2013年华中农业大学考研真题 608数学
2013-数一真题大全及答案
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）已知极限0arctan limkx x xc x →−=，其中,c k 为常数，且0c ≠，则（ ）（A ）12,2k c ==−（B ）12,2k c ==（C ）13,3k c ==−（D ）13,3k c ==（2）曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)−处的切平面方程为（ ） （A ）2x y z −+=− （B ）2x y z ++= （C ）23x y z −+=− （D ）0x y z −−=（3）设1()2f x x =−，102()sin (1,2,...)n b f x n xdx n π==⎰，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9()4S −=（ ）（A ）34 （B ）14（C ）14−（D ）34−（4）设222222221234:1,:2,:22,:22,l x y l x y l x y l x y +=+=+=+=为四条逆时针的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii l y x I y dx x dy i =++−=⎰，则()i MAX I =( )（A ）1I （B ）2I （C ）3I （D ）3I（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =−≤≤=则（ ）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量~(),~(1,),X t n Y F n 给定(00.5),a a <<常数c 满足{}P X c a >=,则2{}P Y c >=（ ） （A ）α （B ）1α−（C ）2α （D ）12α−二、填空题：9−14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)设函数()f x 由方程(1)x y y x e−−=确定，则1lim (()1)n n f n→∞−= ．(10)已知321xxy e xe =−，22xxy e xe =−，23xy xe =−是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为y = ．(11)设sin sin cos x t y t t t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），则224t d y dx π== ．(12)21ln (1)xdx x +∞=+⎰．（13）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则（14）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布,a 为常数且大于零，则{1|}P Y a Y a ≤+>=________。
2013年考研数学一真题及答案解析(全国硕士研究生入学统一考试数学一试题)
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）已知极限0arctan limkx x xc x →-=，其中,c k 为常数，且0c ≠，则（ ）（A ）12,2k c ==-（B ）12,2k c ==（C ）13,3k c ==-（D ）13,3k c ==（2）曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） （A ）2x y z -+=- （B ）2x y z ++= （C ）23x y z -+=- （D ）0x y z --=（3）设1()2f x x =-，102()sin (1,2,...)n b f x n xdx n π==⎰，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9(4S -=（ ） （A ）34 （B ）14（C ）14-（D ）34-（4）设222222221234:1,:2,:22,:22,l x y l x y l x y l x y +=+=+=+=为四条逆时针的平面曲线，记33((2)(1,2,3,4)63ii l y x I y dx x dy i =++-=⎰Ñ，则()i MAX I =( )（A ）1I （B ）2I （C ）3I （D ）3I（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为 （A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量~(),~(1,),X t n Y F n 给定(00.5),a a <<常数c 满足{}P X c a >=,则2{}P Y c >=（ ） （A ）α （B ）1α-（C ）2α （D ）12α-二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)设函数()f x 由方程(1)x y y x e --=确定，则1lim (()1)n n f n→∞-= ．(10)已知321xx y exe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为y = ．(11)设sin sin cos x t y t t t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），则224t d y dx π== ．(12)21ln (1)xdx x +∞=+⎰．（13）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则（14）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布,a 为常数且大于零，则{1|}P Y a Y a ≤+>=________。
2013考研数二真题及解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小 （2）设函数()y f x =由方程确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价更多免费资料请关注微信公众号：xzwendu QQ 群：329760225（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()1xt f x e dt -=-⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线2arctan ln 1x ty t=⎧⎪⎨=+⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
2013数学三解析
2013年数学（三）真题解析一、选择题（1） 【答案】（D ）.【解】 由 lim * °^2）= lim=0,得（A ）正确；HfOX "° X,O （J7 ） • O （J7 2 ） .. O （H ） O （g2） c A 由 lim ----------:--------= lim -------- •———=0,得（E ）正确；h —o x H —o x x 由 lim O2）二。
2）=lim 匹孚 + lim 匕^=0,得（C ）正确；x-*0 X工~0XH —0X2 I 3取 J ： 2 —o （JC ） 9 X 3 =O {x 2 ），因为 lim ----2 =1工0,所以。
（工）+o （工2 ） =0 （工2 ）不对 9工-*0 X 事实上 O （2）+ O （J ：2 ） = O （J7）,应选（D ）・（2） 【答案】（C ）.【解】 显然一1,0,1为 2）的所有间断点.（一"一1 严小一1 r Jn （—工）_ r 1由塑工（工+l ）ln （r ）= J^iHCz+l ）ln （—工）—’四心（工+1）111（—工）一工巴y +1一 ，得工=—1是无穷间断点，不是可去间断点.. x 1 — 1 e jlnj — 1由凹+ l)ln 工=凹工(工+ l)ln 工lim-L 1 X x\n jc(•z + l)ln 3C，得工=1为可去间断点.jc In jc =!忙(工+1山工T ， x In (— x ) _乂 Cz+l)ln (— H ) x-^o~ z (攵 + l)ln( oc ) x -»o - 2 (z + l)ln( jc )而f(0)无定义，故工=0,2 = 1为可去间断点，应选(C).(3)【答案】(B).由lim •r f ()+X X — 1 ].-- ----―――-----= lim X (j? + l)ln re zfo+(一"一1limx-^Olim x-*0x (a ： + l)ln h严F 一 1I9得 lim/Cz) = 1.X —0严 ]【解】 由对称性得1| =0, 13 =0.12 = jj Ly +(— z )]dcr>0 (因为 jy + (— 2)>0),°2i 4 ~JJLy +(一2)]册<0 (因为夕 + (— x ) vo),应选(B ).°4(4)【答案】(D).【解】 方法一令lim/a ” = lim 牛=A $ 0.当 A = 0 时，取 £0 =1，存在 N 〉0,当 zz 〉N 时，| -y — 0 | < 1，从而 0 W a ” <C —,因为s 1收敛，所以由比较审敛法的基本形式得工s 收敛;” =1 九 n = 18 OO = OO当A>0时，由比较审敛法的极限形式得级数与敛散性相同，因为工*收n = 1 n = 1 九 n = l 兀敛，所以收敛，应选(D).n = 1I -I 00方法二 取a ” =-------，显然a ” > a 卄1 ,因为lima ” =1 # 0,所以工(一1)"一。
2013年华中农业大学考研真题818理论力学
2013年华中农业大学考研真题 611数学
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。
3 .于一个学生而言, 来 对 参加家长会的家长人数是 一个随机变量; 家长 家长来参加会议的概率分别为 设 一个学生无家长 、1 名 、2 名 、0 , 0 . 1 5 ; 若 碉o 名 生, 设 8 、 学校共有 0“ 各学生参加会议的家长 学 服从同一分布 , 请 数相互独立, 且 求解参加会议的家长数 x 超 o D - o 过 84 的概率。( 已 : ￠ ,= 0 ・ ) 知 o 1① ” 4 .房地产公 司通过电视和报纸两种形式作售楼广告, 已 某 知销售收 电视广告费用 万( 万 ) , 报广告费用 y ( 万 ) 入R ( 万 ) 与 元 元 纸 元
