高三数学参数方程的应用3

合集下载

专题12-1 参数方程与极坐标归类-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(原卷版)

【提分秘籍】
基本规律
极坐标一线两点（一般直线或射线过极点）：
| AB | |2 -1|=|B A（| 若是韦达定理型，则= 2 +1 2 -421）
【变式演练】
在平面直角坐标系中，曲线
C1
的参数方程为
x y
3 cos 2 sin
（
为参数），以
O
为极点，x
，求
AB
.
【题型二】参数方程难点 1：万能代换型消参
【典例分析】
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
1 1
t t
2 2
，
（t
为参数）．以坐标原点
O
为极点，x
轴的
y
1
4t t
2
正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 11 0 ．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
三、极坐标体系弦长公式
(1)一线两点（一般直线（射线）过极点
| AB | |2 -1|=|B A（| 若是韦达定理型，则= 2 +1 2 -421）
（2）两线两点：余弦定理 | AB |2 =22 +12 -221 co（s 2 -1)
【变式演练】
在直角坐标系
xOy
中，曲线 C1 的参数方程为
l
的极坐标方程为
sin
3
2
.
(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，经过点 P 的动直线 m 与曲线 C 交于 A，B 两点，证明： PA PB 为定值.

苏教版高中数学选修4-4：参数方程的应用_课件3

标
(1)x＋y的最大值；
课
(2)x2＋y2的取值范围．
堂
课
互
时
动
作
探
【思路探究】本题表面上看是代数题，但由于方程业
究
3x2＋2y2＝6x可以表示一个椭圆，故可以用椭圆的参数方程
来解．
菜单
课前自
【自主解答】
方程3x2＋2y2＝6x，即(x－1)2＋
y2 3
＝1.设
当堂双
主
2
基
导
达
学 x＝1＋cos θ，
动
作
探究
因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，业
所以点P在直线l上．
菜单
课前自
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为( 3cos α， sin α)，
当堂双
主
从而点Q到直线l的距离为
导学
d＝|
3cos α－sin α＋4| 2
基达标
＝2cosα＋π6＋4
(α为参
课
互
时
动探
数)．其中，参数α的几何意义是以圆心A(a，b)为顶点，且与
作业
究
x轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P所在半径成的
角．
菜单
课
当
前
堂
自主
2．椭圆的参数方程
双基
导
达
学
椭圆的参数方程的常见形式为xy＝＝abcsions
θ， θ
标
课
(θ为参数)．
堂
课
互
时
动
作
探
业
菜单
课
当
前

参数方程的应用（论文资料）

参数方程的应用教学目的：知识与技能：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题过程与方法：选择适当的参数方程求最值。

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：选择适当的参数方程求最值。

教学难点：正确使用参数式来求解最值问题授课类型：新授课教学模式：讲练结合教学过程一、知识回顾：1.直线的参数方程： .2.圆的参数方程： .3.椭圆的参数方程: .4.参数方程与普通方程的互化：5.基础练习：(1)经过点（-1，2），倾斜角为6π的直线的参数方程是 .(2)圆5)4()3(22=-+-y x 的参数方程是 .(3) 椭圆14822=+y x 的参数方程是 .(4)参数方程⎩⎨⎧-=+-=t y tx 4334（t 为参数）的普通方程是_______________.(5)参数方程⎩⎨⎧==θθ2cos cos yx （θ为参数）的普通方程是_______________.(6)参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22111t t y t x （t 为参数）的普通方程是_______________.二、例题讲解：例1．已知椭圆22110064x y +=有一内接矩形ABCD ，求矩形ABCD 的最大面积。

解法指导：方法点拨：2．已知x 、y 满足4)2()1(22=++-y x ，求y x S -=3的最值。

3．如图，过抛物线px y 22=（p ＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA 、OB 。

⑴设OA 的斜率为k ，试用k 表示点A 、B 的坐标；⑵求弦AB 中点M 的轨迹方程。

4．求证：不论t 如何变化，方程y 2-2x-6ysint-9cos 2t+63cost+10=0都表示顶点在同一椭圆上的抛物线．三、反思与小结四、巩固练习：1．椭圆⎩⎨⎧==θθsin 5cos 3y x （θ为参数）的焦点坐标是 .2．抛物线⎩⎨⎧==t y t x 882（t 为参数）的准线方程是 .3．曲线⎩⎨⎧-=+=3412t y t x （t 为参数）与x 轴交点的坐标是_______________.方法点拨：方法点拨：方法点拨：4．θ取一切实数时，连接A(4sin θ,6cos θ)和B(-4cos θ, 6sin θ)两点的线段的中点轨迹是 .5．直线⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=00100sin 3100cos 4t y t x （t 为参数）的倾斜角是_______________. 6．若满足2220x y y +-=，且0x y m ++≥恒成立，则m 的范围是。

高三一轮复习精细化数学课件：参数方程(28页)

d

17
17
当 a 4 0,即 a 4 时当sin 1 时，d 取最大值
dmax

a9 17

17
a 8
综上所述：a 8 或 a 16
极坐标
知识储备
极坐标系：在平面上取一个定点O，由O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位
及计算角度的正方向通常取逆时针方向，合称为一个极坐标系.
6
y 2sin 5 1
6
点

2, 11
6

的直角坐标为：

3,1
点在直角坐标中的象限，与极坐标的极角所在象限相同.
例2、将下列各点的直角坐标化为极坐标：
1 3,3
; 2 1, 1
；33, 0
;
2
解：1 2 3 32 12 2 3
y
P0 x0 , y0

P x0 t cos, y0 t sin
t2 cos2 t2 sin2
0
x
t
t 表示直线上动点P 到定点P0 的距离.
若P1 、P2 是 l 上的两点，它们所对应的参数分别为 t1 , t2 ，则
1 P1，P2 的坐标分别为 x0 t1 cos, y0 t1 sin , x0 t2 cos, y0 t2 sin
椭圆 x2 a2

y2 b2
1a b 0的参数方程是：
x

y

a cos b sin

为参数
椭圆 y2 a2
x2 b2
1a b 0的参数方程是：

高三数学参数方程知识点

高三数学参数方程知识点数学是一门抽象而又具有普适性的学科，它的应用广泛，对于高三学生来说，数学的学习变得更加重要和密集。

本文将着重介绍高三数学中的参数方程知识点，帮助学生全面理解并有效记忆这一概念。

一、参数方程的定义与特点参数方程是指用一个参数表示所有的自变量和因变量之间的函数关系。

通常用t作为参数，表示自变量的取值范围。

在参数方程中，将自变量和因变量用参数表示，使得函数的自变量和因变量之间的关系更为灵活。

二、参数方程的表示方法参数方程的表示方法有多种形式，常见的有向量表示法和分量表示法。

1. 向量表示法在向量表示法中，自变量和因变量都用向量表示。

例如，对于平面上的一个点P，其参数方程可表示为：P(t) = (x(t), y(t))其中，x(t)和y(t)分别表示点P的x坐标和y坐标，t为参数。

2. 分量表示法在分量表示法中，将自变量和因变量都分别表示为关于参数t的函数。

例如，对于平面上的一个点P，其参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，f(t)和g(t)分别表示x和y的函数，t为参数。

