人教版高数选修2-3第一章1.3二项式定理(教师版)-精选学习文档

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人教课标版高中数学选修2-3：《二项式定理(第1课时)》教案-新版

1.3 二项式定理第一课时一、教学目标 1．核心素养通过二项式定理的推导过程的学习，提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的数学思想，增强学生的逻辑推理能力. 2．学习目标(1)初步掌握求二项展开式.(2)熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 3．学习重点熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 4．学习难点熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（阅读教材完成）1.二项式定理：=+nb a ）（； 2.(1)n b a ）（+的二项展开式中共有项； (2)二项式系数：；(3)二项展开式的通项公式：=+1r T ，它是展开式的第项. 2．预习自测1.二项式91()x x-的展开式的第3项是( )A ．－84x 3B ．84x 3C ．－36x 5D ．36x 5 解：D2．(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．21 解：D3．在62()x x-的二项展开式中，常数项等于________．解：－160 （二）课堂设计1．知识回顾(1)错误！未找到引用源。

；(2)错误！未找到引用源。

(3)错误！未找到引用源。

2．问题探究问题探究一探究归纳，形成二项式定理●活动一回顾旧知，回忆展开式(a+b)4=(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开式中的各项是什么？思考：ab3是怎样来的？有多少个？引导学生追究每个系数的来源，借助于组合的思想找到规律，从中体会到探索的乐趣.归纳结论：由上面的探索得到：(a+b)4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34ab3+C44b4●活动二大胆猜想(a+b)n展开式中的各项是什么？归纳：一般对于任意的正整数n,有：(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+…+C r n a n-r b r…+C n n b n(n∈N*)并指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理.右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式.各项系数C r n（r=0、1、2、…、n）叫做二项式系数.②式子中的C r n a n-r b r叫做二项展开式的通项.记做：T r+1=C r n a n-r b r.上述结论是从分析了少数特例后，得出了一般的结论，这种方法叫不完全归纳法，还需用数学归纳法证明，但这里教材不要求证明了.问题探究二利用二项式定理能解决问题？1.求二项式的指定项或其系数例1.（1）(1＋x)7的展开式中x2的系数是( )A．42 B．35 C．28 D．21【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选D 依题意可知，二项式(1＋x)7的展开式中x2的系数等于C27×15＝21.（2）在(2x2－1x)5的二项展开式中，x的系数为( )A．10 B．－10 C．40 D．－40【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：D.(2x2－1x)5的展开式的通项为T r＋1＝5rC(2x2)5－r(－1x)r＝5rC25－r(－1)r x10－3 r，令10-3r＝1得，r＝3，∴T4＝35C22(－1)3x＝－40x.∴x的系数是－40.例2.（1）在62()x x-的二项展开式中，常数项等于________．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：-160.由通项公式得T r ＋1＝6r C x 6－r 2()r x-＝(－2)r 6r C x 6－2r，令6－2r ＝0，解得r ＝3，所以是第4项为常数项，T 4＝(－2)336C ＝－160.(2)已知8()ax x-展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选C 由题意知48C ·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38.例3.(1) 在(x －2)5y)4的展开式中x 3y 2的系数为________．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：480 (x －2)5的展开式的通项为T r ＋1＝5r C x 5－r (－2)r ，令5－r ＝3得r ＝2，得x 3的系数25C (－2)2＝40；y)4的展开式的通项公式为T r ＋1＝4r C 4－ry r ，令r ＝2得y 2的系数24C 2＝12，于是展开式中x 3y 2的系数为40×12＝480.(2) 在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是________．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：－15.从4个因式中选取x ，从余下的一个因式中选取常数，即构成x 4项，即－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4，所以x 4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15. 3．课堂总结【知识梳理】二项式定理及其通项公式1.二项式定理：01()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈2.(1)nb a ）（+的二项展开式中共有错误！未找到引用源。