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2013年考研数学一真题及答案全集解析
2013考研数学一真题及答案解析目录第一章总论............................................................. 错误!未定义书签。
1.1项目提要........................................................... 错误!未定义书签。
1.2结论与建议....................................................... 错误!未定义书签。
1.3编制依据 .......................................................... 错误!未定义书签。
第二章项目建设背景与必要性............................. 错误!未定义书签。
2.1项目背景........................................................... 错误!未定义书签。
2.2项目建设必要性 .............................................. 错误!未定义书签。
第三章市场与需求预测......................................... 错误!未定义书签。
3.1优质粮食供求形势分析 .................................. 错误!未定义书签。
3.2本区域市场需求预测 ...................................... 错误!未定义书签。
3.3服务功能 .......................................................... 错误!未定义书签。
3.4市场竞争力和市场风险预测与对策.............. 错误!未定义书签。
2013年考研数二真题及详细解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价2（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan ln x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
2013年考研数学二试题及详解
2013年研究生入学考试数学二试题及详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 设)(sin 1cos x x x α=−，其中2π)(<x α，则当0→x 时，)(x α( ). (A) 比x 高阶的无穷小 (B) 比x 低阶的无穷小 (C) 与x 同阶但不等价的无穷小 (D) 与x 等价的无穷小解: =→x x x )(sin lim 0α=−→201cos lim x x x 212lim 220−=−→x x x ，则)(sin x α是与x 同阶但不等价的 无穷小.又2π)(<x α，则)(~)(sin x x αα，)(x α是与x 同阶但不等价的无穷小. 选(C). (2) 设函数)(x f y =由方程1ln )cos(=+−x y xy 确定，则=−∞→]1)2([lim nf n n ( ).(A) 2 (B) 1 (C) -1 (D) -2 解: 1ln )cos(=+−x y xy ，当0=x 时，0ln =y ，则1)0()0(==f y .方程两边对x 求导，得 01)sin()(=+′−′+−y y xy y x y ，)sin(1)sin(2xy xy xy y y y +−=′，1)0()0(=′=′f y . 则=−∞→]12([lim nf n n 2)0(22)0()2(lim 2=′=−∞→f nf n f n . 选(A).讨论：若题目中的方程为1ln )cos(=−+x y xy ，仍得1)0()0(==f y .方程两边对x 求导，可得)sin(1)sin(2xy xy xy y y y −+=′，仍得1)0()0(=′=′f y . 则2]1)2([lim =−∞→nf n n . 仍选(A).(3) 设函数⎩⎨⎧≤≤<≤=π2π,2π0,sin )(x x x x f ，∫=x t t f x F 0 )d ()(，则( ). (A) π=x 是函数)(x F 的跳跃间断点 (B) π=x 是函数)(x F 的可去间断点 (C) )(x F 在π=x 处连续但不可导 (D) )(x F 在π=x 处可导解: ∫=x t t f x F 0)d ()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+−=+<≤−=−==∫∫∫π2π,2π22d 2d sin π0,cos 1]cos [d sin ππ000x x x t t x x t t t x x x ，2πcos 1)π(=−=−F ，2)π(=+F ，2)π(=F ，则)(x F 在π=x 处连续；π2cos 1lim)π(π−−−=′−→−x x F x 01sin lim π==−→x x ，2π22π22lim )π(π=−−+−=′+→+x x F x ，则)(x F 在π=x 处连续但不可导. 选(C).(4) 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<−=+−e ,ln 1e 1,)1(1)(11x xx x x x f αα，若反常积分∫∞+ 1 )d (x x f 收敛，则( ). (A) 2−<α (B) 2>α (C) 02<<−α (D) 20<<α解:∫∞+ 1)d (x x f ∫−−=e11d 1)(1x x α∫∞+++ e 1d ln 1x x x α e12])1(21[αα−−−=x ∞+−eln 11xαα. e12])1(21[αα−−−x 收敛，则2<α； ∞+eln 11xαα收敛，则0>α，得20<<α. 选(D).(5) 设)(xy f x y z =，其中函数f 可微， 则=∂∂+∂∂yz x z y x ( ). (A) )(2xy f y ′ (B) )(2xy f y ′− (C) )(2xy f x (D) )(2xy f x− 解: 由)(xy f xyz =，得=∂∂+∂∂y z x z y x )()(1)]()([22xy f y xy f xxy f x y xy f x y y x ′++′+−)(2xy f y ′=. 选(A). (6) 设k D 是圆域}1),{(22≤+=y x y x D 在第k 象限的部分，记y x x y I kD k d )d (∫∫−=)4,3,2,1(=k ，则( ).(A) 01>I (B) 02>I (C) 03>I (D) 04>I 解: 在区域2D 内，恒有x y >，则02>I . 选(B). 事实上，y x x y I D d )d (11∫∫−=∫∫−=2π0 10 d )cos (sin d r r r θθθ0]sin cos [312π=−−=θθ，类似可求出 32]sin cos [31π2π2=−−=θθI ，0]sin cos [31π23π3=−−=θθI ，32]sin cos 312ππ234−=−−=θθI . (7) 设C B A ,,均为n 阶矩阵，若C AB =，且B 可逆，则( ). (A) 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 (B) 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 (C) 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 (D) 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 解：将C A ,按列分块，记为[]n αααA L 21=，[]n γγγC L 21=.则[]n αααL 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n b b b b b b b b b L M O M M L L 212222111211[]nγγγL 21=，所以n n b b b αααγ12211111+++=L ，……，n nn n n n b b b αααγ+++=L 2211， 即矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示.因B 可逆，可得A CB =−1，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性 表示. 即矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价. 选(B).(8) 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1111a a b a a 与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00000002b 相似的充分必要条件为( ). (A) 2,0==b a (B) b a ,0=为任意实数 (C) 0,2==b a (D) b a ,2=为任意实数解：记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111a a b a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00000002b B ，则对角阵B 的特征值为b ,2,0=λ. 因B A ~，则矩阵A 的特征值为b ,2,0=λ.1111−−−−−−−−−=−λλλλa a baa A E 101−−−−−−−=λλλλa ab a 220011−−−−−−=λλλa a b a ]2))(2[(2a b −−−=λλλ，由A 的特征值为b ,2,0=λ，得b a ,0=为任意实数.当b a ,0=为任意实数时，实对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10100101b A ，存在满秩矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=101010101P ，使得AP P 1−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=10102010121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10100101b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−101010101B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00000002b ，则B A ~. 