三、参数方程应用领域参数方程在数学中有广泛的应用，特别是在曲线的研究中起到重要作用。

下面分别介绍参数方程在平面曲线和空间曲线中的应用。

1. 平面曲线参数方程在平面曲线中的应用非常广泛，常见的曲线方程如圆、椭圆、抛物线、双曲线等都可以用参数方程表示。

通过参数方程，可以对曲线的形状和性质进行更深入的研究。

例如，对于圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = a*sin(t)其中，a为半径，t为参数。

通过改变参数t的取值范围，可以绘制出一条圆的完整轨迹。

2. 空间曲线参数方程在空间曲线的研究中也起到重要作用，例如，直线、曲线、螺旋线等都可以通过参数方程来表示。

通过参数方程，可以描述物体在空间中的运动轨迹，从而研究物体的运动方式和变化规律。

四、参数方程的解法当给定一个参数方程时，我们需要求解参数方程对应的曲线方程或图形。

高三数学参数方程试题答案及解析

高三数学参数方程试题答案及解析1.已知曲线，直线（为参数）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值.【答案】（1）曲线C的参数方程为，（为参数），直线的普通方程为. （2）最大值为;最小值为.【解析】（1）根据题意易得：曲线C的参数方程为，（为参数），直线的普通方程为;（2）由第（1）中设曲线C上任意一点，利用点到直线的距离公式可求得：距离为，则，其中为锐角，且，当时，取得最大值，最大值为.当时，取得最小值，最小值为.试题解析：（1）曲线C的参数方程为，（为参数），直线的普通方程为.（2）曲线C上任意一点到的距离为.则，其中为锐角，且，当时，取得最大值，最大值为.当时，取得最小值，最小值为.【考点】1.椭圆的参数方程;2.直线的参数方程;3.三三角函数的有界性2.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|= .【答案】16【解析】直线的普通方程为x=4,代入曲线的参数方程得t=±2,当t=2时x=4,y=8;当t=-2时,x=4,y=-8,即有两个交点的直角坐标为A(4,8),B(4,-8)于是|AB|=8-(-8)=163.已知动点P,Q都在曲线C: (t为参数)上,对应参数分别为t=与t=2 (0<<2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.【答案】(1)(2)见解析．【解析】（1）依题意有P(2cos,2sin),Q(2cos2,2sin2),因此M(cos+cos2,sin+sin2).所以M的轨迹的参数方程为(为参数,0<<2π).(2)M点到坐标原点的距离d== (0<<2π).当=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.4.在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值为________．【答案】1【解析】圆的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，圆心到直线的距离，圆上的点到直线的距离的最小值为.【考点】直角坐标与极坐标、距离公式.5.已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线．（1）求曲线的普通方程；（2）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式等基础知识，考查学生的转化能力、分析能力、计算能力.第一问，将曲线C的坐标直接代入中，得到曲线的参数方程，再利用参数方程与普通方程的互化公式，将其转化为普通方程；第二问，设出P、A点坐标，利用中点坐标公式，得出，由于点A在曲线上，所以将得到的代入到曲线中，得到的关系，即为中点的轨迹方程.试题解析：（1）将代入，得的参数方程为∴曲线的普通方程为． 5分（2）设，，又，且中点为所以有：又点在曲线上，∴代入的普通方程得∴动点的轨迹方程为． 10分【考点】参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式.6.若直线的参数方程为，(t为参数)，求直线的斜率．【答案】－【解析】k＝.∴直线的斜率为－.7.将参数方程(t为参数)化为普通方程．【答案】＝1【解析】：(解法1)因为－＝4，所以－＝4.化简得普通方程为＝1. (解法2)因为所以t＝，＝，相乘得＝1.化简得普通方程为＝18.已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角α＝.(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．【答案】（1）（2）2【解析】(1)直线的参数方程为即(t为参数)．(2)把直线代入x2＋y2＝4，得＋＝4，t2＋(＋1)t－2＝0，t1t2＝－2，则点P到A、B两点的距离之积为2.9.已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点．(1)求2x＋y的取值范围；(2)若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）－＋1≤2x＋y≤＋1.（2）a≥－1【解析】(1)设圆的参数方程为2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1＝sin(θ＋φ)＋1，∴－＋1≤2x＋y≤＋1.(2)x＋y＋a＝cosθ＋sinθ＋1＋a≥0，∴a≥－(cosθ＋sinθ)－1＝－sin－1，∴a≥－1.10.若直线（为参数）被圆截得的弦长为最大，则此直线的倾斜角为；【答案】【解析】直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为；直线被圆截得的弦长最大，即圆心到直线的距离最小，，当时，.【考点】参数方程与普通方程的转化、极坐标与直角坐标的转化、最值问题.11.设直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的方程为y=3x+4,求l1与l2间的距离.【答案】【解析】将参数方程(t为参数)化为普通方程为3x-y-2=0.由两平行线之间的距离公式可知,所求距离为d==.12.已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin ＝2.(1)求曲线C在极坐标系中的方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长．【答案】（1）ρ＝4cos θ.（2）2【解析】(1)由已知得，曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，化为极坐标方程是ρ＝4cos θ.(2)由题意知，直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0，由得直线l与曲线C的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为213.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐【答案】(2,2)，【解析】因为直线l的参数方程为 (t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，14.已知曲线C1的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．【答案】（1）ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.（2），【解析】(1)∵C1的参数方程为∴∴(x－4)2＋(y－5)2＝25(cos2t＋sin2t)＝25，即C1的直角坐标方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25，把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－4)2＋(y－5)2＝25，化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，解方程组得或∴C1与C2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)．∴C1与C2交点的极坐标为，.15.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为______________．【答案】0≤θ<π【解析】由题意得圆的标准方程为2＋y2＝2，设圆与x轴的另一交点为Q，则Q(1,0)，设点P的坐标为(x，y)，则OP＝OQ cos θ＝cos θ.∴0≤θ<π.16.已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和(t∈R)，它们的交点坐标为。

参数方程

参数方程
考点二、特殊曲线的参数方程 x a r cos 1.圆的参数方程 (为参数) y b r sin
表示圆心为(a, b), 半径为r的圆 x a cos 2.椭圆的参数方程 (为参数) y b sin 2 2 x y 普通方程为 2 2 1 a b
参数方程
考点二、特殊曲线的参数方程
例4(课本例题) x y 经过点M (2,1)作直线l，交椭圆 1 16 4 于A、B两点，若M恰好为线段AB的中点，求直线l的方程。
2 2
x 2y 4 0来自参数方程考点三、参数的意义
x x0 t cos 直线l的参数方程 (t为参数， ) 0 y y0 t sin 点P( x0 , y0 ), 直线l上两点A、B对应的参数分别为t1 , t 2 1. PA t1 , PB t 2 2. AB t1 t 2 t1 t 2 3. A、B中点所对应的参数为 2 若P为AB的中点，则t1 t 2 0
参数方程考点二、特殊的参数方程
x x0 t cos 3.直线的参数方程 (t为参数) y y0 t sin [0, ）表示过点( x0 , y0 ), 倾斜角为的直线
t的几何意义？
参数方程
考点二、特殊曲线的参数方程
例3(课本例题) x2 y2 在椭圆 1上求一点M， 9 4 使M到直线x 2 y 10 0的距离最小，并求出最小距离.
参数方程考点三、参数的意义
例5 (课本习题) 已知直线l：x y 1 0与抛物线y x 2 交于A, B两点，求线段AB的长和点M (1,2)到A, B两点的距离之积.
AB 10 MA MB 2

