D3_3泰勒公式
泰勒公式与三阶
泰勒公式与三阶
泰勒公式是微积分中使用最多的公式之一，它是一种把无限多项式表示为有限项式的方法。
它的英文全称为Taylor Series，又名泰勒级数。
泰勒公式广泛用于计算牛顿-拉夫逊方法，它可以将复杂函数分解为一系列关于某个点的近似函数值，而这些近似值可通过求解有限多项式来计算。
泰勒公式指定了无限级数的和，可以用来估计函数值在某个点周围的值，并且可以用来计算积分。
泰勒公式的最常见的形式是三阶级数，它可以表示任何函数的在某处的近似值。
在三阶级数中，f（x）可以用比f（a）更少的函数来表示，它可以被表示为
f（x）=f（a）+ f（a）（x-a）+ f（a）/2*（x-a）+f（a）/6*（x-a）
三阶级数有一个明显的优势就是它可以更容易地计算和表示比f （a）更接近的函数值，它可以用来估计更高阶的导数值，也可以用来估计更精确的定积分的函数值。
所以三阶级数可以估计函数的值，并且可以更加准确。
三阶级数的应用非常广泛，它可以用来求解各种函数的有理近似值，包括实数函数、复数函数等，并且可以用来求解积分。
此外，三阶级数还可以用来求解微分方程，可以用三阶级数来估计微分方程的近似解，以及求解泰勒公式。
总之，泰勒公式和三阶级数非常重要，它是微积分中最重要的工具之一。
由于它可以用来估计函数的值，可以更加准确地求解微分方
程和求积分，从而极大地提高计算效率。
在学习和使用泰勒公式和三阶级数时，应加强对其背后的概念的理解，以此来提高自身的学习能力。
常用泰勒公式
简介在数学上, 一个定义在开区间(a-r, a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数这里，n!表示n的阶乘而f?(n)(a) 表示函数f在点a处的n阶导数。
如果泰勒级数对于区间(a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。
当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。
为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。
上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。
如果a = 0, 那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。
泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。
第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。
对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。
例如，分段函数f(x) = exp(?1/x2) 当x≠ 0 且f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x = 0 处为零。
而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时 exp(? 1/z2) 并不趋于零。
一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。
但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。
例如，f(x) = exp(?1/x2) 就可以被展开为一个洛朗级数。
Parker-Sockacki theorem是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。
这个定理是对Picard iteration一个推广。
[编辑]泰勒级数列表下面我们给出了几个重要的泰勒级数。
它们对于复参数x依然成立。
指数函数和自然对数:几何级数:二项式定理:三角函数:双曲函数:Lambert's W function:tan(x) 和 tanh(x) 展开式中的B k是Bernoulli numbers。
D3_3泰勒公式 ppt课件
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
f (0) 2 f ( n ) (0) n f (x) f (0) f (0) x x x f ( x0 ) n2 x 2! f (x) f ( x0 ) f ( x0 )( x 10 ) ( x x0 )! M 若在公式成立的区间上 f ( n ) ( x) 2 ! , 则有误差估计式 f ( n ) ( x0 ) f ( n1) ( ) n 1 ( x x0 ) n M n 1 ( x x0 ) n ! Rn ( x) (n x1) ! ( n 1) ! ( 在 x0 与 x 之间)
1 1 e 11 (0 1) 2! n ! (n 1) ! 由于 0 e e 3, 欲使 3 106 Rn (1) (n 1) !
麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束
由此得近似公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式
( x) e ,
x
f
(k )
x
f ( k ) (0) 1 (k 1, 2 ,)
x x3 xn e 1 x Rn (x) 2! 3! n!
其中
2
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f ( x) sin( x k ) 2 k 2m 0, (k ) (m 1, 2 ,) f (0) sin k 2 ( 1) m 1 , k 2m 1
n2
a2
1 p ( x ) 1 2! n 0 2 !
f ( x0 ) , , an
f ( n) ( x0 )
故 pn (x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
D3_3Talyor公式
k
函数f (x) 在 x0 处n阶Taylor多项式与函数f (x) 在 x0 处零至n阶导数相等。
k f ( x0 ) k k . 即 满足 Pn ( x0 ) f ( x0 ) 1 k n. 则 ak k!
2） 若n次多项式 Pn ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
n 1
n 1
lim f
lim
x x0
n 1
( x) Tn ( x) n ! x x0
n n
f
n
( x) Tn ( x ) f n!
( x0 ) Tn ( x0 ) 0 n!