选修2-3第一章1-3-1二项式定理

课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
1 4 x＋解 (1)法一 x 1 2 1 4 3 2 0 1 2 ＝ C43 x ＋ C43 x · ＋ C43 x · ＋ x x 1 3 1 4 3 4 ＋ C4· C43 x · x x 12 1 2 ＝ 81x ＋ 108x＋ 54＋＋ 2. x x 1 4 （ 3x＋ 1） 4 法二 3 x＋＝ x2 x 1 ＝ 2(81x4＋ 108x3＋ 54x2＋ 12x＋ 1) x 12 1 2 ＝ 81x ＋ 108x＋ 54＋＋ 2. x x 5 1 4 2 3 3 2 4 (2)原式＝ C0 5(x－ 1) ＋ C5(x－ 1) ＋ C5(x－ 1) ＋ C5(x－1) ＋ C5(x 5 5 － 1)＋ C5 － 1 ＝ [( x － 1) ＋ 1] － 1 ＝ x － 1. 5
课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练
3
规律方法
运用二项式定理展开二项式，要记准展开式公
式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的
区别．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的
求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．对通项公式的理解 n－ r r n (1)通项 Tr＋1＝ Cr a b 是 ( a ＋ b ) 的展开式的第 r＋ 1 项，这里 r n ＝ 0， 1，…， n. n－ r r n (2)二项式(a＋ b)n 的第 r＋ 1 项 Cr a b 和 ( b ＋ a ) 的展开式的第 r n n－ r r ＋ 1 项 Cr b a 是有区别的，应用二项式定理时，其中的 a 和 b n 是不能随便交换的． (3)注意二项式系数 Cr 二 n与展开式中对应项的系数不一定相等，项式系数一定为正，而项的系数有时可为负． (4)通项公式是在 (a＋ b)n 这个标准形式下而言的，如 (a－ b)n 的二 n－ r r 项展开式的通项公式是 Tr＋1＝ (－ 1)rCr b (只需把－ b 看成 b na n－ r r 代入二项式定理 )，这与 Tr＋ 1＝ Cr a b 是不同的，在这里对应 n 项的二项式系数是相等的都是 Cr 但项的系数一个是 (－ 1)rCr n， n，一个是 Cr n，可看出二项式系数与项的系数是不同的概念．

高中数学选修2-3精品课件：1.3.1 二项式定理

2.二项式系数及通项 (1)(a＋b)n展开式共有 n＋1 项，其中各项的系数Ckn (k∈{0, 1,2，…，n}) 叫做二项式系数 . (2)(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝ Cknan－kbk .
要点一二项式定理的正用、逆用例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式；解方法一 (3 x＋ 1x)4 ＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2·( 1x)2＋C34(3 x)·( 1x)3＋
－1，n为奇数时.
要点二二项展开式通项的应用例 2 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项；解由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，即 n2－9n＋8＝0，解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·(
x
(1)求含x2的项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
解
3
x－ 3 3
n
展开式的通项为Tr1
Cnr
nr
x3
(3)r
r
x3
n2r
Crn (3)r x 3 .
x
第6项为常数项，即r＝5，
n－2r 且 3 ＝0，∴n＝10.
n－2r (1)令 3 ＝2，得
r＝21(n－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
第一章——
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测