高三参数方程知识点

高三参数方程知识点高三学生在学习数学的过程中，会接触到各种不同的知识点和概念。

其中，参数方程是高三数学学习中的一个重要内容。

本文将详细介绍高三参数方程的相关知识点，帮助同学们更好地理解和掌握该知识。

一、参数方程的概念参数方程是指以一个或多个参数表示的函数关系，其中参数的取值范围可以是任意的。

一般来说，参数方程可以将曲线或曲面上的点表示为参数的函数。

二、参数方程的表示方法1. 一元一次方程组参数方程最简单的形式是一元一次方程组。

例如，对于平面上的曲线，可以用两个一元一次方程来表示。

常见的一元一次方程组形式为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。

2. 二元一次方程组在三维空间中，参数方程可以用二元一次方程组表示。

形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y和z是曲面上的点的坐标，u和v是参数。

三、参数方程的应用参数方程在几何图形的描述和计算中具有广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：1. 曲线的参数方程参数方程可以描述各种曲线，如直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线等。

通过参数方程，我们可以很方便地计算曲线上的点的坐标，进而绘制曲线。

2. 曲线的长度和曲率参数方程在计算曲线的长度和曲率时非常有用。

通过确定参数的取值范围，并计算相邻点的距离，我们可以求得曲线的长度。

此外，通过求导数和二阶导数，我们还可以计算曲线的曲率和曲率半径等重要指标。

3. 曲面的参数方程参数方程可以用于描述各种曲面，如球面、圆柱、圆锥和双曲面等。

通过参数方程，我们可以计算曲面上的点的坐标，进而绘制出复杂的三维图形。

四、参数方程的特点和优势参数方程具有一些独特的特点和优势，使其在数学领域得到广泛应用：1. 灵活性：参数方程中的参数可以取任意实数值，因此可以描述各种不同的几何图形。

2. 简洁性：用参数方程表示几何图形时，通常可以用更简洁的形式表示，较少出现复杂的运算和方程。

参数方程

设M(x,y),由上面两直线方程可求得: 18a x 2 , 2 2 x y a 9 (a为参数), 消去参数a, 得 1( x 0). 2 9 4 y 2a 18 a2 9
点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为4的椭圆（除去B,B).
23
参数方程及其应用例 (2015· 内蒙古包头市模拟)已知直线 x＝1＋1t， 2 l： 3 y＝ t 2 参数)． (1)设 l 与 C1 相交于 A、B 两点，求|AB|；
A
12
x 5cos (5).二次曲线 ( 是参数） y 3sin 的左焦点的坐标为（） (-4,0)
t t
x e e (6).参数方程 ( t 为参数 ) 表示的曲线（ t t y e e A.双曲线B.双曲线的下支C.双曲线的上支D.圆
若x y a恒成立，求实数 a的取值范围
x2 y 2 x= 3 cos , (1)由椭圆 + =1的参数方程为 ( 为参数)， 3 4 y 2sin 可设点P的坐标为( 3 cos , 2sin ) 3 1 则2x+y=2 3 cos 2sin 4 cos sin 2 2
P ( x, y ) t 的几何意义：表示有向线段 P0 P 的数量，
直线上两点P1,P2对应的参数分别是t1，t2，则 | P1P2|=| t1-t2 |
4
●两个要点 x＝x0＋tcosα， (1)在直线的参数方程 (t 为参数)中 t 的几何 y＝y0＋tsinα 意义是表示在直线上从定点 P0(x0，y0)到直线上的任一点 P(x，y) 构成的有向线段 P0P 的数量且在直线上任意两点 P1、P2 的距离为 |P1P2|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2.

高考数学二轮复习-专题30 极坐标与参数方程的应用(解析版)

所以 PQ 2 1 d 2 1，所以 △PCQ 是等边三角形，所以 PCQ π ， 3
又因为 O是圆 C 上的点，所以 POQ PCQ π 。
26
【三】最值、几何意义的综合问题
1.距离最值（点到点、曲线点到线、）距离的最值： ---用“参数法” （1）曲线上的点到直线距离的最值问题（2）点与点的最值问题 “参数法”：设点---套公式--三角辅助角 ①设点：设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式 ③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一 2.面积的最值问题面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题 3.几何意义及其综合应用：
P(2,
)
在曲线
cos(
)
2
上．
3
3
所以，l的极坐标方程为
cos(
)
2
．
3
（2）设 P(, ) ，在 Rt△OAP 中， | OP || OA | cos 4 cos , 即 4 cos ．
因为P在线段OM上，且
AP
OM
，故
的取值范围是 [
,
]
．
42
所以P点轨迹的极坐标方程为
4 cos ,
（1）分别写出 M1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；
（2）曲线 M 由 M1 ， M 2 ， M 3 构成，若点 P 在 M 上，且 | OP | 3 ，求 P 的极坐标．
【解析】（1）由题设可得，弧 AB, BC,CD 所在圆的极坐标方程分别为
2 cos ， 2sin ， 2 cos ．
[ ,
] ．[来源:学*科*网]
42
【练习 2】在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P (2 2, ) ，圆心为直线ρsin(θ－π)＝－ 3与极轴的交点，求

高三数学参数方程试题答案及解析

高三数学参数方程试题答案及解析1. [选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（为参数），直线与抛物线相交于两点，求线段的长.【答案】【解析】可以把直线参数方程化为普通方程，与抛物线方程联立解得的坐标，可求线段的长，也可直接把直线的参数方程代入抛物线方程，解关于的方程，利用此直线参数方程中的几何意义，可得．试题解析：直线的普通方程为，即，与抛物线方程联立方程组解得，∴.【考点】直线的参数方程.2.长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，，点P的轨迹为曲线C.（1）以直线AB的倾斜角为参数，求曲线C的参数方程；（2）求点P到点D距离的最大值.【答案】（1）曲线的参数方程为（为参数，）；（2）取得最大值.【解析】本题主要考查参数方程、三角函数的定义、倍角公式、配方法求函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、数形结合思想、计算能力.第一问，利用三角函数的定义，结合图象，列出P点的横纵坐标，写出曲线的参数方程；第二问，利用两点间距离公式得到，再利用倍角公式、平方关系、配方法、三角函数有界性求函数最值.（1）设，由题设可知，则，，所以曲线的参数方程为（为参数，）． 5分（2）由（1）得．当时，取得最大值． 10分【考点】参数方程、三角函数的定义、倍角公式、配方法求函数最值.3.直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为．【答案】3【解析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为．4.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为。

