Bézier曲线的一种重新参数化新方法

（1）计算 Δpk = pk+1 − pk ；
（2）计算 C0 ,L, C2n−2 ； （3）计算W [0],W [1],W [2]；
（4）计算式（9）定义的 a , 这就是式（2） 中的重新参数化因子 a ；
（5）把式（2）代入式（1）得到的曲线方
程就是最优参数化曲线方程 q(u) = p(ta (u)) 。
2 实例
一条二次的 图 1。 通过实例可以看出，对于多数实际应用来讲，最 优参数化与弧长参数化已经很难区分。
3结论
利用新的重新参数化算法，能够求出 Bézier 曲线的最优参数化，计算过程比有理线性参数变 换简单，通用性强。
第2期
Farouki采用的重新参数化变换为有理线性 参数变换[3]。文章讨论了一种新的重新参数化变 换函数[4]，比有理线性参数变换计算简单，通用 性强。论证了通过新函数能够求出任意一条 Bézier 曲线的最优参数化，提出了求解最优参数 化的新算法。
1 重新参数化新算法
给定一条 n 次多项式 Bézier 曲线
其中
n
∑ p(t) = pk bk(n) (t) k =0
b
(n k
)
(t
)
=
⎜⎜⎝⎛
n k
⎟⎟⎠⎞ (1
−
t)n−k
tk
k = 0,L, n , t ∈[0,1]
重新参数化新函数[4]: u ∈ [0,1]
（1）
ta
(u)
=
(1 + 1+
a)u au
a ∈ (−1,+∞)
比有理线性变换： u ∈ [0,1]
新参数化方法[J]. 计算机研究与发展, 2004, 41(6): 1016-1021.
0 1 + a dt
（6）
曲线（1）是正则曲线， d p(t) ≠ 0 ，因而存在 dt
两个常数 C1 ， C2 ，满足
0 < C1 <
d dt
p(t)
<C 2
t ∈[0,1]
（7）
又因为
∫ 1(1 + a − at)2 dt = a2 + 3a + 3
0 1+ a
3(1 + a)
由式（6）式（7）式（8）得到
郭凤华等：Bézier曲线的一种重新参数化新方法
·111·
T
T
(a) 原始曲线
最优参数化
原始曲线 (b) 最优参数化前后参数速度比较 (“1”是弧长参数化的单位速度)
(c) 最优参数化的参数流
(d) 原始曲线的参数流
图 1 新方法最优参数化前后参数速度和参数流的比较
参考文献
[1] Farouki R T, Sakkalis T. Real rational curves are not “unit Speed” [J]. Computer Aided Geometric Design, 1991, (8): 151-157.
⎜⎛ ⎝
d dt
ua
(t
)
⎟⎞ ⎠
−1
=
(1+ a − at)2 1+ a
所以
d du
(ta (u))
=
⎜⎛ ⎝
d dt
ua
(t) ⎟⎞−1 ⎠
=
(1 + a − at)2 1+ a
把上式代入式（5）得到
·110· T
工程图学学报
T
2006 年
∫ J (a) =
1 (1 + a − at)2
d
2
p(t) dt
[2] 施法中. 计算机辅助几何设计与非均匀有理 B 样
条[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001. 40. [3] Farouki R T. Optimal parameterizations [J]. Computer
Aided Geometric Design 1997 (14): 153-168. [4] 梁锡坤. Bernstein Bézier 类曲线和 Bézier 曲线的重
0 = d J (a) = da
∫01⎜⎜⎝⎛1 −
2t
+
at 2 (a + (1 + a)
2)
2
⎟⎟⎠⎞
d dt
p(t)
2
dt
解上面等式得
a = −1 +
W [2]
W[0] − 2W[1] + W[2]
（9）
∫ 其中
W[r] =
1
t
r
d
2
p(t) dt ,
0 dt
它的计算如下
r =0, 1, 2,
C1
(a