人教版高中数学选修2-3教案：1.3.1二项式定理

§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。

【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。

【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。

如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。

问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。

人教版高数选修2-3第一章1.3二项式定理(学生版)-精选教育文档

高中数学(人教选修2-3)配套课件第一章 1.3.1 二项式定理与二项展开式

栏目链
接
(2)S＝C40(x－1)4＋C41(x－1)3×21＋C42(x－1)2×22＋C34(x－
1)×23＋C4424＝[(x－1)＋2]4＝(x＋1)4.故选 D.
答案：(1)1＋4x＋x62＋x43＋x14 (2)D
点评：解决这一问题的关键是弄清二项式展开式左右两边的结构特征，这样我们就能够将一个二项式展开，若一个多项式符合二项展开式右边的结构特征，我们也能够将它表示成左边的形式．
(1)展开式的第四项的二项式系数为＝120.
(2)展开式的第四项的系数为 ·37－323＝－77 760. 点评：根据二项展开式的通项公式，即可求展开式中的特定项．
变式训练
2．(2013·揭阳一模)若二项式x＋21xn 的展开式中，第 4 项与第
7 项的二项式系数相等，则展开式中 x6 的系数为________(用数字作
基础梳理
(3)其中各项的系数_____C__rn_(r＝0,1,2，…，n)叫做
_________二__项_式__系__数____．
(4)式中的______________叫做二项展开式的通项，用Tr＋1
表示．
Crnan－rbr
栏
(5)通项是展开式的第________项．
目
链
2．二项式定理的应用．
10－(2)2 40 .
答案： C
栏目链接
题型一二项式定理的正用、逆用
例 1 (1)用二项式定理展开1＋1x4＝________；
(2)设 S＝(x－1)4＋4×2(x－1)3＋6×4(x－1)2＋4×8(x－1)＋16，
根据二项式定理得 S＝( )
接
r＋1 例如：(1)(x＋1)4的展开式中常数项是________．

2020-2021学年人教A版数学选修2-3教师用书：第1章 1.3 1.3.1 二项式定理 Wo

姓名，年级：时间：1。

3 二项式定理1。

3.1 二项式定理学习目标核心素养1.能用计数原理证明二项式定理。

2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．（重点)3。

能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点）1。

通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养。

2。

借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算素养。

1．二项式定理（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋C错误!a n－2b2＋…＋C错误!a n－k b k＋…＋C错误!b n(n∈N＊)．（1）这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3）二项式系数：各项的系数C k，n(k∈{0，1,2，…，n})叫做二项式系数．2．二项展开式的通项公式（a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝C错误!a n－k b k.思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗，为什么？［提示］二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C错误!，C错误!,…，C错误!，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关,而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．思考2:二项式（a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？[提示］不同．(a＋b）n展开式中第k＋1项为C错误!a n－k b k，而（b＋a)n展开式中第k＋1项为C错误!b n－k a k.1．(x＋1）n的展开式共有11项，则n等于（）A．9 B．10C．11 D．12B[由二项式定理的公式特征可知n＝10。

]2．C0n·2n＋C错误!·2n－1＋…＋C错误!·2n－k＋…＋C错误!等于( ）A．2n B．2n－1C．3n D．1C[原式＝(2＋1）n＝3n。

]3．(1＋2x）5的展开式的第3项的系数为________，第3项的二项式系数为________．40 10 ［∵T3＝C2，5(2x)2＝C2522x2＝40x2，∴第3项的系数为40，第3项的二项式系数为C错误!＝10。

人教版高数选修2-3第一章1.3二项式定理(教师版)