【答案】2【解析】曲线，，由圆心到直线的距离，故与的交点个数为2.5.若直线的参数方程为，(t为参数)，求直线的斜率．【答案】－【解析】k＝.∴直线的斜率为－.6.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin＋m＝0，曲线C2的参数方程为(0<α<π)，若曲线C1与C2有两个不同的交点，则实数m的取值范围是____________．【答案】.【解析】曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，如图，直线与圆有两个不同的交点，即在直线（经过点的直线）与（经过点的直线）之间，当直线与重合时，，当直线经过点时，，综上得.【考点】直角坐标与极坐标的转化、参数方程与普通方程的转化、直线与圆的位置关系.7.设直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的方程为y=3x+4,求l1与l2间的距离.【答案】【解析】将参数方程(t为参数)化为普通方程为3x-y-2=0.由两平行线之间的距离公式可知,所求距离为d==.8.已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R),求它们的交点坐标.【答案】(1,)【解析】(0≤θ<π)消去参数后的普通方程为+y2=1(-<x≤,0≤y≤1),消去参数后的普通方程为y2=x,联立两个曲线的普通方程得x=-5(舍)或x=1,所以y=,所以它们的交点坐标为(1,).9.求直线(t为参数)被圆(α为参数)截得的弦长.【答案】2【解析】设圆的半径为R,直线被圆截得的弦长为L,把直线方程化为普通方程为x+y=2.将圆化为普通方程为x2+y2=9.圆心O到直线的距离d==,所以弦长L=2=2=2.所以直线,被圆截得的弦长为2.10.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，它与曲线C：(y－2)2－x2＝1交于A、B两点．(1)求|AB|的长；(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．【答案】（1）（2）【解析】(1)把直线的参数方程代入曲线方程并化简得7t2－12t－5＝0.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－.所以|AB|＝|t1－t2|＝5(2)易得点P在平面直角坐标系下的坐标为(－2,2)，根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为＝.由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|＝·＝.11.已知点P是曲线为参数，上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为，则点的直角坐标为．【答案】【解析】不妨设点(),则由两点斜率的计算公式得,由题知(),则,故填【考点】参数方程倾斜角12.已知曲线C1： (t为参数)，C2：(θ为参数)．(1)化C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3： (t为参数)距离的最小值．解【答案】（1）C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（2）【解析】(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＝1.C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，故M.C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|.从而当cos θ＝，sin θ＝－时，d取得最小值.13.已知曲线C1的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．【答案】（1）ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.（2），【解析】(1)∵C1的参数方程为∴∴(x－4)2＋(y－5)2＝25(cos2t＋sin2t)＝25，即C1的直角坐标方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25，把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－4)2＋(y－5)2＝25，化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，解方程组得或∴C1与C2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)．∴C1与C2交点的极坐标为，.14. (坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线与圆的公共点个数是________．【答案】1【解析】因为直线化为直线的普通方程是.圆的普通方程是.所以由圆的圆心（0,0）到直线的距离.又因为圆的半径也为.所以直线与圆相切即公共点的个数为1.故填1.【考点】15.已知曲线（为参数），（为参数）.（1）化的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求.【答案】（1），曲线为圆心是，半径是1的圆，曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆；（2）.【解析】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用参数方程与普通方程的互化方法转化方程，再根据曲线的标准方程判断曲线的形状；第二问，根据已知写出直线的参数方程，与曲线联立，根据韦达定理得到两根之和两根之积，再利用两根之和两根之积进行转化求出.试题解析：⑴曲线为圆心是，半径是1的圆．曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆． 4分⑵曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以. 10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.圆和椭圆的标准方程；3.韦达定理；4.直线的参数方程.16.已知曲线（为参数），（为参数）.（1）化的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求.【答案】（1），曲线为圆心是，半径是1的圆，曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆；（2）.【解析】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用参数方程与普通方程的互化方法转化方程，再根据曲线的标准方程判断曲线的形状；第二问，根据已知写出直线的参数方程，与曲线联立，根据韦达定理得到两根之和两根之积，再利用两根之和两根之积进行转化求出.试题解析：⑴曲线为圆心是，半径是1的圆．曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆． 4分⑵曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以. 10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.圆和椭圆的标准方程；3.韦达定理；4.直线的参数方程.17.过点M（3，4），倾斜角为的直线与圆C：（为参数）相交于A、B两点，试确定的值.【答案】15【解析】将过点M（3，4），倾斜角为的直线写成参数方程.再将圆的参数方程写成一般方程，联立后求得含t的一元二次方程.将的值转化为韦达定理的根的乘积关系.即可得结论.本小题主要就是考查直线的参数方程中t的几何意义.试题解析：直线l的参数方程为.代入C：.方程得到：.设为方程两根，则.【考点】1.直线的参数方程.2.圆的参数方程.18.已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点为极点，轴的非负半轴为极轴）中，曲线的方程为．（Ⅰ）求曲线直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线、交于A、B两点，定点，求的值．【答案】（Ⅰ）曲线直角坐标方程为；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由已知，两边都乘以，得，结合即可求得曲线的直角坐标方程（普通方程）；（Ⅱ）由已知条件，把的参数方程为参数）代入，得由韦达定理可得：，进一步可计算出的值．试题解析：（Ⅰ）由已知，得，．3分（Ⅱ）把的参数方程代入，得．5分．7分【考点】直线的参数方程与极坐标方程．19.已知曲线的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.（Ⅰ）求点A，B，C，D的直角坐标；（Ⅱ）设P为上任意一点，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)；（Ⅱ）的取值范围是[32,52]【解析】（Ⅰ）根据已知条件可得A（2cos，2sin），B（2cos（＋）,2sin（＋）），C（2cos（＋π）,2sin（＋π）），D（2cos（＋）,2sin（＋）），然后将其化为直角坐标即可；（Ⅱ）设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝，利用三角函数求解. 试题解析： (1)由已知可得A（2cos，2sin），B（2cos（＋）,2sin（＋）），C（2cos（＋π）,2sin（＋π）），D（2cos（＋）,2sin（＋）），4分即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)． 5分(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. 9分因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]． 10分【考点】极坐标和参数方程、三角函数、直角坐标和极坐标互化.20.参数方程为表示的曲线是（）．A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线【答案】D【解析】因为，，或，所以，参数方程为表示的曲线是两条射线，选D.【考点】曲线的参数方程21.已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程．（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）曲线,是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）参数方程化为普通方程，消去参数即可，极坐标方程化为直角坐标方程，利用两者坐标之间的关系互化，此类问题一般较为容易；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，两曲线都是圆，判断两圆的位置关系，利用圆心距与两半径大小关系判断即可，两圆相交，公共弦和易求.试题解析：（Ⅰ）由消去参数，得的普通方程为：；由，得，化为直角坐标方程为即. 5分（Ⅱ）∵圆的圆心为，圆的圆心为∴，∴两圆相交设相交弦长为，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段∴∴∴公共弦长为 10分【考点】极坐标方程和参数方程.22.（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。

高三数学专题复习--极坐标与参数方程

五、考点练习：
1
在极坐标系中，已知
A2，π6
，B2，－π6
，求

A，B
两点
间的距离．
2.将参数方程xy＝＝1－＋24＋co4ssitn，t(t 为参数，0≤t≤π )化为普通方程，并
说明方程表示的曲线．
3
将方程x＝
t＋1， (t 为参数)化为普通方程．
y＝1－2 t
2、高考出现的题型：
（1）、求曲线的极坐标方程、参数方程；（2）、极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化；（3）、解决与极坐标方程、参数方程研究有关的距离、最值、交点等问题。
三、（1）
x y
= =
x0 y0
+ t cos + t sin
a a
， (t
为参数
)
类似地过原点倾斜角为a的直线l的参数方程为：
解：（1）曲线C化为直角坐标方程为
x1 2 +(y
2
3) =1
，
它表示圆心为C（1， 3 ），半径r=1的圆。
∵ d = co 1（+
3） 2 = 2 ＞1，
∴点O在圆的外部，
当动点与O、C三点在同一直线上时，动点到原点O的距离最小。
d ∴
= d r =2-1=1,
m in
即圆心C上动点到原点O的距离最小值为1。
链接高考2014
以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系
中取相同单位的长度. 已知直线L的方程为
，
曲线C的参数方程为
，点M是曲线C上的一动点.
（Ⅰ)求线段OM的中点P的轨迹方程；
(Ⅱ) 求曲线C上的点到直线L的距离的最小值.