故B A ~相似的充分必要条件为b a ,0=为任意实数. 选(B).二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(9) =+−→xx xx 10)1ln(2(lim ______.解法1：属于∞1型极限，由=)()(lim x g x f ]1)()[(lim −x f x g ，得=+−→xx x x 1))1ln(2(lim =+−→)1ln(1(1lim 0xx x x =+−→20)1ln(lim x x x x xx x 2111lim0+−→21)1(21lim 0=+=→x x ，则e ))1ln(2(lim 10=+−→x x xx . 解法2：=+−→xx x x 10))1ln(2(lim 2)1ln()1ln(0}])1ln(1{[lim xx x x x x x xx x +−+−→+−+2)1ln(limex x x x +−→=20)1ln(lime xx x x +−→=xx x 2111lime +−→=e e)1(21lim0==+→x x .(10) 设函数∫−−=xt t x f 1d e 1)(，则)(x f y =的反函数)(1y f x −=在0=y 处的导数==0d d y yx ______.解：∫−−=xt t x f 1d e 1)(，则0)1(=−f ，x x f e 1)(−=′，1e 1)1(−−=−′f .)(x f y =的反函数)(1y f x −=在0=y 处的导数1e ee11)1(1d d 10−=−=−′=−=f yx y .(11) 设封闭曲线L 的极坐标方程为θ3cos =r )6π6π(≤≤−θ， 则L 所围平面图形的面积是______.解：θ3cos =r ，则∫−=6π6π 2d )(cos321θθS ∫+=6π)d cos6(121θθ 12π)6sin 61(216π0=+=θθ.(12) 曲线⎩⎨⎧+==21ln arctan t y tx 上对应于1=t 的点处的法线方程为______. 解：⎩⎨⎧+==21ln arctan t y t x ，21t t y t +=′，211t x t +=′，t t x y x y ′′=d d t =，1d d 1==t x y，法线斜率1−=k .对应于1=t 的点为22ln ,4π(，法线方程为4π(22ln −−=−x y ，即22ln 4π+=+y x .(13) 已知x xx y 231e e−=，x x x y 22e e −=，x x y 23e −=是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件00==x y，10=′=x y 的解为=y ______.解：xy y 331e =−，xy y e 32=−都是对应的齐次线性微分方程的解，且线性无关， 则该非齐次线性微分方程的通解为+=xA y 3ex x x B 2e e −，从而得+=′x A y 3e 3x x x x B 22e e 2e −−，将00==x y ，10=′=x y 代入，得1=A ，1−=B ，则x x xx y 23e e e−−=.(14) 设)(ij a =A 是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式. 若0=+ij ij A a )3,2,1,(=j i ，则=A ______.解：由0=+ij ij A a ，得ij ij a A −=)3,2,1,(=j i ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313322212312111*A A A A A A A A A A T332313322212312111A −=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=a a a a a a a a a ，则A A −=*. 由E A AA =*，得3*A A A =，2*A A =，于是2A A =−，得0=A 或1−=A .又)(232221332211i i i i i i i i i a a a A a A a A a ++−=++=A )3,2,1(=i ，因A 是非零矩阵，则0≠A . 故只有1−=A 符合题目要求.三、解答题：15～23小题，共94分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分) 当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1⋅⋅−与nax 为等价的无穷小，求n 与a 的值.解法1：=⋅⋅x x x 3cos 2cos cos =+x x x 3cos )cos 3(cos 21)3cos cos 3(cos 212x x x ⋅+ )2cos 4cos 6cos 1(41x x x +++=，则 n x ax x x x 3cos 2cos cos 1lim0−→nx ax xx x 42cos 4cos 6cos 3lim0−−−=→ 1042sin 24sin 46sin 6lim−→++=n x anx x x x 1)1(2cos 4cos 46cos 9lim 20=−++=−→n x x n an xx x ， 则02=−n ，14)1(=−n an ，得2=n ，7=a .解法2：nx ax x x x 3cos 2cos cos 1lim0−→102cos cos 3sin 33cos cos 2sin 23cos 2cos sin lim−→++=n x anxxx x x x x x x x 13202cos cos )sin 4sin 3(33cos cos sin 43cos 2cos sin lim −→−++=n x anx x x x x x x x x x x 12cos cos )sin 43(33cos cos 43cos 2cos lim 2220=−++=−→n x anx x x x x x x x ， 则02=−n ，14=an ，得2=n ，7=a .(16) (本题满分10分) 设D 是由曲线31x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所围成的平面 图形，x V ，y V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 若x y V V 10=，求a 的值.解：曲线31x y =，即3y x =过原点，交直线a x =于点),(31a a . 则∫=ax x x V 032d πa x355π3=355π3a =； ∫−⋅=31 06312d ππa y y y a a V 37377ππa a −=3776πa =，或∫⋅=a y x x x V 0 31d π23776πa =.由x y V V 10=，得3537π676πa a =，则732=a ，又0>a ，得77=a . (17) (本题满分10分) 设平面区域D 由直线y x 3=，x y 3=及8=+y x 围成， 计算y x x Dd d 2∫∫.解：联立解x y 3=及8=+y x ，得交点)6,2(；联立解y x 3=及8=+y x ，得交点)2,6(. 区域D 是由顶点为)0,0(，)6,2(，)2,6(的三角形，画出积分域图. 于是y x x I Dd d 2∫∫=∫∫=23 32d d x x y x x ∫∫−+628 32d d x xy x x ∫=2 0 3d 38x x ∫−+6 2 234(8x xx6243204]3138[32x x x −+=316364432576332+−−+=32138316144=−=. (18) (本题满分10分) 设奇函数)(x f 在]1,1[−上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明： (I) 存在)1,0(∈ξ，使得1)(=′ξf ； (II) 存在)1,1(−∈η，使得1)()(=′+′′ηηf f .证：(I))(x f 为奇函数，在]1,1[−二阶可导，则)(x f 在]1,1[−上连续可导，且0)0(=f .又1)1(=f ，根据拉格朗日中值定理，存在)1,0(∈ξ，使得101)0()1()(=−−=′f f f ξ.或令x x f x F −=)()(，则)(x F 在]1,1[−上连续可导，1)()(−′=′x f x F .0)0(=F ，0)1(=F ，根据罗尔定理，存在)1,0(∈ξ，使得0)(=′ξF ，即1)(=′ξf .(II))(x f 为奇函数，在]1,1[−上二阶可导，则)(x f ′为偶函数，在]1,1[−上连续可导.令]1)([e )(−′=x f x G x，则)(x G 在]1,1[−上连续可导，]1)()([e )(−′+′′=′x f x f x G x.0)(=ξG ，]1)([e )(−−′=−−ξξξf G 0]1)([e =−′=−ξξf ，根据罗尔定理，存在)1,1(),(−⊂−∈ξξη，使得0)(=′ηG ，即1)()(=′+′′ηηf f .(19) (本题满分10分) 求曲线133=+−y xy x )0,0(≥≥y x 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.解：构造拉格朗日函数)1(3322−+−++=y xy x y x L λ，由0=′x L ，0=′y L ，0=′λL ，得⎪⎩⎪⎨⎧=−+−=−+=−+010*********y xy x x y y y x x λλλλ，前两式相减，得0)332)((=+++−y x y x λλλ， 当x y =时，代入0133=−+−y xy x ，得01223=−−x x ，解得1=x ，则1=y . 当0332=+++y x λλλ时，因0,0≥≥y x ，则0331>++y x ，故yx 3312++−=λ，代入前两式均得03=++y xy x ，因0,0≥≥y x ，曲线上点的坐标y x ,又不能同时为零， 则03=++y xy x 无解.于是，曲线上的点)1,1(，到坐标原点的距离最长，2max =d ，曲线的端点)1,0(或)0,1(，到坐标原点的距离最短，1min =d . (20) (本题满分11分) 设函数xx x f 1ln )(+= (I) 求)(x f 的最小值； (II) 设数列}{n x 满足11ln 1<++n n x x ，证明n n x lim ∞→存在，并求此极限.解：(I) xx x f 1ln )(+=，定义域0>x ，211)(x x x f −=′21x x −=，有惟一驻点1=x .当10<<x 时，0)(<′x f ，函数单调减少；当1>x 时，0)(>′x f ，函数单调增加. 