二项式定理__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.娴熟掌握二项式定理的相关观点.2.利用二项式定理解决三项以上的睁开式问题.3.理解二项式系数与睁开式系数的差别.4.利用二项式定理证明不等式.1.二项式定理的观点:C n0a n C n1 a n 1b C n r a n r b r C n n b n (n N* ); 这个公式就叫做二项式定理，右侧的多项式叫做 (a b)n的二项睁开式；它一共有n+1项，此中 C n r a n r b r叫做二项睁开式的通项.注意 :(1)睁开式共有n+1 项 .(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n.(3)字母 a 的幂指数按降幂摆列，从第一项开始，次数由n 逐项减 1 直到为 0，字母 b 的幂指数按升幂摆列，从第一项开始，次数由0逐项加 1 直到为 n.2.睁开式中二项式系数的性质:(1)C n m C n n m(2)C n m C n m 1 C n m1(3)当 r n1时， C n r C n r1; 当 r n 1时， C n r 1C n r22(4)C n0C n1C n n2n种类一 .二项式定理的相关观点例 1：有二项式(3 x2)10.3x(1)求睁开式第 4 项的二项式系数；(2)求睁开式第 4 项的系数；(3)求第 4项.[ 分析 ] (3 x 2 )10的睁开式的通项是 T r 1C10r (3 x)10 r(2)r ( r 0,1, ,10).3x3x (1)睁开式的第 4 项的二项式系数为(2) C103120.(2)睁开式的第 4 项的系数为C10337(2)377760.3(3) 睁开式的第 4 项为：77760( x)7 (13)77760 x.x练习：在 (x1 ) 2413x的睁开式中， x 的幂指数是整数的项共有 ()A.3 项B.4 项C.5 项D.6 项[答案 ]C24 r 172 5r72 5rrrr 6为正整数，而 r[0，24]，因此 r=0，[分析 ]T r 1 C 24 ( x) (3x)C 24 x.因此66， 12， 18， 24 共 5 项，种类二 .二项式系数的特色及性质例 2：已知 (12a)n 的睁开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求睁开式中二项2式系数最大的项 .[分析 ]由于 C n 4C n 6 2C n 5 , 因此n! 4)!n! 2n! .4!( n 6!( n 6)! 5!( n 5)!即 n 221n 98 0, 解得 n=14 或 7.当 n=14 时，第 8 项的二项式系数最大，T 8 C 147( 1)7. (2 a) 73432a 7 .2当 n=7 时，第 4 项与第 5 项的二项式系数最大 .练习 1： (x 22)8 的睁开式中 x 4 的系数是 ()xA.16B.70C.560D.1120[答案 ] D[分析 ]设含 x 4 的为第 r1,T r 1 C 8r ( x 2 )8 r ( 2 )r C 84 2r x 16 3r ,16 3r 4, 因此 r=4，故系数x为 C 84 24 1120.种类三 .二项式定理的基本应用例 3：求二项式 ( x 21 )10 睁开式中的常数项 .2 x21 10r 210 r1r 20 5 r1 r[分析]( x的第 r+1项为 T r 1)( r 2 ( (r 0,2 ) C 10 (x)C 10 x)x2x21, ,10). 令 205 r 0, 得 r =8.因此 T 9 C 108 ( 1 )8 45 . 因此第 9 项为常数项，为 45 .22 256 256练习 1：在二项式 (x 21) 5 的睁开式中，含 x 4 的项的系数是 ()xA.-10B.10C.-5D.5[答案] B[分析]关于 T r 1C 5r (x 2 ) 5 r( 1)r( 1)r C 5r x 10 3r ，关于 10-3r=4 ， r=2，则 x 4 的项的系数x是 C 52 ( 1)2 10.种类四 .二项式定理的综合应用例 4：利用二项式定理证明对全部n N *, 都有 2(1 1 )n 3.n[分析]由于(1 1 )n1121 231 2n1 n1n C nC nnC n ( )C n( )C n( )1 1nnn2!(n 1)1 ( n 1)( n2 ) 1 (n 1)(n 2) ( 1).n3!nnn!nnn因此 2(1 1 )n2 1 1121 ．．．n2! 3! n!1 2仅当 n=1 时， (11)n 2; 当 n ≥ 2 时， 2 (1 1 )n 3.nn练习 1： (12x)n 的睁开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求睁开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 .[分析]T 6 C n 5 (2x)5 ,T 7 C n 6 (2x)6 ，依题意，有 C n 5 25 C n 6 26 , 解得 n=8.因此 (1 2x) 8 的睁开式中，二项式系数最大的项为T 5 C 84 (2x)4 1120x 4 .