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n
定理 3（Larange) 设函数f (x) 在区间I有n+1阶
f
k
( x0 ) Tn ( x0 ) 0 k 0,1, , n
k
, 法则就得到 接连 n 1 次使用 LHospital
计算
( x) Tn ( x) n ! x x0
n 1
x x0
lim
f ( x) Tn ( x )
x x0
或 即
f ( x) Tn ( x) o x x0 Rn ( x) o x x0
n
n
（2）称（ # ）为带Peano型余项的Taylor公式。
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证明 注意到Tn ( x) 为函数f (x) 在x0处n阶Taylor多项式，故
泰勒公式原理
泰勒公式原理泰勒公式是数学中的一个重要定理，它描述了一个函数在某一点附近的局部近似。
这个公式由苏格兰数学家布鲁克·泰勒在18世纪提出，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
泰勒公式的原理是基于函数在某一点的导数值和高阶导数值来进行近似展开，从而可以用多项式来近似表示函数的值。
在实际应用中，泰勒公式可以帮助我们更好地理解函数的性质，进行数值计算和物理建模等工作。
首先，我们来看一下泰勒公式的基本形式。
对于一个充分光滑的函数f(x)，在点a处展开的泰勒公式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! +f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(a)代表函数在点a处的值，f'(a)代表函数在点a处的一阶导数的值，f''(a)代表函数在点a处的二阶导数的值，以此类推。
展开的项数可以是有限的，也可以是无限的，取决于我们需要多精确的近似。
泰勒公式的原理是通过利用函数在某一点的导数值和高阶导数值来构造一个多项式，使得这个多项式在该点的函数值和函数的各阶导数值都与原函数在该点的值相近。
这样，我们就可以用这个多项式来近似表示原函数在该点附近的取值，从而更方便地进行计算和分析。
泰勒公式的应用非常广泛。
在数学中，它常常被用来证明函数的性质，计算函数的极限、导数和积分等。
在物理学和工程学中，泰勒公式可以被用来建立物理模型，进行数值计算和仿真分析。
在计算机科学中，泰勒公式也被广泛应用于数值计算和优化算法中。
总之，泰勒公式是一个非常重要的数学工具，它可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质，进行数值计算和物理建模等工作。
通过对泰勒公式的深入理解和应用，我们可以更好地解决实际问题，推动科学技术的发展。
希望本文对泰勒公式的原理有所帮助，也希望读者能够在实际工作中灵活应用这一重要的数学工具。
泰勒常用公式
泰勒常用公式泰勒常用公式的基本形式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)是函数在点x处的值，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的一阶导数的值，f''(a)是函数在点a处的二阶导数的值，f'''(a)是函数在点a处的三阶导数的值，以此类推。
在这个无穷级数中，每一项都是函数在点a处的导数与自变量x与a之差的幂的乘积，再除以相应的阶乘。
泰勒常用公式的本质是将一个函数在某一点附近的局部行为用一个无穷级数来逼近。
通过考虑足够多的项，我们可以得到一个非常接近原函数的近似值。
这对于计算机科学中的数值计算非常有用，因为我们可以用有限的项来计算一个函数的值，而不需要进行复杂的数学运算。
泰勒常用公式的应用非常广泛。
在物理学中，我们经常需要对物理现象进行建模和计算。
通过使用泰勒常用公式，我们可以将一个复杂的物理过程用一个简单的数学函数来表示，从而更方便地进行计算和分析。
在工程学中，泰勒常用公式可以用于设计和优化各种工程系统。
在计算机科学中，泰勒常用公式可以用于图像处理、机器学习等领域，从而提高计算的效率和准确性。
泰勒常用公式的应用还有一些限制。
首先，它只适用于光滑的函数，也就是可以无限次求导的函数。
对于一些不光滑的函数，如阶梯函数或绝对值函数，泰勒常用公式并不适用。
其次，泰勒常用公式只在某一点的附近有效，对于整个定义域来说并不一定准确，特别是在函数的极值点附近。
此外，泰勒常用公式在计算中也存在误差累积的问题，随着项数的增加，误差也会逐渐累积，因此需要在实际应用中进行适当的调整和控制。
总结起来，泰勒常用公式是一个非常重要的数学工具，用于将一个函数在某一点的附近用无穷级数来表示。
它的应用广泛，可以用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！引言在我们解决一些数学问题中，泰勒公式是一个极为有用的公式。
当解决某些比较复杂的函数时，泰勒公式可以把这些复杂的函数近似的表示为一种简单的多项式函数，这会使我们减少了许多不必要的麻烦，起到事半功倍的作用。
泰勒公式是我们解决一些代数和数值计算发挥了决定性的作用。
本文通过对其定义及其展开式、常见的展开式和余项进行介绍，总结泰勒公式在解决许多数学问题中常见的应用，即求函数的极限、在等式与不等式方面、在近似计算上、在证明中值公式中、判断级数及积分收敛中、求函数高阶导、判断函数的极值点中、在界的估计方面、求行列式的值方面的应用[2-16]，并通过例题对其应用进行解释说明。
第一章泰勒公式泰勒公式的背景及意义英国著名的数学家布鲁克•泰勒，是十八世纪早期英国牛顿学派的杰出代表人物之一，1685年出生于米德尔赛克斯的埃德蒙，泰勒公式得名于他。
泰勒一生中有许多著作，其中主要的著作是《正和得增量方法》，书中描述了他在1712年7月给他的老师梅钦（数学家，天文学家）信中首先提出的著作定理——泰勒公式[1]。
在数学分析中，对于我们解决某些问题，比如我们常常会碰到一些比较复杂的函数，为了解决此类问题，可以利用泰勒公式将复杂的问题变成简单的作用，将这些复杂的函数转化为常见的、简单的多项式，这样我们就能够更简便的解决出问题。
可以看出这对某些函数值的计算和函数形态的研究都具有极为重要的意义。
泰勒公式的意义是：一个多项式，它是函数关于的n次多项式，用它与函数作差后所得的是比高阶的无穷小，并给出其误差，这样就为研究和计算一些比较复杂的函数和估计误差提供了有效的方法。
泰勒公式是由关于的n次多项式以及余项组成的，下面来探讨一下：当时，有是的曲线在点处的切线（方程），称为曲线在点的一次密切[2]。
泰勒公式
个 n次多项式与一个余项Rn ( x) 之和:
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
f
(n) ( x0 n!
)(
x
x0
)n
Rn (
x),
其中
Rn ( x)
f (
(n1) ( )
n 1)!
(
x
x0
)n1
( 在 x0与 x之间).
证明 由题设,Rn( x)在(a,b)内具有直到 (n 1) 阶导数, 且 Rn ( x0 ) Rn'( x0 ) Rn( x0 )
f
(n) ( x0 n!