则函数的极小值即最小值为1)1(=f . (II) 由(I)得11ln ≥+n n x x ，又已知11ln 1<++n n x x ，则111+>n n x x ，定义域0>n x ，得1+<n n x x ，即数列}{n x 单调增加. 又11ln 1<++n n x x ，则1ln <n x ，e 0<<n x ，即数列}{n x 有上界，则}{n x 极限存在. 设A x n n =∞→lim ，对11ln 1<++n n x x 两边取极限，得11ln ≤+A A ，又11ln ≥+A A ，则11ln =+AA ，得1lim ==∞→A x n n .(21) (本题满分11分) 设曲线L 的方程为x x y ln 21412−=e)1(≤≤x (I) 求L 的弧长；(II) 设D 是由曲线L ，直线1=x ，e =x 及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标. 解：(I) x x y ln 21412−=，)1(21xx y −=′，则曲线的弧长为 x y L d 1e12∫′+=x xx d )1(411e 12∫−+=x x x d 1(21e 1 ∫+=41e ]ln 21[212e12+=+=x x . (II) 平面图形D 的形心的横坐标为∫∫∫∫=DDyx yx x x d d d d ∫∫∫∫−−=e 1ln 21410e 1ln 2141022d d d d x x x x yx y x x ∫∫−−=e 12e13)d ln 2()d ln 2(x x x x x x x e 13e 1224]2ln 23[]2ln 4[x x x x x x x x +−+−= 373e 432e 4e 324−−−=)7e (4)3e 2e (3324−−−=. (22) (本题满分11分) 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=011a A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b 110B . 当b a ,为何值时，存在矩阵C使得B CA AC =−，并求出所有矩阵C . 解：设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x x C ，B CA AC =−即⎥⎦⎤⎢⎣⎡011a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−4321x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡011a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b 110， 得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=−−=−+=−b ax x x x x ax ax x x ax 3243114223110，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−b x x x x a a a a 1100101101010104321. 其增广矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−=b a a a a010*******10010D ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−→b a a a a 010101001011101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−−→b a a a 00001010001011101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−→b a a 000010000001011101， 方程组有解的条件是)(r )(r D D =，则1−=a ，0=b .此时方程组化为⎩⎨⎧−=++=324311x x x x x ，记2413,c x c x ==，则12211,1c x c c x −=++=，即矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=211211c c c c c C ，其中21,c c 为任意常数.(23) (本题满分11分) 设二次型=), ,(321x x x f 23322112332211)()(2x b x b x b x a x a x a +++++，记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321a a a α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321b b b β.(I) 证明二次型f 对应的矩阵为TT2ββαα+；(II) 若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22212y y +. 解：(I) =), ,(321x x x f 23322112332211)()(2x b x b x b x a x a x a +++++++++++=232323222222212121)2()2()2(x b a x b a x b a323232313131212121)2(2)2(2)2(2x x b b a a x x b b a a x x b b a a ++++++，二次型f 对应的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=232332323131323222222121313121212121222222222b a b b a a b b a a b b a a b a b b a a b b a a b b a a b a A .由于TT 2ββαα+[]3213212a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=[]321321b b b b b b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=232332323131323222222121313121212121222222222b a b b a a b b a a b b a a b a b b a a b b a a b b a a b a ，则二次型f 对应的矩阵为TT2ββαα+.(II) 因βα,正交且为单位向量，则1,1TT==ββαα，0,0TT==αββα.由TT2ββααA +=，得ααββαααA α22TT=+=，βββββααA β=+=TT2， 则21=λ，12=λ是矩阵A 的特征值.又)2(r )(r TTββααA +=2)(r )(r TT=+≤ββαα，则A 的非零特征值只有2个，即A 的特征值分别为21=λ，12=λ，03=λ， 则f 在正交变换下的标准形为22212y y +.。
2013年考研数学一真题与解析完整版
2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析来源：文都教育1.已知极限0arctan limkx x xc x ®-=，其中k ，c 为常数，且0c ¹，则（）A. 12,2k c ==-B. 12,2k c ==C. 13,3k c ==-D. 13,3k c ==答案（D ）解析：用洛必达法则222112100011arctan 1111lim limlim lim (1)kk k k x x x x xx x x x cx kx kx x k x ---®®®®--+-+====+因此112,k c k-==，即13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（）A. 2x y z -+=-B. 0x y z ++=C. 23x y z -+=-D. 0x y z --=答案（A ）解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1(1,,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=-切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。
3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n p ==ò，令1()s i n nnS x b n x p ¥==S ，则（）A .34B. 14C. 14-D. 34-答案（C ）解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1||,(0,1)2()1||,(1,0)2x x f x x x ì-Îïï=íï-+Î-ïî，它的傅里叶级数为()s x ，它是以2为周期的，则当(1,1)x Î-且()f x 在x处连续时，()()s x f x =。
2013年考研数学真题及参考答案(数学二)
π
2
, 则当 x → 0 时, α ( x ) 是
【 】 .
(A) 比 x 高阶的无穷小 (C) 与 x 同阶但不等价的无穷小 【答案】 答案】C.
(B) 比 x 低阶的无穷小 (D) 与 x 等价的无穷小
【考点】 考点】计算极限的方法:常用的等价无穷小.
【解析】 解析】 x sin α ( x) = cos x − 1 ~ −
(D) I 4 > 0
【解析】 解析】在第 II 象限除原点外被积函数 y − x > 0 ,因此 I 2 > 0 . 【评注】 评注】在第 IV 象限除原点外被积函数 y − x < 0 ,因此 I 4 < 0 ; 在第 I 象限和第 III 象限,根据轮换对称性得
I1 = I 3 = 0 .
(7)设 A, B, C 均为 n 阶矩阵,若 AB = C ,且 B 可逆,则 (A) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 (C) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 【答案】 答案】B. 【考点】 考点】向量组的线性表示方法. 【解析】 解析】将矩阵 A 和 C 按列分块,设 A = (α1 , α 2 ,⋯ , α n ) , B = (bij ) , C = (γ 1 , γ 2 ,⋯ , γ n ) . ①由 AB = C 组线性表示; 【 】 . (B) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 (D) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价
π
6
≤θ ≤
π
6
),则 L 所围平面图形的面积为
．
【答案】 答案】
π
12
.