设第 r+1 项系数最大，由于各项系数大于零，C 8r 2rC 8r 1 2r 1 ,因此有rrr 12 r 1解得 5≤ r ≤ 6.因此 r=5 或 r =6(由于 r {0 ， 1，2，， 8}). 因此系数最大C 8 2C 8,的项为 T 61792x 5 ,T 7 1792x 6 .1.在 ( x y)n 睁开式中第 4 项与第 8 项的系数相等，则睁开式中系数最大的项是()A.第6项B.第5项C.第 5、6 项D.第 6、7 项[答案 ] Ａ2. (x1)11 睁开式中偶数项的系数和为()A. 210B. 210C. 211D. 211 1[答案 ] Ｂ３.若(x 2)n的睁开式中存在常数项，则n 的值能够是 () 3xA.8B.9C.10D.12 [答案 ]Ｃ４.(1x x2x3 )4的睁开式中奇次项系数的和是()A.64B.120C.128D.256 [答案 ]Ｃ５ . ( x2) 6的睁开式中x3的系数是()A.20B.40C. 80 D .160 [答案 ]Ｄ６ . ( x 19) x2)的睁开式中的常数项是 (A. C93B. C93C. C92D. C92[答案 ]Ｂ7. ( x y)10的睁开式中，x7 y3的系数与 x3 y7系数之和等于 ______.[答案 ]－2408.在(1x)3(1 x)2(13 x)3的睁开式中，x的系数为______.(用数字作答)[答案 ]7__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________基础稳固1.若(12) 4 a b 2 (a，b为有理数)，则a+b=()A.53B.29C.23 D .19[答案 ]Ｂ2. (a312 )8的睁开式中全部项系数总和是 ()2bA.281C.0 D .1 B.28[答案 ]Ｂ3. ( x21n15，则 n=().)的睁开式中，常数项为xA.3B.4C.5 D .6 [答案 ]Ｄ4.若 (2a31) n 的睁开式的常数项是第7 项，则正整数 n 的值为 ()aA.7B.8C.9D .10[答案 ] Ｂ5.若 (a 3 4b 2 ) n 的睁开式中有一项为哪一项ma 12b 8 .则 m ， n 的值分别为 ________.[答案 ] 17920， 86.在2 x5的睁开式中， x 3 的系数为 _______．（用数字作答）[答案 ] 407. x 5的睁开式中， x 2 的系数等于 _______ ．（用数字作答）2[答案 ] 808.已知 (x1 )n 的睁开式中偶数项的二项式系数的和比( a b)2n 的睁开式中奇数项的二项3x式系数的和小 120，求第一个睁开式中的第三项 .[答案 ](a b)2n的睁开式中奇数项的二项式系数的和为22n 1, ( x1)n 的睁开式中偶数项3x的二项式系数的和为 2n 1. 依题意，有 2n 122n 1120, 即 (2 n )22n240 0.解得 2n 16 或2n15 (舍去因此 n=4.).于是，第一个睁开式中的第三项为2212 3T 3C 4( x ) (3x)6 x.能力提高１. (x 2 x y)5 的睁开式中， x 5 y 2 的系数为 ()A ． 10B.20C.30D.60[答案 ]C２. ( x 31)7 的睁开式中x 5 的系数是 __________.（用数字填写答案）x[答案 ]353.若 (3x 1)n的睁开式中各项系数的和是256，则睁开式中x 2 的系数为 ________.[答案 ] 544.若 (x 1)n x nax 3 bx 2nx 1, 且 a ： b=3 ：1，那么 n=________.[答案 ]11５. 二项式 ( x 1)n (n N ) 的睁开式中 x 2 的系数为15，则 n （）A ． 4B ． 5C ． 6D ．7【答案】 C6.若 (1 x x 2 )n a 0a 1 x a 2 x 2a 2n x 2 n , 则a 0a 2a 4a 2n 等于（）A.2nB. 3n1 C. 2n 1D. 3n122[答案 ] Ｄ7. (3x 28x 21)99 (5x 7x 2 2)8 的睁开式的常数项是 ().A.0B.2C.-2D .-28[答案 ]Ｄ8.(1)求 (1 2x) 7 睁开式中系数最大的项；(2)求 (1-2x)7 睁开式中系数最大的项 . [答案 ]利用睁开式的通项公式，获得系数的表达式，从而求出其最大值，(1)设第 r +1 项系数最大，则有C 7r 2r C 7r 1 2r 1① ,7!2r 7!2r 1 , r !(7 r )! ( r1)!(7 r1)!C 7r 2r即C 7r 1 2r 1② ,7! r7!r 1,r !(72( r1)!(7 r2r )!1)!2 1 , r16 , 即r8 r 解得3712,r13 .r r 13又 0r7, rN , r5 .∴系数最大的项为 T 6T 5 1 C 75 25 x 5 672x 5 .(2)睁开式共有 8 项，系数最大项必为正项，即在第 1，3，5，7 这 4 项中获得，又因 (1-2x)7括号内的两项中，后项系数绝对值大于前项系数绝对值，故系数最大项必在中间或偏右，故只须比较 T 5和 T 两项系数的大小即可 .7∴系数最大的项是第五项，T 5C 74 ( 2x)4 560x 4 .。

