋1x ＋1＋3－x )＝－x 2＋98x ＋35x ＋(x ≥0)，∴所求的函数关系式为y ＝－x 2＋98x ＋35x ＋(x ≥0)．当x ＝100时，y <0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损．(2)令f (x )＝y ＝－x 2＋98x ＋35x ＋(x ≥0)可得f ′(x )＝－2x ＋x ＋－－x 2＋98x ＋x ＋2＝－x 2－2x ＋63x ＋2.令f ′(x )＝0，则x 2＋2x －63＝0. ∴x ＝－9(舍去)或x ＝7.又∴x ∈(0,7)时，f ′(x )>0；x ∈(7，＋∞)时，f ′(x )<0， ∴f (x )极大值＝f (7)＝42.又∵在(0，＋∞)上只有一个极值点， ∴f (x )max ＝f (x )极大值＝f (7)＝42.故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．1．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再用导数求最大值．商品的价格要高于生产商品的成本，否则会亏本．2．解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，求产量q 为何值时，利润L 最大？【解】收入R ＝q ·p ＝q (25－18q )＝25q －18q 2.利润L ＝R －C ＝(25q －18q 2)－(100＋4q )＝－18q 2＋21q －100(0＜q ＜200)，所以L ′＝－14q ＋21.令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，解得q ＝84.因为当0＜q ＜84时，L ′＞0；当84＜q ＜200时，L ′＜0，所以当q ＝84时，L 取得最大值，最大值为782. 答：当产量为84时，利润取得最大值782.(对应学生用书第66页)分类讨论的思想在优化问题中的应用(12分)工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x (万件)间的关系为 p ＝⎩⎪⎨⎪⎧16－x ，0＜x ≤c ，23，x ＞c ，(c 为常数，且0＜c ＜6)．已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元． (1)将日盈利额y (万元)表示为日产量x (万件)的函数；(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝次品数产品总数×100%)【思路点拨】【规范解答】 (1)当x ＞c 时，p ＝23，y ＝(1－23)·x ·3－23·x ·32＝0；2分当0＜x ≤c 时，p ＝16－x，∴y ＝(1－16－x )·x ·3－16－x ·x ·32＝x －9x 2－x.4分∴日盈利额y (万元)与日产量x (万件)的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2x 2－x ，0＜x ≤c ，0，x ＞c ，(c 为常数，且0＜c ＜6).5分(2)由(1)知，当x ＞c 时，日盈利额为0.6分当0＜x ≤c 时， ∵y ＝x －2x 2－x，∴y ′＝32·－4x－x ＋9x －2x2－x 2＝x －x －－x2，8分令y ′＝0，得x ＝3或x ＝9(舍去)．∴①当0＜c ＜3时，y ′＞0，∴y 在区间(0，c ]上单调递增， ∴y 最大值＝f (c )＝c －2c 2－c.9分②当3≤c ＜6时，在(0,3)上，y ′＞0，在(3，c )上，y ′＜0， ∴y 在(0,3)上单调递增，在(3，c )上单调递减． ∴y 最大值＝f (3)＝92.11分综上，若0＜c ＜3，则当日产量为c 万件时，日盈利额最大；若3≤c ＜6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大.12分解答本题时，要注意分类讨论思想的运用，同时对导数公式及运算法则要熟练、活用求最值的方法解决问题．1．解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言．要先找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，最后选择合适的数学方法求解．2．用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)函数建模：细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)．(2)确定定义域：一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．(3)求最值：此处尽量使用导数法求出函数的最值．(4)下结论：紧扣题目，给出圆满的答案.1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件【解析】 y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，得x ＝9或x ＝－9(舍)．当0＜x ＜9时y ′＞0；当x ＞9时，y ′＜0. 故当x ＝9时函数有极大值，也是最大值．【答案】 C2．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．35【解析】 V ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30x 2－x 32′＝60x －32x 2，x ∈(0,60)．令V ′(x )＝0，得x ＝40.∴当x ＝40，箱子的容积有最大值．【答案】 B3．把长60 cm 的铁丝围成矩形，当长为________cm ，宽为________cm 时，矩形面积最大．【解析】设长为x cm ，则宽为(30－x )cm ，所以面积S ＝x (30－x )＝－x 2＋30x ，由S ′＝－2x ＋30＝0，得x ＝15.【答案】 15,154．做一个无盖的圆柱形水桶，若需其体积是27π，且用料最省，求此时圆柱的底面半径为多少？【解】设底面半径为r ，则高h ＝27r2.∴S ＝2πr ·h ＋πr 2＝2πr ·27r 2＋πr 2＝54πr＋πr 2S ′＝2πr －54πr 2，令S ′＝0，得r ＝3.经验证，当r ＝3时，S 最小．答：圆柱的底面半径为3时用料最省.(对应学生用书第115页)一、选择题1．甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图3－4－2所示．( )图3－4－2现有下列四种说法：①前四年该产品产量增长速度越来越快；②前四年该产品产量增长速度越来越慢；③第四年后该产品停止生产；④第四年后该产品年产量保持不变．其中说法正确的有( )A．①④B．②④C．①③D．②③【解析】由图象可知，②④是正确的．【答案】 B2．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A．6 cm B．8 cmC．10 cm D．12 cm【解析】设截去小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3.所以V＝x(48－2x)2(0＜x＜24)，V′＝12(x－8)(x－24)．令V′＝0，则x＝8∈(0,24)．【答案】 B3．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( )A.3V B.32VC.34V D．23V【解析】设直棱柱的底面边长为a ，高为h ，依题意34a 2·h ＝V ，∴ah ＝4V 3a. 