【考点】 考点】计算极坐标曲线所围图形的面积.
2013年考研数二真题及详细解 析
（6）设是圆域在第象限的部分，记，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（7）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
（8）矩阵与相似的充分必要条件为
（1） 由于方程组（1）有解，故有，即从而有 ，故有 从而有 （23）（本题满分11分） 设二次型，记。 （I）证明二次型对应的矩阵为； （II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二 次型。 【解析】(1)
（2），则1,2均为A的特征值，又由于，故0为A的特征值，则三阶矩阵 A的特征值为2,1,0，故f在正交变换下的标准形为
（21）（本题满分11分） 设曲线的方程为， （1）求的弧长； （2）设是由曲线，直线及轴所围平面图形，求的形心的横坐标。 【解析】（1）由弧长的计算公式得的弧长为 （2）由形心的计算公式可得，的形心的横坐标为 （22）（本题满分11分） 设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。 【解析】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设，则由可得线性方程组：
分必要条件为的特征值为。
又，从而。
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指
定位置上.
(9)
．
【答案】
【解析】原式=，
因此答案为.
(10) 设函数，则的反函数在处的导数
．
【答案】
【解析】
(11)设封闭曲线L的极坐标方程为，则L所围成的平面图形的面积为
．
【答案】
【解析】所围图形的面积是
因为： 所以
2013年考研数学一真题及答案解析
2013考研数学一真题及答案解析目录第一章总论........................................................... 错误！未定义书签。
1.1项目提要......................................................... 错误！未定义书签。
1.2结论与建议..................................................... 错误！未定义书签。
1.3编制依据 ........................................................ 错误！未定义书签。
第二章项目建设背景与必要性........................... 错误！未定义书签。
2.1项目背景......................................................... 错误！未定义书签。
2.2项目建设必要性 ............................................ 错误！未定义书签。
第三章市场与需求预测....................................... 错误！未定义书签。
3.1优质粮食供求形势分析 ................................ 错误！未定义书签。
3.2本区域市场需求预测 .................................... 错误！未定义书签。
3.3服务功能 ........................................................ 错误！未定义书签。
3.4市场竞争力和市场风险预测与对策............ 错误！未定义书签。
第四章项目承担单位情况................................... 错误！未定义书签。
2013年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解【圣才出品】
j ．
又T
1 n n i1
X2 i 1
n
n
X
2 i
2
i 1
i 1
X
i
X
j
，故
ET
2 2
22
2 ．
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．
sin
kx
,
x
0
f (x) 3x
9．设函数
e3x cos 3x, x 0 在 x＝0 处连续，则常数 k＝
．
积为
．
【答案】 2 2
【解析】由题意知，平面图形的面积
S
sin x cos x dx
0
4 (cos x sin x)dx
0
(sin x cos x)dx 2 4
2
12．设函数
z
1 exy
2y
,则
z y
(1, 1)
．
1 【答案】 e2 2
z 【解析】由题意知， y
ex y (ex y
3．曲线 y f (x) 如图所示，函数 f (x) 具有连续的 2 阶导数，且 f (a) 1，则积分
a x f (x)dx
0
（ ）．
A．a－b
B．b－a
C．a＋b
D．ab
【答案】C
【解析】由上图可知 f 0 b, f a 0 ，则
a xf '' (x)dx 0
a 0
xd
f
' (x)
0
【解析】
2
2
00
2
20 1 0
3 3 0
0 3 0
0033 0 0 33
4 0 4 4 4 4
华中师大2013数学教学论考研真题答案
华中师大2013数学教学论考研真题一、术语解释（共5个小题，每小题6分，共30分）。
1、发现学习:是指一般只提出问题或提供背景材料,主要内容要有学生自己独立发现.因此，发现学习的主要特点是：不把学习的主要内容提供给学生，而是由学自己独立发现，然后内化。
2、数学认知结构：数学认知结构是学生头脑中的数学知识按照他自己的理解深度、广度, 结合自己的感觉、记忆、思维、想象等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。
3、技能:是指顺利完成某种任务的自动化的外部操作活动方式或心智活动方式。
4、逻辑思维能力：是指按照逻辑思维规律，运用逻辑方法来进行思考、推理、论证的能力。
5、联言推理：是其前提或结论为联言判断,根据联言判断的逻辑性质进行推演的推理。
二、简答题(共5个小题，每小题10分，共50分).1、按照思维活动中抽象概括水平由低到高，数学思维的发展大体上可以分为哪几个层次？数学思维发展按思维活动中抽象概括的水平由低到髙，大体上可以分为以下几个层次: 1。
直观行动思维。
3岁以前的婴儿虽有思维，但他是在感知和操作过程中进行的，感知的事物消失了，操作停止了,思维也就停止了.这是最低水平层次。
2.具体形象思维。
3岁〜7岁的幼儿能脱离感知和动作，利用头脑中所保留的事物形象进行思维。
其特点是总离不开具体形象来进行思维活动.3.经验型抽象思维。
7岁〜15岁的少年处于一个过渡阶段一一从具体形象思维为主要思维形式向以抽象思维为主要思维形式的过渡阶段。
这个阶段较长，其前期是以具体形象思维为主,后期以抽象思维为主。
不过，这阶段的抽象思维往往也是与感性经验直接联系的,属于经验型的抽象思维.4。
理论型抽象思维。
15岁〜18岁的青少年处于以抽象思维为主的年龄阶段，而且是思维逐步地从经验型过渡到理论型并由此向辩证逻辑思维发展的阶段。
高中的教材与教学就应当注意到这点。
2、请列举在数学教学中“在学生原有概念的基础上引入新概念”的例子.例如：(1)在已学了“平行四边形”概念的基础上引入“矩形”、“菱形”、“正方形”；（2）在学了“等式”之后就可以给出“方程"的定义；(3）在学了“线段”的定义后,可介绍“弦”、“直径”等概念。
2013年考研数学真题及参考答案(数学一)
⑻ 设随机变量 X t ( n) ，Y F (1, n) ，给定 (0 0.5) ，常数 c 满足 P X c ， 则P Y c
2
（
）
（A） （B） 1 （C） 2 （D） 1 2 二、填空题：9～14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 指定位置上. ．．． ⑼ 设函数 y f ( x) 由方程 y x e ⑽ 已知 y1 e
x3 x y )e 的极值. 3
z 0 ， z 2 所围成的立体为 . （Ⅰ）求曲面 的方程； （Ⅱ）求 的形心坐标.