人教版高中数学2019-2020学年选修二 2-3 第一章 1.3 二项式定理

2. 单词“hello” 的错误拼写有____个（因字母顺序错误）。
3.某排9个座位，3个人坐，若每人左右都有空位，则有____种不同的坐法；若空位必须相邻，则有_____种不同的坐法。
4.有A,B,C三张卡片，每张正反两面，分别是数字1和2，3和5，7和8，按顺序排放三张卡片，可得_____个不同的三位数。
3、(1 3x 2 y)10 展开式中不含y的项的系数和为____
4、若多项式x2 x10 a0 a1( x 1) a9 ( x 1)9 a10 ( x 1)10 求a9
二项式系数的性质一：
C
0 n
C
1 n
C
2 n
Cn3
C
n n
2n
Cn0 Cn2 Cn4 Cn1 Cn3 Cn5 2n1
n
n
(a b)1
11
(a b)2
121
(a b)3
13 31
(a b)4
14 6 41
(a b)5
1 5 10 10 5 1
C(a r b)6 n1
Cnr
1
1 Cn6r
15
20
15
6
1
二项式系数的性质二：
对称性：Cnm Cnn m
（m=0,1,2,3,……,n）
从函数角度看，Crn可看成
C
n1
2 n
,
C
n1
2 n
例2. (1 2x)7 的展开式中二项式系数最大的是第___项，最大值是______.
变式1：(a b)n 的展开式中二项式系数最大项只有第5项，则n=____.
变式2：(a b)n的展开式中二项式系数第5 项最大，则n可以是______.

【原创】人教A版选修2-3：第一章 1.3 1.3.1 二项式定理

答案：C
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题点二：由二项展开式某项的系数求参数问题
结束
3．若(x2－a)x＋1x10 的展开式中 x6 的系数为 30，则 a 等于(
)
A．13
B．12
C．1
D．2
解析：依题意，注意到x＋1x10 的展开式的通项公式是
Tr＋1＝Cr10·x10－r·1xr＝C1r 0·x10－2r，
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结束
[活学活用]
1．化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为( )
A．x4
B．(x－1)4
C．(x＋1)4
D．x4－1
解析： (x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C04(x＋1)4 ＋C14(x＋1)3(－1)1＋C24(x＋1)2(－1)2＋C34(x＋1)(－1)3＋C44(x＋ 1)0(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4.
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[小试身手]
结束
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n展开式中共有n项．
(× )
(2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同． ( × )
(3)Cknan－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．
(× )
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结束
与展开式中的特定项有关的问题
题点一：求展开式中的特定项
1．x2－21x6 的展开式中，常数项是(
)
A．－54

2016-2017年数学·选修2-3课件：第一章1.3-1.3.1二项式定理

第十页，编辑于星期五：十七点四十九分。
4．(1－i)10(i 为虚数单位)的二项展开式中第七项为 ________________．
解析：由通项公式得 T7＝C610·(－i)6＝－C610＝－210. 答案：－210
第十一页，编辑于星期五：十七点四十九分。
5．(2015·广东卷)在( x－1)4 的展开式中，x 的系数为
第三十二页，编辑于星期五：十七点四十九分。
不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，
与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数
均有关．
第六页，编辑于星期五：十七点四十九分。
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)(a＋b)10 的展开式中共有 10 项．( ) (2)Cknan－kbk 是(a＋b)n 展开式的第 k 项．( ) (3)(a ＋ b)n 与 (a － b)n 的展开式的二项式系数相同．( )
第二十二页，编辑于星期五：十七点四十九分。
(2) 逆用二项式定理更要注意二项展开式的结构特点，如果项的系数是正负相间，则是(a－b)n 的形式．
第二十三页，编辑于星期五：十七点四十九分。
[变式训练] (1)二项式(x＋2y)4 的展开式为______； (2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－… ＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCnn的结果是________．解析：(1)(x＋2y)4＝C04x4＋C14x3(2y)＋C24x2(2y)2＋C34 x(2y)3＋C44(2y)4＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4.