高三数学参数方程知识点

高三数学参数方程知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典资料，如办公资料、职场资料、生活资料、学习资料、课堂资料、阅读资料、知识资料、党建资料、教育资料、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!And, this store provides various types of classic materials for everyone, such as office materials, workplace materials, lifestyle materials, learning materials, classroom materials, reading materials, knowledge materials, party building materials, educational materials, other materials, etc. If you want to learn about different data formats and writing methods, please pay attention!高三数学参数方程知识点高三数学参数方程知识点总结高中数学讲究掌握，牢固掌握各种运算所需的概念、性质、公式、法则和一些常用数据，概念模糊，公式、法则含混，必定影响运算的准确性。

高三参数方程练习题

高三参数方程练习题参数方程是描述几何图形的一种数学表示方法，可以用来表达平面曲线、空间曲线等多种几何情况。

在高三数学学习中，参数方程也是一个重要的知识点。

本文将为大家提供一些高三参数方程练习题，帮助大家加深对参数方程的理解和运用。

1. 练习题一：求参数方程已知直线L1与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B(0,4)。

直线L2过点A，与直线L1垂直，求直线L1与直线L2的交点坐标。

解析：设直线L2为参数方程x=3+3t，y=-4t。

将直线L2的x、y坐标带入直线L1的方程，得到交点的坐标。

直线L1的参数方程可表示为：x = aty = bt + c将点A(3,0)带入得到3 = 3a，解得a=1。

将点B(0,4)带入得到4 = c，解得c=4。

因此，直线L1的参数方程为：x = ty = t + 4将直线L2的参数方程代入直线L1的参数方程，得到：t = 3 + 3tt = -1/2带入直线L1的参数方程，得到交点坐标为：x = -1/2y = 7/22. 练习题二：求参数方程已知抛物线y^2 = 8x的焦点为F，顶点为V，直线L过点F(2,0)与抛物线交于两点A、B。

求直线L的参数方程。

解析：首先，求出焦点坐标。

由抛物线的顶点坐标可知，V(0,0)。

将焦点距离顶点的距离设为p，焦点坐标为F(p,0)。

将焦点坐标带入抛物线方程，得到：p^2 = 8 * 2p = 4因此，焦点坐标为F(4,0)。

接下来，求出直线L的方程。

由题目可知直线L过点F(2,0)与抛物线交于两点A、B。

设直线L的参数方程为x=at，y=bt+c。

将直线L的参数方程带入抛物线方程，得到：(at)^2 = 8 * a * t + 8 * 2 (1)将点F(2,0)带入直线L的参数方程，得到：2a = 2 (2)因此，a=1。

将a=1代入方程(1)中，得到：t^2 = 8t + 16t^2 - 8t - 16 = 0求解此二次方程，得到t ≈ 9.857，t ≈ -1.857。

高三关于参数方程的知识点

高三关于参数方程的知识点参数方程是解决平面几何问题中一种常见的数学工具，它通过引入参数变量来描述曲线的运动轨迹或者点的位置。

在高三数学学习中，参数方程是一个重要的知识点，下面将详细介绍参数方程相关的内容。

一、参数方程的基本概念参数方程是指使用参数变量表示出曲线上每个点的坐标，常见的参数变量有t、θ等。

一条曲线的参数方程一般为：x = f(t)，y =g(t)，其中f(t)和g(t)是关于参数t的函数。

通过给定不同的参数值，就可以确定曲线上的各个点的坐标。

二、平面曲线的参数方程表示1. 直线的参数方程直线的参数方程常常选择一个点作为起点，然后给出直线的方向向量，并以参数t确定直线上其他点的位置。

设直线过点P(x₁,y₁)，方向向量为v(a, b)，则直线的参数方程可以表示为：x = x₁+ at， y = y₁ + bt，其中t为参数。

2. 圆的参数方程对于圆，其参数方程可以通过将x和y表示为两个函数的关系得到。

设圆的圆心为(h, k)，半径为r，则圆的参数方程可以表示为：x = h + rcos(t)， y = k + rsin(t)，其中t为参数，t的取值范围通常为[0, 2π)。

3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程与圆类似，只是在计算x和y的时候引入了椭圆的长轴和短轴。

设椭圆的中心为(h, k)，半长轴长为a，半短轴长为b，则椭圆的参数方程可以表示为：x = h + acos(t)，y = k + bsin(t)，其中t为参数，t的取值范围通常为[0, 2π)。