)(
x
x0
)n
Rn
(
x),
泰勒(Taylor)中值定理
综合得到泰勒公式:
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn
(
x),
Rn ( x)
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x0 )n1
拉格朗日型余项
)n1
(2在 x0与1 之间)
如此下去, 经过 n 1次后, 有
Rn ( x) ( x x0 )n1
R ( n1) n
(
)
(n 1)!
( 在 x0 与n 之间, 也在
x0
与
x
之间), 因为
P (n1) n
(
x)
0,
所以
R ( n1) n
(
x)
f ( (n1) x),
泰勒(Taylor)中值定理
泰勒公式的所有形式
泰勒公式的所有形式泰勒公式是数学分析中一个非常重要的概念，它可以将一个复杂的函数用一系列简单的多项式函数来近似表示。
下面咱就来好好唠唠泰勒公式的各种形式。
咱先从最常见的泰勒公式形式说起。
对于一个在某点具有足够阶导数的函数 f(x) ，它在点 x = a 处的泰勒公式可以写成：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + [f''(a)/2!](x - a)^2 + [f'''(a)/3!](x - a)^3 +... + [f^(n)(a)/n!](x - a)^n + R_n(x)这里的 f^(n)(a) 表示 f(x) 在点 a 的 n 阶导数，n! 表示 n 的阶乘，R_n(x) 是余项。
给您举个小例子，比如说咱要研究函数 f(x) = e^x 在 x = 0 处的泰勒展开。
那先算导数，f'(x) = e^x ，f''(x) = e^x ，一直算下去会发现f^(n)(x) 还是 e^x 。
所以在 x = 0 处，f(0) = 1 ，f'(0) = 1 ，f''(0) = 1 ，依次类推，f^(n)(0) = 1 。
那它的泰勒展开就是：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! +... + x^n/n! +...您看，这就把复杂的指数函数用简单的多项式给近似表示出来啦。
还有一种带佩亚诺余项的泰勒公式。
这种形式常用于求函数在某点的极限。
比如说，函数 f(x) 在点 x = a 处的泰勒公式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + [f''(a)/2!](x - a)^2 + [f'''(a)/3!](x - a)^3 +... + [f^(n)(a)/n!](x - a)^n + o((x - a)^n)这里的 o((x - a)^n) 就是佩亚诺余项。
常见泰勒公式展开式
常见泰勒公式展开式泰勒公式是数学中一个非常重要的概念，用于将一个函数在其中一点的邻域展开成无穷级数的形式。
它是由苏格兰数学家布鲁克·泰勒于18世纪提出并发展起来的，被广泛应用于数学、物理、工程等科学领域。
泰勒公式的一般形式可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中，f(x)是待展开的函数，a是展开点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等表示函数f(x)在点a处的一阶、二阶、三阶...导数。
泰勒公式的展开式可以有多个不同形式，根据被展开函数的性质和所需要的精度选择不同的展开。
1.一阶泰勒展开式（线性近似）：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)这是最简单的展开形式，适用于在展开点附近做小幅度的近似计算。
一阶泰勒展开式将函数以直线近似表示。
2.二阶泰勒展开式（二次近似）：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2二阶泰勒展开式考虑了函数的二阶导数，可以提供更精确的近似计算。
3.麦克劳林展开（多项式近似）：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...麦克劳林展开是泰勒展开的一种特殊形式，用于将函数展开成无穷级数的形式。
它假设被展开函数在展开点附近的各阶导数都存在。
麦克劳林展开常用于求解初等函数的近似表达式。
4.泰勒级数：有时，麦克劳林展开可以表示为泰勒级数的形式：f(x) = ∑(n=0 to ∞) [fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!]其中，fⁿ(a)表示函数f(x)的n阶导数在点a处的值。
常见函数泰勒公式展开式大全
常见函数泰勒公式展开式大全函数的泰勒公式是数学中非常重要的工具之一。
它可以将一个函数在某一点附近展开成一列无穷级数，从而方便我们进行更深入的研究和计算。
在数学中，常见的函数泰勒公式展开式包括：1. 指数函数的泰勒展开式：e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + (x^4)/4! + ...2. 正余弦函数的泰勒展开式：cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...3. 自然对数函数的泰勒展开式：ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...4. 幂函数的泰勒展开式：(1+x)^n = 1 + nx + (n(n-1)x^2)/2! + (n(n-1)(n-2)x^3)/3! + ...5. 反正切函数的泰勒展开式：arctan(x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + ...这些展开式在数学和工程领域中被广泛应用。
它们可以用于近似计算，求解微分方程，以及研究函数的性质和行为。
泰勒公式展开式的精确性取决于展开点的选择和展开的级数项的截断。
一般来说，如果函数在展开点附近具有光滑的性质，那么展开式的精度会更高。
但是，需要注意的是，展开式并不一定在整个定义域都收敛，所以在具体应用中需要注意选择合适的展开点和级数项截断。
总之，泰勒公式展开式是一种非常有用的数学工具，可以帮助我们更好地理解和研究各种函数。
熟练掌握这些常见函数的泰勒展开式，将有助于我们在数学和科学领域中进行更精确的计算和分析。
泰勒公式展开式大全
泰勒公式展开式大全泰勒公式是微积分中的一个重要概念，它可以将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的形式，从而可以用多项式来逼近原函数。
泰勒公式的应用非常广泛，涉及到物理、工程、经济等各个领域。
在本文中，我们将介绍泰勒公式的基本概念和展开式的计算方法，并列举一些常见函数的泰勒展开式，希望能对读者有所帮助。
首先，我们来看泰勒公式的基本形式。
对于一个充分光滑的函数f(x)，在点x=a处的泰勒展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... 。
其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a处的二阶导数，以此类推。
展开式中的每一项都可以由原函数在点x=a处的导数来确定，这就是泰勒展开式的基本思想。
接下来，我们将列举一些常见函数的泰勒展开式。
首先是指数函数e^x，在点x=0处的泰勒展开式为：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...这个展开式实际上就是指数函数的麦克劳林展开式，它在数学分析和物理计算中有着广泛的应用。