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二项式定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.熟练掌握二项式定理的有关概念.2.利用二项式定理解决三项以上的展开式问题.3.理解二项式系数与展开式系数的区别.4.利用二项式定理证明不等式. 1.二项式定理的概念:011*();n n r n r rn nn n n n C a C a b C a b C b n --+++++∈N 这个公式就叫做二项式定理,右边的多项式叫做()na b +的二项展开式；它一共有n +1项，其中r n rr n C ab -叫做二项展开式的通项.注意:(1)展开式共有n+1项.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n.(3)字母a 的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到为0，字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.2.展开式中二项式系数的性质:(1)m n mn n C C -=(2)11mm m n n n C C C -++=(3)当12n r -<时，1;r r n n C C +<当12n r ->时，1r r n n C C +< (4)01nn n n C C C +++2n =类型一.二项式定理的有关概念例1：有二项式102)3x-. (1)求展开式第4项的二项式系数； (2)求展开式第4项的系数； (3)求第4项.[解析] 102)3x 的展开式的通项是10110r r r T C -+=⋅2()(0,1,,10).3r r x-=(1)展开式的第4项的二项式系数为(2)310120.C =(2)展开式的第4项的系数为3731023()3C ⋅⋅-=77760.-(3)展开式的第4项为：731()x -⋅=-练习1：在24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A.3项 B.4项C.5项D.6项[答案] C[解析] 72524612424.rr rr rr T C C x --+=⋅⋅=⋅所以7256r -为正整数,而r ∈[0，24]，所以r=0，6，12，18，24共5项，类型二.二项式系数的特点及性质例2：已知1(2)2na +的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项.[解析] 因为4652,n n n C C C +=所以!!4!(4)!6!(6)!n n n n +--2!.5!(5)!n n =-即221980,n n -+=解得n =14或7.当n =14时，第8项的二项式系数最大，778141().2T C =⋅77(2)3432.a a =当n =7时，第4项与第5项的二项式系数最大. 练习1：282()x x+的展开式中x 4的系数是( ) A .16B .70C .560D .1120[答案] D[解析] 设含x 4的为第281821,()()rrr r r T C x x-++==416382,1634,r r C x r --=所以r=4,故系数为4482C =1120.类型三.二项式定理的基本应用例3：求二项式210(x 展开式中的常数项.[解析] 210(x +的第r +1项为5202102110101()()(0,2rr rr rr r T C x C xr --+=⋅=⋅=1,,10).令5200,2r -=得r =8.所以88910145().2256T C =⋅=所以第9项为常数项，为45.256练习1：在二项式251()x x-的展开式中,含x 4的项的系数是( )A .-10B .10C .-5D .5[答案] B[解析] 对于25151()()(1)r rr r r T C x x-+=-=-⨯1035r r C x -,对于10-3r=4,r=2,则x 4的项的系数是225(1)10.C -=类型四.二项式定理的综合应用例4：利用二项式定理证明对一切*,n ∈N 都有12(1) 3.nn≤+<[解析] 因为01223111(1)()n n n n n C C C C n n n +=+⋅+⋅+⋅2111()()112!nn n C nn ++⋅=++⋅11()3!n n -+⋅121121()()()()().!n n n n n n n n n n----+⋅ 所以111112(1)222!3!!12n n n ≤+<++++<++⋅．．．仅当n=1时，1(1)2;n n +=当n ≥2时，12(1)nn<+ 3.<练习1：(12)nx +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.[解析] 556667(2),(2)n n T C x T C x ==，依题意，有556622,n n C C =解得n =8.所以8(12)x +的展开式中，二项式系数最大的项为5T 4448(2)1120.C x x =⋅=设第r +1项系数最大，因为各项系数大于零，所以有1188118822,22,r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩解得5≤r ≤6.所以r =5或r =6(因为r ∈{0，1，2，…，8}).