因此表面积S ＝3ah ＋2·34a 2＝43V a ＋32a 2. ∴S ′＝3a －43Va 2.令S ′＝0，则a ＝34V .易知当a ＝34V 时，表面积S 取得最小值．【答案】 C4．某工厂需要建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为( )A ．16 m,16 mB ．32 m,16 mC ．32 m,8 mD ．16 m,8 m【解析】如图所示，设场地一边长为x m ，则另一边长为512xm.因此新墙总长度L ＝2x ＋512x (x ＞0)，L ′＝2－512x.令L ′＝0，得x ＝16或x ＝－16(舍去)．∵L 在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴它必是最小值点． ∵x ＝16，∴512x＝32.故当堆料场的宽为16 m ，长为32 m 时，可使砌墙所用的材料最省．【答案】 B5．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k ＞0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大效益，则x 的取值为( )A ．0.016 2B ．0.032 4C ．0.024 3D ．0.048 6【解析】依题意，存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048 6kx 2，其中x ∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0＜x ＜0.048 6)，则y ′＝0.097 2kx －3kx 2.令y ′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)．当0＜x ＜0.032 4时，y ′＞0；当0.032 4＜x ＜0.048 6时，y ′＜0. 所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．【答案】 B 二、填空题6．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能与下列________相对应．【解析】加速过程、路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸，减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凹，应与①相吻合．【答案】 ①7．轮船甲位于轮船乙的正东方向且距轮船乙75海里处，以每小时12海里的速度向西行驶，而轮船乙则以每小时6海里的速度向北行驶，如果两船同时起航，那么经过________小时两船相距最近．【解析】设经过x 小时两船相距y 海里，y 2＝36x 2＋(75－12x )2，(y 2)′＝72x －24(75－12x )，令(y 2)′＝0，得x ＝5，易知当x ＝5时，y 2取得最小值．【答案】 58．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．【解】设仓库与车站相距x 千米，依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离，k 1，k 2是比例系数，于是由2＝k 110得k 1＝20；由8＝10k 2得k 2＝45.∴两项费用之和为y ＝20x ＋4x5(x ＞0)，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝0，得x ＝5或x ＝－5(舍去)．当0＜x ＜5时，y ′＜0；当x ＞5时，y ′＞0.∴当x ＝5时，y 取得极小值，也是最小值．∴当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．【答案】 5 三、解答题9．某工厂有一段旧墙长14 m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126 m 2的厂房，工程条件是：(1)建1 m 新墙的费用为a 元；(2)修1 m 旧墙的费用为a4元；(3)拆去1 m 旧墙，用可得的建材建1 m 新墙的费用为a2元，经讨论有两种方案：①利用旧墙一段x m(0＜x ＜14)为矩形一边；②矩形厂房利用旧墙的一面边长x ≥14，问如何利用旧墙建墙费用最省？试比较①，②两种方案哪个更好．【解】方案①：修旧墙费用x ·a 4，拆旧墙造新墙费用为(14－x )·a2，其余新墙费用为(2x ＋2×126x－14)a ，∴总费用y ＝7a (x 4＋36x －1)(0＜x ＜14)，∵x 4＋36x≥2x 4·36x＝6，当且仅当x 4＝36x ，即x ＝12时取等号，∴y min ＝35a .方案②：利用旧墙费用为14·a 4＝7a2(元)，建新墙费用为(2x ＋252x－14)a (元)，总费用为y ＝2a (x ＋126x )－212a (x ≥14)∵当x ≥14时，(x ＋126x )′＝1－126x2＞0∴函数x ＋126x在[14，＋∞)上递增∴当x ＝14时，y min ＝35.5a 故采用方案①更好些．10．请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？最大体积是多少？【解】如图，设OO 1为x m ，则1＜x ＜4. 由题设可得正六棱锥底面边长为 32－x －2＝8＋2x －x 2.于是底面正六边形的面积为 6·34·(8＋2x －x 2)2＝332(8＋2x －x 2)．帐篷的体积为V (x )＝332(8＋2x －x 2)[13(x －1)＋1] ＝32(16＋2x －x 3)．求导数，得V ′(x )＝32(12－3x 2)．令V ′(x )＝0，解得x ＝－2(不合题意，舍去)，x ＝2. 当1＜x ＜2时，V ′(x )＞0，V (x )为增函数；当2＜x ＜4时，V ′(x )＜0，V (x )为减函数，所以当x ＝2时，V (x )最大．所以当OO 1为2 m 时，帐篷的体积最大，最大体积为16 3 m 3.11．某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P 与每日生产量x (x ∈N *)件之间的关系为P ＝4 200－x24 500，每生产一件正品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2 000元．(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)(1)将日利润y (元)表示成日产量x (件)的函数；(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．【解】 (1)∵y ＝4 000×4 200－x 24 500x －2 000(1－4 200－x2)x＝3 600x －43x 3，∴所求的函数关系式是y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N *,1≤x ≤40)．(2)显然y ′＝3 600－4x 2.令y ′＝0，解得x ＝30. ∴当1≤x ＜30时，y ′＞0；当30＜x ≤40时，y ′＜0.∴函数y ＝－43x 3＋3 600(x ∈N *,1≤x ≤40)在[1,30)上是单调递增函数，在(30,40]上是单调递减函数．∴当x ＝30时，函数y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N *,1≤x ≤40)取得最大值，最大值为－43×303＋3 600×30＝72 000(元)．∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72 000元.(教师用书独具)经济学上规定，对于某经济函数y ＝f (x )，称xf xf x为该经济函数的弹性，它表示经济变量x 变动1%时，经济变量y 相应变动的百分比．现有一个企业生产一种商品，年产x 件的总成本为c ＋dx ，年需求量g (p )是价格p 的函数，即g (p )＝a －bp (a ，b ，c ，d ＞0)．求：(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价格的弹性的绝对值为1时的价格；(3)若企业将价格定为p ＝a4b ，求此时需求对价格的弹性，并说明它的实际意义．【解】 (1)由题意可知此时年利润l ＝f (x )＝px －(c ＋dx )＝a －xbx －(c ＋dx )． f ′(x )＝－2b x ＋ab－d ，令f ′(x )＝0，得x ＝12(a －bd )．当x ＜12(a －bd )时，f ′(x )＞0；当x ＞12(a －bd )时，f ′(x )＜0，所以x ＝12(a －bd )为极大值点，即最大值点．故x ＝12(a －bd )时，l 取得最大值14b (a －bd )2－c .(2)g (p )＝a －bp ，则需求对价格的弹性为：p ·g p g p＝pa －bp a －bp＝－bpa －bp. 令|－bp a －bp |＝1，得p ＝a2b. (3)若p ＝a 4b ，则－bp a －bp ＝－13.它表示价格定为p ＝a4b时，价格上升1%时，需求量相应会减少0.333%.张明准备购买一套住房，最初准备选择购房一年后一次性付清房款，且付款时需加付年利率为4.8%的利息．这时正好某商业银行推出一种年利率低于4.8%的一年定期贷款业务，贷款量与利率的平方成正比，比例系数为k (k ＞0)，因此，他打算申请这种贷款在购房时付清房款．(1)若贷款的利率为x ，x ∈(0,0.048)，写出贷款量g (x )及他应支付的利息h (x )； (2)贷款利息为多少时，张明获利最大？【解】 (1)由题意可知贷款量g (x )＝kx 2，应支付利息h (x )＝x ·g (x )＝kx 3. (2)张明的获利为两种付款方式之间应付的利息差，设张明获利为y ，则y ＝0.048·kx 2－kx 3， y ′＝k ·0.096x －3kx 2，令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝0.032. 当x ∈(0,0.032)时，y ′＞0，当x ∈(0.032,0.048)时，y ′＜0.故当x ＝0.032时，y 在x ∈(0,0.048)内取得极大值，即最大值，故贷款利率为3.2%时，张明获利最大.。

高中数学选修1-1优质学案：§3.4 生活中的优化问题举例

§3.4生活中的优化问题举例学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．1．生活中常见到的收益最高、用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．(√) 2．解决应用问题的关键是建立数学模型．(√)类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x 应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V 最大，则x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题解 (1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm ，高为2(30－x )cm,0<x <30，所以包装盒侧面积为S ＝42x ×2(30－x ) ＝8x (30－x )≤8×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋30－x 22＝8×225，当且仅当x ＝30－x ，即x ＝15时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x ＝15. (2)包装盒容积V ＝2x 2·2(30－x ) ＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)，所以V ′＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)．令V ′>0，得0<x <20；令V ′<0，得20<x <30.所以当x ＝20时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒的底面边长为202cm ，高为102cm ，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.反思与感悟面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．特别注意：在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．跟踪训练1 已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最小时，圆柱的高h 的值为________．考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题 [答案]6πS 3π[解析] 设圆柱的底面半径为r ，则S 圆柱底＝2πr 2， S 圆柱侧＝2πrh ，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh ， ∴h ＝S －2πr 22πr.又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32，V ′(r )＝S －6πr 22，令V ′(r )＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ， ∵V ′(r )只有一个极值点， ∴当h ＝2r 时圆柱的容积最小．又r ＝S6π，∴h ＝2S 6π＝6πS 3π. 即当圆柱的容积V 最小时，圆柱的高h 为6πS 3π. 类型二实际生活中的最值问题命题角度1 利润最大问题例2 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入) 考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题解 (1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)，∴当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)，又设由此获得的收益是g (x )(百万元)，则g (x )＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，∴g ′(x )＝－x 2＋4，令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.又当0<x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0，∴当x ＝2时，g (x )取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值为42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．