（20） （本题满分 11 分） 设A
1 a 0 1 ，B ，当 a, b 为何值时，存在矩阵 C 使得 AC CA B ，并 1 0 1 b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1 x 2
Di
y2 )dxdy . 2
2
1 2 1 y 0 x2 y 2 1 ， 所 以 被 积 函 数 在 2 2 1 1 D1 : x 2 y 2 1 内，恒有 f ( x, y ) 0 ；且 x 2 y 2 1 时，有 f ( x, y ) 0 2 2
(0,1, 1)
{1, 1,1} ,
于是切平面方程为 x ( y 1) ( z 1) 0 ，故应选（Ａ）. ⑶ 应选（C） ． 【分析】本题考查傅里叶级数的收敛定理.先将函数延拓成 ( 1,1) 上的奇函数 F ( x) .对
9 F ( x) 使用傅里叶级数的收敛定理(狄里赫雷定理)得到 S ( ) 的值. 4
（D） a 2, b 为任意常数
N (0,1) ， X 2
N (0, 22 ) , X 3
2013考研数学二答案真题解析
0
π
x
sin tdt + 2dt= 2(x − π
0
π
0≤ x<π +1),π ≤ x ≤ 2π
，
由于 l= im F (x) l= im F (x) 2 ，所以 F (x) 在 x = π 处连续；
x→π −
x→π +
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梦想不会辜负每一个努力的人
梦想不会辜负每一个努力的人
2013 年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）设 cos x −1 =x sinα (x) ，其中 α (x) < π ，则当 x → 0 时，α (x) 是（ ） 2
要使 lim(− 1 λ→∞ α
1 lnα
) 存在，需满足α λ
>
0 ；所以 0
<α
<
2。
（5）设 z = y f (xy) ，其中函数 f 可微，则 x ∂z + ∂z = （ ）
x
y ∂x ∂y
（A） 2 yf ′(xy) （B） −2 yf ′(xy)
【答案】（A）
（C） 2 f (xy) （D） − 2 f (xy)
π ≤ x ≤ 2π
0
）
（A） x = π 是函数 F (x) 的跳跃间断点
（B） x = π 是函数 F (x) 的可去间断点
（C） F (x) 在 x = π 处连续但不可导
（D） F (x) 在 x = π 处可导
数2--13真题答案
2013年考研数学(二)试题答案速查一、选择题（1）C （2）A （3）C （4）D （5）A （6）B （7）B （8）B 二、填空题（9）12e （10（11）π12（12）π04y x +−−= （13）32e e e x x x x −− （14）1− 三、解答题(15)2,7n a ==. （16）a =（17）3416. （18）略.（19）最短距离为1,.（20）（Ⅰ）(1)1f =是最小值.（Ⅱ）lim 1n n x →∞=.(21) （Ⅰ）21e 4+.（Ⅱ）4233e 2e 34e 7−−−（）（）.（22）当0,1=−=b a 时,121121k k k k k ⎛++−⎫= ⎪⎭⎝C ,其中21,k k 为任意常数.（23）略.2013年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C .【解答】因为cos 1sin ()x x x α−=，所以00sin ()cos 11limlim 2x x x x x x α→→−==−，则limsin ()0x x α→=. 再由π()2x α<，可知0lim ()0x x α→=，即当0x →时，1sin ()()2x x x αα−. 故选C . （2）【答案】A ．【解答】利用隐函数求导法则有1sin 1sin y xyy x xy y+'=−，且当0x =时，有1,(0)1y y '==.0012(2)1(2)1lim 1lim 2lim 2(0)22n t t t f t f t n n f f n t t →∞→→=⎡⎤−−⎛⎫'−=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. （3）【答案】C .【解答】由变现积分函数的性质可知)(x F 是连续函数.πππ()d 2()(π)(π0)lim lim lim ()0ππxx x x f t t F x F F f x x x −−−→→→−−−====−−⎰.ππππ(π)()d 2()(π)(π0)lim lim lim ()2ππx x x x F f t t F x F F f x x x +++→→→+−−+====−−⎰.)(x F 在πx =处左右导数不相等，故答案可选C.（4）【答案】D . 【解答】由题目条件e1111e 11()d d d (1)ln f x x x x x x xαα+∞+∞−+=+−⎰⎰⎰. 11ee e 111d d(ln )(ln )ln ln x x x x x x αααα+∞+∞+∞−++−==⎰⎰,可知0α>时收敛.()ee e121111211d (1)d (1)(1)2x x x x x ααααα−−−<−=−−−⎰⎰收敛.()ee11121d ln(1)(1)x x x αα−=−−⎰发散.所以，20<<α，故选D . （5）【答案】A . 【解答】由条件可得21()(),()()z y y z yf xy f xy y f xy f xy x x x x y x x∂∂''=−+=+∂∂ 所以，2()x z zyf xy y x y∂∂'+=∂∂.（6）【答案】B .【解答】由题目条件可知，积分()d d kD y x x y −⎰⎰关于,x y 轮换对称，所以130II ==.在第二象限，0y x −>，在四象限0y x −<，所以答案选B .（7）【答案】B ．【解答】对矩阵A,C 分别按列分块,不妨设12123(,),(,)n ==A αααC γγγ,1111n n nn b b b b ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭B ． 可见矩阵C 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表出. 再B 可逆可得1−=CB A ，同理有矩阵A 的列向量组可由矩阵C 的列向量组线性表出,即二者等价,故选答案B ．（8）【答案】B ．【解答】不妨设11200,0011000a a b a b a ⎫⎛⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎭⎝A B .因为211[(2)()2]11aa b a b a a λλλλλλλ−−−⎫⎛⎪ −=−−−=−−−⎪ ⎪−−−⎝⎭E A ，所以，当0a =时，矩阵A 的特征值分别为2,,0b ,且b 可为任意常数. 显然可得矩阵B 的特征值分别为2,,0b ,故选答案B .二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】12e .【解答】00ln(1)ln(1)1ln 111lim lim0ln(1)lim 2e ex x x x x x xxxx x x →→+⎧⎫⎡⎤++−⎨⎬−⎢⎥⎣⎦⎩⎭→+⎡⎤−==⎢⎥⎣⎦200011ln(1)11limlimlim2(1)22eeee x x x xx x x x x xx→→→−−+++====.（10）.【解答】由()x f x t =−⎰可知(1,0)x ∈−.又函数存在反函数，所以要求函数具有单调性，而()0f x '=>单调递增满足要求.因为d 1d d d y xy yx==，d ()d yf x x'==，且当0y =时得1x =−，所以d d y x y ==.（11） 【答案】π12. 【解答】由极坐标下平面图形面积公式πππ22666π006111cos 6πd 2cos 3d d 22212S r θθθθθ−+====⎰⎰⎰.（12）【答案】π1ln 2042x y +−−=. 【解答】1=t 时对应的π1,ln 242x y ==，且21d 11d 12t x t t ===+，21d 1d 12t y t t t ===+ 所以，法线方程为1πln 2()24y x −=−−. （13）【答案】32e ee xxx x −+−.