另一个常见的函数是三角函数sin(x)，在点x=0处的泰勒展开式为：sin(x) = x x^3/3! + x^5/5! x^7/7! + ...这个展开式可以用来近似计算sin(x)的值，尤其是在计算机程序中经常会用到。
除了指数函数和三角函数，对数函数ln(1+x)的泰勒展开式也是非常重要的。
在点x=0处的展开式为：ln(1+x) = x x^2/2 + x^3/3 x^4/4 + ...这个展开式在微积分和数学分析中有着重要的应用，可以用来近似计算对数函数的值。
除了这些常见的函数，泰勒展开式还可以用于其他各种函数的近似计算。
通过计算函数在某一点处的导数，我们可以得到它的泰勒展开式，从而可以用多项式来逼近原函数。
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二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用— 应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒 ( Taylor )公式第三章特点:)(01x p ′)(0x f =)(0x f ′=一、泰勒公式的建立)(x f xy)(x f y =o))(()(000x x x f x f −′+≈)(1x p 以直代曲0x )(1x p )(01x p 在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题如何提高精度 ?如何估计误差 ?xx 的一次多项式1. 求 n 次近似多项式要求:,)(x p n )(0!212x p a n′′=,)(0x f ′′=,L )(0)(!1x p a n n n n =)(0)(x fn =故=)(x p n )(0x f ))((00x x x f −′+L +!21!1n n n x x x f ))((00)(−+!1n 200))((x x x f −′′+!21令=)(x p n 则=′)(x p n =′′)(x p n L L L L n a n !=)()(x p n n )(00x p a n =,)(0x f =,)()(00x f x p n =)(01x p a n ′=,)(0x f ′=1a )(202x x a −+10)(−−++n n x x a n L 2!2a 20)()1(−−−++n n x x a n n L ,)()(00x f x p n ′=′)()(,0)(0)(x f x p n n n =L 0a nn x x a x x a x x a )()()(020201−++−+−+L)0(之间与在n x ξξ )( )(10+−=n n x x x R )(2)1( )(0)(x n R n n n n −+=ξξL 2. 余项估计)()()(x p x f x R n n −=令(称为余项) ,)(0x R n )(0x R n′=0)(0)(===x R n n L 10)()(+−n n x x x R n n x n R ))(1()(011−+′=ξξ ))(1( )(011n n x n R −+′=ξξ1022)()1()(−−+′′=n n x n n R ξξL=!)1()()1(+=+n R n n ξ则有)(0x R n −0−)(0x R n ′−0−)(0)(x R n n −0−x )01(之间与在x x ξ)102(之间与在ξξx)()()(x p x f x R n n −=10)()(+−n n x x x R !)1()()1(+=+n R n n ξ)0(之间与在x x ξ,0)()1(=+x p n n Q10)1()(!)1()()(++−+=n n n x x n fx R ξ)()()1()1(x fx R n n n ++=∴时的某邻域内当在M x f x n ≤+)()1(0)0(之间与在x x ξ1!)1()(+−+≤n n x x n M x R )())(()(00x x x x o x R nn →−=∴公式 ① 称为的 n 阶泰勒公式 .)(x f 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .泰勒中值定理 :内具有的某开区间在包含若),()(0b a x x f 1+n 直到阶的导数 ,),(b a x ∈时, 有=)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+200)(!2)(x x x f −′′+L+n n x x n x f )(!)(00)(−+)(x R n +①其中10)1()(!)1()()(++−+=n n n x x n fx R ξ②则当)0(之间与在x x ξ公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano Peano)) 余项 .在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为L+=)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+200)(!2)(x x x f −′′+n n x x n x f )(!)(00)(−+])[(0n x x o −+])[()(0nn x x o x R −=注意到③④* 可以证明:阶的导数有直到在点n x x f 0)(④ 式成立特例:(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为=)(x f )(0x f ))((0x x f −′+ξ(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理=)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+20)(!2)(x x f −′′+ξ可见≈)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+201)(!2)()(x x f x R −′′=ξ误差=)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+L +10)1()(!)1()(++−++n n x x n f ξ200)(!2)(x x x f −′′+n n x x n x f )(!)(00)(−+fd )0(之间与在x x ξ)0(之间与在x x ξ)0(之间与在x x ξ)0(之间与在x x ξ称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .,)10(,00<<==θθξx x 则有=)(x f )0(f x f )0(′+L +1)1(!)1()(++++n n x n x f θ2!2)0(x f ′′+nn xn f !)0()(+在泰勒公式中若取=)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+L +10)1()(!)1()(++−++n n x x n f ξ200)(!2)(x x x f −′′+n n x x n x f)(!)