所以系数最大的项为6T =5671792,1792.x T x =1.在()nx y +展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( ) A.第6项 B.第5项 C.第5、6项 D.第6、7项[答案] Ａ2.11(1)x -展开式中偶数项的系数和为( ) A.102 B.102-C.112D.1121-[答案] Ｂ３.若n的展开式中存在常数项，则n 的值可以是( ) A.8B.9C.10D.12[答案] Ｃ４.234(1)x x x +++的展开式中奇次项系数的和是( ) A.64B.120C.128D.256[答案] Ｃ５.6(2)x +的展开式中x 3的系数是( ) A .20B .40C . 80D .160[答案] Ｄ６.921()x x-的展开式中的常数项是( ) A.39C B.39C -C.29CD.29C -[答案] Ｂ7.10()x y -的展开式中,73x y 的系数与37x y 系数之和等于______. [答案] －240 8.在323(1)(1(1x +++++的展开式中,x 的系数为______.(用数字作答)[答案] 7__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________基础巩固1.若4(1a =+(a ,b 为有理数),则a +b =( ) A .53B .29C .23D .19[答案] Ｂ 2.3821()2a b-的展开式中所有项系数总和是( ) A .28B.812 C .0 D .1[答案] Ｂ3.21()nx x-的展开式中,常数项为15,则n =( ). A .3B .4C .5D .6[答案] Ｄ4.若31(2)na a+的展开式的常数项是第7项,则正整数n 的值为( ) A .7B .8C .9D .10[答案] Ｂ5.若32(4)na b +的展开式中有一项是128.ma b 则m ，n 的值分别为________.[答案] 17920,86. 在()52x +的展开式中，3x 的系数为_______．（用数字作答） [答案] 40 7.的展开式中，的系数等于_______．（用数字作答）[答案] 80()52x +2x8.已知n 的展开式中偶数项的二项式系数的和比2()na b +的展开式中奇数项的二项式系数的和小120，求第一个展开式中的第三项.[答案] 2()na b +的展开式中奇数项的二项式系数的和为212,n-n+的展开式中偶数项的二项式系数的和为12.n -依题意，有12122120,n n --=-即2(2)22400.n n --=解得216n=或215n=-(舍去).所以n =4.于是，第一个展开式中的第三项为22234T C=6= 能力提升１. 的展开式中，的系数为( ) A ．10 B.20 C.30 D.60[答案] C２. 的展开式中的系数是__________.（用数字填写答案） [答案] 353.若(31)nx +的展开式中各项系数的和是256，则展开式中2x 的系数为________. [答案] 54 4.若32(1)1,n nx x ax bx nx +=+++++且a ：b =3：1，那么n =________.[答案] 11５. 二项式的展开式中的系数为15，则（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】 C6.若22012(1)nx x a a x a x ++=++++220242,n n n a x a a a a ++++则等于（）A .2nB.312n -C.12n +D.312n +[答案] Ｄ7.29928(3281)(572)x x x x +--+的展开式的常数项是( ). A .0B .2C .-2D .-28[答案] Ｄ8.(1)求7(12)x +展开式中系数最大的项; (2)求(1-2x )7展开式中系数最大的项.25()x x y ++52x y 371()x x+5x (1)()nx n N ++∈2x n =[答案] 利用展开式的通项公式,得到系数的表达式,进而求出其最大值, (1)设第r +1项系数最大,则有1177117722,22,r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩①②即117!7!22,!(7)!(1)!(71)!7!7!22,!(7)!(1)!(71)!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅≥⋅⎪---+⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪-+--⎩ 即21,812,71r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩解得16,313.3r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩又07,,5r r N r ≤≤∈∴=.∴系数最大的项为555565172672.T T C x x +==⋅⋅=(2)展开式共有8项,系数最大项必为正项,即在第1,3,5,7这4项中取得,又因(1-2x )7括号内的两项中,后项系数绝对值大于前项系数绝对值,故系数最大项必在中间或偏右,故只须比较T 5和T 7两项系数的大小即可.∴系数最大的项是第五项,44457(2)560.T x x C =-=。