【解答】因为3222123e e ,e e ,e x xxxxy x y x y x =−=−=−，所以31323e ,e x xy y y y −=−= 为对应的齐次方程的解.因为二者线性无关，所以齐次方程的通解312e e x xy C C =+，故原方程的通解3212e e e x x xy C C x =+−.再由初始条件，解得121,1C C =−=，故可得结果.(14)【答案】1−.【解答】因为0ij ij a A +=，所以*T=−A A .再由*=AA A E ,得T−=AA A E ，有23−=A A .由于矩阵为三阶非零矩阵,所以ij A 不全为0.不妨设110a ≠,而2221112130a a a =−−−≠A ,所以1=−A .三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）解：01cos cos 2cos3lim n x x x x ax→−0cos 6cos 4cos 2114lim n x x x x ax →+++−= 1003cos 6cos 4cos 26sin 64sin 42sin 2lim lim44n n x x x x x x x xax anx −→→−−−++== 2036cos616cos 44cos 2lim4(1)n x x x xan n x−→++=−. 当2n =时极限存在，则2036cos 616cos 44cos 27lim1,4(1)n x x x x an n x a−→++==− 故7a =.所以2,7n a ==. （16）（本题满分10分）解：由旋转体积公式得：15523333π3ππ()d 055ax a V x x x a ===⎰， 177333036π2π()d 2π077a y a V x x x x a ===⎰，由已知条件知，10y x V V =，故736π7a 533π105a =，所以a =（17）（本题满分10分）解：直线8=+y x 与二直线x y y x 3,3==的交点分别为(6,2)和(2,6)，则 积分区域D 可以分割为12,D D 两部分，所以，12222d d d d d d DD D x x y x x y x x y =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2368220233d d d d x xx x x x y x x y −=+⎰⎰⎰⎰62434022813241612833333x x x ⎛⎫=+−=+= ⎪⎝⎭.（18）（本题满分10分）证：（Ⅰ）因为()f x 在[]1,1−上的奇函数,所以(0)0f =.令()(),F x f x x =−xx y +x因为()f x 在[]1,1−上具有2阶导数,所以()F x 可导.因为(0)00,(1)1f f ===, 所以(0)(1)0F F ==.根据罗尔定理存在)1,0(∈ξ,使得0)(='ξF ,即1)(='ξf . （Ⅱ）令)1)(()(−'=x f e x G x.因为)(x f 为奇函数,故)(x f '为偶函数,所以()()1f f ξξ''=−=且()()0G G ξξ''=−=.由罗尔定理存在)1,1(),(−⊂−∈ξξη,使得,0)(='ηG 即1)()(='+''ηηf f .（19）（本题满分10分）解：设距离为d =构造拉格朗日函数2233(,,)()(1)L x y x y x xy y λλ=++−+−，令 22332(3)0,2(3)0,10,L x x y x Ly y x y L x xy y λλλ⎧∂=+−=⎪∂⎪∂⎪=+−=⎨∂⎪⎪∂=−+−=⎪∂⎩解得1x y ==，或0,1x y ==，或0,1y x ==. 当1x y ==当0,1x y ==或0,1y x ==，得1d =. 所以最短距离为1（20）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）由1()ln ,0,f x x x x =+>则22111()x f x x x x−'=−=. 令()0,1f x x '==是唯一驻点，且当01,()0,1,()0x f x x f x ''<<<>>当， 所以1x =是()f x 的唯一极小值点，故(1)1f =是最小值. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，+111ln 1,ln 1n n n n x x x x ++<又已知,可得1111,n n n n x x x x ++><即, 所以{}n x 单调递增.又由+11ln 1n n x x +<可得ln 1,0n n x x e <<<，所以{}n x 有上界. 由单调有界定理，lim n x x →∞存在，设为A ,对于+11ln 1n n x x +<，两边取极限得1ln 1A A +,又1ln1AA+，所以1ln1AA+=，又由（Ⅰ）知1A=即lim1nnx→∞=.（21）（本题满分11分）解：（Ⅰ）设弧长为s，则1s x=⎰，因为11()22y x xx'=−，所以11s x x==⎰⎰21e11(ln)142x x x==+⎰21e4+=.（Ⅱ）由形心的横坐标公式得211e1ln242100e e221111d d(ln)dd d421111d d(ln)d(ln)d4242x xDDx x y x x x xx x yxx y x x x x x x−−−===−−⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4233(e2e3)4(e7)−−=−. （22）（本题满分11分）解：由题意可设1234x xx x⎛⎫= ⎪⎭⎝C,则−=AC CA B成立的充要条件是方程组23124134230,1,1,,x axax x axx x xx ax b−+=⎧⎪−++=⎪⎨−−=⎪⎪−=⎩①有解. 对①的增广矩阵利用初等变换得010010111101010010111000010100000aa a aaa b b−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−⎪ ⎪→⎪ ⎪−−+⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭.当1a≠−或0b≠时,线性方程组①无解.当0,1=−=ba时,线性方程组①有解,10111101110100011000000100000000000000aab−−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−⎪ ⎪→⎪ ⎪+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通解为1122131421,,,,x k k x k x k x k =++⎧⎪=−⎪⎨=⎪⎪=⎩（21,k k 为任意常数）.综上,当且仅当0,1=−=b a 时,存在满足条件的矩阵C ,使−=AC CA B ,且121121k k k k k ⎛++−⎫= ⎪⎭⎝C （21,k k 为任意常数）.（23）（本题满分11分）证明：（Ⅰ）记113x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ,由于()111231232123233(,,)2(,,),,a x f x x x x x x a a a a x a x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()111232123233(,,),,b x x x x b b b b x b x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦TTTTTTT(2)()(2)=+=+X ααX X ββX X ααββX , 又T T 2+ααββ为对称矩阵,所以二次型f 的矩阵为T T2=+A ααββ. （Ⅱ）记TT2=+A ααββ.由于α,β正交且均为单位向量,所以=A α2T T T (2)22+=+=ααββαααββαα,则a 为A 的对应于21=λ的特征向量；=A β2T T T (2)2+=+=ααβββααββββ,则β为A 的对应于21λ=的特征向量.又,TT()(2)()()()23r r r r r +=+=<A ααββαβ，所以30λ=也是矩阵A 的一个特征值,故f 在正交变换下的标准形为22122y y +.。