(00)(−+)0(之间与在x x ξ≈)(x f )0(f x f )0(′+L +,)()1(M x fn ≤+则有误差估计式1!)1()(++≤n n x n M x R 2!2)0(x f ′′+nn x n f !)0()(+若在公式成立的区间上由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式xe xf =)()1(,)()(xk e x f =Q),2,1(1)0()(L ==k fk xe ∴1=x +!33x +L +!n xn+)(x R n +!22x +其中=)(x R n !)1(+n )10(<<θ1+n x xe θ)sin(+x xx f sin )()2(==)()(x f k Q x sin ∴x =!33x −!55x +!)12(12−+−m x m )(2x R m +其中=)(2x R m )sin(212πθ++m x 2π⋅k 2sin )0()(πk f k =⎩⎨⎧=m k 2=,012−=m k ,)1(1−−m ),2,1(L =m L −1)1(−−m )10(<<θ12+m x!)12(+m )cos()1(x m θ−!)2(2m x m+xx f cos )()3(=类似可得x cos 1=!22x −!44x +)(12x R m ++其中=+)(12x R m !)22(+m )cos()1(1x m θ+−)10(<<θL +m )1(−22+m x)1()1()()4(−>+=x x x f α=)()(x f k Qα)1(x +∴1=x α+2x n x )(x R n +其中=)(x R n 11)1(!)1()()1(+−−++−−n n xx n n αθαααL )10(<<θkx k −++−−αααα)1)(1()1(L )1()1()0()(+−−=k fk αααL L+),2,1(L =k !2 +)1(−αα!n +)1()1(+−−n αααL)1()1ln()()5(−>+=x x x f 已知)1ln(x +x =22x −33x +nx n+)(x R n +其中=)(x R n 11)1(1)1(++++−n n n x xn θ)10(<<θL −1)1(−−n 类似可得=)()(x f k kk x k )1(!)1()1(1+−−−),2,1(L =k三、泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应用误差1!)1()(++≤n n x n M x R M 为)()1(x fn +在包含 0 , x 的某区间上的上界.需解问题的类型:1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.≈)(x f )0(f x f )0(′+L +2!2)0(x f ′′+nn xn f !)0()(+已知例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过.106−解:xe !)1(++n x e θ1+n x 令 x = 1 , 得e )10(!)1(!1!2111<<++++++=θθn en L )10(<<θ由于,30<<<e e θ欲使)1(n R !)1(3+<n 610−<由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此e !91!2111++++≈L 718281.2=x e 1=x +!33x +L +!n x n +!22x +的麦克劳林公式为说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后 6 位,则各项舍入误差之和不超过,105.076−××总误差为6105.07−××610−+6105−×<这时得到的近似值不能保证误差不超过.106−因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .e !91!2111++++≈L例2. 用近似公式!21cos 2xx −≈计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.解:近似公式的误差)cos(!4)(43x xx R θ=244x ≤令005.0244≤x解得588.0≤x 即当588.0≤x 时, 由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005 .2. 利用泰勒公式求极限例3. 求.43443lim 20xx x x −−++→解:由于x 4312+=43+x 21)1(43x +[] 2=)(14321x ⋅+⋅+!21)1(2121−243)(x )(2x o +用洛必塔法则不方便 !2x 用泰勒公式将分子展到项,11)1(!)1()()1(+−−++−−+n n x x n n αθαααL n x ! n +)1()1(+−−n αααL α)1(x +1=x α+2x L +!2 +)1(−αα)10(<<θx 34−21)1(243x −=2=20 lim xx →=∴原式)(2216921x o x +⋅−329−=x 43−)(2216941x o x +⋅−2=x 43+)(2216941x o x +⋅−11)1(!)1()()1(+−−++−−+n n x x n n αθαααL n x !n +)1()1(+−−n αααL α)1(x +1=x α+2x L +!2 +)1(−αα)10(<<θ3. 利用泰勒公式证明不等式例4. 证明).0(82112>−+>+x xx x 证:21)1(1x x +=+Q21x +=2)121(21!21x −⋅+325)1)(221)(121(21!31xx −+−−⋅+θ)10(<<θ3225)1(161821x x x x −++−+=θ)0(82112>−+>+∴x x x x内容小结1. 泰勒公式其中余项))((0nx x o −=当00=x 时为麦克劳林公式 .=)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+200)(!2)(x x x f −′′+L+n n x x n x f )(!)(00)(−+)(x R n +10)1()(!)1()()(++−+=n n n x x n fx R ξ)0(之间与在x x ξ2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P140 ~ P142 ),x e ,)1ln(x +,sin x ,cos x α)1(x +3. 泰勒公式的应用(1) 近似计算(3) 其他应用求极限 , 证明不等式 等.(2) 利用多项式逼近函数 , x sin 例如4224642024612!)12()1(9!917!715!513!311sin −−−−+++−+−=n n x xx x x x x n L )(2nx o +!33x x y −=!5!353x x x y +−=!7!5!3753x xx x y −+−=xy sin =x y =xsin 泰勒多项式逼近12!)12()1(9!917!715!513!311sin −−−−+++−+−=n n x xx x x x x n L )(2nx o +xsin 4224642246xy sin =!9!7!5!39753x x x xx y +−+−=!11!9!7!5!3119753x x x x x x y −+−+−=泰勒多项式逼近思考与练习计算.3cos 2lim 402xx ex x −+→)(!2114422x o x x e x +++=Q )(!4!21cos 542x o x x x ++−=)()!412!21(3cos 2442x o x x e x +⋅+=−+∴127)(lim 4441270=+=→xx o x x 解:原式作业P143 1 ;4 ; 5 ; 7 ; 8;10(1),(2)泰勒(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一 , 重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《线性透视论》(1719)他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .他是有限差分理论的奠基人 .