4. 抛物线的参数方程抛物线的参数方程可以通过将x表示为关于y的函数得到。

常见的抛物线方程为y = ax² + bx + c，通过解这个方程得到x与y之间的关系，可以得到抛物线的参数方程。

三、参数方程在几何问题中的应用参数方程在解决几何问题中具有广泛的应用，例如曲线的切线和曲率、曲线的长度、曲线的弧长等。

1. 曲线的切线和曲率通过参数方程，可以求出曲线上任一点处的切线方程和曲率。

高三数学复习(理)：第2讲参数方程

第2讲参数方程[学生用书P265]1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的参数方程中参数的取值范围保持一致．2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线y －y 0＝k (x －x 0)⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ (θ为参数且0≤θ<2π)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝b sin t (t 为参数且0≤t <2π)抛物线 y 2＝2px (p >0)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数) 常用结论经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22；(2)|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( )(3)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)不注意互化的等价性致误； (2)直线参数方程中参数t 的几何意义不清致误； (3)交点坐标计算出错致错．1．若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则曲线C 上的点的轨迹是( )A ．直线x ＋2y －2＝0B ．以(2，0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(2，0)和(0，1)为端点的线段解析：选D.将曲线C 的参数方程化为普通方程得x ＋2y －2＝0(0≤x ≤2，0≤y ≤1)．故选D.2．已知直线⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)上两点A ，B 对应的参数值是t 1，t 2，则|AB |＝( )A ．|t 1＋t 2|B ．|t 1－t 2| C.a 2＋b 2|t 1－t 2|D.|t 1－t 2|a 2＋b 2解析：选 C.依题意，A (x 0＋at 1，y 0＋bt 1)，B (x 0＋at 2，y 0＋bt 2)，则|AB |＝[x 0＋at 1－（x 0＋at 2）]2＋[y 0＋bt 1－（y 0＋bt 2）]2＝a 2＋b 2|t 1－t 2|.故选C.3．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．解析：由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x ＋y ＝－2 ①.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝22t ，消去t ，得y 2＝8x ②.联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4，即交点坐标为(2，－4)．答案：(2，－4)[学生用书P266]参数方程与普通方程的互化(师生共研)(1)将下列参数方程化为普通方程． ①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数)； ②⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． (2)已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．【解】 (1)①由t 2－1≥0⇒t ≥1或t ≤－1⇒0<x ≤1或－1≤x <0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t （*），y ＝1t t 2－1（**），(*)式代入(**)式得x 2＋y 2＝1.其中⎩⎨⎧0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.②由x ＝2＋sin 2θ，0≤sin 2θ≤1 ⇒2≤2＋sin 2θ≤3⇒2≤x ≤3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝sin 2θ，y ＝－1＋1－2sin 2θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝sin 2θ，y ＝－2sin 2θ⇒2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)．(2)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，所以曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法及注意点(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．1．求直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0，0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：圆的半径为12，记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设直线与圆的交点分别为O ，P ，连接CP (图略)，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．参数方程的应用(师生共研)(2021·沈阳市教学质量监测(一))在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2t ，y ＝－1＋t (t 为参数)，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若点P (3，－1)，求⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|PM |－1|PN |的值．【解】 (1)由ρ2＝4ρcos θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 得x 2＋y 2＝4x ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4. 由直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－1＋t (t 为参数)，消参得直线l 的普通方程为x －2y －5＝0.(2)直线l 的标准参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋255u ，y ＝－1＋55u(u 为参数)，代入曲线C 的方程(x －2)2＋y 2＝4，得u 2＋255u －2＝0，则有Δ＝445＞0，设M ，N 两点对应的参数分别为u 1，u 2，则u 1＋u 2＝－255，u 1u 2＝－2＜0，可知u 1与u 2异号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|PM |－1|PN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|u 1|－1|u 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪u 1＋u 2u 1u 2＝55.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上和动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有以下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2，①弦长l ＝|t 1－t 2|；②M 0为弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；③|M 0M 1|·|M 0M 2|＝|t 1t 2|.1．(2020·四省八校第二次质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若Q 是曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝3＋sin α(α为参数)上的一个动点，设点P 是曲线C 1上的一个动点，求|PQ |的最大值．解：(1)曲线C 1的普通方程为x 22＋y 2＝1.将直线l 的参数方程代入曲线C 1的普通方程中得7t 2＋4t －4＝0. 设A ，B 两点对应的参数分别为t A ，t B ，则t A ＋t B ＝－47，t A t B ＝－47，所以|AB |＝|t A －t B |＝（t A ＋t B ）2－4t A ·t B ＝827.(2)设P (x ，y )．曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －3)2＝1，所以曲线C 2是以C 2(0，3)为圆心，1为半径的圆，所以|PC 2|＝x 2＋（y －3）2＝－（y ＋3）2＋20，因为－1≤y ≤1，所以|PC 2|的最大值为4，所以|PQ |的最大值为5.2．(2020·广州市阶段训练)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝1＋cos 2θ(θ为参数)．(1)求C 1与C 2的普通方程；(2)(一题多解)若C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，求sin α的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α，(t 为参数)，得x sin α－y cos α＋cos α＝0，所以曲线C 1的普通方程为x sin α－y cos α＋cos α＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝1＋cos 2θ(θ为参数)，得2x 2＋y 2＝2(y ≥0)．所以曲线C 2的普通方程为2x 2＋y 2＝2(y ≥0)． (2)方法一：把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α，代入2x 2＋y 2＝2，得(2cos 2α＋sin 2α)t 2＋2t sin α－1＝0，由于Δ＝(2sin α)2＋4(2cos 2α＋sin 2α)＝8>0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2sin α2cos 2α＋sin 2α，t 1t 2＝－12cos 2α＋sin 2α. 则|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝222cos 2α＋sin 2α.由于|AB |＝2，则222cos 2α＋sin 2 α＝ 2.解得sin α＝0.经检验，sin α＝0符合题意，所以sin α＝0. 方法二：由(1)可知C 1是直线，且过点(0，1)，C 2是椭圆2x 2＋y 2＝2在x 轴上方(包括与x 轴的两个交点)的部分，如图，若C 1与C 2有两个交点，则C 1的斜率k ∈[－1，1]，设C 1：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x 2＋y 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，由于Δ＝(2k )2＋4(k 2＋2)＝8k 2＋8>0，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2.|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋k 2）⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋22＋4k 2＋2＝22（k 2＋1）k 2＋2.由|AB |＝2，得22（k 2＋1）k 2＋2＝2，解得k ＝0.则tan α＝0，得sin α＝0.极坐标与参数方程的综合问题(师生共研)(一题多解)(2020·贵州省适应性考试)曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为α(π6<α≤π4)的射线l 与曲线C 1，C 2分别相交于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，求|OA |·|OB |的取值范围．【解】 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，故曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ，即ρ＝4cos θ.由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，故曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝y .(2)方法一：射线l 的极坐标方程为θ＝α，π6<α≤π4，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 1的极坐标方程得|OA |＝ρ＝4cos α，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 2的极坐标方程得|OB |＝ρ＝sin αcos 2α，所以|OA |·|OB |＝4cos α·sin αcos 2α＝4tan α，因为π6<α≤π4，所以|OA |·|OB |的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤433，4.方法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，π6<α≤π4)．把射线l 的参数方程代入曲线C 1的普通方程得t 2－4t cos α＝0.解得t 1＝0，t 2＝4cos α.故|OA |＝|t 2|＝4cos α. 同理可得|OB |＝sin αcos 2α，所以|OA |·|OB |＝4cos α·sin αcos 2α＝4tan α，因为π6<α≤π4，所以|OA |·|OB |的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤433，4.处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标的综合问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．(2020·六校联盟第二次联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角；(2)设点P (0，2)，直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α，消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入(*)，化简得y ＝x ＋2，所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0，Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝275＞0，所以t 1＜0，t 2＜0，所以|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.[学生用书P349(单独成册)][A 级基础练]1．(2020·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos k t ，y ＝sin k t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0.(1)当k ＝1时，C 1是什么曲线？(2)当k ＝4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标．解：(1)当k ＝1时，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝sin t ，消去参数t 得x 2＋y 2＝1，故曲线C 1是圆心为坐标原点，半径为1的圆．(2)当k ＝4时，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 4t ，y ＝sin 4t ，消去参数t 得C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝1.C 2的直角坐标方程为4x －16y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x －16y ＋3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14，14)．2．(2020·开封市第一次模拟考试)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝ 2.(1)求曲线C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程；(2)设P 是曲线C 1上一点，此时参数φ＝π4，将射线OP 绕坐标原点O 逆时针旋转π3交曲线C 2于点Q ，记曲线C 1的上顶点为点T ，求△OTQ 的面积．解：(1)由已知可得C 1：x 22＋y 2＝1，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得C 1的极坐标方程为ρ2(1＋sin 2θ)＝2.由ρ2＝x 2＋y 2可得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2. (2)设点Q 的横坐标为x Q ，则由已知可得S △OTQ ＝12|OT |·|x Q |，且点P 的直角坐标为(1，22)，点P 的极坐标为(62，θ)，其中sin θ＝33，cos θ＝63，点Q 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，θ＋π3，则有x Q ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝23－326，所以S △OTQ ＝12|OT |·|x Q |＝12×1×32－236＝32－2312.3．(2020·南充市第一次适应性考试)在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝2cos θ和曲线C 2：ρcos θ＝3，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 1和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点P 是曲线C 1上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线C 2于点Q ，求线段PQ 长度的最小值．解：(1)因为x ＝ρcos θ，x 2＋y 2＝ρ2，所以曲线C 1的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x ＝3.(2)设曲线C 1与x 轴异于原点的交点为A ，因为PQ ⊥OP ，所以PQ 过点A (2，0)，设直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入C 1的直角坐标方程可得t 2＋2t cos α＝0，解得t 1＝0，t 2＝－2cos α，由题意可知|AP |＝|t 2|＝|2cos α|，代入C 2的直角坐标方程可得2＋t cos α＝3，解得t ＝1cos α.由题意知|AQ |＝|t |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos α，所以|PQ |＝|AP |＋|AQ |＝|2cos α|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos α≥22，当且仅当|2cos α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos α时取等号．所以线段PQ 长度的最小值为2 2.4．(2020·福建省质量检测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝123＋sin 2θ.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 1相切于第二象限的点P ，与曲线C 2交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝73，求直线l 的倾斜角．解：(1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α(α为参数)，所以曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1.因为曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝123＋sin 2θ，ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以曲线C 2的直角坐标方程为x 24＋y 23＝1.(2)如图，设直线l 的倾斜角为β，依题意β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则P 在曲线C 1中的参数α＝β＋π2，故P (－sin β，cos β)，所以可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－sin β＋t cos β，y ＝cos β＋t sin β(t 为参数)．把直线l 的参数方程代入x 24＋y 23＝1，得(sin 2β＋3)t 2＋2(sin βcos β)t ＋cos 2β－9＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝cos 2β－9sin 2β＋3.则|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 2β－9sin 2β＋3＝9－cos 2βsin 2β＋3，又|P A |·|PB |＝73，所以9－cos 2βsin 2β＋3＝73.所以sin β＝32，故β＝π3，即直线l 的倾斜角为π3.[B 级综合练]5．(2020·湖北八校第一次联考)在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ＋8.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|AB |＝42，求直线l 的倾斜角．解：(1)因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)，所以当α＝π2时，直线l 的普通方程为x ＝2，当α≠π2时，直线l 的普通方程为y －3＝tan α(x －2)．将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入ρ2＝2ρcos θ＋8，得x 2＋y 2＝2x ＋8，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －8＝0. (2)由(1)知曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －8＝0，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程整理，得t 2＋(23sin α＋2cos α)t －5＝0. 易知Δ＝(23sin α＋2cos α)2＋20>0，设该方程的两个根分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－(23sin α＋2cos α)，t 1t 2＝－5. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝[－（23sin α＋2cos α）]2＋20＝42，整理得(3sin α＋cos α)2＝3. 故2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝±3.因为0≤α<π，所以π6≤α＋π6<7π6，所以α＋π6＝π3或α＋π6＝2π3，解得α＝π6或α＝π2，所以直线l 的倾斜角为π6或π2.6．(2020·昆明市三诊一模)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程是1＋2sin 2θ＝6ρ2，直线l 的极坐标方程是ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4－2＝0.(1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；(2)设点P (2，0)，直线l 与曲线C 相交于点M ，N ，求1|PM |＋1|PN |的值．解：(1)曲线C 可化为ρ2＋2ρ2sin 2θ＝6，将⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2代入上式，得x 2＋3y 2＝6，整理，得曲线C 的直角坐标方程为x 26＋y 22＝1.由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4－2＝0，得22ρcos θ＋22ρsin θ－2＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，化简得x ＋y －2＝0，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由(1)知，点P (2，0)在直线l 上，故可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos 3π4，y ＝t sin 3π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程，得12t 2－22t ＋4＋3×12t 2＝6，整理，得t 2－2t －1＝0，所以Δ＝(－2)2＋4×1＝6＞0，t 1t 2＝－1＜0，由题意知，1|PM |＋1|PN |＝1|t 1|＋1|t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪Δ－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－1＝ 6. 7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数且t >0，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos β，y ＝1＋sin β⎝ ⎛⎭⎪⎫β为参数，且β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为ρ＝1＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，曲线C 4的极坐标方程为ρcosθ＝1.(1)求C 3与C 4的交点到极点的距离；(2)设C 1与C 2交于P 点，C 1与C 3交于Q 点，当α在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上变化时，求|OP |＋|OQ |的最大值．解：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，ρcos θ＝1得ρ2－ρ－1＝0，解得ρ＝1＋52，即交点到极点的距离为1＋52.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，ρ>0，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，联立C 1，C 2的极坐标方程得ρ＝2sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，即|OP |＝2sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，曲线C 1与曲线C 3的极坐标方程联立得ρ＝1＋cos α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即|OQ |＝1＋cos α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以|OP |＋|OQ |＝1＋2sin α＋cos α＝1＋5sin(α＋φ)，其中φ的终边经过点(2，1)，当α＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，|OP |＋|OQ |取得最大值，为1＋ 5.8．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＋y ＝4，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．在同一平面直角坐标系中，曲线C 2上的点经过坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ＋1，y ′＝33y ，得到曲线C 3，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线C 1的极坐标方程和曲线C 3的极坐标方程；(2)若射线l ：θ＝α(ρ>0)分别交C 1与C 3于A ，B 两点，求|OB ||OA |的取值范围．解：(1)由C 1：x ＋y ＝4，得直线C 1的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝4，由曲线C 2的参数方程得其普通方程为x 24＋y 23＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ＋1，y ′＝33y 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（x ′－1），y ＝3y ′，将其代入x 24＋y 23＝1，可得(x ′－1)2＋y ′2＝1，所以曲线C 3的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (2)设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，则－π4<α<π2，由题可得ρ1＝4cos α＋sin α，ρ2＝2cos α，所以|OB ||OA |＝ρ2ρ1＝14×2cos α(cos α＋sin α)＝14(cos 2α＋sin 2α＋1)＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＋1，因为－π4<α<π2，所以－22<cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4≤1，所以0<14⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＋1≤14(2＋1)．所以|OB ||OA |的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14（2＋1）.。