命题角度2 用料(费用)最省问题例3 某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10000平方米，该中心每块球场的建设面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800⎝⎛⎭⎫1＋15ln x 来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题解设建成x 个球场，则1≤x ≤10，每平方米的购地费用为128×1041000x ＝1280x (元)，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800⎝⎛⎭⎫1＋15ln x 来表示，所以每平方米的综合费用为g (x )＝f (x )＋1280x ＝800＋160ln x ＋1280x (x >0)，所以g ′(x )＝160(x －8)x 2(x >0)，令g ′(x )＝0，则x ＝8，当0<x <8时， g ′(x )<0，当x >8时，g ′(x )>0，所以当x ＝8时，函数取得极小值，且为最小值．故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省．反思与感悟费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．跟踪训练3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256mx＋m x ＋2m －256. (2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋1212mx -＝m 2x 232512x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令f ′(x )＝0，得32x ＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小.1．某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，且f ′(100)＝－1，这个数据说明在第100天时( ) A ．公司已经亏损 B ．公司的盈利在增加 C ．公司的盈利在逐渐减少D ．公司有时盈利有时亏损考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题 [答案] C[解析] 因为f ′(100)＝－1，所以函数图象在x ＝100处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少．2．已知某厂家生产某种产品的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋36x ＋126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．11万件B ．9万件C ．7万件D ．6万件考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题 [答案] D[解析] 由y ′＝－x 2＋36＝0，解得x ＝6或x ＝－6(舍去)．当0<x <6时，y ′>0；当x >6时，y ′<0， ∴在x ＝6时y 取最大值．3．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( ) A ．2m 3 B ．3m 3 C ．4m 3D ．5m 3 考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题 [答案] B[解析] 设长方体的宽为x (m)，则长为2x (m)，高为h ＝18－12x 4＝92－3x (m)⎝⎛⎭⎫0<x <32，故长方体的体积为V (x )＝2x 2⎝⎛⎭⎫92－3x＝9x 2－6x 3⎝⎛⎭⎫0<x <32，从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )，令V ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去)．当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0，故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值，从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)．4．容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料．考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题[答案] 4[解析] 设水箱高为h ，底面边长为a ，则a 2h ＝256，其表面积为S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a ·256a 2＝a 2＋210a. 令S ′＝2a －210a 2＝0，得a ＝8. 当0<a <8时，S ′<0；当a >8时，S ′>0，故当a ＝8时，S 最小，此时h ＝2882＝4. 5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题解 (1)设商品降价x 元，则每星期多卖的商品数为kx 2.若记商品在一个星期的获利为f (x )，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．(2)由(1)得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故当x＝12时，f(x)取得极大值．因为f(0)＝9072，f(12)＝11664.所以当定价为30－12＝18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大．1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．(2)求函数的导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数[解析]式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.。

高中数学选修1-1优质学案7：3.4 生活中的优化问题举例

3.4 生活中的优化问题举例学习目标:1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2．提高将实际问题转化为数学问题的能力重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．难点:利用导数解决生活中的一些优化问题教材助读:求解应用问题的方法：解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把问题情境译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解.合作探究展示点评探究一：磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域.磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）.为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n.为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数.问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？