麦克劳林(1698–1746)英国数学家,著作有:《流数论》(1742)《有机几何学》(1720)《代数论》(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数 .,]1,0[)(上具有三阶连续导数在设函数x f ,0)(,2)1(,1)0(21=′==f f f .24)(,≥′′ξξf 使一点=)(x f )(21之间与在其中x ζ,]1,0[∈x 由题设对证:备用题 1.321))((!31−′′′+x f ζ)(21f221)(−x )(!2121f ′′+))((2121−′+x f有)(21f =221)(−x )(!2121f ′′+321))((!31−′′′+x f ζ内至少存在证明)1,0(且得分别令,1,0=x)),0((211∈ζ)(21f=))1,((212∈ζ3211)(!3)(−′′′+ζf 3212)(!3)(ζf ′′′+)0(1f =)(21f =22121)(!2)(−′′+f )1(2f =22121)(!2)(f ′′+=1下式减上式 , 得[])()(48112ζζf f ′′−′′[])()(48112ζζf f ′′+′′≤)(241ξf ′′≤)10(<<ξ令))(,)((max )(12ζζξf f f ′′′′=′′24)(≥′′ξfe )10(!)1(!1!2111<<++++++=θθn en L 两边同乘 n !e n != 整数 +)10(1<<+θθn e假设 e 为有理数qp( p , q 为正整数) ,则当时,q n ≥等式左边为整数;矛盾 !2. 证明 e 为无理数 .证:2≥n 时,当故 e 为无理数 .等式右边不可能为整数.。
常用泰勒公式
常用泰勒公式泰勒公式是微积分中非常重要且常用的数学工具，它可以将一个光滑函数在一些点附近展开成一个幂级数。
这个级数可以用来近似计算函数的值或者研究函数的性质，对于数学分析和物理学等领域都有广泛的应用。
本文将讨论常用的泰勒公式，以及它们的推导和应用。
在数学中，给定一个函数f(x)，我们希望在一些点a附近用一个多项式来近似表示它，那么泰勒公式就是这个多项式的展开式。
它的一般形式可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...这里f'(x)表示函数f(x)的一阶导数，f''(x)表示函数f(x)的二阶导数，依此类推。
上式中的a表示展开点。
泰勒公式的推导需要使用泰勒定理，即函数在展开点a附近满足若干阶导数连续的条件。
根据泰勒定理，我们可以得到泰勒公式的不同形式。
接下来，我们将讨论常用的几种泰勒公式及其推导与应用。
1.麦克劳林级数：当展开点a=0时，泰勒公式就变成了麦克兰林级数。
对于一个在原点附近光滑的函数f(x)，它的麦克兰林级数可以表示为：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...例如，可以使用麦克兰林级数来近似计算指数函数e^x的值：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...通过不断增加级数的项数，我们可以得到越来越精确的近似值。
这在计算机科学和工程学中经常用到。
2.海涅级数：当展开点a不等于零时，泰勒公式变成了海涅级数。
它可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...通过选择合适的展开点，海涅级数可以用来近似计算函数在该点附近的值。
泰勒公式的两种形式
泰勒公式的两种形式
泰勒公式的两种形式，一类是定性的皮亚诺形式，另一类是定量的拉格朗日形式。
这两类形式本质相同，但是作用不同。
一般来说，当不需要定量讨论形式时，可用皮亚诺形式（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）。
当需要定量讨论形式时，要用拉格朗日形式（如利用泰勒公式近似计算函数值）。
扩展资料：
泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。
泰勒公式得名于XX数学家XX，他在XXXX年的一封信里首次叙
述了这个公式。
泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。
泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具.
泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。
利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。
泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明
等方面。
泰勒公式口诀 指对一二三
泰勒公式口诀指对一二三
泰勒公式，又称泰勒展开式，是一种用函数在某点的信息描述其附近取值的数学方法。
它在近似计算中有着广泛的应用，尤其在物理、工程等领域。
为了更好地掌握泰勒公式，我们可以通过以下口诀来记忆：
指对一二三，即分别表示泰勒公式中的四个关键要素：阶数、点、函数和求导。
1.阶数：泰勒公式的阶数是指展开式的项数，通常用n表示。
阶数越高，近似程度越好，但计算量也越大。
因此，在实际应用中需要根据精度要求选择合适的阶数。
2.点：泰勒公式中的点是指展开式所针对的自变量的值，通常用x0表示。
在计算过程中，需要将待求函数在该点进行展开。
3.函数：泰勒公式中的函数是指需要进行展开的函数，通常用f(x)表示。
在实际应用中，需要根据具体问题选择适当的函数。
4.求导：泰勒公式的核心思想是将一个复杂的函数在某点附近用一系列简单的多项式来近似表示。
这些多项式是通过对原函数在该点进行n次求导得到的。
因此，熟练掌握求导技巧对于理解和应用泰勒公式至关重要。
总之，通过“指对一二三”这个口诀，我们可以更好地理解和记忆泰勒公式的关键要素。
在实际运用中，我们需要根据具体问题
灵活运用泰勒公式，以达到简化计算、提高精度的目的。
同时，不断练习和积累经验，才能更好地掌握这一强大的数学工具。
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二、几个初等函数的麦克劳林公式第三节一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用应用目的－用多项式近似表示函数.理论分析近似计算泰勒公式 第三章特点:)(01x p ′)(0x f =)(0x f ′=一、泰勒公式的建立)(x f ))(()(000x x x f x f −′+≈)(1x p 以直代曲0x )(1x p )(01x p 在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题如何提高精度 ?如何估计误差 ?xx 的一次多项式x y )(x f y =O1. 求 n 次近似多项式要求:,)(x p n )(0!212x p a n ′′=,)(0x f ′′=,⋯)(0)(!1x p a n n n n =)(0)(x f n =故=)(x p n )(0x f ))((00x x x f −′+⋯+!21!1n n n x x x f ))((00)(−+!1n 200))((x x x f −′′+!21令=)(x p n 则=′)(x p n =′′)(x p n ⋯⋯⋯⋯n a n !=)()(x p n n )(00x p a n =,)(0x f =,)()(00x f x p n =)(01x p a n ′=,)(0x f ′=1a )(202x x a −+10)(−−++n n x x a n ⋯2!2a 20)()1(−−−++n n x x a n n ⋯,)()(00x f x p n ′=′)()(,0)(0)(x f x p n n n =⋯0a n n x x a x x a x x a )()()(020201−++−+−+⋯)0(之间与在n x ξξ )( )(10+−=n n x x x R )(2)1( )(0)(x n R n n n n −+=ξξ⋯2. 