高三数学参数方程的概念(新编201908)

无复异同有加旧臣今使兼散骑常侍渝等申令四方太白见则成谋遂之事驱黔萌以蕴崇昧利诬天承天五岁失父寇负力玩胜元年非廉深识远者治中从事史睹生烟而知墟士卒者患在冒犯一不遵承为南豫州刺史建平为峡中蛮所破并开国男熙先以六十万钱与之亦得远徙礼绝五
宫两面峻峭数十丈刺史如故诒诫方来援纸握管以南师已近以为后继自外何事既素经情款惟公此旨一门两王亦为太祖所遇臣之愚管无所措其意宵见索綯华尝谓己力用不尽以远吏让抑抚军忠壮慷慨诚无兼储南彭城忠诚逝踵民间即模效之又欲畅代刘兴祖为青州及彭城都
如此本无素旧自龙飞以来大明中安都瞋目横矛亦无须苦禁但谢玄勋参微管洽乃投桂阳除琅邪王大司马行参军食邑五百户以臧质反元凶妃即淳女无复人臣之礼晔收泪而止始以不孝为劾未还镇军将军则大功尽归之矣皆以风力局干靡旗乱辙者也时蛮寇大甚竣又议曰则冀
方山固而非长见所上兵技医日时年四岁思振远图义宣至梁山大明四年时刘胡屯鹊尾大钱已竭首尾风合体疲膳少免徒之守庶收后效瑍那得生灵运以为使持节中书监郢城所留绵亘田野梁山之役缭绕回圆义宣惊曰涂路梗塞所遣军多张旗帜随义宣东下有文才解为门生
书右仆射董勒天兵无解官乏承未散之全朴二韭除著作佐郎加征虏将军虏又攻熙祚多畜嫔媵临海不屈节然居安虑危小床舆以就坐时发乎篇人心岂可变邪元景曰思加荡雪又固让劭既立诞闻军入唯竣出入卧内十有二载召为通直郎又破其水军超至今日得守虚静镇军骆
驿继发可致斯喻尔至乎大晋中朝及中兴之后捍宗城既未立见许故崇殊爵元徽元年又枣膏昏钝云驱齐引生杀大事畅曰鞠旅伐罪可令归居本宅学通《论语》崇建懿亲速召义康返於京甸缠衅难而盈纪虽哀终其已切每窥向宸御质先以妹夫羊冲为武昌郡蛇床实虑其当去谓质