探究二：节省材料问题圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？当堂检测1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )2．若商品的年利润y (万元)与年产x (百万件)的函数关系式y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( )A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件3．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2·(60－x2)(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．354．如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD 中，A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．5．某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与底面半径，才使得所用材料最省？6．某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地形AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN 上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为x米．(1)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，AB长度应在什么范围内？(2)若规划建设的仓库是高度与AB长度相同的长方体建筑，问AB长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)7．某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件．若售价降低销售量可以增加，且售价降低x(0≤x≤8)元时，每天多卖出的件数与x2＋x成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．(1)试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；(2)该商品售价为多少元时，一天的销售利润最大？——★参考答案★——：探究一：磁盘的最大存储量问题解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数.设存储区的半径介于r 与R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于m ，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达R rm-.由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达2rnπ.所以，磁盘总存储量()f r =R r m -×2r n π2()r R r mnπ=- （1）它是一个关于r 的二次函数，从函数[解析]式上可以判断，不是r 越小，磁盘的存储量越大．（2）为求()f r 的最大值，计算()0f r '=．()2()2f r R r mnπ'=- 令()0f r '=，解得2R r =当2R r <时，()0f r '>；当2Rr >时，()0f r '<．因此2R r =时，磁盘具有最大存储量.此时最大存储量为224R mn π.探究二：节省材料问题解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S =2πRh +2πR 2由V =πR 2h ，得2Vh R π=，则 S (R )= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R +2πR 2 令 22()Vs R R'=-+4πR =0解得，R，从而h =2V Rπ=即h =2R因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值. 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省. 当堂检测1．[答案]A[解析]加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A ．2．[答案]C[解析]依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．3．[答案]B [解析]V ′(x )＝(30x 2－x 32)′＝60x －32x 2，x ∈(0,60)．令V ′(x )＝0，得x ＝40. ∴当x ＝40时，箱子的容积有最大值．4．[解析]设CD ＝x ，则点C ⎝⎛⎭⎫x 2，0，B ⎝⎛⎭⎫x 2，1－x24， ∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎝⎛⎭⎫1－x 24＝－14x 3＋x ，x ∈(0,2)．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x ＝23时，f (x )有最大值439.[答案]4395．解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积 S (R )＝2πRh ＋2πR 2，又V ＝πR 2h ，则h ＝VπR2，∴S (R )＝2πR ·V πR 2＋2πR 2＝2VR ＋2πR 2，由S ′(R )＝－2VR2＋4πR ＝0，解得R ＝3V 2π，从而h ＝VπR 2＝2 3V 2π，即h ＝2R ，当R <3V 2π时，S ′(R )<0；当R >3V2π时，S ′(R )>0.因此，当R ＝3V2π时，S (R )有极小值，且是S (R )的最小值．答：当罐高与底的直径相等时，所用材料最省． 6．解：(1)依题意三角形NDC 与三角形NAM 相似， ∴DC AM ＝ND NA ，即x 30＝20－AD 20，AD ＝20－23x ，矩形ABCD 的面积为S ＝20x －23x 2，定义域为0<x <30，要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，即20x －23x 2≥144，化简得x 2－30x ＋216≤0，解得12≤x ≤18， ∴AB 长度应在[12,18]内．(2)仓库体积为V ＝20x 2－23x 3(0<x <30)V ′＝40x －2x 2＝0，得x ＝0，或x ＝20，当0<x <20时V ′>0；当20<x <30时V ′<0， ∴x ＝20时V 取最大值8 0003米3,即AB 长度为20米时仓库的库容量最大．7．解：(1)由题意，可设每天多卖出的件数为k (x 2＋x )，则36＝k (32＋3)，解得k ＝3. 又每件商品的利润为(20－12－x )元，每天卖出的商品件数为48＋3(x 2＋x )， ∴该商品一天的销售利润为 f (x )＝(8－x )[48＋3(x 2＋x )]＝－3x 3＋21x 2－24x ＋384(0≤x ≤8)．(2)f ′(x )＝－9x 2＋42x －24＝－3(x －4)(3x －2)．令f ′(x )＝0，可得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表： ↘↘故当商品售价为16元时，一天销售利润最大，最大值为432元．。