余项估计)()()(x p x f x R n n −=令(称为余项) ,)(0x R n )(0x R n ′=0)(0)(===x R n n ⋯10)()(+−n n x x x R n n x n R ))(1()(011−+′=ξξ ))(1( )(011n n x n R −+′=ξξ1022)()1()(−−+′′=n n x n n R ξξ⋯=!)1()()1(+=+n R n n ξ则有)(0x R n −0−)(0x R n ′−0−)(0)(x R n n −0−x )01(之间与在x x ξ)102(之间与在ξξx)()()(x p x f x R n n −=10)()(+−n n x x x R !)1()()1(+=+n R n n ξ)0(之间与在x x ξ,0)()1(=+x p n n ∵10)1()(!)1()()(++−+=n n n x x n f x R ξ)()()1()1(x f x R n n n ++=∴时的某邻域内当在M x f x n ≤+)()1(0)0(之间与在x x ξ10!)1()(+−+≤n n x x n M x R )())(()(00x x x x o x R n n →−=∴公式 ① 称为的 n 阶泰勒公式 .)(x f 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .泰勒(Taylor)中值定理 :内具有的某开区间在包含若),()(0b a x x f 1+n 直到阶的导数 ,),(b a x ∈时, 有=)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+200)(!2)(x x x f −′′+⋯+n n x x n x f )(!)(00)(−+)(x R n +①其中10)1()(!)1()()(++−+=n n n x x n f x R ξ②则当)0(之间与在x x ξ公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为⋯+=)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+200)(!2)(x x x f −′′+n n x x n x f )(!)(00)(−+])[(0n x x o −+])[()(0n n x x o x R −=注意到③④* 可以证明:阶的导数有直到在点n x x f 0)(④ 式成立特例:(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为=)(x f )(0x f ))((0x x f −′+ξ(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理=)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+20)(!2)(x x f −′′+ξ可见≈)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+201)(!2)()(x x f x R −′′=ξ误差=)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+⋯+10)1()(!)1()(++−++n n x x n f ξ200)(!2)(x x x f −′′+n n x x n x f )(!)(00)(−+f d )0(之间与在x x ξ)0(之间与在x x ξ)0(之间与在x x ξ)0(之间与在x x ξ称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .,00=x 则有=)(x f )0(f x f )0(′+⋯+1)1(!)1()(++++n n x n x f θ2!2)0(x f ′′+n n x n f !)0()(+在泰勒公式中若取=)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+⋯+10)1()(!)1()(++−++n n x x n f ξ200)(!2)(x x x f −′′+n n x x n x f )(!)(00)(−+)0(之间与在x x ξ≈)(x f )0(f x f )0(′+⋯+,)()1(M x f n ≤+则有误差估计式1!)1()(++≤n n x n M x R 2!2)0(x f ′′+n n x n f !)0()(+若在公式成立的区间上由此得近似公式,)10(<<=θθξx 记二、几个初等函数的麦克劳林公式x x f e)()1(=,e )()(x k xf =∵),2,1(1)0()(⋯==k f k x e ∴1=x +!33x +⋯+!n x n +)(x R n +!22x +其中=)(x R n !)1(+n )10(<<θ1+n x x θe =)(x f )0(f x f )0(′+⋯+1)1(!)1()(++++n n x n x f θ2!2)0(x f ′′+n n x n f !)0()(+麦克劳林公式 )10(<<θπ)sin(212++m x θ)cos()1(x m θ−)sin(+x xx f sin )()2(==)()(x f k ∵x sin ∴x =!33x −!55x +!)12(12−+−m x m )(2x R m +其中=)(2x R m 2π⋅k 2πsin )0()(k f k =⎩⎨⎧=m k 2=,012−=m k ,)1(1−−m ),2,1(⋯=m ⋯−1)1(−−m )10(<<θ12+m x!)12(+m =)(x f )0(f x f )0(′+⋯+1)1(!)1()(++++n n xn x f θ2!2)0(x f ′′+n n x n f !)0()(+)10(<<θ麦克劳林公式麦克劳林公式!)2(2m x m+xx f cos )()3(=类似可得x cos 1=!22x −!44x +)(12x R m ++其中=+)(12x R m !)22(+m )cos()1(1x m θ+−)10(<<θ⋯+m )1(−22+m x=)(x f )0(f x f )0(′+⋯+1)1(!)1()(++++n n xn x f θ2!2)0(x f ′′+n n x n f !)0()(+)10(<<θ)1(,)1()()4(−>+=x x x f α=)()(x f k ∵α)1(x +∴1=x α+2x n x )(x R n +其中=)(x R n 11)1(!)1()()1(+−−++−−n n x x n n αθααα⋯)10(<<θkx k −++−−αααα)1)(1()1(⋯)1()1()0()(+−−=k fk ααα⋯⋯+),2,1(⋯=k !2 +)1(−αα!n +)1()1(+−−n ααα⋯=)(x f )0(f x f )0(′+⋯+1)1(!)1()(++++n n xn x f θ2!2)0(x f ′′+n n x n f !)0()(+)10(<<θ麦克劳林公式)1()1ln()()5(−>+=x x x f 已知)1ln(x +x =22x −33x +nx n +)(x R n +其中=)(x R n 11)1(1)1(++++−n n n x xn θ)10(<<θ⋯−1)1(−−n 因此可得=)()(x f k kk x k )1(!)1()1(1+−−−),2,1(⋯=k =)(x f )0(f x f )0(′+⋯+1)1(!)1()(++++n n xn x f θ2!2)0(x f ′′+n n x n f !)0()(+)10(<<θ麦克劳林公式三、泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应用误差1!)1()(++≤n n x n M x R M 为)()1(x fn +在包含 0 , x 的某区间上的上界.