+ 1.5)2 3(1 +
+ 0.75 a)
<
J
(a)
<
C2
(a
+
1.5)2 3(1 +
+ 0.75 a)
注意到
（8）
lim (a + 1.5)2 + 0.75 = a→−1 3(1 + a)
lim (a + 1.5)2 + 0.75 = +∞ a→−1 3(1 + a)
因此，存在 a ∈ (−1,+∞) 使 J (a) 取得最小值，这 时 a 满足下面等式
第2期
郭凤华等：Bézier曲线的一种重新参数化新方法
·109·
T
T
以及有理多项式曲线，不能取自身弧长为参 数[1], [2]。
为了解决上述问题，Farouki 将 Bézier 曲线 重新参数化为有理参数曲线。曲线重新参数化 后，其形状和参数域保持不变，描述曲线的参数 方程发生了变化，参数速度相应改变。改变重新 参数化因子，得到描述同一条曲线的不同的参数 方程。利用重新参数化因子，Farouki 求出了 Bézier曲线的最优参数化，即参数速度最逼近单 位速度的曲线参数方程[3]。
2006 年 第2期
工程图学学报
JOURNAL OF ENGINEERING GRAPHICS
2006 No.2
Bézier 曲线的一种重新参数化新方法
郭凤华， 杨兴强
（山东大学计算机科学与技术学院，山东 济南 250061）
摘
要：曲线重新参数化的关键是重新参数化方法。对 Bézier 曲线的重新参数化
u
a
(t)
=
1
+
t a
−
at
（3）
记 S 为曲线的弧长
∫ ∫ S =
1 d p(t) dt = 0 dt
1 0
d du
p(ta (u))
du
曲线要取得最优参数化当且仅当新函数中的 a
使下面算式取得最小值[3]
∫01⎜⎜⎝⎛
d du
p(ta (u))
− S ⎟⎟⎠⎞2 du
（4）
把式（4）展开， S 代入得到
ta
(u
)
⎟⎞2 ⎠
d du
p(ta (u))
2
du
因为 u = ua (t) ，用参数 t 替换上式的参数 u 得 到原先的参数 t
∫ J (a) =
1⎜⎛ d 0 ⎝ du
ta
(u
)
⎟⎞ ⎠
d dt
p(t)
2
dt
（5）
又因为
d du
ta
(u
)
=
⎜⎛ ⎝
d dt
ua
(t
)
⎟⎞ ⎠
−1
由式（3）得到
方法进行了讨论，找到了一种新方法，比常用的有理线性参数变换计算简单，通用性强。论
证了利用新方法的自由度，可以求出 Bézier 曲线的最优参数化方程。给出了求解 Bézier 曲
线最优参数化方程的新算法。新算法具有单一自由度，最优值通过求解一个二次方程的根得
到，算法简单可靠，文中给出了计算实例。
关 键 词：计算机应用；Bézier 曲线；最优参数化；重新参数化
⎛ 2n − 2⎞
∑ W [r ]
=
2n
1 −1+
r
2n−2+r i=r
⎛
⎜ ⎝
i−r
⎟ ⎠
2n − 2 + r
⎞
Ci−r
⎜ ⎝
i
⎟ ⎠
∑ Ck
=
min(n−1,k )
n2
l =max(0,k −n+1)
⎜⎜⎝⎛
n
l− 1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
n k
− −
⎜⎜⎝⎛
2n − k
2
⎟⎟⎠⎞
1l ⎟⎟⎠⎞
Δpl
（2）
ta
(u)
=
(1− a)u a(1− u) + (1−
a)u
a ∈ (0,1)
计算简单，通用性强。利用重新参数化新函数把
参数 t →u ，得到新的曲线方程 q(u) = p(ta(u))。 改变重新参数化因子 a ，得到不同的曲线方程。
目标是求出最佳逼近弧长参数化的曲线参数方
程 q(u) = p(ta (u)) 。求解过程如下： 重新参数化新函数的逆影射 u → t
⋅ Δpk −l
其中
Δpk = pk+1 − pk ， k = 0,L,2n − 2 。
以上分析证明了新函数能够求出 Bézier 曲 线的最优参数化。求 Bézier 曲线最优参数化的新
算法总结如下：对于一条 n 次的 Bézier 曲线 p(t) ，控制顶点 p0,L, pn , k = 0,L,2n − 2