2013年考研数一真题答案解析
一、选择题(1) D解用洛必达法则 1 l—x arctanx 1 + x 2 1 + x 2—11X l im· =l im =l i m =—hm =c #-O ,x 丑X, 一-ok x k -lx-0 k x k -l (1 +X z) k x 勺x k -11因此k -1 =Z, 一-c ,即k=3,c -一故应选D.k3CZ) A解F:=zx-ys i n(xy)+L F:=-xs i n(xy)+z, F:=y曲面x 2+c os(xy) + y z十X =0在点(0'1,—1)处的切平面的法向晕n={l ,-1,1},切平面方程为：1• (x—0)—(y—1) + 1• (z + 1)= 0, 即x—y +z --Z故应选A.(3)C解观察到S(x)是f(x)的正弦函数，对J进行奇延拓，其周期为z 故S(x)f(x). 9 1 1 s (-—) =S(--—s -=- 1 144) (4)1(了）＝勹一故应选C(4)D解由格林公式得I ,-f (y +f )山+(Zx -�) d y =』(1—x 2-f )心d y'其中D 1:x z+y z冬1,D 2:x 2+y 2�z,D3:f +y 2冬1,yD 口x z+��l.z显然在几内有y y l-x 2 -—>O , 在队外有l -x 2-—<O ,z z又如图有D1C D4 ,D4 C D z 由重积分性质知I1>I1,I4>Iz.y 又D4=几+D4\D 5,几=D5+D3\D 5,在D3\D 5上l -x 2--<0,在D4\D5上z1 2 y-x -—z>O ,2013年（数一）真题答案解析故J4=II (1-x 2—f)dxd y + II (1—X 2 --f )dxd y D5D八D s>13=』(1y —x 2勹）dxdy + I I (1—.亢2飞）dxdy. 故应选D.D5D叭D5(5) B解由千A B =C,那么对矩阵A,C按列分块，有，、｀丿，，“` ， ． ． ． ， 2”, ，1”, （ ＿ －－n nn 12…nb b b ��…�22212…”b b b11112…n b b b） ＂＂ ， ． ． ． ，2＂， 1 ＂（ Y1 =b 11a1 +b心＋…+b.1a.,即｛了:,�b ,,a +b 心＋…+b .,a.,r. =b1na1 +b z.az +…+ b n.an. 这说明矩阵C的列向最组r 口rz '…,r. 可由矩阵A的列向量组a1,a2, …, a. 线性表出．又矩阵B可逆，从而A=CB飞那么矩阵A的列向量组也可由矩阵C的列向械组线性表出．由向量组等价的定义可知，应选B .(6) B解记A�[�:�'考察矩阵A的特征值为2,b ,O的条件．首先，显然1At �:,因L是A的特征值．其次，矩阵A的迹t r (A )=2 t -b, 因此如果2是矩阵A的特征值，则b就是矩阵A的另一个特征值于是“充要条件”为2是A的特征值．由lzE—A l=—a 2-b—a =—4a 2 =O 气=O .—l -al因此充要条件为a =O,b为任意实数，故应选B.(7) A解将随机变量义和x3化成标准正态后再比较其大小．P 1 =P {—2�X1�2} =<P (2) -中(—2)'—2X z2Pz=P {-2�X三2}=P {—《—《—}气(1)-<P (-1)'22 2 p3 =P {-2�X3�2} -2—5 x3—5 2-5 =P {3� —3� 2 } =iP (-1)—叶习=<P行）-<P(l )'由右图正态分布曲线下的面积所代表的概率可知P1 > Pz > p 3.故应选A .x7l 3(8)C解当X-t(n)时，X 2-FO,n),又Y-FO,n),故Y与xz同分布．当C > 0时，由t 分布的对称性有P{Y>c 2}=P{X 2>c 2}==P{ X >c}=P{X>cUX<—c}=2P{X>c}=2a.故应选C.二、填空题(9)1解把X =O 代入方程有八0)=1. 方程y -X = e xO -y )两端同时对x 求导有f'(工)-1 = e [l -f(x )] [1-f (x ) -x f'(x ) J . 把X =O 代入上式得厂(0)=2 -f(O) =l.又limf 釭）－］-=f '(O)=l,x-oX1三卢—1]飞巴!(-;;}—l气尸�1nOO)C 1e 立+c z 产-xe红解由常系数非齐次线性微分方程解的性质可得Y 1 -Y 3 = e3x,Y 2 -Y 3 = ex是相应二阶齐次线性微分方程的两个特解．故相应二阶齐次线性微分方程的通解为Y O = C I e 3·x + C 2 e .所以所求非齐次方程的通解可表示为y = C1e x + C 2芒—X e2x•(11)心解•• dxdy· —= cost , -= t c ost ,dt dt. dy tcost•• -= =t,dxcost 叶店）d 2y d dy dt -=--(—)＝—一＝－1 c!x2 dx cl x clxcostc!t心1从而dx 2,-f =亢＝迈．cos—4(12)lnZ解厂l n x2dx = _ l n x += +厂dx =O+l n x1+==O —l n _l =ln 2 1O+x)l+x 1 2 l+x 1 1O+x)x(13) -1解题设条件"a ;;+A ;; = 0 "即A T =—A*'于是A =—[Al'可见A只可能是0或—1.又r(A)= r (A T ) = r (-A *) = r (A 天），则rCA)只可能为3或0.而A为非零矩阵，因此r (A)不能为o ,从而r(A) = 3 , A [ #-0 , [ A [ = -1.或，用特例法．取一个行列式为—1的正交矩阵满足A T=-A勹故应填-1.104)1——e解由于X�E(l),a>O,则由指数分布的分布函数有P{Y冬a+IY>a}=P{Y>a,Y,s;:;a+l } =P{a<Y,s;:;a+l}P {Y >a}1—P{Y冬a}1-e 一(a +])—0-e -")e -a —e -a -1 1 = = =l —e -1 = 1—— l —(1—e -a )-a e e 三、解答题05)解由条件显然有J(l )=O, J'(x)=由分部积分法及换元积分法有『八x)d x =2f J(x)d 左。
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万元, 求 最佳的广告策略。 1 分 题 ) 六、证明题 ( 共 0 , 每 5 分
1.已 知 常 数 曰 、 3、 c、 歹 满 足 0<夕 <D(c<歹 ,若 函 数 丑 万) 在 ⑩ ,㈥ 内 二
华 中农 业 大 学 二 ○一 三 年 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 试 题 纸 第 1 页共 4 页 学 科 目代码及名称 :sO8数 则无效 。 得写在试题纸上,否 注意 :所 有答案必须写在答题本上 ,不 一、单选题 (共 分 ,每题 2分) ⒛
1.当 o时 s弦 x→ ,函数 只θ=∞ -cos丌 h是 的 /。 同阶无穷小 B。 高阶无 穷小 c。 等价 无 穷小
( 不 D.都 对
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2.饣 攵 )=节 艿 岜 函雀 /(艿 乏 勺 刂 =1卢 )苫 /(丌 1≡ ;, 贝 畲 /。 连续点 可导点 B。
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3 . 对 个学生而言, 来 参加家长会的家长人数是 一个随机变量; 于一 家长 家长来参加会议的概率分别为 设 一个学生无家长 、1 名 、2 名 、0 , 0 . 1 5 ; 若 硐o 名 生, 设 8 、 学校共有 0“ 学 各学生参加会议的家长 过 服从同一分布 , 请 求解参加会议的家长数 x 超 绣o 数相互独立, 且 0 知 c 1 .盯 的概率。( 已 : ￠ .〓 匀% ) 4 .房地产公 司通过 电视和报纸两种形式作售楼广告 , 己 某 知销售收 电视广告费用 艿( 万 ) , 报广告费用 ` ( 万 ) 纸 元 元 入R ( 万 ) 与 元