需解问题的类型:1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.≈)(x f )0(f x f )0(′+⋯+2!2)0(x f ′′+nn x n f !)0()(+例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过.106−解: 已知xe !)1(++n x θe 1+n x令 x = 1 , 得e )10(!)1(e!1!2111<<++++++=θθn n ⋯)10(<<θ由于,3e e 0<<<θ欲使)1(n R !)1(3+<n 610−<由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此e !91!2111++++≈⋯ 2.718282≈xe 1=x +!33x +⋯+!n x n+!22x +的麦克劳林公式为说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后 6 位,则各项舍入误差之和不超过,105.076−××总误差限为6105.07−××610−+6105−×<这时得到的近似值不能保证误差不超过.106−因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .e !91!2111++++≈⋯例2. 用近似公式!21cos 2xx −≈计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.解: 近似公式的误差)cos(!4)(43x xx R θ=244x ≤令005.0244≤x解得588.0≤x 即当588.0≤x 时, 由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005 .2. 利用泰勒公式求极限例3. 求.43443lim 20xx x x −−++→解:由于x 4312+=43+x 21)1(43x +[] 2=)(14321x ⋅+⋅+!21)1(2121−243)(x )(2x o +用洛必达法则不方便 !2x 用泰勒公式将分子展到项,11)1(!)1()()1(+−−++−−+n n x x n n αθααα⋯n x ! n +)1()1(+−−n ααα⋯α)1(x +1=x α+2x ⋯+!2 +)1(−αα)10(<<θx 34−21)1(243x −=2=20 lim xx →=∴原式)(2216921x o x +⋅−329−=x 43−)(2216941x o x +⋅−2=x 43+)(2216941x o x +⋅−11)1(!)1()()1(+−−++−−+n n x x n n αθααα⋯n x ! n +)1()1(+−−n ααα⋯α)1(x +1=x α+2x ⋯+!2 +)1(−αα)10(<<θ3. 利用泰勒公式证明不等式例4. 证明).0(82112>−+>+x xx x 证:21)1(1x x +=+∵21x +=2)121(21!21x −⋅+325)1)(221)(121(21!31xx −+−−⋅+θ)10(<<θ3225)1(161821x x x x −++−+=θ)0(82112>−+>+∴x x x x +内容小结1. 泰勒公式其中余项))((0nx x o −=当00=x 时为麦克劳林公式 .=)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+200)(!2)(x x x f −′′+⋯+n n x x n x f )(!)(00)(−+)(x R n +10)1()(!)1()()(++−+=n n n x x n fx R ξ)0(之间与在x x ξ2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P142 ~ P144 ),e x ,)1ln(x +,sin x ,cos x α)1(x +3. 泰勒公式的应用(1) 近似计算(3) 其他应用求极限 , 证明不等式 等.(2) 利用多项式逼近函数 x sin 例如泰勒多项式逼近12!)12()1(9!917!715!513!311sin −−−−+++−+−=n n xx x x x x x n ⋯)(2nx o +!33x x y −=!5!353x x x y +−=!7!5!3753x x x x y −+−=xy sin =x y =xsin 6422464224xy O泰勒多项式逼近12!)12()1(9!917!715!513!311sin −−−−+++−+−=n n xx x x x x x n ⋯)(2nx o +xsin xy sin =!9!7!5!39753x x x x x y +−+−=!11!9!7!5!3119753x x x x x x y −+−+−=642246Ox4224y思考与练习计算.3cos 2e lim 42xx xx −+→)(!211e4422x o x x x+++=∵)(!4!21cos 542x o x x x ++−=)()!412!21(3cos 2e 442x o x x x +⋅+=−+∴127)(lim4441270=+=→xx o x x 解:原式作业P145 1 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8;*10 (1), (2)泰勒(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一 , 重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《线性透视论》(1719)他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .他是有限差分理论的奠基人 .麦克劳林(1698–1746)英国数学家,著作有:《流数论》(1742)《有机几何学》(1720)《代数论》(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数 .,]1,0[)(上具有三阶连续导数在设函数x f ,0)(,2)1(,1)0(21=′==f f f .24)(,≥′′ξξf 使一点=)(x f )(21之间与在其中x ζ,]1,0[∈x 证: 由题设对备用题 1.321))((!31−′′′+x f ζ)(21f221)(−x )(!2121f ′′+))((2121−′+x f有)(21f =221)(−x )(!2121f ′′+321))((!31−′′′+x f ζ内至少存在证明)1,0(且得分别令,1,0=x)(21之间与在其中x ζ)()(21f x f =221)(−x )(!2121f ′′+321))((!31−′′′+x f ζ)(241ξf ′′≤24)(≥′′ξf )),0((211∈ζ)(21f =))1,((212∈ζ3211)(!3)(−′′′+ζf 3212)(!3)(ζf ′′′+)0(1f =)(21f =22121)(!2)(−′′+f )1(2f =22121)(!2)(f ′′+=1下式减上式 , 得[])()(48112ζζf f ′′−′′[])()(48112ζζf f ′′+′′≤)10(<<ξ令))(,)((max )(12ζζξf f f ′′′′=′′e )10(!)1(e!1!2111<<++++++=θθn n ⋯两边同乘 n !e !n = 整数 +)10(1e<<+θθn 假设 e 为有理数qp( p , q 为正整数) ,则当时,q n ≥等式左边为整数;矛盾 !2. 证明 e 为无理数 .证:2≥n 时,当故 e 为无理数 .等式右边不可能为整数.。