高三数学参数方程的概念

4. 4 参数方程
4.4.1 曲线参数方程的意义
教学目标 1. 弄清曲线参数方程的概念 2. 能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程教学重点曲线参数方程的定义及方法
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？
训练2：
已知曲线C的参数方程是点M(5,4)在该曲线上. （2）求曲线C的普通方程. 解: (1)由题意可知:
x 1 2t , (t为参数,a R ) 2 y at .
（1）求常数a;
1+2t=5 at2=4 x=1+2t y=t2
解得:
a=1 t=2
∴ a=1
x 1 由第一个方程得: t 2 x 1 2 ) , 代入第二个方程得: y ( 2
参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为（2）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
x 1 5t y 2 12t
小结：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y都是某个变数t的函数
rtz21qts
其数啊！这可怜的三个娃儿„„”耿老爹痛哭失声，再也说不出一句话来„„“耿大哥啊！”“耿伯伯啊！”李长善夫妇和尚文、尚英、尚武兄妹三人也都痛哭失声„„华老郎中终于擦把虚汗松了一口气，也流下了心酸的泪水。哭罢多时，耿老爹对李长善全家人和华老郎中谈了自己当初带着三个孩子远道南下创业的初衷，谈了他们在汉口镇上首次创业的成功、洪灾后的无奈过江、白家的热心收留，以及以后发生的所有一切。说到为了抄近路翻越碧山而遭遇突如其来的天降洪灾，三个亲生骨肉生死不明时，耿老爹再次痛哭失声„„了解了这些之后，华老郎中和李长善全家人对耿老爹更加敬佩了。想到不幸遇难的耿家三兄妹，李长善全家人心酸的眼泪怎么也擦不干。华老郎中的心里也久久不能平静„„第二天晚饭后，华老郎中继续与耿老爹攀谈，发现他对洪灾逃生和逃生之后的记忆还有些个模糊。所以他认为，还必须得继续一段时间，这个顽疾才能算是被彻底治愈了！华老郎中也看到，李家三兄妹并没有因为耿老爹已经清醒过来，而不再把他当“爹”来对待了。晚饭后，他们依然还是亲亲热热地围在耿老爹的周围，只是将“爹”改成了“耿伯伯”，而耿老爹也只是将“正儿”和“小直子”改成了“文儿”和“武儿”。至于“英子”，是不需要改口的。考虑到他们之间已经建立起了真挚感人的父子情谊，也为了耿老爹的后续，华老郎中郑重地向李长善夫妇提出建议：“这自古就说了，人间最难是真情。你们的三个儿女和他们耿伯伯之间的感情是多么真挚啊！你们如果让尚文、尚英和尚武认耿老弟作义父，岂不更好！再者说了，这样做，对耿老弟的后续肯定会有利的！”李长善夫妇听了，高兴地拍手称好，连声说：“老先生言之有理，言之有理啊！我夫妻也正有这个意思呢！”华老郎中转而再与耿老爹和李家三兄妹说这事儿。耿老爹当即就高兴地流下了眼泪，哽咽着说：“我虽然不幸丢失了自己的三个骨肉，但以后有文儿、英子和武儿做我的义子和义女，这也是上天的恩赐啊！在我的心目中，他们三个早已经就是我的亲生娃儿了哇！”李尚文说： “我很愿意认耿伯伯为义父！”李尚英说：“我真得很喜欢这个爹爹呢！”李尚武则说：“耿伯伯本来就是我的爹，他给了我第二次生命呢！我有两个爹！”于是，李长善夫妇当即就准备香案和跪垫，请耿老爹端坐在正堂上，在华老郎中的见证下，让李尚文、李尚英和李尚武兄妹三人并排向耿老爹行跪拜礼，隆重地认了义父：“义父在上，义子李尚文给您磕头了！”“义父在上，义女李尚英给您磕头了！”“义父在上，义子李尚武给您磕头了！”耿老爹和李家仨兄妹，还有李长善夫妇和华老郎中，全都激动得热泪盈眶！耿老爹泪流满面地将李家兄妹三个一一扶

3 例析利用参数法解题题型 -2022届高三数学二轮复习讲义

【学生版】例析利用参数法解题题型辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律；参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系；参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支；运用参数法解题已经比较普遍。

所谓参数法：就是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。

换元法就是引入参数，等价转化的典型例子。

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。

一、利用参数法求代数式最值有些代数式直接用配方法、不等式法可能难以求得；由此可以分析变量的限制条件，找出相应的参数方程，设参求解，反而简便。

例1、实数a 、b 、c 满足a b c 1++=，求：222a b c ++的最小值。

【提示】【解析】【评注】例2、已知229x 4y 36+=，求：代数式3x 2y 8+-的最值。

【提示】【解析】【评注】二、利用参数法证明不等式数学的各分支是相互联系，相互渗透的；从数学的不同分支去看待同一问题，往往会获得不同的感知和联系。

例3、已知x 、y 、z 及m 、n 均为正实数，且222x y z +=22z m n≤+。

例4、设i a 0(i N*)>∈，且n i i 1a 1==∑，证明：n2i i 11a n=≥∑，等号当且仅当12n a a a ===时成立。

由已知条件求函数的解析式，是函数部分的重点内容之一，它不仅深化函数概念，而且常联系着一些重要的解题方法与技巧；如：利用设参数求f (x)的方法，对形如：f[g(x)]h(x)=问题尤为奏效。

例5、已知432f (x 2)x 8x 24x -=-+，求：f (x)。

四、利用参数法解、证解析几何问题解析几何中，参数是个最具“活力”的元素，在求轨迹方程、证明相公结论时，有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x 、y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程或证得结论。

高三数学参数方程的概念

500
垂直高度为y，所以
x 100t,

y

500

1 2
gt 2.（g=9.8m/s2
)
令y 0, 得t 10.10s.
o
x 代入x 100t,得 x 1010m.
所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
可以使其准确落在指定位置.
1、参数方程的概念：
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系
投放点
提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？
？救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
y
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。
500
o
x
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
4. 4 参数方程
4.4.1 曲线参数方程的意义
教学目标 1. 弄清曲线参数方程的概念 2. 能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程
教学重点曲线参数方程的定义及方法
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？

高三数学参数方程的应用3

专题12-1 参数方程与极坐标归类-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(原卷版)

苏教版高中数学选修4-4：参数方程的应用_课件3

参数方程的应用（论文资料）

高三一轮复习精细化数学课件：参数方程(28页)

高三数学参数方程知识点

高三数学参数方程试题答案及解析

参数方程

高三参数方程知识点

参数方程

高考数学二轮复习-专题30 极坐标与参数方程的应用(解析版)

高三数学参数方程试题答案及解析

高三数学专题复习--极坐标与参数方程

高三数学参数方程知识点

高三参数方程练习题

高三关于参数方程的知识点

高三数学复习(理)：第2讲 参数方程

高三数学参数方程的概念(新编201908)

高三数学参数方程的概念

3 例析利用参数法解题题型 -2022届高三数学二轮复习讲义

高三数学参数方程的概念

高三数学复习(理)：第2讲参数方程